Analise e Processamento de Sinais - Engenharia e Tecnologia

KLS ANÁLISE E PROCESSAMENTO DE SINAIS Análise e Processamento de Sinais MarbleMesa 50 Minute PlantoftheMonth Grow a Stunning Indoor Jungle In 5 Easy steps 1 Invest in quality new pots 2 Refresh all potting soil RM 1550 3 Pick your favourites welldraining plants 4 Choose plants with varying growth habits 5 Uncover stunning foliage colours 3 Fantastic for trailing String of pearls 5 Easy low light plant Snake plant 2 Trending easy care fiddle leaf FIG 4 Hard to kill succulent Aloe vera Daniel Augusto Pagi Ferreira Análise e Processamento de Sinais 2018 por Editora e Distribuidora Educacional SA Todos os direitos reservados Nenhuma parte desta publicação poderá ser reproduzida ou transmitida de qualquer modo ou por qualquer outro meio eletrônico ou mecânico incluindo fotocópia gravação ou qualquer outro tipo de sistema de armazenamento e transmissão de informação sem prévia autorização por escrito da Editora e Distribuidora Educacional SA 2018 Editora e Distribuidora Educacional SA Avenida Paris 675 Parque Residencial João Piza CEP 86041100 Londrina PR email editoraeducacionalkrotoncombr Homepage httpwwwkrotoncombr Dados Internacionais de Catalogação na Publicação CIP Ferreira Daniel Augusto Pagi ISBN 9788552206613 1 Engenharia 2 Tecnologia I Ferreira Daniel Augusto Pagi II Título CDD 620 F383a Análise e processamento de sinais Daniel Augusto Pagi Ferreira Londrina Editora e Distribuidora Educacional SA 2018 192 p Presidente Rodrigo Galindo VicePresidente Acadêmico de Graduação e de Educação Básica Mário Ghio Júnior Conselho Acadêmico Ana Lucia Jankovic Barduchi Camila Cardoso Rotella Danielly Nunes Andrade Noé Grasiele Aparecida Lourenço Isabel Cristina Chagas Barbin Lidiane Cristina Vivaldini Olo Thatiane Cristina dos Santos de Carvalho Ribeiro Revisão Técnica Claudio Ferreira Dias Hugo Tanzarella Teixeira Editorial Camila Cardoso Rotella Diretora Lidiane Cristina Vivaldini Olo Gerente Elmir Carvalho da Silva Coordenador Letícia Bento Pieroni Coordenadora Renata Jéssica Galdino Coordenadora Thamiris Mantovani CRB89491 Fundamentos da análise de sinais 7 Introdução aos sinais e sistemas 9 Representação e propriedades básicas de sinais e sistemas 22 Sistemas lineares invariantes no tempo SLIT 35 Sumário Unidade 1 Seção 11 Seção 12 Seção 13 Análise de Fourier 50 Representação em série de Fourier em tempo contínuo 51 Transformada de Fourier em tempo contínuo 64 Série de Fourier e Transformada de Fourier em tempo discreto para análise de sinais 77 Unidade 2 Seção 21 Seção 22 Seção 23 Princípios de filtragem analógica e digital 89 Filtros analógicos 91 Transformada Z 106 Introdução aos filtros digitais 121 Unidade 3 Seção 31 Seção 32 Seção 33 Unidade 4 Introdução ao processamento digital de sinais 141 Amostragem 142 O algoritmo FastFourier Transform FFT 155 Introdução aos sistemas de aquisição de dados 169 Seção 41 Seção 42 Seção 43 Pro Gift Galore Treat yourself or give a gift that will bring joy all year Gift Subscriptions For gifts that keep on giving get your loved ones a gift subscription for 3 6 or 12 months of new plants and pots Or shop a carefully curated selection of selfcare and lifestyle products at MarbleMesacom Jared Salad Bowl An artfully designed salad bowl with perfect proportions that elevate your next gathering Archetype Diffuser Carefully crafted with earth tones Its innovative nebulizing technology delivers a deeply aromatic natural mist for a long lasting fragrance Luxe Woman Essential Oil We love this skin nourishing blend of organic neroli cedarwood and rose essential oils for its grounding qualities 99 oz Room Linen Spray Lightweight and bright this handpoured botanical wellness mist can lift your spirits no matter the season Goat Milk Bath Soak This natural soak contains certified organic goat milk oats rose and a sparkle of natural sea salt Marble Mesas products are made with love in Salt Lake City Utah MarbleMesacom Seja bemvindo Aqui você terá a oportunidade de aprender sobre uma das áreas mais fascinantes e importantes da engenharia com grande influência sobre nosso mundo atual e presente em celulares tablets e demais equipamentos eletrônicos que usamos diariamente Exemplos de aplicações de análise e processamento de sinais são vastos e vão desde o reconhecimento de voz ou de imagens à identificação de padrões em sinais de áudio ou sensores decomposição de informações em parcelas de maior e menor importância etc Na Unidade 1 estudaremos os principais conceitos relacionados a sinais e sistemas bem como suas características classificações e operações básicas Assim teremos conteúdo para identificar corretamente sinais e sistemas do mundo real para serem usados em projetos Na Unidade 2 estudaremos a análise de Fourier provavelmente o assunto mais importante deste livro Aqui nós conheceremos como representar sinais periódicos e aperiódicos pelas suas componentes de frequência A análise de Fourier pode ser usada para identificar por exemplo a frequência fundamental de sinais analisar circuitos elétricos verificar as componentes mais importantes de um sinal etc A Unidade 3 apresentará uma introdução à filtragem de sinais tanto analógica quanto digital Nós vamos aprender métodos de projetos de filtros analógicos usando componentes passivos e ativos além de convertêlos em filtros digitais usando uma nova ferramenta a Transformada Z Por fim a Unidade 4 contém uma introdução ao processamento digital de sinais por meio do estudo do teorema da amostragem o algoritmo da transformada rápida de Fourier FFT do inglês Fast Fourier Transform e sistemas de aquisição de dados para este contexto Este livro é a base de estudo desta disciplina e o acompanhará durante todo o curso Mesmo assim não deixe de consultar os livros clássicos sobre o tema bem como os materiais listados nas referências bibliográficas O estudo contínuo deverá ser uma rotina para que você consiga aproveitar o curso ao máximo Portanto estude regularmente e faça todas as atividades propostas nas etapas de préaula e pósaula além daquelas solicitadas pelo seu professor Palavras do autor Create a Space You Love Simple home solutions to impress without stress Hundreds of items to fill every room indoors and out and everything in between Home Garden Decor Lighting Rugs Art Kitchen Dining Plants Pots Bath Body Entertaining Furnishings More Its better when its from the heart Shop local art and gifts at MarbleMesacom Or visit us in our beautiful downtown Salt Lake City studio 3854167518 MarbleMesacom marblemesa Marble Mesa Life is better together Plant subscription from Marble Mesa When life gets busy or you just cant decide which plants to buy MarbleMesacom is here with lifesaving plant subscriptions and plenty of fresh new ways to decorate at home With Marble Mesa you can create your indoor jungle no sweat Fundamentos da análise de sinais Convite ao estudo Caro aluno nesta unidade nós começaremos nossos estudos com os fundamentos da análise de sinais Esta unidade é a base para o estudo que desenvolveremos ao longo do livro e portanto de extrema importância Você pode não perceber ainda mas você está imerso em um mundo moldado por uma infinidade de sinais e de sistemas desde dispositivos eletrônicos comuns até satélites de comunicação Podemos avaliar os mais diversos tipos de sinais aqueles produzidos por sensores até respostas de filtros em condicionadores de sinais Para isso é necessários termos um embasamento matemático adequado além de conhecimentos em circuitos elétricos e eletrônicos de forma a usálos em nossos projetos Na primeira seção nós estudaremos as classificações e definições básicas de sinais Na segunda seção nós vamos aprender algumas funções e operações básicas de sinais além de classificações de sistemas Por fim na terceira seção nós aprenderemos a calcular a resposta de sistemas lineares usando alguns métodos como a integral de convolução Ao fim desta unidade você será capaz portanto de avaliar completamente o comportamento de sinais e sistemas e estará apto a usar este conhecimento em projetos futuros Imagine agora que você é um engenheiro que trabalha em um laboratório de pesquisa e desenvolvimento No seu último projeto você e sua equipe começaram a avaliar o comportamento de um novo sensor capacitivo que possui potencial de aplicação para sensores de pressão industriais Um modelo matemático foi criado para avaliar o comportamento deste sensor que corresponde a um circuito RC série Para fazer Unidade 1 a aquisição do sinal produzido pelo sensor é necessário que você o conheça um pouco melhor Assim como você poderia classificar este sinal Para responder a esta e outras perguntas fique atento aos conceitos que trabalharemos nesta seção Bons estudos U1 Fundamentos da análise de sinais 9 Introdução aos sinais e sistemas O estudo de sinais e sistemas está presente em praticamente todas as áreas da engenharia e estendese inclusive à medicina Praticamente todos os equipamentos modernos que conhecemos realizam alguma etapa de processamento de sinais Para podermos desenvolver novas técnicas e equipamentos é necessário conhecer os conceitos básicos de sinais a fundo Retomando o nosso contexto você é um engenheiro de um laboratório de pesquisa e desenvolvimento e foi designado para avaliar o comportamento de um sensor capacitivo que pode ser modelado por um circuito RC série Para fazer a aquisição do sinal produzido pelo sensor é necessário que você o conheça um pouco melhor Assim como você poderia classificar este sinal Bons estudos Sinais podem ser classificados como fenômenos físicos que carregam informação Assim uma simples função senoidal pode ser considerada como um sinal uma vez que ela nos traz informações como valores máximo e mínimo período frequência defasagem etc Além disso sabemos que a função senoidal pode ser descrita matematicamente de acordo com 2 sen 2 RMS x t X pft j 11 em que XRMS é o valor RMS do sinal f é a frequência em Hz e j é a fase Assim se tomarmos como exemplo a tensão elétrica disponível nas tomadas de uma residência seria possível medir um sinal senoidal com tensão e frequências específicas 127 VRMS e 60 Hz respectivamente e equacionálo como 127 2 sen 377 V v t t Este sinal está apresentado na Figura 11 Seção 11 Diálogo aberto Não pode faltar U1 Fundamentos da análise de sinais 10 Fonte elaborada pelo autor Figura 11 Sinal senoidal de tensão de uma residência Sistemas realizam alterações em sinais isto é processam um sinal de entrada e causam uma transformação neste produzindo um sinal de saída Um sistema amplificador de tensão com ganho 10 por exemplo produzirá um sinal de tensão de saída cuja amplitude é 10 vezes a amplitude do sinal de tensão de entrada O sinal de tensão que você mediu é um sinal contínuo no tempo uma vez que ele pode assumir valores em uma quantidade infinita de instantes de tempo Já o sinal apresentado na Figura 12a é classificado como sinal discreto no tempo uma vez que ele pode assumir valores apenas em uma quantidade finita de instantes de tempo LATHI 2008 Para construir um sinal discreto no tempo a partir de um sinal contínuo no tempo é necessário obter amostras em instantes discretos no tempo igualmente espaçadas O intervalo entre as amostras é conhecido como período de amostragem s T e será um importante parâmetro que deveremos considerar em nossos projetos Outro exemplo de sinal discreto no tempo é o perfil de demanda de energia elétrica de uma instalação Figura 12b No caso apresentado os valores de demanda são apresentados para instantes de tempo discretos meses do ano U1 Fundamentos da análise de sinais 11 Fonte elaborada pelo autor Figura 12 a Sinal senoidal discreto no tempo A linha pontilhada indica o sinal original contínuo no tempo b Perfil de demanda de energia elétrica de uma instalação a b Os sinais podem ser classificados em diversas categorias tais como analógicos digitais periódicos aperiódicos entre outros Vamos ver agora quais são os critérios de classificação de sinais Quando um sinal pode assumir qualquer valor de amplitude em uma faixa contínua ele será classificado como analógico Caso contrário isto é se um sinal puder assumir uma quantidade finita de valores ele será classificado como digital Sinais digitais usados em sistemas computacionais podem assumir apenas dois valores possuindo representação binária É importante destacar aqui que sinais analógicos e digitais são comumente confundidos com sinais contínuos e discretos no tempo respectivamente O leitor atento notará que as definições apresentadas para sinais de tempo contínuo e discreto limitamse apenas a apresentar as características destes sinais em relação ao tempo eixo horizontal enquanto que as definições de analógico e digital preocuparamse apenas com a amplitude dos sinais eixo vertical Assim nem todo sinal analógico é contínuo no tempo e nem todo sinal digital é discreto no tempo LATHI 2008 A Figura 13 apresenta alguns exemplos de sinais para esclarecermos essas diferenças U1 Fundamentos da análise de sinais 12 Fonte adaptada de Lathi 2008 p 88 Figura 13 Exemplos de sinais a analógico e contínuo no tempo b digital e contínuo no tempo c analógico e discreto no tempo e d digital e discreto no tempo a c b d Sinais que se repetem no tempo são classificados como periódicos enquanto que aqueles que não se repetem são aperiódicos ou não periódicos Esta definição é válida tanto para sinais de tempo contínuo quanto tempo discreto Matematicamente um sinal será periódico se satisfizer a seguinte condição 0 x t x t T ou 0 x n x n N 12 em que 0 T e 0 N são os períodos fundamentais dos sinais em tempo contínuo e discreto respectivamente A operação 0 x t T indica deslocamento do sinal de 0 T instantes de tempo O sinal de tensão da sua residência Figura 11 apresenta período fundamental de aproximadamente 0 0 1 1 60 T f 0 1667 T ms No tempo discreto o período fundamental é medido em amostras Por exemplo o sinal apresentado na Figura 14 possui período fundamental de 5 amostras U1 Fundamentos da análise de sinais 13 Fonte elaborada pelo autor Figura 14 Sequência discreta no tempo com período fundamental de 5 amostras Considere dois sinais periódicos com períodos fundamentais 01 T e 02 T Se a razão 01 02 T T for racional então a soma dos dois sinais produz um terceiro também periódico cujo período é determinado pelo Mínimo Múltiplo Comum MMC entre 02 T e 02 T Se a razão 01 02 T T for irracional o sinal de soma é aperiódico ROBERTS 2009 O mesmo critério pode ser apresentado para sinais periódicos discretos no tempo Exemplificando Verifique se a soma entre os sinais y t sen t y t sen t 1 1 2 2 5 2 3 2 2 6 e π θ π θ corresponde a de um sinal periódico Como nós conhecemos a forma geral de uma função senoidal V t Asen t onde f t e ângulo de fase 1 1 1 2 ω θ ω π θ onde consideraremos q 0 o determinamos as frequências fundamentais de y Hz e y Hz 1 2 3 6 visto na Figura 15 Dedução das Frequências y e y 1 2 Conforme pode ser deduzido da figura 15 a função y1 apresenta um período T s e f T f Hz 1 1 0 333 1 10 333 3 e T s e f T f Hz 2 1 0 166 1 10 166 6 Todos os sinais são apresentados na Figura 15 U1 Fundamentos da análise de sinais 14 Os sinais então ficam assim y t sen t y t sen t 1 2 5 6 2 12 e p p y t sen t y t sen t A A A A 1 2 1 2 1 2 5 6 2 12 2 sen π π θ1 2 2 2 2 1 2 2 2 2 5 2 5 2 2 5 2 5 2 0 2 θ θ θ sen sen A A A A 5 0 2 29 5 38 2 2 Portanto y t y t sen t 1 2 5 38 6 p No gráfico podemos verificar que o sinal tem seu período repetido a cada 0333s De outra forma se fizermos os pontos 0499s 0166s um ciclo completo teremos o período de 0333s e f3Hz correspondendo a um sinal periódico Fonte Castilhos 2020 Figura 15 Soma entre sinais periódicos U1 Fundamentos da análise de sinais 15 Para saber um pouco mais sobre funções periódicas leia as Seções 28 e 36 do livro Fundamentos de Sinais e Sistemas de Michael J Roberts disponível na nossa biblioteca virtual em httpsbiblioteca virtualcomdetalhesparceiros5 Acesso em 29 ago 2017 Uma importante característica de sinais é se estes possuem simetria em relação à reflexão no tempo Figura 16 Um sinal tanto em tempo contínuo quanto discreto será considerado par se ele for idêntico ao seu equivalente espelhado no tempo OPPENHEIM WILLSKY 2010 Caso o equivalente espelhado seja o inverso do sinal original este sinal será classificado como ímpar Fonte adaptada de Roberts 2009 p 49 Figura 16 Exemplos de funções pares e ímpares Função par Função par Função ímpar Função ímpar Qualquer sinal pode ser escrito como uma soma de suas parcelas pares e ímpares par ímpar x t x t x t ou então podemos equacionar essas parcelas como segue 2 par x t x t x t e 2 ímpar x t x t x t 13 Sinais ainda podem ser classificados a partir do cálculo da sua potência eou da energia de acordo com as equações apresentadas no Quadro 11 Se um sinal possuir um valor finito de energia ele será classificado como sinal de energia Caso a potência do sinal seja finita o sinal será classificado como de potência Sinais periódicos costumam possuir potência enquanto que os aperiódicos costumam possuir energia Pesquise mais U1 Fundamentos da análise de sinais 16 Fonte elaborada pelo autor Figura 17 Sinal de corrente em um indutor Fonte elaborado pelo autor Quadro 11 Equações para cálculo de energia e potência de sinais Tempo contínuo Tempo discreto Energia 2 Ex x t dt ò 14 2 x n E x n å 15 Potência 2 lim 1 x T T P x t dt T ò 16 2 1 lim 2 N x N n N P x n N å 14 É muito importante observar as dimensões corretas dos sinais Apesar de utilizarmos o termo energia frequentemente este pode não estar em seu sentido convencional Isso fica claro quando avaliamos as suas unidades a partir das equações apresentadas no Quadro 11 Se considerarmos que x t é um sinal de tensão as unidades de energia e potência serão 2 V s e 2 V respectivamente em vez de Joule J e Watts W Assim não podemos considerar a energiapotência de um sinal como a energiapotência disponível para ser usada em um sistema físico Podemos usar a energia por exemplo para avaliar se a aproximação entre dois sinais foi feita de maneira adequada Podemos usar a potência por exemplo para indicar a qualidade de um sinal recebido após ser transmitido em um sistema de comunicações juntamente com ruído indesejável Para isso usamos a relação sinal ruído SNR signaltonoise ratio em inglês que nada mais é do que a razão entre as potências do sinal desejado e do ruído LATHI 2008 Vamos calcular a energia de um sinal de corrente em um indutor dado por 5 2 t A y t e e representado na Figura 17 Exemplificando U1 Fundamentos da análise de sinais 17 Para calcular a energia deste sinal basta aplicar a Equação 14 substituindo os limites de integração e a função 2 2 5 10 0 0 2 4 t t y y y E y t dt E e dt E e dt ò ò ò 10 2 0 4 4 0 1 04 A s 10 10 t y y y E e E E Qual é a relação entre sinais periódicos e aperiódicos e sinais de potência ou de energia Por fim sinais podem ser também classificados entre determinísticos e aleatórios O primeiro deles representa os casos nos quais a descrição física do sinal gráfica ou matematicamente é totalmente conhecida enquanto no segundo os sinais são representados em termos de distribuição de probabilidade LATHI 2008 A análise e processamento de sinais é multidisciplinar e conecta a engenharia com outras áreas do conhecimento como a medicina Diversos equipamentos médicos só existem graças ao processamento de sinais como o aparelho de eletrocardiograma ECG A Figura 18 indica os parâmetros de interesse de um sinal de ECG que devem ser avaliados por profissional capacitado para verificar a ocorrência de cardiopatias Fonte adaptada de Gonzalez Geovanini e Timerman 2014 p16 Figura 18 Exemplo de sinal de ECG Reflita U1 Fundamentos da análise de sinais 18 Fonte elaborada pelo autor Figura 19 Sinais de excitação e de resposta do sensor capacitivo Sinais são de fenômenos físicos que transportam informações que deverão ser interpretadas por sistemas eou usuários Sistemas causam mudanças nos sinais A avaliação de sinais e de sistemas está presente em praticamente em todos os campos da engenharia e faz parte do nosso dia a dia Retomando o nosso contexto você é um engenheiro que trabalha em um laboratório de pesquisa e desenvolvimento que juntamente com sua equipe foi designado para avaliar o comportamento de um novo sensor capacitivo com grande potencial de aplicação em sensores de pressão industriais Você avaliou que este sensor pode ser modelado por um circuito RC série e agora precisa conhecer melhor as características do sinal de saída produzido para posteriormente fazer a sua aquisição Assim como você poderia classificar esse sinal Uma vez que o seu sensor capacitivo pode ser modelado por um circuito RC você chaveou uma tensão de 5 V por meio segundo para verificar se a tensão no sensor seguiria a curva de carregamento de um capacitor Na etapa de modelagem você verificou que o circuito equivalente do sensor é composto por uma resistência de 470Ω e uma capacitância de 100µF Os sinais de excitação e de resposta do sensor estão apresentados na Figura 19 Assimile Sem medo de errar U1 Fundamentos da análise de sinais 19 Avaliando o sinal de tensão do sensor capacitivo você consegue classificálo como aperiódico par analógico e contínuo no tempo Para verificar se este sinal é de energia ou potência é necessário aplicar as definições apresentadas no Quadro 11 Considerando que a resposta de um circuito RC é 5 1 t RC vc t e æ ö ç ç ç çè ø durante o período em que a fonte permanece ativa 3 3 3 2 2 1 1 2 47 10 47 10 47 10 05 05 5 1 25 1 2 t t t y y y E y t dt E e dt E e e dt æ ö æ ö ç ç ç ç ç ç ç ç è ø è ø ò ò ò Resolvendo as integrais temos 3 3 3 2 1 3 1 1 47 10 47 10 05 05 05 47 10 25 94 10 2 t t Ey t e e é ù ê ú ê ú ê ú ë û 2 125 V s Ey Este sinal é portanto de energia Energia de sinal de discreto tempo Descrição da situaçãoproblema Em aplicações reais nós trabalharemos na grande maioria com sinais discretizados no tempo isto é sinais de tempo discretos obtidos a partir da amostragem de sinais de tempo contínuo Um exemplo disso é o sinal apresentado na Figura 110 o qual foi obtido por um sistema de aquisição de dados que faz leitura de um sensor capacitivo após remover o sinal de excitação Você possui acesso apenas a algumas amostras do sinal original Qual é a energia este sinal Fonte elaborada pelo autor Figura 110 Sinal de saída do sensor após remover o sinal de excitação Avançando na prática U1 Fundamentos da análise de sinais 20 Resolução da situaçãoproblema Os valores medidos pelo sistema de aquisição de dados estão apresentados na Tabela 11 Pela definição de energia em tempo discreto Equação 15 conhecendo a sequência em tempo discreto basta fazer o somatório do quadrado dos seus valores Assim a energia deste sinal é 6328 V2 y E Fonte elaborada pelo autor Tabela 11 Valores amostrados do sinal original n y n 2 y n 0 1 1 1 2000 4000 2 1213 1472 3 0736 0541 4 0446 0199 5 0271 0073 6 0164 0027 7 0100 0010 8 0060 0004 9 0037 0001 10 0022 0000 1 Sinais que se repetem no tempo são classificados como periódicos enquanto aqueles que não se repetem são aperiódicos ou não periódicos Esta definição é válida tanto para sinais de tempo contínuo quanto tempo discreto A soma de dois sinais periódicos não necessariamente produz um sinal periódico Considere dois sinais senoidais 1 10sen20 y t pt e 2 7sen10 y t pt A soma desses sinais produz um sinal periódico Assinale a alternativa correta a Sim produz um sinal periódico com 5 Hz de frequência fundamental b Sim produz um sinal periódico com 10 Hz de frequência fundamental c Sim produz um sinal periódico com 20 Hz de frequência fundamental d Sim produz um sinal periódico com 50 Hz de frequência fundamental e Não o sinal produzido é aperiódico Faça valer a pena U1 Fundamentos da análise de sinais 21 2 Sinais recebem diversas classificações que são úteis para descrever suas características básicas Dentre as classificações mais comuns estão sinais de tempo contínuo e de tempo discreto periódicos e aperiódicos analógicos e digitais e pares e ímpares Considere os quatro sinais apresentados na Figura 111 Avalie as afirmações abaixo e assinale a alternativa que apresenta as afirmações corretas I O sinal I é periódico e par II O sinal II é periódico e ímpar III O sinal III é analógico e de tempo contínuo IV O sinal IV é discreto e não periódico a I II e IV b I e II c III e IV d I II III e IV e I II e III Fonte elaborada pelo autor Figura 111 Sinais de interesse Sinal I Sinal III Sinal II Sinal IV U1 Fundamentos da análise de sinais 22 3 Sinais ainda podem ser classificados a partir do cálculo da sua potência eou da energia Se um sinal possuir um valor finito de energia ele será classificado como sinal de energia Caso a potência do sinal seja finita o sinal será classificado como de potência Determine se o sinal de tensão apresentado na Figura 112 e equacionado como 10cos4 v t pt é um sinal de potência ou de energia a Sinal de potência e 10 V2 v P b Sinal de energia e 2 50 V s v E c Sinal de potência e 50 V2 v P d Sinal de potência e 100 V2 v P e Sinal de energia e 2 10 V s v E Fonte elaborada pelo autor Figura 112 Sinal de tensão U1 Fundamentos da análise de sinais 23 Representação e propriedades básicas de sinais e sistemas Caro aluno nesta seção nós continuaremos nossos estudos de análise e processamento de sinais Nós já conhecemos as classificações e definições básicas de sinais Vamos agora conhecer algumas funções básicas de sinais de tempo contínuo e discreto além de operações e manipulações que podemos fazer Logo depois vamos estudar sistemas de tempo contínuo e discreto e suas classificações Relembrando o nosso contexto você é um engenheiro de um laboratório de pesquisa e desenvolvimento que foi designado para avaliar o comportamento de um sensor capacitivo o qual pode ser modelado por um circuito RC série Você já mediu a tensão de saída desse sensor usando um osciloscópio e já fez a classificação desse sinal Considere agora o sensor como um sistema Como você poderia classificálo Para responder a esta e outras perguntas fique atento aos conceitos que trabalharemos nesta seção Bons estudos Para avaliar corretamente sinais e sistemas tanto em tempo contínuo quanto discreto é preciso conhecer alguns sinais básicos que aparecem frequentemente em aplicações reais O primeiro que vamos avaliar é o degrau unitário apresentado nas Figuras 113a e b para tempo contínuo e discreto respectivamente Este sinal é equacionado como segue 1 0 0 0 t u t t ì ³ ïï íï ïî 18 1 0 0 0 n u n n ì ³ ïï íï ïî 19 Seção 12 Diálogo aberto Não pode faltar U1 Fundamentos da análise de sinais 24 0 0 0 t t t d ì ¹ ïï íï ïî 110 0 0 1 0 n n n d ì ¹ ïï íï ïî 111 Fonte a adaptada de Hsu 2010 p 6 e b adaptada de Hsu 2010 p 12 Fonte elaborada pelo autor Figura 113 a Função degrau unitário e b sequência degrau unitário Figura 114 a Sinais 2sen20 x t pt u t e b 2sen20 x n pn u n a a b b O degrau unitário é usado para determinar que a análise do sinal eou sistema começará apenas após t 0 Considere como exemplo um sinal 2sen20 x t pt u t apresentado na Figura 113 Avaliando a definição do degrau unitário fica evidente que 0 x t para t 0 e 2sen20 x t pt para t ³ 0 Figura 114a O mesmo pode ser entendido para o sinal de tempo discreto sequência 2 20 x n sen pn u n Figura 114b A função impulso unitário uma das mais importantes para processamento de sinais é um pulso de duração infinitamente curta com intensidade infinitamente elevada de forma que sua área seja unitária As definições do impulso para tempo contínuo e discreto são U1 Fundamentos da análise de sinais 25 A área unitária do impulso unitário é descrita matematicamente como 1 t dt d ò e 1 n n d å para tempo contínuo e discreto respectivamente Este sinal apresentado na Figura 115 não pode ser realizado na prática visto que sua amplitude é infinita sendo possível criar apenas uma aproximação Fonte a adaptada de Hsu 2010 p 7 e b adaptada de Hsu 2010 p 12 Figura 115 Impulso unitário de a tempo contínuo e b discreto a b Vamos avaliar o que acontece quando multiplicamos o impulso unitário por uma função x t contínua em t 0 Como a função impulso vale zero para t ¹ 0 temos que 0 x t t x t d d de forma que o resultado é um impulso multiplicado pelo valor da função x t em t 0 Este resultado é igualmente válido quando deslocamos o impulso de algum instante de tempo sendo que o resultado da multiplicação é o valor da função naquele instante de tempo isto é x t t dt x d t t ò Este último resultado é conhecido como propriedade da amostragem do impulso e será a base para fazermos amostragem de sinais de tempo contínuo O produto de um sinal pela função impulso unitário produz apenas um único ponto ou amostra como saída A função rampa unitária é definida como 0 r 0 0 t t t t ì ³ ïï íï ïî 112 0 r 0 0 n n n n ì ³ ïï íï ïî 113 Assimile U1 Fundamentos da análise de sinais 26 Fonte adaptada de Lathi 2006 p 97 Figura 116 Comportamentos possíveis para a exponencial complexa a ω 0 b σ 0 c σ 0 e d 0 σ a c b d É possível observar relações entre as funções apresentadas até o momento A função rampa unitária por exemplo pode ser obtida integrandose a função degrau unitário que por sua vez é obtida integrandose o impulso unitário As funções obtidas a partir de integrações e derivações do impulso unitário são conhecidas como funções de singularidade LATHI 2006 A função exponencial complexa também tem uso frequente e é definida como j t est e s w e j n esn e s w para tempo contínuo e discreto respectivamente Sabemos que s j s w é a frequência complexa que usamos na Transformada de Laplace A relação de Euler nos mostra que a exponencial complexa pode ser descrita como cos sen j t t e e t j t s w s w w Esta relação nos mostra que dependendo do valor de s a exponencial complexa pode assumir um dos comportamentos apresentados na Figura 116 U1 Fundamentos da análise de sinais 27 A exponencial complexa pode ser avaliada de maneira similar para tempo discreto isto é cos sen j e n n j n W W W em que a frequência discreta é o produto da frequência angular pelo período de amostragem W wTs e portanto medida em radianosamostra Determine o período fundamental do sinal de tempo discreto 6 3 j n x n e p e faça um código no Matlab para gerar o seu gráfico O período fundamental deste sinal é 6 radamostra W p O código usado para gerar o gráfico deste sinal apresentado na Figura 117 é n 1020 x3expipi6n pstemnxk setpLineWidth2 xlabeln ylabelAmplitude setgcafontsize20fontname arial Fonte elaborada pelo autor Figura 117 Gráfico do sinal 6 3 j n x n e p Para aprender mais sobre as funções básicas de sinais de tempo contínuo e discreto estude as Seções 23 e 33 do livro ROBERTS Michael J Fundamentos de sinais e sistemas Porto Alegre AMGH Editora 2009 Exemplificando Pesquise mais U1 Fundamentos da análise de sinais 28 Vamos calcular a soma e a multiplicação entre os dois sinais de tempo discreto 1 x n 2 1 1 0 3 1 10 e x n 01 0 1 3 2 1 1 em que as setas indicam o elemento para n 0 Solução a soma e a multiplicação deverão ser feitas entre elementos de mesmo índice n como segue 1 2 20 11 10 01 33 12 1101 x n x n 1 2 2 2 1 1 6 3 01 x n x n 1 2 2 0 1 1 1 0 0 1 3 3 1 2 1 11 0 x n x n 1 2 0 1 0 0 9 2 10 x n x n Agora que conhecemos melhor alguns sinais básicos de tempo contínuo e discreto podemos avançar e conhecer algumas operações úteis entre sinais As operações aritméticas básicas como soma e multiplicação devem ser feitas sempre considerando os valores das funções em instantes específicos Podemos manipular os sinais fazendo deslocamentos no tempo e redimensionamento de escalas O primeiro caso até já foi usado quando avaliamos a propriedade da amostragem da função impulso unitário Vamos considerar o sinal g t apresentado na Figura 118a para avaliar os deslocamentos Vamos supor que substituímos t por 1 t de forma que temos agora a função g t 1 Para avaliar o efeito dessa substituição vamos considerar alguns valores de t e calcular 1 t Quando 1 t temos que 1 1 1 0 1 g t g g isto é a valor da função g t 1 para 1 t é igual ao valor de 0 t para t 0 Avaliando a Figura 118b fica demonstrado que g t 1 é a função original deslocada de uma unidade de tempo para a direita Consequentemente g t 1 Figura 118c é a função original deslocada de uma unidade de tempo para a esquerda Fonte a e b adaptadas de Roberts 2010 p 37 e c elaborada pelo autor Figura 118 Sinais a g t b g t 1 e c 1 g t a b c Exemplificando U1 Fundamentos da análise de sinais 29 Podemos ampliar ou reduzir a amplitude de um sinal multiplicando o seu conteúdo por por exemplo uma constante Para comprimir ou expandir um sinal do tempo entretanto é necessário fazer uma operação com a variável tempo Vamos verificar isso com o mesmo sinal gt e as manipulações apresentadas na Figura 119 O sinal g t é o sinal original espelhado em relação ao eixo vertical enquanto o sinal g t é o sinal original espelhado em relação ao eixo horizontal Fonte a e c elaboradas pelo autor e b adaptada de Roberts 2010 p 37 Fonte adaptada de Hsu 2010 p 17 Figura 119 Sinais a gt b g t e c 2 g t Figura 120 Representação em diagrama de bloco de sistemas de tempo a contínuo e b discreto a b c Agora que conhecemos bem os sinais básicos que usaremos e suas manipulaçõesoperações vamos estudar os sistemas de tempo contínuo e tempo discreto além das suas propriedades básicas Vamos definir aqui sistemas da maneira mais direta possível como qualquer fenômeno que manipule um sinal de entrada e produza uma saída correspondente A representação em diagramas de blocos é bastante utilizada em processamento de sinais e em outras áreas como teoria de controle em que a saída de um sistema é resultado de uma transformação linear causada pelo sistema y n Tx n e y n Tx n Encontrar a relação entradasaída de um sistema é equacionálo de forma a representar o comportamento de um sistema e será fundamental para definir o sinal de saída dado um sinal de entrada Os sistemas apresentados nas Figuras 120a e b são de tempo contínuo e discreto respectivamente b a U1 Fundamentos da análise de sinais 30 Vamos ver agora outras classificações de sistemas Se os sinais de entrada e saída forem aleatórios o sistema será classificado como estocástico Caso os sinais de entrada e saída forem determinísticos que podem ser descritos matematicamente por uma equação o sistema será classificado como determinístico Se a saída de um sistema não depender de valores de tempo anteriores ao presente diremos que este não possui memória Este é o caso do resistor cuja tensão saída depende da corrente entrada no instante presente e da sua resistência de acordo com a Lei de Ohm vR t Ri t Já a tensão em um capacitor depende da corrente de acordo com 1 t vc t i d C t t ò isto é precisamos conhecer os valores de corrente para instantes de tempo anteriores ao presente indicando que este sistema possui memória Se a saída de um sistema depender do instante presente eou passados de tempo diremos que o sistema é causal como o caso do capacitor Caso a saída dependa de instantes de tempo futuros o sistema será classificado como não causal como por exemplo 5 y t x t Sistemas são classificados como lineares se pudermos verificar a propriedade da superposição por meio das propriedades da aditividade e da homogeneidade Caso contrário o sistema será não linear OPPENHEIM WILLSKY 2010 Sistemas serão classificados como invariantes no tempo quando o seu comportamento for fixo no tempo Em outras palavras se a entrada for atrasada de 0t segundos a saída também será atrasada de 0t segundos Caso contrário o sistema será classificado como variante no tempo Por fim se a resposta de um sistema tender ao infinito este será classificado como instável Caso contrário o sistema será estável Ademais quando uma entrada limitada produz uma saída limitada diremos que o sistema é externamente estável ou então estabilidade no sentido BIBO sigla em inglês para boundedinputboundedoutput U1 Fundamentos da análise de sinais 31 Avalie e classifique os sistemas cujas saídas são 2 y t x t e 2 g t x t Solução ambos os sistemas são determinísticos uma vez que podemos equacionálos matematicamente Por não depender de instantes de tempo anteriores ao presente ambos os sistemas não possuem memória e são causais Vamos agora avaliar se y t é linear verificando primeiro a propriedade da aditividade e em seguida a da homogeneidade Para isso vamos dividir a entrada em uma combinação linear 1 2 x t x t x t e calcular a saída como segue 1 2 1 2 2 2 2 2 y t x t x t x t y t x t x t Quando dividimos a entrada em duas parcelas a saída também fica dividida em duas parcelas na forma 1 2 y t y t y t o que prova a propriedade da aditividade Para verificar a propriedade da homogeneidade basta multiplicar a entrada por um escalar de forma a verificar que a saída também será multiplicada por este escalar isto é 2 y t x t y t a a Para verificar se y t é variante no tempo basta provocar um deslocamento no tempo para a entrada e observar se o mesmo ocorre na saída isto é 0 0 2 y t t x t t Portanto este sistema é invariante no tempo Vamos verificar agora a linearidade e a invariância no tempo de g t Seguindo os mesmos passos anteriores temos que 2 2 2 2 1 2 1 1 2 2 2 g t x t x t x t y t x t x t x t x t Uma vez que a saída não é apenas a soma dos quadrados das entradas este sistema é não linear Se provocarmos um deslocamento no tempo para o sinal de entrada temos que 2 0 0 x t t g t t o que prova que este sistema é invariante no tempo Por fim estes sistemas são BIBO estáveis as suas saídas permanecem limitadas quando os sinais de entrada forem limitados A maioria dos sistemas que avaliaremos nesta disciplina são lineares e invariantes no tempo e serão referenciados como SLIT sigla para Sistema Linear Invariante no Tempo a partir deste momento Exemplificando U1 Fundamentos da análise de sinais 32 Sistemas BIBO estáveis permanecerão estáveis independentemente do sinal de entrada Os sistemas que acabamos de avaliar continuariam classificados como BIBO estáveis se aplicássemos uma função rampa na entrada Retomando o nosso contexto você é um engenheiro que trabalha em um laboratório de pesquisa e desenvolvimento que juntamente com sua equipe foi designado para avaliar o comportamento de um novo sensor capacitivo com grande potencial de aplicação em sensores de pressão industriais Na etapa de modelagem você verificou que o circuito equivalente do sensor é composto por uma resistência de 470Ω e uma capacitância de 100µF A seguir você verificou e classificou o sinal de saída deste sensor quando aplicava uma tensão de 5 V Vamos considerar que a tensão do capacitor é o sinal de saída e a corrente é o sinal de entrada isto é 1 1 t t vc t i d y t x d C C t t t t ò ò Os limites de integração nos mostram que o sinal de saída depende da corrente em instantes de tempo anteriores até o presente de forma que este sistema possui memória Além disso como não depende de instantes futuros este sistema é causal Para avaliar a linearidade vamos supor que a entrada seja uma combinação linear na forma 1 1 2 2 x a x a x t t t de modo que a corrente será calculada de acordo com 1 1 2 2 1 t y t a x a x d C t t t ò 1 1 2 2 1 t t y t a x d a x d C t t t t æ ö ç ç ç ç è ø ò ò Assim 1 1 2 2 y t a y t a y t de forma que este sistema é linear Para verificar a invariância no tempo vamos deslocar a entrada de 0t segundos como segue 0 1 1 t t y t x d y t x t d C C t t t t ò ò Fazendo uma mudança de variáveis na integral temos que 0t l t e 1 d d d d l l t t de forma que a integral será 0 0 1 t t x d y t t C l l ò Portanto a saída ficou deslocada de 0t segundos da mesma forma Reflita Sem medo de errar U1 Fundamentos da análise de sinais 33 que a entrada indicando que este sistema é invariante no tempo Portanto este sensor capacitivo pode ser classificado como causal com memória linear e invariante no tempo O amplificador como um sistema Descrição da situaçãoproblema Sinais de sensores costumam ter amplitudes muito baixas para serem lidas diretamente por sistemas de aquisição de dados fazendose necessário amplificálos Você precisa fazer a leitura de um sensor de posicionamento usado em uma linha industrial que possui característica linear de funcionamento mas tensão máxima de 50 mV Qual amplificador você poderia usar neste caso Resolução da situaçãoproblema Você propôs usar um amplificador não inversor Figura 121 uma configuração comumente encontrada em condicionadores de sinais Para garantir que esta é uma opção viável entretanto você deve verificar se este circuito possui comportamento linear e invariante no tempo de maneira a não alterar as características do sinal original Fonte adaptada de Alexander e Sadiku 2013 p 176 Figura 121 Amplificador não inversor Sabemos que a tensão de saída é calculada a partir da tensão de entrada e da relação entre as resistências de acordo com 2 2 1 1 1 1 o i R R v t v t y t x t R R Para avaliar a linearidade vamos supor que a entrada seja uma combinação linear na forma 1 1 2 2 x t a x t a x t de maneira que a tensão de saída será calculada de acordo com Avançando na prática U1 Fundamentos da análise de sinais 34 2 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 1 1 1 1 R R R y t a x t a x t y t a x t a x t R R R æ ö æ ö æ ö ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç ç è ø è ø è ø Assim 1 1 2 2 y t a y t a y t de forma que este sistema é linear Para verificar se este sistema é invariante no tempo vamos deslocar o sinal de entrada de 0t segundos e verificar se a saída também ficará deslocada Assim fazendo 0 t t t temos que 2 0 0 1 1 R x t t y t t R æ ö ç ç ç çè ø de forma que este sistema é invariante no tempo 1 Para analisar sinais precisamos conhecer as funções básicas como o degrau unitário o impulso a rampa e a exponencial complexa além das operações de deslocamento e redimensionamento Podemos usar esses conhecimentos para representar matematicamente alguns sinais reais Avalie os quatro sinais apresentados na Figura 122 e relacione com as seguintes funções I 2 5 g t u t u t II 2 t j t g t e e p Fonte elaborada pelo autor Figura 122 Sinais a c b d III cos2 2 g t pt u t IV 3 g n u n Faça valer a pena U1 Fundamentos da análise de sinais 35 Escolha a alternativa que apresenta a associação correta entre as funções de I a IV e sinais de a a d a Ia IId IIIc e IVb b Ia IId IIIb e IVc c Ia IIc IIId e IVb d Ib IId IIIc e IVa e Ib IIc IIId e IVa 2 As operações aritméticas básicas entre sinais como soma e multiplicação devem ser feitas sempre considerando os valores das funções em instantes específicos Isso é válido tanto para sinais de tempo contínuo quanto de tempo discreto Determine a soma entre os dois sinais de tempo discreto 1 x n 3 2 1 0 1 2 3 e 2 x n 02 1 1 2 0 1 1 assinalando a alternativa correta a 1 2 321 1 3 2 4 1 x n x n b 1 2 321 1 3 2 4 1 x n x n c 1 2 321 1 3 2 4 1 x n x n d 1 2 321 1 3 2 4 1 x n x n e 1 2 300 1 3 2 4 1 x n x n 3 Vamos estipular aqui sistemas que podem ser definidos como qualquer fenômeno que manipule um sinal de entrada e produza uma saída correspondente Há diversas formas de classificar sistemas como determinísticos aleatórios se possui memória causalidade entre outros Considere que um indutor é um sistema cuja saída é a corrente e a entrada é a tensão em seus terminais Avalie e classifique esse sistema de acordo com memória causalidade linearidade e invariância no tempo assinalando a alternativa que apresenta a opção correta na ordem apresentada a Sem memória causal não linear e invariante no tempo b Com memória causal linear e invariante no tempo c Com memória não causal linear e invariante no tempo d Com memória causal linear e variante no tempo e Com memória não causal não linear e variante no tempo 3 0 0 0 3 2 4 1 1 4 2 3 1 0 0 3 0 U1 Fundamentos da análise de sinais 36 Sistemas lineares invariantes no tempo SLIT Caro aluno vamos encerrar nossa primeira unidade estudando as respostas de sistemas lineares invariantes no tempo SLIT no domínio do tempo contínuo e discreto Lembrese de que um sistema causa uma mudança em um sinal de entrada e produz um sinal de saída Relembrando o nosso contexto você é um engenheiro de um laboratório de pesquisa e desenvolvimento e foi designado para avaliar o comportamento de um sensor capacitivo que pode ser modelado por um circuito RC série Você já mediu a tensão de saída desse sensor usando um osciloscópio e já fez a classificação do sinal e do sistema Agora precisamos conhecer a saída desse sensor Como você pode determinála analiticamente Para responder a essa e outras perguntas fique atento aos conceitos que trabalharemos nesta seção Bons estudos Vimos na seção anterior as diversas classificações de sistemas de tempo contínuo e discreto dentre as quais daremos destaque para duas linearidade e invariância no tempo Ademais vimos que quando um determinado sistema possuir estas propriedades nós o chamamos de sistema linear invariante no tempo SLIT Este tipo de sistema possui grande aplicabilidade prática e é bastante frequente de forma que é nosso objeto de estudo para encerrarmos a primeira unidade desta disciplina A análise que faremos agora de SLIT será focada em conhecer um conjunto de ferramentas matemáticas passíveis de uso começando com um método para determinar os sinais de saída Podemos usar a função impulso unitário para representar qualquer sinal de tempo discreto x n considerando este como uma sequência de impulsos individuais da seguinte forma k x n x k n k d å 114 Seção 13 Diálogo aberto Não pode faltar U1 Fundamentos da análise de sinais 37 Por exemplo a função degrau unitário pode ser escrita como 0 k u n n k d å A Equação 114 é conhecida como propriedade seletiva do impulso unitário visto que apenas o valor de x k quando k n é extraído OPPENHEIM WILLSKY 2010 Este resultado é importante pois nos mostra que o sinal original pode ser representado por combinações lineares de impulsos unitários Assim a partir da propriedade da superposição a resposta y n de um sistema linear para uma entrada x n é uma combinação linear de cada k y n x k h n k å 115 Em que h n k representa a resposta ao impulso do sistema Este resultado é conhecido como soma de convolução e pode ser representado simbolicamente por y n x n h n Se conhecermos a resposta ao impulso de um determinado sistema podemos calcular a saída produzida por qualquer sinal de entrada Vamos aplicar a convolução para calcular a saída de um SLIT considerando a entrada x n e a resposta ao impulso h n apresentadas na Figura 123 Fonte adaptada de Oppenheim e Willsky 2010 p 51 Figura 123 Solução aplicando a Equação 115 temos que a saída será 0 0 1 1 05 2 1 y n x h n x h n h n h n As parcelas do sinal de saída e a soma destas estão apresentadas na Figura 124a e b respectivamente Exemplificando U1 Fundamentos da análise de sinais 38 Fonte adaptada de Oppenheim e Willsky 2010 p 52 Fonte adaptada de Oppenheim e Willsky 2010 p 51 Figura 124 a Parcelas do sinal de saída e b sinal de saída completo Figura 125 Convolução em tempo discreto a sinal de entrada b resposta ao impulso deslocada e refletida no tempo e c sinal de saída a a c b b Graficamente a operação de convolução é uma maneira conveniente de sistematizar o cálculo da saída de um SLIT Analisando a Equação 115 temos que k é a variável independente de x k e h n k Este último por sua vez pode ser interpretado como uma versão deslocada e refletida no tempo de h k A saída do sistema será composta pelo produto da entrada pela resposta ao impulso deslocada ao longo do eixo do tempo A Figura 125a mostra o sinal de entrada x k e a Figura 125b mostra os deslocamentos da resposta ao impulso h n k ambos do exemplo anterior Devese fazer a multiplicação entre a entrada e h n k para cada um dos casos apresentados Por exemplo o sinal de saída em 1 n é dado por 1 1 0 0 1 1 05 1 2 1 25 y x k h k x h x h U1 Fundamentos da análise de sinais 39 Para SLITs de tempo contínuo a somatória tornase uma integral conhecida como integral de convolução y t x h t d t t t ò 116 Em que y t é o sinal de saída x t é o sinal de entrada e h t t é a resposta ao impulso deste SLIT deslocada e invertida no tempo A operação de convolução é representada por y t x t h t A integral de convolução pode ser calculada analítica ou graficamente de maneira análoga à somatória de convolução Vamos analisar a convolução entre dois sinais exponenciais de ambas as formas Calcule a convolução entre os sinais de tempo contínuo t x t e u t e 2 t h t e u t Solução começamos a resolver este problema fazendo o gráfico de x t e h t apresentados na Figura 126a e b respectivamente Logo depois precisamos mudar a variável independente para t e inverter a resposta ao impulso obtendo h t Figura 126c De posse desses sinais devemos deslocar h t por todo eixo do tempo e calcular a integral de convolução Equação 116 A área obtida do cruzamento das duas curvas será o valor do sinal de saída Assim avaliando a Figura 126e temos que a integral de convolução deverá ser feita a partir do instante de tempo t 0 em diante como segue 2 0 t t y t x h t d y t e e d t t t t t t ò ò 2 t t y t e e u t O sinal de saída y t está apresentado na Figura 126f Figura 126 a x t b h t c x t e h t d deslocamento da resposta ao impulso e área resultado do produto de ambas as curvas e f sinal de saída a b Exemplificando U1 Fundamentos da análise de sinais 40 c e d f Fonte a e b adaptadas de Lathi 2008 p 172 e c d e e f adaptadas de Lathi 2008 p 173 Um SLIT é totalmente caracterizado pela sua resposta ao impulso unitário Assim de posse da resposta ao impulso temos condições de determinar a saída para uma entrada arbitrária Veja exemplos gráficos de convolução para sistemas de tempo contínuo no link httpsyoutubeUxTW53cdJRg Acesso em 25 set 2017 Aprenda mais sobre a convolução estudando as Seções 21 e 22 do livro OPPENHEIM Alan V WILLSKY Alan V Sinais e sistemas 2 ed São Paulo Pearson PrenticeHall 2010 Assimile Pesquise mais U1 Fundamentos da análise de sinais 41 Há diversas propriedades derivadas da convolução que podem ser usadas para simplificar cálculos O Quadro 12 apresenta algumas das principais propriedades válidas tanto para tempo contínuo quanto discreto Fonte elaborado pelo autor Quadro 12 Propriedades da convolução Comutativa x t y t y t x t Associativa x t y t z t x t y t z t Distributiva x t y t z t x t z t y t z t Diferenciação y t x t h t x t h t SLITs normalmente são modelados de forma a obtermos uma equação que relaciona a entrada e a saída do sistema Se o SLIT for de tempo contínuo esta relação poderá ser representada por equações diferenciais com coeficientes constantes Equação 117 Quando o SLIT for de tempo discreto a representação será por meio de equações de diferenças com coeficientes constantes Equação 118 0 0 k k N M k k k k k k d y t d x t a b dt dt å å 117 0 0 N M k k k k a y n k b x n k å å 118 Em que os coeficientes constantes de ambos os casos são k a e k b Sabemos que a solução de equações diferenciais de ordem N necessita de N condições auxiliares No caso de sistemas lineares e causais podemos admitir a condição inicial de repouso na qual se a entrada for zero antes de um determinado instante de tempo 0t a saída do sistema também será zero As soluções de equações diferenciais que trabalharemos aqui podem ser divididas em duas parcelas resposta natural ou homogênea e resposta forçada ou particular A resposta natural yn t de um sistema é determinada quando a sua entrada é nula isto é U1 Fundamentos da análise de sinais 42 0 0 k N n k k k d y t a dt å 119 A Equação 119 é conhecida como equação homogênea e apresenta solução na forma de combinação linear de exponenciais complexas Equação 120 em que k a e k c são constantes a serem determinadas 0 k N a t n k k y t c e å 120 A segunda parcela da resposta de um sistema conhecida como resposta forçada ou particular fy t é obtida supondo que possua a mesma forma geral da entrada Em outras palavras se o sinal de entrada for exponencial o sinal de saída também o será Assim a resposta de um sistema será n f y t y t y t Um circuito RLC série pode ser modelado como um sistema a partir de uma equação diferencial de segunda ordem Considerando a tensão no capacitor como sinal de saída e a fonte de tensão 5 t s v t e como sinal de entrada este sistema será equacionado por 2 2 1 1 d y t R dy t y t x t L dt LC LC dt Supondo que 5Ù R 5 Ω L 1H e 1F C 6 determine o sinal de saída com as seguintes condições auxiliares 0 0 y e 0 5 dy dt Solução sabemos que a solução de uma equação diferencial é composta por duas parcelas resposta natural e forçada Vamos começar determinando a resposta natural a partir da solução da equação homogênea Equação 119 isto é 2 2 5 6 0 d y t dy t y t dt dt Substituindo o operador derivada por s temos 2 5 6 0 s s cujas raízes são 2 s e 3 s Assim sabendo que a resposta natural apresenta a forma da Equação 120 temos 2 3 1 2 t t yn t c e c e Para determinar as constantes precisamos avaliar as condições auxiliares como segue Exemplificando U1 Fundamentos da análise de sinais 43 1 2 1 2 0 0 y c c c c 1 2 0 2 3 5 dy c c dt Assim 1 c 5 e 2 5 c de forma que a resposta natural é 2 3 5 5 t t yn t e e Para determinar a resposta forçada vamos supor que o sinal de saída possua a mesma forma da entrada Supondo 5 t y t Ae temos 2 5 5 5 5 2 5 6 6 t t t t d Ae d Ae Ae Ae dt dt 5 5 5 5 25 25 6 6 1 t t t t Ae Ae Ae Ae A Portanto a resposta forçada deste sistema é 5 5 t fy t e A resposta total é n f y t y t y t 2 3 5 5 5 t t t y t e e e As raízes da equação homogênea fizeram parte da forma da resposta natural no caso do exemplo criando exponenciais reais negativas com comportamento conhecido Se estas raízes forem complexas qual será a forma da resposta natural É possível determinar a estabilidade da resposta a partir dessas raízes Para o caso de SLITs de tempo discreto as equações de diferença podem ser solucionadas de forma análoga às equações diferenciais isto é precisamos determinar as respostas natural e forçada A equação homogênea no caso discreto é 0 0 N k k a y n k å 121 Um SLIT de tempo discreto é representado por 1 1 5 y n y n x n Determine y n Solução analisando a equação deste SLIT percebemos que é necessário conhecer valores passados da saída Para resolver esse problema vamos considerar condição inicial de repouso e que a entrada é A n d Como 0 x n para 1 n a saída do sistema também será nula para 1 n de forma que temos uma condição auxiliar 1 0 y Vamos avaliar a equação de diferenças para 0 n ³ Reflita Exemplificando U1 Fundamentos da análise de sinais 44 1 0 0 1 0 5 y x y y A 1 1 1 1 0 1 5 5 y x y y A 2 1 1 2 2 1 2 5 5 y x y y æ ö A ç ç çè ø 3 1 1 3 3 2 3 5 5 y x y y æ ö A ç ç çè ø Para o enésimo termo 1 5 n y n æ ö A ç ç çè ø Retomando o nosso contexto você é um engenheiro que trabalha em um laboratório de pesquisa e desenvolvimento que juntamente com sua equipe foi designado para avaliar o comportamento de um novo sensor capacitivo com grande potencial de aplicação em sensores de pressão industriais Na etapa de modelagem você verificou que o circuito equivalente do sensor é composto por uma resistência de 470 Ω e uma capacitância de 100 µF A seguir você verificou e classificou o sinal de saída desse sensor quando aplicava uma tensão de 5 V e também fez a classificação do capacitor como um sistema Para finalizar o seu projeto você precisa equacionar o sinal de saída quando um pulso unitário for aplicado à entrada Para isso você precisa determinar a resposta ao impulso para esse sensor que será determinado de duas maneiras diferentes a primeira avaliando o circuito equivalente do sensor e a segunda a partir da avaliação das funções de singularidade Considere que a fonte do circuito possua valor constante e seja multiplicada pelo impulso tornandose s s v t V d t Podemos interpretar isso como uma fonte de tensão com amplitude alimentando o circuito equivalente de forma que a corrente deste circuito também será infinita em 0 t isto é Vs i t R d t Sabendo que a tensão no capacitor depende a integral da corrente temos 1 1 t t s c V v t i t dt t dt C C R d ò ò t Vs t dt RC d ò Como a integral da função impulso é unitária e esta função vale zero para qualquer instante de tempo diferente de zero temos que a tensão no capacitor começar com 0 s c V v RC Para 0 t a fonte Sem medo de errar U1 Fundamentos da análise de sinais 45 passa a valer zero e comportase como um curtocircuito fazendo o capacitor descarregar de acordo com uma curva exponencial negativa Para 0 t a tensão no capacitor é nula visto que a fonte de tensão também vale zero Assim a resposta ao impulso da tensão do capacitor é u t s RC c V v t h t e t RC Podemos determinar a resposta ao impulso a partir da resposta ao degrau fornecida na Seção 11 derivandoa em relação ao tempo como segue 1 u t RC s d h t V e t dt æ ö æ ö ç ç ç ç ç ç ç ç è ø è ø u 1 t t s RC RC s V h t e t V e t RC d æ ö ç ç ç çè ø Como a função impulso só possui valor não nulo para t 0 este é o único instante de tempo que precisamos avaliar da segunda parcela em que verificamos que 0 1 0 0 RC Vs e d æ ö ç ç ç çè ø Assim a resposta ao impulso é u t s RC V h t e t RC Conhecendo a resposta ao impulso você pode determinar a saída do sensor para uma entrada arbitrária Aplicando o pulso unitário Figura 127 você pode determinar o sinal de saída aplicando a integral de convolução Fonte elaborada pelo autor Figura 127 Pulso retangular aplicado no capacitor U1 Fundamentos da análise de sinais 46 O sinal de entrada pode ser escrito como uma soma de funções degrau na forma u 1 u 2 x t t t Temos que a integral de convolução vale zero para 0 t Aplicando a convolução temos para 0 1 t temos y t x h t d t t t ò 0 0 t t t t s s RC RC RC V V y t e d e e d RC RC t t t t ò ò 1 t RC s y t V e Substituindo os valores conhecidos temos 47 10 3 1 t y t e para 0 1 t Para 1 t temos y t x h t d t t t ò 1 1 0 0 t t s s RC RC RC V V y t e d e e d RC RC t t t t ò ò 1 1 t RC RC s y t V e e 1 1 1 t RC RC s y t V e e Substituindo os valores conhecidos temos 3 3 1 1 47 10 47 10 1 t y t e e para 1 t Portanto o sinal de saída deste SLIT será 3 3 3 47 10 1 1 47 10 47 10 0 0 1 0 1 1 1 t t t y t e t e e t ì ïïïïïï íïïïïï ïî Resposta ao impulso de sistemas indutivos Descrição da situaçãoproblema Sensores indutivos são largamente utilizados em ambientes industriais como sensores de proximidade com aplicações em detectores de objetos metálicos contagem de pulsos e detecção de fim de curso Suponha que um determinado sensor indutivo possa ser modelado como um circuito RL série com R 10 W Avançando na prática U1 Fundamentos da análise de sinais 47 1 A operação de convolução é representada por y n x n h n A somatória de convolução pode ser calculada analítica ou graficamente e serve para determinar a resposta de sistemas lineares e invariantes no tempo discreto Se conhecermos a resposta ao impulso para determinado sistema podemos calcular a saída para uma entrada qualquer a partir da convolução Um SLIT de tempo discreto possui resposta ao impulso 1 h n n n d d Determine o sinal de saída para uma entrada 1 2 1 x n n n n d d d a 11 3 1 y n b 1 1 31 y n c 11 31 y n d 1 1 31 y n e 11 31 y n e L 10 mH Determine a equação diferencial que relaciona a corrente no indutor saída pela fonte de tensão entrada e a resposta ao impulso deste sensor Resolução da situaçãoproblema Aplicando a Lei de Kirchhoff das malhas temos que a tensão da fonte será a soma da tensão da resistência e da indutância isto é s r L di t v t v t v t Ri t L dt Substituindo as funções de entrada e saída e dividindo ambos os lados da equação por L temos 1 dy t R y t x t dt L L Sabendo que a resposta ao degrau de um circuito RL é 1 u R t s L V y t e t R æ ö ç ç ç çè ø podemos calcular a resposta ao impulso como segue 1 u R t s L d V h t e t dt R æ ö æ ö ç ç ç ç ç ç ç ç è ø è ø u 1 R R t t s s L L V V R h t e t e t R L R d æ ö æ ö ç ç ç ç ç ç ç ç è ø è ø u R t s L V h t e t L Faça valer a pena U1 Fundamentos da análise de sinais 48 2 A operação de convolução é representada por y t x t h t A integral de convolução pode ser calculada analítica ou graficamente de maneira análoga à somatória de convolução e serve para determinar a resposta de sistemas lineares e invariantes no tempo Calcule a convolução entre x t e 5 2 t u h t e t apresentados nas Figuras 128a e b respectivamente Assinale a alternativa que apresenta a convolução para 0 1 t a 5 2 1 5 t y t e b 5 2 1 5 t y t e c 5 2 1 5 t y t e Figura 128 Sinais a xt e b ht a b Fonte elaborada pelo autor 3 Quando o SLIT for de tempo discreto a representação será por meio de equações de diferenças com coeficientes constantes Sabemos que a solução de equações diferenciais de ordem N necessita de N condições auxiliares e é análoga à solução de equações diferenciais Um SLIT de tempo discreto é representado por 11 1 y n y n x n Determine y n para uma entrada impulso de amplitude 2 e avalie a estabilidade deste sistema d 5 2 1 5 t y t e e 5 2 1 5 t y t e a y n 0 e estável b 11 n 2 y n e instável c 11 n 2 y n e estável d 11 n 2 y n e instável e 11 n 2 y n e estável ALEXANDER Charles K SADIKU Matthew N O Fundamentos de circuitos eléctricos Porto Alegre AMGH 2013 GONZALEZ M M C GEOVANINI G R TIMERMAN S Eletrocardiograma na sala de emergências 2 ed Barueri Editora Manole 2015 HSU Hwei P Sinais e Sistemas Porto Alegre Bookman 2009 Coleção Schaum LATHI Bhagwandas Pannalal Sinais e Sistemas Lineares Porto Alegre Bookman 2008 OPPENHEIM Alan V WILLSKY Alan V Sinais e sistemas 2 ed São Paulo Pearson PrenticeHall 2010 ROBERTS Michael J Fundamentos de sinais e sistemas Porto Alegre AMGH Editora 2009 Referências Análise de Fourier Convite ao estudo Caro aluno nesta unidade nós conheceremos um conjunto de ferramentas essenciais para análise de sinais e sistemas a análise de Fourier Não seria exagero dizer que este é o assunto mais importante deste livro e naturalmente possui grande importância prática Na primeira seção nós estudaremos a representação de sinais periódicos no tempo usando a Série de Fourier de tempo contínuo além de suas propriedades cálculos e aplicações Na segunda seção nós vamos aprender a avaliar sinais aperiódicos usando a Transformada de Fourier de tempo contínuo Por fim na terceira seção nós aplicaremos Série e Transformada de Fourier de tempo discreto para avaliar sinais discretizados no tempo Ao fim desta unidade você será capaz portanto de utilizar a análise de Fourier para avaliar sinais em tempo contínuo e discreto Imagine agora que uma fabricante de equipamentos odontológicos recentemente modernizou os acionamentos dos seus motores substituindo as chaves estrelatriângulo por inversores de frequência Passado um período de testes contudo eles perceberam que esses motores têm apresentado aquecimento maior Preocupados com a integridade dos motores você foi contratado como consultor para descobrir a fonte desse problema O que poderia causar esse problema Para responder a essa e outras perguntas fique atento aos conceitos que trabalharemos nesta seção Bons estudos Unidade 2 U2 Análise de Fourier 51 Representação em série de Fourier em tempo contínuo Como já discutimos anteriormente o estudo de sinais e sistemas está presente em praticamente todas as áreas da engenharia e estendese inclusive à medicina Praticamente todos os equipamentos modernos que conhecemos realizam alguma etapa de processamento de sinais e a análise de Fourier tem um papel central dada sua grande aplicação prática A análise de Fourier pode ser usada dentre outras funções para identificar as frequências mais importantes de um sinal analisar circuitos elétricos etc Retomando o nosso contexto um fabricante de equipamentos odontológicos recentemente substituiu as chaves estrelatriângulo por inversores de frequência do seu parque Passado um período de testes contudo eles perceberam que esses motores têm apresentado um maior aquecimento Você foi contratado para avaliar e descobrir a fonte desse problema Bons estudos Seja bemvindo à segunda unidade deste curso na qual conheceremos uma série de ferramentas fundamentais para avaliação de sinais e sistemas a análise de Fourier Podemos dividir estas análises para sinais periódicos e aperiódicos tanto no tempo contínuo quanto discreto No caso de sinais periódicos usaremos a Série de Fourier e a Transformada de Fourier para sinais aperiódicos A análise de Fourier é fruto do trabalho do matemático francês JeanBaptiste Fourier que desenvolveu estes métodos matemáticos quando estudava a propagação de calor nos sólidos ROBERTS 2010 A partir deste momento nós começaremos a definir um conjunto de ferramentas para analisar sinais e sistemas no domínio da frequência o que nos trará grandes vantagens em relação ao domínio do tempo Vamos começar esta unidade com a Série de Fourier de tempo Seção 21 Diálogo aberto Não pode faltar U2 Análise de Fourier 52 contínuo SFTC que como já falamos é usada para avaliar sinais periódicos contínuos no tempo Ademais qualquer sinal periódico do nosso interesse prático poderá ser representado por uma componente de frequência fundamental e uma soma de infinitos componentes de frequências harmônicas múltiplos inteiros desta fundamental A representação de Fourier pode conter ainda uma componente DC frequência nula Vamos conhecer primeiro a forma exponencial complexa da SFTC de um sinal x t definida como x t c e k jk t k w0 21 c T x t e dt k jk t T 1 0 0 0 w 22 A Equação 21 é conhecida como equação de síntese e reescreve o sinal a partir dos coeficientes complexos de Fourier ck que por sua vez são determinados pela equação de análise Equação 22 Representar um sinal pela sua SFTC resumese principalmente em determinar os valores de ck e determinar a série propriamente dita Vamos avaliar a SFTC de um sinal de onda quadrado apresentado na Figura 21 Fonte elaborada pelo autor Figura 21 Sinal de onda quadrada Exemplificando U2 Análise de Fourier 53 Avaliando a Figura 21 percebemos que este sinal é periódico e possui período fundamental T0 1 s ou frequência angular ω π π 0 0 2 2 T rad s Como este sinal é periódico nós podemos desenvolver uma representação usando a SFTC Precisamos assim determinar os coeficientes complexos de Fourier aplicando a Equação 22 A integral indicada é calculada em um período qualquer do sinal da mesma forma como fizemos nos cálculos de energia na Unidade 1 Para T t 0 2 0 temos que x t 0 e para 0 2 0 t T temos que x t 4 que nos mostra que a integral deve ser calculada apenas para a parcela de tempo em que o sinal é não nulo como segue c T x t e dt k jk t T 1 0 0 0 w c T e dt k jk t T 1 4 0 0 2 0 0 w 4 2 1 0 0 2 0 jk T e jk T w w Como sabemos que a frequência angular é ω π 0 0 T 2 isto é c jk e k jk 4 1 p p c jk e k jk 4 1 p p Vamos agora avaliar o comportamento de ck para alguns valores de k usando a relação de Euler apresentado na Tabela 21 Avaliando estes resultados percebemos que há um padrão a ser seguido dado por c k jk 8 p para valores ímpares de k e ck 0 para valores pares de k Para evitar as componentes pares podemos substituir k m 2 1 Precisamos ainda calcular a componente DC desse sinal c T x t dt dt c T 0 0 0 0 5 0 1 4 2 0 Fonte elaborada pelo autor Tabela 21 Avaliação dos valores do coeficiente complexo de Fourier k ck 1 4 1 4 1 1 2 4 j e j j j p p p p 2 4 2 1 4 2 1 1 0 2 j e j j p p p 3 4 3 1 4 3 1 1 2 4 3 3 j e j j j p p p p 4 4 4 1 4 4 1 1 0 4 j e j j p p p 5 4 5 1 4 5 1 1 2 4 5 5 j e j j j p p p p U2 Análise de Fourier 54 Portanto a SFTC deste sinal é x t j m e j m t m 2 8 1 2 1 2 1 2 p p A forma geral da solução da SFTC para uma onda quadrada no formato apresentado na Figura 21 de amplitude A valor mínimo nulo e frequência w0 é x t A A j m e j m t m 2 2 1 2 1 2 1 0 π ω 23 A SFTC do sinal da Figura 21 mostra que este é o resultado da combinação de um valor DC com uma frequência fundamental de 2prad s com o terceiro harmônico 6prad s com o quinto harmônico 10prad s etc Conforme aumentamos o número de harmônicos cada vez mais o sinal se aproximará da função original como pode ser observado na Figura 22 Podemos notar ainda uma ondulação crescente nas extremidades do sinal por causa da descontinuidade do sinal conhecida como fenômeno de Gibbs ROBERTS 2010 a c b d Fonte elaborada pelo autor Figura 22 Reconstrução da forma de onda quadrada com a 3 harmônicas b 5 harmônicas c 21 harmônicas e d 51 harmônicas U2 Análise de Fourier 55 Vimos que o fenômeno de Gibbs consiste em um sobressinal nos pontos de descontinuidade da função original quando o número de harmônicas aumenta Você conseguiria imaginar quais implicações tal fenômeno poderia causar em alguma aplicação O Quadro 21 apresenta algumas propriedades úteis para determinar a SFTC de sinais mais complexos ou manipulações de um sinal cuja SFCT é conhecida Para avaliar as propriedades considere que as funções x t y t e z t possuam Coeficientes complexos de Fourier ak bk e ck respectivamente Fonte adaptado de Roberts 2010 p 273 Quadro 21 Propriedades da SFTC Linearidade z t Ax t By t c Aa Bb k k k Deslocamento no tempo y t x t t b e a k jk t k 0 0 0 w Reversão no tempo y t x t b a k k Compressão ou expansão no tempo y t x t y t a e k j k t k α α ω0 Multiplicação de sinais z t x t y t c a b k m k m m Conjugado y t x t b a k k Integração y t y d b jk a t k k τ τ ω 1 0 Diferenciação y t dx t dt b jk a k k w0 Teorema de Parseval P T x t dt a m T k k 1 0 2 2 0 Dentre as propriedades apresentadas no Quadro 21 o Teorema de Parseval possui uma posição de destaque pois apresenta a potência medida de um sinal é igual à somatória do quadrado dos seus coeficientes complexos de Fourier Outra forma de representar a SFTC é a partir da forma trigonométrica x t a a k t b k t k k k cos sen 0 0 0 1 2 w w 24 a T x t k t dt k T 2 0 0 0 cos w 25 b T x t k t dt k T 2 0 0 0 sen w 26 Em um primeiro momento podemos não notar muitas vantagens em usar a forma trigonométrica da SFTC pois os coeficientes de Fourier Reflita U2 Análise de Fourier 56 agora ak e bk são determinados a partir do cálculo de duas integrais Entretanto essa aparente desvantagem pode ser minimizada se o sinal possuir simetria par ou ímpar No primeiro caso isto é se o sinal tiver simetria par bk 0 e teremos apenas componentes cossenoidais na SFTC Caso o sinal seja ímpar ak 0 e teremos apenas componentes senoidais Podemos também determinar os coeficientes ak e bk a partir de ck de acordo com a c 0 2 0 27 a c k 2Re k 28 b c k 2Im k 29 Para garantirmos que determinado sinal possua representação em SFTC precisamos verificar as condições de Dirichlet HSU 2009 I o sinal é absolutamente integrável em um período isto é x t dt T 0 II o sinal possui quantidade finita de valores máximos e mínimos em qualquer intervalo de tempo finito III o sinal possui quantidade finita de descontinuidades em qualquer intervalo de tempo Vale aqui ressaltar que a grande maioria dos sinais de interesse prático possuem representação em SFTC Qualquer sinal periódico no tempo pode ser representado por uma combinação linear de uma função senoidal com período fundamental e suas harmônicas As condições de Dirichlet são válidas para a grande maioria dos sinais de interesse prático em engenharia A aplicação da SFTC percorrerá todos os campos da engenharia nos quais trabalhamos com sinais periódicos no tempo como ondas quadradas triangulares avaliação de circuitos elétricos e eletrônicos Vamos avaliar o comportamento da tensão no indutor do circuito elétrico RL série Figura 23 quando a fonte de tensão é a forma de onda quadrada da Figura 21 Assimile Exemplificando U2 Análise de Fourier 57 Solução considerando que a fonte de tensão é a SFTC x t j m e j m t m 2 8 1 2 1 2 1 2 p p a tensão nos elementos do circuito e a corrente também serão representadas por SFTC Para determinarmos a tensão na indutância podemos usar fasores e aplicar um divisor de tensão V j L R j LV L s w w w w em que Vs w é o fasor da fonte de tensão e ω π 2 1 2 m Para facilitar esta análise vamos utilizar a SFTC na forma trigonométrica Equação 24 que neste caso se resume à x t m m t m sen 2 8 1 2 1 2 1 2 p p para usar o seu fasor V m s ω π 8 2 1 90 Assim o divisor de tensão será V L R L L R m L arctan ω ω ω ω π 90 8 2 1 90 2 2 V m L m R m L m L R L arctan ω π π π π 8 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 2 2 2 V m m L arctan ω π π 32 25 2 1 4 2 1 4 5 2 Voltando para o domínio do tempo temos v t m m t m L m cos arctan 32 25 2 1 4 2 1 2 2 1 4 5 2 0 p p p A variação do módulo da tensão no indutor está apresentada na Figura 24 que nada mais é do que uma curva do módulo do coeficiente de Fourier pela frequência conhecida como espectro de amplitude do sinal Fonte elaborada pelo autor Fonte elaborada pelo autor Figura 23 Circuito RL alimentado com onda quadrada Figura 24 Espectro de amplitude da tensão no indutor U2 Análise de Fourier 58 Conforme vimos no exemplo anterior o espectro de frequência da SFTC é um gráfico que apresenta os coeficientes complexos pela frequência e será de grande importância na avaliação de sinais e sistemas por exemplo filtros Para saber mais sobre a série de Fourier acesse a nossa biblioteca virtual disponível em httpsbibliotecavirtualcomdetalhes parceiros9 e busque pelo livro Sinais e Sistemas OPPENHEIM WILLSKY 2010 e estude até a Seção 35 do capítulo 3 Você também pode acessr o vídeo do professor Filipe Santos em httpsyoutube omNOBEUXFY Acesso em 21 abr 2017 Retomando o nosso contexto um fabricante de equipamentos odontológicos recentemente substituiu as chaves estrelatriângulo por inversores de frequência do seu parque Passado um período de testes contudo eles perceberam que esses motores têm apresentado aquecimento maior Você foi contratado para avaliar e descobrir a fonte desse problema Os dispositivos eletrônicos de potência ganharam grande notoriedade no ramo industrial pela possibilidade de controle de máquinas elétricas como motores de indução trifásicos Inversores são conversores de potência que produzem uma tensão alternada a partir de uma fonte contínua sendo portanto classificados como conversores CCCA O circuito da Figura 25a apresenta um inversor de frequência básico que utiliza chaves para fazer a comutação e assim variar a tensão fornecida para a carga Suponha que a tensão DC é de 350 V de forma a produzir a forma de onda quadrada apresentada na Figura 25b e que os pares de chaves são comutados a cada 8335 ms produzindo uma onda quadrada de período T 1667 ms Esta forma é adequada para alimentar um motor Pesquise mais Sem medo de errar U2 Análise de Fourier 59 a b Fonte a Hart 2011 p 339 b elaborada pelo autor Fonte elaborada pelo autor Figura 25 a Inversor de frequência simples e b forma de onda na carga Figura 26 Espectro de amplitude para tensão fornecida pelo inversor de frequência Solução esta forma de onda não é adequada para alimentar motores e equipamentos elétricos pois além de produzir uma componente com frequência fundamental no caso de 60 Hz há a produção de um grande número de harmônicas Podemos determinar a SFTC na forma trigonométrica para este sinal como v t m m t V o m sen 1400 1 2 1 2 1 377 0 p cujo espectro de amplitude está apresentado na Figura 26 Isso significa que o inversor opera como se fossem várias fontes senoidais fornecendo tensão para o motor mas em frequências diferentes podendo causar sobreaquecimento no motor por causa de uma maior corrente que atravessa a carga e portanto maior potência dissipada por efeito Joule U2 Análise de Fourier 60 a c b d Fonte adaptada de Lathi 2008 p 408 Figura 27 Filtros ideias a passabaixas b passaaltas c passafaixas e d rejeita faixas Aplicação em filtros Descrição da situaçãoproblema Uma das maiores aplicações da Análise de Fourier é o projeto de filtros de frequência Apesar de tratarmos desse assunto em detalhes na Unidade 3 podemos usar os conhecimentos adquiridos até o momento para identificar o tipo de filtro que devemos usar em determinado problema Sabendo que os filtros podem ser classificados basicamente entre passabaixas passaaltas passafaixas e rejeitafaixas qual filtro deve ser usado no sinal de onda quadrada da Figura 25b de forma que a sua saída seja um sinal senoidal de 60 Hz Considere as respostas ideias dos filtros apresentados na Figura 27 Avançando na prática U2 Análise de Fourier 61 Resolução da situaçãoproblema Avaliando o espectro de frequência do sinal anterior Figura 26 percebemos que este sinal é composto por frequências harmônicas ímpares de 60 Hz Como não existe nenhuma frequência entre esta fundamental e a componente DC podemos usar um filtro passabaixas ou passafaixas desde que este último não inclua nenhum outro componente além de 60 Hz 1 Qualquer sinal periódico no tempo pode ser representado por uma combinação linear de uma função senoidal com período fundamental e suas harmônicas Para garantirmos que determinado sinal possua representação em SFTC precisamos verificar as condições de Dirichlet Avalie os sinais apresentados na Figura 28 as seguintes asserções e a relação proposta entre elas I Os coeficientes de Fourier para a forma exponencial complexa são iguais para ambos os sinais PORQUE II A única diferença entre eles é a componente DC A respeito dessas asserções assinale a opção correta a As asserções I e II são proposições verdadeiras e a II é uma justificativa da I b As asserções I e II são proposições verdadeiras mas a II não é uma justificativa da I c A asserção I é uma proposição verdadeira e a II é uma proposição falsa d A asserção I é uma proposição falsa e a II é uma proposição verdadeira e As asserções I e II são proposições falsas a b Fonte elaborada pelo autor Figura 28 Sinal de onda quadrada Faça valer a pena U2 Análise de Fourier 62 2 Qualquer sinal periódico no tempo pode ser representado por uma combinação linear de uma função senoidal com período fundamental e suas harmônicas Para garantirmos que determinado sinal possua representação em SFTC precisamos verificar as condições de Dirichlet Determine os coeficientes da Série de Fourier de tempo contínuo para o sinal dente de serra apresentado na Figura 29 3 Qualquer sinal periódico que obedeça às condições de Dirichlet pode ser representado por uma Série de Fourier composta por uma componente de frequência fundamental e uma soma de infinitos componentes de frequências harmônicas múltiplos inteiros desta fundamental A representação de Fourier pode conter ainda uma componente DC frequência nula Determine os coeficientes da Série de Fourier de tempo contínuo para o sinal dente de serra apresentado na Figura 210 a x t m m t m m cos 2 8 1 2 1 2 1 2 1 0 0 π ω b x t m m t m m cos 2 8 1 2 1 2 1 2 1 0 0 π ω c x t m m t m m sen 2 8 1 2 1 2 1 2 1 0 0 π ω d x t m m t m m sen 2 8 1 2 1 2 1 2 1 0 0 π ω e x t m m t m m cos 2 8 1 2 1 2 1 2 1 0 0 π ω a b Fonte elaborada pelo autor Figura 29 Sinal de onda quadrada U2 Análise de Fourier 63 a ak 0 e b k k k 2 1 p b a k k k 2 1 p e b k k k 2 1 p c a k k k 2 1 p e b k k k 2 1 p d ak 0 e b k k k 2 1 p e ak 0 e b k k k 2 1 p Fonte elaborada pelo autor Figura 210 Sinal dente de serra U2 Análise de Fourier 64 Transformada de Fourier em tempo contínuo Como já discutimos anteriormente o estudo de sinais e sistemas está presente em praticamente todas as áreas da engenharia e estendese inclusive à medicina Praticamente todos os equipamentos modernos que realizam alguma etapa de processamento de sinais e a análise de Fourier têm um papel central dada sua grande aplicação prática A análise de Fourier pode ser usada dentre outras funções para identificar as frequências mais significativas que compõem um sinal analisar circuitos elétricos etc Vimos na Seção 21 que sinais periódicos no tempo podem ser representados pela série de Fourier de tempo contínuo SFTC desde que as condições de Dirichlet sejam satisfeitas o que acontece para a grande maioria dos sinais de interesse prático Neste caso os sinais eram representados como uma combinação linear de exponenciais complexas ou funções senoidais com infinitos termos Surge aqui uma pergunta se o sinal em questão for aperiódico ele também será representado pela SFTC Retomando o nosso contexto um fabricante de equipamentos odontológicos recentemente substituiu as chaves estrelatriângulo por inversores de frequência do seu parque Passado um período de testes contudo eles perceberam que esses motores têm apresentado aquecimento maior Você foi contratado para avaliar e descobrir a fonte desse problema Bons estudos Considere o sinal aperiódico x t da Figura 211a Podemos tornálo periódico se definirmos um período e assim o repetirmos conforme Figura 211b Note que um sinal aperiódico pode ser considerado um sinal periódico quando T0 LATHI 2008 Seção 22 Diálogo aberto Não pode faltar U2 Análise de Fourier 65 Fonte adaptada de Lathi 2008 p 600 Figura 211 Sinal a aperiódico e b periódico construído a partir do primeiro a b Visto que o sinal da Figura 211b é periódico podemos representá lo usando a SFTC O coeficiente ck será calculado a partir da Equação 22 c T x t e dt k T jk t T T 1 0 2 2 0 0 0 0 w Analisando esta integral podemos notar que integrar x t T0 entre T t T 0 0 2 2 equivale a integrar o sinal original entre t de forma que c T x t e dt k jk t 1 0 0 w Assim definimos X w como uma função contínua de w e o coeficiente ck como X x t e j tdt w w 210 c T X k k 1 0 w 211 A Equação 211 indica que os coeficientes de Fourier são amostras igualmente espaçadas de w0 rad s e divididas por T0 Assim esta equação produz um envelope ou envoltória para os coeficientes ck Figura 212a Conforme o período fundamental aumenta a frequência fundamental diminui Figura 212b No caso limite os coeficientes estarão espaçados por intervalos infinitesimais de forma que o espectro passará a ser contínuo U2 Análise de Fourier 66 Fonte adaptada de Lathi 2008 p 601 Figura 212 Mudança no espectro de Fourier quando alteramos T0 a b A função X w da Equação 210 é conhecida como a Transformada de Fourier ou Integral de Fourier de x t e também como equação de análise Esta operação é indicada como X x t w A Transformada Inversa de Fourier é definida como x t X X e j td 1 1 2 ω π ω ω ω 212 A Equação 212 é conhecida como equação de síntese A Transformada de Fourier de tempo contínuo TFTC de um sinal é um número complexo e pode ser escrita tanto na forma cartesiana quanto polar No segundo caso temos X X e j X w w w em que X w é o espectro de amplitude e ÐX w é o espectro de fase de X w Vamos verificálos analisando um exemplo simples U2 Análise de Fourier 67 Determine a TFTC e os espectros de amplitude e fase do sinal x t e tu t Solução a partir da definição da TFTC Equação 210 temos X x t e j tdt w w e e dt t j t w 0 e dt j j t w w 1 0 1 1 Representando este número complexo na forma polar X j e j j w w w 1 1 1 1 X e j arctan w w w 1 1 2 1 Assim os espectros de amplitude e de fase são 1 1 2 w e arctan w e são apresentados nas Figuras 213a e b respectivamente a b Fonte elaborada pelo autor Figura 213 a espectro de amplitude e b de fase de X w A SFTC é um caso particular da TFTC e usamos esta última para analisar sinais e projetar sistemas no domínio da frequência O Quadro 22 apresenta sinais comumente encontrados e suas respectivas TFTC Exemplificando Assimile U2 Análise de Fourier 68 Fonte adaptado de Lathi 2010 p 273 Quadro 22 Pares de TFTC x t X w d t 1 1 2πδ t u t πδ ω ω 1 j e atu t 1 j w a para a 0 e u at t 1 j a w para a 0 te atu t 1 2 j w a para a 0 t e atu t n n j a n w 1 para a 0 cos w0t u t π δ ω ω δ ω ω ω ω ω 2 0 0 0 2 2 j sen w0t u t π δ ω ω δ ω ω ω ω ω 2 0 0 0 0 2 2 j e t u t at cos w0 a j a j w w w 2 0 2 para a 0 e t u t at sen w0 w w w 0 2 0 2 a j para a 0 As condições para convergência da TFTC são parecidas com as condições de Dirichlet que vimos para a SFTC isto é HSU 2012 I o sinal é absolutamente integrável isto é x t dt II o sinal possui quantidade finita de valores máximos e mínimos em qualquer intervalo de tempo finito III o sinal possui quantidade finita de descontinuidades em qualquer intervalo de tempo Sinais de características práticas satisfazem as condições de Dirichlet e portanto possuem TFTC LATHI 2008 Apesar de sinais periódicos no tempo não serem absolutamente integráveis podemos obter a TFTC a partir dos coeficientes da SFTC A transformada resultante é constituída de um trem de impulsos X c k k k ω π δ ω ω 2 0 213 U2 Análise de Fourier 69 Determine a TFTC do sinal x t t cos 10 Solução aplicando a relação de Euler temos cos 10 1 2 10 10 t e e j t j t que é a própria representação em SFTC de x t com c c 1 1 1 2 Substituindo este resultado na Equação 213 temos que a TFTC deste sinal é X ω πδ ω πδ ω 10 10 Figura 214 Fonte elaborada pelo autor Figura 214 Transformada de Fourier de cos 10t As principais propriedades da TFTC estão listadas no Quadro 23 Quadro 23 Propriedades da TFTC Linearidade z t Ax t By t Z AX BY w w w Deslocamento no tempo x t t e j t X 0 w 0 w Reversão no tempo x t X w Compressão ou expansão no tempo x t X α α ω α 1 Dualidade Se x t X w então X t x 2π ω Conjugado X X w w para x t real Integração x t x d j X X t τ τ ω ω π δ ω 1 0 Diferenciação d x t dt j X n n n w w Teorema de Parseval x t dt X d 2 2 1 2 π ω ω Exemplificando U2 Análise de Fourier 70 Fonte adaptado de Lathi 2010 p 273 Determine a TFTC dos sinais apresentados nas Figuras 215a e 215b Solução aplicando a equação de síntese no sinal pulso retangular ret t t Figura 215a temos X e j tdt ω ω τ τ 2 2 1 2 2 j e e j j ω ω τ ω τ 2 2 2 2 sen sen sin ω τ ω τ ω τ ω τ τ c ω τ 2 O sinal da Figura 216a é a TFTC do pulso retangular De acordo com a propriedade da dualidade temos que τ ω τ π τ sinc ret 2 2 t apresentado na Figura 216b a a b b Fonte adaptada de Lathi 2008 p 609 Fonte adaptada de Lathi 2008 p 609 Figura 215 TFTC do pulso retangular Figura 216 Verificação da dualidade Teorema da modulação x t e X j t w w w 0 0 Convolução x t y t X Y w w Exemplificando U2 Análise de Fourier 71 A TFTC é particularmente útil na análise de sinais e sistemas quando consideramos este último como um diagrama de blocos como fizemos na Unidade 1 para determinarmos a relação entre entrada e saída Naquela ocasião fizemos uma modelagem apenas no domínio do tempo o que normalmente resulta no caso de tempo contínuo em uma equação diferencial com coeficientes constantes Além disso era necessário determinar a saída a partir da integral de convolução Quando fazemos a modelagem usando a TFTC a convolução tornase uma multiplicação e a equação diferencial tornase uma equação algébrica cujas soluções são mais simples Assim avaliar sistemas pela TFTC é extremamente vantajoso e mais simples que quando comparado com a modelagem no domínio do tempo Dentre as diversas aplicações da TFTC destacamos o Diagrama de Bode que é a representação dos espectros de amplitude e de fase com gráficos em escalas logarítmicas No caso do espectro de amplitude a escala usada é o decibel dB calculado a partir do módulo como X X dB log w w 20 214 O sinal x t e tu t cuja TFTC é X j w w 1 1 tem espectro de amplitude 1 1 2 w e de fase arctan w ambos apresentados na Figura 217 Se considerarmos este diagrama de bode como o comportamento de um sistema com entrada e saída medidas em volts podemos notar que frequências abaixo de 1rad s sofrem atenuação de 0 dB isto é não serão alteradas em módulo 20 1 log 0 dB Exatamente em w 1rad s o módulo será 3 dB o que indica que o sinal de saída sofre uma atenuação de 3 dB ou 0 707 V V Para w 1rad s o módulo sofrerá atenuação de 20dB década Concluímos que frequências maiores que 1rad s sofrem atenuação ao passo que as menores não Esta é uma curva característica de um filtro passabaixas com frequência de corte wc 1rad s Caso o comportamento fosse exatamente o contrário este sistema seria um filtro passaaltas As famílias e projetos de filtros serão estudados na Unidade 3 deste livro U2 Análise de Fourier 72 Fonte elaborada pelo autor Figura 217 Espectro de amplitude e de fase de X w Definimos a TFTC nesta seção para avaliar sinais e sistemas contínuos no tempo Veja novamente a definição da TFTC Equação 210 e perceba que ela é bastante similar à Transformada de Laplace Existe alguma relação entre essas duas transformadas Para aprender mais sobre as aplicações da TFTC estude as seções 74 a 78 do livro Sinais e sistemas lineares Lathi 2008 disponível na Biblioteca Virtual pelo link httpsbibliotecavirtualcomdetalhes parceiros5 Acesso em 28 out 2017 Retomando o nosso contexto um fabricante de equipamentos odontológicos recentemente substituiu as chaves estrelatriângulo para acionamento dos seus motores de indução por inversores de frequência Passado um período de testes contudo eles perceberam que esses motores têm apresentado sobreaquecimento Você foi contratado para avaliar e descobrir a fonte deste problema e já identificou que a forma de onda de tensão fornecida pelos inversores de frequência produz harmônicas que por sua vez comportamse como novas fontes de tensão no circuito Você poderia usar a TFTC Reflita Pesquise mais Sem medo de errar U2 Análise de Fourier 73 para avaliar este sinal de tensão Há alguma diferença entre esta análise e a realizada anteriormente com a SFTC O sinal de onda quadrada em questão é apresentado na Figura 218a Sabemos que o coeficiente complexo de Fourier deste sinal é 700 2 1 j p m na forma exponencial complexa e podemos determinar para a forma trigonométrica como 700 2 1 2 1 2 sen m m p p Podemos determinar a TFTC aplicando a Equação 212 uma vez que o sinal em questão é periódico X c k k k ω π δ ω ω 2 0 2 700 2 1 2 1 2 2 1 0 sen m m m m π δ ω ω A TFTC deste sinal e o seu espectro de amplitude estão apresentados nas Figuras 218b e 218c respectivamente Analisando esta escala da TFTC notamos que está multiplicada com um fator 2p em relação ao espectro de amplitude da SFTC a b c Fonte elaborada pelo autor Figura 218 a Forma de onda de tensão na carga b TFTC do sinal de onda quadrada e c seu espectro de amplitude U2 Análise de Fourier 74 Fonte adaptada de Lathi 2008 p 645 Figura 219 Modulação em amplitude Portanto concluímos que este sinal de tensão de onda quadrada produz componentes harmônicas ímpares em relação à fundamental da mesma forma que verificamos com a SFTC Estas componentes serão sobrepostas à frequência fundamental e atuarão como novas fontes de tensão Essas por sua vez produzirão novas correntes que circularão pelas máquinas e equipamentos resultando em sobreaquecimento Modulação em amplitude Descrição da situaçãoproblema Sistemas de comunicação normalmente usam modulação para transmissão de sinais que consiste em multiplicar o sinal que se deseja transmitir modulante por um sinal conhecido como portadora Figura 219 O sinal de saída é conhecido como sinal modulado Se m t for um pulso retangular da Figura 215a com t 1 e a portadora for cos 50t como ficará o espectro de amplitude do sinal modulado Resolução da situaçãoproblema O sinal modulado está apresentado na Figura 220a em que notamos o sinal cos 50t durante o período de duração do pulso retangular De acordo com o teorema da modulação x t e X j t w w w 0 0 a TFTC ficará deslocada de 50rad s conforme Figura 220b Avançando na prática U2 Análise de Fourier 75 a b Fonte elaborada pelo autor Figura 220 a Sinal modulado e b sua TFTC 1 A Transformada de Fourier de tempo contínuo TFTC de um sinal é um número complexo e pode ser escrita tanto na forma cartesiana quanto polar No segundo caso temos X X e j X w w w em que X w é o espectro de amplitude e ÐX w é o espectro de fase de X w Determine o espectro de amplitude em dB de um sinal x t e atu t a X a dB log w w 20 2 2 b X a dB log w w 20 2 2 c X a dB log w w 20 2 2 d X a dB log w w 20 2 2 e X a a dB log w w 20 2 2 2 2 Apesar de sinais periódicos no tempo não serem absolutamente integráveis podemos obter a TFTC a partir dos coeficientes da SFTC A transformada resultante é constituída de um trem de impulsos X c k k k ω π δ ω ω 2 0 Determine as transformadas de Fourier dos sinais x1t sen5t e x t t 2 5 sen Faça valer a pena U2 Análise de Fourier 76 3 Quando fazemos a modelagem de um sistema usando a TFTC a convolução tornase uma multiplicação e a equação diferencial tornase uma equação algébrica cujas soluções são mais simples Assim avaliar sistemas pela TFTC é extremamente vantajoso e mais simples do que quando comparado com a modelagem no domínio do tempo Um sistema linear é modelado como dy t dt y t x t 2 em que x t e y t são os sinais de entrada e saída respectivamente Determine a resposta deste sistema ao impulso unitário supondo condições iniciais nulas a y t e u t t 2 b y t e u t t 2 c y t e u t t 2 d y t e u t t 2 e y t e tu t 2 a X j j 1 5 5 ω π δ ω π δ ω e 2 5 5 π π ω δ ω δ ω X j j b X j j 1 5 5 ω π δ ω π δ ω e X j j 2 5 5 ω π δ ω π δ ω c X j j 1 5 5 ω π δ ω π δ ω e X j j 2 5 5 ω π δ ω π δ ω d X j j 1 5 5 ω π δ ω π δ ω e X j j 2 5 5 ω π δ ω π δ ω e X j j 1 5 5 ω π δ ω π δ ω e X j j 2 5 5 ω π δ ω π δ ω U2 Análise de Fourier 77 Série de Fourier e Transformada de Fourier em tempo discreto para análise de sinais Caro estudante vamos encerrar a segunda unidade desta disciplina estudando a análise de Fourier para sinais e sistemas de tempo discreto usando a Série e a Transformada de Fourier Aqui você aprenderá a aplicar essas ferramentas em situações nas quais trabalhamos no tempo discreto como é o caso de sistemas de aquisição de dados de controle digital etc Retomando o nosso contexto um fabricante de equipamentos odontológicos recentemente substituiu as chaves estrelatriângulo por inversores de frequência Passado um período de testes contudo eles perceberam que esses motores têm apresentado aquecimento maior Você já identificou a fonte deste problema como sendo a forma de onda não senoidal fornecida pelo inversor de frequência aos motores Você poderia fazer esta avaliação considerando apenas algumas amostras dos sinais de tensão Para responder a essa e outras perguntas fique atento aos conceitos que trabalharemos nesta seção Bons estudos Sinais em tempo discreto TD são bastante comuns em aplicações reais pois sistemas microprocessados precisam fazer aquisição de sinais para posterior processamento Como veremos futuramente a aquisição de sinais consiste em fazer uma representação em TD de um sinal de tempo contínuo Conforme estudamos na Seção 11 deste livro sinais de tempo discreto serão periódicos quando x n x n N 0 onde N0 é o período fundamental Com isso podemos determinar a frequência fundamental deste sinal como Ω0 0 2 p N De maneira bastante similar ao caso de tempo contínuo sinais discretos e periódicos no tempo podem ser Seção 23 Diálogo aberto Não pode faltar U2 Análise de Fourier 78 representados por uma série de Fourier SFTD definida como x n c e k jk n k N Ω0 0 215 c N x n e k jk n n N 1 0 0 0 Ω 216 As Equações 215 e 216 são conhecidas como equações de síntese e análise respectivamente Uma diferença entre a SFTC e SFTD é que esta última não possui infinitos coeficientes de Fourier mas na verdade uma quantidade finita de termos que é exatamente igual ao número de amostras do sinal discretizado normalmente variando k de 0 até N0 1 Em outras palavras se N0 10 amostras a representação em SFTD terá 10 coeficientes k 0 até k 9 É importante ressaltar que o somatório pode ser realizado dentro de qualquer período desde que a quantidade de termos deste exemplo permaneça N0 10 Além disso os coeficientes de Fourier são periódicos c c k k N 0 Uma vantagem da SFTD é que não há as questões de convergência que estudamos para o caso em tempo contínuo Determine os coeficientes de Fourier do sinal em TD apresentado na Figura 221 Solução o sinal em questão é periódico com N0 3 e frequência Ω0 2 3 p Precisamos determinar apenas três coeficientes de Fourier Equação 216 como segue Fonte elaborada pelo autor Figura 221 a Sinal discreto no tempo e b seu espectro de amplitude a b Exemplificando U2 Análise de Fourier 79 c N x n n 0 0 0 2 1 c c 0 0 1 3 0 1 2 1 c x n e j n n 1 2 3 0 1 2 3 p c x x e x e j j 1 2 3 4 3 1 3 0 1 2 p p c j j 1 1 3 0 1 1 2 3 2 2 1 2 3 2 c j 1 1 2 3 6 c x n e j n n 2 4 3 0 1 2 3 p 4 8 3 3 2 1 0 1 2 3 j j c x x e x e p p æ ö ç ç ç çè ø c j j 2 1 3 0 1 1 2 3 2 2 1 2 3 2 c j 2 1 2 3 6 Assim os coeficientes de Fourier são c0 1 1 1 3 2 6 c j e c j 2 1 2 3 6 e o espectro de amplitude está apresentado na Figura 221b A SFTD não possui infinitos termos como a SFTC sendo necessário determinar seus coeficientes a partir da quantidade de amostras do sinal em tempo discreto Ademais a SFTD é periódica ao passo que a SFTC é aperiódica Usamos a Transformada de Fourier de Tempo Discreto TFTD para avaliar sinais discretos e aperiódicos no tempo cujo desenvolvimento é bastante similar ao da TFTC Definimos X x n x n e j n n Ω Ω 217 x n X X e j nd 1 2 1 2 Ω Ω Ω Ω p p 218 A TFTD é uma função periódica com período 2p contínua na frequência W e costuma ser um número complexo de forma que pode ser representada na forma polar X X e j X Ω Ω Ω em que X W é o espectro de amplitude e X Ω é o espectro de fase A convergência da TFTD também é mais simples de ser verificada bastando que o sinal em questão seja absolutamente somável Assimile U2 Análise de Fourier 80 Determine a TFTD do sinal pulso retangular apresentado na Figura 222 Solução o sinal em questão possui apenas cinco amostras com valores unitários Aplicando a definição da TFTD Equação 217 temos X x n e j n n Ω Ω 2 2 Esta série comportase como a progressão geométrica r r r r n n a a a a 1 1 de forma que X e e e j j j Ω Ω Ω Ω 2 2 1 1 Multiplicando o numerador e o denominador por e jW0 2 temos X e e e e e j j j j j Ω Ω Ω Ω Ω Ω 2 3 2 2 1 X e e e e j j j j Ω Ω Ω Ω Ω 5 2 5 2 2 2 Usando a relação de Euler temos X sen sen Ω Ω Ω 5 2 2 Fonte elaborada pelo autor Figura 222 a Sinal pulso retangular discreto no tempo e b sua TFTD a b As propriedades da SFTD e da TFTD são relativamente parecidas àquelas de tempo contínuo e estão resumidas no Quadro 24 Vale aqui ressaltar que as propriedades de acumulação e de primeira diferença são os equivalentes no tempo discreto da integração e da diferenciação em tempo contínuo Quadro 24 Propriedades da SFTD e da TFTD Propriedade Tempo discreto Coeficientes da SFTD TFTD Linearidade Ax n By n Aa Bb k k AX BY w w Deslocamento no tempo x n n 0 e a jk N n k 2 0 p e X j n w w 0 Reversão no tempo x n a k X w Exemplificando U2 Análise de Fourier 81 Mudança de escala x n m n m se émultiplode casocontrário 0 a m mN k Periódico com período X m w Multiplicação x n y n a b l k l l N 1 2 π 2 θ ω θ θ π X Y d Conjugado x n a k X w Acumulação x k k n 1 1 2 e a jk N k p 1 1 e jw X w Diferença x n x n 1 1 2 e a jk N k p 1 e jw X w Teorema de Parseval P N x n m n N 1 2 ak k N 2 1 2 2 2 π ω ω π X d ò Fonte adaptado de Oppenheim e Willsky 2010 p 131 e 225 Vamos ilustrar a propriedade de mudança de escala com o sinal pulso retangular da Figura 222a dobrando a sua duração Figura 223a Qual é a TFTD deste novo sinal Solução o sinal em questão possui apenas cinco amostras não nulas com valores unitários A expansão no tempo inseriu alguns valores nulos que antes não estavam presentes no sinal Aplicando a propriedade da mudança de escala temos que a nova TFTD será X m w em que m 2 uma vez que o sinal agora tem o dobro da duração em relação ao original Sendo assim X sen sen 2 5 Ω Ω Ω cujo espectro de amplitude está apresentado na Figura 223b Concluímos portanto que dobrar a duração do sinal no tempo discreto reduz o período do espectro de frequência pela metade Fonte elaborada pelo autor Figura 223 a Novo sinal pulso retangular discreto no tempo e b sua TFTD a b Exemplificando U2 Análise de Fourier 82 A TFTD é muito utilizada para analisar sistemas discretos no tempo a partir de equações de diferenças que são análogas às equações diferenciais em tempo contínuo Conforme estudamos na Unidade 1 em nossa análise de SLITs encontraremos principalmente equações de diferenças como coeficientes constantes Equação 219 em que os sinais de entrada e saída são x n e y n respectivamente a y n k b x n k k k N k k M 0 0 219 A resposta em frequência H W de um sistema descrito de acordo com a Equação 219 pode ser obtida aplicandose a TFTD em ambos os lados desta mesma equação para obter a relação entre os sinais de saída e entrada Equação 220 H Y X b e a e k jk k M k jk k N Ω Ω Ω Ω Ω 0 0 220 Se conhecermos a TFTD da entrada e a resposta em frequência H W a saída será determinada pelo produto Y X H Ω Ω Ω Para determinar o sinal de tempo discreto correspondente usaremos os pares de TFTD apresentados no Quadro 25 Fonte adaptado de Lathi 2010 p 751 Quadro 25 Pares de TFTD x n X W d t 1 d n n 0 e j n Ω 0 u n 1 1 2 e k j k ω πδ ω π 1 2 2 π δ π Ω k k e j n Ω 2 2 0 π δ π Ω Ω k k a u n n 1 1 ae jΩ para a 1 na u n n ae e a j j Ω Ω 2 para a 1 cos W0t π δ π δ π Ω Ω Ω Ω 0 0 2 2 k k k sen W0t j k k k π δ π δ π Ω Ω Ω Ω 0 0 2 2 U2 Análise de Fourier 83 Por exemplo a resposta ao impulso de um SLIT de tempo discreto que se comporta de acordo com y n y n y n x n 2 5 1 6 é obtida aplicando a TFTD em ambos os lados da equação que descreve o SLIT e aplicando a propriedade do deslocamento no tempo temos e e Y X j n j n 2 5 6 Ω Ω Ω Ω Y X e e j n j n Ω Ω Ω Ω 1 6 5 2 A resposta em frequência deste sistema é H e e j n j n Ω Ω Ω 1 6 5 2 Para determinar a resposta ao impulso é necessário fazer a multiplicação entre H W e X W além de calcular a transformada inversa do resultado No caso do impulso discreto X Ω 1 e Y e e j n j n Ω Ω Ω 1 6 5 2 Para usar a tabela de pares de TFTD no cálculo da inversa fazse necessário expandir este resultado usando frações parciais Y e e j n j n Ω Ω Ω 1 3 1 1 2 1 Y e e j n j n Ω Ω Ω 1 3 1 1 1 3 1 2 1 1 1 2 Por fim usando os pares de TFTD do Quadro 25 temos que y n u n n n 1 3 1 3 1 2 1 2 Você deve ter percebido com este último exemplo no qual determinamos a resposta ao impulso de um SLIT de tempo discreto que há certa semelhança com os cálculos que fizemos para determinar a resposta ao impulso de SLIT de tempo contínuo Qual será a ligação entre esses métodos Eles podem ser usados indistintamente para avaliar o comportamento de SLIT A TFTD pode ser calculada tanto analítica quando numericamente sendo este último método bastante conveniente para aplicações diárias de equipamentos e sistemas eletrônicos Teremos uma seção exclusivamente dedicada ao estudo de um algoritmo conhecido como FFT FastFourier Transform uma das ferramentas mais importantes desta disciplina Reflita U2 Análise de Fourier 84 Para aprender mais sobre as aplicações da TFTC estude as seções 36 a 311 e o capítulo 5 do livro Sinais e sistemas OPPENHEIM Alan V WILLSKY Alan S Sinais e sistemas 2 ed São Paulo Pearson PrenticeHall 2010 Retomando o nosso contexto um fabricante de equipamentos odontológicos recentemente substituiu as chaves estrelatriângulo para acionamento dos seus motores de indução por inversores de frequência Passado um período de testes contudo eles perceberam que esses motores têm apresentado sobreaquecimento Você foi contratado para avaliar e descobrir a fonte deste problema e já identificou que a forma de onda de tensão fornecida pelos inversores de frequência produz harmônicas que por sua vez comportamse como novas fontes de tensão no circuito Você poderia usar apenas algumas amostras do sinal de tensão para avaliar esse problema O sinal de tensão fornecida pelo inversor foi amostrado com dez amostras por período Figura 224a portanto temos N0 10 amostras e Ω0 2 10 5 p p Os coeficientes da SFTD deste sinal são determinados a partir da equação de análise Equação 216 como segue c x n e k jk n n 1 10 5 0 9 p 1 10 0 1 2 3 4 51 5 2 5 3 5 4 x e x e x e x e jk jk jk jk p p p p x e x e x e x e x e jk jk jk jk jk 5 6 7 8 9 5 5 5 6 5 7 5 8 5 p p p p p 9 Simplificando a equação anterior e aplicando a relação de Euler e j j q q q cos sen temos que cada exponencial complexa ficará na forma cos sen k j k p p 5 5 Avaliando os ângulos de cada exponencial pela Figura 224b conseguimos avaliar quais parcelas terão os mesmos valores de seno e cosseno e encontraremos c j k k k 140 5 2 5 sen sen p p O espectro de amplitude deste sinal é apresentado na Figura 224c Pesquise mais Sem medo de errar U2 Análise de Fourier 85 a b c Fonte elaborada pelo autor Figura 224 a Forma de onda de tensão amostrada b espectro de amplitude Identificação de ruído em sinal medido por microcontrolador Descrição da situaçãoproblema Um sinal senoidal de 1 V de pico e frequência 1 Hz foi medido por pelo conversor analógicodigital de um microcontrolador Este sinal apresentado na Figura 225a claramente está comprometido com ruídos e deve ser filtrado de forma a ser medido corretamente Como podemos verificar quais frequências foram medidas É possível melhorar essa medida com filtragem Avançando na prática U2 Análise de Fourier 86 a b Fonte elaborada pelo autor Figura 225 a Forma de onda de tensão lida pelo microcontrolador e b seu espectro de amplitude Resolução da situaçãoproblema Aplicamos o cálculo da TFTD no sinal medido e plotamos o seu espectro de amplitude na Figura 225b Assim percebemos claramente que a componente de 1 Hz está presente no sinal junto com outras componentes que devem ser filtradas por exemplo por um filtro passafaixa com frequência central de 1 Hz 1 Uma diferença entre a SFTC e SFTD é que esta última não possui infinitos coeficientes de Fourier mas na verdade uma quantidade finita de termos que é exatamente igual ao número de amostras do sinal discretizado Além disso os coeficientes de Fourier são periódicos Determine os coeficientes de Fourier da SFTD do sinal y n n cos p 10 Fonte elaborada pelo autor Figura 226 Sinal discreto no tempo y n Faça valer a pena U2 Análise de Fourier 87 a c1 1 2 e c 1 1 2 b c1 1 2 e c 1 1 2 c c j 1 1 2 e c j 1 1 2 2 A TFTD é muito utilizada para analisar sistemas discretos no tempo a partir de equações de diferenças como coeficientes constantes que são análogas às equações diferenciais em tempo contínuo Com isso determinamos a resposta em frequência H W que relaciona os sinais de saída e entrada do sistema Determine a resposta ao impulso de um SLIT de tempo discreto que se comporta de acordo com 2 1 y n y n x n a y n u n n 2 b y n n u n 2 c y n n u n 2 3 De maneira bastante similar ao caso de tempo contínuo sinais discretos e periódicos no tempo podem ser representados por uma Série de Fourier de tempo discreto SFTD definida por x n c e k jk n k N Ω0 0 e c N x n e k jk n n N 1 0 0 0 Ω conhecidas como equações de síntese e análise respectivamente A SFTD não possui infinitos coeficientes de Fourier mas na verdade uma quantidade finita de termos que é exatamente igual ao número de amostras do sinal discretizado normalmente variando k de 0 até N0 1 Considere uma sequência periódica de tempo discreto cujo período principal é x n n n n d d d 1 2 1 1 4 2 Determine o sinal de tempo discreto que produz esta sequência a x n n n cos sen 0 583 0 416 2 3 0 144 2 3 p p b x n n n cos sen 0 583 0 416 4 3 0 144 4 3 p p c x n n n cos sen 0 583 0 416 2 3 0 144 2 3 p p d x n n n cos sen 0 583 0 416 2 3 0 144 2 3 p p e x n n n cos sen 0 583 0 416 2 3 0 144 2 3 p p d c j 1 2 e c 1 1 2 e c1 1 2 e c 1 1 2 d y n u n n 2 e y n u n n 2 HART D W Eletrônica de potência análise e projetos de circuitos Porto Alegre McGraw Hill Brasil 2011 HSU H P Sinais e sistemas Porto Alegre Bookman 2009 Coleção Schaum LATHI B P Sinais e Sistemas Lineares Porto Alegre Bookman 2008 OPPENHEIM A V WILLSKY A V sistemas lineares 2 ed São Paulo Pearson PrenticeHall 2010 ROBERTS M J Fundamentos de sinais e sistemas Porto Alegre AMGH Editora 2010 Referências Unidade 3 Caro aluno seja bemvindo à terceira unidade desta disciplina Aqui nós conheceremos algumas ferramentas de filtragem de sinais e suas formas de implementação Os filtros podem ser entendidos como sistemas seletores de frequência isto é são usados com o objetivo de alterar as componentes de frequência de um sinal e revelar informações que de outra forma ficariam mascaradas eou de difícil interpretação Imaginem por exemplo que você esteja numa estação de metrô e tenta conversar com um amigo seu Você certamente perceberá uma dificuldade maior em conversar nessa situação do que se vocês estivessem em um ambiente tranquilo e mais silencioso Numa perspectiva de análise de sinais a estação insere ruídos que dificultam o envioentendimento da informação da sua voz e devem portanto serem filtrados Começaremos estudando os filtros analógicos na primeira seção Estes filtros são classificados como passivos quando são construídos apenas com componentes passivos resistores indutores e capacitores Caso o filtro seja criado usando algum componente ativo como amplificadores operacionais ele será classificado como filtro ativo Estes filtros podem ser criados fisicamente e são muito importantes em circuitos condicionadores de sinais de aquisição de dados e etc Na segunda seção nós estudaremos a Transformada Z mais uma ferramenta matemática para o nosso arsenal com o objetivo de projetar filtros digitais assunto da nossa terceira seção Os filtros digitais como o próprio nome sugere é criado digitalmente e usado para tratamento de sinais após estes serem amostrados Convite ao estudo Princípios de filtragem analógica e digital Nesta unidade você tomará o lugar de um engenheiro que trabalha em uma empresa de desenvolvimento de instrumentos médicos e hospitalares com clientes em todo território nacional Atualmente você e sua equipe trabalham para desenvolver um equipamento de Eletrocardiograma ECG usado para detectar problemas cardíacos Ao avaliar este sinal você notou que havia uma grande quantidade de ruídos somados a ele Qual filtro é mais indicado para remover estes ruídos Para responder a esta e outras perguntas fique atento aos conceitos que trabalharemos nesta seção Bons estudos U3 Princípios de filtragem analógica e digital 91 No momento em que passamos a trabalhar e analisar sinais reais nós estamos sujeitos às nãoidealidades inerentes dos equipamentos componentes e inclusive ambientes Um problema recorrente e que certamente você encontrará em sua vida profissional é a inserção de ruídos em sistemas que pode comprometer por exemplo leituras de sensores eou perdas de informações vitais para processos industriais A filtragem entra aqui com um papel fundamental e merece nossa atenção para que possamos usála adequadamente para processar sinais Retomando o nosso contexto você é um engenheiro que trabalha em uma empresa de desenvolvimento de instrumentos médicos e hospitalares Atualmente você e sua equipe trabalham para desenvolver um equipamento de Eletrocardiograma ECG usado para detectar problemas cardíacos Ao avaliar este sinal em um osciloscópio você notou que havia uma grande quantidade de ruídos somados a ele e que dificultava a leitura e a identificação de padrões esperados Qual filtro é mais indicado para remover estes ruídos Bons estudos Seção 31 Diálogo aberto Filtros analógicos Não pode faltar Nossos estudos em filtros começarão pelos tipos analógicos que podem ser classificados em ativos e passivos No primeiro caso apenas componentes passivos resistores indutores e capacitores são usados para construir o filtro Já no caso dos filtros ativos usaremos componentes ativos como amplificadores operacionais para projetar e construílos As respostas ideais de filtros são classificadas como segue passabaixas passaaltas passafaixas rejeitafaixas apresentadas em sequência na Figura 31 Um filtro passabaixas ideal por exemplo atenua todas as componentes acima de uma determinada frequência de corte wc e mantém as amplitudes das frequências U3 Princípios de filtragem analógica e digital 92 inferiores a esta Já um filtro passaaltas faz exatamente o oposto permitindo que componentes de frequência superiores a wc não sofram atenuação alguma em detrimento das componentes inferiores a esta A banda de passagem é composta por todas as frequências que não sofreram atenuação Já a banda de atenuação corterejeição como o próprio nome sugere contém todas as frequências que foram atenuadas Figura 31 Respostas ideais de filtros a passabaixas b passaaltas c passafaixas e d rejeitafaixas Fonte adaptada de Alexander e Sadiku 2013 p 569 No caso dos filtros passafaixa Figura 31c há duas frequências de corte que precisamos conhecer a inferior e a superior Este filtro pode ser construído a partir de uma combinação entre um filtro passabaixas e um passaaltas No caso ideal apenas as componentes de frequência fora da largura de banda bandwidth definida como BW w w 2 1 são totalmente atenuadas Ainda há outras duas métricas importantes para filtros passafaixa que são a frequência central w0 e o fator de qualidade Q definidas respectivamente pelas Equações 31 e 32 w w w 0 1 2 31 Q BW w0 32 U3 Princípios de filtragem analógica e digital 93 Os filtros passafaixa são muito utilizados em circuitos de rádio AMFM O comportamento do filtro rejeitafaixa Figura 31d é exatamente oposto permitindo a passagem apenas das componentes que estão fora desta região Há ainda o filtro passa tudo o qual não altera a amplitude de nenhuma componente de frequência mas apenas deslocamento na fase As respostas ideais de filtros são importantes para que tenhamos conhecimento das particularidades de cada tipo básico mas não são fisicamente realizáveis Precisamos conhecer portanto as respostas aproximadas e os parâmetros de projeto de filtros Todos os conceitos que abordaremos agora serão exemplificados com filtros passabaixas mas podem ser estendidos para os demais O comportamento real de um filtro passabaixas está apresentado na Figura 32 A banda de passagem contém as frequências entre zero e wc a banda de transição contém as frequências entrewc e ws e por fim a banda de corte contém as frequências acima de ws MALVINO BATES 2016 Vale ressaltar novamente que as frequências dos filtros podem ser especificadas tanto em Hz quando emrad s Figura 32 Resposta real de filtros passabaixas Fonte Malvino Bates 2016 A taxa de decaimento de um filtro mostra o quão rápido as frequências da banda de corte são atenuadas Ademais a atenuação do filtro é a relação entre a tensão de saída e a tensão de saída na banda média Equação 31 que pode ser calculada em V V no caso de um sinal de tensão ou em dB Com essas equações nós determinamos as atenuações das bandas de passagem Ap e de corte U3 Princípios de filtragem analógica e digital 94 As adequadas à nossa aplicação Podemos entender a atenuação também como um ganho negativo Atenuação out out med v v 33 A ordem de um filtro n passivo é a quantidade de capacitores e indutores que fazem parte do circuito Para os filtros ativos a ordem pode ser determinada pela quantidade de circuitos RC polos ou aproximadamente pelo o número de capacitores no circuito MALVINO BATES 2016 Vamos conhecer agora as principais aproximações de filtros reais começando pela aproximação ou resposta Butterworth que possui uma resposta plana na sua banda de passagem e decaimento 20n dBdécadaou 6n dBoitava Se aumentarmos a ordem do filtro aumentaremos também a sua taxa de decaimento Apesar da resposta plana da banda de passagem ser bastante interessante a taxa de decaimento dos filtros Butterworth não é aguda Para termos uma separação entre as bandas de corte e de passagem mais estreita é necessário aumentar a taxa de decaimento do filtro pelo aumento de sua ordem A resposta Chebyshev possui duas variações sendo a primeira delas tipo I com ondulações ripple na banda de passagem e a segunda Chebyshev inversa ou tipo II com ondulações na banda de corte Em ambos os casos o decaimento é mais agudo do que visto na resposta Butterworth Os filtros de Cauer ou elípticos apresentam um decaimento ainda mais rápido do que os filtros de Chebyshev mas possuem ripple tanto na banda de passagem quanto na banda de rejeição Por fim a aproximação Bessel possui uma resposta plana da banda de passagem e decaimento mais lento que o filtro de Butterworth Em compensação a aproximação Bessel provê um deslocamento linear de fase que não ocorre nos demais e é importante para não causar distorções no sinal de saída em relação à entrada MALVINO BATES 2015 U3 Princípios de filtragem analógica e digital 95 Figura 33 Filtro passabaixa pelas aproximações de a Butterworth e Elíptica e b Chebyshev tipo I Chebyshev tipo II e Bessel Fonte adaptada de Mathworks Disponível em httpswwwmathworkscomhelpsignalrefbutterhtml Acesso em 20 nov 2017 Agora que conhecemos as respostas aproximadas dos filtros podemos avançar e conhecer alguns circuitos usados para implementálos Um circuito RC Figura 34a é o caso mais simples de um filtro passabaixa passivo Para isso os sinais de entrada e saída são a fonte de tensão e a tensão no capacitor respectivamente o que resulta na resposta em frequência H w da Equação 32 O espectro de amplitude deste sistema é apresentado na Figura 34b com um destaque para a frequência de corte na qual o módulo é reduzido para 707 do seu valor máximo 3dB de atenuação Se considerarmos H w 0 707 e resolvermos a equação para a frequência angular veremos que wc 1 RC H V V j RC i o w w w w 1 1 34 Figura 34 a Filtro passabaixas implementado com circuito RC b Espectro de amplitude Fonte Alexander Sadiku 2013 U3 Princípios de filtragem analógica e digital 96 A frequência de corte de um filtro é aquela em que o módulo de H w sofre atenuação de 3 dB aproximadamente 70 da saída Ademais se considerarmos o sinal de saída do circuito RC como a tensão na resistência este sistema passará a ser um filtro passaaltas com a mesma frequência de corte wc RC 1 Um circuito RLC Figura 35a considerando a tensão na resistência como sinal de saída é a configuração mais simples para um filtro passafaixas O seu espectro de amplitude Figura 35b indica que nas duas frequências de corte haverá a atenuação para 707 do valor máximo da mesma forma que acontece no passa baixas Neste caso a resposta em frequência do filtro é dada pela Equação 33 e as frequências de corte podem ser determinadas considerando este circuito como uma associação em cascata de um filtro passabaixas com um passaaltas H V V R R j L C i o w w w w w 1 35 Figura 35 aFiltro passafaixas implementado com circuito RLC b Espectro de amplitude Fonte Aexander Sadiku 2013 Circuitos elétricos com configurações diferentes das apresentadas aqui podem ser usados para projetar filtros É necessário determinar a relação entre sinais de saída e de entrada usando a Transformada de Fourier H w Para conhecer o tipo do tipo de filtro é necessário Assimile U3 Princípios de filtragem analógica e digital 97 Determine as frequências de corte e a frequência central do filtro passafaixas da Figura 35a quando R 50 Ω L 1mH e C 1μF Solução sabemos que a resposta em frequência deste filtro é dada pela Equação 35 Para determinar as frequências de corte precisamos fazer H w 1 2 como segue H R R L C w w w 2 2 1 1 2 2 1 2 2 2 R R L C w w 1 w2 w LC RC Resolvendo cada uma das equações anteriores e substituindo os valores dos componentes determinamos que as frequências de corte inferior e superior são w1 2 4 2 RC RC LC LC w1 15311rad s e w1 65311 rad s w2 2 4 2 RC RC LC LC w2 15311rad s e w2 65311 rad s Exemplificando verificar o comportamento do H w paraw 0 ew A frequência de corte é determinada quando H w 1 2 U3 Princípios de filtragem analógica e digital 98 Figura 36 Filtros ativos de primeira ordem passabaixas com amplificador a não inversor e b inversor e passaaltas com amplificador c nãoinversor e d inversor Fonte Malvion Bates 2016 Vamos passar nossa atenção agora para os filtros ativos Dentre as vantagens destes em relação aos filtros passivos citamos a possibilidade de dar ganho ao sinal não utilizam indutores de forma a serem menores e mais baratos ALEXANDER SADIKU 2013 A Figura 36 mostra as configurações mais simples possíveis para filtros passabaixa e passaalta de primeira ordem com suas respectivas equações para cálculo do ganho A e da frequência de corte Como as frequências negativas não possuem significado físico temos que w1 15311 rad s e w2 65311 rad s A frequência central do filtro passafaixa é determinada fazendo H w 1 o que resulta neste caso para w0 3 6 1 1 10 10 LC w0 31623rad s OBS A frequência central também poderia ter sido determinada por w w w 0 1 2 U3 Princípios de filtragem analógica e digital 99 Projete um filtro passabaixas com frequência de corte 10kHz e um filtro passaaltas com frequência de corte100kHz Ambos os filtros deverão ter ganho 10 nas suas respectivas bandas de passagem Solução vamos começar avaliando o filtro passabaixas Podemos escolher qualquer uma das configurações apresentadas na Figura 36 Considerando o caso com amplificador inversor sabemos que R R 2 1 10 Assumindo R1 1kΩ temos que R2 10kΩ Assim calculamos o capacitor a partir da frequência de corte ω π c cf R C 2 1 2 1 C R fc 1 2 1 2p C C 1 1 1 10000 2 10000 1 59 p nF Vamos usar o amplificador inversor para o filtro passaaltas também e manter as capacitâncias C1 Pela equação do ganho temos que C C C 2 1 2 10 15 9 nF Determinaremos o resistor R1 a partir da frequência de corte ω π c cf R C 2 1 1 2 R f C c 1 2 1 2p R1 9 1 2 p 100000 15 9 10 R1 100Ω Uma forma de construir um filtro passafaixas é a partir de uma associação em cascata de um filtro passabaixas com um passaaltas Exemplificando A configuração SallenKey é usada para implementar filtros ativos de segunda ordem A Figura 37 apresenta um filtro passabaixas e passaaltas na configuração SallenKey de componentes iguais e suas equações de projeto U3 Princípios de filtragem analógica e digital 100 Para aprender mais sobre projeto e construção física de filtros estude o Capítulo 19 do livro Eletrônica de Malvino e Bates 2016 que você poderá encontrar na Biblioteca Virtual disponível em https bibliotecavirtualcomdetalhesparceiros5 Acesso em 17 nov 2018 MALVINO A BATES D J Eletrônica 8 ed Porto Alegre AMGH 2016 v 2 Pesquise mais Sem medo de errar Retomando o nosso contexto você é um engenheiro que trabalha em uma empresa de desenvolvimento de instrumentos médicos e hospitalares com clientes em todo território nacional Atualmente você e sua equipe trabalham para desenvolver um equipamento de Eletrocardiograma ECG usado para detectar problemas cardíacos Figura 37 Configuração SallenKey de componentes iguais para filtro a passa baixas e b passaaltas Fonte Malvino Bates 2016 A frequência de corte dos filtros depende dos valores dos componentes que usamos no circuito que possuem uma tolerância associada Por exemplo um resistor comercial de 1k Ω com tolerância de 5 pode apresentar qualquer valor de resistência entre 950 Ω e 1050 Ω Até que ponto isso interfere no funcionamento do filtro Reflita U3 Princípios de filtragem analógica e digital 101 Figura 38 Configuração SallenKey de componentes iguais para filtro a passa baixas e b passaaltas Fonte elaborada pelo autor Ao avaliar este sinal você notou que havia uma grande quantidade de ruídos originados da fonte chaveada do equipamento somadas ao sinal Qual filtro é mais indicado para remover estes ruídos Um sinal padrão de ECG está apresentado juntamente com seu espectro de frequência nas Figuras 38a e 38b respectivamente O sinal que sua equipe mediu e o seu espectro de frequência estão apresentados nas Figura 38c e 38d respectivamente É possível notar pela análise dessas últimas duas figuras que uma componente de 40 Hz está comprometendo a leitura do sinal de ECG deixandoo praticamente irreconhecível Para remover esta componente é necessário implementar um filtro passabaixas ou rejeitafaixas filtro notch Você projetou um filtro passabaixa de segunda ordem com frequência de corte de 15 Hz para remover o ruído de 40 Hz Você implementa um circuito a configuração SallenKey de componentes iguais com R1 R2 para produzir ganho A 2 e fator de qualidade Q 1 Definimos os valores de R e C a partir da frequência de corte de 15 Hz ou aproximadamente 9425 rads e de uma estimativa U3 Princípios de filtragem analógica e digital 102 Figura 39 Sinal de ECG a filtrado com passabaixas e b seu espectro de amplitude Fonte elaborada pelo autor para um dos componentes Supondo que usaremos C 1μF o resistor deverá ser R C R R c 1 1 2 15 10 10 6 6 ω π k O sinal filtrado e seu espectro de frequência estão nas Figuras 39a e 39b respectivamente Note que pelo espectro de frequência fica claro que a componente de ruído foi removida do sinal Ainda é possível notar um pouco de ruído no sinal do ECG mas em quantidade bastante inferior ao caso original Ω É importante destacar aqui que outras configurações de filtros poderiam ser usadas neste problema como a Chebyshev tipo II Esta configuração é mais indicada que a Chebyshev tipo I pois possui resposta plana na banda de passagem de forma a não distorcer essas componentes além de uma banda de transição mais aguda que a resposta de Butterworth Esta por sua vez necessita de maior precisão no posicionamento e escolha da frequência de corte exatamente por não possuir característica tão aguda entre as bandas de passagem e de atenuação U3 Princípios de filtragem analógica e digital 103 Avançando na prática Figura 310 a Sinal medido em laboratório e b espectro de amplitude Fonte elaborada pelo autor Rejeição de ruído de baixa frequência Descrição da situaçãoproblema Você está trabalhando em um laboratório didático e quer gerar um sinal senoidal de 2 kHz de frequência com um circuito eletrônico Ao medir este sinal no osciloscópio entretanto você verificou que há uma grande quantidade de ruído de baixa frequência sobreposto ao seu sinal de interesse Figura 310a Qual filtro deve ser implementado para remover este ruído Resolução da situaçãoproblema O espectro de amplitude deste sinal revela que o ruído presente é de aproximadamente 60 Hz conforme Figura 310b isto é com frequência menor que aquela de interesse Devemos projetar um filtro passaaltas com frequência de corte entre 60 Hz e 2000 Hz Após realizar alguns testes você verificou que um filtro de Butterworth de segunda ordem com fc 1 kHz é o suficiente para as suas necessidades As Figuras 311a e 311b mostram o sinal filtrado e o espectro de amplitude confirmando que o ruído foi eliminado do sinal U3 Princípios de filtragem analógica e digital 104 1 Um circuito RC é o caso mais simples de um filtro passabaixa passivo Para isso os sinais de entrada e saída são a fonte de tensão e a tensão no capacitor respectivamente o que resulta na resposta em frequência H w Os componentes podem ser determinados a partir da frequência de corte escolhida para o projeto Faça um projeto de um filtro passivo com a menor ordem possível para atenuar as componentes de frequência acima de 104 rad s em pelo menos 40 dB Assinale a alternativa que apresenta a frequência de corte adequada e os valores dos componentes do circuito a R 1kΩ C 1μF e wc 100rad s b R 10kΩ C 1μF e wc 100rad s c R 1kΩ C 10μF e wc 10rad s d R 1kΩ C 1μF e wc 1000rad s e R 10kΩ C 10μF e wc 1rad s 2 Filtros ativos utilizam amplificadores operacionais resistores e capacitores Dentre as vantagens destes em relação aos filtros passivos citamos a possibilidade de dar ganho ao sinal serem menores e mais baratos ALEXANDER SADIKU 2013 Faça valer a pena Figura 311 a Sinal filtrado e b espectro de amplitude Fonte elaborada pelo autor U3 Princípios de filtragem analógica e digital 105 3 A aproximação ou resposta Butterworth possui uma resposta plana na sua banda de passagem e decaimento 20n dBdécada ou 6n dB oitava Dependendo da aplicação essa taxa de decaimento pode não ser suficientemente aguda de forma a não atenuar totalmente as componentes não desejadas Se aumentarmos a ordem do filtro entretanto aumentaremos a sua taxa de decaimento e teremos uma banda de transição mais estreita Um filtro passabaixas Butterworth de quinta ordem e frequência de corte 4 kHz é usado um sistema de medição de vibrações Qual será a atenuação em dB das componentes de 4 kHz 8 kHz 40 kHz e 400 kHz Assinale a alternativa que apresenta as atenuações na ordem apresentada no enunciado a 30 dB 3 dB 100 dB e 200 dB b 3 dB 30 dB 300 dB e 600 dB c 3 dB 300 dB 1000 dB e 2000 dB d 3 dB 30 dB 60 dB e 90 dB e 3 dB 30 dB 100 dB e 200 dB Determine o ganho o fator de qualidade e a frequência de corte de um filtro passaaltas Sallenkey com R 1kΩR1 1kΩ R2 1kΩ C 1μF a A 1 2 V V Q 0 4 e wc 103 rad s b A 2 V V Q 1 e wc 103 rad s c A 2 V V Q 0 4 e wc 10 3 rad s d A 1 2 V V Q 1 e wc 103 Hz e A 2 V V Q 0 4 e wc 103 Hz U3 Princípios de filtragem analógica e digital 106 Caro aluno nesta seção continuaremos nossos estudos de análise e processamento de sinais para conhecer mais uma ferramenta matemática a Transformada z Este conhecimento é necessário para analisar sinais e sistemas discretos no tempo por meio de equações de diferenças e implementar filtros digitais Relembrando o nosso contexto você é um engenheiro que trabalha em uma empresa de desenvolvimento de instrumentos médicos e hospitalares com clientes em todo território nacional Atualmente você e sua equipe estão desenvolvendo um equipamento de Eletrocardiograma ECG usado para detectar problemas cardíacos Ao avaliar este sinal pelo osciloscópio você notou que havia uma grande quantidade de ruídos somadas ao sinal e propôs um filtro para removêlos Seria possível fazer este filtro via software isto é um filtro digital ao invés de um analógico Quais ferramentas você precisa dominar para fazer isso Para responder a esta e outras perguntas fique atento aos conceitos que trabalharemos nesta seção Bons estudos Seção 32 Diálogo aberto Transformada Z Não pode faltar A Transformada z TZ é o equivalente de tempo discreto da Transformada de Laplace e é definida para sequências de tempo discreto x n de acordo com a Equação 36 onde z é uma variável complexa e é o operador que indica a transformação X z x n x n z n n 36 A definição apresentada na Equação 36 é conhecida como Transformada z bilateral uma vez que o somatório é de n até U3 Princípios de filtragem analógica e digital 107 n Há ainda a Transformada z unilateral na qual o somatório é realizado a partir de n 0 até n e será útil na análise de sinais e sistemas causais NALON 2014 Se considerarmos a variável complexa z e j Ω na Equação 36 teremos x n e j n n Ω que é a definição da Transformada de Fourier de Tempo Discreto TFTD que estudamos anteriormente Assim a TZ é uma generalização da TFTD e o número complexo z e j Ω define uma circunferência de raio unitário que será fundamental para avaliarmos a convergência da TZ Uma vez que a TZ é uma série de potência particularmente de Laurent ela precisa estar associada à uma faixa de valores de z para os quais a X z converge conhecida como Região de Convergência RDC Ademais é possível que sequências diferentes possuam as mesmas expressões algébricas mas com RDC diferentes conforme veremos no exemplo a seguir OPPENHEIM WILLSKY 2010 É bastante comum representar a TZ como uma função racional entre dois polinômios em z conhecida como função de transferência X z P z Q s b b z b z b z a a z a z a M M 0 1 1 2 2 0 1 1 2 2 N zN 37 As raízes do numerador e do denominador são conhecidas como zeros e polos da função sistema e são representadas graficamente na RDC como um círculo e uma cruz respectivamente Determine a TZ das sequências x n a u n n e y n a u n n 1 apresentadas nas Figuras 311a e 311b respectivamente além das RDC correspondentes Solução aplicando a Equação 36 temos que a TZ da primeira sequência de tempo discreto é X z x n a u n z n n n Exemplificando U3 Princípios de filtragem analógica e digital 108 az n n 1 0 Este somatório é uma progressão geométrica da forma 1 1 1 2 x x x x n se x 1 portanto X z az 1 1 1 para az 1 1 ou então X z z z a para z a Esta RDC está apresentada na Figura 312a No caso particular em que a 1 a sequência se tornará o impulso unitário discreto e a sua TZ será X z z z z 1 1 1 1 para z 1 Seguindo a mesma lógica a TZ da segunda sequência é Y z y n a u n z n n n 1 a z n n n 1 Podemos fazer este somatório igual ao anterior se invertermos os sinais dos expoentes 1 1 0 1 0 a z a z n n n n n 1 1 1 1 a z z z a para z a Perceba que as TZ de ambas as sequências possuem expressões algébricas idênticas mas RDC completamente diferentes Figura 312b e d Ademais as TZ possuem um zero em z 0 e um polo em z a U3 Princípios de filtragem analógica e digital 109 Figura 312 Sequência a x n e b RDC de X z Sequência a y n e b RDC deY z Fonte elaborada pelo autor Quadro 31 Propriedades da SFTD e da TFTD Propriedade Tempo discreto TFTD RDC Linearidade Ax n By n AX z BY z Pelo menos R R 1 2 Ç Deslocamento no tempo x n n 0 z X z n 0 R1 exceto pela possível adição ou exclusão da origem As propriedades da TZ são importantes para analisarmos sistemas de tempo discreto e estão resumidas no Quadro 31 que considera que as funções x n e y n possuem RDC como uma circunferência de raio maior queR1 eR2 respectivamente U3 Princípios de filtragem analógica e digital 110 A integral da TZ inversa é realizada em um caminho circular fechado no sentido antihorário centrado na origem e com raio r x n X z j X z z n dz 1 1 1 2p 38 Esta integral é apenas uma das formas que temos para determinar a TZ inversa e da mesma forma que fizemos durante a análise de Fourier Capítulo 2 faremos uso de uma tabela de pares de transformadas Quadro 32 A expansão em frações parciais para obtenção de parcelas da TZ tabeladas é normalmente realizada com X z z ao invés da própria X z Uma terceira forma é escrever a TZ na forma de série de potências de z n e comparar o resultado com a definição da TZ LATHI 2008 Quadro 32 Pares de TZ x n X z e RDC d n k z k todo z exceto 0 se k 0 ou se k 0 u n z z z 1 1 1 1 z 1 Reversão no tempo x n X z 1 R1 invertido Mudança de escala e x n j W0n X e z j Ω0 R1 Convolução x n y n X z Y z Pelo menos R R 1 2 Ç Conjugado x n X z R1 Acumulação x k k n 1 1 1 z X z Pelo menos R R 1 2 Ç e z 0 Primeira diferença x n x n 1 1 1 z X z Pelo menos R R 1 2 Ç e z 1 Fonte adaptado de Oppenhem Willsky 2010 p 461 U3 Princípios de filtragem analógica e digital 111 Fonte adaptado de Oppenhem Willsky 2010 p 462 Determine a TZ inversa de X z z z 1 5 6 2 Solução esta TZ possui dois polos z 2 e z 3 Podemos reescrever e fazer a expansão em frações parciais X z z z A z B z 1 2 3 2 3 X z z z 1 2 1 3 Só conseguiremos algum par de transformada no Quadro 32 se dividirmos ambos os lados de X z e rearranjarmos o resultado X z z z z z 1 1 2 1 3 Exemplificando u n 1 z z z 1 1 1 1 z 1 a u n n z z a az 1 1 1 z a na u n n az az 1 1 2 1 para z a cos W0t u n 1 1 2 0 1 0 1 2 cos cos Ω Ω z z z z 1 sen W0t u n sen cos Ω Ω 0 1 0 1 2 1 2 z z z z 1 U3 Princípios de filtragem analógica e digital 112 X z z z z z z 1 2 3 Combinando este resultado com o quarto par de TZ do Quadro 32 e a propriedade no tempo temos x n u n n n 2 3 1 Sistemas de tempo discreto podem ser analisados usandose a TZ de uma forma bastante similar às Transformadas de Laplace e de Fourier Consideramos para isso que o sistema possua resposta ao impulsoH z h n e os sinais de entrada e saída sejam x n e y n respectivamente como indicado no diagrama de blocos da Figura 313a A partir da propriedade de convolução a saída no domínio z deste sistema é calculada comoY z X z H z a partir da qual determinamos a saída no tempo discreto aplicando a TZ inversa como ilustrado na Figura 313b A relação entre as TZ dos sinais de saída e entrada é chamada de função de transferência ou função sistema Figura 313 a Sistema de tempo discreto e b Sistema com TZ Fonte elaborada pelo autor Além da função de transferência podemos usar a TZ para converter equações de diferenças em equações algébricas cujas soluções são mais simples Exemplificando Um sistema linear de tempo discreto é descrito por y n y n y n x n 7 10 1 1 10 2 U3 Princípios de filtragem analógica e digital 113 em que os sinais de entrada e saída são x n e y n respectivamente Determine a função de transferência que descreve este sistema e a sua resposta ao impulso Solução este sistema é descrito por uma equação de diferenças de coeficientes constantes Devemos aplicar a TZ em ambos os lados da equação e encontrarmos a relação Y z X z como segue 1 7 10 1 10 1 2 z z Y z X z H z Y z X z z z 1 1 7 10 1 10 1 2 H z z z z 2 1 2 1 5 Para encontrar a resposta ao impulso é necessário multiplicarH z pela TZ da função impulso discreto X z n d 1 e fazer a TZ inversa do resultado Fazendo a expansão em frações parciais temos Y z H z z z z 2 1 2 1 5 Y z z z z z z z 1 2 1 5 5 3 1 2 2 3 1 5 Portanto Y z z z z z 5 3 1 2 2 3 1 5 A RDC desta TZ é pelo menos a intersecção entre as RDC das parcelas isto é z 1 2 e z 1 5 Portanto a RDC será z 1 2 Figura 314a U3 Princípios de filtragem analógica e digital 114 Figura 314 a RDC da TZ e b Resposta ao impulso do sistema de tempo discreto a b A TZ é o equivalente de tempo discreto da Transformada de Laplace e é usada para analisar sinais e sistemas de tempo discreto Enquanto a Transformada de Laplace converte equações diferenciais em algébricas a TZ converte equações de diferença em algébricas o que facilita a sua solução Assimile Fonte elaborada pelo autor Uma discussão particularmente importante em sistemas dinâmicos e não apenas aqueles de tempo discreto é sobre a sua estabilidade como o caso dos sistemas BIBO estáveis Unidade 1 No caso de sistemas de tempo discreto a estabilidade estará garantida se os polos da função de transferênciaH z estiverem dentro da circunferência de raio unitário Caso contrário isto é se pelo menos um polo estiver fora da circunferência unitária o sistema será instável Além disso Aplicando a TZ inversa determinamos que a resposta ao impulso é y n u n n n 5 3 1 2 2 3 1 5 Este sinal está apresentado na Figura 314b U3 Princípios de filtragem analógica e digital 115 Reflita O conceito de estabilidade de sistemas físicos é relativamente palpável Por exemplo um amplificador operacional que possui comportamento instável terá uma tensão de saída que tende ao infinito Um carro com um sistema de amortecimento instável proporcionaria oscilações cada vez maiores aos seus passageiros Ambos os exemplos apresentam comportamentos obviamente inviáveis e precisam ser evitados Tendo isso em mente como seria o comportamento de um sistema discreto e instável Há alguma relação com os exemplos que citamos aqui Para saber mais sobre análise de estabilidade consulte o capítulo 4 do livro PINHEIRO Carlos Alberto Murari MACHADO Jeremias Narbosa FERREIRA Luís Henrique de Caravalho Sistemas de controles digitaise processamento de sinais projetos simulações e experiências de laboratório Rio de Janeiro Interciência 2017 332 p Pesquise mais Sem medo de errar Relembrando o nosso contexto você é um engenheiro que trabalha em uma empresa de desenvolvimento de instrumentos médicos e hospitalares com clientes em todo território nacional Atualmente você e sua equipe estão desenvolvendo um equipamento de Eletrocardiograma ECG usado para detectar problemas cardíacos Ao avaliar este sinal pelo osciloscópio você notou que havia uma grande quantidade de ruídos somados ao sinal e propôs um filtro para removêlos Uma vez que o seu equipamento armazena os sinais de ECG como uma sequência de tempo discreto seria possível fazer este filtro via software isto é um filtro digital ao invés de um analógico Quais ferramentas você precisa dominar para fazer isso o sistema também será instável se possui polos repetidos sobre a circunferência unitária Este conhecimento será imprescindível para o projeto de filtros digitais U3 Princípios de filtragem analógica e digital 116 Nas condições citadas isto é os sinais de ECG serão tratados como sequências de tempo discreto você pode considerálos como sinais de entrada de um sistema de tempo discreto Filtros analógicos foram usados para remover os ruídos das medições no caso anterior pois o sinal foi tratado inteiramente em tempo contínuo Podemos realizar filtragem também quando estamos no tempo discreto mas usando neste caso filtros digitais Para projetá los você precisará usar a TZ de forma a encontrar um polinômio de tempo discreto que se comportará de maneira bastante similar à um filtro analógico mas com vantagens como maior rapidez de implementação e precisão entre outras Um exemplo recorrente em sistemas eletrônicos são os filtros de média móvel como uma forma de rejeição de ruídos de alta frequência A Figura 315 apresenta um caso de redução considerável de ruído em um sinal senoidal de 100 Hz Note que apesar de ainda haver componentes de frequência a serem removidas o sinal da Figura 315b está mais nítido do que o original Figura 315a Figura 315 a Sinal corrompido com ruído e seu b Espectro de amplitude c Sinal após filtro de média móvel e seu d Espectro de amplitude Fonte elaborada pelo autor U3 Princípios de filtragem analógica e digital 117 Avançando na prática Estabilidade de sistemas de tempo discreto Descrição da situaçãoproblema Um sistema linear de tempo discreto é descrito por y n y n y n x n 2 5 1 2 em que os sinais de entrada e saída são x n e y n respectivamente Determine a função de transferência que descreve este sistema e se este sistema é estável Resolução da situaçãoproblema Este sistema é descrito por uma equação de diferenças de coeficientes constantes Devemos aplicar a TZ em ambos os lados da equação e encontrarmos a relação Y z X z como segue 1 2 5 1 2 z z Y z X z H z Y z X z z z 1 1 2 5 1 2 H z z z z 2 2 1 2 Expandindo este resultado em frações parciais temos H z z z z z 4 3 2 1 3 1 2 A RDC da primeira parcela é z 2 e a da segunda parcela é z 1 2 Novamente pela propriedade da linearidade a RDC de U3 Princípios de filtragem analógica e digital 118 Figura 316 RDC a z 2 b z 1 2 e de c H z Fonte elaborada pelo autor X z deve ser a intersecção entre as RDC das parcelas Assim a RDC de X z é z 2 Todas as RDC estão apresentadas na Figura 316 Faça valer a pena 1 A Região de Convergência RDC é necessária para definir o intervalo de valores em que a TZ converge Além da RDC é preciso determinar uma expressão algébrica para a TZ Sequências de tempo discretos distintas podem inclusive apresentar expressões algébricas idênticas mas com RDC diferentes Determine a RDC e os polos da TZ do sinal de tempo discreto x n u n u n n n 1 2 1 4 a z 1 2 z 1 2 e z 1 4 b z 1 4 z 1 2 e z 1 4 c z 1 8 z 1 2 e z 1 4 O sistema de tempo discreto em questão possui dois polos z 2 e z 1 2 Como há um polo fora da RDC concluímos que este sistema é instável U3 Princípios de filtragem analógica e digital 119 d z 1 2 z 1 2 e z 1 4 e z 1 4 z 1 2 e z 1 4 2 Sistemas de controle e de processamento digital de sinais realizam amostras de sinais de interesse e os processam usando algoritmos implementados em por exemplo um microcontrolador A Transformada desempenha um papel fundamental na análise e projeto de sistemas de tempo discreto Avalie as afirmações a seguir sobre sistemas de tempo discreto I Sistemas de tempo discreto são normalmente modelados a partir de equações de diferenças com coeficientes constantes que podem ser solucionadas aplicandose a Transformada z II A Transformada z é o equivalente de tempo discreto da Transformada de Fourier e converte equações de diferenças em equações diferenciais III A estabilidade de sistemas dinâmicos é avaliada pela posição dos seus polos No caso de sistemas de tempo discreto a estabilidade estará garantida se os polos estiverem dentro da circunferência unitária Assinale a alternativa que apresenta as opções corretas a I b I e II c I e III d II e III e I II e III 3 Sistemas de tempo discreto podem ser analisados usandose a TZ de uma forma bastante similar às Transformadas de Laplace e de Fourier Consideramos para isso que o sistema possua resposta ao impulso H z h n e os sinais de entrada e saída sejam x n e y n respectivamente A partir da propriedade de convolução a saída no domínio z deste sistema é calculada comoY z X z H z a partir da qual determinamos a saída no tempo discreto aplicando a TZ inversa A relação entre as TZ dos sinais de saída e entrada é chamada de função de transferência ou função sistema U3 Princípios de filtragem analógica e digital 120 Determine a função de transferência de um sistema linear de tempo discreto modelado por y n y n y n x n 5 6 1 1 6 2 e a sua sequência de resposta ao degrau Considere a saída como y n e a entrada como x n a H z z z z 2 1 2 1 3 e y n u n n n 3 3 1 2 1 3 b H z z z z 2 1 2 1 3 e y n u n n n 3 3 1 2 1 3 c H z z z z 2 1 2 1 3 e y n u n n n 3 3 1 2 1 3 d H z z z z 2 1 2 1 3 e y n u n n n 3 3 1 2 1 3 e H z z z z 2 1 2 1 3 e y n u n n n 3 3 1 2 1 3 U3 Princípios de filtragem analógica e digital 121 Caro aluno vamos encerrar a terceira unidade deste curso com um estudo introdutório sobre filtros digitais A partir do momento em que sistemas digitais tornaramse cada vez mais comuns em nosso dia a dia as técnicas digitais para tratamento de dados e informações também se tornaram mais comuns No seu telefone celular por exemplo há um algoritmo que elimina parte dos ruídos captados pelo microfone de forma a melhorar a qualidade da voz para a sua transmissão Além disso filtros digitais são mais versáteis que os analógicos conforme veremos a seguir e sua implementação tornase particularmente interessante quando um filtro de ordem elevada é necessário Vamos estudar agora formas de obtermos um filtro digital a partir de um filtro analógico usando a Transformada z Seção 32 Relembrando o nosso contexto você é um engenheiro que trabalha em uma empresa de desenvolvimento de instrumentos médicos e hospitalares com clientes em todo território nacional Atualmente você e sua equipe estão desenvolvendo um equipamento de Eletrocardiograma ECG usado para detectar problemas cardíacos Ao avaliar este sinal pelo osciloscópio você notou que havia uma grande quantidade de ruídos somados ao sinal e propôs um filtro para removêlos Uma vez que este sinal é amostrado você já sabe que pode usar a Transformada z para realizar pósprocessamento Assim como você poderia melhorar este sinal digitalmente Para responder a esta e outras perguntas fique atento aos conceitos que trabalharemos nesta seção Bons estudos Seção 33 Diálogo aberto Introdução aos filtros digitais Não pode faltar Filtros digitais também podem ser classificados de acordo com a sua característica em frequência da mesma forma que fizemos U3 Princípios de filtragem analógica e digital 122 para os filtros analógicos como passabaixas passaaltas passa faixas e rejeitafaixas Entretanto estes filtros são implementados digitalmente em um computador eou microcontrolador e fazem a filtragem do sinal após este ter sido discretizado A resposta ao impulso dos filtros digitais os dividem em duas classes Os filtros de resposta ao impulso finita finite impulse response FIR possuem funções de transferência com um polinômio no domínio z apenas com numerador e a sua resposta depende apenas de momentos passados e presente da entrada Estes filtros são sempre estáveis e apresentam fase linear isto é produzem o mesmo atraso para todas as frequências envolvidas evitando distorções no sinal de saída Já os filtros de resposta ao impulso infinita infinite impulse response IIR são recursivos isto é a saída no instante atual depende dos valores presentes e passados da entrada além dos valores passados da saída NALON 2014 OPPENHEIM WILLSKY 2010 Vamos estudar nesta seção alguns métodos de projeto de filtros FIR e IIR a partir da função de transferência de filtros analógicos e da função de aproximação de Butterworth Ademais todas as considerações apresentadas aqui serão para filtros passabaixas Os demais tipos de filtros podem ser convertidos a partir do passa baixas aplicando a transformação em frequência Há três métodos principais para projetar filtros IIR aproximação das derivadas da equação diferencial invariância ao impulso e transformação bilinear sendo esta última mais popular e apresentada nesta seção Apesar de causar distorção no eixo das frequências o método da transformação bilinear é o mais indicado para projetar um filtro digital a partir de um analógico Na Seção 31 nós conhecemos alguns circuitos que possuem o comportamento de um filtro Butterworth mas não demos muita atenção aos procedimentos de projeto deste filtro Assim começaremos introduzindo os conceitos necessários ao projeto como suas especificações função de transferência e localização dos polos A Figura 317a apresenta as especificações de banda de transição Ω tolerância e frequência de corte de filtros passa baixa os índices p e s indicam banda de passagem e de atenuação respectivamente O módulo da magnitude ao quadrado de Filtros Butterworth tem a forma U3 Princípios de filtragem analógica e digital 123 H c N Ω Ω Ω 2 2 1 1 39 Em que Wc é a frequência de corte e N é a ordem do filtro A Figura 317b apresenta a forma da resposta de Butterworth para ordem 2 4 8 e 16 Note que conforme aumentamos a ordem do filtro menor será a banda de transição e ficaremos cada vez mais próximo da característica ideal Figura 317 a Especificações de filtros passabaixa e b Forma de resposta do filtro de Butterworth para ordens distintas Fonte Nalon 2014 p 132133 Conhecendo a frequência de corte desejada do filtro temos como calcular os 2N polos do filtro pela Equação 310 É importante destacar que estes polos estão localizados sob uma circunferência de raio Wc no plano complexo s e espaçados de p N rad p e k c j k N N Ω 2 1 2 p 310 Para garantirmos a estabilidade do filtro todos os polos devem estar localizados no semiplano esquerdo do plano s Assim a partir dos polos calculados pela Equação 310 apenas aqueles que respeitam este critério de estabilidade serão usados para montar a função de transferência no domínio s do filtro digital como H s s p c N k k N Ω 1 0 1 311 U3 Princípios de filtragem analógica e digital 124 Figura 318 Regiões de estabilidade do a Plano s e b Plano z Fonte elaborada pelo autor Uma forma particularmente interessante de projetar filtros digitais é fazer a frequência de corte unitária normalizada e a partir deste resultado mais genérico converter o filtro para a frequência de corte desejada fazendo a seguinte substituição no polinômio do denominador da função de transferência Q s H s Q s c c Ω Ω 312 Assim que conhecermos a função de transferência do filtro analógico podemos fazer a sua conversão em um filtro digital Vamos começar com o caso dos filtros IIR cujos métodos que estudaremos procuram fazer o mapeamento da variável complexa s no plano z isto é vão converter a localização dos polos do plano s Lembrese A posição dos polos é determinante para avaliar a estabilidade de sistemas dinâmicos No plano s todos os polos devem estar no semiplano esquerdo enquanto que no plano z eles devem estar dentro da circunferência unitária Se pelo menos um polo não respeitar esta condição o sistema será instável As regiões de estabilidade de ambos os planos são apresentadas em destaque na Figura 318 U3 Princípios de filtragem analógica e digital 125 para o plano z O método da transformação bilinear faz a conversão por meio da substituição s T z z s 2 1 1 1 1 313 Uma vez que o mapeamento da variável s no plano z não é linear é necessário fazer uma correção na frequência de corte conhecida como prewarping usandose a Equação 314 w 2 2 arctan ΩTs 314 O Matlab possui algumas funções predefinidas que são particularmente úteis no projeto de filtros digitais conforme veremos no exemplo a seguir Vamos projetar um filtro Butterworth digital de ordem 3 e frequência de corte 0 4 prad s Considere período de amostragem unitário Solução O primeiro passo a ser executado é o prewarping desta frequência com a Equação 314 Ω Ω 2 0 4 2 0 4625 tan p rad s O módulo da magnitude ao quadrado de Filtros Butterworth tem a forma da Equação 39 logo H Ω Ω 2 6 1 1 0 4625 Os polos deste filtro em tempo contínuo são dados pela equação 39 p e k j k 0 4625 2 4 6 p evalem p j 0 0 7265 1 2583 Exemplificando U3 Princípios de filtragem analógica e digital 126 p1 1 4530 p j 2 0 7265 1 2583 p j 3 0 7265 1 2553 p4 1 4530 e p j 5 0 7265 1 2583 Dentre os seis polos apenas p0 p1 e p2 estão no semiplano esquerdo do plano s pois suas parcelas reais são negativas Portanto considerando apenas estes três polos e aplicando a Equação 311 a função de transferência do filtro será H s s p s p s p 0 46253 0 1 2 H s s s s 009893164062 2 906 4 222 3 068 3 2 Aplicando a transformação bilinear com Ts 1 temos H z z z z z 2 1 1 2 906 2 1 1 1 1 3 1 1 2 1 1 4 222 2 1 1 3 068 z z Reorganizando esta função e normalizando para o coeficiente de maior ordem do denominador temos H z z z z z 0 0985 0 2956 0 2956 0 0985 1 0 5774 0 421 1 2 3 1 8 0 0563 2 3 z z A resposta em frequência e os polos deste filtro estão apresentados nas Figura 319a e 319b respectivamente Uma vez que os polos desta função de transferência estão localizados dentro da circunferência de raio unitário podemos afirmar que este filtro é estável A partir da função de transferência do filtro digital considerandoa como uma relação Y z X z aplicamos a TZ inversa e encontramos a sua equação de diferenças equivalente y n x n x n x n x n 0 0985 0 2956 1 0 2956 2 0 0985 3 0 5774 1 0 4218 2 0 0563 3 y n y n y n 009893164062 U3 Princípios de filtragem analógica e digital 127 Figura 319 a Espectro de amplitude do filtro digital projetado e b localizações dos polos e zeros do plano z Fonte elaborada pelo autor clc N 3 Ordem do filtro Omegac 2tan04pi2 Prewarping polos for k012N1 pk1 Omegacexppi1i2kN1 2N end Função de transferência Laplace num OmegacN a 1 p1 b 1 p2 c 1 p3 den convaconvbc Htfnumden Transformação bilinear numzdenz bilinearnumden1 Apresenta todas as informações pertinentes ao filtro fvtoolnumzdenz U3 Princípios de filtragem analógica e digital 128 A transformação bilinear faz o mapeamento dos polos da função de transferência do filtro de tempo contínuo no plano z para projetar um filtro digital Se escolhermos apenas os polos no semiplano esquerdo do plano s os polos do filtro digital estarão dentro da circunferência unitária e assim a estabilidade estará garantida A equação de diferenças do filtro digital possui coeficientes similares aos da TZ Assimile O filtro do exemplo anterior é de passabaixas de terceira ordem e foi projetado para frequência normalizada Podemos fazer a alteração da frequência de corte ou inclusive do tipo de filtro aplicando a transformação em frequência apresentada resumidamente no Quadro 33 É importante ressaltar que a causalidade e estabilidade do filtro permanecem inalteradas com essa transformação Quadro 33 Transformação em frequência para filtros digitais a partir de um filtro passabaixas Tipo de filtro Transformação de z1 Em que Passabaixas z z 1 1 1 a a a sen sen Ω Ω Ω Ω c c c c 2 2 e Wc é a frequência de corte desejada U3 Princípios de filtragem analógica e digital 129 Passaaltas z z 1 1 1 a a a cos cos Ω Ω Ω Ω c c c c 2 2 eWc é a frequência de corte desejada Passafaixas z z z z 2 1 1 2 2 2 1 1 1 a a a a α βγ γ 1 2 1 α γ γ 2 1 1 g cot tan Ω Ω Ω 1 2 2 2 c b cos cos Ω Ω Ω Ω 1 2 1 2 2 2 em que W1 e 2 W são as frequências de corte inferior e superior respectivamente U3 Princípios de filtragem analógica e digital 130 Rejeita faixas z z z z 2 1 1 2 2 2 1 1 1 a a a a α βγ γ 1 2 1 α γ γ 2 1 1 g cot tan Ω Ω Ω 1 2 2 2 c b cos cos Ω Ω Ω Ω 1 2 1 2 2 2 em que W1 e W2 são as frequências de corte inferior e superior respectivamente Fonte adaptado de Nalon 2014 p 151 Vamos mudar a nossa atenção agora para os filtros FIR e um método de projeto Neste caso a função de transferência em z é um polinômio ao invés de uma função racional de forma que só há zeros A Equação 315 mostra a forma geral da equação de diferenças de um filtro FIR de ordem N y n b x n k k k N 0 1 315 O método do janelamento é usado para projetar filtros FIR a partir do truncamento da resposta ao impulso de um filtro ideal com alguma função de janela w n Algumas das funções de janelas mais utilizadas estão apresentadas na Figura 320 e no Quadro 34 A resposta ao impulso de um filtro FIR h n é dada por h n h n w n d 316 Em que h n d é a resposta ao impulso para filtros ideais Quadro 35 U3 Princípios de filtragem analógica e digital 131 Figura 320 a Janelas comumente usadas e b Espectro de magnitude da janela retangular Fonte Oppenheim e Schafer 2012 p 317318 Quadro 34 Funções de janela Janela Função de janela Banda de transição Amplitude do lóbulo lateral Atenuação mínima Retangular w n n N 1 0 0 se seforadointervalo 0 91 p N 13dB 21dB Triangular ou Bartlett w n n N n N n N N n N 2 1 0 1 2 2 2 1 1 2 0 se se casocontrário 119 p N 25dB 25dB Hanning w n n N n N cos 0 5 0 5 2 1 0 0 p se seforadointervalo 2 51 p N 31dB 44dB Hamming w n n N n N cos 0 54 0 46 2 1 0 0 p se seforadointervalo 3 14 p N 41dB 53dB Blackman w n n N n N cos cos 042 0 5 2 1 0 08 4 1 p p se0 0 n N seforadointervalo 4 60 p N 57dB 74dB Fonte adaptado de Nalon 2014 p 141 U3 Princípios de filtragem analógica e digital 132 Quadro 35 Resposta ao impulso de filtros ideais Filtro de ordem N1 h n d Passabaixas sen Ωc n M n M 1 2 1 2 p Passaaltas sen sen n M n M n M c 1 2 1 2 1 2 p Ω p n M 1 2 Passafaixas sen sen Ω Ω c c n M n M n M 2 1 1 2 1 2 p 1 2 1 2 p n M Rejeitafaixas sen sen Ω Ω c c n M n M n M 1 2 1 2 1 2 p 1 2 1 2 p n M Faça o projeto de um filtro FIR passabaixas com as seguintes características 0 99 1 01 0 0 3 0 01 0 4 H H Ω Ω Ω Ω se se p p p Solução a atenuação em ambas as bandas é de 001 ou 40dB e a banda de transição é Ω 0 4 0 3 0 1 p p p Avaliando o Quadro 34 determinamos que as janelas de Hanning Hamming e Blackman proporcionam atenuação maior que a especificada Escolhendo a janela de Hanning por causa da sua banda de transição menor determinamos a ordem do filtro como segue 0 1 2 51 25 1 p p N N Exemplificando Fonte Joaquim 2006 p 115 U3 Princípios de filtragem analógica e digital 133 Aproximando este resultado para o menor inteiro temos N 26 Admitindo que a frequência de corte está no ponto médio da banda de transição temos Ωc 0 35 p Assim a resposta ao impulso do filtro será h n n n cos sen 0 5 0 5 2 25 0 35 25 2 p p p n 25 2 para n 0 1 25 Reflita Filtros FIR são sempre estáveis e de ordem maior em relação aos filtros IIR O que isso implica quando os implementamos na prática Para aprender mais sobre técnicas de projeto de filtros digitais estude o capítulo 7 do livro OPPENHEIM Alan V SCHAFER Ronald W Processamento em tempo discreto de sinais 3 ed São Paulo Pearson PrenticeHall 2012 665 p Pesquise mais Sem medo de errar Relembrando o nosso contexto você é um engenheiro que trabalha em uma empresa de desenvolvimento de instrumentos médicos e hospitalares com clientes em todo território nacional Atualmente você e sua equipe estão desenvolvendo um equipamento de Eletrocardiograma ECG usado para detectar problemas cardíacos Ao avaliar este sinal pelo osciloscópio você notou que havia uma grande quantidade de ruídos somados Figura 321 ao sinal e propôs um filtro para removêlos Você também já sabe que é possível implementar um filtro digital para remover os U3 Princípios de filtragem analógica e digital 134 Figura 321 a Sinal de ECG corrompido com ruído e b Espectro de amplitude Fonte elaborada pelo autor ruídos deste sinal Portanto apresente agora um projeto de filtro que seja adequado a este projeto Agora que você conhece algumas ferramentas para projetar filtros digitais você verifica que um filtro passabaixas IIR com frequência de corte normalizada 0 3 prad s é o suficiente para rejeitar os ruídos de 40 Hz no sinal do ECG Usando o Matlab para agilizar o seu projeto você obteve os seguintes resultados Função de transferência em s H s s s s 1 058 2 038 2 077 1 058 3 2 Função de transferência em z H z z z z z 0 0495 0 1486 0 1486 0 0495 1 11619 0 695 1 2 3 1 9 0 1378 2 3 z z Equação de diferenças y n x n x n x n 0 0495 0 1486 1 0 1486 2 0 0495 3 11619 1 0 6959 2 0 1378 3 y n y n y n O sinal de ECG filtrado e seu espectro de amplitude estão U3 Princípios de filtragem analógica e digital 135 Figura 322 a Sinal filtrado com filtro digital e seu b Espectro de amplitude Fonte elaborada pelo autor Avançando na prática Transformação em frequência Descrição da situaçãoproblema Você está trabalhando em um laboratório didático e quer gerar um sinal senoidal de 1 kHz de frequência com um circuito eletrônico Ao medir este sinal no osciloscópio entretanto você verificou que há uma grande quantidade de ruído de baixa frequência sobreposto ao seu sinal de interesse Figura 323 a Projete um filtro digital para remover esta interferência apresentados na Figura 322a e 322b respectivamente As localizações dos polos de H z e a resposta em frequência do filtro estão na Figura 324c e 324d respectivamente U3 Princípios de filtragem analógica e digital 136 Figura 323 a Sinal medido em laboratório e b espectro de amplitude Fonte elaborada pelo autor Resolução da situaçãoproblema Podemos usar o projeto anterior de filtro IIR passabaixas e convertêlo em passa altas com transformação em frequência Consultando o Quadro 33 temos z z z 1 1 1 1 a a e a cos cos Ω Ω Ω Ω c c c c 2 2 e Wc é a frequência de corte desejada Uma vez que 1 kHz será equivalente a0 2 prad s frequência normalizada o filtro passaaltas precisa ter frequência de corte menor Supondo Ωc 0 1prad s temos α π π π π cos cos 0 3 0 1 2 0 3 0 1 2 0 8506 e z z z 1 1 0 8506 1 0 8506 Aplicando a transformação em frequência temos Função de transferência em z U3 Princípios de filtragem analógica e digital 137 H z z z z z 0 7294 2 1883 2 1883 0 7294 1 2 3741 1 2 3 1 1 9294 0 5321 2 3 z z Equação de diferenças y n x n x n x n 0 7294 2 1883 1 2 1883 2 0 7294 3 2 3741 1 1 9294 2 0 5321 3 y n y n y n O Matlab possui diversas funções para fazer a conversão de filtros Neste caso em questão o comando numhpdenhp iirlp2hpnumlpdenlp0301 fará a conversão de um filtro passabaixa com numerador numlp denominador denlp e frequência de corte normalizada 0 3 prad s para um filtro passaaltas com numerador numhp denominador denhp e frequência de corte normalizada 0 1 prad s O sinal filtrado e seu espectro de amplitude estão apresentados na Figura 324a e 324b respectivamente As localizações dos polos de H z e a resposta em frequência do filtro estão na Figura 324c e 324d respectivamente Figura 324 a Sinal filtrado com filtro digital e seu b Espectro de amplitude Fonte elaborada pelo autor U3 Princípios de filtragem analógica e digital 138 2 Como filtros tanto analógicos quanto digitais são sistemas dinâmicos é necessário garantir a estabilidade a partir das posições dos polos Para isso todos os polos do filtro analógico devem estar localizados no semiplano esquerdo do plano s No caso dos filtros digitais os polos devem estar dentro da circunferência unitária Um filtro IIR de segunda ordem foi projetado a partir de um equivalente analógico para ter frequência de corte 0 5 prad s Qual é a equação de diferenças deste filtro a y n x n x n x n n 0 2929 0 5858 1 0 5858 2 0 1716 2 b y n x n x n x n n 0 2929 0 5858 1 0 5858 2 0 1716 2 c y n x n x n x n n 0 2929 0 5858 1 0 5858 2 0 1716 2 1 Filtros digitais também podem ser classificados de acordo com a sua característica em frequência da mesma forma que fizemos para os filtros analógicos como passabaixas passaaltas passafaixas e rejeita faixas Entretanto estes filtros são implementados digitalmente em um computador eou microcontrolador e fazem a filtragem do sinal após este ter sido discretizado Preencha as lacunas a seguir e escolha a alternativa correta Os filtros possuem funções de transferência com um polinômio no domínio z apenas com numerador e a sua resposta depende apenas de momentos passados e presente da entrada Estes filtros são sempre e apresentam fase linear isto é produzem o mesmo atraso para todas as frequências envolvidas evitando distorções no sinal de saída Já os filtros são isto é a saída no instante atual depende dos valores presentes e passados da entrada além dos valores passados da saída a FIR estáveis recursivos IIR b IIR estáveis recursivos FIR c IIR instáveis não recursivos IIR d FIR estáveis não recursivos IIR e FIR instáveis recursivos FIR Faça valer a pena U3 Princípios de filtragem analógica e digital 139 3 O método do janelamento é usado para projetar filtros FIR a partir do truncamento da resposta ao impulso de um filtro ideal com alguma função de janela w n A resposta ao impulso de um filtro FIR h n é dada por h n h n w n d em que h n d é a resposta ao impulso para filtros ideais Projete um filtro FIR passabaixas com as seguintes características 0 99 1 01 0 0 4 0 01 0 6 H H Ω Ω Ω Ω se se p p p Assinale a alternativa que apresenta a resposta ao impulso do filtro correta usando a janela de Hamming a h n n n n cos sen 0 5 0 5 6 0 5 6 6 p p p b h n n n n cos sen 0 54 0 46 6 0 5 6 6 p p p c h n n n cos sen 0 54 0 46 2 15 0 4 7 5 p p p n 7 5 d h n n n cos sen 0 54 0 46 2 15 0 5 7 5 p p p n 7 5 e h n n n n cos sen 0 54 0 46 7 0 5 7 7 p p p d y n x n x n x n n 0 2929 0 5858 1 0 5858 2 0 1716 2 e y n x n x n x n n 0 2929 0 5858 1 0 5858 2 0 1716 2 JOAQUIM Marcelo Basílio Introdução ao processamento digital de sinais notas de aula São Carlos 2006 Disponível em httpwwwalanengbrdiscdspapostila pdsmarcelobjpdf Acesso em 16 mar 2018 LATHI Bhagwandas Pannalal Sinais e sistemas lineares Porto Alegre Bookman 2008 856 p MALVINO Albert P BATES David J Eletrônica 8 ed Porto Alegre AMGH 2016 v 2 NALON José Alexandre Introdução ao processamento digital de sinais Rio de Janeiro Livros Técnicos e Científicos Editora 2014 200 p OPPENHEIM Alan V SCHAFER Ronald W Processamento em tempo discreto de sinais 3 ed São Paulo Pearson PrenticeHall 2012 665 p OPPENHEIM Alan V WILLSKY Alan S Sinais e sistemas 2 ed São Paulo Pearson PrenticeHall 2010 568 p PINHEIRO Carlos Alberto Murari MACHADO Jeremias Narbosa FERREIRA Luís Henrique de Carvalho Sistemas de controles digitais e processamento de sinais Projetos simulações e experiências de laboratório 1 ed Rio de Janeiro Interciência 2017 332 p SADIKU Matthew No ALEXANDER Charles K Fundamentos de circuitos elétricos Porto Alegre AMGH Editora 2013 Referências Unidade 4 Caro aluno encerraremos nossa disciplina com uma introdução ao processamento digital de sinais tema de extrema abrangência e importância no cenário tecnológico mundial Na primeira seção estudaremos a amostragem de sinais de tempo contínuo e sua conversão em sequências de tempo discreto além do fenômeno de aliasing suas consequências e como evitálo Já na segunda seção estudaremos o algoritmo da transformada rápida de Fourier FastFourier Transform FFT que foi mencionado na Seção 33 mas não foi implementado Com este método você terá uma maneira simples de executar a análise de Fourier de sinais de tempo discreto Por fim na última seção teremos uma noção dos componentes de um sistema de aquisição de dados e de como estes funcionam numa perspectiva de processamento de sinais Imagine agora que você é engenheiro líder de projetos de motores elétricos de uma grande empresa multinacional Atualmente você e sua equipe estão desenvolvendo um equipamento para fazer análise de vibrações mecânicas de motores como uma forma de manutenção preditiva isto é para antecipar algum problema Como você pode amostrar este sinal para ser processado digitalmente Quais são as análises pertinentes ao problema Para responder a esta e outras perguntas fique atento aos conceitos que trabalharemos nesta seção Bons estudos Convite ao estudo Introdução ao processamento digital de sinais U4 Introdução ao processamento digital de sinais 142 Equipamentos modernos utilizam técnicas de processamento digital de sinais para ajudar os usuários em tomadas de decisões fazer avaliações monitoramento etc O primeiro passo para isso é amostrar os sinais de interesse isto é transformálos em uma sequência de tempo discreto que possa ser armazenada digitalmente e usada por um processador Retomando o nosso contexto você é engenheiro líder de projetos de motores elétricos de uma grande empresa multinacional e desenvolve junto com a sua equipe um equipamento para fazer análise de vibrações mecânicas de motores como uma forma de manutenção preditiva Como você pode amostrar este sinal para ser processado digitalmente Quais são as análises pertinentes ao problema Para responder a esta e outras perguntas fique atento aos conceitos que trabalharemos nesta seção Seção 41 Diálogo aberto Amostragem Não pode faltar Sinais de tempo discreto podem ser obtidos a partir da amostragem de sinais de tempo contínuo x t que consiste em multiplicálo por um trem de impulsos p t isto é uma sequência de funções impulso unitário igualmente espaçadas no tempo p t t nTs n d 41 em que Ts é o período de amostragem medido em segundos A Figura 41 a mostra um sinal de tempo contínuo x t e o trem de impulsos p t Ao multiplicarmos ambos os sinais apenas os valores de x t nos instantes de tempo em que p t ¹ 0 serão armazenadas na sequência de tempo discreto Figura 41 b U4 Introdução ao processamento digital de sinais 143 Fonte adaptada de Oppenheim e Willsky 2010 p 306 Figura 41 a Sinal x t e trem de impulsos p t e b Sinal amostrado pelo produto xptxtpt Vamos ver agora os efeitos da amostragem no domínio da frequência A Figura 42 a apresenta o espectro de frequência de um sinal no domínio do tempo e a Figura 42 b apresenta um trem de impulsos com frequência de amostragemws A partir da propriedade da multiplicação de sinais podemos demonstrar que o espectro de frequência do sinal amostrado é periódico isto é é constituído pelo espectro do sinal original replicado e deslocado ao longo do eixo w Figura 42 c Dependendo da largura de banda do sinal de tempo contínuo e da frequência de amostragem utilizada pode ocorrer sobreposição do espectro conhecida como aliasing Figura 42 d e portanto perda de informação do sinal original Para que a amostragem seja feita corretamente precisamos garantir que o sinal seja limitado em banda isto é que possua uma frequência máxima wM no caso da Figura 42 Assim um filtro analógico é usado antes da amostragem para limitar a banda dos sinais de entrada Trataremos do aliasing com mais detalhes em instantes Figura 42 Espectro de frequência de um a sinal de tempo contínuo e de um b trem de impulsos espectro do sinal amostrado c sem sobreposição e d com sobreposição Fonte adaptada de Oppenheim e Willsky 2010 p 307 U4 Introdução ao processamento digital de sinais 144 O período de amostragem determina a quantidade de amostras que serão coletadas de um sinal e de certa forma a qualidade da representação deste A Figura 43 mostra quatro amostragens de um sinal senoidal de frequência unitária traços pretos sendo que a primeira amostra sempre é feita no instantet 0 O primeiro período de amostragem é 0 5 s Figura 43 a e é reduzido pela metade consecutivamente até o último caso Figura 43 d A partir da conexão entre cada amostra por meio de uma linha tracejada azul que representa uma interpolação linear notase que a representação de x n se assemelha ao sinal original apenas para Ts 0 125 s e 8 amostras por período Na Figura 43 a o sinal não é lido corretamente e na Figura 43 b a sequência de tempo discreto representa uma onda triangular sem semelhanças com o sinal original e portanto não são representações adequadas No último caso Figura 43 d a sequência de tempo discreto representa claramente um sinal senoidal Figura 43 Espectro de frequência de um a sinal de tempo contínuo e de um b trem de impulsos espectro do sinal amostrado c sem sobreposição e d com sobreposição Fonte elaborada pelo autor Dessa forma como podemos definir uma taxa de amostragem adequada Para isso precisamos conhecer o teorema da U4 Introdução ao processamento digital de sinais 145 amostragem de Nyquist Um sinal limitado em banda isto é que possui frequência máxima finita wmax pode ser reconstruído se for amostrado com uma frequência maior que 2wmax conhecida como frequência ou taxa de Nyquist OPPENHEIM WILLSKY 2010 Determine a frequência de Nyquist para os sinais x t t t cos sen 5 10 2 20 e y t t 2rect Solução o sinal x t é limitado em banda e possui wmax 20rad s Portanto a frequência de Nyquist para este sinal é ws 40rad s O sinal y t é um pulso retangular com período unitário e que possui espectro de frequência dado por Y sinc w w 2 2 Uma vez que este espectro tende a zero conforme a frequência tende ao infinito este sinal não é limitado em banda e portanto a frequência de Nyquist tende ao infinito Exemplificando O sinal de tempo contínuo deve ser limitado em frequência ou em banda para que possamos aplicar o teorema da amostragem de Nyquist Assimile O procedimento para reconstruir um sinal a partir de suas amostras é conhecido como interpolação conforme apresentado na Figura 43 com interpolação linear isto é amostras adjacentes são conectadas por uma reta isto é um retentor de primeira ordem Uma forma prática de amostrar sinais de tempo contínuo é a partir de retentores de ordem zero ROZ que tomam uma amostra em um determinado instante de tempo e a mantêm até o instante seguinte O ROZ que possui resposta ao impulso deste filtro de interpolação é um pulso retangular com largura Ts e amplitude unitária Figura 44 a Quando um sinal de tempo contínuo limitado em banda fmax B é amostrado pelo ROZ o sinal de saída será constituído de amostras na forma de pulsos retangulares com a mesma largura Ts e amplitude do sinal original Figura 44 U4 Introdução ao processamento digital de sinais 146 b O espectro de amplitude do ROZ é apresentado na Figura 44 c onde fica claro que este filtro possui o comportamento de um filtro passabaixas Vale ressaltar que o ROZ da Figura 44 é não causal e não realizável Para implementar este filtro h t deve ser atrasada de Ts 2 LATHI 2008 Figura 44 a Resposta ao impulso do ROZ b Sinal reconstruído a partir do ROZ c Espectro de amplitude do ROZ Fonte Lathi 2008 p 686 Reflita Imagine agora que usaremos um filtro de interpolação que possua resposta ao impulso no formato de uma função sinc que pela dualidade da transformada de Fourier possui espectro de amplitude no formato de pulso retangular Esta alteração trará algum benefício à amostragem A amostragem de sinais em sistemas reais é realizada por conversores analógicodigitais AD ou CAD e necessita de uma etapa de quantização uma espécie de arredondamento do seu valor para o valor mais próximo possível dentre aqueles permitidos pelo AD Isto resulta em erro nas amostras conhecido como erro U4 Introdução ao processamento digital de sinais 147 de quantização e relacionase com a quantidade de bits disponíveis LATHI 2008 Estudaremos os conversores AD na Seção 43 Muito cuidado deve ser tomado ao fazer amostragem de sinais práticos principalmente por causa do aliasing Vamos supor que fizemos a amostragem de um sinal limitado em banda wmax com w s 2w max de forma que o espectro de frequência do sinal original seja agora periódico Figura 45 a Para reconstruir o sinal a partir das amostras do primeiro caso é necessário filtrálo com um filtro passabaixas ideal o que é impraticável dado que a ordem do filtro tenderia ao infinito Assim precisamos aumentar a taxa de amostragem para criar um espaçamento entre os ciclos do espectro de frequência Figura 45 b de forma a tornar possível a filtragem e consequente reconstrução É importante notar que todo espectro indesejado deve ser eliminado para a reconstrução do sinal o que implica em ter atenuação infinita a partir de uma determinada frequência portanto também impraticável Isso nos leva à conclusão de que a reconstrução melhora conforme aumentamos a taxa de amostragem apesar de ser impossível fazer a reconstrução exata de um sinal a partir das suas amostras LATHI 2008 Figura 45 Espectro de frequência de um sinal amostrado a na frequência de Nyquist e b acima da frequência de Nyquist as linhas pontilhadas representam a resposta em frequência do filtro passabaixas Fonte adaptada de Lathi 2008 p 688 U4 Introdução ao processamento digital de sinais 148 Outro problema prático é o aliasing no qual parte do espectro adjacente interfere no espectro original pois os sinais práticos não são limitados em banda Figuras 46 a e 46 b Esta sobreposição é minimizada conforme aumentamos a taxa de amostragem mas nunca eliminada completamente A Figura 46 c mostra o espectro do sinal reconstruído após filtragem ideal destacando a diferença entre Xa w e X w Considerando uma taxa de amostragem ws o aliasing causará a perda da cauda de X w além do seu reaparecimento invertido a partir da frequência de dobra ws 2 Figura 46 a Espectro de frequência de um sinal prático espectro dos sinais b amostrado e c reconstruído Fonte adaptado de Lathi 2008 p 690 Para sinais senoidais no formato sen2p f mf s t o aliasing altera a frequência do sinal amostrado de acordo com f f mf a s 42 Em que fa é a frequência aparente f é a frequência do sinal de tempo contínuo e m é um inteiro Se fa for negativo haverá inversão de fase no sinal amostrado em relação ao original Uma maneira de superar este problema é aplicar um filtro passa baixas analógico com frequência de corte menor que ws 2 antes de fazer a amostragem do sinal conhecido como filtro antialiasing Dessa forma o sinal reconstruído não terá distorções de baixa frequência mas apenas perdas em altas frequências Figura 47 Além disso as frequências acima da ws 2 não podem ser U4 Introdução ao processamento digital de sinais 149 amostradas por ws pois estariam em desacordo com o teorema da amostragem de Nyquist Figura 47 Espectro de frequência após aplicar o filtro antialiasing Fonte adaptada de Lathi 2008 p 690 Considere o sinal x t ft sen 2p amostrado sempre com fs 200Hz Determine se haverá aliasing e a frequência aparente do sinal para a f 20Hz b f 120Hz e c f 250Hz Solução a Como 20 Hz é menor que a frequência de dobra 100 Hz não haverá aliasing e a frequência do sinal amostrado é 20 Hz b Como 120 Hz é maior que a frequência de dobra haverá aliasing nesta condição e o sinal amostrado terá frequência aparente f f a a 120 200 80Hz com inversão de fase c Como 250 Hz é maior que a frequência de dobra haverá aliasing nesta condição e o sinal amostrado terá frequência aparente f f a a 250 200 50Hz sem inversão de fase Todos os sinais amostrados e seus respectivos espectros de amplitude estão apresentados na Figura 48 As linhas pontilhadas representam os sinais de tempo contínuo de cada item avaliado Exemplificando U4 Introdução ao processamento digital de sinais 150 Figura 48 a Sinal de f 20Hz e b espectro de amplitude c sinal de f 120Hz e d espectro de amplitude e sinal de f 250Hz e f espectro de amplitude Fonte elaborada pelo autor Para aprender mais sobre amostragem de sinais estude o capítulo 8 do livro Pesquise mais U4 Introdução ao processamento digital de sinais 151 LATHI Bhagwandas Pannalal Sinais e sistemas lineares Porto Alegre Bookman 2008 856 p Para conhecer alguns aspectos mais avançados da teoria da amostragem estude o capítulo 4 do livro OPPENHEIM Alan V SCHAFER Ronald W Processamento em tempo discreto de sinais 3 ed São Paulo Pearson PrenticeHall 2012 665 p Sem medo de errar Retomando o nosso contexto você é engenheiro líder de projetos de motores elétricos de uma grande empresa multinacional e desenvolve junto com a sua equipe um equipamento para fazer análise de vibrações mecânicas de motores como uma forma de manutenção preditiva Supondo que este motor vibre com uma frequência fundamental de 60 Hz além da quinta e nona harmônicas 300 Hz e 540 Hz como você pode amostrar este sinal De acordo com o teorema da amostragem de Nyquist este sinal precisa ser amostrado com uma frequência maior que 1080 Hz Entretanto para evitar problemas com aliasing é conveniente aumentar a taxa de amostragem A Figura 49 mostra a amostragem deste sinal de vibração para duas taxas de amostragem 2000 Hz e 1000 Hz Ambas as sequências são apresentadas com a quantidade de amostras necessárias para visualizarmos dois períodos do sinal O espectro de frequência para fs 2000Hz Figura 49 b apresenta a três componentes do sinal 60 Hz 300 Hz e 540 Hz Entretanto o espectro frequência para fs 1000Hz menor que a taxa de Nyquist apresenta aliasing e desloca a componente de 540 Hz para 460 Hz induzindo uma leitura incorreta de uma das frequências de vibração U4 Introdução ao processamento digital de sinais 152 Figura 49 a Sinal de vibração amostrado com fs 2000Hz e b espectro de amplitude c sinal de vibração amostrado com fs 1000Hz e d espectro de amplitude Fonte elaborada pelo autor Avançando na prática Filtro antialiasing e a taxa de amostragem Descrição da situaçãoproblema Um sensor de ultrassom é utilizado para medir o nível de fluido em tanques O sinal de saída possui componentes de frequências entre 80 kHz e 100 kHz devendo ser amostrado para ser usado em um sistema de processamento digital de sinais Um filtro antialiasing com frequência de corte 300 kHz foi usado antes da amostragem Este filtro foi bem projetado U4 Introdução ao processamento digital de sinais 153 Resolução da situaçãoproblema Considerando que o sinal medido possui fmax 100kHz então de acordo com o teorema da amostragem de Nyquist será necessário amostrálo com fs 200kHz Entretanto uma vez que o filtro antialiasing analógico possui frequência de corte 300kHz a taxa de amostragem deve ser maior que este valor pois caso contrário o filtro não atenuará as componentes adjacentes do espectro de frequência amostrado periódico Se aumentarmos a taxa de amostragem para 600kHz por exemplo as componentes produzidas pelo sensor apareceriam como 520 kHz e 500 kHz com inversão de fase e seriam atenuadas pelo filtro antialiasing Se aumentarmos ainda mais a taxa de amostragem digamos que para 1000 kHz as componentes produzidas pelo sensor apareceriam como 920 kHz e 900 kHz com inversão de fase e seriam ainda mais atenuadas pelo filtro antialiasing Portanto este filtro antialiasing não foi bem projetado e você precisa utilizar uma taxa de amostragem bem maior que a taxa de Nyquist 1 O teorema da amostragem de Nyquist deve ser observado sempre que formos fazer a amostragem de um sinal de tempo contínuo sob o risco da sequência de tempo discreto não representar adequadamente o sinal original Efeitos de sobreposição espectral devem ser levados em consideração para evitar medições incorretas Avalie as afirmações a seguir sobre amostragem de sinais de tempo contínuo I Sinais limitados em banda devem ser amostrados com f f s 2 max II Aliasing é o efeito de sobreposição do espectro de frequência e deve estar presente para garantir que o sinal amostrado tenha energia máxima III Retentores de ordem zero tomam uma amostra em um determinado instante de tempo e a mantém até o instante seguinte Assinale a alternativa que apresenta as afirmações corretas a I b II c I e III d II e III e I II e III Faça valer a pena U4 Introdução ao processamento digital de sinais 154 2 O aliasing é um problema que é inerente à aquisição de sinais e deve sempre ser levado em consideração Quando um sinal não é limitado em banda parte do espectro adjacente interfere no espectro original Esta sobreposição é minimizada conforme aumentamos a taxa de amostragem mas nunca eliminada completamente Além disso o aliasing pode causar a interpretação incorreta do espectro de frequência Considere os sinais x t t cos 200p e y t t sen 2 400p amostrados com fs 500Hz Determine se haverá aliasing e a frequência aparente dos sinais a Haverá aliasing apenas para y t com fay 100 Hz e inversão de fase b Haverá aliasing apenas para y t com fay 100 Hz sem inversão de fase c Haverá aliasing apenas para x t com fax 100 Hz e inversão de fase d Não há aliasing para ambos os sinais e suas frequências aparentes são as suas frequências reais e Haverá aliasing apenas para x t com fax 100 Hz sem inversão de fase 3 O aliasing deve sempre ser levado em consideração no momento de fazer amostragem de sinais Quando um sinal não é limitado em banda parte do espectro adjacente interfere no espectro original e pode causar a interpretação incorreta do espectro de frequência Um sensor fornece um sinal de tensão senoidal como saída para medição de velocidade de um motor cuja velocidade máxima é de 9000 rpm rotações por minuto A leitura de velocidade é feita por um sistema de aquisição de dados a partir da frequência do sinal de saída onde 1 Hz equivale a 1 rps rotação por segundo e apresenta este resultado ao usuário Considerando que o motor gira a velocidade máxima determine a frequência medida quando a taxa de amostragem for 250 Hz e 500 Hz Assinale a alternativa que apresenta as frequências medidas nesta ordem e qual das duas taxas de amostragem deve ser usada para o sistema de aquisição de dados a 100 Hz 150 Hz e 500 Hz b 150 Hz 150 Hz e 500 Hz c 100 Hz 100 Hz e 250 Hz d 150 Hz 100 Hz e 250 Hz e 150 Hz 100 Hz e 500 Hz U4 Introdução ao processamento digital de sinais 155 A análise de Fourier foi apresentada na Unidade 2 deste livro e nos forneceu ferramentas matemáticas para avaliar sinais e sistemas no domínio da frequência tanto de tempo contínuo quanto discreto por meio de séries e transformadas de Fourier As análises feitas na ocasião foram realizadas algebricamente em sinais e sistemas com equacionamento conhecido como x t t cos 10 por exemplo o que não acontece necessariamente em sistemas digitais em que os sinais são amostrados Nesta situação normalmente não dispomos de uma equação que defina a sequência obtida com a amostragem mas apenas os valores das amostras Sendo assim a classe de algoritmos FastFourier Transform FFT apresenta métodos numéricos poderosos para avaliar sequências de tempo discreto Retomando o nosso contexto você é engenheiro líder de projetos de motores elétricos de uma grande empresa multinacional e desenvolve junto com a sua equipe um equipamento para fazer análise de vibrações mecânicas de motores como uma forma de manutenção preditiva Você já identificou um critério para amostrar estes sinais adequadamente Uma vez que você não conhece uma equação algébrica para definir esta vibração como você pode identificar as componentes de frequência deste sinal Para responder a esta e outras perguntas fique atento aos conceitos que trabalharemos nesta seção Seção 42 Diálogo aberto O algoritmo FastFourier Transform FFT Não pode faltar Sinais de tempo discreto reais isto é amostrados e armazenados em um sistema de processamento de sinais ou mesmo um computador são sequências de duração finita com N amostras normalmente variando de 0 a N1 A transformada de Fourier discreta TFD ferramenta fundamental para análise deste tipo de sinais é U4 Introdução ao processamento digital de sinais 156 uma sequência que corresponde a amostras da transformada de Fourier de tempo discreto TFTD A TFD de uma sequência x n é definida pelas equações de síntese e de análise X k x n e j N kn n N 2 0 1 p 43 x n N X k e j N kn n N 1 2 0 1 p 44 Compare a Equação 43 síntese com a definição da TFTD Equação 227 repetida aqui por conveniência X x n e j n n Ω Ω e note que a TFD é a TFTD para Ω 2pk N Em outras palavras a TFD não é uma função de variável contínua como a TFTD mas uma sequência determinada pela amostragem desta última em intervalos de frequência 2pk N Além disso a TFD também pode ser obtida a partir da transformada Z TZ fazendo z e j k N 2p isto é com amostras igualmente espaçadas na circunferência de raio unitário com ângulo 2p N A TFD de uma sequência é periódica em k com período N e várias das suas propriedades são relativamente similares às definidas para a TFTD A TFD é uma sequência e está relacionada com a TFTD a partir da amostragem desta última A TFD pode ser implementada via software para determinar o espectro de frequência de sequências de tempo discreto numericamente Assimile Uma outra forma de representar a TFD é X k x n WN kn n N 0 1 45 em que W e N j N 2p e o índice k varia de 0 até N1 Para U4 Introdução ao processamento digital de sinais 157 calcular todos os termos da TFD pela Equação 45 será necessário fazer aproximadamente N 2 operações de adição e multiplicação Esta complexidade computacional não é aceitável para grandes quantidades de amostras pelo número proibitivo de operações necessárias para determinar a TFD Assim precisamos de uma maneira mais rápida para calculála isto é diminuir a complexidade computacional do algoritmo de forma a viabilizar a determinação da TFD em especial para que isso possa ser feito por processadores de tempo real A classe de algoritmos da FFT entra em cena com diversos métodos para resolver este problema Eles se baseiam na divisão da sequência de comprimento N em sequências menores para então determinar a TFD A divisão da sequência pode ocorrer no tempo ou na frequência o que gera duas classes de FFT aquelas com decimação ou dizimação no tempo e na frequência respectivamente O método apresentado nesta seção usa a decimação no tempo Considere uma sequência x n com quantidade de amostras igual a uma potência inteira de 2 N p 2 Esta sequência pode ser decomposta em duas sequências x n x n 1 2 e x n x n 2 2 1 contendo as amostras pares e ímpares respectivamente A TFD será X k x n W W x n W N kn n N N k N kn n N 1 2 0 2 1 2 2 0 2 1 46 Uma vez que W W N N 2 2 temos X k x n W W x n W N kn n N N k N kn n N 1 2 0 2 1 2 2 0 2 1 47 As parcelas da Equação 47 são as TFD das duas sequências criadas de forma que X k X k W X k N k 1 2 48 Uma vez que ambas as TFD são periódicas com período N 2 calculamos X k como X k X k N W X k N N k 1 2 2 2 49 U4 Introdução ao processamento digital de sinais 158 Assim a TFD da sequência de N amostras será calculada a partir da TFD de duas sequências com N 2 amostras Por exemplo para 8 amostras temos X X W X 0 0 0 1 8 0 2 X X W X 1 1 1 1 8 1 2 a t é X X W X 7 3 3 1 8 7 2 E s q u e m a t i c a m e n t e e s t e procedimento é representado pelo gráfico de fluxo de sinais da Figura 410 a conhecido como butterfly A complexidade computacional deste algoritmo é dada por N log2 N o que representa uma drástica redução quando comparado com N 2 operações NALON 2014 Os blocos TFD de 4 amostras podem ser divididos novamente para calcularmos TFD de ordem ainda menor e assim sucessivamente A Figura 410 b mostra a representação esquemática completa da FFT de 8 amostras Figura 410 Representação esquemática do cálculo da FFT com 8 amostras com a blocos de TFD de 4 amostras e b completo Fonte Nalon 2014 p 122 Determine a TFD da sequência x n 1111 0 0 0 0 Solução a sequência de tempo discreto possui N 8 amostras e a sua TFD será calculada de acordo com a Equação 49 O primeiro termo é determinado por X X W X 0 0 0 1 8 0 2 como segue X k x n WN kn n N 1 1 2 0 2 1 X x n n 1 1 0 3 0 X x n n 1 0 3 0 2 X x x x x 1 0 0 2 4 6 Exemplificando U4 Introdução ao processamento digital de sinais 159 X1 0 2 X k x n WN kn n N 2 2 2 0 2 1 X x n n 2 2 0 3 0 X x n n 2 0 3 0 2 1 X x x x x 2 0 1 3 5 7 X1 0 2 Portanto X 0 4 Este resultado poderia ter sido obtido aplicando a FFT que corresponde ao cálculo dos valores da sequência da TFD a partir do algoritmo butterfly apresentado na Figura 411 apenas para o termo X 0 Assim este termo é dado por X x x W x x x x W x x 0 0 4 2 6 1 5 3 7 4 0 4 0 X x x x x x x x x 0 0 4 2 6 1 5 3 7 X 0 1 0 1 0 1 0 1 0 4 Figura 411 Algoritmo butterfly para cálculo de X 0 Fonte elaborada pelo autor Os demais termos da TFD desta sequência estão apresentados no Quadro 41 U4 Introdução ao processamento digital de sinais 160 Quadro 41 Coeficientes da TFD calculados pela FFT k X k k X k 0 4 4 0 1 1 2 4142 j 5 1 0 4142 j 2 0 6 0 3 1 0 4142 j 7 1 2 4142 j O espectro de amplitude desta sequência é apresentado na Figura 412 onde a linha pontilhada indica a TFTD deste sinal Repare que há um certo erro entre a TFD e TFTD pois a função sinc não é limitada em frequência Fonte elaborado pelo autor Figura 412 Espectro de amplitude de Xk Fonte elaborada pelo autor Reflita A FFT divide uma sequência em sequências menores para facilitar o cálculo da TFD No exemplo anterior a sequência possui 2 3 8 U4 Introdução ao processamento digital de sinais 161 amostras É possível calcular a FFT de uma sequência cuja quantidade de amostras não seja uma potência de 2 A FFT de um sinal limitado em frequência é a amostragem da TFTD Entretanto quando o sinal não for limitado em frequência haverá um erro entre a FFT e a TFTD Assimile A FFT pode ser implementada em microprocessadores para realizar o cálculo da TFD em tempo real eou após o armazenamento da sequência amostrada em memória O cálculo da FFT pode ser facilmente implementado via Matlab ou softwares com capacidades similares Há um grande número de funções predefinidas que facilitam a criação de códigos customizados pelo usuário para suas aplicações O exemplo a seguir apresenta uma maneira simples de usar a FFT no Matlab Use o Matlab para encontrar a TFD da sequência do exemplo anterior x n 1111 0 0 0 0 Considere que este sinal foi obtido a partir da amostragem da função ret t com Ts 0 5 s Solução o código a seguir calcula a FFT de x n e apresenta a comparação entre o seu módulo e o da TFTD Figura 412 close all T0 4 Período fundamental da sequência N0 8 Quantidade de amostras T T0N0 Período de amostragem x ones14 zeros14 Sequência X fftx Determina a FFT da sequência Exemplificando U4 Introdução ao processamento digital de sinais 162 r N02N021 Índices da sequência omegar r2piT0 Ângulo omega linspacepiTpiT4097 Cria vetor de frequências XTFTD 4sincomega22pi Calcula a TFTD figure pplotomegaabsXTFTDk Plot o módulo da TFTD setpLineWidth2 hold on fftshift altera o eixo de frequências de 0 até fmax pstemomegarfftshiftabsXkfilled setpLineWidth2 xlabelitk ylabelXk axis tight setgcafontname Arialfontsize16 Podemos usar a mesma ideia da FFT para calcular a transformada inversa e obter as amostras de uma sequência a partir da sua resposta em frequência x n N X k WN kn k N 1 0 1 410 O algoritmo que vimos anteriormente pode ser usado para calcular a FFT inversa bem como a função ifftxdo Matlab U4 Introdução ao processamento digital de sinais 163 Para aprender mais sobre a TFD e os métodos numéricos para implementála estude os capítulos 8 e 9 do livro OPPENHEIM Alan V SCHAFER Ronald W Processamento em tempo discreto de sinais 3 ed São Paulo Pearson PrenticeHall 2012 665 p Pesquise mais Sem medo de errar Retomando o nosso contexto você é engenheiro líder de projetos de motores elétricos de uma grande empresa multinacional e desenvolve junto com a sua equipe um equipamento para fazer análise de vibrações mecânicas de motores como uma forma de manutenção preditiva Supondo que este motor vibre com uma frequência fundamental de 60 Hz você sabe que deverá amostrar este sinal com uma taxa maior que 120 Hz Como você pode garantir que a sequência obtida é coerente com o sinal de tempo contínuo Podemos usar a FFT para identificar o espectro de frequência de uma sequência de tempo discreto Além disso este cálculo pode ser realizado em tempo real por um microprocessador uma vez que a quantidade de operações necessárias para calcular a FFT é muito menor do que o cálculo da TFD pela definição Conforme aumentamos a taxa de amostragem maior será a frequência de dobra e consequentemente será cada vez mais fácil isolar o espectro do sinal das suas repetições A Figura 413 mostra alguns sinais senoidais de 60 Hz obtidos para diferentes taxas de amostragem e as FFTs das sequências A diferença entre as sequências obtidas é visualmente grande e de maneira direta concluímos que quanto maior for a taxa de amostragem melhor será a representação do sinal de tempo contínuo Entretanto essa melhoria vem com um preço aumento na quantidade de amostras que devem ser armazenadas em alguma memória U4 Introdução ao processamento digital de sinais 164 Figura 413 a Sinal de vibração amostrado com fs 200Hz e b espectro de amplitude c sinal de vibração amostrado com fs 500Hz e d espectro de amplitude e sinal de vibração amostrado com fs 1000Hz e f espectro de amplitude Fonte elaborada pelo autor No caso de um sistema de aquisição de dados precisamos definir qual será a maior frequência de interesse para então definir a taxa de amostragem Por exemplo se quisermos limitar a banda U4 Introdução ao processamento digital de sinais 165 de frequência em 200 Hz fs 500Hz já seria o suficiente pelo teorema da amostragem O código usado para criar os gráficos da Figura 413 foi fs 200 f de amostragem Ts1fs T de amostragem f60 f0 do sinal t 0Ts01 Vetor de tempo figfigure x sin2pift Sequência de tempo discreto p stemtxkfilled Plota a sequência setpLineWidth2 xlabeln ylabelxn figfigure Llengthx N lengthx Nfft2nextpow2N Completa com zeros até a próxima potência de 2 Y fftxNfftL Calcula a FFT f fs2linspace01Nfft21 Vetor de frequências pplotf2absY1Nfft21k Plota o espectro de amplitude setpLineWidth2 xlabelFrequência Hz ylabelHk Avançando na prática Identificação de componentes de frequência de um sinal de vibração Descrição da situaçãoproblema Um sensor piezoelétrico é usado para medir vibrações mecânicas U4 Introdução ao processamento digital de sinais 166 em um motor de esteira e o sinal produzido é apresentado na Figura 414 Como você poderia identificar se há algum risco ao motor supondo que vibrações maiores 15 kHz sejam danosas Figura 414 Sinal obtido com sensor Fonte elaborada pelo autor Resolução da situaçãoproblema Para determinar as componentes de frequência deste sinal podemos aplicar a FFT em uma sequência após fazer a amostragem e verificar se há alguma componente maior que 15 kHz Usando fs 5kHz como uma estimativa inicial da taxa de amostragem obtemos a sequência e sua FFT Figuras 415 a e 415 b respectivamente sendo possível identificar três componentes fundamentais 100 Hz 800 Hz e 2 kHz Como esta última está próxima da frequência de dobra 25 kHz aumentamos a taxa de amostragem para fs 10kHz e obtemos uma nova sequência e FFT Figuras 415 c e 415 d respectivamente Com esta nova medida constatamos que não há problema de aliasing e portanto as frequências principais deste sinal são de fato 100 Hz 800 Hz e 2 kHz Desse modo há componentes de frequência de vibração danosas ao motor U4 Introdução ao processamento digital de sinais 167 Figura 415 a Amostras e b FFT para fs 5kHz c amostras e d FFT para fs 5kHz Fonte elaborada pelo autor 1 A complexidade computacional é uma medida da quantidade de operações necessárias para calcular a solução de um problema Aplicações de tempo real para o cálculo da TFD precisam ter baixa complexidade computacional o que pode ser alcançado com algoritmos de FFT Avalie as afirmações a seguir sobre a TFD I A complexidade computacional da classe de algoritmos FFT é da ordem N log2 N II A complexidade computacional para determinar a TFD a partir da definição é da ordem N 2 III A TFD está relacionada com a TFTC a partir de amostras em intervalos iguais de frequência Assinale a alternativa que apresenta as opções corretas Faça valer a pena U4 Introdução ao processamento digital de sinais 168 2 Algoritmos de alta complexidade computacional para determinar a TFD não são aceitáveis para grandes quantidades de amostras pelo número proibitivo de operações necessárias Assim precisamos de uma maneira mais rápida para calculála isto é diminuir a complexidade computacional do algoritmo de forma a viabilizar a determinação da TFD em especial para que isso possa ser feito por processadores de tempo real Complete as lacunas a seguir sobre a FFT Considere uma sequência com 64 amostras de um sinal Serão necessárias operações para determinar a TFD a partir da definição Em contrapartida usandose um algoritmo de FFT podese determinála com operações isto é aproximadamente das operações necessárias pela definição a 4096 384 e 94 b 384 384 e 100 c 384 4096 e 1066 d 4096 160 e 39 e 4096 200 e 49 3 A classe de algoritmos da FFT entra em cena com diversos métodos para resolver este problema Eles se baseiam na divisão da sequência de comprimento N em sequências menores para então determinar a TFD A divisão da sequência pode ocorrer no tempo ou na frequência Enunciado Determine a TFD da sequência x n 0 1 2 3 4 3 2 1 a X k 4 6 8284 0 11716 0 11716 0 6 8284 b X k 16 0 0 11716 0 0 0 6 8284 c X k 16 6 8284 0 11716 0 11716 0 6 8284 d X k 4 6 8284 0 11716 0 11716 0 6 8284 e X k 16 6 8284 0 11716 0 11716 0 6 8284 a I b II c I e II d II e III e I II e III U4 Introdução ao processamento digital de sinais 169 Seja bemvindo à última seção desta disciplina Durante esta unidade você conheceu o teorema da amostragem de Nyquist e o algoritmo da transformada rápida de Fourier FFT para análise de sinais Agora nós vamos conhecer mais sobre sistemas de aquisição de dados em uma perspectiva de processamento de sinais Imagine agora que você é engenheiro líder de projetos de motores elétricos de uma grande empresa multinacional Atualmente você e sua equipe estão desenvolvendo um equipamento para fazer análise de vibrações mecânicas de motores como uma forma de manutenção preditiva isto é para antecipar algum problema Você já sabe a taxa de amostragem necessária e pode usar a FFT para avaliar o espectro de frequências de vibrações Como você pode aplicar o teorema da amostragem para definir o hardware necessário para o seu projeto Como você pode rejeitar parte dos ruídos das medidas Para responder a esta e outras perguntas fique atento aos conceitos que trabalharemos nesta seção Bons estudos Seção 43 Diálogo aberto Introdução aos sistemas de aquisição de dados Não pode faltar Sistemas de aquisição de dados data acquisiton system DAQ são usados para ler sinais analógicos e convertêlos para serem processados por um sistema digital Este processamento digital pode envolver determinação de alguma figura de mérito amplificação e filtragem entre outros e é feito com os valores da sequência de tempo discreto fornecida pelo DAQ A Figura 416 apresenta um diagrama de blocos de um sistema genérico de processamento digital de sinais O sinal analógico passa por um filtro antialiasing que pode ser implementado por um filtro ativo passivo ou até mesmo um circuito integrado dedicado O estágio sample and hold SH é usado para manter o sinal contínuo em um valor até que U4 Introdução ao processamento digital de sinais 170 a conversão analógicodigital aconteça e possa receber a amostra seguinte Isso evita que alterações bruscas no sinal comprometam o valor da amostra e garante que este valor tenha equivalência exata do momento ao qual foi amostrado Figura 416 Diagrama de blocos de um sistema genérico de processamento digital de sinais Fonte adaptada de Balbinot e Brusamarello 2011 p 186 O conversor analógicodigital AD ou ADC converte o sinal de tempo contínuo em uma sequência de amostras representadas em números binários proporcional à amplitude do sinal As amostras passam por um processo de aproximação dentro de um intervalo finito de valores conhecido como quantização Este sinal é enviado à unidade de processamento responsável por realizar cálculos e operações na sequência de valores amostrados tal como determinar alguma figura de mérito do sinal calcular o espectro de frequência realizar filtragem de componentes de frequência indesejáveis etc Após o processamento o sinal precisa ser convertido para o domínio do tempo por meio de conversores digitalanalógico DA ou DAC e um filtro de reconstrução A aquisição de dados faz parte de sistemas de processamento digital de sinais e deve ser feita de modo a garantir que o processador receba amostras representativas do sinal de entrada analógico Assimile Vamos voltar nossa atenção para o conversor AD Cada nível de quantização é representado por um código binário Figura 417 Um ADC de N bits representará o sinal analógico em 2N níveis separados pelo passo de quantização δ Vmax 2N 1 A diferença entre o valor digital de saída do AD e o valor real é conhecido como erro de quantização Quanto maior for o número de bits maior será a quantidade de níveis de quantização e menor será o passo de quantização o que resulta em menor erro de quantização isto é melhor representação do sinal Figura 417 Níveis de quantização de conversores AD de 4 bits Fonte adaptada de Floyd 2007 p 766 Exemplificando Um conversor AD de 10 bits e alimentado com 5 V é usado para amostrar um sinal de tensão cuja amplitude pode variar de 0 a 2 V Nessas condições determine a quantidade de níveis de quantização e o passo de quantização deste conversor AD Quais serão os códigos binários fornecidos quando o sinal de entrada for 1 V e 2 V Solução este conversor de 10 bits possui 210 1024 níveis de quantização de 0 a 1023 O passo de quantização deste conversor AD é δ 5 1023 4887 mV Quando o sinal de entrada for de 1 V HΩ ejΩN12 senΩN2 N senΩ2 413 A largura do lóbulo principal e a frequência de corte deste filtro atenuacao de 3 dB sao determinadas por 2πN e Ωc 091πN respectivamente Figura 418 Módulo da resposta em frequência de filtros de média móvel em a escala linear e b em dB Fonte elaborada pelo autor Analisando os graficos da Figura 418 é possivel notar que a rejeicao de uma determinada frequencia nao necessariamente sera maior conforme aumentamos a ordem no filtro Por exemplo quando N 5 a componente Ω 25 rads é totalmente eliminada do sinal Entretanto quando N 7 ou N 9 essa mesma componente e apenas atenuada ao inves de eliminada Assim aumentar a ordem do filtro de médias móveis não necessariamente aumentará a atenuação para uma determinada frequência e essa análise deve fazer parte do projeto do filtro Conforme mencionamos antes o filtro de media móvel e bastante utilizado para rejeicao de ruidos como o ruido branco caracterizado por nao apresentar nenhuma componente de frequencia particularmente importante Este ruído e comumente encontrado em sistemas de áudio e medicões de sensors U4 Introdução ao processamento digital de sinais 175 Tome como exemplo o sinal senoidal corrompido com ruído branco Figura 419 a Seu espectro de frequência revela que não há nenhuma frequência particularmente importante além daquela do próprio sinal 100 Hz O sinal foi filtrado com um filtro de médias móveis com N 7 e é apresentado com seu espectro de amplitude nas Figuras 419 c e 419 d respectivamente Exemplificando Figura 419 a Sinal de entrada x n e seu b espectro de amplitude c sinal de saída y n e seu d espectro de amplitude Fonte elaborada pelo autor O seguinte código foi usado para gerar o sinal corrompido com ruído e filtrálo com filtro de médias móveis fs 5e3 f de amostragem Ts1fs T de amostragem n0250 Quantidade de amostras wgn é uma função que cria um sinal de ruído U4 Introdução ao processamento digital de sinais 176 branco x sin2pi100nTswgn1lengthn15 sinal figfigure pplotnxk plota o sinal xlabeln ylabelxn figfigure Llengthx N lengthx Nfft2nextpow2N Completa com zeros até a próxima potência de 2 Y fftxNfftL Calcula a FFT f fs2linspace01Nfft21 Vetor de frequências pplotf2absY1Nfft21k Plota o espectro de amplitude xlabelFrequência Hz ylabelXk y zerossizex Vetor para armazenar o sinal filtrado N 7 Médida móvel com N7 for iNlengthxN U4 Introdução ao processamento digital de sinais 177 yixixi1xi2xi3xi4xi 5xi6N end figfigure pplotnyk Apresenta o sinal filtrado xlabeln ylabelyn figfigure Llengthy N lengthy Nfft2nextpow2N Completa com zeros até a próxima potência de 2 Y2 fftyNfftL Calcula a FFT do sinal filtrado f fs2linspace01Nfft21 Vetor de frequências pplotf2absY21Nfft21k Plota o espectro de amplitude xlabelFrequência Hz ylabelYk Reflita O módulo da resposta em frequência do filtro de média móvel indica que as componentes de frequência acima da frequência de corte não são eliminadas mas apenas atenuadas Assim apesar de possuir comportamento semelhante a um filtro passabaixas por que o filtro de média móveis não é usado para este objetivo U4 Introdução ao processamento digital de sinais 178 Figura 420 Diagrama de blocos simplificado de um telefone celular Fonte Tocci Widmer Moss 2011 p 672 Sem medo de errar Retomando o nosso contexto você é engenheiro líder de projetos de motores elétricos de uma grande empresa multinacional Atualmente você e sua equipe estão desenvolvendo um equipamento para fazer análise de vibrações mecânicas de motores como uma forma de manutenção preditiva isto é para antecipar algum problema Como você pode aplicar o teorema da amostragem para definir o hardware necessário para o seu projeto Usando a FFT você verificou que os sinais de vibração possuem grande quantidade de ruídos o que dificulta a análise do espectro de frequências Como você pode rejeitar parte dos ruídos das medidas Verificamos na Seção 42 que fs 500Hz não só está de acordo com o teorema da amostragem como fornece uma Retomando o contexto geral apresentado na Figura 416 a unidade de processamento pode ser um processador de sinais digitais digital signal processor DSP que é um tipo de microprocessador dedicado para operações em tempo real Sistemas de telecomunicações processamento de áudio e vídeo radar e telefone celular utilizam DSP para tratamento dos sinais adquiridos pelo ADC e depois os convertem por meio de DAC para o mundo real A Figura 420 apresenta o diagrama de blocos simplificado de um telefone celular boa representacao do sinal em tempo discreto o que acaba por melhorar o espectro de frequencia determinado pela FFT Assim conversores AD que possuam taxa de amostragem maior ou igual a 500 amostras por segundo atenderao o seu projeto perfeitamente Para termos uma melhor representacao no dominio do tempo voce define que usará um AD com 1 kSPS Supondo que o sinal a ser medido esteja condicionado entre 0 e 5 V varios circuitos integrados comerciais como o ADC0804 serem capazes de fazer esta amostragem com 8 bits de resolucao e passo de quantizacao δ 5 28 1 196 mV Suponha agora que o sinal de vibracao foi corrompido com ruído branco e uma componente de 400 Hz Figuras 421 a e 421 b Podemos projetar um filtro de média móvel para rejeitar parte deste ruído e aprimorar o sinal medido Neste caso a frequência normalizada será em relação a 500 Hz Fazendo N 5 a frequência de corte e a largura do lóbulo principal serão 0182π rads e 04π rads respectivamente De acordo com a Figura 418 a componente de 400 Hz 25 rads será totalmente eliminada do sinal e o ruído branco será atenuado conforme Figuras 421 c e 421 d Assim o filtro de média móvel com N 5 atende as necessidades do projeto U4 Introdução ao processamento digital de sinais 180 Avançando na prática Projeto de filtro de médias móveis Descrição da situaçãoproblema As Figuras 422 a e 422 b mostram uma medida de vibração feita por um AD e seu espectro de amplitude Uma vez que a vibração do motor possui frequência fundamental de 40 Hz as demais componentes apresentadas são consideradas ruído Assim você decide projetar um filtro de média móvel para eliminar as componentes indesejadas Figura 421 a Sequência amostrada por ADC e seu b espectro de amplitude c sequência após filtragem por média móvel com N 5 e seu d espectro de amplitude Fonte elaborada pelo autor U4 Introdução ao processamento digital de sinais 181 Figura 422 a Sequência amostrada por ADC e seu b espectro de amplitude Fonte elaborada pelo autor Resolução da situaçãoproblema Sabendo que a frequência normalizada dos filtros digitais varia de 0 a π rad s temos que 500 Hz equivale a π rad s As demais frequências medidas 40 250 Hz 318 Hz e 400 Hz são equivalentes à 0 08 π rad s π 2rad s 0 64 π rad s e 0 8 π rad s respectivamente Precisamos definir a quantidade de amostras N do filtro de média móvel A largura do lóbulo principal deste filtro é determinada por 2π N e vale 0 666 π quando N3 o que praticamente eliminará a componente de 318 Hz e atenuará as demais Este resultado está apresentado nas Figuras 423 a e 423 b respectivamente Se aumentarmos N a largura do lóbulo principal e a frequência de corte serão diminuídas mas o atraso no sinal será cada vez maior conforme Figuras 423 c e 423 d para N 9 Assim o filtro de médias móveis com N 3 é o suficiente para este caso U4 Introdução ao processamento digital de sinais 182 Figura 423 a Sequência após filtragem por média móvel com N 3 e seu b espectro de amplitude c sequência após filtragem por média móvel com N 9 e seu d espectro de amplitude Fonte elaborada pelo autor 1 O conversor analógicodigital AD converte o sinal de tempo contínuo em uma sequência de amostras com representação por números binários proporcional à amplitude do sinal As amostras serão aproximadas para os níveis de quantização permitidos sendo que cada um é representado por um código binário único Quanto maior for o número de bits do AD maior será a quantidade de níveis de quantização e menor será o passo de quantização o que resulta em melhor representação do sinal Um conversor AD de 8 bits alimentado com 3 V é usado para amostrar um sinal de tensão cuja amplitude pode variar de 0 a 2 V Determine o passo de quantização deste conversor AD e o código binário fornecido quando o sinal de entrada for 12 V Faça valer a pena a δ 11765 mV e 011001102 b δ 11765 V e 011001102 c δ 11765 mV e 110001102 d δ 11765 mV e 111001102 e δ 11765 V1 e 111001102 2 O conversor analógicodigital AD converte o sinal de tempo contínuo em uma sequência de amostras representadas por números binários proporcionais à amplitude do sinal Esta sequência é depois enviada para uma unidade de processamento que pode ser até mesmo um processador de sinais digitais Um sensor de pressão produz um sinal de tensão como saída que pode variar de 0 a 2 V Qual dos conversores listados a seguir faz a representação mais precisa do sinal analógico Considere que todos possuem a mesma taxa de amostragem a Faixa de leitura de 0 a 3 V e 6 bits b Faixa de leitura de 0 a 5 V e 10 bits c Faixa de leitura de 0 a 2 V e 8 bits d Faixa de leitura de 0 a 1 V e 12 bits e Faixa de leitura de 0 a 4 V e 9 bits 3 Um filtro digital comumente usado em sistemas de aquisição de dados é o filtro de médias móveis moving average filter cujo objetivo é armazenar a média de N amostras da sequência de tempo discreto Este filtro que possui resposta ao impulso finita FIR e utilizado para rejeicao de ruidos e para suavizar a curva do sinal após a amostragem O sinal apresentado na figura a a seguir foi amostrado por um conversor AD e a figura b mostra o seu espectro de amplitude FFT Uma vez que este sinal deveria ser puramente senoidal de 500 Hz as demais componentes sao consideradas ruídos Projete um filtro de média móvel de forma a eliminar o ruído deste sinal e assinale a alternativa que apresenta a ordem deste filtro U4 Introdução ao processamento digital de sinais 184 Figura a Sequência ruidosa e seu b espectro de amplitude Fonte elaborada pelo autor a N3 b N4 c N5 d N6 e N7 BALBINOT A BRUSAMARELLO V J Instrumentação e fundamentos de medidas volume 1 2 ed Rio de Janeiro LTC 2011 385 p FLOYD T L Sistemas digitais fundamentos e aplicações 9 ed Porto Alegre Bookman 2007 888 p LATHI B P Sinais e sistemas lineares Porto Alegre Bookman 2008 856 p NALON J A Introdução ao processamento digital de sinais Rio de Janeiro Livros Técnicos e Científicos Editora 2014 200 p OPPENHEIM A V SCHAFER R W Processamento em tempo discreto de sinais 3 ed São Paulo Pearson PrenticeHall 2012 665 p OPPENHEIM A V WILLSKY A S Sinais e sistemas 2 ed São Paulo Pearson PrenticeHall 2010 568 p TOCCI R J WIDMER N S MOSS G L Sistemas digitais princípios e aplicações 11 ed São Paulo Pearson Prentice Hall 2011 820 p Referências Anotações Anotações Anotações Anotações Anotações Anotações Anotações KLS ANÁLISE E PROCESSAMENTO DE SINAIS Análise e Processamento de Sinais