Regressão e Correlação Estatística: Análise de Relações Lineares e Aplicações

86 Unidade III Unidade III Regressão e correlação objetivos do módulo Podemos eleger para a palavra correlação significados tais como relação mútua entre dois termos qualidade de correlativo correspondência Em estatística é um parâmetro que indica o grau de correspondência entre duas variáveis ou seja a correlação mostra a intensidade com a qual dois conjuntos de dados estão relacionados mutuamente Eventualmente duas variáveis interagem ou seja uma variável está correlacionada a outra de maneira mais ou menos intensa provocando questões do seguinte tipo O salário de um trabalhador está relacionado com sua escolaridade ou seja em que grau a variável salário médio de um trabalhador está ligada com a variável escolaridade do trabalhador A quantidade de livros que uma pessoa já leu está relacionada com sua escolaridade Em que grau o peso de uma pessoa está relacionado com sua altura A estatura de uma pessoa está relacionada com sua alimentação A lucratividade de uma empresa está relacionada com o grau de escolaridade de seus executivos A capacidade de aprender estatística está relacionada com o sexo do aluno Responder matematicamente a essas questões é o objetivo do estudo estatístico das correlações Considerando que exista uma correlação entre duas variáveis muitas vezes desejamos saber qual é a lei matemática que as relaciona Isso nos remete ao estudo das funções regressão Neste momento tanto para correlação como para regressão iremos nos circunscrever aos relacionamentos lineares quer dizer àqueles que utilizam uma equação de primeiro grau Existem outros casos mas não serão objeto de nosso estudo 87 ESTATÍSTICA APLICADA Saiba mais A estatística aparece em alguns filmes de Hollywood mostrando seu uso na tomada de decisões na observação de dados e nas correlações de causa e efeito Quatro dos melhores filmes todos eles dignos de serem assistidos são O HOMEM que mudou o jogo Dir Bennett Miller EUA Columbia Pictures 2011 133 minutos O JOGO da imitação Dir Morten Tyldum EUA Black Bear Pictures 2015 115 minutos UMA MENTE brilhante Dir Ron Howard EUA Universal Pictures 2001 135 minutos QUEBRANDO a banca Dir Robert Luketic EUA Columbia Pictures 2008 123 minutos 7 CORRELAÇÃO LINEAR Volte às questões citadas Parece que algumas respostas são verdadeiras por exemplo um trabalhador deve ganhar mais se tiver maior escolaridade uma pessoa mais alta deve pesar mais mas outras respostas parecem ser falsas como por exemplo relacionar o sexo com facilidade de aprendizado Como determinar a veracidade de uma relação de causa e efeito Perceba que as questões mencionadas podem ser resumidas a duas variáveis nomeadas rotineiramente por variável independente xi e variável dependente yi É lógico supor que a produtividade de um processo químico variável dependente depende em boa parte da qualidade da matériaprima utilizada variável independente Qual é o nível dessa dependência Saiba mais Um dos maiores riscos quando tratamos de correlações são as chamadas correlações espúrias aquelas que parecem correlações mas no fundo são absurdas Há um site que mostra como fatos que não têm nada em comum podem ter picos e quedas de ocorrência ao mesmo tempo Uma lição para cientistas de que nem sempre coisas que acontecem simultaneamente formam relação de causa e consequência Acesseo em wwwtylervigencom 88 Unidade III A maneira estatística de se determinar a verdade ou a falsidade de uma relação de causa e efeito e o nível dessa eventual relação é calcular o coeficiente de correlação que existe entre as variáveis O mais usado entre essas medidas é o linear chamado de coeficiente de correlação linear de Pearson Existem coeficientes não lineares mas não serão tratados neste material O coeficiente de correlação de Pearson é dado pela expressão i i i i 2 2 2 2 i i i i n x y x y r n x x n y y Onde xi é a chamada variável independente e yi é a variável dependente ou seja que está correlacionada ou não à variável dependente O número de pares ordenados xy considerados no estudo é n E os valores são todos decorrentes de somatórios Observação Quando temos vários números para uma mesma variável usamos o índice i para diferenciálos Assim a variável independente é simbolizada por xi e assume diversos valores diferentes simbolizados por x1 x2 x3 etc Essa correlação pode existir ou não e ser mais ou menos intensa conforme o valor do coeficiente de Pearson r 100 correlação negativa perfeita r 075 correlação negativa forte r 050 correlação negativa média r 025 correlação negativa fraca r 000 correlação linear inexistente r 025 correlação positiva fraca r 050 correlação positiva média r 075 correlação positiva forte r 100 correlação positiva perfeita 89 ESTATÍSTICA APLICADA Correlação linear positiva significa que se uma variável aumenta a outra variável também sobe ou então se uma variável diminui a outra também cai Por exemplo considerandose que os ganhos de uma pessoa estejam relacionados à sua escolaridade teremos uma correlação positiva Aumentando a escolaridade variável independente subirão os ganhos variável dependente Dizemos que causa e efeito são diretamente proporcionais Correlação linear negativa significa que se uma variável aumenta a outra variável diminui ou então se uma variável diminui a outra aumenta Os preços de carros usados são exemplos de correlação negativa à medida que o automóvel envelhece aumenta a variável independente anos de uso cai o seu valor de mercado variável dependente O cálculo do coeficiente de correlação não apresenta grandes dificuldades conceituais sendo mais um trabalho braçal O exemplo a seguir mostra passo a passo como esse cálculo é feito e a que conclusões podemos chegar Observação Muito do trabalho braçal necessário para a resolução de problemas de correlação e regressão linear é facilitado com o uso de planilhas eletrônicas como é o caso do Excel No entanto devese ter em mente os conceitos envolvidos para que os resultados obtidos eletronicamente não sejam ilusoriamente falsos As caixaspretas que essas planilhas mostram podem nos conduzir a percepções equivocadas Exemplo 1 suponha que uma empresa de confecções queira avaliar se suas despesas com publicidade estão repercutindo favoravelmente em suas vendas Para tanto levantou os gastos de publicidade e as vendas em cinco meses diferentes os quais estão relacionados na tabela a seguir Calcule a resposta para a empresa Tabela 13 Gastos com publicidade em milhares de reais xi 31 45 83 118 156 Vendas em milhões de reais yi 6 18 19 32 35 A resposta a essa questão é o cálculo do coeficiente de correlação linear Em tese as vendas da empresa estão relacionadas com os gastos de publicidade Aumentandose os gastos com publicidade variável independente deverão subir por lógica os valores vendidos variável dependente Nesse cenário o coeficiente será positivo e poderemos afirmar que os gastos com publicidade realmente repercutem de modo favorável nas vendas caso contrário a resposta será negativa Caso o coeficiente seja positivo quanto mais próximo de 1 maior será a repercussão da publicidade nas vendas 90 Unidade III Para fazermos esse cálculo iremos montar a seguinte tabela na qual serão determinados os somatórios necessários para a utilização da fórmula Tabela 14 Número par ordenado Variável independente Variável dependente Variável independente ao quadrado Variável dependente ao quadrado Multiplicação das duas variáveis n xi yi xi 2 yi 2 xiyi 1 31 6 961 36 186 2 45 18 2025 324 810 3 83 19 6889 361 1577 4 118 32 13924 1024 3776 5 156 35 24336 1225 5460 Somatórios 433 110 48135 2970 11809 Da tabela tiramos as informações necessárias para o cálculo do coeficiente n 5 Σxi 433 Σyi 110 Σxi 2 48135 Σyi 22970 e Σxiyi 11809 i i i i 2 2 2 2 i i i i n x y x y r n x x n y y 2 2 511809 433 110 r 548135 433 52970 110 59045 47630 r 240675 187489 14850 12100 11415 r 53186 2750 11415 11415 r r 0944 12094 146261500 Existe portanto entre as duas variáveis uma correlação positiva forte ou seja do ponto de vista prático é fortemente interessante para essa empresa investir em publicidade 91 ESTATÍSTICA APLICADA Exemplo 2 o gerente de produção de uma empresa têxtil argumenta visando aumentar suas verbas para treinamento que o índice de 2ª qualidade dos produtos está fortemente relacionado com o tempo de treinamento dado aos funcionários Para justificar sua tese ele fez um levantamento com 8 funcionários relacionando as semanas de treinamento aplicadas a cada um com o índice de defeitos que eles faziam Os dados estão resumidos na tabela a seguir O gerente tem razão na sua exposição Tabela 15 Quantidade de semanas de treinamento 9 4 8 7 5 11 10 6 Índice de defeitos 160 250 200 220 240 120 140 260 O gerente evidentemente espera que o coeficiente de correlação obtido seja um número negativo e próximo de 1 Isso provaria a argumentação dele já que aumentando o número de semanas de treinamento diminuiria o índice de defeitos Ou seja o gerente deseja uma correlação linear negativa Para fazermos esse cálculo utilizaremos uma tabela semelhante à do exemplo anterior observando que as porcentagens devem ser transformadas em valores decimais Lembrete Nunca se deve fazer operações aritméticas ou matemáticas com porcentagens É necessário usar frações ordinárias ou decimais em seu lugar Tabela 16 Número par ordenado Variável independente Variável dependente Variável independente ao quadrado Variável dependente ao quadrado Multiplicação das duas variáveis n xi yi xi 2 yi 2 xiyi 1 9 0016 81 0000256 0144 2 4 0025 16 0000625 0100 3 8 0020 64 0000400 0160 4 7 0022 49 0000484 0154 5 5 0024 25 0000576 0120 6 11 0012 121 0000144 0132 7 10 0014 100 0000196 0140 8 6 0026 36 0000676 0156 Somatórios 60 0159 492 0003357 1106 92 Unidade III Da tabela tiramos as informações necessárias para o cálculo do coeficiente n 8 Σxi 60 Σyi 0159 Σxi 2 492 Σyi 20003357 e Σxiyi 1106 i i i i 2 2 2 2 i i i i n x y x y r n x x n y y 2 2 81106 60 0159 r 8492 60 80003357 0159 8848 95400 r 3936 3600 00269 00253 06920 r 336 00016 06920 06920 r r 0954 07332 05376 Existe portanto entre as duas variáveis uma correlação negativa forte ou seja o ponto de vista do gerente de produção é respaldado pela avaliação estatística 8 REGRESSÃO LINEAR No exemplo 1 foi determinado que para a empresa em pauta os gastos com publicidade tinham correlação direta e forte com as vendas obtidas Mas e se quiséssemos ir além e estimar quanto seria vendido caso os gastos com publicidade fossem de R 18000000 Para se responder a esta questão é necessário estabelecer um relacionamento matemático entre as duas variáveis Isso é feito através dos conceitos de regressão linear que se valem do método dos mínimos quadrados Tratase do processo de traduzir o comportamento conjunto de duas variáveis na forma de uma lei matemática denominada equação de regressão Assim sendo os conceitos de correlação e regressão são indissociáveis A regressão é linear quando essa lei matemática mencionada é uma reta portanto uma equação de 1º grau 93 ESTATÍSTICA APLICADA 0 1 2 3 4 5 6 0 5 10 15 20 Correlação perfeita Correlação forte 16 14 12 10 8 6 4 2 0 14 12 10 8 6 4 2 0 Figura 22 Como na prática se trabalha com diversos pontos experimentais existem inúmeras retas possíveis para um determinado conjunto de dados No entanto o critério normalmente utilizado para a definição desta reta é o chamado método dos mínimos quadrados Esse método pesquisa a reta de melhor aderência ao conjunto de pontos experimentais considerados É sabido que a equação de uma reta é dada pela fórmula geral y ax b Onde a e b são os chamados coeficientes da reta que caracterizam e particularizam cada situação prática considerada Esses coeficientes estabelecem a inclinação da reta se ela é crescente ou decrescente e a posição vertical no plano ortogonal O método dos mínimos quadrados define tais coeficientes de modo a determinar uma reta interpoladora ou seja a reta de melhor aderência ao conjunto de dados O coeficiente angular a aquele que define o ângulo da reta e se ela é crescente ou decrescente é dado por y y x S a K r S Onde Ky coeficiente angular r coeficiente de correlação de Pearson Sy desvio padrão da variável dependente Sx desvio padrão da variável independente 94 Unidade III O coeficiente b chamado de termo independente e que caracteriza a altura da reta no plano ortogonal é dado por y b y K x Onde Ky coeficiente angular y média da variável dependente x média da variável independente Dessa forma a equação da reta interpoladora é dada por y y y K y K x x Onde evidentemente y é a variável dependente e x a variável independente Lembrete O cálculo da média e do desvio padrão das variáveis estudadas é feito de acordo com o já aprendido ou seja utilizandose as fórmulas 2 i i x x x x n e S n 1 O cálculo da reta procurada depende do cálculo anterior da média e dos desvios padrões de ambas as variáveis x e y além do coeficiente de correlação entre elas Observação No presente livrotexto trabalhamos apenas com a correlação e a regressão lineares que é a situação mais comum que iremos encontrar na vida profissional Existe porém outros modelos matemáticos que correlacionam duas variáveis tais com funções quadráticas logarítmicas exponenciais entre outras Matematicamente são funções mais complexas e na prática menos utilizadas mas os conceitos básicos são os mesmos e a operacionalização parecida 95 ESTATÍSTICA APLICADA Um exemplo de aplicação deixa mais claro o processo de cálculo utilizandose de um passo a passo Exemplo 1 a tabela a seguir mostra a evolução de duas variáveis possivelmente correlacionadas Determine a equação de regressão linear decorrente Tabela 17 Variável independente x 3 5 7 9 10 14 16 Variável dependente y 1 2 3 5 7 10 13 Resolução 1º passo Cálculo do coeficiente de correlação linear Tabela 18 n xi yi xi 2 yi 2 xiyi 1 3 1 9 1 3 2 5 2 25 4 10 3 7 3 49 9 21 4 9 5 81 25 45 5 10 7 100 49 70 6 14 10 196 100 140 7 16 13 256 169 208 Somatórios 64 41 716 357 497 i i i i 2 2 2 2 i i i i n x y x y r n x x n y y 2 2 7 497 64 41 r r 0988 7 716 64 7 357 41 96 Unidade III 2º passo Cálculo da média e do desvio padrão da variável x Tabela 19 n xi di xi x di 2 1 3 3 91429 61429 377352 2 5 5 91429 41429 171636 3 7 7 91429 21429 45920 4 9 9 91429 01429 00204 5 10 10 91429 08571 07346 6 14 14 91429 48571 235914 7 16 16 91429 68571 470198 Somatórios 64 130857 2 i i x x x 64 130857 x 91429 e S 4670 n 7 n 1 7 1 3º passo Cálculo da média e do desvio padrão da variável y Tabela 20 n yi di yi y di 2 1 1 1 58571 48571 235914 2 2 2 58571 38571 148772 3 3 3 58571 28571 81630 4 5 5 58571 08571 07346 5 7 7 58571 11429 13062 6 10 10 58571 41429 171636 7 13 13 58571 71429 510210 Somatórios 41 1168570 2 i i y y y 41 116857 y 58571 e S 44132 n 7 n 1 7 1 4º passo Cálculo do coeficiente Ky y y y x S 44132 K r K 0988 093 S 46701 97 ESTATÍSTICA APLICADA 5º passo Definição da equação da reta procurada y y y K y K x x y 093x 58571 093 91429 y 093x 264 A partir da determinação da função linear podemos prever valores de y para um dado valor de x com os devidos cuidados que previsões estatísticas devem considerar Vamos supor por exemplo que queiramos saber qual o valor da variável dependente y quando a variável independente x assume o valor 18 y 093x 264 y 093 18 264 y 141 Uma visão dessa situação é mostrada no gráfico a seguir 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Regressão linear Ponto estimado Pontos conhecidos Reta interpoladora Y X 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 Figura 23 Exemplo 2 uma fábrica de cervejas acredita que o volume de vendas dos seus produtos está diretamente relacionado com a temperatura média do período considerado Para comprovar ou refutar essa crença um analista levantou os dados necessários resumidos a seguir Tabela 21 Temperatura C 32 28 33 27 26 36 34 30 31 29 Volume de vendas em mil unidades 83 78 80 75 71 92 85 81 83 79 98 Unidade III A partir destes dados perguntase A Existe realmente correlação entre volume de vendas e temperatura média do período B Qual a expressão matemática que relaciona essas duas variáveis C Caso haja correlação entre as variáveis qual seria o volume de vendas caso a temperatura média do período fosse de 35 ºC D Qual a temperatura média que produziria um volume de vendas de 90 mil unidades se houver correlação entre as variáveis mencionadas Resolução Item A para responder a esse item devemos calcular o coeficiente de correlação de Pearson utilizando a tabela Tabela 22 Número par ordenado Variável independente temperatura Variável dependente volume vendas Variável independente ao quadrado Variável dependente ao quadrado Multiplicação das duas variáveis n xi yi xi 2 yi 2 xiyi 1 32 83 1024 6889 2656 2 28 78 784 6084 2184 3 33 80 1089 6400 2640 4 27 75 729 5625 2025 5 26 71 676 5041 1846 6 36 92 1296 8464 3312 7 34 85 1156 7225 2890 8 30 81 900 6561 2430 9 31 83 961 6889 2573 10 29 79 841 6241 2291 Somatórios 306 807 9456 65419 24847 Da tabela tiramos as informações necessárias para o cálculo do coeficiente n 10 Σxi 306 Σyi 807 Σxi 2 9456 Σyi 265419 e Σxiyi 24847 i i i i 2 2 2 2 i i i i n x y x y r n x x n y y 99 ESTATÍSTICA APLICADA 2 2 1024847 306 807 r 109456 306 1065419 807 248470 246942 r 94560 93636 654190 651249 1528 r 924 2941 1528 1528 r r 0927 1648 2717484 Existe portanto uma correlação forte entre vendas e temperaturas médias dos períodos considerados Item B a expressão que relaciona as duas variáveis é a função de regressão linear Para definila precisamos das médias e dos desvios padrões de ambas as variáveis conforme a tabela anterior e a que se segue Cálculo da média e do desvio padrão da variável x Tabela 23 n xi di 2 1 32 196 2 28 676 3 33 576 4 27 1296 5 26 2116 6 36 2916 7 34 1156 8 30 036 9 31 016 10 29 256 Somatórios 306 924 2 i i x x x 306 924 x 306 e S 32 n 10 n 1 10 1 100 Unidade III Cálculo da média e do desvio padrão da variável y Tabela 24 n yi di 2 1 83 529 2 78 729 3 80 049 4 75 3249 5 71 9409 6 92 12769 7 85 1849 8 81 009 9 83 529 10 79 289 Somatórios 807 2941 2 i i y y y 807 2941 y 807 e S 57 n 10 n 1 10 1 Cálculo do coeficiente Ky y y y x S 57 K r K 0927 165 S 32 Definição da equação da reta procurada y y y K y K x x y 165x 807 165 306 y 165x 301 Item C para 35º o volume de vendas estimado seria de y 165x 301 y 165 35 301 y 879 mil unidades 101 ESTATÍSTICA APLICADA Item D para um volume de vendas de 90 mil unidades a temperatura estimada seria de 90 301 y 165x 301 90 165x 301 165x 90 301 x x 363 º C 165 Graficamente teríamos Pontos amostrados Temperatura Volume de vendas 100 95 90 85 80 75 70 879 363 25 27 29 31 33 35 37 39 y X Reta interpoladora Figura 24 Exemplo 3 uma emissora de televisão deseja saber se existe correlação entre a idade dos seus telespectadores e a quantidade de minutos que permanecem assistindo aos seus programas Para tanto acompanhou oito telespectadores de diferentes idades chegando aos dados a seguir Ela pode afirmar que essa correlação existe Tabela 25 Idade em anos 32 17 26 36 34 53 31 29 Minutos assistidos 85 84 36 82 77 70 52 95 Resolução Conforme vimos anteriormente devemos calcular o coeficiente de correlação de Pearson para responder a essa questão 102 Unidade III Tabela 26 Número par ordenado Variável independente idade Variável dependente minutos assistidos Variável independente ao quadrado Variável dependente ao quadrado Multiplicação das duas variáveis n xi yi xi 2 yi 2 xiyi 1 32 85 2720 7225 2720 2 17 84 1428 7056 1428 3 26 36 936 1296 936 4 36 82 2952 6724 2952 5 34 77 2618 5929 2618 6 53 70 3710 4900 3710 7 31 52 1612 2704 1612 8 29 95 2755 9025 2755 Somatórios 258 581 18731 44859 18731 Da tabela tiramos as informações necessárias para o cálculo do coeficiente n 8 Σxi 258 Σyi 581 Σxi 2 18731 Σyi 244859 e Σxiyi 18731 i i i i 2 2 2 2 i i i i n x y x y r n x x n y y 2 2 818731 258 581 r 818731 258 844859 581 149848 149898 r 149848 66564 358872 337561 50 r 83284 21311 50 50 r r 0001 42129 1774865324 O número é praticamente igual a zero o que indica não existir correlação entre essas duas variáveis ou seja baseandose nele não é possível afirmar que a quantidade de minutos que alguém fique assistindo à televisão tenha algo a ver com sua idade 103 ESTATÍSTICA APLICADA Exemplo 4 uma empresa deseja ter expressão matemática que exprima a relação entre preço de seu produto e unidades vendidas para estimar as vendas em função do preço do produto Para tanto levantou cinco ocorrências reais relacionadas a seguir Quais seriam a expressão procurada e os valores de vendas estimadas para preços do produto iguais a R 20000 e a R 15000 Represente a situação graficamente Tabela 27 Quantidade de unidades vendidas Preço unitário de venda 250 163 275 159 300 175 225 180 247 165 Resolução Cálculo do coeficiente de correlação Tabela 28 Número par ordenado Variável independente preço Variável dependente unidades vendidas Variável independente ao quadrado Variável dependente ao quadrado Multiplicação das duas variáveis n xi yi xi 2 yi 2 xiyi 1 163 250 26569 62500 40750 2 159 275 25281 75625 43725 3 175 300 30625 90000 52500 4 180 225 32400 50625 40500 5 165 247 27225 61009 40755 Somatórios 842 1297 142100 339759 218230 Da tabela tiramos as informações necessárias para o cálculo do coeficiente n 5 Σxi 842 Σyi 1297 Σxi 2 142100 Σyi 2339759 e Σxiyi 218230 i i i i 2 2 2 2 i i i i n x y x y r n x x n y y 2 2 5218230 842 1297 r 5142100 842 5339759 1297 104 Unidade III 1091150 1092074 r 710500 708964 1698795 1682209 924 r 1 536 16586 924 924 r r 0183 5047 25476096 Cálculo da função linear de regressão Cálculo da média e do desvio padrão da variável x Tabela 29 n xi di 2 1 163 2916 2 159 8836 3 175 4356 4 180 13456 5 165 1156 Somatórios 842 30720 2 i i x x x 842 30720 x 1684 e S 88 n 5 n 1 5 1 Cálculo da média e do desvio padrão da variável y Tabela 30 n yi di 2 1 250 8836 2 275 24336 3 300 164836 4 225 118336 5 247 15376 Somatórios 1297 331720 2 i i y y y 1297 331720 y 2594 e S 288 n 5 n 1 5 1 105 ESTATÍSTICA APLICADA Cálculo do coeficiente Ky y y y x S 288 K r K 0183 06 S 88 Definição da equação da reta procurada y y y K x y K x y 06x 2594 06 1684 y 06x 3604 Assim sendo para os preços fixados teríamos os correspondentes valores Preço de 20000 y 06x 3604 y 06 200 3604 volume 240 unidades Preço de 15000 y 06x 3604 y 06 150 3604 volume 270 unidades Graficamente 310 300 290 280 270 260 250 240 230 220 140 150 160 170 180 190 200 210 Figura 25 106 Unidade III Resumo Nessa unidade vimos que por diversas vezes em nossa vida pessoal ou profissional somos levados a acreditar em relações entre causa e efeito que são no mínimo estranhas Grande parte das correlações simplesmente não procede não tem sentido Outras analogias até têm alguma procedência mas são tão remotas e fracas que não mereceriam maior consideração no nosso processo cognitivo Calcular objetivamente se existe uma relação de causa e efeito entre duas variáveis e qual é a força dessa relação pode ser vital para o processo decisório Por outro lado considerando que exista correspondência entre duas variáveis pode ser muito interessante saber qual o valor que uma delas assumiria caso a outra apresentasse determinado valor não estabelecido pelos métodos empíricos por exemplo conhecendo empiricamente quanto vendemos de um dado produto quando praticamos determinado preço ou desejar saber qual seriam as vendas se o preço fosse aumentado em vamos supor 30 Funções de regressão linear podem nos fornecer essas informações se nós soubermos trabalhar com elas Exercícios Questão 1 A tabela a seguir mostra a variação mensal do nível de preços no Brasil em 2016 Calcule a variação percentual acumulada em doze meses usando o número índice Obs adote dezembro de 2015 como base 100 Tabela 31 Mês Jan Fev Mar Abr Mai Jun Jul Ago Set Out Nov Dez Variação mensal 127 090 043 061 078 035 052 044 008 026 018 030 Em 2016 a variação do nível de preços foi de A 612 B 604 C 595 107 ESTATÍSTICA APLICADA D 629 E 450 Resposta correta alternativa D Análise das alternativas A Alternativa incorreta Justificativa a variação de 612 é aquela obtida pela somatória de percentuais da tabela erro grave para verificar variação percentual anual B Alternativa incorreta Justificativa para variação igual a 604 seria necessário suprimir a variação de preços do mês de setembro 008 C Alternativa incorreta Justificativa para esta variação o cálculo deveria levar em conta uma inflação de 012 no mês de agosto D Alternativa correta Justificativa usando o número 100 como base temos 100100127 10127 1012710009 102181059710003 10629 10629100 629 ou 629 E Alternativa incorreta Justificativa nem de forma intuitiva daria para chegar neste resultado 45 tratase do centro da meta de inflação no Brasil em 2019 por exemplo Questão 2 Em um determinado ano uma dada economia apresentou os seguintes dados diminuição de 3 1 e 05 nos gastos do governo volume de investimentos e número de empregados respectivamente A despeito dos dados citados no mesmo ano a referida economia apresentou crescimento de 10 no volume de vendas e crescimento nominal de 23 do produto interno bruto PIB com uma inflação anual associada de 09 Com relação aos dados anteriores é correto o que se afirma em I O crescimento do real do PIB pode ser feito deduzindo a variação de preços da variação nominal do produto ou seja o crescimento real neste ano foi de 14 108 Unidade III II O PIB do país cresceu apenas em função do aumento do volume de vendas III Somados PIB e volume de vendas trazem um resultado positivo da ordem de 78 IV Entendese por variação nominal aquela que não desconta os efeitos da variação de preços do período em análise Podese dizer que A Apenas a afirmativa I está correta B Apenas as afirmativas I e II estão corretas C Apenas as afirmativas II e III estão corretas D Apenas as afirmativas I e IV estão corretas E Todas as afirmativas estão incorretas Resolução desta questão na plataforma 109 REFERÊNCIAS Audiovisuais O HOMEM que mudou o jogo Dir Bennett Miller EUA Columbia Pictures 2011 133 minutos O JOGO da imitação Dir Morten Tyldum EUA Black Bear Pictures 2015 115 minutos UMA MENTE brilhante Dir Ron Howard EUA Universal Pictures 2001 135 minutos QUEBRANDO a banca Dir Robert Luketic EUA Columbia Pictures 2008 123 minutos Textuais ANDERSON D R SWEENEY D J WILLIAMS T A Estatística aplicada à administração e economia 2 ed São Paulo Thomson Learning 2007 BRUNI A L Estatística aplicada à gestão empresarial São Paulo Atlas 2007 BUSSAB W O MORETTIN P A Estatística básica 3 ed São Paulo Atual 1986 COSTA NETO P L O Estatística São Paulo Edgard Blücher 1979 COSTA NETO P L O CYMBALISTA M Probabilidades São Paulo Edgard Blücher 1974 DOWNING D CLARK J Estatística aplicada São Paulo Saraiva 1998 FONSECA J S MARTINS G A TOLEDO G L Estatística aplicada São Paulo Atlas 1995 GUERRA M GUERRA M J DONAIRE D Estatística aplicada São Paulo Ciência e Tecnologia 1991 INSTITUTO BRASILEIRO DE GEOGRAFIA E ESTATÍSTICA Pesquisa nacional por amostra de domicílios PNAD Disponível em httpsww2ibgegovbrhomeestatisticapesquisaspesquisaresultados phpidpesquisa40 Acesso em 13 jun 2019 JOHNSON R KUBY P Estat São Paulo Cengage Learning 2013 KAZMIER L J Estatística aplicada à economia e administração São Paulo Makron Books 1982 KUME H Métodos estatísticos para melhoria da qualidade São Paulo Gente 1993 LAPPONI J C Estatística usando Excel 4 ed Rio de Janeiro Elsevier 2005 MEYER P L Probabilidade aplicações à estatística Rio de Janeiro LTC 1976 110 MILONE G ANGELINI F Estatística aplicada São Paulo Atlas 1995 MOORE D A estatística básica e sua prática Rio de Janeiro LTC 2000 MOORE D et al A prática da estatística empresarial como usar dados para tomar decisões Rio de Janeiro LTC 2006 PODER 360 Publicações por Fernando Rodrigues online s d Disponível em httpswww poder360combrauthorfernandorodrigues Acesso em 13 jun 2019 SILVA E M et al Estatística para os cursos de economia administração e ciências contábeis 2 ed São Paulo Atlas 1997 v 1 e 2 Tabelas de estatística para os cursos de economia administração e ciências contábeis 2 ed São Paulo Atlas 1999 SPIEGEL M R Estatística São Paulo Makron Books 1993 STEVENSON W J Estatística aplicada à administração São Paulo Harbra 1981 TRIOLA M F Introdução à estatística Rio de Janeiro LTC 2005 WITTE R S WITTE J S Estatística 7 ed Rio de Janeiro LTC 2005 Sites httpsibgegovbr wwwtylervigencom 111 ANEXO Áreas sob a curva normal reduzida Valores da variável reduzida negativos Área entre 399 e z y z Z 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 39 00000 00000 00000 00000 00000 00000 00000 00000 00000 00000 38 00001 00001 00001 00001 00001 00001 00001 00001 00001 00001 37 00001 00001 00001 00001 00001 00001 00001 00001 00001 00001 36 00002 00002 00001 00001 00001 00001 00001 00001 00001 00001 35 00002 00002 00002 00002 00002 00002 00002 00002 00002 00002 34 00003 00003 00003 00003 00003 00003 00003 00003 00003 00002 33 00005 00005 00005 00004 00004 00004 00004 00004 00004 00003 32 00007 00007 00006 00006 00006 00006 00006 00005 00005 00005 31 00010 00009 00009 00009 00008 00008 00008 00008 00007 00007 30 00013 00013 00013 00012 00012 00011 00011 00011 00010 00010 29 00019 00018 00018 00017 00016 00016 00015 00015 00014 00014 28 00026 00025 00024 00023 00023 00022 00021 00021 00020 00019 27 00035 00034 00033 00032 00031 00030 00029 00028 00027 00026 26 00047 00045 00044 00043 00041 00040 00039 00038 00037 00036 25 00062 00060 00059 00057 00055 00054 00052 00051 00049 00048 24 00082 00080 00078 00075 00073 00071 00069 00068 00066 00064 23 00107 00104 00102 00099 00096 00094 00091 00089 00087 00084 22 00139 00136 00132 00129 00125 00122 00119 00116 00113 00110 21 00179 00174 00170 00166 00162 00158 00154 00150 00146 00143 20 00228 00222 00217 00212 00207 00202 00197 00192 00188 00183 19 00287 00281 00274 00268 00262 00256 00250 00244 00239 00233 18 00359 00351 00344 00336 00329 00322 00314 00307 00301 00294 17 00446 00436 00427 00418 00409 00401 00392 00384 00375 00367 16 00548 00537 00526 00516 00505 00495 00485 00475 00465 00455 15 00668 00655 00643 00630 00618 00606 00594 00582 00571 00559 14 00808 00793 00778 00764 00749 00735 00721 00708 00694 00681 13 00968 00951 00934 00918 00901 00885 00869 00853 00838 00823 12 01151 01131 01112 01093 01075 01056 01038 01020 01003 00985 11 01357 01335 01314 01292 01271 01251 01230 01210 01190 01170 10 01587 01562 01539 01515 01492 01469 01446 01423 01401 01379 09 01841 01814 01788 01762 01736 01711 01685 01660 01635 01611 08 02119 02090 02061 02033 02005 01977 01949 01922 01894 01867 07 02420 02389 02358 02327 02296 02266 02236 02206 02177 02148 06 02743 02709 02676 02643 02611 02578 02546 02514 02483 02451 05 03085 03050 03015 02981 02946 02912 02877 02843 02810 02776 04 03446 03409 03372 03336 03300 03264 03228 03192 03156 03121 03 03821 03783 03745 03707 03669 03632 03594 03557 03520 03483 02 04207 04168 04129 04090 04052 04013 03974 03936 03897 03859 01 04602 04562 04522 04483 04443 04404 04364 04325 04286 04247 00 05000 04960 04920 04880 04840 04801 04761 04721 04681 04641 112 Áreas sob a curva normal reduzida Valores da variável reduzida positivos Área entre z e 399 y z Z 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 00 05000 05040 05080 05120 05160 05199 05239 05279 05319 05359 01 05398 05438 05478 05517 05557 05596 05636 05675 05714 05753 02 05793 05832 05871 05910 05948 05987 06026 06064 06103 06141 03 06179 06217 06255 06293 06331 06368 06406 06443 06480 06517 04 06554 06591 06628 06664 06700 06736 06772 06808 06844 06879 05 06915 06950 06985 07019 07054 07088 07123 07157 07190 07224 06 07257 07291 07324 07357 07389 07422 07454 07486 07517 07549 07 07580 07611 07642 07673 07704 07734 07764 07794 07823 07852 08 07881 07910 07939 07967 07995 08023 08051 08078 08106 08133 09 08159 08186 08212 08238 08264 08289 08315 08340 08365 08389 10 08413 08438 08461 08485 08508 08531 08554 08577 08599 08621 11 08643 08665 08686 08708 08729 08749 08770 08790 08810 08830 12 08849 08869 08888 08907 08925 08944 08962 08980 08997 09015 13 09032 09049 09066 09082 09099 09115 09131 09147 09162 09177 14 09192 09207 09222 09236 09251 09265 09279 09292 09306 09319 15 09332 09345 09357 09370 09382 09394 09406 09418 09429 09441 16 09452 09463 09474 09484 09495 09505 09515 09525 09535 09545 17 09554 09564 09573 09582 09591 09599 09608 09616 09625 09633 18 09641 09649 09656 09664 09671 09678 09686 09693 09699 09706 19 09713 09719 09726 09732 09738 09744 09750 09756 09761 09767 20 09772 09778 09783 09788 09793 09798 09803 09808 09812 09817 21 09821 09826 09830 09834 09838 09842 09846 09850 09854 09857 22 09861 09864 09868 09871 09875 09878 09881 09884 09887 09890 23 09893 09896 09898 09901 09904 09906 09909 09911 09913 09916 24 09918 09920 09922 09925 09927 09929 09931 09932 09934 09936 25 09938 09940 09941 09943 09945 09946 09948 09949 09951 09952 26 09953 09955 09956 09957 09959 09960 09961 09962 09963 09964 27 09965 09966 09967 09968 09969 09970 09971 09972 09973 09974 28 09974 09975 09976 09977 09977 09978 09979 09979 09980 09981 29 09981 09982 09982 09983 09984 09984 09985 09985 09986 09986 30 09987 09987 09987 09988 09988 09989 09989 09989 09990 09990 31 09990 09991 09991 09991 09992 09992 09992 09992 09993 09993 32 09993 09993 09994 09994 09994 09994 09994 09995 09995 09995 33 09995 09995 09995 09996 09996 09996 09996 09996 09996 09997 34 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09997 09998 35 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998 09998 36 09998 09998 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 37 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 38 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 09999 39 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 10000 116 Informações wwwsepiunipbr ou 0800 010 9000