Atividades de Cálculo Diferencial e Integral III

AULA ATIVIDADE ALUNO AULA ATIVIDADE ALUNO AULA ATIVIDADE ALUNO Disciplina Cálculo Diferencial e Integral III Teleaula 01 Olá Você está bem Espero que sim Pois bem chegou o momento de interagirmos e desenvolvermos competências importantes para sua formação Tenho certeza de que se dedicando e se esforçando você será em breve um excelente profissional Nossa atividade terá dois momentos dispostos da seguinte forma Etapa 1 1h20 Intervalo 20 min Etapa 2 1h20 Etapa 1 Nessa etapa você irá retomar alguns conceitos que são essenciais para o estudo das integrais triplas Questão 1 Determine a primitiva da função 𝑓𝑥 2𝑥 3 Questão 2 Calcule as integrais que seguem 𝑎 1 𝑧3 3 𝑧2 𝑑𝑧 𝑏 4𝑥2 8𝑥 1 𝑑𝑥 c 3𝑢 1 𝑢 𝑑𝑢 𝑑 2𝑥 5 3𝑥 1 𝑑𝑥 𝑒 2𝑒𝑥 cos𝑥 𝑑𝑥 𝑓 16 𝑥5 𝑑𝑥 4 1 𝑔 2𝑥3 4𝑥2 5 𝑥2 𝑑𝑥 3 1 AULA ATIVIDADE ALUNO Questão 3 Calcule as integrais duplas a 𝑥𝑦2 3 2 𝑑𝑦 1 0 𝑑𝑥 b 𝑥2𝑦 3 2 𝑑𝑦 1 0 𝑑𝑥 c 𝑥𝑦 𝑥2 𝑥 4 𝑑𝑦 4 2 𝑑𝑥 d 𝑥2 𝑦2 2𝑥 𝑥2 𝑑𝑦 2 0 𝑑𝑥 Etapa 2 Nessa etapa você irá utilizar os conceitos vistos na primeira aula para resolver os exercícios que seguem Questão 1 Seja a superfície P definida pela equação 𝑥2 𝑦2 𝑧 1 Determine a equação do plano tangente à superfície 𝑃 no ponto de coordenadas 𝐴12 4 Questão 2 Para o cálculo das integrais triplas é necessário identificar e selecionar uma das possíveis ordens de integração quando possível Nesse sentido é necessário identificar se existem relações definidas entre os limites de integração Diante desse tema desejase calcular a integral tripla da função de três variáveis reais 𝑓𝑥 𝑦 𝑧 4𝑥 3𝑦𝑧 na região 𝑊 definida como segue 𝑊 𝑥 𝑦 𝑧 ℝ3 0 𝑥 𝑧 1 𝑦 2 0 𝑧 1 Com base nesse tema responda a Determine todas as possíveis ordens de integração que podem ser empregadas no cálculo da integral tripla de 𝑓 sobre a região 𝑊 b Calcule a integral tripla da função 𝑓 sobre 𝑊 utilizando uma das integrais apresentadas no item a AULA ATIVIDADE ALUNO c Determine o volume da região 𝑊 a partir do cálculo de uma integral tripla Questão 3 Considere um sólido C em formato de cubo definido por 𝐶 𝑥 𝑦 𝑧 ℝ3 0 𝑥 1 0 𝑦 1 0 𝑧 1 Sabendo que a função densidade que caracteriza o sólido C é dada por 𝜌𝑥 𝑦 𝑧 𝑥2 𝑦2 𝑧2 determine as coordenadas do centro de massa do sólido C Questão 4 Considere a superfície 𝑧 𝑥𝑦 limitada pelo cilindro 𝑥2 𝑦2 1 Determine a área aproximada da superfície 𝑧 𝑥𝑦 limitada pelo cilindro Questão 5 Determine a área da superfície que corresponde à parte do plano 5𝑥 3𝑦 𝑧 6 0 que está acima do retângulo 14 26 localizado no plano 𝑥𝑦 Questão 6 Determinada empresa produz baterias para automóveis Um dos modelos de bateria possui formato que pode ser aproximado pelo sólido B limitado superiormente pela superfície S de equação z 1 x2 y2 e inferiormente pelo retângulo R 11 05 05 no plano xOy Tendo como objetivo otimizar a produção desse tipo de bateria você foi contratado por essa empresa para auxiliar no estudo do projeto desse produto Considerando estas informações investigue os seguintes tópicos a Associado à otimização do volume desse produto em determinados momentos faz se necessário determinar planos tangentes Qual a equação do plano tangente à superfície S no ponto P05 0 075 b Qual o volume aproximado do sólido B descrito anteriormente e que pode ser utilizado na aproximação do formato da bateria considerada Questão 7 Calcule a integral AULA ATIVIDADE ALUNO 6𝑥𝑧 𝐸 𝑑𝑉 onde 𝐸 está abaixo do plano 𝑧 1 𝑥 𝑦 e acima da região do plano 𝑥𝑦 limitada pelas curvas 𝑦 𝑥 𝑦 0 e 𝑥 1 Bons estudos