Lista de Exercicios Resolvidos Estatistica II ESAMC 2023

ESAMC Estatística II 2º Semestre de 2023 Roteiro de Trabalho para Avaliação de Alunos em Regime Especial Nome RA 1 Cada face de um dado nãoviciado com três lados tem 13 de chance de ser sorteado em uma jogada Calcule a média e o desvio padrão do espaço de estados deste dado 2 Considere um dado de três lados viciado cujas probabilidades associadas a cada número de face são dadas na tabela abaixo número do lado 1 2 3 probabilidade 13 ϵ 13 2ϵ 13 ϵ Assumindo ϵ 02 calcule a média e o desvio padrão do espaço de estados deste dado Compare os resultados com a resposta do exercício anterior 3 No laboratório de uma empresa dois instrumentos de fabricantes diferentes são usados para realizar uma sequência de nove medidas em um mesmo experimento O objetivo é verificar a consistência entre os valores xi obtidos pelo instrumento do fabricante X e os valores yi determinados pelo instrumento do fabricante Y onde i 19 Os dados para a comparação estão representados graficamente na figura abaixo Calcule a covariância e o coeficiente de correlação dos valores xi e yi Há consistência na maneira como esses instrumentos diferentes realizam as mesmas medidas 4 Uma grandeza G foi medida por dois métodos diferentes obtendose os resultados G1 μ1 σ1 462 012 e G2 μ2 σ2 41 03 Considere as quantidades pi 1σi2 com i 1 2 A melhor aproximação para G μ σ a partir de G1 e G2 é calculada da seguinte maneira i Um valor μi deve contribuir MAIS para a quantidade final μ quanto MENOR for seu erro σi Portanto μ é a média ponderada de μ1 e μ2 pelos pesos p1 e p2 correspondentes ou seja μ i pi μi i pi ii Pela teoria da propagação de erros σ 1i pi Calcule μ σ e escreva o valor final de G 5 Sejam os dados da tabela a seguir x 1 2 3 y 05 25 8 A qualidade do ajuste de uma função yx a um certo conjunto de dados é avaliada pela soma χ² i yi yxi² que deve ser mínima Calcule a O valor de χ² para yx x² 1 b O valor de χ² para yx 03 e11x c O valor de χ² para yx 4x 5 d Qual destas funções melhor se ajusta aos dados 6 No ajuste linear com pesos os desvios padrão σi associados aos valores yi são conhecidos e usados para dar mais importância às medidas mais precisas no ajuste Por exemplo nos dados x y σ 4 5 1 5 9 3 8 16 2 o primeiro ponto contribuirá mais para a regressão pois ele possui a menor dispersão da coordenada y em relação aos outros pontos Ajuste uma reta y ax b aos dados da tabela acima considerando os erros em y através do procedimento a Calcule a média ponderada x i xi σi² i 1σi² b Calcule a média ponderada ȳ i yi σi² i 1σi² c Determine o coeficiente angular a i xi xyi ȳσi² i xi x²σi² d Determine o coeficiente linear b ȳ a x 1 𝒙𝒊 𝑷𝒙𝒊 𝒙𝒊 𝑷𝒙𝒊 1 1 3 1 3 2 1 3 2 3 3 1 3 3 3 Total 2 𝜇 𝑥𝑖 𝑃𝑥𝑖 2 Portanto a média do espaço de estados deste dado é 2 𝒙𝒊 𝒙𝒊 𝝁 𝒙𝒊 𝝁𝟐 𝑷𝒙𝒊 𝑷𝒙𝒊 𝒙𝒊 𝝁𝟐 1 1 1 1 3 1 3 2 0 0 1 3 0 3 1 1 1 3 1 3 Total 2 3 𝜎 𝑃𝑥𝑖 𝑥𝑖 𝜇2 2 3 Portanto o desvio padrão do espaço de estados deste dado é 23 2 𝒙𝒊 𝑷𝒙𝒊 𝒙𝒊 𝑷𝒙𝒊 1 1 3 𝜖 1 3 𝜖 2 1 3 2𝜖 2 3 4𝜖 3 1 3 𝜖 1 3𝜖 Total 2 𝜇 𝑥𝑖 𝑃𝑥𝑖 2 Portanto independentemente do valor de 𝜖 a média do espaço de estados deste dado é 2 𝒙𝒊 𝒙𝒊 𝝁 𝒙𝒊 𝝁𝟐 𝑷𝒙𝒊 𝑷𝒙𝒊 𝒙𝒊 𝝁𝟐 1 1 1 1 3 𝜖 1 3 𝜖 2 0 0 1 3 2𝜖 0 3 1 1 1 3 𝜖 1 3 𝜖 Total 2 3 2𝜖 𝜎 𝑃𝑥𝑖 𝑥𝑖 𝜇2 2 3 2𝜖 Assumindo 𝜖 02 temos que 𝜎 2 3 2 02 2 3 04 2 3 2 5 4 15 2 15 15 Portanto o desvio padrão do espaço de estados deste dado para 𝜖 02 é 21515 Os espaços de estados de ambos os dados desse e do exercício anterior possuem a mesma média mas esse possui menor desvio padrão 3 𝒊 𝒙𝒊 𝒚𝒊 1 0 0 2 2 1 3 3 3 4 3 5 5 5 5 6 7 5 7 10 12 8 5 4 9 0 0 Total 35 35 𝑥 𝑥𝑖 9 35 9 𝑦 𝑦𝑖 9 35 9 𝒙𝒊 𝒙𝒊 𝒙 𝒚𝒊 𝒚𝒊 𝒚 𝒙𝒊 𝒙𝒚𝒊 𝒚 𝒙𝒊 𝒙𝟐 𝒚𝒊 𝒚𝟐 0 35 9 0 35 9 1225 81 1225 81 1225 81 2 17 9 1 26 9 442 81 289 81 676 81 3 8 9 3 8 9 64 81 64 81 64 81 3 8 9 5 10 9 80 81 64 81 100 81 5 10 9 5 10 9 100 81 100 81 100 81 7 28 9 5 10 9 280 81 784 81 100 81 10 55 9 12 73 9 4015 81 3025 81 5329 81 5 10 9 4 1 9 10 81 100 81 1 81 0 35 9 0 35 9 1225 81 1225 81 1225 81 Total 809 9 764 9 980 9 𝑐𝑜𝑣𝑥 𝑦 1 9 𝑥𝑖 𝑥 𝑦𝑖 𝑦 1 9 809 9 809 81 99876 𝜎𝑥 1 9 𝑥𝑖 𝑥2 1 9 764 9 764 81 2191 9 𝜎𝑦 1 9 𝑦𝑖 𝑦2 1 9 980 9 980 81 145 9 𝑟 𝑐𝑜𝑣𝑥 𝑦 𝜎𝑥𝜎𝑦 809 81 2191 9 145 9 809 28955 09349 Com base nos resultados obtidos parece haver uma consistência significativa na maneira como esses dois instrumentos realizam as mesmas medidas 𝑟 09349 1 e essa consistência é positiva 𝑐𝑜𝑣𝑥 𝑦 99876 0 o que significa que as medidas geralmente se movem na mesma direção 4 𝐺1 𝜇1 𝜎1 462 012 𝜇1 462 231 50 𝜎1 012 3 25 𝐺2 𝜇2 𝜎2 41 03 𝜇2 41 41 10 𝜎2 03 3 10 𝑝1 1 𝜎1 2 1 3 25 2 625 9 𝑝2 1 𝜎2 2 1 3 10 2 100 9 𝑝𝑖 𝑝1 𝑝2 625 9 100 9 725 9 𝑝𝑖𝜇𝑖 𝑝1𝜇1 𝑝2𝜇2 625 9 231 50 100 9 41 10 1925 6 410 9 6595 18 𝜇 𝑝𝑖𝜇𝑖 𝑝𝑖 6595 18 725 9 1319 290 45482 𝜎 1 𝑝𝑖 1 725 9 9 725 3 529 329 145 01114 𝐺 𝜇 𝜎 45482 01114 5 a 𝑦𝑥 𝑥2 1 𝒙𝒊 𝒚𝒊 𝒚𝒙𝒊 𝒚𝒊 𝒚𝒙𝒊 𝒚𝒊 𝒚𝒙𝒊𝟐 1 05 0 05 025 2 25 3 05 025 3 8 8 0 0 Total 05 𝑦1 12 1 1 1 0 𝑦2 22 1 4 1 3 𝑦3 32 1 9 1 8 Χ2 𝑦𝐼 𝑦𝑥𝑖2 05 b 𝑦𝑥 03𝑒11𝑥 𝒙𝒊 𝒚𝒊 𝒚𝒙𝒊 𝒚𝒊 𝒚𝒙𝒊 𝒚𝒊 𝒚𝒙𝒊𝟐 1 05 09 04 016 2 25 27 02 004 3 8 81 01 001 Total 021 𝑦1 03𝑒111 03𝑒11 09 𝑦2 03𝑒112 03𝑒22 27 𝑦3 03𝑒113 03𝑒33 81 Χ2 𝑦𝐼 𝑦𝑥𝑖2 021 c 𝑦𝑥 4𝑥 5 𝒙𝒊 𝒚𝒊 𝒚𝒙𝒊 𝒚𝒊 𝒚𝒙𝒊 𝒚𝒊 𝒚𝒙𝒊𝟐 1 05 1 05 025 2 25 3 05 025 3 8 7 1 1 Total 15 𝑦1 4 1 5 4 5 1 𝑦2 4 2 5 8 5 3 𝑦3 4 3 5 12 5 7 Χ2 𝑦𝐼 𝑦𝑥𝑖2 15 d A função que melhor se ajusta aos dados é 𝑦𝑥 03𝑒11𝑥 pois obteve o valor mais baixo para Χ2 6 ab 𝒙𝒊 𝒚𝒊 𝝈𝒊 𝝈𝒊 𝟐 𝟏 𝝈𝒊 𝟐 𝒙𝒊 𝝈𝒊 𝟐 𝒚𝒊 𝝈𝒊 𝟐 4 5 1 1 1 4 5 5 9 3 9 1 9 5 9 1 8 16 2 4 1 4 2 4 Total 49 36 59 9 10 𝑥 𝑥𝑖 𝜎𝑖 2 1 𝜎𝑖 2 59 9 49 36 236 49 𝑦 𝑦𝑖 𝜎𝑖 2 1 𝜎𝑖 2 10 49 36 360 49 c 𝒙𝒊 𝒚𝒊 𝝈𝒊 𝟐 𝒙𝒊 𝒙 𝒚𝒊 𝒚 𝒙𝒊 𝒙𝒚𝒊 𝒚 𝒙𝒊 𝒙𝟐 𝒙𝒊 𝒙𝒚𝒊 𝒚 𝝈𝒊 𝟐 𝒙𝒊 𝒙𝟐 𝝈𝒊 𝟐 4 5 1 40 49 115 49 4600 2401 1600 2401 4600 2401 1600 2401 5 9 9 9 49 81 49 729 2401 81 2401 81 2401 9 2401 8 16 4 156 49 424 49 66144 2401 24336 2401 16536 2401 6084 2401 Total 433 49 157 49 𝑎 𝑥𝑖 𝑥𝑦𝑖 𝑦 𝜎𝑖 2 𝑥𝑖 𝑥2 𝜎𝑖 2 433 49 157 49 433 157 d 𝑏 𝑦 𝑎𝑥 460 49 433 157 236 49 460 49 102188 7693 29968 7693 𝑦 433 157 𝑥 29968 7693