Lista de Exercícios Resolvidos - Cálculo de Integrais Triplas e Aplicações

1 As superfícies podem ser definidas como conjuntos de pontos x yz do espaço cartesiano que satisfazem a uma equação da forma f xyz 0 sendo f uma função contínua A partir dessas estruturas podemos fazer diversos estudos como por exemplo o do plano tangente Seja uma superfície S descrita pela equação z 3x² y² Qual é a equação do plano tangente a essa superfície passando pelo ponto P 0 12 Alternativas a 3x 2y z 0 b y z 2 0 c 2y z 4 0 d x 2y z 4 0 Alternativa assinalada e 6x 2y 1 0 2 As integrais triplas são estudadas a partir de funções de três variáveis e de regiões definidas no espaço cartesiano Para o cálculo desse tipo de integral utilizamos as técnicas e resultados das integrais definidas em conjunto com integrais iteradas Considere a função de três variáveis definida por f x yz 2x y 4z Qual é o resultado da integral tripla da função f x yz calculada sobre a região de integração R 01x23x11 Alternativas a 3 Alternativa assinalada b 1 c 0 d 4 e 9 3 Para o cálculo de integrais triplas podemos empregar o sistema de coordenadas cartesianas tradicionais mas também podemos optar pelo uso de coordenadas cilíndricas ou esféricas de acordo com o formato da região de integração Considere um cilindro construído ao longo do eixo z de equação x² y² 9 Limitase esse cilindro inferiormente pelo plano xy e superiormente pelo plano 2x 2y 5z 10 Com base nessas informações assinale a alternativa que indica corretamente o volume da região limitada pelo cilindro e pelos planos apresentados Alternativas a 2 π b 18π Alternativa assinalada c 185 d π108 e 108π5 4 Uma das aplicações para o cálculo de integrais múltiplas é o estudo de massa e centro de massa associados a regiões multidimensionais Nesse contexto seja no espaço cartesiano a região S limitada superiormente pelo plano 2x 3y z 6 0 e inferiormente pelo plano coordenado xy e dentro da região em que 0 x 1 e 0 y 1 Se a densidade dessa região S é dada por ρ x yz 3xy qual é a massa dessa região S Alternativas a 4 b 0 c 1 d 2 Alternativa assinalada e 6 5 Uma das aplicações da integral tripla consiste no cálculo do volume de regiões tridimensionais Para isso é necessário construir corretamente a descrição para os limites de integração conforme a estrutura da região em estudo Diante desse tema considere o sólido tridimensional limitado superiormente pela superfície z 4 x² y² inferiormente pelo plano coordenado xy e dentro do círculo de centro na origem e raio 2 Qual é o volume ocupado pelo sólido descrito Alternativas a 323 b 163 c 4 π d 8 π Alternativa assinalada e 4