Matemática Financeira e suas Aplicações

MATEMÁTICA FINANCEIRA E SUAS APLICAÇÕES Matemática Financeira e suas Aplicações O GEN Grupo Editorial Nacional a maior plataforma editorial no segmento CTP científico técnico e profissional publica nas áreas de saúde ciências exatas jurídicas sociais aplicadas humanas e de concursos além de prover serviços direcionados a educação capacitação médica continuada e preparação para concursos Conheça nosso catálogo composto por mais de cinco mil obras e três mil ebooks em wwwgrupogencombr Alexandre Assaf Neto O autor e a editora empenharamse para citar adequadamente e dar o devido crédito a todos os detentores dos direitos autorais de qualquer material utilizado neste livro dispondose a possíveis acertos caso inadvertidamente a identificação de algum deles tenha sido omitida Não é responsabilidade da editora nem do autor a ocorrência de eventuais perdas ou danos a pessoas ou bens que tenham origem no uso desta publicação Apesar dos melhores esforços do autor do editor e dos revisores é inevitável que surjam erros no texto Assim são bemvindas as comunicações de usuários sobre correções ou sugestões referentes ao conteúdo ou ao nível pedagógico que auxiliem o aprimoramento de edições futuras Os comentários dos leitores podem ser encaminhados à Editora Atlas SA pelo email editorialcsagrupogencombr Direitos exclusivos para a língua portuguesa Copyright 1992 by Editora Atlas SA Uma editora integrante do GEN Grupo Editorial Nacional Reservados todos os direitos É proibida a duplicação ou reprodução deste volume no todo ou em parte sob quaisquer formas ou por quaisquer meios eletrônico mecânico gravação fotocópia distribuição na internet ou outros sem permissão expressa da editora Rua Conselheiro Nébias 1384 Campos Elísios São Paulo SP CEP 01203904 Tels 21354307701150800770 editorialcsagrupogencombr wwwgrupogencombr Designer da capa Leônias Leite Produção digital Geethik Dados Internacionais de Catalogação na Publicação CIP Câmara Brasileira do Livro SP Brasil Assaf Neto Alexandre Matemática financeira e suas aplicações Alexandre Assaf Neto 13 ed São Paulo Atlas 2016 ISBN 9788597005714 1 Matemática financeira I Título 940477 CDD65001513 Índice para catálogo sistemático 1 Matemática financeira 65001513 Sumário Apresentação Nota à 13ª edição 1 Conceitos Gerais e Juros Simples 11 Juros 12 Taxas de juros 13 Diagrama do fluxo de caixa 14 Regras básicas 15 Critérios de capitalização dos juros 16 Aplicações práticas dos juros simples e compostos 17 Capitalização contínua e descontínua 18 Fórmulas de juros simples 19 Montante e capital 110 Taxa proporcional e taxa equivalente 111 Juros exato e juros comercial 112 Equivalência financeira Exercícios resolvidos Exercícios propostos 2 Juros Compostos 21 Fórmulas de juros compostos 211 Extensões ao uso das fórmulas 22 Taxas equivalentes 23 Taxa nominal e taxa efetiva 231 Conversão de taxa efetiva em nominal 232 Taxa efetiva e número de períodos de capitalização 24 Fracionamento do prazo e equivalência financeira em juros compostos 25 Convenção linear e convenção exponencial para períodos não inteiros 251 Convenção linear 252 Convenção exponencial 26 Introdução à taxa interna de retorno 27 Capitalização contínua Exercícios resolvidos Exercícios propostos 3 Descontos 31 Desconto simples Lista de Abreviaturas e Siglas Lista de Símbolos Material Suplementar Este livro foi escrito com o intuito de não somente cobrir os fundamentos teóricos da Matemática Financeira como também de desenvolver suas principais aplicações práticas As extensas aplicações da matéria são processadas de forma a adaptar o conhecimento teórico a uma situação prática não havendo preocupações maiores com relação aos detalhes normativos da operação bastante mutáveis em nossa economia Este livro foi concebido ainda de forma a atender aos cursos de graduação em Matemática Financeira nas áreas de Administração Contabilidade Economia Engenharia etc Devido ao seu enfoque prático e bastante ajustado à realidade dos negócios na economia brasileira o livro pode também ser utilizado em cursos profissionais dirigidos a executivos de empresas Cada capítulo é ilustrado com farta quantidade de exercícios resolvidos ilustrações e exemplos considerados como parte integrante da aprendizagem Ao final de cada capítulo são propostos diversos exercícios para solução sendo bastante recomendável que os estudantes tenham resolvêlos Toda relação de exercícios propostos vem acompanhada de suas respectivas respostas para melhor orientar o estudo Inúmeros exercícios e casos práticos desenvolvidos nos diversos capítulos deste livro retratam situações reais verificadas em diversas empresas e instituições financeiras e também operações praticadas no mercado financeiro Um dos aspectos que mais me entusiasmou a escrever este livro foram os inúmeros cursos de Matemática Financeira que ministrei ao longo de minha vida profissional Estes cursos foram desenvolvidos tanto em ambientes acadêmicos como empresariais proporcionando enriquecedora experiência Muitas partes deste livro são resultado da contribuição recebida dos participantes dessas atividades didáticas permitindo melhor compreender e expressar os conceitos de Matemática Financeira e suas aplicações Para os docentes encontrase disponível no site do GEN solução dos exercícios propostos no livro através de formulações da Matemática Financeira e recursos da calculadora financeira HP 12C Uma apostila bastante didática dos fundamentos da calculadora pode ser obtida também no site do GEN Alexandre Assaf Neto Nota à 13a Edição Coerente com o objetivo de manter esta obra sempre atualizada procedeuse nesta 13a edição a uma ampla revisão de seu conteúdo Da mesma forma que em edições anteriores os capítulos foram revistos e atualizados sempre que necessário incorporando diversos deles novos procedimentos de cálculo e aplicações práticas Procedeuse também uma ampla revisão de todo o livro visando identificar e corrigir eventuais erros de digitação e impressão Destaque deve ser dado às atualizações desenvolvidas no Capítulo 15 diante das alterações ocorridas nas denominações dos títulos públicos no Brasil Foram desenvolvidas atualizações também em diversos exemplos ilustrativos e ampliação de exercícios propostos em alguns capítulos Procurouse também melhorar a apresentação do livro dandose destaque a títulos tabelas e fórmulas e também a alguns conceitos importantes Importante destacar que o livro não prioriza os aspectos normativos das várias operações financeiras presentes no mercado financeiro nacional bastante mutáveis em nossa realidade e também não tem por objetivo recomendar ou sugerir qualquer tipo de investimento Deve ser ressaltado ainda que o livro destaca a formulação do problema financeiro exigindo o desenvolvimento de um raciocínio financeiro Para a solução dos vários exercícios e cálculos financeiros através dos recursos de programação de calculadoras financeiras recomendase uma pesquisa no livro Investimentos no mercado financeiro usando a calculadora financeira HP 12C 3a edição publicado pelo GEN Atlas e de autoria dos professores Alexandre Assaf Neto e Fabiano Guasti Lima Como sempre toda e qualquer sugestão e críticas de nossos leitores são muito bem recebidas É nosso intento manter um constante aperfeiçoamento desta obra visando atender da melhor forma possível a todos que desejam estudar Matemática Financeira e Suas Aplicações Alexandre Assaf Neto assafterracombr wwwinstitutoassafcombr 11 a b c 12 1 Conceitos Gerais e Juros Simples Juro A matemática financeira trata em essência do estudo do valor do dinheiro ao longo do tempo O seu objetivo básico é o de efetuar análises e comparações dos vários fluxos de entrada e saída de dinheiro de caixa verificados em diferentes momentos Receber uma quantia hoje ou no futuro não são evidentemente a mesma coisa Em princípio uma unidade monetária hoje é preferível à mesma unidade monetária disponível amanhã Postergar uma entrada de caixa recebimento por certo tempo envolve um sacrifício o qual deve ser pago mediante uma recompensa definida pelos juros Desta forma são os juros que efetivamente induzem o adiamento do consumo permitindo a formação de poupanças e de novos investimentos na economia As taxas de juros devem ser eficientes de maneira a remunerar o risco envolvido na operação empréstimo ou aplicação representado genericamente pela incerteza com relação ao futuro a perda do poder de compra do capital motivada pela inflação A inflação é um fenômeno que corrói o capital determinando um volume cada vez menor de compra com o mesmo montante o capital emprestadoaplicado Os juros devem gerar um lucro ou ganho ao proprietário do capital como forma de compensar a sua privação por determinado período de tempo Este ganho é estabelecido basicamente em função das diversas outras oportunidades de investimentos e definido por custo de oportunidade Taxas de juros A taxa de juro é o coeficiente que determina o valor do juro isto é a remuneração do fator capital utilizado durante certo período de tempo As taxas de juros se referem sempre a uma unidade de tempo mês semestre ano etc e podem ser representadas equivalentemente de duas maneiras taxa percentual e taxa unitária A taxa percentual referese aos centos do capital ou seja o valor dos juros para cada centésima parte do capital Por exemplo um capital de 100000 aplicado a 20 ao ano rende de juros ao final deste período Juro 1000 20 20000 13 O capital de 100000 tem dez centos Como cada um deles rende 20 a remuneração total da aplicação no período é portanto de 20000 A taxa unitária centrase na unidade de capital Reflete o rendimento de cada unidade de capital em certo período de tempo No exemplo acima a taxa percentual de 20 ao ano indica um rendimento de 020 20100 por unidade de capital aplicada ou seja Juro 100000 020 20000 A transformação da taxa percentual em unitária se processa simplesmente pela divisão da notação em percentual por 100 Para a transformação inversa basta multiplicar a taxa unitária por 100 Exemplos Taxa Percentual Taxa Unitária 15 8 17 86 120 1500 0015 008 017 086 120 150 Nas fórmulas de matemática financeira todos os cálculos são efetuados utilizandose a taxa unitária de juros Os enunciados e as respostas dos exercícios apresentados neste livro estão indicados pela taxa percentual Diagrama do fluxo de caixa Conforme foi comentado a matemática financeira se preocupa com o estudo das várias relações dos movimentos monetários que se estabelecem em distintos momentos no tempo Estes movimentos monetários são identificados temporalmente através de um conjunto de entradas e saídas de caixa definido como fluxo de caixa O fluxo de caixa é de grande utilidade para as operações da matemática financeira permitindo que se visualize no tempo o que ocorre com o capital Esquematicamente pode ser representado da forma seguinte A linha horizontal registra a escala de tempo ou seja o horizonte financeiro da operação O ponto zero indica o momento inicial e os demais pontos representam os períodos de tempo datas 14 15 As setas para cima da linha do tempo refletem as entradas ou recebimentos de dinheiro e as setas para baixo da linha indicam saídas ou aplicações de dinheiro Regras básicas Nas fórmulas de matemática financeira tanto o prazo da operação como a taxa de juros devem necessariamente estar expressos na mesma unidade de tempo Por exemplo admita que um fundo de poupança esteja oferecendo juros de 2 ao mês e os rendimentos creditados mensalmente Neste caso o prazo a que se refere a taxa mês e o período de capitalização do fundo mensal são coincidentes atendendo à regra básica Se uma aplicação foi efetuada pelo prazo de um mês mas os juros definidos em taxa anual não há coincidência nos prazos e deve ocorrer necessariamente um rateio É indispensável para o uso das fórmulas financeiras transformar a taxa de juro anual para o intervalo de tempo definido pelo prazo da operação ou viceversa o que for considerado mais apropriado para os cálculos Somente após a definição do prazo e da taxa de juro na mesma unidade de tempo é que as formulações da matemática financeira podem ser operadas Os critérios de transformação do prazo e da taxa para a mesma unidade de tempo podem ser efetuados através das regras de juros simples média aritmética e de juros compostos média geométrica dependendo do regime de capitalização definido para a operação Critérios de capitalização dos juros Os critérios regimes de capitalização demonstram como os juros são formados e sucessivamente incorporados ao capital no decorrer do tempo Nesta a b c d conceituação podem ser identificados dois regimes de capitalização dos juros simples ou linear e composto ou exponencial O regime de capitalização simples comportase como se fosse uma progressão aritmética PA crescendo os juros de forma linear ao longo do tempo Neste critério os juros somente incidem sobre o capital inicial da operação aplicação ou empréstimo não se registrando juros sobre o saldo dos juros acumulados Por exemplo admita um empréstimo de 100000 pelo prazo de 5 anos pagandose juros simples à razão de 10 ao ano O quadro abaixo ilustra a evolução desta operação ao período indicando os vários resultados Ano Saldo no início de cada ano Juros apurados para cada ano Saldo devedor ao nal decada ano Crescimento anual do saldo devedor Início do 1o ano Fim do 1o ano Fim do 2o ano Fim do 3o ano Fim do 4o ano Fim do 5o ano 100000 110000 120000 130000 140000 010 100000 10000 010 100000 10000 010 100000 10000 010 100000 10000 010 100000 10000 100000 110000 120000 130000 140000 150000 10000 10000 10000 10000 10000 Algumas observações podem ser apresentadas os juros por incidirem exclusivamente sobre o capital inicial de 100000 apresentam valores idênticos ao final de cada ano 010 100000 10000 em consequência o crescimento dos juros no tempo é linear no exemplo cresce 10000 por ano revelando um comportamento idêntico a uma progressão aritmética Os juros totais da operação atingem nos 5 anos 50000 se os juros simples ainda não forem pagos ao final de cada ano a remuneração do capital emprestado somente se opera pelo seu valor inicial 100000 não ocorrendo remuneração sobre os juros que se formam no período Assim no 5o ano a remuneração calculada de 10000 é obtida com base no capital emprestado há 5 anos ignorandose os 40000 de juros que foram se acumulando ao longo do período como os juros variam linearmente no tempo a apuração do custo total da dívida no prazo contratado é processada simplesmente pela multiplicação do número de anos pela taxa anual isto é 5 anos 10 ao ano 50 para 5 anos Se se desejar converter esta taxa anual para mês por exemplo basta dividir a taxa anual por 12 isto é 10 ao ano12 meses 08333 ao mês e assim por diante O regime de capitalização composta incorpora ao capital não somente os juros referentes a cada período mas também os juros sobre os juros acumulados até o momento anterior É um comportamento equivalente a uma progressão geométrica PG no qual os juros incidem sempre sobre o saldo apurado no início do período correspondente e não unicamente sobre o capital inicial Admitindose no exemplo anterior que a dívida de 100000 deve ser paga em juros compostos à taxa de 10 ao ano têmse os resultados ilustrados no quadro a seguir a b Ano Saldo no iníciode cada ano Juros apurados para cada ano Saldo devedor ao nal de cada ano Início do 1o ano Fim do 1o ano Fim do 2o ano Fim do 3o ano Fim do 4o ano Fim do 5o ano 100000 110000 121000 133100 146410 010 100000 10000 010 110000 11000 010 121000 12100 010 133100 13310 010 146410 14641 100000 110000 121000 133100 146410 161051 Os seguintes comentários sobre o quadro ilustrativo acima são colocados no critério composto os juros não incidem unicamente sobre o capital inicial de 100000 mas sobre o saldo total existente no início de cada ano Este saldo incorpora o capital inicial emprestado mais os juros incorridos em períodos anteriores o crescimento dos juros se dá em progressão geométrica evoluindo de forma exponencial ao longo do tempo O juro do primeiro ano é produto da incidência da taxa de 10 ao ano sobre o capital emprestado de 100000 totalizando 10000 No segundo ano os 21000 de juros identificam juros referentes ao 1o ano 010 100000 10000 juros referentes ao 2o ano 010 100000 10000 juros sos juros apurados no 1o ano 010 10000 1000 21000 e assim sucessivamente Diante dos resultados obtidos podese elaborar um quadro comparativo dos regimes de capitalização discutidos Capitalização simples Capitalização composta Diferença CompostaSimples Juros anuais Saldo devedor Juros anuais Saldo devedor Juros anuais Saldo devedor Início do 1o ano Fim do 1o ano Fim do 2o ano Fim do 3o ano Fim do 4o ano 10000 10000 10000 10000 100000 110000 120000 130000 140000 10000 11000 12100 13310 100000 110000 121000 133100 146410 Nihil 1000 2100 3310 Nihil 1000 3100 6410 a b Fim do 5o ano 10000 150000 14641 161051 4641 11051 As seguintes observações são válidas no primeiro período do prazo total os juros simples e compostos igualamse 10000 tornando também idêntico o saldo devedor de cada regime de capitalização Assim para operações que envolvam um só período de incidência de juros também denominado de período de capitalização é indiferente o uso do regime de capitalização simples ou composto pois ambos produzem os mesmos resultados A diferença de valores entre os critérios estabelecese em operações com mais de um período de capitalização Enquanto os juros simples crescem linearmente configurando uma PA os juros compostos evoluem exponencialmente segundo o comportamento de uma PG1 I 16 No regime composto há uma capitalização dos juros também entendida por juros sobre juros os juros são periodicamente incorporados ao saldo devedor anterior e passam assim a gerar juros Quanto maior for o número de períodos de incidência dos juros maior será a diferença em relação à capitalização simples Observe no quadro comparativo supra que a diferença entre os juros e os saldos devedores dos regimes de capitalização cresce com o passar do tempo As duas últimas colunas do quadro ilustram esta observação Um resumo do comportamento descrito dos juros simples e composto é apresentado na Figura 11 a seguir Observe que a juros simples o capital inicial cresce linearmente ao longo do tempo A juros compostos o crescimento é exponencial Figura 11 Comportamento dos juros simples e composto Aplicações práticas dos juros simples e compostos Os juros simples principalmente diante de suas restrições técnicas têm aplicações práticas bastante limitadas São raras as operações financeiras e comerciais que formam temporalmente seus montantes de juros segundo o regime de capitalização linear O uso de juros simples restringese principalmente às operações praticadas no âmbito do curto prazo No entanto as operações que adotam juros simples além de apresentarem geralmente prazos reduzidos não costumam apurar o seu percentual de custo ou rentabilidade por este regime Os juros simples são utilizados para o cálculo dos valores monetários da operação encargos a pagar para empréstimos e rendimentos financeiros para aplicações e não para a apuração do efetivo resultado percentual É importante ressaltar ainda que muitas taxas praticadas no mercado financeiro nacional e internacional estão referenciadas em juros simples porém a formação dos montantes das operações processase exponencialmente juros compostos Por exemplo a Caderneta de Poupança paga tradicionalmente uma taxa de juros de 6 ao ano para seus depositantes creditando todo mês o rendimento proporcional de 05 A taxa referenciada para esta operação é linear porém os rendimentos são capitalizados segundo o critério de juros compostos ocorrendo ao longo dos meses juros sobre juros Para uma avaliação mais rigorosa do custo ou rentabilidade expressos em percentual mesmo para aquelas operações que referenciam suas taxas em juros simples é sugerida a utilização do critério de juros compostos Tecnicamente mais correto por envolver a capitalização exponencial dos juros o regime composto é reconhecidamente adotado por todo o mercado financeiro e de capitais 17 18 1 Uma observação mais detalhada ainda revela que outros segmentos além do mercado financeiro também seguem as leis dos juros compostos tais como o estudo do crescimento demográfico do comportamento dos índices de preços da economia da evolução do faturamento e de outros indicadores empresariais de desempenho dos agregados macroeconômicos da apropriação contábil de receitas e despesas financeiras etc Capitalização contínua e descontínua Pelo que foi apresentado podese compreender regime de capitalização como o processo em que os juros são formados e incorporados ao principal Podem ser identificadas duas abordagens de capitalização contínua e descontínua A capitalização contínua se processa em intervalos de tempo bastante reduzidos caracteristicamente em intervalo de tempo infinitesimal promovendo grande frequência de capitalização A capitalização contínua na prática pode ser entendida em todo fluxo monetário distribuído ao longo do tempo e não somente num único instante Por exemplo o faturamento de um supermercado a formação do custo de fabricação no processamento fabril a formação de depreciação de um equipamento etc são capitalizações que se formam continuamente e não somente ao final de um único período mês ano O regime de capitalização contínua encontra dificuldades em aplicações práticas sendo pouco utilizado Na capitalização descontínua os juros são formados somente ao final de cada período de capitalização A caderneta de poupança que paga juros unicamente ao final do período a que se refere sua taxa de juros mês é um exemplo de capitalização descontínua Os rendimentos neste caso passam a ocorrer descontinuamente somente em um único momento do prazo da taxa final do mês e não distribuidamente pelo mês De conformidade com o comportamento dos juros a capitalização descontínua pode ser identificada em juros simples e juros compostos cujos conceitos foram apresentados anteriormente A aplicação desse regime de capitalização é bastante generalizada e totalmente adotada neste livro Fórmulas de juros simples O valor dos juros é calculado a partir da seguinte expressão J C i n onde J valor dos juros expresso em unidades monetárias C capital É o valor em representativo de determinado momento i taxa de juros expressa em sua forma unitária n prazo Esta fórmula é básica tanto para o cálculo dos juros como dos outros valores financeiros mediante simples dedução algébrica Exemplos Um capital de 8000000 é aplicado à taxa de 25 ao mês durante um trimestre Pedese determinar o valor dos juros acumulados neste período Solução C 8000000 i 25 ao mês 0025 n 3 meses 2 J J C i n J 8000000 0025 3 J 600000 Um negociante tomou um empréstimo pagando uma taxa de juros simples de 6 ao mês durante nove meses Ao final deste período calculou em 27000000 o total dos juros incorridos na operação Determinar o valor do empréstimo Solução C i 6 ao mês 006 3 4 19 n 9 meses J 27000000 Um capital de 4000000 foi aplicado num fundo de poupança por 11 meses produzindo um rendimento financeiro de 968000 Pedese apurar a taxa de juros oferecida por esta operação Solução C 4000000 i n 11 meses J 968000 Uma aplicação de 25000000 rendendo uma taxa de juros de 18 ao mês produz ao final de determinado período juros no valor de 2700000 Calcular o prazo da aplicação Solução C 25000000 i 18 ao mês 0018 n J 2700000 Montante e capital Um determinado capital quando aplicado a uma taxa periódica de juro por determinado tempo produz um valor acumulado denominado de montante e identificado em juros simples por M Em outras palavras o montante é constituído do capital mais o valor acumulado dos juros isto é M C J No entanto sabese que J C i n 1 2 Substituindo esta expressão básica na fórmula do montante supra e colocandose C em evidência M C C i n M C 1 i n Evidentemente o valor de C desta fórmula pode ser obtido através de simples transformação algébrica A expressão 1 i n é definida como fator de capitalização ou de valor futuro FCS dos juros simples Ao multiplicar um capital por este fator corrigese o seu valor para uma data futura determinando o montante O inverso ou seja 11 i n é denominado de fator de atualização ou de valor presente FAS Ao se aplicar o fator sobre um valor expresso em uma data futura apurase o seu equivalente numa data atual Graficamente temse Exemplos Uma pessoa aplica 1800000 à taxa de 15 ao mês durante 8 meses Determinar o valor acumulado ao final deste período Solução C 1800000 i 15 ao mês 0015 n 8 meses M M C 1 i n M 1800000 1 0015 8 M 1800000 112 2016000 Uma dívida de 90000000 irá vencer em 4 meses O credor está oferecendo um desconto de 7 ao mês caso o devedor deseje antecipar o pagamento para hoje Calcular o valor que o devedor pagaria caso antecipasse a liquidação da dívida Solução M 90000000 n 4 meses i 7 ao mês 007 C 110 Taxa proporcional e taxa equivalente Para se compreender mais claramente o significado destas taxas devese reconhecer que toda operação envolve dois prazos 1 o prazo a que se refere a taxa de juros e 2 o prazo de capitalização ocorrência dos juros Ilustrativamente admita um empréstimo bancário a uma taxa custo nominal de 24 ao ano O prazo a que se refere especificamente a taxa de juros é anual A seguir devese identificar a periodicidade de ocorrência dos juros Ao se estabelecer que os encargos incidirão sobre o principal somente ao final de cada ano os dois prazos considerados são coincidentes O crédito direto do consumidor promovido pelas Financeiras é outro exemplo de operação com prazos iguais Caracteristicamente a taxa cobrada é definida ao mês e os juros capitalizados também mensalmente Mas em inúmeras outras operações estes prazos não são coincidentes O juro pode ser capitalizado em prazo inferior ao da taxa devendose nesta situação ser definido como o prazo da taxa será rateado ao período de capitalização Por exemplo sabese que a Caderneta de Poupança paga aos seus depositantes uma taxa de juros de 6 ao ano a qual é agregada capitalizada ao principal todo mês através de um percentual proporcional de 05 Temse aqui então dois prazos prazo da taxa ano e prazo de capitalização mês É necessário para o uso das fórmulas de matemática financeira conforme foi abordado anteriormente expressar estes prazos diferentes na mesma base de tempo Ou transformase o prazo específico da taxa para o de capitalização ou de maneira inversa o período de capitalização passa a ser expresso na unidade de tempo da taxa de juros No regime de juros simples diante de sua própria natureza linear esta transformação é processada pela denominada taxa proporcional de juros também denominada de taxa linear ou nominal Esta taxa proporcional é obtida da divisão entre a taxa de juros considerada na operação e o número de vezes em que ocorrerão os juros quantidade de períodos de capitalização Por exemplo para uma taxa de juros de 18 ao ano se a capitalização for definida mensalmente ocorrerão 12 vezes juros no período de um ano o percentual de juros que incidirá sobre o capital a cada mês será Taxa Proporcional 15 ao mês A aplicação de taxas proporcionais é muito difundida principalmente em operações de curto e curtíssimo prazo tais como cálculo de juros de mora descontos bancários créditos de curtíssimo prazo apuração de encargos sobre saldo devedor de contacorrente bancária etc As taxas de juros simples se dizem equivalentes quando aplicadas a um mesmo capital e pelo mesmo intervalo de tempo produzem o mesmo volume linear de juros 1 a b 2 Por exemplo em juros simples um capital de 50000000 se aplicado a 25 ao mês ou 15 ao semestre pelo prazo de um ano produz o mesmo montante linear de juros Isto é J 25 am 50000000 0025 12 15000000 J 15 as 50000000 015 2 15000000 Os juros produzidos pelas duas taxas lineares de juros são iguais logo são definidas como equivalentes No regime de juros simples taxas proporcionais nominais ou lineares e taxas equivalentes são consideradas a mesma coisa sendo indiferente a classificação de duas taxas de juros como proporcionais ou equivalentes No exemplo ilustrativo acima observe que 25 am é equivalente a 15 as verificandose ainda uma proporção entre as taxas A taxa de 25 está relacionada ao período de um mês e a de 15 a seis meses Logo Pelo Apêndice A A5 temse que as grandezas são proporcionais pois o produto dos meios é igual ao produto dos extremos isto é 6 251 15 1515 Conceitos e aplicações práticas de taxas equivalentes são bastante expandidas ao tratarse no capítulo seguinte de juro composto Exemplos Calcular a taxa anual proporcional a a 6 ao mês b 10 ao bimestre Solução i 6 12 72 ao ano i 10 6 60 ao ano Calcular a taxa de juros semestral proporcional a a 60 ao ano b 9 ao trimestre Solução Conforme foi demonstrado deve haver uma igualdade entre a proporção das taxas e entre os períodos a que se referem 4 5 111 a b 3 a b Demonstre se 36 ao ano é proporcional a 12 ao trimestre Solução Verificase pela igualdade que as taxas não são proporcionais pois o produto dos meios 3 36 é diferente do produto dos extremos 12 12 Calcular o montante de um capital de 60000000 aplicado à taxa de 23 ao mês pelo prazo de um ano e 5 meses Solução M C 60000000 n 1 ano e 5 meses 17 meses i 23 ao mês 0023 M C 1 i n M 60000000 1 0023 17 83460000 Uma dívida de 3000000 a vencer dentro de um ano é saldada 3 meses antes Para a sua quitação antecipada o credor concede um desconto de 15 ao ano Apurar o valor da dívida a ser pago antecipadamente Solução M 3000000 n 3 meses i 15 ao ano 15 12 125 ao mês Cq Juro exato e juro comercial É comum nas operações de curto prazo onde predominam as aplicações com taxas referenciadas em juros simples terse o prazo definido em número de dias Nestes casos o número de dias pode ser calculado de duas maneiras pelo tempo exato utilizandose efetivamente o calendário do ano civil 365 dias O juro apurado desta maneira denominase juro exato pelo ano comercial o qual admite o mês com 30 dias e o ano com 360 dias Temse por este critério a apuração do denominado juro comercial ou ordinário Por exemplo 12 ao ano equivale pelos critérios enunciados à taxa diária de Juro Exato Juro Comercial 112 1 Na ilustração o juro comercial diário é ligeiramente superior ao exato pelo menor número de dias considerado no intervalo de tempo Equivalência financeira O problema da equivalência financeira constituise no raciocínio básico da matemática financeira Conceitualmente dois ou mais capitais representativos de uma certa data dizemse equivalentes quando a uma certa taxa de juros produzem resultados iguais numa data comum Por exemplo 12000 vencíveis daqui a um ano e 10000 hoje são equivalentes a uma taxa de juros simples de 20 uma vez que os 10000 capitalizados produziriam 12000 dentro de um ano ou os 12000 do final do primeiro ano resultariam em 10000 se atualizados para hoje Ou seja ambos os capitais produzem numa data de comparação data focal e à taxa de 20 ao ano resultados idênticos Graficamente Exemplo Determinar se 43808000 vencíveis daqui a 8 meses é equivalente a se receber hoje 29600000 admitindo uma taxa de juros simples de 6 ao mês Solução Os capitais são equivalentes à taxa de 6 ao mês Portanto a esta taxa de juros é indiferente receber 29600000 hoje ou 43808000 daqui a 8 meses A equivalência de capitais pode então ser generalizada a partir da seguinte representação gráfica Os capitais A1 A2 e B1 B2 B3 dizemse equivalentes se quando expressos em valores de uma data comum data de comparação ou data focal e à mesma taxa de juros apresentam resultados iguais Sendo a data de comparação o momento 0 temse Sendo o momento 6 escolhido como data focal temse A11 i 5 A21 i 4 B11 i 3 B21 i 2 B31 i 1 e assim por diante Na questão da equivalência financeira em juros simples é importante ressaltar que os prazos não podem ser desmembrados fracionados sob pena de alterar os resultados Em outras palavras dois capitais equivalentes ao fracionar os seus prazos deixam de produzir o mesmo resultado na data focal pelo critério de juros simples Admita ilustrativamente que o montante no final de dois anos de 10000 aplicados hoje à taxa de juros simples de 20 ao ano é igual a 14000 No entanto este processo de capitalização linear não pode ser fracionado de forma alguma Por exemplo apurar inicialmente o montante ao final do primeiro ano e a partir daí chegar ao montante do segundo ano envolve a capitalização dos juros juros sobre juros prática esta não adotada no regime de juros simples Graficamente temse O fracionamento em juros simples leva a resultados discrepantes dado que C 1 02 2 C 1 02 11 02 1 Como resultado das distorções produzidas pelo fracionamento do prazo a equivalência de capitais em juro simples é dependente da data de comparação escolhida data focal Ilustrativamente admita que A deve a B os seguintes pagamentos 5000000 de hoje a 4 meses 8000000 de hoje a 8 meses Suponha que A esteja avaliando um novo esquema de pagamento em substituição ao original A proposta de A é a de pagar 1000000 hoje 3000000 de hoje a 6 meses e o restante ao final do ano Sabese que B exige uma taxa de juros simples de 20 ao mês Esta taxa é a que consegue obter normalmente em suas aplicações de capital Pedese apurar o saldo a ser pago O problema é mais facilmente visualizado no gráfico a seguir onde convencionouse representar a dívida original na parte superior e a proposta alternativa de pagamento na parte inferior A ilustração apresentada é de substituição de uma proposta de pagamentos por outra equivalente Para serem equivalentes os pagamentos devem produzir os mesmos resultados a uma determinada taxa de juros em qualquer data comum Admita inicialmente que a data focal selecionada é o momento hoje Assim ao igualar os pagamentos das propostas em valores representativos da data focal escolhida temse DATA FOCAL 0 1 4629630 6896550 1000000 2678570 11526180 3678570 7847610 X 9731040 Suponha que B resolva definir no mês 12 a data focal para determinar o valor do saldo a ser pago Expressando se os pagamentos na data focal escolhida temse DATA FOCAL 12 5000000 1 002 8 8000000 1 002 4 1000000 1 002 12 3000000 1 002 6 X 14440000 4600000 X X 9840000 Como resultado verificase que o saldo a pagar alterase quando a data focal é modificada Esta característica é típica de juros simples em juro composto este comportamento não existe sendo explicada pelo fato de não ser aceito o fracionamento dos prazos Na prática a definição da data focal em problemas de substituição de pagamentos no regime de juros simples deve ser decidida naturalmente pelas partes não se verificando um posicionamento técnico definitivo da Matemática Financeira Exercícios resolvidos Uma pessoa aplicou em uma instituição financeira 1800000 resgatando 2145600 quatro meses depois Calcular a taxa mensal de juros simples auferida nesta aplicação Solução C 1800000 M 2145600 n 4 meses i M C 1 i n 2145600 1800000 1 4i 1192 1 4i 4i 0192 2 4 3 a b c i 0048 que representa 48 am Se uma pessoa necessitar de 10000000 daqui a 10 meses quanto deverá ela depositar hoje num fundo de poupança que remunera à taxa linear de 12 ao ano Solução M 10000000 n 10 meses i 12 aa ou i 1 am C C C 9090909 Determinar a taxa bimestral de juros simples que faz com que um capital triplique de valor após 2 anos Solução C 1 M 3 i n 24 meses ou 12 bimestres M C 1 i n 1 i n 3 1 12i 12i 2 i 01666 ou 166666 ab Um título com valor nominal de 720000 vence em 120 dias Para uma taxa de juros simples de 312 ao ano pedese calcular o valor deste título hoje dois meses antes de seu vencimento um mês após o seu vencimento 5 6 Solução Uma pessoa deve dois títulos no valor de 2500000 e 5600000 cada O primeiro título vence de hoje a 2 meses e o segundo um mês após O devedor deseja propor a substituição destas duas obrigações por um único pagamento ao final do 5o mês Considerando 3 ao mês a taxa corrente de juros simples determinar o valor deste pagamento único Solução M5 2500000 1 003 3 5600000 1 003 2 M5 2725000 5936000 8661000 Uma pessoa tem os seguintes compromissos financeiros 3500000 vencíveis no fim de 3 meses 6500000 vencíveis no fim de 5 meses Para o resgate dessas dívidas o devedor pretende utilizar suas reservas financeiras aplicandoas em uma conta de poupança que rende 66 ao ano de juros simples Pedese determinar o valor do capital que deve ser aplicado nesta poupança de forma que possam ser sacados os valores devidos em suas respectivas datas de vencimentos sem deixar saldo final na conta Solução i 66 aa 55 am 7 1 a b C0 3004292 5098039 8102331 A pessoa depositando hoje 8102331 numa poupança que paga 55 ao mês de juros simples terá condições com este capital aplicado de resgatar suas dívidas nas respectivas datas de vencimento Logo ao capitalizar o capital aplicado para os momentos 3 e 5 o resultado registrado deve ser igual ao valor dos pagamentos isto é Momento 3 8102331 1 0055 3 9439216 Resgate3500000 Saldo 5939216 Momento 5 5939216 1 0055 2 6592530 Resgate6500000 Saldo92530 O saldo remanescente de 92530 é devido à capitalização dos juros procedimento este incorreto no regime linear Foi demonstrado que em juros simples o prazo da operação não pode ser fracionado originandose daí a diferença encontrada Uma dívida no valor de 4800000 vence daqui a 6 meses O devedor pretende resgatar a dívida pagando 480000 hoje 1400000 de hoje a dois meses e o restante um mês após a data de vencimento Sendo o momento deste último pagamento definido como a data focal da operação e sabendose ainda que é de 348 ao ano a taxa linear de juros adotada nesta operação determinar o montante do pagamento Solução 4939200 577440 1603000 M 4939200 2180440 M M 2758760 Exercícios propostos Calcular a taxa mensal proporcional de juros de 144 ao ano 68 ao quadrimestre 6 8 9 10 11 12 13 c d e 2 a b c 3 a b c 4 a b c 5 7 a b c d 114 ao semestre 1104 ao ano 5472 ao biênio Calcular a taxa trimestral proporcional a juros de 120 ao ano 32 ao quadrimestre 15 ao mês Determinar a taxa de juros simples anual proporcional às seguintes taxas 25 ao mês 56 ao quadrimestre 125 para 5 meses Calcular o montante de 8500000 aplicado por 7 meses à taxa linear de 25 ao mês 9 meses à taxa linear de 116 ao semestre 1 ano e 5 meses à taxa linear de 21 ao ano Determinar os juros e o montante de uma aplicação de 30000000 por 19 meses à taxa linear de 42 ao ano Calcular o valor do juro referente a uma aplicação financeira de 750000 que rende 15 de taxa nominal ao ano pelo período de 2 anos e 3 meses Qual o capital que produz 1800000 de juros simples à taxa de 3 ao mês pelo prazo de 60 dias 80 dias 3 meses e 20 dias 2 anos 4 meses e 14 dias Uma pessoa aplicou 1200000 numa Instituição Financeira resgatando após 7 meses o montante de 1300800 Qual a taxa de juros equivalente linear mensal que o aplicador recebeu Uma nota promissória de valor nominal de 14000000 é resgatada dois meses antes de seu vencimento Qual o valor pago no resgate sabendose que a taxa de juros simples é de 19 ao mês O montante de um capital de 660000 ao final de 7 meses é determinado adicionandose 109032 de juros Calcular a taxa linear mensal e anual utilizada Um empréstimo de 348000 foi resgatado 5 meses depois pelo valor de 394980 Calcular a taxa de juros simples em bases mensais e anuais desta operação Se o valor atual de um título é igual a 45 de seu valor nominal e o prazo de aplicação for de 15 meses qual a taxa de juros simples considerada Uma mercadoria é oferecida num magazine por 13000 a vista ou nas seguintes condições 20 de entrada e um pagamento de 10690 em 30 dias Calcular a taxa linear mensal de juros que está sendo cobrada 14 17 18 20 21 15 16 19 a b 22 23 24 Em quanto tempo um capital de 400000 aplicado a 293 ao ano pelo regime linear renderá 194000 Em quanto tempo duplica um capital aplicado à taxa simples de 8 ao ano Em quanto tempo triplica um capital que cresce à taxa de 21 ao semestre O valor de resgate de um título é 140 maior que o valor da aplicação Sendo de 30 ao ano a taxa de juros simples pedese calcular o prazo da aplicação Uma aplicação de 1500000 é efetuada pelo prazo de 3 meses à taxa de juros simples de 26 ao ano Que outra quantia deve ser aplicada por 2 meses à taxa linear de 18 ao ano para se obter o mesmo rendimento financeiro Uma TV em cores é vendida nas seguintes condições preço a vista 180000 condições a prazo 30 de entrada e 130600 em 30 dias Determinar a taxa de juros simples cobrada na venda a prazo Um eletrodoméstico é vendido em três pagamentos mensais e iguais O primeiro pagamento é efetuado no ato da compra e os demais são devidos em 30 e 60 dias Sendo de 44 ao mês a taxa linear de juros pedese calcular até que valor interessa adquirir o bem a vista Uma dívida é composta de três pagamentos no valor de 280000 420000 e 700000 vencíveis em 60 90 e 150 dias respectivamente Sabese ainda que a taxa de juros simples de mercado é de 45 ao mês Determinar o valor da dívida se o devedor liquidar os pagamentos hoje daqui a 7 meses Um negociante tem as seguintes obrigações de pagamento com um banco 1800000 vencíveis em 37 dias 4200000 vencíveis em 83 dias 10000000 vencíveis em 114 dias Com problemas de caixa nestas datas deseja substituir este fluxo de pagamentos pelo seguinte esquema 2000000 em 60 dias 5000000 em 100 dias restante em 150 dias Sendo de 32 ao mês a taxa de juros simples adotada pelo banco nestas operações pedese calcular o valor do pagamento remanescente adotando como data focal o momento atual Uma máquina calculadora está sendo vendida a prazo nas seguintes condições 12800 de entrada 19200 em 30 dias 19200 em 60 dias Sendo de 11 ao mês a taxa linear de juros pedese calcular até que preço é interessante comprar a máquina a vista Uma pessoa tem uma dívida composta dos seguintes pagamentos 2200000 de hoje a 2 meses 5700000 de hoje a 5 meses 9000000 de hoje a 7 meses 25 26 27 28 29 a b c a b 30 a b c d 1a b c d e 2a b c 3a Deseja trocar estas obrigações equivalentemente por dois pagamentos iguais vencíveis o primeiro ao final do 6o mês e o segundo no 8o mês Sendo de 37 ao mês de juros simples calcular o valor destes pagamentos admitindose as seguintes datas de comparação hoje no vencimento do primeiro pagamento proposto no vencimento do segundo pagamento proposto Um poupador com certo volume de capital deseja diversificar suas aplicações no mercado financeiro Para tanto aplica 60 do capital numa alternativa de investimento que paga 342 ao ano de juros simples pelo prazo de 60 dias A outra parte é invertida numa conta de poupança por 30 dias sendo remunerada pela taxa linear de 31 ao mês O total dos rendimentos auferidos pelo aplicador atinge 156240 Pedese calcular o valor de todo o capital investido Uma pessoa contrai um empréstimo de 7500000 à taxa linear de 33 ao mês Em determinada data liquida este empréstimo pelo montante de 9232500 e contrai nova dívida no valor de 4000000 pagando uma taxa de juros simples mais baixa Este último empréstimo é resgatado 10 meses depois pelo montante de 4960000 Pedese calcular o prazo do primeiro empréstimo e o valor dos juros pagos a taxa simples de juros mensal e anual cobrada no segundo empréstimo Um empréstimo de 4200000 foi tomado por determinado prazo a uma taxa linear de 7 ao mês Em determinado momento o devedor resgata este empréstimo e contrai outro no valor de 20000000 pagando 5 de juros simples ao mês por certo prazo Após dois anos de ter contraído o primeiro empréstimo o devedor liquida sua dívida remanescente O total dos juros pagos nos dois empréstimos tomados atinge 18000000 Pedese calcular os prazos referentes a cada um dos empréstimos O valor atual de um título equivale a 23 de seu valor nominal valor de resgate Para uma taxa de juro simples de 2 am calcular o tempo que resta até o vencimento do título Um financiamento no valor de 60000 é concedido para pagamento em 5 prestações mensais e iguais sendo cobrada uma taxa de juros simples de 22 am Determinar o valor de cada prestação pelo critério de capitalização linear Calcular a taxa de juro simples mensal em cada alternativa abaixo Admita um valor de aplicação de 30000 o investidor apura um montante de 3130500 após 3 meses os juros apurados totalizaram 361200 após 7 meses o montante após 5 anos foi de 3280500 os juros totais foram de 672000 após 1 ano e 8 meses Respostas 12 am 17 am 19 am 92 am 228 am 30 at 24 at 45 at 30 aa b c 4a b c 5 6 7a b c d 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21a b 22 23 24a b c 25 26a b 168 aa 30 aa 9987500 9979000 11028750 M 49950000 J 19950000 253125 30000000 22500000 16363636 2107728 12 am 13487476 236 am e 2832 aa 27 am e 324 aa 16666 am 279 am 20 meses 1986 meses 125 anos 571428 meses 952 semestres 56 meses 3250000 365 am Interessa adquirir o produto a vista por até 959 de seu valor isto é com um desconto de 41 1198353 1601600 9405423 50578 8809838 8863028 8849614 3352790 7 meses 1732500 24 am 288 aa 27 28 29 30a b c d n1 85 meses n2 155 meses 25 meses 1278110 145 am 172 am 01558 am 112 am 21 1 O Apêndice C deste livro desenvolve o estudo de Progressão Aritmética PA e Progressão Geométrica PG necessário à Matemática Financeira 2 Juros Compostos O regime de juros compostos considera que os juros formados em cada período são acrescidos ao capital formando o montante capital mais juros do período Este montante por sua vez passará a render juros no período seguinte formando um novo montante constituído do capital inicial dos juros acumulados e dos juros sobre os juros formados em períodos anteriores e assim por diante Este processo de formação dos juros é diferente daquele descrito para os juros simples onde unicamente o capital rende juros não ocorrendo remuneração sobre os juros formados em períodos anteriores Tecnicamente o regime de juros compostos é superior ao de juros simples principalmente pela possibilidade de fracionamento dos prazos conforme foi introduzido no capítulo anterior No critério composto a equivalência entre capitais pode ser apurada em qualquer data retratando melhor a realidade das operações que o regime linear Fórmulas de juros compostos No regime de juros compostos os juros são capitalizados produzindo juros sobre juros periodicamente Para melhor desenvolver este conceito e definir suas fórmulas de cálculo admita ilustrativamente uma aplicação de 100000 a taxa composta de 10 ao mês Identificandose por PV o valor presente capital e FV o valor futuro montante1 têmse os seguintes resultados ao final de cada período Final do 1o mês o capital de 100000 produz juros de 10000 10 100000 e um montante de 110000 100000 10000 ou seja FV 100000 1 010 110000 Final do 2o mês o montante do mês anterior 110000 é o capital deste 2o mês servindo de base para o cálculo dos juros deste período Assim FV 100000 1 010 1 010 FV 100000 1 0102 121000 1 O montante do 2o mês pode ser assim decomposto 100000 capital aplicado 10000 juros referentes ao 1o mês 10 100000 10000 juros referentes ao 2o mês 10 100000 1000 juros sobre os juros produzidos no 1o mês 10 10000 Final do 3o mês dando sequência ao raciocínio de juros compostos FV 100000 1 010 1 010 1 010 FV 100000 1 0103 133100 Final do enésimo mês aplicandose a evolução dos juros compostos exposta para cada um dos meses o montante valor futuro acumulado ao final do período atinge FV 100000 1 010 1 010 1 010 1 010 FV 100000 1 010n Generalizandose onde 1 in é o fator de capitalização ou de valor futuro FCC i n a juros compostos e 11 in o fator de atualização ou de valor presente FAC i n a juros compostos A movimentação de um capital ao longo de uma escala de tempo em juros compostos se processa mediante a aplicação destes fatores conforme pode ser visualizado na ilustração a seguir Por outro lado sabese que o valor monetário dos juros J é apurado pela diferença entre o montante FV e o capital PV podendose obter o seu resultado também pela seguinte expressão J FV PV Como FV PV 1 in Colocandose PV em evidência J PV 1 in 1 Exemplos Se uma pessoa deseja obter 2750000 dentro de um ano quanto deverá ela depositar hoje numa alternativa de poupança que rende 17 de juros compostos ao mês Solução FV 2750000 n 1 ano 12 meses i 17 am PV 2 3 4 De fato uma aplicação de 2246370 hoje a 17 am de juros compostos produz ao final de um ano o montante de 2750000 ou seja FV 2246370 101712 2750000 Considerandose ainda a taxa composta de 17 am pelo conceito de valor presente PV é indiferente a essa pessoa receber 2246370 valor presente hoje ou esse valor capitalizado ao final de 12 meses Efetivamente esses valores mesmo distribuídos em diferentes datas são equivalentes para uma mesma taxa de juros de 17 am Qual o valor de resgate de uma aplicação de 1200000 em um título pelo prazo de 8 meses à taxa de juros composta de 35 am Solução PV 1200000 n 8 meses i 35 am FV FV PV 1 in FV 1200000 1 00358 FV 1200000 1316809 1580171 Determinar a taxa mensal composta de juros de uma aplicação de 4000000 que produz um montante de 4389463 ao final de um quadrimestre Solução PV 4000000 FV 4389463 n 4 meses i FV PV 1 in 1097366 1 i4 ver Apêndice B 1 i 10235 i 00235 ou 235 am Uma aplicação de 2200000 efetuada em certa data produz à taxa composta de juros de 24 ao mês um montante de 2659640 em certa data futura Calcular o prazo da operação Solução PV 2200000 FV 2659640 i 24 am n FV PV 1 in 1208927 1024n Aplicandose logaritmos ver Apêndice B temse log 1208927 n log 1024 5 Determinar o juro pago de um empréstimo de 8800000 pelo prazo de 5 meses à taxa composta de 45 ao mês Solução J PV 8800000 n 5 meses i 45 am J PV 1 in 1 J 8800000 10455 1 J 8800000 0246182 2166402 Deve ser acrescentado ao estudo de juros compostos que o valor presente capital não se refere necessariamente a um valor expresso no momento zero Em verdade o valor presente pode ser apurado em qualquer data focal anterior à do valor futuro montante Por exemplo podese desejar calcular quanto será pago por um empréstimo de 2000000 vencível de hoje a 14 meses ao se antecipar por 5 meses a data de seu pagamento Sabese que o credor está disposto a atualizar a dívida à taxa composta de 25 ao mês O problema envolve basicamente o cálculo do valor presente ou seja um valor atualizado a uma data anterior à do montante mês 9 Logo Graficamente temse a seguinte representação do problema 22 É importante ressaltar que as expressões de cálculos de PV e FV permitem capitalizações e atualizações envolvendo diversos valores e não somente um único capital ou montante Por exemplo admita um empréstimo que envolve os seguintes pagamentos 1500000 de hoje a 2 meses 4000000 de hoje a 5 meses 5000000 de hoje a 6 meses e 7000000 de hoje a 8 meses O devedor deseja apurar o valor presente na data zero destes fluxos de pagamento pois está negociando com o banco a liquidação imediata de toda a sua dívida A taxa de juros considerada nesta antecipação é de 3 ao mês Solução Representação gráfica da dívida Utilizandose a fórmula de valor presente PV 1413894 3450435 4187421 5525865 PV 14577615 Taxas equivalentes Ao se tratar de juros simples foi comentado que a taxa equivalente é a própria taxa proporcional da operação Por exemplo a taxa de 3 ao mês e 9 ao trimestre são ditas proporcionais pois mantêm a seguinte relação São também equivalentes pois promovem a igualdade dos montantes de um mesmo capital ao final de certo período de tempo Por exemplo em juros simples um capital de 8000000 produz o mesmo montante em qualquer data se capitalizado a 3 am e 9 at e assim por diante O conceito enunciado de taxa equivalente permanece válido para o regime de juros compostos diferenciandose no entanto a fórmula de cálculo da taxa de juros Por se tratar de capitalização exponencial a expressão da taxa equivalente composta é a média geométrica da taxa de juros do período inteiro isto é 1 a b onde q número de períodos de capitalização Por exemplo a taxa equivalente composta mensal de 103826 ao semestre é de 166 ou seja Assim para um mesmo capital e prazo de aplicação é indiferente equivalente o rendimento de 166 ao mês ou 103826 ao semestre Ilustrativamente um capital de 10000000 aplicado por dois anos produz Para i 166 e n 24 meses FV 10000000 1016624 14845763 Para i 103826 e n 4 semestres FV 10000000 11038264 14845763 Outra ilustração visa facilitar o melhor entendimento do conceito e cálculo de taxa equivalente de juros no regime exponencial Um certo banco divulga que a rentabilidade oferecida por uma aplicação financeira é de 12 ao semestre ou 2 ao mês Desta maneira uma aplicação de 1000000 produz ao final de 6 meses o montante de 1120000 1000000 112 Efetivamente os 12 constituemse na taxa de rentabilidade da operação para o período inteiro de um semestre e em bases mensais esse percentual deve ser expresso em termos de taxa equivalente composta Assim os 12 de rendimentos do semestre determinam uma rentabilidade efetiva mensal de 191 e não de 2 conforme foi anunciado De outra maneira i6 1 191 ao mês Naturalmente ao se aplicar 1000000 por 6 meses a uma taxa composta de 191 ao mês chegase ao montante de 1120000 FV 1000000 101916 1120000 Verificase então que o processo de descapitalização da taxa de juro no regime composto processase pela apuração de sua média geométrica ou seja da taxa equivalente Neste caso o percentual de juro considerado representa a taxa efetiva de juro da operação Exemplos Quais as taxas de juros compostos mensal e trimestral equivalentes a 25 ao ano Solução Taxa de juros equivalente mensal i 25 aa q 1 ano 12 meses i12 1 i12 1 1877 am Taxa de juros equivalente trimestral q 1 ano 4 trimestres i4 1 i4 1 5737 at 2 3 4a Explicar a melhor opção aplicar um capital de 6000000 à taxa de juros compostos de 99 ao semestre ou à taxa de 2078 ao ano Solução Para a identificação da melhor opção apurase o montante para as duas taxas e para um mesmo período Por exemplo n 1 ano FV 99 as 6000000 1 00992 7246800 FV 2078 aa 6000000 1 020781 7246800 Produzindo resultados iguais para um mesmo período dizse que as taxas são equivalentes É indiferente para um mesmo prazo e para o regime de juros compostos aplicar a 99 as ou a 2078 aa Demonstrar se a taxa de juros de 118387 ao trimestre é equivalente à taxa de 204999 para cinco meses Calcular também a equivalente mensal composta dessas taxas Solução Uma maneira simples de identificar a equivalência de taxas de juros é apurar o MMC de seus prazos e capitalizálas para este momento Se os resultados forem iguais na data definida pelo MMC dizse que as taxas são equivalentes pois produzem para um mesmo capital montantes idênticos Sabendose que o MMC dos prazos das taxas é de 15 meses 3 meses e 5 meses temse 1 01183875 1 749688 para 15 meses 1 02049993 1 749688 para 15 meses As taxas de 118387 at e 204999 para 5 meses são equivalentes compostas pois quando capitalizadas para um mesmo momento produzem resultados iguais Taxa Equivalente Mensal descapitalização iq 1 38 am iq 1 38 am Por serem equivalentes a taxa mensal é igual Uma aplicação financeira rendeu 1135 em 365 dias Determinar a taxa equivalente de retorno para 360 dias 5 23 b a b Solução Calcular a taxa de juro que equivale em 44 dias a uma taxa anual de 112 Solução Uma mercadoria pode ser adquirida com desconto de 7 sobre o seu preço a prazo Calcular a taxa efetiva mensal de juros que é cobrada na venda a prazo admitindo um prazo de pagamento de a 30 dias b 40 dias Solução n 30 dias 100 100 7 1 i 1 i i 10753 1 i 00753 753 am n 40 dias 100 100 7 1 i 1 i i 00753 753 p 40 dias i 107533040 1 i 559 am Taxa nominal e taxa efetiva A taxa efetiva de juros é a taxa dos juros apurada durante todo o prazo n sendo formada exponencialmente através dos períodos de capitalização Ou seja taxa efetiva é o processo de formação dos juros pelo regime de juros compostos ao longo dos períodos de capitalização É obtida pela seguinte expressão Taxa Efetiva if 1 iq 1 onde q representa o número de períodos de capitalização dos juros Por exemplo uma taxa de 38 ao mês determina um montante efetivo de juros de 5645 ao ano ou seja if 1 003812 1 5644 aa Quando se diz por outro lado que uma taxa de juros é nominal geralmente é admitido que o prazo de capitalização dos juros ou seja período de formação e incorporação dos juros ao principal não é o mesmo daquele definido para a taxa de juros Por exemplo seja a taxa nominal de juros de 36 ao ano capitalizada mensalmente Os prazos não são coincidentes O prazo de capitalização é de um mês e o prazo a que se refere a taxa de juros igual a um ano 12 meses Assim 36 ao ano representa uma taxa nominal de juros expressa para um período inteiro a qual deve ser atribuída ao período de capitalização Quando se trata de taxa nominal é comum admitirse que a capitalização ocorre por juros proporcionais simples Assim no exemplo a taxa por período de capitalização é de 3612 3 ao mês taxa proporcional ou linear Ao se capitalizar esta taxa nominal apurase uma taxa efetiva de juros superior àquela declarada para a operação Baseandose nos dados do exemplo ilustrativo acima temse Taxa nominal da operação para o período 36 ao ano Taxa proporcional simples taxa definida para o período de capitalização 3 ao mês Taxa efetiva de juros if 1 426 ao ano Observe que a taxa nominal não revela a efetiva taxa de juros de uma operação Ao dizer que os juros anuais são de 36 mas capitalizados mensalmente apurase que a efetiva taxa de juros atinge 426 ao ano Para que 36 ao ano fosse considerada a taxa efetiva a formação mensal dos juros deveria ser feita a partir da taxa equivalente composta ou seja Ao se capitalizar exponencialmente esta taxa de juros equivalente mensal chegase evidentemente aos 36 ao ano Convencionase neste livro que quando houver mais de um período de capitalização e não houver uma menção explícita de que se trata de uma taxa efetiva a atribuição dos juros a estes períodos deve ser processada através da taxa proporcional Por outro lado quando os prazos forem coincidentes prazo da taxa e o de formação dos juros a representação da taxa de juros é abreviada Por exemplo a expressão única 10 aa indica que os juros são também capitalizados em termos anuais Muitas vezes ainda o mercado define para uma mesma operação expressões diferentes de juros em termos de sua forma de capitalização Por exemplo o custo efetivo de 42 ao mês cobrado por um banco pode ser equivalentemente definido em 412 ao mês para o mesmo período ou seja A taxa de 412 am é nominal linear e equivalente à efetiva de 42 am 1 2 3 a b c a b Os exemplos desenvolvidos a seguir visam promover um melhor entendimento do conceito e cálculo das taxas nominais e efetivas de juros Exemplos Um empréstimo no valor de 1100000 é efetuado pelo prazo de um ano à taxa nominal linear de juros de 32 ao ano capitalizados trimestralmente Pedese determinar o montante e o custo efetivo do empréstimo Solução Admitindo de acordo com a convenção adotada que a taxa de juros pelo período de capitalização seja a proporcional simples temse Taxa nominal lineari 32 aa Descapitalização proporcionali 324 8 at Montante do empréstimo FV PV 1 i4 FV 1100000 1084 FV 1496540 Taxa Efetiva if 1 0084 1 if 1084 1 if 360 aa A Caderneta de Poupança paga juros anuais de 6 com capitalização mensal à base de 05 Calcular a rentabilidade efetiva desta aplicação financeira Solução Sendo de 24 aa a taxa nominal de juros cobrada por uma instituição calcular o custo efetivo anual admitindo que o período de capitalização dos juros seja mensal trimestral semestral Solução Custo efetivo if Custo efetivo if 1 0244⁴ 1 2625 aa 4 231 c a b a b Custo efetivo if Uma aplicação financeira promete pagar 42 ao ano de juros Sendo de um mês o prazo da aplicação pedese determinar a sua rentabilidade efetiva considerando os juros de 42 aa como Taxa Efetiva Taxa Nominal Solução Taxa Efetiva A rentabilidade mensal é a taxa equivalente composta de 42 aa Capitalizandose exponencialmente os juros de 297 ao mês chegase evidentemente à taxa efetiva anual de 42 isto é 1 0029712 1 42 ao ano Taxa Nominal A rentabilidade mensal de 42 aa é definida pela taxa proporcional simples isto é Ao se capitalizar exponencialmente esta taxa para o prazo de um ano chegase a um resultado efetivo superior à taxa nominal dada de 42 aa if 1 003512 1 511 aa Logo 511 é a taxa efetiva anual da operação sendo de 42 a taxa declarada nominal Conversão de taxa efetiva em nominal Muitas vezes o mercado financeiro define para uma mesma operação expressões diferentes de juros em termos de sua forma de capitalização Por exemplo uma linha de crédito de cheque especial costuma ser definida na prática tanto por taxa efetiva como por taxa nominal linear Nestas condições para a comparabilidade dos custos é essencial que se referenciem as taxas segundo um mesmo critério de apuração dos juros Ilustrativamente admita que o custo do crédito pessoal do banco A corresponda a uma taxa efetiva de 42 ao mês Por outro lado o banco B diz que está cobrando uma taxa nominal de somente 412 ao mês 30 dias corridos Os juros da operação são calculados diariamente sobre o saldo devedor da contacorrente Em verdade os custos das instituições são equivalentes produzindo a mesma taxa efetiva ou seja 232 Outro exemplo ilustrativo visa melhor compreender o processo de conversão das taxas de juros Transformar a taxa efetiva de 48 ao ano em taxa nominal com capitalização mensal Solução Taxa efetiva e número de períodos de capitalização À medida que o número de períodos de capitalização de uma taxa nominal de juros aumenta a taxa efetiva também se eleva Em outras palavras quanto maior a frequência de capitalização de uma mesma taxa nominal mais alto é o rendimento acumulado Para ilustrar admita uma taxa nominal de 18 ao ano A tabela a seguir apresenta a taxa efetiva anual para diferentes períodos de capitalização Período de Capitalização Número de Períodos Taxa Efetiva Anual Anual 1 180 Semestral 2 1881 Quadrimestral 3 1910 Trimestral 4 1925 Mensal 12 1956 Diário 360 1972 Observe que a taxa efetiva anual cresce conforme aumenta o número de períodos de incidência dos juros produzindo um valor futuro maior Para uma mesma taxa nominal podese concluir que maior número de períodos de capitalização é mais interessante aos aplicadores de recursos pois produz maior rendimento acumulado efetivo Para os tomadores de empréstimos ao contrário uma maior frequência na capitalização dos juros eleva o custo efetivo da operação 24 Fracionamento do prazo e equivalência financeira em juros compostos Muitos conceitos desenvolvidos para juros simples permanecem válidos em juros compostos alterandose unicamente suas expressões de cálculo Por exemplo apuração do valor presente e valor futuro Outros enunciados no entanto apesar de manterem a mesma linha de raciocínio assumem algumas propriedades diferenciadoras no regime composto necessitando de um tratamento específico Assim podem ser considerados os aspectos referentes ao fracionamento dos prazos de juros e à formulação da equivalência financeira Ao contrário do que ocorre em juros simples o prazo de uma operação pode ser fracionado desmembrado no regime de juros compostos sem que isso leve a alterar os resultados de valor presente e valor futuro calculados Basicamente esta propriedade pode ser explicada pelo produto de potências conforme exposto no Apêndice B Sendo n n1 n2 temse FV PV 1 in ou FV PV 1 in1 1 in2 PV 1 in1 n2 PV 1 in O prazo do expoente do prazo n pode ser fracionado de forma que a soma dos subperíodos seja igual ao período inteiro Por exemplo calcular o montante de um capital de 3000000 aplicado a 14 ao ano pelo prazo de um ano tendo os seguintes períodos de capitalização n 12 meses FV 3000000 114 3420000 n 6 meses FV 3000000 11412 11412 3420000 n 4 meses FV 3000000 11413 11413 11413 3420000 e assim por diante Para cada período de capitalização podese também utilizar a respectiva taxa equivalente composta ao invés de se trabalhar com expoentes fracionários isto é n 12 mesesi 14 aa FV 3000000 114 3420000 n 6 mesesiq 1 677 as FV 3000000 106772 3420000 n 4 mesesiq 1 446 as FV 3000000 104463 3420000 Sabese que a equivalência financeira se verifica quando dois ou mais capitais produzem o mesmo resultado se expressos em certa data comum de comparação a uma mesma taxa de juros Em juros compostos ao contrário do verificado no regime linear a equivalência de capitais pode ser definida para qualquer data focal A capacidade de desmembramento 1 a b do prazo descrita há pouco determina que a equivalência independe da data de comparação escolhida Ilustrativamente admita o mesmo exemplo desenvolvido no item 111 do capítulo anterior e descrito no gráfico abaixo A taxa de juros considerada é de 2 am A situação trata em essência da substituição de um conjunto de compromissos financeiros por outro equivalente devendose determinar o valor do pagamento no mês 12 Este pagamento deve ser tal que o valor da proposta expressa em certa data focal seja exatamente igual ao valor do plano original expresso no mesmo momento Admitindose que a data de comparação escolhida seja o momento atual data zero temse DATA FOCAL 0 11447150 3663914 07885 X 07885 X 7783236 X 9871025 Definindose no mês 12 outra data focal para o cálculo do pagamento DATA FOCAL 12 5000000 1 0028 8000000 1 0024 1000000 1 00212 3000000 1 0026 X 5858297 8659457 1268242 3378487 X 14517754 4646729 X X 9871025 O saldo a pagar não se altera com a data focal Em juros compostos a equivalência financeira independe do momento tomado como comparação Exemplos Uma empresa deve 18000000 a um banco sendo o vencimento definido em 3 meses contados de hoje Prevendo dificuldades de caixa no período a empresa negocia com o banco a substituição deste compromisso por dois outros de valores iguais nos meses 5 e 6 contados de hoje Sendo de 36 ao mês a taxa de juros pedese calcular o valor dos pagamentos propostos sendo a data focal hoje de hoje a 3 meses 2 c a b c de hoje a 5 meses Solução Graficamente DATA FOCAL hoje 16188000 0837917 P 0808801 P 16188000 1646718 P DATA FOCAL no 3o mês 18000000 0931709 P 0899333 P 1831042 P 18000000 DATA FOCAL no 5o mês 18000000 10362 P 19319330 P 0965251 P 1965251 P 19319330 Um título vence daqui a 4 meses apresentando um valor nominal resgate de 40716490 É proposta a troca deste título por outro de valor nominal de 48000000 vencível daqui a 8 meses Sendo de 5 ao mês a rentabilidade exigida pelo aplicador pedese avaliar se a troca é vantajosa Solução Graficamente a operação é representada Com o intuito de promover um entendimento mais profundo de equivalência este problema será solucionado de diferentes maneiras Rentabilidade 25 Inicialmente calculase a rentabilidade esperada da proposta comparandoa com a taxa mínima exigida pelo aplicador Se a taxa calculada superar o percentual mínimo exigido a proposta é classificada como atraente Em caso contrário a decisão é de rejeição PV 40716490 FV 48000000 n 4 meses FV PV 1 in 48000000 40716490 1 i4 1178884 1 i4 1042 1 i i 0042 ou 42 am A proposta não é vantajosa pois oferece uma rentabilidade 42 am inferior à taxa mínima exigida pelo aplicador 5 am Valor Presente Uma maneira simples de resolver o problema é calcular o valor presente do título que vence em 8 meses no momento do vencimento do outro título à taxa de atratividade do investidor isto é Verificase que o PV é menor que os 40716490 do título proposto indicando que a rentabilidade oferecida no intervalo de tempo n 4 a n 8 é inferior a 5 ao mês taxa exigida pelo investidor Portanto o critério do PV valor presente ratifica o desinteresse pela substituição dos títulos O valor presente também poderia ser calculado na data focal zero ou em qualquer outra data de comparação mantendose as mesmas conclusões a respeito da desvantagem na troca É sugerido ao leitor que faça a comparação em outras datas focais Convenção linear e convenção exponencial para períodos não inteiros Em algumas operações financeiras o prazo não é um número inteiro em relação ao prazo definido para a taxa Por exemplo taxa de juros de 18 ao ano e prazo da operação de 1 ano e 7 meses Sendo anual o período de capitalização dos juros o prazo inteiro é 1 ano e o fracionário 7 meses Ao se adotar rigorosamente o conceito de capitalização descontínua conforme definida no capítulo anterior item 17 não poderia haver a incorrência de juros no intervalo de tempo fracionário somente ao final de um período completo 251 Como na prática é muito raro a não formação dos juros e incorporação ao principal em intervalos de tempo inferiores a um período inteiro passase a adotar duas convenções para solucionar estes casos linear e exponencial Convenção linear A convenção linear admite a formação de juros compostos para a parte inteira do prazo e de juros simples para a parte fracionária Esta convenção é 252 em essência uma mistura do regime composto e linear adotando fórmulas de juros compostos na parte inteira do período e uma formação de juros simples na parte fracionária A expressão de cálculo do montante na convenção linear é a seguinte sendo mk parte fracionária do prazo Por exemplo seja o capital de 10000000 emprestado à taxa de 18 ao ano pelo prazo de 4 anos e 9 meses Calcular o montante deste empréstimo pela convenção linear Solução PV 10000000 n inteiro 4 anos i 18 ao ano FV FV 10000000 1938778 1135 FV 22005130 Deve ser registrado que o uso deste critério de formação dos juros na prática é bastante reduzido A ampla maioria das operações financeiras adota a convenção exponencial para todo o intervalo de tempo Convenção exponencial A convenção exponencial adota o mesmo regime de capitalização para todo o período Ou seja utiliza capitalização composta tanto para a parte inteira como para a fracionária Esta convenção é mais generalizadamente usada na prática sendo considerada tecnicamente mais correta por empregar somente juros compostos e taxas equivalentes para os períodos não inteiros A expressão básica de cálculo é a seguinte FV PV 1 in mk Utilizandose os dados do exemplo anterior calculase o montante FV 10000000 1 0184 912 FV 10000000 1184 075 FV 10000000 118475 21950250 O procedimento é o mesmo ao se determinar a taxa equivalente mensal de 18 ao ano e capitalizála para os 57 meses 4 anos e 9 meses 1 26 i 18 aa iq 1 1388843 am FV 10000000 1 00138884357 21950250 Observe que existe uma diferença entre os montantes apurados FV Conv Linear 22005130 FV Conv Exponencial 21950250 Diferença54880 Isto se deve conforme foi explicado à formação de juros simples no prazo fracionário da convenção linear Apesar de não parecer grande apenas 54880 ou 025 em relação ao montante apurado na convenção exponencial em outras situações principalmente de maiores expressões numéricas a diferença pode ser relevante Exemplo Uma pessoa aplicou um capital pelo prazo de 2 anos e 5 meses à taxa de 18 ao ano Determinar o valor da aplicação sabendose que o montante produzido ao final do período atinge 2480000 Resolver o problema utilizando as convenções linear e exponencial Solução FV 2480000 n 2 anos e 5 meses i 18 ao ano Convenção Linear Convenção Exponencial FV PV 1 in mK 2480000 PV 1182 512 2480000 PV 11824166 Introdução à taxa interna de retorno O conceito de taxa interna de retorno representada por IRR apresenta inúmeras aplicações práticas constituindose num dos mais importantes instrumentos de avaliação da matemática financeira É relevante notar que a IRR é utilizada não somente para calcular a taxa de retorno rentabilidade de uma aplicação como também para 1 determinar o custo de um empréstimofinanciamento Por este uso mais amplo talvez fosse melhor denominála de taxa interna de juros em vez de retorno Conceitualmente a taxa interna de retorno é a taxa de juros que iguala numa única data os fluxos de entrada e saída de caixa produzidos por uma operação financeira aplicação ou captação Em outras palavras é a taxa de juros que se utilizada para descontar um fluxo de caixa produz um resultado nulo Na formulação de juros compostos apresentada a taxa interna de retorno é o i da expressão de cálculo Por exemplo admita uma aplicação de 36000000 que produz montante de 38768060 ao final de 3 meses A taxa de juros que iguala a entrada de caixa resgate da aplicação no mês 3 com a saída de caixa aplicação financeira de 36000000 na data zero constituise efetivamente na IRR da operação ou seja em sua rentabilidade Graficamente Sendo FV PV 1 in temse 38768060 36000000 1 i3 1076891 1 i3 1 i 1025 i 25 am Observe que pela equivalência de capitais em juros compostos a taxa de 25 iguala o fluxo de caixa em qualquer data focal Por conveniência é que se adota na maioria das vezes a data zero como a de comparação dos valores Logo 25 é a taxa interna de retorno da aplicação realizada pois iguala em qualquer momento do horizonte de tempo o capital de 36000000 com o montante de 38768060 produzido após três meses O Capítulo 10 dedicase mais pormenorizadamente ao estudo do método da taxa interna de retorno e de suas aplicações na matemática financeira e análise de investimentos Exemplo Para um empréstimo de 1150000 um banco exige o pagamento de duas prestações mensais e consecutivas de 600000 cada Determinar o custo mensal da operação Solução 27 2 O custo do empréstimo é a taxa de juros que iguala numa mesma data os valores do fluxo de caixa Para uma data focal zero Com o auxílio de uma calculadora financeira chegase a um custo de i 2885 ao mês que representa a taxa interna de retorno da operação Corroborando ao se calcular o PV dos pagamentos mensais a 2885 am apurase um resultado exatamente igual a 1150000 anulando o fluxo de caixa PV 583175 566825 1150000 PV 1150000 1150000 0 Um imóvel no valor de 470000 é vendido nas seguintes condições Entrada de 190000 2 parcelas mensais iguais e sucessivas de 96000 1 parcela ao final do 5o mês de 180000 Determinar a taxa de juros ao mês embutida no financiamento do imóvel Solução Representação da venda do imóvel no fluxo de caixa A taxa de juro embutida no financiamento taxa interna de retorno do fluxo de caixa é a taxa de desconto que iguala o valor presente dos pagamentos ao valor do imóvel no momento zero Assim Calculando com o auxílio de uma calculadora financeira temse Taxa Interna de Retorno i 978 am Esta é a taxa de juro mensal cobrado no financiamento do imóvel Observe que o valor presente dos pagamentos pela taxa de retorno calculada é igual ao valor líquido do financiamento ou seja Capitalização contínua O capítulo tratou das taxas de juros ocorrendo de forma finita e discreta ao final de cada período conforme é mais usual nas operações que envolvem matemática financeira Foram apresentadas diversas situações em que os juros são capitalizados por cada período com frequência cada vez maior como anual semestral trimestral mensal diária etc Nesta sequência podese ainda prever uma forma de capitalização infinitamente grande que ocorre a cada instante infinitesimal conhecida por capitalização contínua A formulação da capitalização contínua apresentase da forma seguinte FV PV eI n onde e número constante base dos logaritmos neperianos e 27182818284 I taxa de juro periódica conhecida por taxa instantânea Por exemplo admita uma aplicação de 100000 por dois anos à taxa de 10 com capitalização contínua Qual o montante apurado ao final desse período com capitalização contínua e nas condições de capitalização discreta de juros compostos Solução Capitalização contínua FV PV eI n FV 100000 27182010 2 FV 100000 27182020 FV 122140 Juros compostos capitalização discreta FV PV 1 in FV 100000 1102 FV 121000 A capitalização contínua produz um resultado final maior que o calculado pelas condições de juros compostos A taxa capitalizada de forma contínua equivale a uma taxa de juros compostos com capitalização discreta anual de 105 12214 10000012 1 tornando indiferente as duas formas de capitalização As aplicações práticas de capitalização contínua são restritas a certas operações em que os fluxos de caixa encontramse de forma uniforme distribuídos no tempo Alguns exemplos receitas de vendas de um supermercado depreciações de ativos fixos formação do preço de venda rentabilidade de um título cotado no mercado etc Da mesma forma uma carteira formada por inúmeras ações paga rendimentos em intervalos bastante curtos de tempo Uma carteira mais diversificada com ações e títulos de renda fixa oferece ganhos de juros e dividendos praticamente todos os dias Estes valores reaplicados oferecem retornos capitalizados com grande frequência sendo também recomendado o uso das formulações de capitalização contínua Exemplo Ilustrativo 1 Determinar o montante produzido por um capital inicial de 700000 aplicado por 15 meses à taxa de juros de 15 am nos regimes de capitalização descontínua finita e contínua Solução Capitalização descontínua FV PV 1 in FV 7000000 101515 FV 8751624 Capitalização contínua FV PV eI n 1 FV 7000000 e0015 15 FV 7000000 27182810015 15 FV 8766259 Taxa Contínua I Conforme explicado na capitalização contínua supõese que as variações do tempo variável n sejam mínimas infinitesimais assumindo uma capitalização instantânea No caso da capitalização descontínua temse FV PV 1 in Para a capitalização contínua FV PV eI n Igualandose PV 1 in PV eI n 1 in eI n 1 i eI I ln 1 i Por exemplo uma taxa de 22 am no regime de capitalização descontínua equivale na capitalização contínua à taxa de I ln 1022 2176 am As duas taxas i 22 am e I 2176 am são equivalentes produzindo em cada regime de capitalização o mesmo montante Assim para um capital de 500000 aplicado por 2 meses temse Descontínua FV 500000 10222 FV 522240 Contínua FV 500000 e02176 2 FV 522240 Exemplo Ilustrativo 2 Sendo 45 a valorização de uma ação em determinado mês apurar a taxa de juro instantânea Solução I ln 1045 I 440 am Crescimento do Capital Tanto a capitalização contínua como a descontínua crescem segundo uma progressão geométrica porém com razões diferentes A taxa de crescimento da capitalização contínua é maior determinando um crescimento mais rápido do capital Exercícios resolvidos Calcular o montante de uma aplicação financeira de 8000000 admitindose os seguintes prazos e taxas a b c a b c 2 a b c d a b i 55 amn 2 anos i 9 ao bimestren 1 ano e 8 meses i 12 aan 108 meses Solução i 55 am n 24 meses FV PV 1 in FV 8000000 1 005524 FV 8000000 105524 FV 8000000 3614590 28916720 i 9 ao bimestre n 1 ano e 8 meses 20 meses 10 bimestres FV 8000000 1 00910 FV 8000000 10910 FV 8000000 2367364 18938910 i 12 aa n 108 meses 9 anos FV 8000000 1 0129 FV 8000000 1129 FV 8000000 2773079 22184630 Determinar o juro J de uma aplicação de 10000000 nas seguintes condições de taxa e prazo i 15 amn 1 ano i 35 atn 2 anos e meio i 5 asn 3 anos i 42 aqn 84 meses Solução i 15 am n 1 ano 12 meses J PV 1 in 1 J 10000000 1 001512 1 J 10000000 101512 1 J 10000000 0195618 1956180 i 35 at n 2 anos e meio 10 trimestres J 10000000 103510 1 3 4 c d 5 J 10000000 0410599 4105990 i 5 as n 3 anos 6 semestres J 10000000 1056 1 J 10000000 0340096 3400960 i 42 aq n 84 meses 21 quadrimestres J 10000000 104221 1 J 10000000 1372587 13725870 Uma pessoa irá necessitar de 1200000 daqui a 7 meses Quanto deverá ela depositar hoje numa conta de poupança para resgatar o valor desejado no prazo admitindo uma taxa de juros de 35 ao mês Solução Calcular a taxa mensal de juros de uma aplicação de 660000 que produz um montante de 738581 ao final de 7 meses Solução i PV 660000 FV 738581 n 7 meses FV PV 1 in 1119 1 i7 10162 1 i i 162 am Em quanto tempo duplica um capital que cresce à taxa de juros compostos de 22 ao mês 6 7 8 a b c Solução PV 1 FV 2 Mantida a proporção podese atribuir qualquer valor a PV e FV i 22 am n Utilizandose a fórmula básica FV PV 1 in 2 1022n Aplicandose logaritmo conforme demonstrado no Apêndice B log 2 log 1022n log 2 n log 1022 3185 meses 31 meses e 26 dias Uma pessoa deve a um banco dois títulos com valores de resgate de 400000 e 900000 vencíveis respectivamente em 5 e 7 meses Desejando antecipar a liquidação de toda a dívida para o momento atual data zero pedese determinar o valor a pagar considerando uma taxa de juros de 19 ao mês Solução PV 364074 788902 1152976 Verificar se as taxas de juros de 13789318 at e 35177214 para 7 meses são equivalentes Solução Uma solução simples é calcular o MMC dos prazos definidos para as taxas e capitalizálas até esta data Sendo de 21 meses o MMC temse 1 01378937 1 147 p21 meses 1 03517723 1 147 p21 meses As taxas são equivalentes Alternativamente a equivalência poderia também ser verificada na taxa mensal iq 1 44 am iq 1 44 am Calcular a taxa efetiva anual ou capitalizar para um ano às seguintes taxas 25 am 4 ab 6 at 9 d a b c d 10 as Solução i12 1 002512 1 3449 aa i12 1 0046 1 2653 aa i12 1 0064 1 2625 aa i12 1 0102 1 210 aa Uma aplicação de 7800000 gerou um montante de 11021196 numa certa data Sendo de 25 ao mês a taxa de juros considerada calcular o prazo da aplicação 10 b a b a Solução PV 7800000 FV 11021196 i 25 am FV PV 1 in 1412974 1025n Aplicandose log log 1412974 log 1025n log 1412974 n log 1025 Para uma taxa de juros de 7 ao mês qual das duas alternativas de pagamento apresenta menor custo para o devedor pagamento integral de 14000000 a vista na data zero 3000000 de entrada 4000000 em 60 dias e 10436856 em 120 dias Solução O problema pode ser solucionado calculandose o PV das duas alternativas à taxa de 7 am A alternativa que apresentar o maior valor presente é a que tem o maior custo isto é PV 14000000 PV 3000000 PV 3000000 3493755 7962227 14455982 A alternativa de pagamento b com maior valor presente apresenta um custo superior a 7 ao mês sendo portanto a mais onerosa O custo taxa percentual da alternativa b em relação ao pagamento a vista é calculado pelo conceito da taxa interna de retorno Em verdade desejase saber a taxa de juros que iguala o PV da alternativa b ao valor do pagamento a vista Assim Com o auxílio de uma calculadora financeira chegase a IRR 83 am que representa o custo mensal efetivo das condições de pagamento expostas em b Exercícios propostos 1 4 5 b c 8 9a 2 a b c d e 3 a b c d e a b c a b c d 6 a b 7 a d a b c A taxa de juros de um financiamento está fixada em 33 am em determinado momento Qual o percentual desta taxa acumulada para um ano Capitalizar as seguintes taxas 23 ao mês para um ano 014 ao dia para 23 dias 745 ao trimestre para um ano 675 ao semestre para um ano 187 equivalente a 20 dias para um ano Calcular a taxa equivalente composta a 34 ao ano para os seguintes prazos 1 mês 1 quadrimestre 1 semestre 5 meses 10 meses Se um investidor deseja ganhar 18 ao ano de taxa efetiva pedese calcular a taxa de juro que deverá exigir de uma aplicação se o prazo de capitalização for igual a 1 mês 1 trimestre 7 meses Admitase que um banco esteja pagando 165 ao ano de juros na colocação de um título de sua emissão Apurar a taxa efetiva equivalente para os seguintes prazos 1 mês 9 meses 37 dias 100 dias Calcular a taxa equivalente mensal das seguintes taxas 29 para 26 dias 355 para 34 dias Com relação à formação das taxas de juros pedese em 77 dias uma aplicação rendeu 83 de juros Apurar as taxas mensal e anual equivalentes um banco cobra atualmente 186 ao ano de juros Para uma operação de 136 dias determinar a taxa efetiva equivalente que será cobrada uma empresa está cobrando juros de 3 para vendas a prazo de 28 dias corridos Determinar a taxa efetiva mensal e anual da venda a prazo determinar a taxa equivalente para 44 dias de 1093 ao ano Um financiamento está sendo negociado a uma taxa nominal linear de 72 ao ano Determinar o custo efetivo anual desta operação admitindo que os juros sejam capitalizados mensalmente trimestralmente semestralmente Um título está pagando uma taxa efetiva de 285 ao mês Para um mês de 30 dias transformar esta remuneração em taxa nominal linear 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 b 10 a b c d e f 11 a b c d e Para cada taxa nominal apresentada a seguir pedese calcular a taxa efetiva anual 9 aa capitalizados mensalmente 14 aa capitalizados trimestralmente 15 aa capitalizados semestralmente 12 aa capitalizados anualmente Determinar o montante de uma aplicação de 2200000 admitindo os seguintes prazos e taxas i 22 amn 7 meses i 5 amn 2 anos i 12 atn 1 ano e meio i 20 asn 4 anos i 015 ao dian 47 dias i 9 aan 216 meses Calcular o juro de uma aplicação de 30000000 nas seguintes condições de prazo e taxa i 25 amn 1 semestre i 33 amn 1 ano e 3 meses i 6 asn 72 meses i 10 aan 120 meses i 25 aqn 4 anos Um banco lança um título pagando 6 at Se uma pessoa necessitar de 5800000 daqui a 3 anos quanto deverá aplicar neste título Sendo a taxa corrente de juros de 10 aq ao quadrimestre quanto deve ser aplicado hoje para se resgatar 3850000 daqui a 28 meses Calcular a taxa mensal de juros de uma aplicação de 6870000 que produz um montante de 8208490 ao final de 8 meses Um banco publica em suas agências o seguinte anúncio aplique 100000 hoje e receba 118000 ao final de 6 meses Determinar a efetiva taxa mensal semestral e anual de juros oferecida por esta aplicação Uma loja está oferecendo uma mercadoria no valor de 90000 com desconto de 12 para pagamento a vista Outra opção de compra é pagar os 90000 após 30 dias sem desconto Calcular o custo efetivo mensal da venda a prazo Os rendimentos de uma aplicação de 1280000 somaram 743312 ao final de 36 meses Determinar a taxa efetiva mensal de juros desta aplicação Determinar as taxas mensal e anual equivalentes de juros de um capital de 6700000 que produz um montante de 17192917 ao final de 17 meses Determinar a taxa mensal de juros de uma aplicação de 2296000 que produz um montante de 2882230 ao final de 10 meses Uma empresa tem observado um crescimento exponencial médio de 10 ao ano na demanda física de seus produtos Mantida esta tendência ao longo do tempo determine em quantos anos dobrará a demanda Uma empresa observa que seu faturamento está crescendo a uma taxa geométrica de 4 ao semestre nos últimos anos Mantida esta tendência calcular em quantos anos o faturamento irá 22 23 24 25 26 27 28 29 31 a b 30 32 duplicar triplicar Determinar a taxa mensal de juros compostos que faz com que um capital triplique de valor após três anos e meio Uma taxa efetiva de juros com capitalização quadrimestral é aplicada a um capital gerando um total de juros ao final de 2 anos igual a 270 do valor do capital aplicado Determinar o valor desta taxa de juros Uma empresa contrata um empréstimo de 4870000 e prazo de vencimento de 30 meses Sendo a taxa de juro anual de 195 pedese calcular o montante a pagar utilizando as convenções linear e exponencial Quanto um investidor pagaria hoje por um título de valor nominal valor de resgate de 1345000 com vencimento para daqui a um semestre Sabese que este investidor está disposto a realizar a aplicação somente se auferir uma rentabilidade efetiva de 20 aa Admita que uma pessoa irá necessitar de 3300000 em 11 meses e 4700000 em 14 meses Quanto deverá ela depositar hoje numa alternativa de investimento que oferece uma taxa efetiva de rentabilidade de 17 aa Para um poupador que deseja ganhar 25 ao mês o que é mais interessante a receber 1850000 de hoje a 4 meses ou b 2550000 de hoje a 12 meses Uma pessoa deve 250000 vencíveis no fim de 4 meses e 850000 de hoje a 8 meses Que valor deve esta pessoa depositar numa conta de poupança que remunera à taxa de 277 ao mês de forma que possa efetuar os saques necessários para pagar seus compromissos Admita em sua resposta que após a última retirada para liquidação da dívida a não permanece saldo final e b permanece um saldo igual a 400000 na conta de poupança Um investidor efetuou no passado uma aplicação num título cujo vencimento se dará daqui a 4 meses sendo seu montante de 3667000 O banco procura o aplicador e oferece trocar este título por outro vencível daqui a 9 meses apresentando valor de resgate de 4140000 Sendo de 21 ao mês a taxa corrente de juros de mercado é interessante para o investidor a troca de títulos Qual a rentabilidade da nova aplicação proposta pelo banco João tem as seguintes obrigações financeiras com Pedro dívida de 1820000 vencível no fim de um mês dívida de 2330000 vencível no fim de 5 meses dívida de 3000000 vencível no fim de 10 meses Prevendo dificuldades no pagamento desses compromissos João propõe substituir este plano original por dois pagamentos iguais vencendo o primeiro de hoje a 12 meses e o segundo no fim de 15 meses Determinar o valor desses pagamentos para uma taxa de juros de 28 am Uma empresa levanta um empréstimo de 2500000 a ser pago em 3 prestações crescentes em PA de razão igual ao primeiro termo O primeiro pagamento deve ser efetuado no fim de 3 meses o segundo no fim de 4 meses e o terceiro no fim de um ano Para uma taxa de juros de 35 am apurar o valor desses pagamentos Uma empresa tem o seguinte conjunto de dívidas com um banco 3900000 vencível de hoje a 3 meses 5500000 vencível do hoje a 6 meses 7400000 vencível de hoje a 8 meses Toda a dívida poderia ser quitada em um único pagamento de 19238707 Para uma taxa de juro nominal de 2808 ao ano capitalizada mensalmente determinar em que momento deveria ser efetuado esse pagamento para que seja equivalente com o conjunto atual da dívida 33 34 35 36 37 38 a b 40 41 a b c a b c 39 Uma pessoa deve a outra a importância de 1240000 Para a liquidação da dívida propõe os seguintes pagamentos 350000 ao final de 2 meses 400000 ao final de 5 meses 170000 ao final de 7 meses e o restante em um ano Sendo de 3 ao mês a taxa efetiva de juros cobrada no empréstimo pedese calcular o valor do último pagamento Uma dívida apresenta as seguintes condições de pagamento 620000 vencíveis em certa data e 960000 vencíveis 4 meses após O devedor propõe uma renegociação da dívida nas seguintes condições 300000 após 3 meses do vencimento do primeiro pagamento original 450000 daí a 3 meses e o restante 5 meses depois deste último pagamento Para uma taxa efetiva de juros de 29 am calcular o saldo a pagar Determinada mercadoria foi adquirida em 4 pagamentos bimestrais de 146000 cada um Alternativamente esta mesma mercadoria poderia ser adquirida pagandose 20 de seu valor como entrada e o restante ao final de 5 meses Sendo de 3060 aa a taxa nominal de juros com capitalização mensal a ser considerada nesta operação pedese determinar o valor da prestação vencível ao final de 5 meses Uma dívida tem o seguinte esquema de pagamento 390000 vencíveis em 3 meses a partir de hoje e 1170000 de hoje a 5 meses O devedor propõe ao credor refinanciar esta dívida mediante 5 pagamentos bimestrais iguais e sucessivos vencendo o primeiro de hoje a um mês Sendo de 21 ao mês a taxa de juros da dívida original e de 30 ao mês a taxa a ser considerada no refinanciamento pedese determinar o valor de cada pagamento bimestral Sabese que a taxa nominal de uma aplicação financeira é de 12 aa capitalizados mensalmente Pedese determinar quanto valerá uma aplicação de 1000000 depois de 5 meses taxa efetiva anual da aplicação financeira taxa efetiva mensal da aplicação financeira Um investidor aplicou 24000000 em fundo de investimento apurando as seguintes taxas efetivas mensais de retorno Mês 1 09376 Mês 2 09399 Mês 3 08283 Mês 4 08950 Pedese calcular montante do investimento ao final do mês 4 taxa de retorno acumulada do período taxa média equivalente mensal Uma pessoa levanta um empréstimo de 6000000 pagando uma taxa de juro de 12 am Pedese se o empréstimo prever um pagamento de 2500000 ao final de 3 meses 1500000 ao final de 4 meses e uma parcela ao final de 6 meses calcular o valor deste último pagamento calcular o valor de cada pagamento admitindo que o empréstimo seja liquidado em 3 parcelas iguais vencíveis respectivamente em 2 4 e 6 meses Um banco concede um empréstimo de 120000 para uma empresa para ser pago em 4 prestações ao final dos meses 3 5 6 e 8 As três primeiras prestações têm o mesmo valor porém o último pagamento previsto para o final do mês 8 é igual ao dobro das parcelas anteriores A taxa de juro cobrada pelo banco é de 15 am Calcular o valor de cada um dos pagamentos O aplicador A possui o dobro do capital de B O capital somado de A e B totaliza 4200000 Os dois aplicadores decidiram investir seus capitais por três meses da forma seguinte 20 em caderneta de poupança com rendimento nominal de 094 am 30 em título de renda fixa com rendimento nominal de 1125 aa 1 2a b c d e 3a b c d e 4a b 50 em um fundo de investimento renda fixa com rendimento nominal de 1075 aa Pedese calcular o montante principal e juros de cada aplicador em cada alternativa de investimento ao final do trimestre Respostas 4764 aa 3137 aa 327 p23 dias 3330 aa 1396 aa 3958 aa 247 am 1025 aq 1576 as 1297 p5 meses 2762 p10 meses 139 am 422 at 7a c c 5a b c d 6a b b d 8 b c 9a b 10a b c d e f 11a b c d e 12 13 14 15 16 1014 p7 meses 128 am 1214 p9 meses 158 p37 dias 433 p100 dias 335 am 313 am 316 am 4518 aa 666 p136 dias 322 am 4623 aa 945 p44 dias a 10122 aa 9388 aa 8496 aa 281 am taxa nominal Taxa Efetiva Anual i 938 i 1475 i 1556 i 120 FV 2561999 FV 7095220 FV 4342410 FV 9459597 FV 2360573 FV 10377665 J 4790803 J 18823182 J 30365894 J 47812274 J 406557457 PV 2882422 PV 1975659 i 225 am i 280 am i 180 as i 3924 aa i 1364 am 17 18 19 20 21a b 22 23 24 25 26 27 28a b 29 30 31 32 33 34 35 36 37a b c 38a b c 39a b 40 i 128 am i 57 am i 9450 aa i 23 am 727 anos 1767 semestres 2801 semestres i 265 am i 2437 aq i 9235 aa FV Linear 7632544 FV Exponencial 7602365 PV 1227811 PV 6771000 Receber 2550000 ao final de um ano maior PV PV 907223 PV 1228684 i 246 am A troca do título foi interessante Valor de cada pagamento 4406810 1o Pagamento 539936 2o Pagamento 1079872 3o Pagamento 1619808 12o mês 608547 1125547 467941 328306 1051010 i 1268 aa i 1 am 24875921 i 365 ao período i 090 am 2317869 2097344 P3 P5 P6 2623214 P8 5246428 41 Aplicador A Aplicador B Caderneta de poupança 575941 287970 Título de renda xa 862689 431345 Fundo de investimento 1436197 718098 1 Para melhor adequar as formulações da Matemática Financeira com o uso de Calculadoras Financeiras a simbologia adotada em juros compostos e nas várias aplicações a serem expostas em capítulos posteriores acompanha as identificações das teclas utilizadas por estas calculadoras 31 311 3 Descontos Entendese por valor nominal o valor de resgate ou seja o valor definido para um título em sua data de vencimento Representa em outras palavras o próprio montante da operação A operação de se liquidar um título antes de seu vencimento envolve geralmente uma recompensa ou um desconto pelo pagamento antecipado Desta maneira desconto pode ser entendido como a diferença entre o valor nominal de um título e o seu valor atualizado apurado n períodos antes de seu vencimento Por outro lado valor descontado de um título é o seu valor atual na data do desconto sendo determinado pela diferença entre o valor nominal e o desconto ou seja Valor Descontado Valor Nominal Desconto As operações de desconto podem ser realizadas tanto sob o regime de juros simples como no de juros compostos O uso do desconto simples é amplamente adotado em operações de curto prazo restringindose o desconto composto para as operações de longo prazo Tanto no regime linear como no composto ainda são identificados dois tipos de desconto a desconto por dentro ou racional e b desconto por fora ou bancário ou comercial Desconto simples Conforme foi salientado são identificados dois tipos de desconto simples o desconto por dentro ou racional e o desconto por fora ou bancário ou comercial Desconto Racional ou por dentro O desconto racional também denominado de desconto por dentro incorpora os conceitos e relações básicas de juros simples conforme desenvolvidos no primeiro capítulo Assim sendo Dr o valor do desconto racional C o capital ou valor atual i a taxa periódica de juros e n o prazo do desconto número de períodos que o título é negociado antes de seu vencimento temse a conhecida expressão de juros simples Dr C i n Pela própria definição de desconto e introduzindose o conceito de valor descontado no lugar de capital no cálculo do desconto temse Dr N Vr 1 sendo N o valor nominal ou valor de resgate ou montante e Vr o valor descontado racional ou valor atual na data da operação Como temse A partir dessa fórmula é possível calcular o valor do desconto racional obtido de determinado valor nominal N a uma dada taxa simples de juros i e a determinado prazo de antecipação n Já o valor descontado conforme definição apresentada é obtido pela seguinte expressão de cálculo Observe uma vez mais que o desconto racional representa exatamente as relações de juros simples descritas no capítulo inicial É importante registrar que o juro incide sobre o capital valor atual do título ou seja sobre o capital liberado da operação A taxa de juro desconto cobrada representa dessa maneira o custo efetivo de todo o período do desconto Exemplos Seja um título de valor nominal de 400000 vencível em um ano que está sendo liquidado 3 meses antes de seu vencimento Sendo de 42 aa a taxa nominal de juros corrente pedese calcular o desconto e o valor descontado desta operação Solução Graficamente 2 Desconto Valor Descontado Vr N Dr Vr 400000 38010 361990 ou Do ponto de vista do devedor 38010 representam o valor que está deixando de pagar por saldar a dívida antecipadamente 3 meses antes de seu vencimento O valor líquido do pagamento valor descontado é de 361990 Determinar a taxa mensal de desconto racional de um título negociado 60 dias antes de seu vencimento sendo seu valor de resgate igual a 2600000 e valor atual na data do desconto de 2443610 Solução n 2 meses 60 dias N 2600000 Vr 2443610 312 Exemplos 1 Sabese que no desconto racional o desconto é aplicado sobre o valor atual do título ou seja sobre o capital liberado Logo Desconto bancário ou comercial ou por fora Esse tipo de desconto simplificadamente por incidir sobre o valor nominal valor de resgate do título proporciona maior volume de encargos financeiros efetivos nas operações Observe que ao contrário dos juros por dentro que calculam os encargos sobre o capital efetivamente liberado na operação ou seja sobre o valor presente o critério por fora apura os juros sobre o montante indicando custos adicionais ao tomador de recursos A modalidade de desconto por fora é amplamente adotada pelo mercado notadamente em operações de crédito bancário e comercial a curto prazo O valor desse desconto genericamente denominado desconto por fora DF no regime de juros simples é determinado pelo produto do valor nominal do título N da taxa de desconto periódica por fora contratada na operação d e do prazo de antecipação definido para o desconto n Isto é DF N d n O valor descontado por fora VF aplicandose a definição é obtido VF N DF VF N N d n VF N 1 d n Para melhor avaliar as diferenças dos tipos de descontos são desenvolvidos os mesmos exemplos utilizados anteriormente no desconto racional ou por dentro Seja um título de valor nominal de 400000 vencível em um ano que está sendo liquidado antes de seu vencimento Sendo de 42 aa a taxa de desconto adotada pedese calcular o desconto e o valor descontado desta operação Solução Analogamente 2 Desconto DF N d n DF 400000 0035 3 DF 42000 Observe que o maior valor dos juros cobrado pelo título devese ao fato conforme ressaltado anteriormente de o desconto por fora ser aplicado diretamente sobre o valor nominal valor de resgate e não sobre o valor atual como é característico das operações de desconto racional Em verdade o valor do desconto por fora equivale num mesmo momento do tempo ao montante do desconto por dentro supondose as mesmas condições de prazo e taxa Isto é Dr 38010 DF 42000 Para uma taxa de 35 am e um período de desconto de 3 meses conforme estabelecido na ilustração temse DF Dr 1 i n DF 38010 1 0035 3 DF 38010 1105 DF 42000 O cálculo do valor descontado VF é desenvolvido VF N 1 d n VF 400000 1 0035 3 VF 400000 0895 VF 358000 Tornase evidente que o devedor desse título descontado pelo desconto bancário ou comercial ou por fora assume encargos maiores que aqueles declarados para a operação A taxa de juros efetiva desta operação não equivale à taxa de desconto utilizada Note que se são pagos 42000 de juros sobre um valor atual de 358000 a taxa de juros assume o seguinte percentual efetivo ou 377 am pela equivalente composta Logo no desconto por fora é fundamental separar a taxa de desconto d e a taxa efetiva de juros i da operação Em toda operação de desconto por fora há uma taxa implícita efetiva de juro superior à taxa declarada O item seguinte dispensa um tratamento mais detalhado para este assunto Determinar a taxa de desconto por fora de um título negociado 60 dias antes de seu vencimento sendo seu valor de resgate igual a 2600000 e valor atual na data do desconto de 2443610 Solução DF N d n DF 2600000 2443610 156390 n 2 meses 60 dias N 2600000 d DF N d n 156390 2600000 d 2 156390 5200000 d A liquidação de um título 60 dias antes de seu vencimento foi efetuada pela taxa mensal de desconto por fora de 30 d 30 ao mês Essa taxa conforme será abordado no item a seguir não indica o custo efetivo desta operação mas a taxa de desconto aplicada sobre o valor nominal resgate do título O juro efetivo desta operação de desconto é aquele obtido pelo critério racional por dentro conforme apurado no exemplo 2 do item 311 DESCONTO POR DENTRO DESCONTO POR FORA Admita uma operação de desconto de um título de 5000000 realizada por uma empresa pelo prazo de 3 meses O banco cobra uma taxa de desconto de 22 am Desenvolver uma análise da operação pelas metodologias de desconto por dentro desconto racional e desconto por fora desconto bancário ou comercial Desconto Por Dentro Valor do Resgate Nominal 5000000 Valor Líquido Liberado 4690432 O custo da operação equivale a 66 at e corresponde a uma taxa efetiva de 215 am ou seja i 106613 1 100 215 am Desconto Por Fora Valor do Desconto Por Fora 5000000 0022 3 330000 Valor Líquido Liberado 4670000 5000000 330000 O crédito liberado ao tomador pelo desconto bancário ou comercial Por Fora é menor explicado pela incidência dos juros sobre o valor de resgate do título Com isso a taxa efetiva é maior atingindo a Custo Efetivo i 7066 at Esta taxa equivale a uma taxa efetiva mensal de juros de i 1076613 1 100 23 am 3121 1 Despesas bancárias É importante registrar que em operações de desconto com bancos comerciais são geralmente cobradas taxas adicionais de desconto a pretexto de cobrir certas despesas administrativas e operacionais incorridas pela instituição financeira Estas taxas são geralmente prefixadas e incidem sobre o valor nominal do título uma única vez no momento do desconto A formulação do desconto por fora apresentase conforme demonstrada anteriormente DF N d n Chamando de t a taxa administrativa cobrada pelos bancos em suas operações de desconto e incluindo esta taxa na formulação temse DF N d n t N DF N d n t De forma análoga o valor descontado VF incluindo a cobrança da taxa administrativa t é apurado da forma seguinte VF N DF VF N N d n t VF N 1 d n t Exemplo Uma duplicata de valor nominal de 6000000 é descontada num banco dois meses antes de seu vencimento Sendo de 28 ao mês a taxa de desconto usada na operação calcular o desconto e o valor descontado Sabese ainda que o banco cobra 15 sobre o valor nominal do título descontados integralmente no momento da liberação dos recursos como despesa administrativa Solução N 6000000 d 28 am n 2 meses t 15 sobre valor nominal Desconto DF N d n t DF 6000000 0028 2 0015 DF 6000000 0071 DF 426000 Observe que o desconto de 426000 representa Desconto N d n 6000000 0028 2 336000 Despesa Administrativa N t 6000000 001590000 426000 Valor Descontado VF N 1 d n t 32 VF 6000000 1 0028 2 0015 VF 6000000 1 0071 VF 6000000 0929 VF 5574000 Taxa implícita de juros do desconto por fora Conforme foi introduzido nos exemplos ilustrativos apresentados no item anterior o desconto por fora ao ser apurado sobre o valor nominal resgate do título admite implicitamente uma taxa de juros superior àquela declarada para a operação Por exemplo suponha um título de valor nominal de 5000000 descontado num banco um mês antes de seu vencimento à taxa de 5 ao mês Aplicandose o critério de desconto por fora como é típico destas operações temse Observe que a taxa de juros adotada de 5 ao mês não iguala VF e N em nenhum momento do tempo Ou seja esta taxa se aplicada ao valor descontado de 4750000 não produz para o período de um mês o montante de 5000000 atinge a 4750000 5 4987500 Logo há uma taxa implícita de juros na operação superior aos declarados 5 ao mês que conduz VF e N a um mesmo resultado no período Esta taxa é obtida pelo critério de desconto racional juros por dentro conforme definido atingindo a D C i n Deslocandose i Substituindo os valores chegase a O resultado indica que há uma taxa implícita de juro de 526 numa operação de desconto de 5 am d 5 pelo período de um mês Admitindo em sequência que esta operação de desconto tenha sido realizada com antecipação de dois meses temse a b c À base de juros simples esta taxa equivale a 556 ao mês ou seja Em termos de juros compostos critério tecnicamente mais correto a taxa de todo o período bimestre atinge a 111 No entanto a mensal efetiva é a equivalente composta i 1 54 ao mês Algumas observações conclusivas com relação aos tipos de descontos simples são elaboradas a seguir o desconto por fora é apurado sobre o valor de resgate valor nominal do título e o desconto por dentro é obtido sobre o valor líquido liberado capital Em verdade o desconto por fora apesar de amplamente adotado nas operações bancárias e comerciais de curto prazo não pode ser entendido como juro em sua forma mais rigorosa de interpretação É preferível interpretálo como uma metodologia peculiar de cálculo pois o seu valor é obtido do montante a pagar ou receber e não do capital efetivamente empregado pelo devedor ou credor O valor do desconto por fora será sempre superior ao do desconto por dentro quando obtidos em idênticas condições de prazo e taxa determinando maior volume de receitas ao credor a operação de desconto por fora a uma determinada taxa d e a um prazo n implica a existência de uma taxa implícita i apurada para este mesmo prazo a qual é calculada segundo os critérios de desconto racional por dentro A taxa de desconto por fora adotada numa operação será sempre inferior à taxa de desconto racional calculada nas mesmas condições no exemplo ilustrativo de desconto acima definiuse em 5 a taxa de desconto da operação No entanto ao se apurar o custo racional desta operação que é determinado sobre o capital efetivamente empenhado chega se à taxa implícita mensal de 526 para n 1 mês e de 111 para n 2 meses Os cálculos de apuração da taxa racional de juros podem ser substituídos pelo emprego direto da seguinte fórmula Assim para a obtenção da taxa implícita i da operação basta tão somente conhecer a taxa dedesconto 1 por fora e o prazo do desconto Aplicandose esta fórmula nos exemplos anteriores n 1 mês n 2 meses Deve ser ressaltado que essas taxas mensais são representativas do regime de juros simples Para cálculos mais rigorosos é necessário conforme foi discutido em capítulos anteriores adotar o regime de juros compostos Para o desconto de um mês a taxa implícita mensal de 526 está correta Lembrese que para um único período os dois regimes de capitalização produzem o mesmo resultado No entanto para um desconto de dois meses a taxa mensal não é de 556 resultado da média aritmética da taxa bimestral de 111 Nas operações com mais de um período é necessário sempre trabalhar com juros compostos ou seja Taxa Mensal Implícita i 1 54 ao mês Assim pela fórmula direta apresentada o custo efetivo deve ser apurado para todo o período da operação e a partir deste resultado podese obter pelo critério de juros compostos a taxa equivalente para os intervalos de tempo Por exemplo admita uma taxa de desconto d de 27 am para uma operação de desconto de 35 dias O custo efetivo para o período de 35 dias pela fórmula direta atinge Observe que o valor percentual de d é representativo para todo o prazo da operação A partir deste custo efetivo para todo o período do desconto 35 dias podese apurar o equivalente composto para outros intervalos de tempo Taxa Efetiva Mensal 1 278 am Taxa Efetiva Anual 1 3895 aa e assim por diante Exemplos Um título é descontado num banco 3 meses antes de seu vencimento A taxa de desconto definida pelo banco é de 33 ao mês Sendo de 2500000 o valor nominal deste título e sabendose que a instituição financeira a b c a b c trabalha com o sistema de desconto por fora pedese calcular valor do desconto cobrado pelo banco e o valor descontado do título liberado ao cliente taxa implícita simples e composta desta operação apuração da taxa implícita pela fórmula direta de cálculo Solução Desconto DF N d n DF 2500000 0033 3 DF 247500 Valor Descontado VF N DF VF 2500000 247500 2252500 ou VF N 1 d n VF 2500000 1 0033 3 VF 2500000 0901 2252500 Taxa Implícita Mensal simples i ou A taxa efetiva mensal da operação de desconto obtida pelo critério de juro composto atinge Emprego da fórmula direta Logo a taxa efetiva implícita para um mês é a equivalente composta ou seja Observe uma vez mais que d é a taxa de desconto referente a todo o período da operação 2 3 321 Uma instituição financeira publica que sua taxa de desconto é de 35 ao mês Calcular a taxa implícita mensal simples e composta admitindo um prazo de desconto de dois meses Solução i 1 37 ao mês equivalente composta Admita que uma instituição financeira esteja cobrando juros por fora de 22 am em suas operações de desconto Sendo um título descontado 39 dias antes de seu vencimento pedese determinar a taxa efetiva implícita de juros mensal e anual Solução Taxa Efetiva para todo o Período de Desconto 39 dias Taxa Efetiva Mensal i 1 225 am Taxa Efetiva Anual i 1 307 aa Taxa efetiva de juros Nos exemplos ilustrativos anteriores ficou demonstrado que a taxa implícita de juros calculada para todo o período da operação é adequada para a matemática financeira permitindo comparações em idênticas condições de prazo No entanto quando os prazos dos descontos não forem os mesmos o regime de juros simples não é adequado tecnicamente para esta análise Ficou esclarecido também no capítulo anterior a nítida superioridade técnica do regime composto para o cálculo da taxa de juros de um fluxo de caixa Dessa maneira a taxa efetiva de juros de um desconto por fora apurado à taxa d é definida pela aplicação do conceito de taxa interna de retorno conforme exposta no capítulo anterior Em outras palavras a taxa efetiva conceitualmente é aquela obtida pelo critério de capitalização composta Com relação aos exemplos desenvolvidos no item anterior a taxa equivalente mensal obtida pelo regime de juros compostos é interpretada como a taxa efetiva da operação Em verdade é a própria taxa interna de juros da operação ou seja a taxa de juros que iguala num único momento entradas com saídas de caixa Assim para o Exemplo 1 apresentado temse FV PV 1 in 2500000 2252500 1 i3 1 Obs 2 1109878 1 i3 10354 1 i i 354 am conforme calculado no referido exemplo Exemplos Sendo de 4 ao mês a taxa de juros por fora aplicada sobre uma operação de desconto de um título de valor nominal de 70000000 calcular a taxa de juros efetiva mensal e anual desta operação O título foi descontado 4 meses antes de seu vencimento Solução DF N d n DF 70000000 004 4 DF 11200000 N 70000000 VF 70000000 11200000 VF 58800000 i 1905 aq ou i 476 am juros simples Taxa Efetiva Composta i 1 446 am i 119053 1 687 aa A taxa efetiva pode também ser obtida desconhecendose o valor do título descontado Aplicandose a fórmula direta de cálculo demonstrada anteriormente temse d 16 aq 4 am n 1 quadrimestre Substituindo Logo i 1 446 am i 119053 1 687 aa Um título com valor de resgate de 1400000 é descontado num banco 78 dias antes de seu vencimento Determinar o valor do desconto calculado para a operação e a taxa efetiva mensal de juros sabendose que a taxa de desconto contratada é de 45 aa 322 3 Banco A Banco B Solução N 1400000 n 78 dias ou 7830 26 meses d 45 aa ou 4512 375 am Desconto DF 1400000 78 DF 136500 Valor Descontado VF 1400000 136500 VF 1263500 Taxa Efetiva i 108 p78 dias ou Logo i 1 402 am taxa efetiva por juros compostos As condições de desconto de dois bancos são as seguintes taxa de desconto bancário de 43 am para operações com prazo de desconto de 4 meses taxa de desconto bancário de 39 am para operações com prazo de desconto de 3 meses Com base nestas informações determinar a taxa efetiva mensal de juros cobrada por cada banco Solução i Banco A 2077 aq i 1 483 am taxa efetiva mensal i Banco B 1325 at i 1 423 am taxa efetiva mensal Apuração da taxa de desconto com base na taxa efetiva As formulações apresentadas nos itens precedentes atribuíram maior destaque ao cálculo da taxa efetiva de juros com base em dada taxa de desconto Considerando a fórmula desenvolvida é possível também isolar o percentual do desconto por fora definido com base na taxa efetiva de juros Isto é 33 sendo d conforme definido a taxa de desconto de todo o prazo da operação e i a taxa efetiva de juros taxa implícita Logo i 1 d d i id d id d i d 1 i i Por exemplo admita que uma instituição deseja cobrar uma taxa efetiva de juro de 37 ao mês em suas operações de desconto de duplicatas A taxa de desconto mensal por fora que deve ser cobrada para prazos de 30 dias e 40 dias é calculada Prazo do desconto 1 mês 30 dias Taxa efetiva desejada 37 am Logo d 357 am Prazo do desconto 40 dias Taxa efetiva desejada 37 am 10374030 1 496 p40 dias Logo d 473 p40 dias d 30 355 am O prazo e a taxa efetiva nas operações de desconto por fora As características de apuração do desconto por fora convencionalmente obtido a partir do valor de resgate do título podem apresentar certos resultados bastante estranhos Inicialmente colocase a situação de uma operação de desconto bancário ou comercial apresentando um prazo longo Dependendo do produto taxa de desconto prazo de desconto a que se chega podese concluir pela existência de um valor descontado negativo Ou seja o proprietário do título além de não receber recurso algum pelo desconto deve ainda desembolsar certa quantia no ato da operação Por exemplo seja o caso de um empréstimo de 3000000 concedido por meio de desconto por fora de uma nota promissória 18 meses antes de seu vencimento Sendo de 6 ao mês a taxa de juros simples considerada tem se o seguinte valor descontado VF 3000000 1 006 18 VF 3000000 1 108 240000 Nesse caso hipotético o detentor do título não recebe nada pela operação e ainda tem que desembolsar a quantia de 240000 Em outras palavras os encargos financeiros desconto da operação são 240000 maiores que o valor descontado DF 3000000 006 18 3240000 Como por convenção os encargos são descontados no ato da operação o proprietário do título nada recebe pelo desconto realizado Ao contrário deve ele ainda pagar uma quantia equivalente ao saldo negativo do valor descontado apurado Para que esse resultado absurdo não venha a ocorrer é necessário que as condições de prazo e taxa de desconto sejam definidas da forma seguinte d n 1 Neste caso de o produto d n ser inferior a 1 o VF apresenta valor positivo Se ao contrário d n for maior que 1 temse um VF negativo pois os encargos dos juros superam o valor dos juros Sendo d n 1 o VF é nulo No exemplo ilustrativo acima sendo d 6 am o prazo do desconto não pode exceder 1667 meses para que se produza um VF positivo isto é n 1d n 1006 n 1667 meses Como o prazo admitido na operação foi de 18 meses o valor descontado totalizou absurdamente 240000 Por outro lado para um prazo fixado por exemplo em 10 meses o VF positivo somente se realiza para uma taxa de desconto inferior a 10 am isto é d 1n d 110 010 10 am Outro aspecto importante também presente no desconto por fora ou bancário ou comercial diz respeito à influência do prazo da operação sobre o seu custo efetivo Para uma mesma taxa de desconto por fora quanto maior o prazo de desconto maior o custo efetivo da operação Ilustrativamente admita uma taxa de desconto por fora de 4 ao mês O custo efetivo desta taxa assumindose diferentes prazos de desconto pode ser apurado a partir da fórmula apresentada anteriormente ou seja n 1 mês n 2 meses n 3 meses n 4 meses 331 e assim por diante Pelo que se observa na ilustração o prazo do desconto exerce grande influência sobre o custo efetivo da operação Prazos menores acarretam custos mais reduzidos Em princípio tornase mais interessante às empresas obterem créditos em prazos mais curtos e renoválos periodicamente No entanto esta política de barateamento de custos pode trazer certas dificuldades de caixa para a empresa principalmente em relação ao risco de não conseguir renovar o crédito em qualquer época do ano Ademais está presente também o risco de as taxas de juros de mercado não se manterem inalteradas em todo o horizonte de tempo Acréscimos nesses percentuais determinam evidentemente maiores custos efetivos aos tomadores de empréstimos Esses aspectos essenciais devem ser levados em consideração no momento de se realizar uma operação de desconto comercial ou bancário conjugandose os vários aspectos de custo e risco envolvidos Taxas de desconto decrescentes para prazos crescentes Pelo fato de o prazo de desconto exercer influência sobre o custo efetivo da operação acréscimos no prazo podem determinar taxas efetivas excessivamente altas fora da realidade de mercado ou até mesmo resultados absurdos como o valor descontado negativo Diante dessas características comentadas de juros por fora é comum no mercado serem definidas taxas de desconto decrescentes de conformidade com a elevação dos prazos de desconto Neste caso a taxa efetiva da operação pode permanecer inalterada variando somente a taxa de desconto por fora A partir da fórmula direta de cálculo da taxa efetiva é possível enunciar a seguinte identidade que define uma taxa de desconto por fora d para cada prazo n de forma a manter a taxa efetiva i inalterada sendo d a taxa de desconto simples por fora para todo o período Por exemplo suponha que uma instituição financeira tenha definido em 45 ao mês sua taxa de desconto por fora Esta taxa conforme é ilustrado na apuração da taxa implícita de juros produz um custo efetivo de 47 am para operações de um mês de prazo Ao elevar o prazo de desconto da operação foi demonstrado no item precedente que o custo também se incrementa passando para uma taxa efetiva de 483 am se o prazo subir para dois meses de 495 am se o prazo for definido em três meses e assim por diante Ao se fixar ilustrativamente em 495 ao mês a taxa de juro que efetivamente se deseja cobrar nas operações de desconto a taxa de desconto declarada para cada prazo é reduzida para n 3 meses 0156 0156 d d 1156 d 0156 1 n 4 meses 02132 02132 d d 12132 d 02132 d 176 aq A partir do exemplo apresentado podese elaborar a seguinte tabela ilustrativa de taxas de desconto para diferentes prazos Prazo em meses Taxa de desconto por fora ao mês Taxa Efetiva ao mês 2 46 495 3 45 495 4 44 495 5 43 495 6 419 495 Exemplos Elaborar uma tabela de taxa efetiva racional mensal admitindose taxas mensais de desconto por fora variando de 1 a 15 para prazos de desconto de 1 a 6 meses Solução Desconto por fora ao mês Taxa de Juro Efetiva Mensal para 1 mês 2 meses 3 meses 4 meses 5 meses 6 meses 10 101 102 102 103 103 104 20 204 206 208 210 213 215 30 309 314 319 325 330 336 2 40 417 426 435 446 456 468 50 526 541 557 574 592 612 60 638 660 684 710 739 772 70 753 783 817 856 900 950 80 870 911 958 1012 1076 1151 90 989 1043 1106 1180 1270 1382 100 1111 1180 1262 1362 1487 1650 110 1236 1180 1428 1560 1732 1970 120 1364 1471 1604 1776 2011 2363 130 1494 1625 1791 2014 2336 2871 140 1628 1785 1991 2278 2723 3572 150 1765 1952 2205 2574 3195 4678 No exemplo anterior admita que um banco deseje cobrar uma taxa efetiva de 42 ao mês em suas operações de desconto Pedese determinar a taxa de juros por fora que deve adotar para prazos de desconto de 1 a 6 meses Solução Prazo de Desconto meses Taxa de Juros Por Fora ao mês Taxa Efetiva de Juros ao mês 1 403 42 2 395 42 3 387 42 4 379 42 5 372 42 6 365 42 34 Desconto para vários títulos As diversas situações desenvolvidas neste capítulo consideraram preferencialmente o cálculo do desconto e consequentemente da taxa racional efetiva de juros para um único título No entanto é bastante adotado na prática principalmente em operações com bancos comerciais procederse de uma única vez ao desconto de vários títulos Estes títulos com prazos e valores nominais geralmente diferentes são descontados numa mesma data produzindo um valor descontado representativo da soma do valor descontado de cada título O problema maior dessa operação restringese à obtenção da taxa efetiva de juros representativa de um conjunto de títulos com prazos desiguais Uma maneira simples e bastante empregada na prática de solucionar essa questão é definir o prazo de antecipação dos títulos pelo seu valor médio ponderado Dessa maneira a identidade de cálculo da taxa racional de juros passa a ter a seguinte expressão onde prazo médio ponderado de desconto dos títulos Ilustrativamente suponha que em determinada data um banco creditou o valor líquido de 2360000 na conta de um cliente após efetuar a seguinte operação de desconto no borderô de duplicatas enviado Título Valor Nominal Prazo de Antecipação A 500000 50 dias B 900000 70 dias C 800000 82 dias D 400000 60 dias Total 2600000 Pelo enunciado da operação são conhecidos os seguintes valores Valor Nominal Total dos Títulos N 2600000 Valor Descontado VF 2360000 Valor do Desconto DF240000 Por estarem envolvidos diversos títulos com diferentes prazos de desconto o critério proposto apura n por meio de uma média ponderada em que cada título tem o seu valor ponderado pelo número de dias de antecipação ou seja 35 351 Substituindo os valores identificados na fórmula da taxa de juros racional i conforme apresentada chegase a A forma de cálculo da taxa racional apresentada é baseada no regime de juros simples o qual rigorosamente não é o critério de capitalização de juros mais correto O amplo uso desta metodologia notadamente para apuração da taxa efetiva de um conjunto de títulos descontados num banco comercial é explicado principalmente pela simplicidade dos cálculos Ao adotar o regime de juros compostos para a obtenção da taxa efetiva desta operação a solução passa necessariamente pela taxa interna de retorno do fluxo de caixa ou seja A IRR conforme foi demonstrado no capítulo anterior é obtida pela taxa de juros que iguala numa única data convencionalmente na data zero entradas de caixa valor descontado com saídas de caixa valor nominal de cada título isto é Resolvendose a expressão com o auxílio de uma calculadora financeira chegase à taxa efetiva de juros cobrada no desconto do borderô de duplicatas i 435 ao mês ou i 1043512 1 667 ao ano Desconto composto O desconto composto utilizado basicamente em operações de longo prazo pode ser identificado igualmente ao desconto simples em dois tipos o desconto por dentro racional e o desconto por fora O desconto composto por fora ou comercial é raramente empregado no Brasil não apresentando uso prático O desconto por dentro racional envolve valor atual e valor nominal de um título capitalizado segundo o regime de juros compostos apresentando portanto larga utilização prática Desconto composto por fora O desconto composto por fora caracterizase pela incidência sucessiva da taxa de desconto sobre o valor nominal do título o qual é deduzido em cada período dos descontos obtidos em períodos anteriores Nessa conceituação o desconto composto por fora apresenta os seguintes resultados numa sucessão de períodos 1o Período VF1 N D Como DF N d temse VF1 N N d VF1 N 1 d O valor N 1 d é o novo valor nominal sobre o qual incidirá a taxa de desconto no período seguinte 2o Período DF2 N 1 d d Logo VF2 VF1 DF2 VF2 N 1 d N 1 d d VF2 N Nd N Nd d VF2 N Nd Nd Nd2 VF2 N 2Nd Nd2 Colocando N em evidência VF2 N 1 2d d2 VF2 N 1 d2 3o Período DF3 N 1 d2 d Logo VF3 VF2 DF3 VF3 N1 d2 N 1 d2 d VF3 N 1 2d d2 N 1 2d d2 d VF3 N 2dN Nd2 Nd 2d2N Nd3 VF3 N 1 2d d2 d 2d2 d3 VF3 N 1 3d 3d2 d3 VF3 N 1 d3 e assim sucessivamente até o enésimo período Enésimo Período Generalizando o desenvolvimento do desconto composto por fora obtémse a seguinte expressão de cálculo VF N 1 dn Como DF N VF temse DF N N 1 dn 1 2 DF N 1 1 dn Por apresentar raríssimas aplicações práticas os exercícios deste tipo de desconto composto ficam restritos aos exemplos abaixo desenvolvidos Exemplos Um título de valor nominal de 3500000 é negociado mediante uma operação de desconto composto por fora 3 meses antes de seu vencimento A taxa de desconto adotada atinge 5 ao mês Pedese determinar o valor descontado o desconto e a taxa de juros efetiva da operação Solução N 3500000VF n 3 mesesDF d 5 ao mêsi Desconto DF N 1 1 dn DF 3500000 1 1 0053 DF 3500000 0142625 DF 499188 Valor Descontado VF N 1 dn VF 3500000 1 0053 VF 3000812 ou VF N DF VF 3500000 499188 VF 3000812 Taxa Efetiva de Juros 3500000 3000812 1 i3 10526 1 i i 00526 ou 526 am A partir das informações do exemplo anterior efetuar uma demonstração mensal ilustrando a formação do desconto e do valor descontado conforme a sequência apresentada no desenvolvimento das fórmulas Solução 1o mês DF1 N d 3 4 DF1 3500000 005 175000 VF1 N 1 d VF1 3500000 1 005 3325000 2o mês DF2 N 1 d d DF2 3500000 1 005 005 166250 VF2 N 1 d2 VF2 3500000 1 0052 3158750 ou VF2 3500000 175000 166250 3158750 3o mês DF3 N 1 d2 d DF3 3500000 1 0052 005 157938 VF3 N 1 d3 VF3 3500000 1 0053 3000812 ou VF3 3500000 175000 166250 157938 3000812 Uma empresa deve 8000000 a um banco cujo vencimento se dará daqui a 10 meses No entanto 4 meses antes do vencimento da dívida resolve quitar antecipadamente o empréstimo e solicita ao banco um desconto O banco informa que opera de acordo com o conceito de desconto composto por fora sendo sua taxa de desconto para esse tipo de operação de 35 ao mês Pedese calcular o valor líquido que a empresa deve pagar ao banco quando da liquidação antecipada do empréstimo Solução N 8000000VF n 4 meses d 35 am VF N 1 dn VF 8000000 1 00354 6937440 Um título foi descontado à taxa de 3 am 5 meses antes de seu vencimento Sabese que esta operação produziu um desconto de 3900000 Admitindo o conceito de desconto composto por fora calcular o valor nominal do título Solução DF N 1 1 dn 3900000 N 1 1 0035 3900000 N 0141266 352 1 Desconto composto por dentro Conforme comentado o desconto composto por dentro ou racional é aquele estabelecido segundo as conhecidas relações do regime de juros compostos Assim sendo o valor descontado racional Vr equivale ao valor presente de juros compostos conforme apresentado no Capítulo 2 ou seja Por outro lado sabese que o desconto é obtido pela diferença entre o valor nominal resgate e o valor descontado valor presente Logo o desconto racional Dr tem a seguinte expressão de cálculo Dr N Vr Dr N Colocandose N em evidência Por exemplo suponha que uma pessoa deseja descontar uma nota promissória 3 meses antes de seu vencimento O valor nominal deste título é de 5000000 Sendo de 45 ao mês a taxa de desconto racional o valor líquido recebido valor descontado pela pessoa na operação atinge O valor do desconto racional por seu lado soma a Dr 5000000 4381483 618517 Por se tratar de desconto racional por dentro a taxa efetiva de juros é a própria taxa de desconto considerada isto é 5000000 4381483 1 i3 1045 1 i i 45 am Exemplos Sabese que um título para ser pago daqui a 12 meses foi descontado 5 meses antes de seu vencimento O valor nominal do título é de 4200000 e a taxa de desconto de 35 ao mês Calcular o valor líquido liberado nesta operação sabendose que foi utilizado o desconto composto por dentro 2 Solução Calcular o valor do desconto racional de um título de valor nominal de 1200000 descontado 4 meses antes de seu vencimento à taxa de 25 ao mês Solução Dr 3 1 a b c N 1200000 n 4 meses i 25 am Dr 1200000 0094049 112859 Um banco libera a um cliente 680000 provenientes do desconto de um título de valor nominal de 900000 descontado à taxa de 4 am Calcular o prazo de antecipação que foi descontado este título Solução Dr 680000 N 900000 i 4 am n 104n 1323529 log 104n log 1323529 n log 104 log 1323529 n 715 meses 7 meses e 4 dias Exercícios resolvidos descontos simples Calcular o valor descontado racional nas seguintes condições Valor Nominal 1700000 Prazo de Desconto3 meses Taxa de Desconto50 ao ano Valor Nominal 5200000 Prazo de Desconto4 meses Taxa de Desconto36 ao ano Valor Nominal 3500000 Prazo de Desconto2 meses a b c 3 2 a b c Taxa de Desconto188 ao ano Solução Calcular o desconto por fora nas seguintes condições Valor Nominal 4400000 Prazo de Desconto120 dias Taxa de Desconto336 ao ano Valor Nominal 7860000 Prazo de Desconto25 dias Taxa de Desconto30 ao ano Valor Nominal 28000000 Prazo de Desconto2 meses e 10 dias Taxa de Desconto36 ao ano Solução DF N d n DF 4400000 4 492800 DF 7860000 25 163750 DF 28000000 70 1960000 Um título de valor nominal de 4100000 é descontado comercialmente 4 meses antes de ser pago A taxa de desconto adotada atinge 25 ao mês Calcular o valor liberado o valor do desconto e a taxa efetiva de juros desta operação Solução N 4100000VF n 4 mesesDF d 25 ao mêsi 4 5 a b c DF N d n DF 4100000 0025 4 410000 VF N DF VF 4100000 410000 3690000 i i 278 4 1112 aq i 1 267 ao mês juros compostos Sendo de 4 ao mês a taxa de desconto por fora pedese calcular a taxa efetiva de juros mensal e anual desta operação para os seguintes prazos de desconto 1 mês 2 meses 3 meses Solução Sendo de 184 a taxa anual de desconto por fora de um título pedese determinar a sua taxa efetiva mensal admitindo um prazo de desconto de 3 meses Solução d 184 aa 18412 153 am i 481 at i 1 158 am 6 7 O valor atual de um título é de 15952930 sendo o valor de seu desconto racional apurado a uma taxa de juros de 55 ao mês igual a 2047070 Com base nestas informações determinar o número de dias que falta para o vencimento do título Solução Vr 15952930 i 55 am Dr 2047070 n 15952930 15952930 877411 n 18000000 874411 n 2047070 n 233 meses 70 dias Calcular o valor do desconto por dentro racional e por fora de um título de valor nominal 5400000 descontado 95 dias antes de seu vencimento à taxa de desconto de 45 ao mês Solução 8 2 1 a b 3 a b O desconto de uma duplicata de valor nominal de 7700000 e com prazo de vencimento de 141 dias produz um valor atual de 6500000 Determinar a taxa de desconto por dentro e por fora desta operação Solução 6500000 30550000 i 7700000 30550000 i 1200000 DF N d n Exercícios propostos descontos simples Calcular o desconto racional por dentro nas seguintes condições Valor Nominal 7000000 Prazo do Desconto3 meses Taxa de Desconto34 ao ano Valor Nominal 3700000 Prazo do Desconto80 dias Taxa de Desconto25 ao ano Um título no valor de 2200000 é descontado 2 meses antes de seu vencimento O conceito usado na operação é de desconto por fora sendo a taxa de desconto considerada de 48 ao ano Pedese calcular a taxa efetiva mensal composta de juros desta operação Calcular o valor descontado valor atual por fora nas seguintes condições Valor Nominal 6600000 Prazo do Desconto3 meses Taxa de Desconto24 ao ano Valor Nominal 10500000 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 Prazo do Desconto130 dias Taxa de Desconto15 ao ano Calcular a taxa efetiva mensal e anual de juros das operações de desconto por fora nas seguintes condições de prazo e taxa Prazo de Desconto Taxa de Desconto por fora a 1 mês 45 am b 2 meses 40 am c 3 meses 35 am Calcular a taxa mensal de desconto racional de um título com valor nominal de 540000 negociado 90 dias antes de seu vencimento O valor atual deste título é de 495690 Um banco oferece um empréstimo à taxa efetiva de 47 am para um prazo de 40 dias Nesta alternativa o pagamento do principal acrescido dos juros é efetuado ao final do período contratado O banco deseja oferecer esse mesmo empréstimo porém mediante uma operação de desconto cobrando uma taxa antecipada por fora Qual deve ser a taxa de desconto mensal de forma que o custo efetivo da operação não se altere Uma empresa realiza uma operação de desconto bancário com uma instituição financeira pelo prazo de 23 dias O banco opera com uma taxa efetiva de juros de 4576 aa Determinar a taxa de desconto por fora que deve ser utilizada na operação Um banco desconta um título de valor nominal de 1600000 80 dias antes de seu vencimento Nesta operação o banco cobra 39 ao ano de taxa de desconto por fora e 2 de despesa administrativa Calcular o valor líquido liberado ao cliente e a taxa efetiva mensal composta desta operação O valor descontado de um título é de 3200000 tendo sido negociado 100 dias antes de seu vencimento à taxa de desconto comercial de 30 ao ano Determinar o valor nominal deste título Um banco credita na conta de um cliente a quantia de 2700000 proveniente do desconto de um título efetuado 80 dias antes de seu vencimento Sendo 285 ao mês a taxa de desconto e de 15 a taxa administrativa cobrada pelo banco pedese determinar o valor nominal deste título Sabese que o valor do desconto racional de um título à taxa de 66 ao ano e prazo de desconto de 50 dias atinge 2896300 Para estas mesmas condições pedese determinar o valor do desconto deste título se fosse adotado o conceito de desconto comercial ou por fora A taxa de desconto comercial publicada por uma instituição financeira é de 276 ao ano Determinar a taxa efetiva mensal e anual composta desta operação admitindo um prazo de desconto de a 1 mês b 2 meses c 3 meses Uma instituição financeira deseja cobrar uma taxa efetiva de 31 ao mês em suas operações de desconto por fora Determinar a taxa de desconto que deve ser considerada para um prazo de antecipação de a 1 mês b 2 meses c 3 meses Qual o valor máximo que uma pessoa deve pagar por um título de valor nominal de 8200000 com vencimento para 110 dias se deseja ganhar 5 ao mês Usar desconto racional Uma instituição desconta comercialmente um título n dias antes de seu vencimento creditando o valor líquido de 5440000 na conta do cliente O valor de resgate deste título é de 6300000 tendo sido adotada a taxa de desconto por fora de 22 ao mês Pedese determinar o prazo de antecipação deste título Qual a taxa de juros efetiva anual de um título descontado à taxa por fora de 696 ao ano 30 dias antes de seu vencimento Uma instituição concede empréstimos de acordo com o conceito de desconto simples por fora São propostas duas alternativas a um cliente em termos de taxa de desconto e prazo 18 19 20 a b 21 1a b 2 3a b 4a d 38 am e n 3 meses d 35 am e n 5 meses Determinar o custo mensal efetivo de cada proposta de empréstimo A taxa de desconto por fora do banco A é de 31 ao mês para operações com prazo de 90 dias O banco B oferece uma taxa de desconto de 29 ao mês com o prazo de 120 dias Determinar qual banco está cobrando a maior taxa efetiva mensal de juros juros compostos Determinar o tempo que falta para o vencimento de uma duplicata de valor nominal de 37000000 que produziu um desconto bancário de 3372000 à taxa de desconto por fora de 38 ao ano Uma empresa apresenta num banco para desconto três duplicatas no valor nominal de 1900000 4200000 e 6300000 cada uma Respectivamente as duplicatas foram descontadas 37 dias 66 dias e 98 dias antes do vencimento Sendo de 212 ao ano a taxa de desconto calcular o valor do desconto bancário o valor líquido liberado à empresa e a taxa efetiva mensal de juros desta operação utilizando o prazo médio ponderado Calcular também a taxa interna de retorno da operação Uma empresa leva a um banco para desconto as seguintes duplicatas Duplicata Valor Nominal Prazo de Desconto A 900000 60 dias B 750000 60 dias C 1350000 90 dias D 300000 120 dias E 600000 120 dias F 600000 150 dias Com base nessas informações o banco creditou na conta da empresa o valor líquido de 3990000 Determinar o custo efetivo desta operação pelo prazo médio ponderado e pelo regime de juros compostos Respostas 548387 194737 426 am 6204000 9931250 471 am 7376 aa b c 5 6 7 8 9 10 11 12a b c 13a b c 14 15 16 17a b 18 19 20 21 426 am 649 aa 377 am 559 aa 298 am taxa linear 290 am taxa composta 594 p40 dias 445 am 238 p23 dias 31 am 1429333 432 am 3490910 2970297 3161794 235 am 3215 aa 238 am 3265 aa 241 am 3311 aa 30 am 360 aa 296 am 3554 aa 292 am 3500 aa 6929577 62 meses 10483 aa 412 am 392 am 331 am Banco A 313 am Banco B 288 meses Prazo médio ponderado 78 dias Desconto bancário 569573 Valor Liberado 11830427 i médio ponderado 185 am i IRR 182 am i médio ponderado 412 am i IRR 398 am 4 Matemática Financeira e Inflação 41 Em ambientes inflacionários é indispensável para o correto uso das técnicas da Matemática Financeira ressaltar nas várias taxas de juros nominais praticadas na economia o componente devido à inflação e aquele declarado como real A parte real é aquela obtida livre das influências da taxa de depreciação monetária verificada isto é adicionalmente à inflação De maneira simplista o processo inflacionário de uma economia pode ser entendido pela elevação generalizada dos preços dos vários bens e serviços Em sentido contrário diante de uma baixa predominante dos preços de mercado dos bens e serviços temse o fenômeno definido por deflação Tradicionalmente o desenvolvimento da economia brasileira temse caracterizado pela presença marcante da inflação apresentando taxas na maior parte do tempo em níveis relevantes É importante acrescentar ainda que mesmo diante de cenários econômicos de reduzida taxa de inflação o conhecimento do juro real permanece bastante importante para a Matemática Financeira Nestas condições mesmo pequenas oscilações nos índices de preços produzem impacto relevante sobre as taxas de juros ao longo do tempo alterando a competitividade dos ativos negociados no mercado Índices de preços e taxas de inflação Um índice de preços é resultante de um procedimento estatístico que entre outras aplicações permite medir as variações ocorridas nos níveis gerais de preços de um período para outro Em outras palavras o índice de preços representa uma média global das variações de preços que se verificaram num conjunto de determinados bens ponderada pelas quantidades respectivas No Brasil são utilizados inúmeros índices de preços sendo originados de amostragem e critérios desiguais e elaborados por diferentes instituições de pesquisa É importante antes de selecionar um índice para atualização de uma série de valores monetários procederse a uma análise de sua representatividade em relação aos propósitos em consideração Ilustrativamente a seguir são relacionados os valores do IGP Índice Geral de Preços conceito disponibilidade interna da FGV referentes aos meses de maio a dezembro de determinado ano MÊS Maio Junho Julho Agosto Setembro Outubro Novembro Dezembro IGP 64979 70338 80031 90379 100967 115263 135379 157656 Pela evolução desses índices de preços pode ser constatado como os preços gerais da economia variaram no período Para tanto relacionase o índice do fim do período que se deseja estudar com o do início Por exemplo a taxa de inflação do 2o semestre medida pelo IGP está refletida na evolução apresentada entre o índice de junho início do semestre e o de dezembro fim do semestre Assim Inflação do 2o semestre 1 22414 1 12414 Os preços nesse período cresceram 22414 vezes indicando uma evolução de 12414 A inflação do trimestre outdez seguindo o mesmo raciocínio é medida da forma seguinte Inflação de OutDez 1 5615 A inflação verificada no mês de outubro atinge 1416 isto é Inflação de Out 1 1416 1 b c c a a b e assim por diante Dessa maneira a taxa de inflação a partir de índices de preços pode ser medida pela seguinte expressão onde I taxa de inflação obtida a partir de determinado índice de preços P índice de preços utilizado para o cálculo da taxa de inflação n n t respectivamente data de determinação da taxa de inflação e o período anterior considerado Exemplos Abaixo são transcritos alguns valores divulgados do IGPdi e do INPC Índice Nacional de Preços ao Consumidor Com base nestes resultados pedese calcular a taxa de inflação medida pelo IGP e INPC para os seguintes períodos de 20X3 ano 1o semestre mês de dezembro um bem que custava 500000 no início do ano quanto deve valer ao final deste ano se for corrigido pela variação do IGP e INPC admitindo que o proprietário tenha vendido este imóvel ao final do ano por 9000000 determinar o lucro auferido DezX2 JunX3 NovX3 DezX3 IGPdi 10000 70838 135379 157656 INPC 59341 434599 839349 1000 Solução Taxa de Inflação I ANO 1576561000 1 147656 100059341 1 158518 1o semestre 708381000 1 60838 43459959341 1 63238 Dezembro 157656135379 1 1646 1000839349 1 1914 Valor Corrigido do Imóvel Pelo IGP Pelo INPC O lucro pode ser avaliado sob duas formas o nominal medido pela simples diferença entre o valor de venda e o de compra e o real apurado adicionalmente à inflação No caso em questão o proprietário vendeu o imóvel apurando lucro real isto é o preço de venda excedeu ao valor de compra corrigido Assim pelo IGP apurase um lucro real de 9000000 7882800 2 42 1117200 e pelo INPC o lucro real foi menor 9000000 8425880 574120 Um investidor aplicou 10000000 e obteve ao final de um ano rendimentos de juros de 1200000 Sabese que no período da aplicação a inflação da economia atingiu 56 Desenvolver uma análise do resultado do investidor Solução O investidor apurou os seguintes resultados Rendimento nominal 1200000 Inflação do período 56 10000000 560000 Ganho do investidor acima da inflação ganho real640000 Valor da aplicação corrigido para o final do ano Capital corrigido 10000000 1056 10560000 A taxa de retorno nominal do investidor é medida pela relação entre o ganho nominal e o valor histórico do capital investido ou seja Retorno nominal 12 O ganho real é obtido após depurarse os efeitos da inflação do investimento É calculado pela relação entre o rendimento real e o capital investido corrigido pela inflação em moeda de poder de compra de final do ano Retorno real 606 Em contexto de inflação somente existe lucro ao se comparar valores expressos com mesmo poder de compra Valores monetários em inflação Ao relacionar valores monetários de dois ou mais períodos em condições de inflação defrontase com o problema dos diferentes níveis de poder aquisitivo da moeda Por exemplo suponha que uma pessoa tenha adquirido um imóvel por 6000000 em certa data e vendido dois anos depois por 8000000 Neste período a inflação atingiu 40 Qualquer avaliação com relação ao resultado auferido nesse negócio é precipitada Lucro 8000000 6000000 2000000 principalmente ao se conhecer que os preços cresceram em média 40 no período O ganho na venda terá sido aparente nominal determinado prioritariamente pela evolução dos preços e não por uma valorização real acima da inflação do imóvel vendido Observe simplistamente que para não ocorrer prejuízo o imóvel deveria ser vendido por um preço de 40 maior que o seu valor de compra há dois anos ou seja por 6000000 1 040 8400000 Somente a partir desse valor é que existe legitimamente lucro A venda por 8000000 conforme ilustrada no exemplo indica um prejuízo real de 400000 Preço de Venda 8000000 Preço de Custo Corrigido 8400000 Assim do resultado encontrado ao comparar valores de diferentes datas deve ser dissociado do ganho nominal de 2000000 ou 333 de rentabilidade auferida na venda do imóvel a parcela de resultado real produzida adicionalmente à inflação Os ajustes para se conhecer a evolução real de valores monetários em inflação se processam mediante indexações inflacionamento e desindexações deflacionamento dos valores nominais os quais se processam por meio de índices de preços A indexação consiste em corrigir os valores nominais de uma data em moeda representativa de mesmo poder de compra em momento posterior A desindexação ao contrário envolve transformar valores nominais em moeda representativa de mesmo poder de compra num momento anterior Assim no exemplo comentado de compra e venda de um imóvel observase um ganho nominal de 333 isto é Ganho Nominal 1 333 Em outras palavras o imóvel foi vendido por 1333 vezes o seu valor de compra Essa relação no entanto compara valores de diferentes datas com capacidades de compra desiguais 2 42 o valor de venda e o de compra e o real apurado adicionalmente à inflação No caso em questão o proprietário vendeu o imóvel apurando lucro real isto é o preço de venda excedeu ao valor de compra corrigido Assim pelo IGP apurase um lucro real de 9000000 7882800 1117200 e pelo INPC o lucro real foi menor 9000000 8425880 574120 Um investidor aplicou 10000000 e obteve ao final de um ano rendimentos de juros de 1200000 Sabese que no período da aplicação a inflação da economia atingiu 56 Desenvolver uma análise do resultado do investidor Solução O investidor apurou os seguintes resultados Rendimento nominal 1200000 Inflação do período 56 10000000 560000 Ganho do investidor acima da inflação ganho real640000 Valor da aplicação corrigido para o final do ano Capital corrigido 10000000 1056 10560000 A taxa de retorno nominal do investidor é medida pela relação entre o ganho nominal e o valor histórico do capital investido ou seja Retorno nominal 12 O ganho real é obtido após depurarse os efeitos da inflação do investimento É calculado pela relação entre o rendimento real e o capital investido corrigido pela inflação em moeda de poder de compra de final do ano Retorno real 606 Em contexto de inflação somente existe lucro ao se comparar valores expressos com mesmo poder de compra Valores monetários em inflação Ao relacionar valores monetários de dois ou mais períodos em condições de inflação defrontase com o problema dos diferentes níveis de poder aquisitivo da moeda Por exemplo suponha que uma pessoa tenha adquirido um imóvel por 6000000 em certa data e vendido dois anos depois por 8000000 Neste período a inflação atingiu 40 Qualquer avaliação com relação ao resultado auferido nesse negócio é precipitada Lucro 8000000 6000000 2000000 principalmente ao se conhecer que os preços cresceram em média 40 no período O ganho na venda terá sido aparente nominal determinado prioritariamente pela evolução dos preços e não por uma valorização real acima da inflação do imóvel vendido Observe simplistamente que para não ocorrer prejuízo o imóvel deveria ser vendido por um preço de 40 maior que o seu valor de compra há dois anos ou seja por 6000000 1 040 8400000 Somente a partir desse valor é que existe legitimamente lucro A venda por 8000000 conforme ilustrada no exemplo indica um prejuízo real de 400000 Preço de Venda 8000000 Preço de Custo Corrigido 8400000 Assim do resultado encontrado ao comparar valores de diferentes datas deve ser dissociado do ganho nominal de 2000000 ou 333 de rentabilidade auferida na venda do imóvel a parcela de resultado real produzida adicionalmente à inflação 421 Os ajustes para se conhecer a evolução real de valores monetários em inflação se processam mediante indexações inflacionamento e desindexações deflacionamento dos valores nominais os quais se processam por meio de índices de preços A indexação consiste em corrigir os valores nominais de uma data em moeda representativa de mesmo poder de compra em momento posterior A desindexação ao contrário envolve transformar valores nominais em moeda representativa de mesmo poder de compra num momento anterior Assim no exemplo comentado de compra e venda de um imóvel observase um ganho nominal de 333 isto é Ganho Nominal 1 333 Em outras palavras o imóvel foi vendido por 1333 vezes o seu valor de compra Essa relação no entanto compara valores de diferentes datas com capacidades de compra desiguais É necessário para se conhecer o resultado real da operação expressar os valores monetários em moeda representativa de poder de compra de um mesmo momento Ao se indexar os valores para a data da venda admitindose uma inflação de 40 no período temse que representa uma evolução real negativa de 476 Note que esta taxa real negativa de 476 é obtida rigorosamente pelo regime de juros compostos e não pelo critério linear Este aspecto é compatível com o próprio comportamento exponencial da formação da taxa de inflação Desta maneira é incorreto subtrair da taxa nominal encontrada de 333 o percentual específico da inflação de 40 Itens posteriores deste capítulo abordarão este assunto com mais profundidade Por outro lado ao desindexar os valores colocandoos em moeda da data da compra do imóvel obtémse Pelo processo de inflacionamento ou de deflacionamento apurase para o negócio um mesmo prejuízo real depurado dos efeitos da inflação de 476 Comportamento exponencial da taxa de inflação O comportamento da inflação se processa de maneira exponencial ocorrendo aumento de preço sobre um valor que já incorpora acréscimos apurados em períodos anteriores Da mesma forma que o regime de juros compostos a formação da taxa de inflação assemelhase a uma progressão geométrica verificandose juros sobre juros Por exemplo sendo de 28 14 e 30 respectivamente as taxas de inflação dos três primeiros meses de um ano um ativo de 1200000 no início do ano se corrigido plenamente pela inflação da economia apresentaria os seguintes valores ao final dos meses 1o mês 1200000 1028 1233600 2o mês 1233600 1014 1250870 3o mês 1250870 103 1288397 O incremento do valor do ativo no trimestre é de 703 1284386 1200000 o que equivale ao produto capitalização composta das taxas mensais de inflação isto é Inflação do Trimestre I 1028 1014 103 1 737 A taxa equivalente mensal de inflação do período identicamente ao regime de juros compostos é apurada Taxa Equivalente Mensal Iq 1 24 ao mês Dessa forma são válidos para a inflação os mesmos conceitos e expressões de cálculos enunciados no estudo de juros compostos do Capítulo 2 1 2 Exemplos A taxa mensal de inflação de um quadrimestre atinge respectivamente 28 34 57 e 88 Determinar a taxa de inflação acumulada do período e a taxa média geométrica mensal Solução I 1028 1034 1057 1088 1 222 aq Iq 1 515 ao mês A taxa de inflação da economia de determinado ano foi de 678 Calcular a taxa equivalente semestral e mensal da inflação do período Solução Equivalente Semestral Iq 1 333 as Equivalente Mensal Iq 1 0548 am 3 4 422 Sendo projetada em 091 ao mês a taxa de inflação para os próximos 5 meses determinar a inflação acumulada deste período Solução I para 5 meses 100915 1 463 p 5 meses Determinado trimestre apresenta as seguintes taxas mensais de variações nos preços gerais da economia 72 29 e 12 deflação Determinar a taxa de inflação acumulada do trimestre Solução I trim 1 0072 1 0029 1 0012 1 899 at Série de valores monetários deflacionados Ao se tratar de uma série de informações monetárias é comum trabalharse com valores deflacionados para se chegar à evolução real de cada período Um exemplo desenvolvido a seguir ilustra o cálculo do crescimento real de uma série de valores monetários Ilustrativamente admita que se deseja conhecer o crescimento real anual das vendas de uma empresa referentes ao período 20X020X4 Os valores nominais de cada ano e os índices gerais de preços que servirão de ajuste dos valores das receitas de venda são transcritos a seguir Ano Vendas Nominais Índice Geral de Preços 20X0 2571500 1000 20X1 3572800 1208 20X2 4789000 1486 20X3 5928800 1798 20X4 7105000 2277 Para uma avaliação inicial do comportamento dos valores no período são apuradas a seguir a evolução nominal das vendas e o crescimento do índice de preços Ano Vendas Nominais Evolução Nominal das Vendas Índice Geral de Preços Crescimento do Índice de Preços 20X0 2571500 1000 20X1 3572800 1389 1208 1208 20X2 4789000 1340 1486 1230 20X3 5928800 1238 1798 1210 43 20X4 7105000 1198 2277 1266 Tanto a evolução das vendas como a do índice de preços são determinadas pela divisão entre o valor de um período e o do período imediatamente anterior Pelos resultados apurados é possível concluirse que no período de 20X0 a 20X3 as vendas apresentaram crescimento real positivo ou seja cresceram mais que a inflação registrada em cada ano Este comportamento é determinado por apresentarem as vendas uma evolução anual nominal superior à dos índices de preços Em 20X4 verificase um comportamento inverso crescendo as vendas nominalmente menos que a inflação Depurada a inflação podese afirmar que as vendas decresceram neste ano A partir dessas informações a taxa real de crescimento das vendas é determinada pela divisão do índice de evolução nominal das vendas pelo índice de evolução dos preços de cada ano ou seja Ano Evolução Real das Vendas 20X1 13891208 1 1501 20X2 13401230 1 896 20X3 12381210 1 231 20X4 11981266 1 537 As vendas anuais deflacionadas e a taxa de variação real do ano são também calculadas a seguir Ano 1 Vendas Nominais 2 Evolução do Índice de Preços Base 20X0 3 12 Vendas Deῤacionadas a Preços de 20X0 4 Variação Real 20X0 2571500 1000 2571500 20X1 3572800 1208 2957616 1501 20X2 4789000 1486 3222746 896 20X3 5928800 1798 3297442 231 20X4 7105000 2277 3120334 537 Conforme observouse as vendas apresentaram crescimento real até 20X3 decrescendo em 537 em 20X4 Em termos acumulados o crescimento das receitas de vendas no período atingiu 213 o qual pode ser obtido da forma seguinte Crescimento real de 20X020X4 ou 1 01501 1 00896 1 00231 1 00537 1 213 Taxa de desvalorização da moeda Enquanto a inflação representa uma elevação nos níveis de preços a taxa de desvalorização da moeda TDM mede a queda no poder de compra da moeda causada por estes aumentos de preços Por exemplo se em determinado período os preços em geral dobraram inflação de 100 concluise que a capacidade de compra das pessoas reduziuse em 50 ou seja somente podem adquirir a metade do que costumavam consumir no passado Dizse em outras palavras que a capacidade aquisitiva da moeda diminuiu em 50 A taxa de desvalorização da moeda TDM para diferentes taxas de inflação pode ser obtida a partir da seguinte fórmula sendo I a taxa de inflação do período Por exemplo se em determinado período a taxa de inflação alcançar a 8 a queda na capacidade de compra registra a marca de 74 isto é A inflação de 8 determina uma redução do poder de compra da moeda igual a 74 isto é com este percentual de evolução dos preços as pessoas adquirem 74 a menos de bens e serviços que costumam consumir Quanto maior a inflação evidentemente maior será a taxa de desvalorização da moeda definindo em consequência uma menor capacidade aquisitiva Outro exemplo permite uma melhor compreensão das taxas de inflação e de desvalorização da moeda Admita que a inflação em determinado período tenha alcançado a taxa de 40 Este percentual indica uma queda na capacidade de compra geral de 286 0414 ou o que é o mesmo ao final do período somente podem ser consumidos 714 dos bens e serviços originais Para que o poder de compra se mantenha inalterado as rendas das pessoas devem ser corrigidas por 40 que corresponde à inflação verificada no período Para um salário de por exemplo 100000 o reajuste para manter inalterado o poder de compra deve atingir 40 passando o seu valor para 140000 Se for atribuído um reajuste salarial de 50 o assalariado obtém um ganho real em suas rendas isto é uma correção acima da inflação Assim seu salário se eleva para 150000 que representa um reajuste adicional à inflação de 10000 ou 150000 140000 1 714 Um reajuste salarial exatamente igual à inflação de 40 preserva o poder aquisitivo constante O salário 431 1 2 a b passa para 140000 indicando que em média pode ser adquirido ao final do período o mesmo montante de bens e serviços consumidos no início Uma correção de 25 nos salários por outro lado denota uma perda no poder de compra reduzindo o ingresso de recursos em valores reais em 15000 100000 125 140000 Esta correção nominal dos salários menor que a inflação equivale a uma perda real de 107 125000 140000 1 Inflação e prazo de pagamento Uma aplicação do conceito da taxa de desvalorização da moeda muito utilizada na prática referese ao cálculo da perda do poder de compra do dinheiro nas operações de venda a prazo Conforme foi demonstrado o dinheiro tem diferentes valores no tempo motivados basicamente pelas taxas de juros e da inflação Centrando o objetivo deste item unicamente na inflação a postergação do recebimento de uma venda produz uma perda inflacionária determinada pela redução do poder de compra do dinheiro Ilustrativamente admita que uma empresa tenha vendido 10000000 para recebimento em 120 dias Sendo de 10 a taxa de inflação do período a taxa de perda inflacionária assumida pela empresa na operação atinge a Quando do recebimento do dinheiro ao final do quadrimestre seu poder efetivo de compra reduziuse para 9091 de seu valor Em outras palavras a receita de venda realizada perdeu 909 de sua capacidade aquisitiva originandose uma perda inflacionária de 10000000 909 909090 Esta perda indica em valores monetários a queda do poder de compra motivada pelo aumento nos níveis gerais de preços Nessa situação ainda a desvalorização de 909 pode ser interpretada como o desconto máximo que a empresa poderia conceder para pagamento imediato de forma a tornar equivalente indiferente vender a vista ou a prazo em 120 dias O desconto de 909 reduz a receita num montante exatamente igual à perda inflacionária determinada pela venda a prazo admitindose uma taxa de inflação de 10 Exemplos Admita que em determinado período a inflação tenha atingido 106 Determinar a reposição salarial necessária para que um assalariado mantenha a mesma capacidade de compra b redução do poder aquisitivo do assalariado supondo que os seus vencimentos não sofreram reajuste no período Solução A reposição salarial para manutenção do seu poder aquisitivo é a própria taxa de inflação de 106 Por refletir o aumento médio dos bens e serviços consumidos na economia admitese que a correção dos salários pela taxa de inflação repõe pelo menos ao nível de uma cesta básica de bens e serviços a perda da capacidade de compra da moeda A redução do poder aquisitivo é mensurada pela taxa de desvalorização da moeda ou seja Com a elevação de 106 nos índices de preços o assalariado passa a ter uma capacidade de compra 958 menor Num período de inflação a moeda perde uma parte de sua capacidade de compra afetando principalmente aqueles que não obtêm um reajuste em suas rendas Nestas condições determinar para uma pessoa que manteve inalterado o seu salário no período quanto pode adquirir ao final do mês daquilo que consumia no início Considere uma inflação de 25 no mês 3 4 44 Solução A pessoa perdeu 244 de seu poder de compra indicando uma capacidade de consumo de 9756 no final do mês do que consumia no início Uma loja está vendendo suas mercadorias para pagamento em 30 dias sem acréscimo Sendo de 18 ao mês a taxa de inflação determinar o percentual de perda inflacionária motivada pela venda a prazo Solução A perda inflacionária pela venda a prazo está refletida na taxa de desvalorização da moeda isto é Em outras palavras o dinheiro no momento do recebimento estará valendo 177 a menos determinado pela taxa de inflação verificada no período Uma venda de 4000000 foi efetuada com prazo de pagamento de 40 dias Sendo de 2 ao mês a inflação determinar o montante da perda inflacionária desta venda e a taxa de redução do poder de compra do dinheiro Solução I 2 am ou 1 268 p40 dias Montante da Perda 4000000 261 104400 Taxa nominal e taxa real A taxa nominal de juros é aquela adotada normalmente nas operações correntes de mercado incluindo os efeitos inflacionários previstos para o prazo da operação Constituise em outras palavras numa taxa prefixada de juros que incorpora as expectativas da inflação É importante separar claramente a taxa nominal de juros que mede o resultado de uma operação em valor corrente da taxa nominal linear estudada nos dois primeiros capítulos que indica a descapitalização do juro de forma proporcional juros simples Em contexto inflacionário ainda devem ser identificadas na taxa nominal prefixada uma parte devida à inflação e outra definida como legítima real que reflete realmente os juros que foram pagos ou recebidos Em consequência o termo real para as operações de Matemática Financeira denota um resultado apurado livre dos efeitos inflacionários Ou seja quanto se ganhou ou perdeu verdadeiramente sem a interferência das variações verificadas nos preços O objetivo do cálculo da taxa real r é o de expurgar a indexação da taxa total de juros nominal de maneira a expressar o juro real Por exemplo foi publicado que a remuneração das aplicações em determinado título atingiu 128 num período sendo de 92 a taxa de inflação deste intervalo de tempo Logo quem aplicou ilustrativamente 10000000 no início do período obteve um rendimento nominal de 1280000 128 10000000 no período totalizando um montante de 11280000 Por outro lado para manter inalterado o seu poder de compra o capital acumulado do aplicador deve atingir ao final do período a soma de 10920000 10000000 1092 Como o valor de resgate soma 11280000 concluise pela existência de um lucro real em valores monetários de 360000 11280000 10920000 Isto é o aplicador obteve um ganho real acima do principal investido corrigido pela inflação de 360000 Em termos percentuais o retorno real da operação determinado pela relação entre o lucro ganho e o valor aplicado ambos expressos em moeda de mesmo poder de compra é igual a 33 360000 10920000 De uma maneira geral a fórmula de apuração da taxa real é a seguinte Substituindose os valores do exemplo acima na expressão de cálculo de r temse A partir da identidade da taxa real podese calcular a taxa nominal e a taxa de inflação i 1 r 1 I 1 1 2 45 A taxa real também pode ser negativa desde que a inflação supere a variação nominal dos juros Por exemplo sabese que no mesmo período da ilustração anterior o dólar apresentou uma evolução de 75 abaixo portanto da inflação de 92 Quem aplicou 10000000 neste ativo no período conseguiu resgatar 10750000 10000000 1075 Como precisava obter um montante de 10920000 para manter o poder de compra da moeda com base na taxa de inflação da economia concluise que o investidor teve uma perda real de 170000 10750000 10920000 Ou em termos percentuais a perda real atingiu a taxa negativa de 156 170000 10920000 Em outras palavras o aplicador obteve somente 9844 10750000 10920000 do valor de seu investimento corrigido perdendo em consequência 156 em capacidade de compra Pela expressão de cálculo da taxa real temse Exemplos Uma pessoa aplicou 40000000 num título por 3 meses à taxa nominal de 65 at Sendo de 40 a inflação deste período demonstrar os rendimentos nominal e real auferidos pelo aplicador assim como as respectivas taxas de retorno Solução Valor de Resgate 40000000 1065 42600000 Valor Aplicado 40000000 Rendimento Nominal2600000 Rentabilidade Nominal i 65 at ou 1 212 am Perda pela Inflação do Trimestre 40000000 4 1600000 Rendimento Real 1000000 Rentabilidade Real r ou 1 079 am A taxa real pode ser obtida pelo emprego direto da fórmula Suponha que uma pessoa adquira no início de determinado ano um imóvel por 6000000 vendendoo dois anos após por 8532000 Sendo de 311 a inflação deste biênio pedese determinar a rentabilidade nominal e real anual produzida por esta operação Solução Taxa referencial TR A taxa referencial é apurada a partir das taxas prefixadas de juros praticadas pelos bancos na colocação de títulos de sua emissão A TR é utilizada como um indexador em diversos contratos de financiamentos inclusive nos pagamentos de seguros e também em aplicações financeiras como a caderneta de poupança A TR é calculada e divulgada pelo Banco Central e obedece à seguinte metodologia de apuração 46 a b diariamente os principais bancos captadores de recursos informam ao Banco Central suas taxas de juros pagas aos aplicadores em certificados e recibos de depósitos bancários prefixados de emissão de 30 a 35 dias o Banco Central calcula então a média ponderada dos juros pagos pelo mercado bancário sendo esta taxa média conhecida por Taxa Básica Financeira TBF A TBF representa dessa forma o custo médio de captação dos bancos na colocação de seus títulos de renda fixa no mercado sobre a taxa básica financeira o Banco Central aplica um redutor obtendo assim a Taxa Referencial TR Por exemplo se a TBF e a TR publicadas em determinado dia atingirem respectivamente 11723 e 06787 sabese que o redutor aplicado sobre as taxas de juros usadas na remuneração aos aplicadores de CDB será de 04936 O cálculo do redutor segue em essência os critérios de política econômica de competência do Banco Central Ao elevar o valor do redutor a autoridade monetária imprime menor custo ao tomador do empréstimo corrigido em TR e ao mesmo tempo reduz os rendimentos dos aplicadores em caderneta de poupança De maneira inversa ao diminuir o redutor promove uma elevação do empréstimo indexado à TR incentivando ainda as aplicações em caderneta de poupança pelo aumento de seus rendimentos Caderneta de poupança A caderneta de poupança é considerada a modalidade de aplicação financeira mais popular do mercado Seus principais atrativos encontramse na liquidez imediata o aplicador pode sacar seu saldo a qualquer momento na garantia de pagamento dada pelo governo e na isenção de impostos A remuneração da caderneta de poupança está atualmente fixada pela TR mais 05 am de juros sendo creditada mensalmente para os depositantes pessoas físicas As contas de pessoas jurídicas têm os rendimentos creditados a cada trimestre O cálculo dos rendimentos tem por base sempre o menor saldo mantido pelo aplicador no período Exemplo Admita uma aplicação de 750000 em caderneta de poupança por dois meses A TR definida para cada mês na data de aniversário é a seguinte Mês 1 06839 am Mês 2 07044 am Determinar saldo disponível do aplicador ao final de cada período A remuneração da caderneta de poupança é formada pela TR definida para a data de aniversário mais juros de 05 am Logo MÊS 1 FV1 750000 1006839 1005 FV1 758905 MÊS 2 FV2 758905 1007044 1005 FV2 768072 rentabilidade efetiva da aplicação Rentabilidade Acumulada do Período bimestre i 1006839 1007044 10052 1 i 241 ab Rentabilidade Mensal 1 i 1024112 1 i 1198 am Exercícios resolvidos No primeiro mês de um ano a taxa de inflação foi de 127 No segundo mês foi de 156 e no terceiro mês de 189 De quanto foi a inflação acumulada no trimestre 2 3 4 5 6 Solução O crescimento da inflação se processa de forma exponencial igual a juros compostos Logo I 1 00127 1 00156 1 00189 1 479 at Determinar a variação real do poder aquisitivo de um assalariado que obtém em determinado semestre um reajuste salarial de 12 admitindo que a inflação do período tenha atingido a 8 b 12 c 20 Solução Sabese que o preço a vista de um imóvel é de 7800000 Na hipótese de serem oferecidos uma entrada de 40 e o saldo restante após um semestre determinar o valor deste pagamento sabendose que a taxa de inflação projetada para um ano atinge 21 Solução Valor a Financiar 7800000 40 4680000 Valor Corrigido do Pagamento 4680000 5148000 A taxa nominal de juros explicitada num empréstimo é de 12 ao ano Tendo ocorrido uma variação de 54 nos índices de preços neste mesmo período determinar a taxa real anual de juros do empréstimo Solução Uma aplicação de 3860000 pelo prazo de 7 meses gera um resgate de 4840000 Sendo os juros reais de 15 am calcular a taxa de correção monetária mensal e a taxa nominal de juros desta operação Solução FV 4840000CM PV 3860000i r 15 am Calcular a rentabilidade nominal anual de uma caderneta de poupança que paga juros reais de 05 am sendo de 75 a correção monetária do ano Solução i 1 000512 1 1075 1 1413 aa c 8 1 2 7 a b c Os índices gerais de preços referentes ao primeiro semestre de 20X6 são os seguintes Data Índice de Preços 3112X5 14870 3101X6 15007 2802X6 15215 3103X6 15398 3004X6 15721 3105X6 15813 3006X6 16201 Com base nesses valores calcular evolução dos preços no semestre evolução mensal dos preços se as inflações de julho e agosto de 19X6 atingirem respectivamente 113 e 097 determinar o índice de preços que deve vigorar em cada um desses meses Solução Índicejul 16201 10113 16384 Índiceago 16384 10097 16543 Um financiamento em moeda estrangeira US cobra juros de 80 aa mais variação cambial Sendo de 45 a variação cambial do dólar e de 68 a inflação da economia pedese calcular a taxa real de juros com base no dólar e na inflação Solução Moeda estrangeira Taxa real de juros 80 aa Taxa nominal de juros 1081045 1 1286 Inflação da economia Taxa real 567 O devedor em dólar obteve um custo real menor em razão da inflação da economia superar a variação cambial Exercícios propostos Uma aplicação rendeu 295 de taxa nominal em determinado mês Sabendo que a variação cambial do dólar em relação à moeda nacional foi de 18 e a inflação da economia de 22 no mesmo período determinar a rentabilidade real da aplicação em relação à inflação interna e à variação cambial Qual o custo real mensal de uma operação de financiamento por 5 meses sabendose que os juros nominais cobrados atingem 28 ao mês e a inflação de todo o período 12 3 5 6 7 b 8 4 a b a Uma pessoa levanta um empréstimo para ser liquidado ao final de 4 meses pagando uma taxa real de juros de 20 ao ano Determinar a taxa nominal equivalente mensal de juros desta operação ao se prever para cada um dos meses considerados respectivamente as seguintes taxas de inflação 15 12 22 e 17 Um banco oferece duas alternativas de rendimentos para aplicação em título de sua emissão taxa prefixada de 50 aa correção monetária pósfixada mais juros de 20 aa Qual a taxa de correção monetária anual que determina os mesmos rendimentos para as duas alternativas Um imóvel foi adquirido por 300000 em determinada data sendo vendido por 3000000 quatro anos depois Sendo a taxa de inflação equivalente em cada um desses anos de 100 determinar a rentabilidade nominal e real anual desta operação Em determinado período a variação cambial do dólar foi de 15 enquanto a inflação da economia atingiu 175 Admitindo que uma dívida em dólar esteja sujeita a juros de 16 no período mais variação cambial determinar o custo real da operação em dólar em relação à inflação da economia Os rendimentos nominais mensais da caderneta de poupança no segundo trimestre de determinado ano foram os seguintes abril i 3984 maio i 3763 junho i 3400 Determinar o rendimento nominal acumulado da caderneta de poupança no trimestre Com base nas variações mensais do índice de preços ao consumidor demonstradas a seguir apurar a rentabilidade real da caderneta de poupança no trimestre abril 290 maio 221 junho 439 Sendo de 98 a inflação de determinado semestre calcular a variação real do poder de compra de um assalariado admitindo que 9 10 11 12 14 16 17 18 20 a b c 13 15 19 a b c d e não tenha ocorrido reajuste de salário no período o salário tenha sido corrigido em 53 o salário tenha sido corrigido em 121 A correção monetária de um empréstimo baseada no IPC em determinado período foi de 24 Neste mesmo período os índices gerais de preços da economia variaram 30 Se for de 14 a taxa real de juros apurar o custo real efetivo do empréstimo no período em relação ao IGP da economia Em determinado semestre em que a inflação alcançou a marca dos 15 os salários foram reajustados em 115 Determinar a perda efetiva no poder de compra do assalariado Admita que uma pessoa deseja ganhar 25 ao ano de taxa real em suas aplicações financeiras Projetandose a inflação no valor médio mensal de 18 nos próximos 3 meses e de 10 ao longo dos 3 meses seguintes determinar a que taxa nominal mensal a pessoa deve aplicar seus recursos no semestre Um investidor adquiriu um título por 4000000 e o resgatou 70 dias após por 4199700 Sabendo que a correção monetária deste período atingiu a 66 pedese determinar a rentabilidade real mensal auferida pelo investidor Sendo de 11835 a inflação de determinado ano calcular a taxa média equivalente mensal Até abril de um ano a inflação atingiu a 44 Mantendose em 11 a taxa mensal de inflação até o fim do ano calcular a inflação acumulada do período A inflação de certo mês atingiu 394 Tendo este mês 20 dias úteis determinar a taxa de inflação por dia útil Um índice de preços ao consumidor publicado apresentou os seguintes valores para o segundo trimestre de um ano abril 73918 maio 78643 e junho 82823 Sendo de 46 31 e 39 respectivamente as taxas de inflação de julho agosto e setembro determinar o valor mensal deste índice de preços ao consumidor para o terceiro trimestre deste ano Sendo de 22 a taxa de inflação de determinado mês e de 18 a taxa do mês seguinte determinar a redução no poder de compra verificada no bimestre Sendo de 118 a taxa de desvalorização da moeda em determinado período calcular a inflação que determinou este resultado negativo no poder de compra da moeda Os índices gerais de preços IGP referentes aos seis primeiros meses de determinado ano no Brasil foram Dezx8 107325 Janx9 108785 Fevx9 110039 Marx9 112035 Abrx9 114614 Maiox9 115071 Junx9 118090 Pedese calcular taxa de inflação dos meses de janeiro fevereiro e março de x9 inflação do primeiro trimestre de x9 taxa média mensal de inflação do primeiro trimestre de x9 taxa de inflação do semestre considerando de 224 a inflação de julho apurar o IGP do mês A taxa de inflação verificada em cada um dos quatro primeiros meses de determinado ano é apresentada a seguir Ijan 092 21 22 24 23 25 Ifev 035 Imar 053 deflação Iabr 101 Pedese determinar a taxa acumulada de inflação do quadrimestre e a equivalente mensal Um empréstimo em dólar foi contratado à taxa real efetiva de 14 ao ano mais variação cambial pelo prazo de três meses Os índices de correção cambial atingem para cada um dos meses da operação respectivamente 118 127 e 109 Admitindo que a operação seja liquidada ao final do trimestre determinar o custo efetivo nominal trimestral e mensal do empréstimo Admita uma instituição financeira que deseja obter uma remuneração real de 15 am em suas operações de crédito Sendo de 09 am a taxa esperada de inflação pedese calcular a taxa nominal de juros a ser cobrada Os rendimentos trimestrais acumulados de uma caderneta de poupança em determinado ano foram 1o trimestre 198 2o trimestre 211 3o trimestre 221 Para que se obtenha um rendimento total de 12 aa qual deveria ser a taxa de remuneração da caderneta de poupança no último trimestre Admita que o governo tenha fixado uma meta de inflação IGPM de 22 no primeiro trimestre do ano de X2 A tabela a seguir apresenta os índices de preços dos primeiros meses do ano Qual deve ser o IGPM de marçoX2 para que se obtenha a taxa de inflação projetada de 22 para o ano Mêsano IGPM DezX1 21334 JanX2 21502 FevX2 21701 MarX2 Admita as seguintes informações de três aplicações financeiras Fundo de investimento A remuneração 105 aa taxa efetiva tributação 25 s os rendimentos nominais Caderneta de poupança remuneração taxa de juros de 6 com capitalização linear mensal mais correção pela TR tributação isento Fundo de investimento B remuneração 975 aa taxa efetiva tributação 20 s os rendimentos nominais A taxa de inflação projetada da economia para o próximo mês IPCA é igual a 05 Pedese calcular a rentabilidade real líquida mensal e anual de cada alternativa de investimento Respostas 1 2 3 4 5 6 7 8a b c 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19a b c d e r inflação 073 r câmbio 113 r 25 p5 meses r 0496 am i 1345 aq i 32 am I 25 i 7783 aa r 1109 aa r 1353 i 1157 at r 162 at 893 41 209 873 304 33 am r 15 p70 dias r 065 am I 237 am I 1395 I 0193 pdia útil Julho 86633 Agosto 89318 Setembro 92802 388 I 1338 Ijan 136 Ifev 115 Imar 181 Itrim 439 Imédia 144 am Isem 100 IGPjul 120735 20 21 22 23 24 25 Iquadr 175 Imensal 044 i 703 at i 229 am i 241 am i 523 at IGPM 21804 Fundo A 0126 am 152 aa Caderneta de poupança 05 am 61678 aa Fundo B 01220 am 147 aa 51 a Esta expressão de cálculo foi originalmente proposta por Irving Fisher The Theory of Interest New York The Macmillan 1930 por isso sua utilização é conhecida como efeito Fisher 5 Matemática Financeira e Empréstimos para Capital de Giro A Matemática Financeira encontra importantes aplicações práticas no âmbito das atividades comerciais tanto no que se refere às operações bancárias de crédito comercial como em avaliações de estratégias de compras e vendas mercantis Este capítulo tem por objetivo básico o estudo das várias modalidades de empréstimos bancários de curto prazo dirigidos ao capital de giro das empresas As operações de desconto bancário uma das formas mais tradicionais de financiamento do capital de giro das empresas incorporam além da taxa de desconto paga a vista certas características de tributação IOF e de despesas bancárias que impõem um maior rigor na determinação de seus resultados A mesma atenção ainda deve ser dispensada às demais operações bancárias de crédito comercial cujos custos finais geralmente se elevam pela cobrança de taxas e comissões adicionais Descontos de duplicatas O Capítulo 3 dedicouse integralmente ao estudo das operações de desconto e de seus tipos conhecidos desconto racional ou por dentro e desconto bancário ou comercial ou por fora Este item a partir dos conhecimentos extraídos do referido capítulo tem por objetivo desenvolver a prática de cálculo dos encargos financeiros e da taxa efetiva de custo das operações bancárias de desconto de duplicatas definidas por desconto bancário ou por fora Conforme foi apresentado a operação de desconto envolve basicamente a negociação de um título representativo de um crédito em algum momento anterior à data de seu vencimento É interpretado em outras palavras como uma cessão dos direitos existentes sobre um título em troca de alguma compensação financeira As operações de desconto praticadas pelos bancos comerciais costumam apresentar os seguintes encargos financeiros os quais são geralmente cobrados sobre o valor nominal do título valor de resgate e pagos a vista descontados no momento da liberação dos recursos Taxa de Desconto nominal Segue as características de desconto bancário estudadas no Capítulo 3 Basicamente representa a relação entre os juros e o valor nominal do título Esta taxa costuma ser definida em bases mensais e empregada de forma linear nas operações de desconto b c IOF Imposto sobre Operações Financeiras Identicamente à taxa de desconto este percentual é calculado linearmente sobre o valor nominal do título e cobrado no ato da liberação dos recursos Taxa Administrativa Cobrada muitas vezes pelas instituições financeiras visando cobrir certas despesas de abertura concessão e controle do crédito É calculada geralmente de uma única vez sobre o valor do título e descontada na liberação dos recursos Esses encargos financeiros do desconto bancário são referenciados para o cálculo de seus valores monetários pelo critério de juros simples Evidentemente para uma apuração rigorosa da taxa de juros efetiva destas operações é adotado o regime composto conforme amplamente discutido Foi estudado ainda no Capítulo 3 item 32 a taxa implícita de juros admitida no desconto por fora ou bancário a qual é calculada com base nos critérios por dentro A fórmula direta de apuração desta taxa racional de juros para todo o período da operação foi colocada como Adaptandose essa equação mediante a inclusão da despesa de IOF temse a expressão de cálculo do custo efetivo para todo o período da operação sendo d e IOF taxas representativas de todo o período do desconto Por exemplo atingindo a 38 ao mês a taxa de desconto bancário taxa nominal 00041 ao dia o IOF e um prazo de desconto de 60 dias o custo efetivo desta operação aplicandose a fórmula direta de cálculo atinge Em termos de juros compostos a taxa efetiva mensal é a equivalente ou seja i 1 417 am Admitindose por outro lado que o valor nominal resgate do título descontado dois meses antes de seu vencimento e nas demais condições anteriores seja de 4000000 têmse os seguintes resultados Valor Nominal do Título 4000000 Desconto 4000000 0038 2 304000 IOF 4000000 0000041 60 9840 Valor Líquido Liberado 3686160 O custo efetivo a partir desses resultados é determinado por Em termos mensais o custo efetivo atinge a i 1 417 am ou 1 2 3 Exemplos Suponha o desconto de uma duplicata de valor nominal de 1500000 descontada 50 dias antes de seu vencimento A taxa de desconto nominal cobrada pelo banco é de 33 am e o IOF atinge a 00041 ao dia Determinar o valor líquido liberado e o custo efetivo desta operação Solução FV 1500000 n 50 dias d 33 am IOF 00041 ao dia Pela fórmula direta temse a seguinte taxa implícita de juros que equivale no regime de juros compostos à taxa de 106053050 1 359 am A demonstração financeira dos resultados dessa operação é processada da maneira seguinte Valor Nominal do Título 1500000 Desconto 1500000 50 82500 IOF 1500000 0000041 50 3075 Valor Líquido Liberado 1414425 O custo efetivo a partir desses resultados é apurado ou Admita no exercício acima que a instituição financeira cobra ainda 15 de taxa administrativa Calcular o valor líquido liberado e o custo efetivo da operação incluindo essa despesa adicional Solução Valor Liberado Anterior 1414425 Taxa Administrativa 1500000 0015 22500 Valor Líquido Liberado 1391925 O custo efetivo do desconto se eleva para ou Admita que uma empresa tenha apresentado a um banco o seguinte borderô de duplicatas para desconto Duplicata Valor Nominal Prazo de Desconto n a b c A 1500000 27 dias B 2800000 39 dias C 1100000 42 dias D 3200000 36 dias Sendo de 45 am a taxa de desconto cobrada pelo banco e de 00041 ad o IOF incidente sobre a operação determinar valor do desconto calculado pelo banco valor líquido liberado ao cliente custo efetivo mensal pelo custo médio ponderado Solução Duplicata A Duplicata B Duplicata C Duplicata D Total Valor Nominal 1500000 2800000 1100000 3200000 8600000 Desconto 015 ad n 60750 163800 69300 172800 466650 IOF 00041 ao dia 1660 4477 1894 4723 12754 Valor Líquido Liberado 1437590 2631723 1028806 3022477 8120596 O cálculo do desconto e valor líquido liberado do borderô pode mais facilmente ser processado por meio do prazo médio isto é Logo Valor Nominal Total Desconto 8600000 361744 00015 8600000 466650 IOF 8600000 0000041 361744 12756 Valor Líquido Liberado 8120596 Custo Efetivo Mensal Utilizando a fórmula direta 4 52 1 O custo efetivo mensal é apurado pela taxa equivalente ou seja i 105930361744 1 487 am Suponha que um banco tenha definido em 41 aa a taxa efetiva de juros que deseja ganhar em suas operações de desconto Para uma operação de 72 dias determinar a taxa nominal mensal de desconto que deve cobrar Solução A taxa efetiva de 41 aa equivale a 711 para 72 dias i 14172360 1 711 p 72 dias A fórmula da taxa efetiva de juros a partir de uma taxa de desconto é expressa conforme demonstrado da forma seguinte Logo i 1 d d i id d i d id i d 1 i Substituindo Observe que a taxa nominal de 664 para 72 dias determina uma taxa efetiva de 711 no período 006641 00664 Capitalizandose esta taxa para um ano chegase evidentemente nos 41 de juros desejados 1071136050 1 41 aa Commercial papers Os commercial papers ou notas promissórias são títulos de curto prazo que as empresas emitem visando captar recursos no mercado para financiar suas necessidades de capital de giro É uma alternativa às operações de empréstimos bancários convencionais permitindo geralmente uma redução nas taxas de juros pela eliminação da intermediação financeira bancária Os commercial papers imprimem ainda maior agilidade às captações das empresas determinada pela possibilidade de os tomadores negociarem diretamente com os investidores de mercado bancos fundos de pensão etc Os custos de emissão desses títulos são em geral formados pelos juros pagos aos aplicadores comissões e despesas diversas publicações taxas de registro na Comissão de Valores Mobiliários etc Os commercial papers costumam ser negociados com desconto sendo seu valor de face valor nominal pago por ocasião do resgate Os títulos podem ser adquiridos no mercado ou por meio de fundos de investimentos Exemplos Admita que uma empresa tenha emitido 35 milhões em commercial papers por 180 dias A remuneração oferecida aos aplicadores é uma taxa de desconto de 12 ao mês 72 ao semestre A empresa incorre ainda em despesas diversas equivalentes a 04 do valor da emissão Calcular o valor líquido recebido pela empresa emitente e o custo efetivo mensal da operação Solução Valor Líquido Recebido 2 53 Valor nominal 3500000 Desconto 3500000 72 252000 Despesas diversas 3500000 04 14000 Valor líquido recebido 3234000 Custo Efetivo Admita uma nota promissória de seis meses negociada no mercado por 98940 sendo seu valor nominal igual a 100000 O título paga variação do IGPM mais 128 aa de juros Sendo de 21 a variação monetária do semestre pedese determinar o valor de resgate e a taxa nominal de retorno obtida pelo investidor Solução Valor de Resgate do Título Resgate 100000 1 0021 1 012812 Resgate 108438 Taxa Nominal de Retorno NOMi 1 960 as 109616 1 154 am 10962 1 2012 aa Contas garantidas e o método hamburguês Esse tipo de conta é uma forma de crédito rotativo no qual é definido um limite máximo de recursos que poderá ser sacado Representa em outras palavras uma conta de saldo devedor em que o cliente saca a descoberto e os juros são calculados periodicamente sobre o saldo médio utilizado A determinação dos encargos financeiros sobre os valores devedores é geralmente processada por capitalização simples por meio do denominado método hamburguês O exemplo ilustrativo a seguir permite melhor entendimento do funcionamento das contas garantidas e do método hamburguês para cálculo dos juros incidentes sobre os saldos devedores Assim admita uma conta garantida com limite de 50000000 contratada por 2 meses e aberta no dia 1501 Os encargos financeiros fixados para a operação são juros nominais de 39 ao mês debitados ao final de cada mês e uma taxa de abertura de crédito TAC de 2 cobrada no ato e incidente sobre o limite Sabese que no período da operação foram realizadas as seguintes movimentações na conta garantida MÊS 1 Dia 15 Saque de 25000000 data da abertura da conta Dia 20 Saque de 10000000 MÊS 2 Dia 01 Saque de 5000000 Dia 10 Depósito de 4000000 Dia 18 Saque de 3500000 Dia 22 Saque de 5000000 Conforme se observa nas movimentações o devedor da conta pode também processar créditos mediante depósitos em sua conta garantida Os resultados das várias movimentações realizadas na conta garantida são apresentados a seguir Data Histórico Débito D Crédito C Saldo Devedor Número de Dias Número de Dias Saldo Devedor 1501 TAC 1000000 D 1000000 1501 Saque 25000000 D 26000000 5 130000000 2001 Saque 10000000 D 36000000 11 396000000 3101 Juros 683800 D 36683800 3101 Total Mês 1 16 526000000 0102 Saque 5000000 D 41683800 9 375154200 1002 Depósito 4000000 C 37683800 8 301470400 1802 Saque 3500000 D 41183800 4 164735200 2202 Saque 5000000 D 46183800 8 369470400 2802 Total Mês 2 29 1210830200 2802 Total do Bimestre 45 1736830200 1 TAC Taxa de Abertura de Crédito 50000000 2 1000000 Número de Dias indica o número de dias que o saldo permanece descoberto sujeito a juros O cálculo dos juros pelo método hamburguês envolve o produto da taxa proporcional diária dos juros pelo também produto do saldo devedor e quantidade de dias em que esses valores tenham permanecido acumulados Ou seja em quei taxa de juros proporcional diária SD saldo devedor D número de dias que o saldo permanece inalterado Assim para o primeiro mês temse o seguinte montante de juros Juros 526000000 683800 Esse valor conforme aparece no quadro anterior juros em 3101 é debitado na conta do mutuário no último dia do primeiro mês Para o segundo mês os juros somam Juros 1210830200 1574080 E para todo o bimestre Juros 1736830200 2257880 Exemplo Admita um cliente que mantenha um cheque especial com limite definido de 20000000 Ao final do mês de junho o banco expede um extrato de movimentação do período conforme ilustrado a seguir Sabendose que esse banco cobra 32 am de juros determinar os encargos totais do mês que devem ser debitados na conta do cliente Data Histórico Débito D Crédito C Saldo DC 0104 Transporte 3600000 C 3600000 C 0304 Cheque 3000000 D 600000 C 0904 Cheque 7200000 D 6600000 D 1504 Aviso Débito 1400000 D 8000000 D 1804 Cheque 10000000 D 18000000 D 2404 Depósito 6000000 C 12000000 D 2904 Cheque 3000000 D 15000000 D 3004 Depósito 7000000 C 8000000 D 531 a b c Solução Data Histórico Débito D Crédito C Saldo DC Número de Dias a Descoberto Número de Dias Saldo Devedor 0104 Transporte 3600000 C 3600000 C 0304 Cheque 3000000 D 600000 C 0904 Cheque 7200000 D 6600000 D 06 39600000 1504 Aviso Débito 1400000 D 8000000 D 03 24000000 1804 Cheque 10000000 D 18000000 D 06 108000000 2404 Depósito 6000000 C 12000000 D 02 24000000 2604 Cheque 3000000 D 15000000 D 03 45000000 2904 Depósito 7000000 C 8000000 D 01 7000000 TOTAL 21 247600000 Juros Totais do Mês 247600000 264107 Cálculo do custo efetivo Nessa modalidade de operação conforme comentado é geralmente cobrada uma taxa de juros definida em bases mensais e também uma taxa de abertura de crédito TAC Esta taxa de crédito cobrada no momento da liberação dos recursos eleva o percentual de juros cobrados O critério básico de se apurar o custo efetivo de uma conta garantida pode ser expresso no seguinte diagrama de fluxo de caixa mensal O custo efetivo final será evidentemente a taxa interna de retorno deste fluxo de entradas e saídas de caixa Por exemplo suponha uma conta garantida que cobra juros de 26 am debitados mensalmente e uma TAC de 15 Determinar o custo efetivo admitindo que a conta garantida tenha sido contratada por 30 dias 60 dias 90 dias Assim para um prazo de 30 dias temse o seguinte custo 54 Custo Efetivo i 1 416 am Observe que a comissão de abertura de crédito eleva o custo da conta garantida por 30 dias de 26 para 416 am Sendo de 60 dias o prazo da conta temse Custo Efetivo i 9850 Resolvendose i 339 am Finalmente para 90 dias o custo atinge a Custo Efetivo i Resolvendose i 313 am O custo final se reduz à medida que se eleva o prazo da conta garantida Este comportamento é explicado pela maior diluição da TAC cobrada uma única vez no ato de liberação do crédito pelos meses da operação Operações de fomento comercial factoring As operações de factoring visam financiar o giro das empresas por meio da compra de direitos creditórios decorrentes de vendas mercantis realizadas a prazo e também prestar serviços associados a essa aquisição Como provedora de crédito a operação de factoring consiste na cessão venda de direitos de créditos representados geralmente por duplicatas de um sacador tomador de recursos a uma instituição compradora factor mediante um deságio no valor nominal dos ativos negociados O factor adquire esses direitos creditórios seguindo geralmente a metodologia de cálculo de um desconto de duplicatas conforme demonstrada no Capítulo 3 pagando ao cedente um valor descontado A atuação das sociedades de fomento comercial ampliouse bastante no Brasil incluindo principalmente as prestações de serviços associados à gestão comercial de pequenas e médias empresas como a administração de fluxos de caixa assessoria na gestão de estoques e controles de valores a pagar e a receber Como municiadora de créditos para giro o factor adquire ativos por meio da aplicação de um fator sobre o preço dos títulos de créditos negociados Esse fator deve ser capaz de cobrir todas as despesas operacionais o custo do dinheiro os impostos e apurar ainda uma margem de lucro para a empresa de fomento A formulação geralmente adotada para o fator de fomento é apresentada da forma seguinte Custo do Dinheiro também denominado de taxa de fundeamento dos recursos Constituise em essência no custo médio ponderado do capital CMPC de terceiros levantado pela empresa de factoring para financiar a operação e no custo de oportunidade calculado para o capital próprio utilizado Para ilustrar o cálculo do custo médio ponderado admita que uma empresa de factoring esteja operando com a seguinte estrutura de capital Capital próprio 70 Empréstimos bancários 30 Custo dos empréstimos bancários Ki 17 am Custo do capital próprio Ke 24 am O custo do dinheiro CMPC que deverá fundear a operação de factoring atinge a CMPC Ke 70 Ki 30 CMPC 24 070 17 030 219 am Despesas incluem basicamente as despesas fixas e variáveis inclusive as bancárias calculadas como uma porcentagem das receitas mensais totais do factor Para ilustrar admita que as despesas incorridas sejam equivalentes a 15 das receitas mensais da sociedade Margem de lucro representa o ganho esperado pela sociedade de factoring em suas operações Essa margem é geralmente um percentual sobre o valor de face dos títulos adquiridos Admita que a margem de lucro desejada do factor seja de 18 am Impostos incluem PIS Cofins e CPMF Constribuição Provisória sobre Movimentação Financeira Na ilustração considere que esses impostos atingem a 1 das receitas O cálculo do fator de uma operação de factoring é formado da forma seguinte Custo total 219 15 18 549 Fator de Factoring 555 A transformação do fator de factoring para taxa de desconto processase por meio da fórmula apresentada Taxa de Desconto d 526 que representa a taxa a ser aplicada sobre o valor nominal do título adquirido Por exemplo um título de 7200000 com vencimento para 30 dias é adquirido pela sociedade de factoring de uma empresa cliente por 7200000 1 00526 6821280 o que equivale a um custo efetivo de 555 am Exemplo Admita uma sociedade de fomento comercial que esteja avaliando a aquisição de 38 milhões em duplicatas de uma empresacliente O prazo de vencimento dos títulos é de 70 dias A factoring irá financiar a operação mediante um empréstimo equivalente a 22 do valor da operação captado a um custo efetivo de 16 ao ano antes do benefício fiscal O restante do capital necessário para a compra dos ativos será financiado por recursos próprios com um custo efetivo anual de 24 Admita que a alíquota de imposto de renda da sociedade seja de 34 As despesas da factoring equivalem a 12 de suas receitas e seu ganho esperado nas operações de crédito atinge 15 sobre o valor dos títulos adquiridos Os impostos incidentes sobre as receitas da operação de crédito somam 1 Pedese determinar o fator de factoring em taxa efetiva e em taxa de desconto Solução Custo do Dinheiro Estrutura de Financiamento Capital próprio78 Capital de Terceiros22 Custo do Capital Próprio Ke24 aa Custo do Capital de Terceiros Ki antes do IR16 aa Deve ser deduzido o benefício fiscal da sociedade tomadora dos recursos Para uma alíquota sugerida de IR de 34 temse Ki após IR 16 1 034 1056 Logo o custo do dinheiro da factoring calculado pelo conceito de custo médio ponderado de capital CMPC atinge CMPC 24 078 1056 022 CMPC 210 aa Despesas e Margem de Lucro Desejada 12 15 27 Impostos sobre Receitas 10 Fator de Factoring Taxa Efetiva 2394 aa Equivalendo a 426 para 70 dias prazo da operação Taxa de desconto d 41 para 70 dias O critério adotado de cálculo do fator de factoring foi a descapitalização da taxa custo efetiva anual de 2394 para o período da operação 70 dias Com isso apurase uma taxa de desconto para os 70 dias da operação Em outras palavras uma taxa de desconto de 41 para um prazo de 70 dias equivale em termos de juros compostos a uma taxa efetiva anual de 2394 Exercícios resolvidos 1 b a b 2 a a Uma duplicata de valor nominal de 3270000 é descontada junto a uma instituição financeira 77 dias antes de seu vencimento Considerando que o IOF atinge 00041 ao dia e a taxa de desconto cobrada pelo banco 25 ao mês determinar valor líquido liberado ao cliente e o custo efetivo mensal e anual desta operação recalcular o custo efetivo mensal e anual admitindo que o banco exija um saldo médio igual a 7 do valor liberado do título para realizar o negócio Solução Valor Nominal da Duplicata 3270000 Desconto 3270000 77 209825 IOF 3270000 0000041 77 10323 Valor Líquido Liberado 3049852 ou i 107223077 1 275 am i 1072236077 1 3853 aa Valor Líquido Liberado 3049852 Saldo Médio 7 3049852 213490 2836362 776 p77 dias ou i 107763077 1 295 am Admita um título descontado junto a um banco 37 dias antes de seu vencimento A taxa nominal de desconto cobrada pelo banco é de 28 ao mês e o IOF de 00041 ao dia Determinar custo efetivo mensal e anual da operação b 3 4 a b a b a recalcular o custo efetivo admitindo que como reciprocidade a instituição libere o valor líquido do título somente após 2 dias da realização do negócio Solução i 103743037 1 302 am i 1037436037 1 429 aa Para cada 10000 de desconto a instituição libera 9640 ou seja d IOF n 002830 0000041 37 360 p37 dias Valor Liberado 10000 360 9640 Representando o desconto no diagrama do fluxo de caixa temse i103733035 1 319 am Um banco está atualmente operando com uma taxa prime taxa de juros de cliente preferencial efetiva de 25 ao ano mais um spread remuneração adicional pelo risco de 12 ao ano Apurar a taxa de juro mensal a ser utilizada numa operação de desconto de duplicatas por 30 dias Solução Prime mensal 125112 1 1877 am Spread mensal 112112 1 0949 am Juro total cobrado 101877 100949 1 284 am Taxa de desconto mensal d Admita uma operação de desconto de dois cheques realizada por uma empresa Um cheque tem valor de 600000 para 44 dias e o outro de 400000 para 51 dias A taxa de juros cobrada pelo banco no desconto é de 2 am A empresa incorre ainda pela operação em despesas de IOF de 00041 ad taxa de abertura de crédito TAC de 8000 e custódia de 200 por cheque Pedese calcular valor líquido liberado ao cliente custo efetivo mensal da operação Solução Para o cálculo do capital liberado pelo banco deve ser calculado o prazo médio ponderado n dos cheques Valor liquido liberado Total dos cheques 1000000 Juros 1000000 002 30 468 31200 IOF 1000000 0000041 468 1919 TAC 8000 Custódia 2 cheques 200 400 Valor liquido liberado 958481 b Custo efetivo do desconto i Taxa equivalente mensal 1043330468 1 002756 2756 am Esta taxa representa o custo efetivo de toda a operação incluindo juros IOF TAC e custódia dos títulos 3 4 6 7 8 9 d e 5 45 am 50 am Um banco deseja cobrar 31 aa de taxa efetiva em suas operações de desconto Para uma operação de 40 dias determinar a taxa de desconto mensal que deve cobrar Determinar a taxa mensal de desconto bancário para um prazo de 35 dias que corresponde a uma taxa efetiva de 23 ao ano Uma empresa apresenta num banco comercial para desconto o seguinte borderô de duplicatas Duplicata Valor Nominal Prazo de Antecipação A 600000 60 dias B 900000 90 dias C 810000 30 dias D 1200000 120 dias O valor líquido liberado pelo banco já deduzidos todos os encargos financeiros da operação atinge 3010000 Pedese determinar o custo efetivo mensal pelo método da taxa interna de retorno A taxa de desconto bancária de uma instituição financeira está definida em 36 am Sendo de 00041 ad o IOF vigente determinar o custo efetivo mensal e anual de uma operação de desconto com prazo de 45 dias Um banco está avaliando a taxa de desconto de duplicatas para uma operação de 70 dias A instituição deseja apurar uma prime de 22 am mais um spread de 10 am Ambas as taxas são consideradas efetivas pelo banco Determinar a taxa de desconto mensal que deve cobrar Admita que uma instituição financeira esteja cobrando uma taxa efetiva de 47 ao mês em suas operações de empréstimo Os juros acrescidos do principal são pagos ao final do prazo Transforme este empréstimo para uma operação de desconto mensal calculando a taxa de juros por fora mensal que mantenha inalterado o seu custo efetivo Um banco está exigindo para uma operação de empréstimo uma taxa preferencial efetiva de juros de 374 ao mês mais um spread de 98 ao ano Admita que a operação seja de desconto 10 11 12 13 14 15 18 19 20 a b 16 17 a b c d a bancário Determinar a taxa de desconto mensal que deve ser utilizada na operação O prazo da operação está definido em 42 dias Em suas operações de desconto um banco deseja apurar uma taxa efetiva de 369 ao ano Apurar a taxa de desconto mensal que deve cobrar admitindo os seguintes prazos de desconto 23 dias 57 dias Determinado financiamento bancário tem estipulado uma taxa efetiva de juros de 4122 ao ano 365 dias Calcular a taxa equivalente mensal Considerando que seja de 211 am a taxa efetiva de juro de um empréstimo para capital de giro determinar o custo efetivo anual 365 dias Calcule o custo efetivo de uma conta garantida por 30 dias na qual o banco cobra uma taxa de juros de 42 am além de uma comissão de abertura de crédito paga no ato da contratação do empréstimo de 18 Admita que um banco esteja cobrando 24 am para conta garantida de 30 dias No entanto a taxa que efetivamente o banco deseja cobrar nesta operação é de 35 am Calcular o valor da taxa de abertura de crédito que deve ser fixada de maneira que o custo efetivo da conta garantida atinja os 35 am desejados Um investidor adquire um lote de commercial paper com vencimento para 140 dias por 952000 O valor nominal resgate dos títulos atinge a 1000000 Calcular a rentabilidade efetiva mensal auferida pelo investidor Uma empresa está necessitando de 130000 por 100 dias Para tanto está negociando uma operação de desconto com uma instituição bancária nas seguintes condições taxa de desconto 29 am IOF 00041 ad taxa de abertura de crédito a ser paga na liberação dos recursos 11 Qual deve ser o valor nominal do título a ser descontado de maneira que a quantia desejada possa ser liberada Calcular o custo efetivo mensal da alternativa de empréstimo ilustrada a seguir desconto de duplicatas pelo prazo de 84 dias à taxa de desconto por fora comercial de 21 am O banco cobra ainda no ato da liberação dos recursos despesas administrativas de 15 e IOF de 00041 ad calculados sobre o valor nominal dos títulos Uma duplicata no valor de 2780000 deve ser quitada por uma empresa em 69 dias A empresa com disponibilidades de caixa está propondo pagar este título hoje no valor de 2668000 O credor pode aplicar seus recursos à taxa efetiva de 203 aa Qual a melhor decisão a ser tomada pelo credor Se um banco exige uma taxa efetiva anual de 280 em seus empréstimos de capital de giro que taxa de desconto mensal por fora deve cobrar de seus clientes para operações com prazos de 1 mês 50 dias 2 meses 70 dias Sabese que as operações de desconto bancário cobram IOF de 00041 ad Uma sociedade de factoring opera com um custo de dinheiro igual a 17 am taxa efetiva As despesas equivalem a 14 de suas receitas mensais e a margem de lucro esperada em suas operações é de 15 sobre o valor dos títulos Os impostos incidentes sobre as receitas atingem 11 Pedese determinar o fator de factoring em taxa efetiva e taxa de desconto mensal b 21 22 23 24 a b 25 26 1a b c d 2a admitindo a aquisição de uma carteira de ativos de 78500000 com vencimento para 110 dias determinar o fator de factoring para o período de operação taxa de desconto e o valor descontado pago à empresacliente cedente Uma empresa desconta uma duplicata no banco com prazo de 80 dias à taxa de 21 am desconto comercial No momento da liberação dos recursos é cobrado também IOF imposto sobre operações financeiras de 00041 ad incidente sobre o valor nominal da operação Na data do seu vencimento do título deve a empresa pagar ainda uma taxa de 2 para cobrir despesas de cobrança e 038 de imposto sobre movimentação financeira calculados sobre o valor nominal do título Pedese calcular o custo efetivo mensal do desconto Uma nota promissória prefixada de 90 dias e valor nominal de 100000 é adquirida no mercado por 95650 Pedese determinar a taxa de retorno efetiva mensal e anual oferecida pelo título Uma nota promissória de 60 dias tem remuneração prevista de 137 aa acima da variação do IGPM O título foi adquirido por 98270 com deságio de 173 sobre o valor nominal de 100000 A variação monetária do período bimestre da aplicação é de 187 Pedese determinar a rentabilidade nominal mensal obtida pelo investidor Um banco libera um empréstimo a uma empresa pelo prazo de 5 meses cobrando uma taxa de juros de 24 am A tributação total incidente sobre a operação equivale a uma alíquota de 25 calculada sobre o montante do empréstimo principal juros e descontada do capital liberado Pedese calcular custo efetivo mensal da operação se o imposto fosse pago por ocasião do resgate qual seria o custo efetivo mensal do empréstimo Condições de uma operação de empréstimo para giro praticadas por um banco prazo da operação 4 meses 120 dias pagamento do principal mais os encargos em uma única parcela ao final do prazo 4 meses Taxa de juro efetiva cobrada pelo banco 185 aa demais despesas incidentes sobre a operação IOF 0041 ao dia calculado sobre o valor emprestado e cobrado no ato da operação TAC 2 calculada sobre o capital emprestado e descontado no ato da operação admita que na liquidação do empréstimo a empresa deve pagar um imposto de 038 sobre o montante a ser pago Pedese calcular o custo efetivo mensal do empréstimo Uma empresa tem os seguintes fluxos de pagamentos decorrentes de um empréstimo contraído no passado 4800 daqui a 2 meses 18000 daqui a 7 meses 32100 daqui a 11 meses A taxa de juros do empréstimo é de 24 am taxa efetiva Se a empresa efetuasse um pagamento de 7700 hoje e outro de 15000 daqui a 3 meses pedese calcular a parcela que deveria ser paga no 11o mês para liquidar toda a dívida Respostas i 331 am i 333 am i 337 am i 339 am i 281 am b c d e 3 4 5 6 7 8 9 10a b 11 12 13 14 i 186 am i 313 am i 487 am i 543 am d 222 am d 171 am i 592 am i 39 am i 584 aa d 305 am d 4489 am d 431 am d 259 am d 255 am 2877 am 289 aa i 61 am TAC 1063 15 16 17 18 19a b c d 20a b 21 22 23 24a b 25 26 i 106 am N 14635794 i 837 p 84 dias i 291 am Manter a dívida até o vencimento A taxa que pode aplicar os recursos i 155 am i 203 aa é menor que o desconto proposto para pagamento antecipado i 18 am d 2159 am d 2145 am d 2138 am d 2131 am Fator taxa efetiva 465 am Fator taxa de desconto 444 am Fator taxa de desconto 1535 para 110 dias Valor descontado 66450250 i 322 am i 149 am i 1947 aa i 291 am i 2986 am i 290 am i 216 am 2970426 6 Matemática Financeira Reciprocidade Bancária e Taxas Over Principalmente em operações de desconto bancário é comum defrontarse com certas exigências de reciprocidade estabelecidas pelas instituições financeiras Por exemplo a liberação de um crédito bancário é comumente definida a partir dos valores que o cliente mantém em contacorrente ou aplicados em títulos da instituição O nível de exigências da reciprocidade bancária é estabelecido evidentemente a partir da disponibilidade de dinheiro na praça O saldo médio e outras formas de reciprocidade constituemse efetivamente em um encargo o qual deve ser qualificado e incorporado ao custo final da operação financeira 61 611 Dependendo do nível da reciprocidade exigida pelos bancos a sua inclusão no cálculo do custo racional do crédito pode promover alterações relevantes nas decisões de alocação de recursos Algumas operações financeiras por outro lado principalmente aquelas de curto prazo definem os juros com base no número de dias úteis e não em dias corridos conforme é mais usual Esta sistemática costuma se verificar nas operações financeiras de prazos curtos curtíssimos definidas por hot money as quais têm como referencial a taxa do certificado de depósito interfinanceiro CDI acrescida de um spread comissão Outras operações do mercado financeiro também vêm incorporando o uso de taxas over em seus cálculos como é o caso dos juros dos cheques especiais fundos de investimentos entre outras Este capítulo está voltado ao estudo da reciprocidade bancária e operações financeiras que adotam as taxas over conforme praticadas no mercado brasileiro Reciprocidade bancária Existem diversas formas de reciprocidade bancária estando as mais expressivas apresentadas a seguir Saldo médio Uma forma bastante adotada de reciprocidade bancária é aquela baseada na manutenção geralmente pelo prazo da operação de determinado percentual do crédito concedido em contacorrente no banco Em verdade esta modalidade constituise no pagamento antecipado de uma parcela do principal da dívida elevando o custo efetivo do empréstimo 612 Por exemplo suponha uma operação de desconto envolvendo os seguintes valores Valor das duplicatas 1900000 Taxa de Desconto 3 am Prazo 30 dias IOF 00041 ad 0123 am Reciprocidade manter um saldo médio em contacorrente equivalente a 10 do valor liberado Nessas condições é determinado inicialmente o valor liberado pela instituição financeira Valor das Duplicatas 1900000 Desconto 1900000 003 57000 IOF 1900000 000123 2337 Valor Líquido 1840663 Conforme estabelece a reciprocidade do saldo médio do total do crédito são descontados 10 que permanecerão depositados em conta corrente no banco Admitindo que o saldo médio seja calculado a partir do montante solicitado o valor efetivamente liberado ao cliente atinge a 1840663 10 1900000 1650663 Ao final de 30 dias os 1900000 em duplicatas são resgatados e creditados ao banco Neste momento ainda os 190000 que ficaram em contacorrente do cliente são liberados e reduzem o valor da parcela transferida ao banco de 1900000 para 1710000 1900000 190000 Dessa maneira o custo efetivo dessa operação incluindo a perda dos recursos retidos pelo banco na forma de reciprocidade atinge ou Nesse raciocínio considerase para o cálculo do valor líquido liberado e consequentemente da determinação da taxa racional de desconto os encargos financeiros totais pagos a vista juros e IOF e também o montante retido pelo banco saldo médio como reciprocidade É interessante observar que nessa metodologia de cálculo o custo de oportunidade do saldo médio é embutido no custo total da operação considerandose a taxa efetiva de juros cobrada pelo banco i 359 am como calculado Ao se acrescentar aos encargos financeiros de 59337 o custo de manutenção do saldo médio de 6821 359 190000 e relacionar esse resultado com o valor líquido valor da duplicata menos juros e IOF chegase naturalmente ao mesmo valor ou seja Saldo médio remunerado Em determinadas ocasiões o banco pode oferecer remunerar o saldo médio exigido como reciprocidade mediante sua aplicação em alguma alternativa de poupança No entanto o rendimento financeiro é normalmente inferior à taxa efetiva cobrada pela instituição em sua operação de empréstimo 1 a b c a b c O cálculo do custo efetivo nessa situação segue basicamente a metodologia desenvolvida anteriormente só que deduzindo do valor final a ser resgatado pelo cliente a remuneração apurada no período No exemplo ilustrativo comentado no item anterior admita que o banco remunere o saldo médio de 190000 a uma taxa nominal de juros de 15 am O rendimento é resgatado somente quando da liquidação da operação de desconto Permanecendo inalteradas as demais condições descritas para a operação temse Montante a Pagar 1900000 Saldo Médio Exigido Amortização Antecipada 190000 Remuneração do Saldo Médio 15 190000 2850 Valor Líquido a Pagar 1707150 Com a redução do montante a pagar o custo efetivo atinge ou considerando a redução dos encargos financeiros pelos rendimentos auferidos Exemplo Um banco cobra de forma antecipada 32 am para desconto de duplicatas considerando um prazo de 54 dias taxa linear O IOF incidente na operação é de 00041 ad No entanto para realizar a operação o banco exige do tomador uma aplicação equivalente a 8 do valor nominal da duplicata apresentada para desconto em título de sua emissão o qual rende 16 am em juros compostos O prazo da aplicação coincide com o da captação Sendo de 5000000 o valor de resgate das duplicatas descontadas determinar Valor líquido liberado ao cliente Valor líquido de pagamento Custo efetivo mensal da operação Solução Valor Líquido Liberado Valor das Duplicatas 5000000 Desconto 5000000 54 288000 IOF 5000000 00041 54 11070 Valor Líquido 4700930 Reciprocidade 8 5000000 400000 Valor Líquido Liberado 4300930 Valor de Pagamento Montante a Pagar 5000000 Reciprocidade Aplicação Financeira 400000 Remuneração da Aplicação 400000 10165430 1 11594 Valor Líquido a Pagar 4588406 Custo Efetivo Mensal A taxa mensal por juros compostos atinge 613 i 106683054 1 366 am Alternativamente pela relação entre os encargos financeiros líquidos e o valor liberado chegase ao mesmo resultado Uso do floating como reciprocidade As instituições financeiras podem também solicitar como garantia em suas operações de crédito a entrega de duplicatas para cobrança em volume igual ou maior que o valor do empréstimo solicitado No entanto nessa exigência normal de mercado é que se visualiza uma forma de reciprocidade capaz de alterar bastante o custo efetivo do empréstimo Ao reter por exemplo por alguns dias o dinheiro arrecadado das duplicatas em cobrança antes de creditar em contacorrente do cliente num mecanismo conhecido como floating de duplicatas o custo da operação é acrescido com base na taxa diária do valor do dinheiro Um exemplo ajuda a esclarecer melhor esse mecanismo de floating e sua influência sobre o custo do crédito Admita que uma empresa esteja negociando uma operação de desconto com um banco pelo prazo de 60 dias A taxa de desconto é de 27 ao mês e o IOF atinge a 0123 am O valor da duplicata é de 4400000 Adotandose a fórmula direta de cálculo da taxa efetiva apresentada no item 51 temse O custo efetivo nominal mensal atinge i 1 295 am Ao se supor por outro lado que a instituição financeira exija 100 do valor nominal da operação em duplicatas sacadas como garantia da operação e ainda decida creditar o dinheiro em contacorrente do cliente somente quatro dias após o seu recebimento é certo que o custo final do crédito se eleva Cada dia de atraso no recebimento representa uma perda determinada basicamente pelo que o tomador do empréstimo deixou de receber no período em que o banco utilizandose do mecanismo do floating reteve o dinheiro recebido das duplicatas Em 1 outras palavras nesses quatro dias de floating o emitente das duplicatas perdeu a oportunidade de efetuar aplicações em diferentes ativos com o produto do recebimento realizando um prejuízo evidente O valor líquido liberado pelo banco na operação atinge Valor Nominal 4400000 Desconto 4400000 0 027 000123 2 248424 Valor Liberado 4151576 O fluxo de caixa do floating admitindo ilustrativamente que as duplicatas sacadas tenham vencimento no resgate da operação final do 2o mês apresentase Expressando os valores em moeda atual temse Resolvendose com o auxílio de uma calculadora financeira i IRR 316 ao mês que representa o custo efetivo do desconto com floating Uma metodologia mais simplificada porém não tão exata quanto o cálculo ilustrado da taxa interna de retorno do fluxo de caixa propõe estender a taxa efetiva calculada para mais quatro dias que representam o prazo do floating Dessa maneira 105986460 1 639 ab equivalendo a 1 315 am O resultado sobretudo diante da suposição de as duplicatas em garantia apresentarem vencimento na mesma data da operação é bastante próximo à IRR apurada de 316 am Principalmente diante da facilidade de cálculo o critério simplificado é bastante utilizado pelo mercado Evidentemente outras formas de reciprocidade bancária podem ocorrer na prática onerando de diferentes maneiras o custo efetivo dos empréstimos Entretanto o raciocínio desenvolvido pode ser diretamente aplicado na determinação do custo final das outras modalidades sem necessidade de se introduzir novos conceitos ou instrumentos de cálculo Exemplos Admita um empréstimo pelo prazo de 50 dias à taxa mensal efetiva de 4 O banco exige como reciprocidade a entrega para cobrança de um montante de duplicatas com vencimento idêntico ao da operação O repasse do dinheiro será feito 4 dias após a cobrança Calcular o custo efetivo deste empréstimo Solução Tomandose por 100 a base do valor emprestado temse o seguinte fluxo de caixa para o tomador dos recursos Igualandose os valores financeiros no vencimento da operação 2 62 O custo efetivo da operação de empréstimo com floating é a taxa interna de retorno do fluxo de caixa Resolvendo a expressão com o auxílio de uma calculadora financeira chegase a i 4329 am Admita no exemplo ilustrativo acima que o vencimento das duplicatas em garantia ocorre no momento da liberação do empréstimo Determinar o custo efetivo mensal desta nova situação mantendose em 4 dias o prazo do floating Solução O fluxo de caixa para o vencimento antecipado das duplicatas em garantia apresentase O cálculo do custo efetivo taxa interna de retorno é processado PV 10000 FV 100 1045030 10676 n 46 dias Logo 10676 100 1 i4630 10676 1 i15333 10436 1 i i 436 am Observe que o uso da metodologia mais simplificada de cálculo do custo do floating conforme sugerido apresenta um resultado praticamente igual ao obtido na suposição de os títulos em cobrança apresentarem o mesmo vencimento da operação conforme ilustrado no exemplo 1 Isto é Custo do Floating 1045450 1 4327 am Ao se admitir o vencimento dos títulos em outra data diferente da definida pela operação de empréstimo conforme previsto neste exemplo há uma diferença maior entre os valores expondo as limitações técnicas da metodologia mais simplificada de cálculo do custo de um empréstimo com floating Juros por dias úteis taxa nominal over Toda taxa nominal over deve informar o número de dias úteis em que os juros serão capitalizados de forma que se possa apurar a taxa efetiva do período Por exemplo suponha que a taxa over em determinado momento esteja definida em 15 am No período de referência da taxa estão previstos 22 dias úteis Sendo a taxa over definida por juros simples taxa nominal a taxa diária atinge Sabendo que no período de referência dessa taxa existem 22 dias úteis a taxa efetiva é obtida pela capitalização composta ou seja i 1 0000522 1 111 am Em outras palavras podese concluir que 111 representa a taxa efetiva para 22 dias úteis ou mesmo para os 30 dias corridos do mês Em resumo os procedimentos de apurar a taxa efetiva dada uma taxa nominal mensal de juros over são os seguintes Dividir a taxa over mensal pelo número de dias corridos no período para se obter a taxa nominal diária Capitalizar a taxa diária pelo número de dias úteis previsto na operação A expressão básica de cálculo da taxa efetiva é sendo over a taxa nominal mensal over du o número de dias úteis previsto no prazo da operação Por outro lado muitas vezes é interessante transformar uma taxa efetiva em taxa over No exemplo acima foi definida uma taxa nominal over de 15 am para um período com 22 dias úteis Com isso calculouse a taxa efetiva de 111 am Se fosse dada a taxa efetiva para se transformar em over o procedimento de cálculo seria o inverso ou seja descapitalizar exponencialmente a taxa efetiva para cada dia útil previsto na operação por ser nominal e definida mensalmente a taxa over é obtida pelo produto da taxa descapitalizada pelo número de dias corridos do mês Aplicandose esses procedimentos na ilustração temse i 111 ao mês du 22 dias úteis i 10111122 1 005 adu ao dia útil OVER 005 30 15 am 3 b a b 621 1 2 4 a A fórmula de cálculo da taxa over dada uma taxa efetiva de juros pode ser desenvolvida da forma seguinte OVER 1 i1du 1 30 Substituindo os valores ilustrativos dados chegase a 15 am ou seja OVER 10111122 1 30 15 amo Exemplos Uma taxa over nominal está definida em 48 am Para um mês de 23 dias úteis determinar a taxa efetiva Solução i efetiva 1 375 am Converter a taxa efetiva de 41 am em taxa over mensal sabendo que no período existem 21 dias úteis Solução OVER 1 0041121 1 30 575 amo ao mês over Uma aplicação pelo prazo de 35 dias corridos que incluem 25 dias úteis remunerou o capital aplicado a uma taxa over nominal de 43 am Determinar a taxa efetiva mensal de juros Solução OVER 01433 ao dia Os juros são capitalizados somente nos dias úteis Os 25 dias úteis considerados na operação equivalem a 2535 0714286 dos 35 dias da aplicação financeira ou a 0714286 30 2142858 dias do mês Logo i efetiva 1 00014332142858 1 312 am Admita que a taxa efetiva de juros de mercado no mês de janeiro tenha sido de 103 Pedese calcular a taxa mensal over para o mês de janeiro que acumula 21 dias úteis supondo que a taxa efetiva de 103 seja mantida em fevereiro determinar a taxa over para o mês de fevereiro com 17 dias úteis Solução iadu 10103121 1 00488 adu iamo 00488 30 dias 146 amo ao mês over iadu 10103117 1 00603 adu iamo 00603 30 dias 181 amo Operações financeiras com taxa over Ilustrativamente suponha uma empresa que obteve um empréstimo hot money por um dia A taxa de negociação contratada é nominal tipo over de 44 am sendo cobrado pelo banco ainda um spread de 01 ad pela intermediação da operação 1 2 O spread é um percentual cobrado pelo banco anterior da taxa de negociação É normalmente calculado para cada renovação Sabese que na prática os encargos dessas operações envolvendo taxa over são geralmente apurados por dia segundo o critério de juros simples O cálculo do custo efetivo processase OVER 44 am OVER 01467 ad Custo efetivo do empréstimo incluindo o spread cobrado i 1 0001467 1 0001 1 0247 adu Logo a taxa efetiva para todo o mês admitindo a existência de 21 dias úteis no período e supondo também a renovação do empréstimo 21 vezes no mês pela mesma taxa de juro e de spread atinge i 1 000146721 1 000121 1 531 am Nessas condições pode ser estabelecida a seguinte expressão genérica de cálculo do custo efetivo final de uma operação de empréstimo com taxa over e cobrança de spread Exemplos Uma empresa levantou um empréstimo por sete dias corridos Neste período são identificados cinco dias úteis A taxa de negociação contratada é uma over de 32 am cobrando ainda a instituição financeira um spread de 06 para todo o período Determinar o custo efetivo mensal da operação Solução 114 pos dias úteis A taxa de 114 é válida para o período de sete dias corridos sendo determinada a partir dos cinco dias úteis existentes Logo a taxa equivalente mensal é obtida supondose 307 renovações do empréstimo ou seja i 1 00114307 1 498 am Deve ser registrado que esse tipo de operação é geralmente realizado considerandose para cada dia do prazo contratado a taxa de juro vigente Desta maneira os 32 am de taxa over definidos no exemplo são válidos somente para o primeiro dia podendo alterarse esse percentual para os demais dias da operação financeira de acordo com as taxas estabelecidas pelo mercado Um empréstimo tipo hot money é contratado por três dias úteis As taxas over estabelecidas para cada dia do prazo da operação são 28 am 30 am e 31 am O intermediário financeiro cobra um spread de 24 am taxa efetiva Determinar o custo efetivo da operação Admita a existência de 23 dias úteis Solução Over 1o dia 00933 adu Over 2o dia 010 adu Over 3o dia 01033 adu Spread 24 am taxa efetiva Spread 1024123 1 01032 adu 3 a b Custo Efetivo Total i Apesar de o prazo contratado ser de três dias o empréstimo deve ser renovado diariamente com base na taxa over vigente Logo i 1o dia 1000933 1001032 1 01966 i 2o dia 10010 1001032 1 02033 i 3o dia 1001033 1001032 1 02066 i total 1001966 1002033 1002066 1 06077 pos 3 dias da operação Tendo o mês 23 dias úteis o custo efetivo mensal atinge i 1006077233 1 475 am Determinar o custo efetivo mensal de uma operação de empréstimo hot money sendo a taxa de negociação de 36 ao mês Admitindo que a taxa se mantenha constante determinar o custo efetivo mensal assumindose os seguintes prazos para a operação 8 dias corridos sendo 6 dias úteis 5 dias todos úteis Solução A metodologia de cálculo do custo final das operações hot money conforme ilustrada em termos de dias úteis estabelece um custo efetivo final maior quanto menor se apresentar o prazo da operação Quando o prazo é menor existem evidentemente mais períodos de capitalização No exemplo anterior o custo final cresceu quando o prazo reduziu indicando um maior número de períodos de capitalização 4 622 a b c d c Uma empresa levanta um empréstimo de 50000000 por 3 dias úteis realizando uma operação hot money As taxas de juros mensais over para cada dia do empréstimo são respectivamente iguais a 166 154 e 152 Determinar Montante a ser pago ao final Taxa efetiva média por dia útil Taxa over média mensal Taxa over efetiva anual Solução Taxa dia útil 00005244 00524 adu Taxa over mensal 00524 30 dias 15733 amo Equivalência das taxas de aplicações financeiras O raciocínio desenvolvido sobre a taxa over pode ser estendido também para avaliações em aplicações em títulos de renda fixa cujos vencimentos ocorrem em feriados ou fins de semana As taxas nominais de juros desses títulos costumam elevarse dando por vezes a impressão de um aumento na rentabilidade sem que necessariamente esse ganho maior tenha ocorrido Ilustrativamente suponha uma aplicação num título prefixado pelo prazo corrido de 30 dias o qual apresenta 22 dias úteis à taxa efetiva de 30 ao ano A remuneração do período da aplicação é obtida conforme foi visto pela taxa equivalente composta isto é i 13030360 1 221 am Ao se verificar por exemplo que a data de resgate do título cai num sábado o prazo corrido se eleva para 32 dias mantendose ainda em 22 o número de dias úteis do período Nesse caso a taxa equivalente para 32 dias se eleva para i 13032360 1 236 p32 dias No entanto a taxa equivalente anual de juros da aplicação por 32 dias corridos e 22 dias úteis se reduz para i 1022136032 1 279 aa 1 623 a b c Outra aplicação prática relevante é determinar a partir de um percentual de juros definido para um período a taxa equivalente para outro intervalo de tempo com diferente número de dias úteis Por exemplo admita que a taxa efetiva de um título esteja definida para uma aplicação por 30 dias em 26 aa No período da aplicação são identificados 22 dias úteis Qual a taxa de juro equivalente para uma aplicação por 34 dias e 24 dias úteis Em dias corridos a aplicação por 30 dias apresenta a seguinte rentabilidade i 12630360 1 194 am que equivale a 0087 por dia útil ou seja i 10194122 1 0087 por dia útil Ampliandose o prazo para 24 dias úteis a taxa de juro passa para i 10008724 1 211 p 24 dias úteis Logo a taxa equivalente anual para uma aplicação por 34 dias corridos com 24 dias úteis atinge i 1021136034 1 2474 aa Exemplo Um investidor aplica 12000000 no mercado financeiro e resgata 12560000 90 dias após Neste intervalo de tempo são contados 62 dias úteis Pedese calcular Taxa de retorno efetiva do período Taxa por dia corrido Taxa ao mês over amo Solução i mês over 00736 30 dias 221 amo Taxa over anual efetiva As taxas de juros over conforme descritas neste item estão referenciadas no padrão mês A partir de 1998 no entanto o Banco Central do Brasil passou a privilegiar o tratamento dessas taxas em base ano visando difundir uma visão de longo prazo no mercado financeiro Com o término das altas taxas de inflação predominantes até 1995 o objetivo da autoridade monetária era o de formar uma taxa básica de juros na economia que fosse capaz de refletir um período maior independentemente do mês e do número de dias úteis O cálculo da taxa over ano é processado com base em 252 dias úteis Por exemplo sendo de 1843 ao ano a taxa efetiva de um título a taxa por dia útil atinge 1 00671 adu Para obterse a taxa over nominal expressa ao mês basta multiplicar a taxa ao dia útil por 30 No mês a taxa over nominal é de 00671 30 dias 2014 amo ao mês over A taxa over efetiva do mês é apurada capitalizandose a taxa ao dia útil pelo número de dias úteis Admitindo a existência de 22 dias úteis no mês temse 2 3 4 1 i 100067122 1 1487 amo No exemplo a taxa de 1843 é denominada taxa over anual efetiva Equivale a uma taxa anual efetiva transformada para dia útil considerando a presença de 252 dias úteis no período Os jornais costumam publicar diversas taxas de juros efetivas anuais referenciadas em taxa over anualizada Exemplos Sendo de 2024 aa a taxa efetiva de juro determinar a taxa over nominal mensal Solução Taxa Efetiva por Dia Útil 1 00732 adu Taxa Over Nominal Mensal 00732 30 dias 219 amo Ao se desejar apurar a taxa over efetiva do mês devese capitalizar a taxa diária pelos dias úteis no mês ou seja i 1000732du 1 Admitindo du 22 i 100073222 1 1623 amo Sendo de 152 a taxa over efetiva mensal de um CDB determinar sua equivalente over anual sabendo que existem 21 dias úteis no mês Solução Taxa Efetiva por dia útil no mês 1 00719 adu Taxa over anual 1000719252 1 198 aao Demonstrar os cálculos da taxa over anual de um título conforme publicada em um jornal de economia e finanças Data Prazo dias úteis Taxa aa Efetiva 199 21 207 Solução Taxa Equivalente Mensal 1 158 am Taxa por Dia Útil 1 00747 adu Taxa over Anual 1000747252 1 207 aao A seguir são fornecidos os dados históricos da taxa Selic anual efetiva referentes aos dias úteis do mês de fevereiroX5 Data Taxa Anual Data Taxa Anual Data Taxa Anual 0102 1824 1102 1826 2102 1875 b 5 a a b c 0202 1825 1402 1826 2202 1875 0302 1825 1502 1826 2302 1875 0402 1825 1602 1826 2402 1875 0902 1825 1702 1875 2502 1875 1002 1825 1802 1875 2802 1874 Taxa efetiva over base 252 dias úteis Determinar a taxa efetiva Selic para o mês de fevereiro iFEV 118241252 118251252 118251252 118741252 1 iFEV 12182 amo ao mês over Determinar a taxa efetiva Selic ao ano over Como fevereirox5 tem 18 dias úteis a taxa mensal é capitalizada 25218 vezes ou seja iSELIC 101218225218 1 1847 aao Uma aplicação financeira foi realizada pelo prazo de 33 dias corridos No período existem apenas 24 dias úteis A taxa over efetiva anual considerada na operação atingiu 1175 Pedese determinar a taxa de retorno da operação no Solução Período de 24 dias úteis i 1117524252 1 106366 p 24 du A taxa efetiva de 106366 equivale a 24 dias úteis ou 33 dias corridos Mês taxa efetiva mensal i 101063663033 1 09665 am Taxa over nominal mensal i 10106366124 1 0044095 adu i 0044095 30 132 am over nominal 1 2 a b a b Exercícios resolvidos Uma empresa contrata junto a um banco um empréstimo hot money de 5000000 pelo prazo de um dia útil A taxa de negociação firmada é de 41 am mais um spread de 04 para todo o período Determinar montante a pagar custo efetivo da operação no período Solução Total a Pagar 5000000 1004 5026860 Custo Efetivo do Período Uma empresa capta no mercado um empréstimo de 9000000 para ser resgatado em 44 dias à taxa nominal de 18 ao ano No entanto a condição formalizada pela instituição financeira é a de liberar o valor do empréstimo em parcelas de acordo com o seguinte cronograma de desembolso Valor da Parcela a Liberar Dias para Liberação 4000000 no ato 3000000 4 dias 2000000 8 dias Diante dessas condições estabelecidas calcular o custo efetivo mensal desta operação de empréstimo Solução Montante a Pagar do Empréstimo Fluxo de Caixa da Operação Uma forma de apurar o custo efetivo desse empréstimo é atualizar os valores das parcelas liberadas por uma taxa de desconto representativa do custo de oportunidade do tomador dos recursos Admitindose ser essa taxa de 10 ao mês temse b 6 7 3 a b a b 4 5 a PV do Empréstimo 8990723 O custo efetivo do empréstimo embutindose a reciprocidade é obtido i 1 23 p44 dias i 10233044 1 157 am que equivale à taxa efetiva de 205 aa Considerando a taxa over de 285 am pedese determinar taxa efetiva mensal num mês com 22 dias úteis taxa over anualizada Solução Taxa por dia útil 0095 adu Taxa Efetiva Mensal 10009522 1 211 amo Taxa over anualizada 100095252 1 2703 aao Sendo de 148 a taxa over anualizada determinar a taxa over nominal ao mês Solução Taxa Equivalente ao Dia 1 00548 Taxa Over Nominal ao Mês 00548 30 dias 164 amo Admita uma aplicação financeira que paga taxa de 135 aao O prazo da operação é de 21 dias úteis Pedemse Taxa efetiva de retorno no período da operação 21 dias úteis Solução i 113521252 1 1061 p 21 dias úteis Sendo de 33 dias corridos e 21 dias úteis o prazo da operação calcular a taxa efetiva de retorno do mês 30 dias Solução i 1010613033 1 0964 am A taxa básica de juro divulgada como meta pelo Banco Central taxa SELIC para fevereiro de 2012 está fixada em 105 aa Pedese calcular a taxa equivalente por dia útil Solução idia útil 11051252 1 00396 adu Admita que um banco esteja prevendo uma taxa de juros anual efetiva de 1375 base de 252 dias úteis para o mês de setembro que tem 20 dias úteis Dessa forma seu interesse em aplicar recursos em contratos futuros de juros deve ser a uma taxa maior que os 1375 aao previstos Admitindo que o banco realize um negócio à taxa de 1425 aao pedese calcular o PU do contrato ou seja quanto estaria o banco disposto a pagar hoje para receber R 10000000 no vencimento do contrato Solução PU R 9894828 8 Uma aplicação promete rendimentos financeiros baseados na taxa over anual efetiva de 1085 base 252 dias úteis Sobre o ganho nominal obtido incide imposto de renda de 20 O prazo da operação é de 3 meses existindo nesse período 64 dias úteis Pedese calcular a taxa de retorno efetiva mensal base 30 dias corridos da aplicação Solução Taxa over anual 1085 aao Taxa por dia útil 110851252 1 004088 adu Taxa efetiva p o período 3 meses 10408864 1 265 p 64 dias úteis Taxa líquida do IR 265 1 020 212 Taxa efetiva mensal 1021213 1 070 am 1 2 3 a b Taxa administrativa 5 a b c a b 4 Exercícios propostos Uma nota promissória no valor de 5390800 é descontada num banco 20 dias antes de seu vencimento A taxa de desconto utilizada atinge 29 am e o IOF 00041 ad O banco exige no entanto que o tomador mantenha 10 do valor nominal do empréstimo em contacorrente a título do saldo médio sem oferecer nenhum rendimento financeiro Determinar custo efetivo mensal do empréstimo custo efetivo real mensal do empréstimo admitindo uma taxa de inflação de 12 no período Admita que para realizar uma operação de desconto de um título de 4500000 por 60 dias uma instituição financeira está exigindo que o tomador adquira com o valor líquido liberado um título de sua emissão O banco assume nesta operação um compromisso imediato de recompra do título com um deságio desconto de 3 Sendo de 27 am a taxa de desconto cobrada pelo banco e de 0123 am o IOF pedese determinar o custo efetivo mensal desse empréstimo incorporando a perda pelo deságio sofrido na aplicação Uma empresa obtém junto a um banco comercial 7000000 de empréstimo para ser pago em 40 dias O empréstimo se processa mediante o desconto de uma nota promissória Para a liberação da operação no entanto a instituição exige a retenção de 8 do valor nominal do empréstimo em contacorrente reciprocidade pelo prazo da operação Admita que o IOF seja de 00041 ad e a taxa de desconto de 34 am determinar o custo efetivo mensal e anual do empréstimo supondo que o banco não remunera o saldo mantido em contacorrente recalcular o custo acima supondo que a instituição bancária aplica o saldo médio exigido em um fundo que remunera à taxa nominal de 15 am Um banco comercial fornece a seus clientes as seguintes condições em suas operações de desconto Taxas de desconto 45 am 1 sobre o valor nominal do título a ser cobrado identicamente aos demais encargos no ato da liberação dos recursos IOF 00041 ad Reciprocidade retenção de 7 sobre o valor nominal do título pelo prazo da operação O saldo não é remunerado Sabendose que a empresa necessita de 4900000 para pagamento de uma dívida determinar quanto deve solicitar de empréstimo do banco dadas as condições estipuladas O prazo do desconto é de 55 dias Uma empresa está levantando um empréstimo junto a um banco pelo prazo de 60 dias A taxa efetiva postecipada de juros considerada para a operação é de 5 am Admita que o banco está exigindo como reciprocidade para a realização do empréstimo uma das seguintes alternativas manutenção de um saldo médio equivalente a 10 do valor nominal do empréstimo durante todo o prazo da operação entrega ao banco para cobrança de duplicatas no valor igual ao empréstimo e com vencimento na mesma data da operação Pedese determinar o custo efetivo mensal da operação considerandose a manutenção do saldo médio durante todo o prazo do empréstimo apurar o número de dias para repasse da cobrança para que o empréstimo apresente o mesmo custo efetivo calculado acima Admita em sua resposta que as duplicatas entregues para cobrança tenham vencimento na data de realização da operação na hipótese de as duplicatas em cobrança apresentarem vencimento idêntico ao do empréstimo determinar o número de dias para repasse da cobrança visando manter o mesmo custo efetivo calculado em a 6 7 8 9 10 b 11 13 14 15 16 a 12 a b 17 a b Uma empresa realiza uma operação de desconto junto a um banco com prazo de 50 dias A taxa de desconto simples cobrada é de 58 am mais IOF de 00041 ad O banco exige para a realização da operação a entrega de duplicatas para cobrança em montante igual ao valor nominal do desconto O vencimento destas duplicatas ocorre na data de vencimento da operação de desconto O banco libera para a empresa o crédito relativo à cobrança somente quatro dias após o recebimento das duplicatas Pedese determinar o custo efetivo mensal da operação Uma taxa over está definida em determinada data em 245 am Para um mês de 22 dias úteis pedese determinar a taxa efetiva mensal Supondo uma taxa efetiva mensal de 30 converter em taxa over sabendo que no mês estão previstos 21 dias úteis A formação da taxa de juros de um banco para empréstimo compõese da taxa over de 22 am para um período de 20 dias úteis e um spread de 14 aa taxa efetiva Calcular a taxa efetiva mensal que a instituição deve cobrar na operação de empréstimo Admita que um banco tenha captado recursos no mercado pagando uma taxa over de 142 am para 22 dias úteis Pedese calcular custo efetivo mensal pago pelo banco ao aplicador se a instituição bancária acrescentar um spread de 15 aa taxa nominal qual a taxa efetiva mensal que deve repassar esse recurso O custo efetivo de captação de um banco está atualmente fixado em 154 aa A instituição repassa esse dinheiro acrescentando um spread de 12 aa taxa efetiva Admita ainda que o Banco Central está exigindo um encaixe de 10 calculado sobre os empréstimos e exigido no momento de sua liberação Determinar a taxa efetiva mensal que o banco deve cobrar em suas operações de empréstimos considerando o custo associado a esse recolhimento compulsório Com relação aos diferentes tipos de taxas de juros uma taxa over está definida em 33 am Para um mês de 21 dias úteis determinar a taxa efetiva mensal converter a taxa efetiva de 47 am em taxa over sabendo que no período existem 23 dias úteis Uma operação de hot money é contratada por 3 dias úteis O banco define o custo do empréstimo de acordo com a taxa de negociação vigente em cada dia Sendo de 27 29 e 30 ao mês respectivamente as taxas de cada um dos dias da operação e de 04 o spread cobrado pelo banco para os três dias da operação determinar o custo efetivo final da operação no período Admitese que no período existem 21 dias úteis Admita uma instituição financeira que está pagando 25 ao mês de taxa over na colocação de títulos de sua emissão O período de vencimento destes títulos tem 22 dias úteis O banco para repassar este dinheiro sob a forma de empréstimo acrescenta um spread de 22 ao ano taxa efetiva Determinar a taxa efetiva mensal de juros desta operação de empréstimo A taxa efetiva para empréstimo de uma instituição bancária é de 16 am Desejando elevar sua rentabilidade para 20 am o banco está estudando a retenção dos recursos liberados para empréstimos por alguns dias Para uma operação de 60 dias o principal acrescido dos juros são pagos ao final por quantos dias devem os recursos ser retidos Um empréstimo de 1800000 a ser pago em 90 dias foi contratado à taxa efetiva de 18 am O banco reteve a liberação dos recursos por quatro dias Calcular o custo efetivo mensal do tomador do empréstimo Calcular a taxa equivalente composta mensal das seguintes taxas de juros 115 para 19 dias 205 para 42 dias 18 b acapitalizar juros compostos 413 equivalente a 54 dias para um ano para uma taxa efetiva de 252 aa ou 189 am pedese determinar taxa over mensal admitindose 23 dias úteis no período taxa de desconto por fora mensal para uma operação de 53 dias 19 21 b 23 24 26 27 20 a b a 22 a b c d e f 25 sendo de 095 a taxa de inflação no mês apurar a taxa real mensal Um empréstimo é concedido por sete dias à taxa over de 29 am Nesse intervalo existem cinco dias úteis A instituição financeira cobra um spread de 006 ad para realizar essa operação de empréstimo Calcular o custo efetivo mensal da operação para o tomador de recursos Para uma taxa efetiva de 325 aa pedese determinar taxa de desconto por fora mensal para uma operação de 53 dias taxa over mensal admitindose 23 dias úteis no período Admita que o custo de captação de um banco esteja definido pela taxa over de 248 am O número de dias úteis no mês de referência desta taxa é 21 Sabese que o Banco Central vem exigindo um encaixe equivalente a 10 dos recursos liberados para empréstimos sem oferecer qualquer remuneração sobre o depósito Esse encaixe é recolhido no momento da liberação do empréstimo Pedese calcular custo efetivo mensal de captação do banco taxa efetiva mensal da operação de empréstimo sabendo que o banco ao repassar esse dinheiro exige um ganho spread de 12 aa taxa nominal com capitalização mensal Um banco cobra de uma empresa uma taxa efetiva de juro de 175 aa para um empréstimo de 4 meses A empresa tomadora dos recursos incorre ainda nos seguintes custos IOF 4 incidente sobre o principal da dívida e recolhido na data do empréstimo despesa de cobrança de 05 calculada sobre o valor final da operação montante e paga na data de liquidação do empréstimo Pedese calcular o custo efetivo anual da captação No dia 0406 a taxa over estava fixada em 00691 adu Sabese que no mês existem 20 dias úteis Determinar a taxa overmês nominal e a taxa overano efetiva Admita uma aplicação de 30000000 em um título por 59 dias corridos nos quais são previstos 39 dias úteis O valor do resgate é de 31350000 Pedese calcular taxa efetiva do período da aplicação taxa efetiva mensal taxa efetiva por dia corrido taxa efetiva por dia útil taxa over nominal ao mês taxa over ao ano Para uma taxa over nominal ao mês de 228 pedese determinar a taxa over efetiva anual ao ano over Para uma taxa over efetiva anual de 165 determinar a taxa de juros over nominal mensal e a taxa efetiva mensal admitindo um mês com 22 dias úteis A taxa Selic taxa básica da economia mensal referente aos meses de março e abril do ano X5 e os dias úteis existentes em cada mês são apresentados a seguir Pedese determinar a taxa efetiva anual base de 252 dias úteis da Selic para cada mês Taxa Efetiva Dias Úteis MarçoX5 1528 am 22 28 29 30 a b 1a b 2 3a b 4 5a b c 6 7 8 9 10a b 11 12a b 13 14 15 16 AbrilX5 1412 am 20 Uma aplicação financeira produziu uma taxa efetiva de retorno de 192 no período Supondo que no intervalo de tempo da aplicação existam 47 dias corridos e 33 dias úteis determinar a taxa over mensal Admita que o CDI esteja oferecendo as seguintes taxas efetivas anuais over aao nos quatro primeiros dias de um mês Dia 1 1329 Dia 2 1166 Dia 3 1276 Dia 4 1357 Pedese calcular taxa acumulada do período taxa over mensal Um CDB é negociado à taxa de 128 aao O prazo da operação é de 22 dias úteis e 30 dias corridos Pedese determinar a taxa efetiva do período base 252 dias úteis b taxa efetiva anual base 360 dias corridos Respostas i 346 am r 162 am i 453 i 40 am 603 aa i 39 am 578 aa 5866542 i 554 am 57 dias 638 dias i 70 am i 181 am over 423 am i 259 am i 1046 am i 23 am i 229 am i 234 am over 5997 am i 0688 p3 dias úteis i 49 am i 355 am 119 dias i 188 am 17a b 18a b 19 20 21a b 22 23 24a b c d e f 25 26 27 28 29a b 30a b i 182 am i 146 am i 3097 aa over 244 am desconto d 184 am real r 093 am i 341 am d 2297 am over 3057 am i 194 am i 296 am i 3481 aa overmês 2073 am overano 1901 aa 45 ao período 226 am 00746 adc ao dia corrido 01129 adu ao dia útil 339 amo ao mês over 3289 aa 211 aa Taxa over mês 18187 am Taxa efetiva mês 134 am imar 1897 aao iabr 1932 aao i 173 amo i 01916 ap i 144 amo i 10571 p 22 du i 1345 aa Uma taxa over é geralmente representada por amo ao mês over Por exemplo uma taxa over mensal de 15 é expressa por 15 amo 71 7 Fluxos de Caixa Um fluxo de caixa representa uma série de pagamentos ou de recebimentos que se estima ocorrer em determinado intervalo de tempo É bastante comum na prática defrontarse com operações financeiras que se representam por um fluxo de caixa Por exemplo empréstimos e financiamentos de diferentes tipos costumam envolver uma sequência de desembolsos periódicos de caixa De maneira idêntica têmse os fluxos de pagamentosrecebimentos de aluguéis de prestações oriundas de compras a prazo de investimentos empresariais de dividendos etc Os fluxos de caixa podem ser verificados das mais variadas formas e tipos em termos de períodos de ocorrência postecipados antecipados ou diferidos de periodicidade períodos iguais entre si ou diferentes de duração limitados ou indeferidos e de valores constantes ou variáveis Com o intuito de melhor estudar as formulações e aplicações práticas do fluxo de caixa como um dos mais importantes temas da Matemática Financeira o assunto será tratado separadamente A primeira parte do capítulo dedicase ao estudo do fluxo de caixa uniforme o qual apresenta uma característica de formaçãopadrão É entendido como o modelopadrão de uma sucessão de pagamentos ou de recebimentos A sequência do capítulo dedicase às demais classificações dos fluxos de caixa definidas como não convencionais Os termos dos fluxos de caixa são genericamente simbolizados por PMT sendo para as demais variáveis empregada a mesma simbologia adotada em capítulos anteriores PV FV n i Modelopadrão Os fluxos de caixa podem ser representados sob diferentes formas e tipos exigindo cada um deles um tratamento específico em termos de formulações Esquematicamente os fluxos de caixa são identificados com base na seguinte classificação a b d 711 c O modelopadrão de um fluxo de caixa conforme grifado no esquema acima é verificado quando os termos de uma sucessão de pagamentos ou recebimentos apresentam ao mesmo tempo as seguintes classificações Postecipados indica que os fluxos de pagamentos ou recebimentos começam a ocorrer ao final do primeiro intervalo de tempo Por exemplo não havendo carência a prestação inicial de um financiamento é paga ao final do primeiro período do prazo contratado vencendo as demais em intervalos sequenciais Limitados o prazo total do fluxo de caixa é conhecido a priori sendo finito o número de termos pagamentos e recebimentos Por exemplo um financiamento por 2 anos envolve desembolsos neste intervalo fixo de tempo sendo consequentemente limitado o número de termos do fluxo prestações do financiamento Constantes indica que os valores dos termos que compõem o fluxo de caixa são iguais entre si Periódicos é quando os intervalos entre os termos do fluxo são idênticos entre si Ou seja o tempo entre um fluxo e outro é constante Graficamente o fluxo de caixa uniforme padrão é representado da forma seguinte Observe que a estrutura desse fluxo obedece à classificaçãopadrão apresentada anteriormente o PMT inicial ocorre em n 1 postecipado a diferença entre a data de um termo e outro é constante periódico o prazo do fluxo é preestabelecido fixo apresentando n períodos limitado ou finito os valores do PMT são uniformes iguais constantes Valor presente e fator de valor presente O valor presente de um fluxo de caixa uniforme conforme discutido no item precedente para uma taxa periódica de juros é determinado pelo somatório dos valores presentes de cada um de seus valores Reportandose à representação gráfica do fluxopadrão apresentado temse Logo Colocandose PMT em evidência A expressão entre colchetes é denominada de Fator de Valor Presente sendo representada pela Matemática Financeira da forma seguinte FPV i n Com isso a formulação genérica do valor presente assume a expressão PV PMT FPV i n Observe que FPV conforme é apresentado na formulação anterior entre colchetes equiparase à soma de uma progressão geométrica PG de n termos sendo o primeiro termo a1 e a razão q igual a 1 i1 e o nésimo termo an igual a 1 in A fórmula de cálculo da soma de uma PG é dada por Substituindose os valores da expressão na soma dos termos de uma PG temse Seguindose a sequência de dedução adotada por Mathias e Gomes1 multiplicase o numerador e o denominador por 1 i obtendose Essa expressão é muitas vezes representada da maneira seguinte Mediante o FPV a fórmula do valor presente de um fluxo de caixa uniforme é apresentada da maneira seguinte ou PV PMT FPV i n 1 2 3 PV PMT FPV i n Exemplos Determinado bem é vendido em 7 pagamentos mensais iguais e consecutivos de 400000 Para uma taxa de juros de 26 am até que preço compensa adquirir o aparelho a vista Solução PMT 400000PV i 26 am n 7 PV PMT ou PV PMT FPV i n PV 400000 PV 400000 6325294 2530118 O valor presente pode também ser calculado pela atualização de cada um dos termos do fluxo ou seja Resolvendose a expressão chegase evidentemente ao mesmo resultado PV 2530118 Determinar o valor presente de um fluxo de 12 pagamentos trimestrais iguais e sucessivos de 70000 sendo a taxa de juros igual a 17 am Solução PMT 70000 n 12 pagamentos trimestrais i 17 am ou 10173 1 519 at PV PMT FPV i n PV 70000 FPV 519 12 PV 70000 8769034 PV 613830 Um empréstimo de 2000000 é concedido para pagamento em 5 prestações mensais iguais e sucessivas de 430000 Calcular o custo mensal deste empréstimo Solução PV 2000000 n 5 pagamentos mensais PMT 430000 i 4 712 PV PMT FPV i n 2000000 430000 FPV i 5 2000000 430000 Resolvendose com o auxílio de uma calculadora eletrônica ou tabelas financeiras conforme apresentadas no Capítulo 13 temse o seguinte custo mensal efetivo do empréstimo i 246 am Um veículo novo está sendo vendido por 400000 de entrada mais 6 pagamentos mensais iguais e consecutivos de 300000 Sabendose que a taxa de juros de mercado é de 55 am determinar até que preço interessa comprar o veículo a vista Solução O preço a vista é formado pela entrada de 400000 mais a soma dos valores atuais das prestações de 300000 cada ou seja PV Entrada PMT FPV i n PV 400000 300000 FPV 55 6 PV 400000 300000 4995530 PV 1898659 Valor futuro e fator de valor futuro O valor futuro para determinada taxa de juros por período é a soma dos montantes de cada um dos termos da série de pagamentosrecebimentos Graficamente temse a seguinte representação O valor futuro pelo padrão ocorre junto com o último termo do fluxo de caixa Capitalizandose cada um dos valores da série apurase a seguinte expressão FV PMT PMT 1 i PMT 1 i2 PMT 1 i3 PMT 1 in 1 Colocandose PMT em evidência Identicamente a expressão entre colchetes é definida por Fator de Valor Futuro e representada por 1 FFV i n A formulação genérica do valor futuro de um fluxo de caixa uniforme é expressa da forma seguinte FV PMT FFV i n Da mesma maneira em relação ao desenvolvimento da fórmula do valor presente observe que a expressão do FFV representa a soma dos termos de uma progressão geométrica onde a1 1 q 1 i e an 1 in 1 Pela mesma equação de cálculo da soma dos valores de uma PG temse Sn FFV i n Promovendo os mesmos ajustes e simplificações desenvolvidos na identidade do valor presente chegase a A Tabela 4 desenvolvida no Capítulo 13 apresenta o fator de valor futuro para diferentes valores de n e i Assim a partir do FFV podese elaborar a expressão de cálculo do valor futuro montante de um fluxo de caixa uniforme ou seja ou FV PMT FFV i n Exemplos Calcular o montante acumulado ao final do 7o mês de uma sequência de 7 depósitos mensais e sucessivos no valor de 80000 cada numa conta de poupança que remunera a uma taxa de juros de 21 am Solução O valor futuro pode ser calculado pela soma do montante de cada depósito isto é FV 80000 80000 1021 80000 10212 80000 10213 80000 10216 FV 596541 Aplicandose a fórmulapadrão de apuração do valor futuro temse de forma abreviada o mesmo resultado FV PMT FFV i n FV PMT FV 80000 FV 80000 7456763 596541 2 72 Uma pessoa irá necessitar de 2200000 daqui a um ano para realizar uma viagem Para tanto está sendo feita uma economia mensal de 125000 a qual é depositada numa conta de poupança que remunera os depósitos a uma taxa de juros compostos de 4 am Determinar se essa pessoa terá acumulado o montante necessário ao final de um ano para fazer a sua viagem Solução FV PMT FFV 4 12 FV 125000 FV 125000 15025805 1878226 O montante acumulado nos 12 meses apresentase insuficiente para a viagem Para apurar os 2200000 necessários os depósitos mensais nessa conta de poupança devem ser de 146415 ou seja FV PMT 2200000 PMT 2200000 PMT 15025805 PMT 146415 Equivalência financeira e fluxos de caixa Deve ser ressaltado também no estudo do fluxo de caixa o conceito de equivalência financeira conforme está desenvolvida no Capítulo 2 Esse raciocínio é de fundamental importância para a Matemática Financeira permitindo o correto entendimento e uso de seus resultados A equivalência financeira encontra extensas aplicações práticas estando presente na tomada de decisões financeiras na seleção de planos de empréstimos e financiamentos mais atraentes em propostas de refinanciamento e reescalonamento de dívidas etc De acordo com o que foi desenvolvido anteriormente dizse que dois ou mais fluxos de caixa capitais são equivalentes quando produzem idênticos valores presentes num mesmo momento convencionandose determinada taxa de juros Por exemplo os 4 fluxos de caixa ilustrados a seguir são equivalentes para uma taxa de juros de 5 ao mês pois geram para uma mesma taxa de juros valores iguais em qualquer data focal escolhida Definindose t0 momento presente como data focal Registrese uma vez mais que a equivalência financeira no regime de juros compostos para dada taxa de juros pode ser verificada em qualquer momento tomado como referência data focal Por exemplo se a data focal for 1 definida em t18 temse 41400 26700 1059 22000 10513 19000 10516 e assim por diante A equivalência de dois ou mais capitais para determinada taxa de juros ocorre em qualquer data tomada como referência Alterandose a taxa a equivalência evidentemente deixa de existir dado que o conceito depende da taxa de juros Algumas ilustrações práticas evidenciando o uso do conceito de equivalência financeira são desenvolvidas a seguir Exemplos Admita que uma empresa esteja avaliando quatro planos de pagamentos de um financiamento de 30000000 conforme apresentados a seguir A taxa de juros considerada nas propostas é de 7 am Qual a opção de pagamento economicamente mais atraente Mês Plano I Plano II Plano III Plano IV 1 4271325 2 4271325 10502660 3 4271325 14803310 10502660 4 4271325 5 4271325 8249985 6 4271325 14803310 8249985 7 4271325 10502660 8249985 8 4271325 8249985 9 4271325 14803310 10502660 8249985 10 4271325 8249985 Total 42713250 44409930 42010640 49499910 Solução Os planos de pagamento formulados apresentam o mesmo valor presente data zero quando descontados à taxa de juros de 7 am O resultado atualizado continua igual mesmo se definida outra data focal Logo concluise que os fluxos de pagamento do financiamento são equivalentes apresentando o mesmo custo Assim em termos estritamente econômicos de atratividade tornase indiferente equivalente a escolha de uma ou outra forma de pagamento Mesmo que a soma das prestações seja diferente em cada proposta o fundamental na avaliação econômica é a comparação entre valores expressos em uma mesma unidade de tempo A decisão dessa forma deve ser tomada levando em conta o aspecto financeiro do desembolso pois os fluxos de caixa são diferentes em cada plano em termos de valores e data de ocorrência A forma de pagamento escolhida deve evidentemente adequarse à capacidade financeira do tomador 2 3 a b de recursos e ao comportamento das taxas de juros de mercado Determinado produto é vendido por 100000 a vista ou em 2 pagamentos mensais iguais e sucessivos de 52000 cada vencendo o primeiro de hoje a 30 dias Determinar o custo mensal da compra a prazo Solução O preço a vista na data atual é de 100000 O custo da venda a prazo é a taxa de juros que torna equivalentes essas duas alternativas de pagamento Assim descontandose os pagamentos mensais a determinada taxa de juros i de forma que o PV seja igual ao preço a vista temse o custo mensal ou seja PV 100000 PMT 52000 n 2 i 100000 52000 FPV i 2 100000 Resolvendose i 266 am Uma empresa contraiu um empréstimo de 9000000 para ser pago em 6 prestações mensais uniformes de 1628490 cada No entanto quando do pagamento da 2a prestação a empresa passando por dificuldades financeiras solicita ao banco que refinancie o saldo de sua dívida em 12 prestações mensais iguais e sucessivas vencendo a primeira a partir de 30 dias dessa data A taxa de juro cobrada pelo banco no refinanciamento é de 35 am Determinar o valor de cada prestação do refinanciamento solicitado Solução A taxa de juro cobrada no empréstimo original é de 24 am inferior aos 35 cobrados no refinanciamento Ou seja 9000000 1628490 FPV i 6 Resolvendose i 24 am Após o pagamento da 2a PMT restam ainda 4 pagamentos a serem efetuados que equivalem a 6141124 de valor presente à taxa de 24 am 73 731 PV 1628490 FPV 24 4 PV 1628490 3771054 6141124 O fluxo de 12 PMT proposto a uma taxa de juro mensal de 35 deve ser equivalente ao valor presente da dívida original isto é 6141124 PMT 35 12 6141124 PMT PMT 635508 Fluxos de caixa não convencionais Os fluxos definidos no denominado modelopadrão foram amplamente estudados no início do capítulo Esta parte dedicase mais especificamente aos demais tipos de caixa não considerados no modelopadrão A seguir são desenvolvidas as várias classificações não convencionais dos fluxos de caixa Período de ocorrência Com relação ao período em que começa a ocorrer o fluxo de caixa pode ser identificado como postecipado antecipado e diferido POSTECIPADO No tipo postecipado a série de pagamentosrecebimentos começa a ocorrer exatamente ao final do primeiro período de acordo com a ilustração gráfica acima Esse fluxo enquadrase no modelopadrão detalhado inicialmente não havendo nada mais a acrescentar ANTECIPADO O fluxo de caixa antecipado indica que a série de valores começa a ocorrer antes do final do primeiro período conforme é representado graficamente acima Por exemplo um aluguel pago no início do período de competência geralmente no início do mês enquadrase como um fluxo de caixa antecipado por um período mês Se dois aluguéis forem adiantados ao locador a antecipação é de dois períodos e assim por diante A determinação do valor presente e montante de um fluxo de caixa antecipado não apresenta maiores novidades Além de terse sempre a opção de atualizar ou corrigir os seus termos individualmente podese também utilizar a fórmula do modelopadrão para a parte convencional do fluxo e adicionar os termos antecipados corrigidos a esse resultado Por exemplo admita o seguinte fluxo de caixa com antecipação de dois períodos Para uma taxa de juros de 4 por período temse PV 7000 FPV 4 8 7000 7000 104 PV 7000 6732745 7000 7280 PV 47129 7000 7280 61409 FV 7000 FFV 4 8 7000 1048 7000 1049 FV 7000 9214226 9580 9963 FV 64500 9580 9963 84043 DIFERIDO CARÊNCIA 732 O diferimento indica que os termos da série começam a ocorrer após o final do primeiro período conforme ilustrado no gráfico anterior Nessa ilustração a série iniciase no período imediatamente após o final do primeiro intervalo de tempo indicando consequentemente uma carência de um período Se a série começar a ocorrer no momento 3 do gráfico a carência atinge dois períodos no momento 4 temse uma carência de 3 períodos e assim por diante Em suma a base de comparação para se definir uma carência é o final do primeiro período Para a Matemática Financeira a carência existe quando o primeiro fluxo de caixa se verificar após o final do primeiro período ou seja após ter decorrido c períodos de tempo A determinação do montante de um fluxo de caixa com carência segue a formulação desenvolvida do modelo padrão Deve ser ressaltado uma vez mais que nesse caso n representa o número de termos da série e não o seu prazo total A formulação do valor presente no entanto requer um pequeno ajuste de forma a ser expresso na data zero ou seja PV PMT FPV i n FAC i c onde c número de períodos de carência FAC Fator de Atualização de Capital valor presente conforme estudado no Capítulo 2 item 21 FAC 11 in Por exemplo admita o seguinte fluxo de caixa diferido por 2 períodos Observe que o fluxo de caixa apresenta um prazo total de 9 períodos sendo o número de termos igual a 7 n 7 e a carência de 2 períodos c 2 Para uma taxa de juros de 22 por período têmse os seguintes resultados PV 10000 FPV 22 7 FAC 22 2 PV 10000 6422524 0957410 61490 FV 10000 FFV 22 7 FV 10000 7479318 74793 Periodicidade A periodicidade reflete os intervalos de tempo em que os fluxos de caixa ocorrem Se esses intervalos forem sempre iguais dizse que os fluxos são periódicos enquadrandose no modelopadrão apresentado Se por outro lado os termos se verificarem em intervalos irregulares diferentes entre si temse o que se denomina de fluxos de caixa não periódicos O gráfico a seguir ilustra um fluxo de caixa não periódico onde os valores não se verificam uniformemente em termos de sua periodicidade 733 Tanto o cálculo do valor presente como o do valor futuro devem ser processados respectivamente pelo somatório da atualização e capitalização de cada um dos termos Genericamente têmse as seguintes expressões Ilustrativamente admita o seguinte fluxo de caixa não periódico Para uma taxa de juros de 19 am temse FV 10000 10000 10197 10000 101911 10000 101912 10000 101915 FV 10000 11408 12300 12534 13262 FV 59504 ou FV 44868 101915 59504 Duração A duração de um fluxo de caixa pode ser finita característica do modelopadrão ou indeterminada indefinida quando o prazo não é conhecido previamente No caso de uma série infinita determinase unicamente o seu valor presente Para algumas situações específicas podem ser atribuídas probabilidades para se definir a duração de um fluxo como é o caso da atividade de seguros No entanto este tipo de situação não será tratado aqui ficando mais restrito ao estudo da Matemática Atuarial A representação gráfica de uma série indefinida pode ser ilustrada da forma seguinte O cálculo do valor presente é efetuado pelo somatório do valor atualizado de cada um de seus termos isto é Genericamente Detalhando a formulação 734 Os valores entre colchetes representam a soma dos termos de uma progressão geométrica indefinida cuja razão é menor que 1 Aplicandose o teorema de limite na fórmula da soma dos termos temse Processandose as deduções e simplificações pertinentes a partir dessa expressão chegase ao valor presente de um fluxo de caixa igual constante periódico e indeterminado ou seja Em outras palavras o valor presente desse fluxo é determinado pela relação entre o pagamentorecebimento periódico igual e sucessivo e a taxa de juros considerada As séries indeterminadas encontram aplicações práticas principalmente em avaliações de imóveis efetuadas com base nos rendimentos de aluguéis na apuração do preço de mercado de uma ação a partir do fluxo previsto de dividendos etc Com o intuito de proceder a uma aplicação prática do cálculo do valor presente de um fluxo indeterminado admita que um imóvel esteja rendendo 200000 de aluguel mensalmente Sendo de 2 am o custo de oportunidade de mercado ganho da melhor alternativa de aplicação disponível podese avaliar preliminarmente que o valor deste imóvel atinge 10000000 isto é O valor de referência do imóvel válido para uma avaliação inicial é o valor presente do fluxo de rendimentos mensais aluguéis previsto por um prazo indeterminado descontado a um custo de oportunidade Valores No que se refere aos valores os termos de caixa podem ser constantes se os fluxos de caixa apresentaremse sempre iguais ou variáveis se os fluxos não forem sempre iguais entre si Se os valores de caixa forem constantes o fluxo identificase com o modelopadrão estudado No entanto se os valores de caixa apresentaremse desiguais variáveis o valor presente é calculado pela soma dos valores atualizados de cada um de seus termos O valor futuro por seu lado é determinado pelo somatório dos montantes de cada um dos termos ou ainda capitalizandose o valor presente para a data futura Identicamente aos fluxos de caixa não periódicos têmse as seguintes generalizações ou FV PV 1 in Por exemplo admita um fluxo de caixa com os seguintes valores ocorrendo respectivamente ao final de cada um dos próximos 5 anos 8000 12600 19400 34000 e 57000 Para uma taxa de juros de 4 aa têmse 1 a b c a b os seguintes resultados FV 57000 34000104 194001042 126001043 80001044 FV 57000 35360 20983 14173 9359 FV 136880 ou FV 112500 1045 136880 Exercícios resolvidos2 Uma mercadoria é vendida a prazo em 5 pagamentos mensais de 70000 Sendo de 35 am a taxa de juros determinar o seu preço a vista admitindo que o primeiro pagamento é efetuado no ato da compra o primeiro pagamento é efetuado ao final do primeiro mês o primeiro pagamento é efetuado ao final do segundo mês Solução PV 70000 70000 FPV 35 4 PV 70000 70000 3673079 PV 327116 PV 70000 FPV 35 5 PV 70000 4515052 PV 316054 2 3 c a b a PV 70000 FPV 35 5 FAC 35 1 PV 70000 4515052 0966184 PV 305366 Uma pessoa irá necessitar de 700000 daqui a 10 meses Quanto deverá ela depositar mensalmente num fundo de poupança que rende 17 am de juros Solução FV PMT FFV i n 700000 PMT FFV 17 10 700000 PMT 10800733 PMT 64810 Uma pessoa possui hoje 5000000 em dinheiro e uma capacidade de poupança de 300000 mensais no próximo semestre e 400000 mensais nos 4 meses seguintes ao semestre Se esse fluxo de poupança for depositado mensalmente num fundo que rende 25 am determinar quanto essa pessoa terá acumulado ao final de 10 meses 15 meses Solução Valor Acumulado no 10o Mês Todo o fluxo de depósitos deve ser corrigido para o 10o mês Com o intuito de melhor explicar o processo a correção será efetuada em três partes depósito inicial 6 depósitos mensais de 300000 e 4 depósitos mensais de 400000 b 4 a b FV10 5000000 FCC 25 10 FV10 5000000 102510 6400423 FV10 300000 FFV 25 6 FCC 25 4 FV10 300000 6387737 1103813 FV10 2115260 Observe que o FFV corrige o fluxo para a data do último depósito 6o mês Para obter o valor acumulado no 10o mês o montante encontrado deve ser corrigido por mais 4 meses FV10 400000 FFV 25 4 FV10 400000 FV10 400000 4152516 1661006 Valor Total Acumulado no 10o Mês 6400423 2115260 1661006 10176689 Valor Acumulado no 15o Mês FV15 10176689 FCC 25 5 FV15 10176689 10255 11513990 Um veículo cujo preço a vista é de 3000000 está sendo vendido nas seguintes condições entrada 30 saldo em 6 prestações mensais iguais e sucessivas vencendo a primeira daqui a dois meses Determinar o valor de cada prestação admitindo uma taxa de juros de 2 am Solução Valor a Financiar 3000000 900000 2100000 PV PMT FPV 2 6 FAC 2 1 5 c 6 a b a b 2100000 PMT 1021 2100000 PMT 5601431 0980392 2100000 PMT 5491598 PMT 382402 Determinado produto está sendo vendido por 180000 a vista ou em 3 pagamentos mensais e iguais de 65000 Estando atualmente em 33 am as taxas de juros de mercado pedese avaliar a melhor alternativa de compra Solução A indicação da alternativa de compra mais interessante pode ser obtida pelo valor presente das duas propostas escolhese evidentemente aquela de menor PV ou pela determinação do custo mensal da venda a prazo o percentual apurado é comparado com a taxa de mercado PV a vista 180000 PV a prazo 65000 FPV 33 3 65000 2812375 182804 A venda a prazo por apresentar um PV maior que o valor a vista indica um custo maior que a taxa de mercado 33 am Interessa a compra a vista O custo mensal da compra a prazo é calculado PV PMT FPV i n 180000 65000 i 411 am Confirmase um custo embutido na venda a prazo de 411 am maior que os juros de mercado 33 am Calcular o valor presente de cada um dos fluxos abaixo 48 prestações mensais iguais e sucessivas de 400000 Taxa de juros 12 am 14 prestações trimestrais iguais e sucessivas de 700000 Taxa de juros 5 am 5 prestações mensais e sucessivas crescentes em PA à razão de 200000 O valor da primeira prestação é de 1000000 Taxa de juros 26 am Solução PV 400000 FPV 12 48 PV 400000 36327241 14530900 i 5 am i 1053 1 1576 at 7 8 c PV 700000 FPV 1576 14 PV 700000 5527420 3869194 PV 974659 1139952 1296242 1443878 1583200 PV 6437930 Determinada mercadoria é vendida por 250000 a vista ou por 20 de entrada mais prestações mensais de 30900 Sendo de 2 am a taxa corrente de juros determinar o número de prestações Solução Valor a Financiar 250000 20 200000 PV PMT FPV i n 200000 30900 FPV 20 n 0129450 1 102n 102n 0870550 Aplicandose a propriedade de logaritmo ver Apêndice B n log 102 log 0870550 n n 7 meses prestações mensais Um eletrodoméstico é vendido a vista por 800000 ou em 4 pagamentos mensais de 208579 ocorrendo o primeiro pagamento 3 meses após a compra Qual deve ser o valor da entrada admitindo uma taxa de juros de 4 am Solução PV PMT FPV i n FAC i n PV 208579 1042 9 PV 208579 3629895 0924556 PV 700000 Pelo conceito de equivalência financeira o valor presente das prestações deve ser igual ao preço a vista Logo Entrada 800000 700000 100000 Um financiamento no valor de 3500000 é concedido para pagamento em 12 prestações mensais iguais com 3 meses de carência Para uma taxa de juros de 35 am determinar o valor das prestações Solução 10 11 PV PMT FPV i n FAC i c 3500000 PMT 10353 3500000 PMT 9663334 0901943 3500000 8715776 PMT PMT 401570 Um fluxo de caixa está definido em 12 prestações mensais de 120000 Calcular o fluxo de caixa equivalente para 5 prestações trimestrais iguais Considere uma taxa de juros de 15 am Solução Dois fluxos de caixa se dizem equivalentes quando produzem o mesmo valor num mesmo momento Admitindo a data de hoje como a data focal temse PV PMT FPV i n PV 120000 15 12 PV 120000 10907505 PV 1308900 i 15 am i 10153 1 457 at PV PMT FPV 457 5 PV PMT 4381427 Igualandose o PV dos dois fluxos temse o valor de cada uma das cinco prestações trimestrais 1308900 PMT 4381427 PMT 298740 Um empréstimo no valor de 1500000 é concedido à taxa de juro de 223 am Os fluxos de caixa da operação são apresentados abaixo 12 Para os dados do empréstimo pedese calcular o valor da parcela referente ao 2o mês Solução Pelo conceito de equivalência de capital estudado os fluxos de saídas de caixa devem igualarse a certa taxa de juro às entradas de caixa em um momento do tempo Logo 1500000 195637 09568X 430549 347913 259720 09568 X 266181 X 278200 Um empréstimo no valor de 1250000 deve ser pago em 4 parcelas trimestrais de valores linearmente crescentes na razão de 12 A primeira parcela vence de hoje a 3 meses e as demais sequencialmente A taxa de juro contratada para a operação é de 27 ao ano taxa efetiva Determinar o valor de cada pagamento do empréstimo Solução i 27 aa equivalendo a i 12714 1 616 at 1250000 09420 PMT 09938 PMT 10364 PMT 10708 PMT 1250000 40430 PMT PMT 309180 Valor de cada Prestação PMT1 309180 PMT2 309180 112 346280 PMT3 309180 124 383380 PMT4 309180 136 420480 Exercícios propostos 1 d e 2 3 b 5 6 7 8 9 10 12 a b c a b c 4 a 11 a b Determinar o valor presente PV de cada fluxo de caixa identificado a seguir Admita uma taxa de juros de 29 ao mês 36 prestações mensais iguais e sucessivas de 165000 24 prestações mensais iguais e sucessivas de 85000 cada vencendo a primeira ao final do 3o mês 10 prestações trimestrais iguais e sucessivas de 280000 cada 05 prestações bimestrais e sucessivas de respectivamente 420000 530000 770000 1090000 e 1500000 06 prestações iguais de 120000 cada com vencimentos respectivamente no 3o mês 7o mês 11o mês 25o mês 28o mês e 33o mês São efetuados a partir do final do primeiro mês 12 depósitos mensais de 90000 num fundo de investimento que paga juros de 185 am Calcular o montante acumulado ao final dos seguintes meses 12o mês 15o mês 24o mês Um terreno é vendido por 2000000 a vista ou por 40 de entrada e o restante em 12 prestações mensais Para uma taxa de juros de 25 am determinar o valor de cada prestação mensal Sabese que uma pessoa tem a receber os seguintes pagamentos 10 prestações mensais de 70000 cada vencendo a primeira de hoje a um mês 06 prestações trimestrais de 280000 cada vencendo a primeira 3 meses após o término da sequência de pagamentos acima Para uma taxa de juros de 41 am determinar o valor presente na data zero e o valor futuro ao final do 19o mês deste fluxo de pagamentos Uma pessoa deve a outra 15 pagamentos mensais de 240000 Até o final do 6o mês não havia efetuado nenhum pagamento Nesta data o devedor procura o credor e decide liquidar toda a sua dívida vencida e vincenda Para uma taxa de juros de 37 am determinar quanto deve ser pago Um empréstimo no valor de 2430000 prevê a sua liquidação em 4 parcelas iguais e vencíveis respectivamente de hoje a 17 dias 39 dias 66 dias e 90 dias Para uma taxa efetiva de juro de 31 am pede se calcular o valor de cada parcela de pagamento Uma televisão está sendo negociada em 6 pagamentos mensais de 7200 cada um Qual deve ser a entrada de forma que o financiamento seja equivalente ao preço a vista de 65000 A taxa de juro mensal é de 39 Uma dívida de 1760000 deve ser paga em 5 parcelas mensais e decrescentes na razão aritmética de 10 Os vencimentos começam a ocorrer de hoje a 60 dias Pedese calcular o valor de cada prestação mensal admitindo uma taxa efetiva de juros de 235 ao ano Uma pessoa deseja acumular 1400000 ao final de um semestre Para tanto deposita mensalmente num fundo a importância de 150000 sendo corrigida à taxa de 45 am Qual deve ser o valor do depósito inicial momento zero de forma que possa obter o montante desejado ao final do período Um veículo é vendido por 1800000 a vista ou a prazo com 400000 de entrada e 4 prestações mensais de 384505 cada Determinar o custo efetivo mensal do financiamento Uma loja apresenta duas propostas de venda de um produto eletrônico entrada de 40000 mais 8 prestações mensais de 72000 cada entrada de 65000 mais 15 prestações mensais de 60000 cada Sendo de 35 am a taxa corrente de juros indicar a alternativa mais atraente para o comprador Calcular o valor presente de um fluxo de 15 pagamentos mensais de 210000 cada sendo que o primeiro desembolso ocorre de hoje a 15 dias Admita uma taxa de juros de 22 am 13 a Um sítio é vendido nas seguintes condições entrada 3000000 14 17 18 d 19 b c a b c 15 a b c 16 a b c 20 prestações mensais de 110000 cada vencendo a primeira daqui a 30 dias 06 prestações semestrais de 750000 cada vencíveis a partir do final do 3o mês Sendo de 25 am a taxa de juros determinar até que preço é interessante adquirir este sítio a vista Determinado produto é vendido numa loja por 112000 a vista ou em 5 prestações mensais de 24500 cada Calcular o custo efetivo mensal admitindo que a primeira prestação vence ao final do 1o mês a primeira prestação é paga como entrada no momento inicial a primeira prestação vence ao final do segundo mês Um imóvel é vendido nas seguintes condições de pagamento 1000000 de entrada mais 04 pagamentos trimestrais de 500000 cada vencendo o primeiro daqui a 120 dias mais 60 prestações mensais de 80000 cada ocorrendo o primeiro pagamento daqui a dois meses Sendo de 18 am a taxa corrente de juros de mercado até que preço vale a pena pagar o imóvel a vista Uma empresa apresenta o seguinte fluxo de desembolso de um financiamento de 2980000 Valor a Pagar Momento do Pagamento 560000 17 dias 790000 44 dias 870000 73 dias X 109 dias 410000 152 dias Para uma taxa de juros efetiva de 342 aa determinar o montante do pagamento previsto para daqui a 109 dias Uma pessoa deve atualmente 18 prestações mensais de 220000 cada uma Com o intuito de adequar esses desembolsos mensais com suas disponibilidades de caixa está propondo ao credor a transformação deste fluxo numa série de 8 pagamentos trimestrais iguais e sucessivos Para uma taxa de juros de 24 am determinar o valor de cada prestação trimestral que está sendo proposta Um financiamento no valor de 7000000 está sendo concedido a uma taxa de juros de 4 am O prazo da operação é de 12 meses e as alternativas de pagamento da dívida apresentadas são as seguintes 12 pagamentos mensais iguais e sucessivos 04 pagamentos trimestrais iguais e sucessivos 07 pagamentos mensais iguais com carência de 5 meses 04 pagamentos mensais vencendo o primeiro ao final do 2o mês o segundo ao final do 5o mês o terceiro ao final do 9o mês e o quarto ao final do 12o mês Calcular o valor das prestações para cada proposta de pagamento Um depósito de 800000 é efetuado num fundo de poupança que rende juros de 21 am Após 5 meses o depositante decide retirar sua poupança em 12 parcelas mensais iguais e sucessivas vencendo a primeira 30 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 a b a b a b a b 31 dias após Admitindo a manutenção da mesma taxa de juros para todo o período determinar o valor das parcelas que serão sacadas Um financiamento no valor de 680000 é concedido para pagamento em 10 prestações mensais e iguais com 2 meses de carência Sendo de 36 am a taxa de juros calcular o valor de cada pagamento mensal Determinar quanto deve ser aplicado mensalmente num fundo de poupança durante 8 meses de forma que se possa efetuar a partir do 11o mês 4 retiradas trimestrais de 190000 cada Considere uma taxa de juros de 15 am Uma pessoa efetua um depósito inicial de 2800000 numa conta remunerada processando sequencialmente mais 9 depósitos mensais iguais de 300000 cada Determinar quanto essa pessoa terá acumulado quando da realização do último depósito admitindose uma taxa de juros de 17 am Uma empresa consegue um empréstimo de 3000000 para ser liquidado da seguinte maneira 20 do montante ao final de 2 meses e o restante em 6 prestações mensais iguais vencíveis a partir do 4o mês Para uma taxa de juros de 34 am determinar o valor dos pagamentos Um financiamento no valor de 870000 está sendo negociado a uma taxa de juros de 27 am Determinar o valor de cada prestação admitindo as seguintes condições de pagamento 10 prestações mensais iguais com 2 meses de carência 03 prestações iguais vencíveis respectivamente ao final do primeiro quarto e décimo mês Uma empresa tem atualmente as seguintes dívidas junto a um banco 1200000 1600000 2100000 3000000 e 5000000 vencíveis sucessivamente ao final dos próximos 5 bimestres Esta dívida foi contraída pagando uma taxa de juro nominal de 28 aa A empresa está negociando o refinanciamento desta dívida em 10 prestações bimestrais iguais e sucessivas vencendo a primeira em dois meses O banco está exigindo uma taxa de juro nominal de 40 aa para aceitar o negócio Determinar o valor de cada pagamento bimestral A capacidade de pagamento mensal de um consumidor é de 35000 Desejando adquirir a prazo um aparelho eletrônico no valor de 270000 pedese determinar o número de prestações que o financiamento deve apresentar nas seguintes hipóteses a primeira prestação é paga de hoje a 30 dias a primeira prestação é paga no ato como entrada Admita uma taxa de juros de 23 am Uma pessoa deve 36 prestações de 120000 cada uma Tendo atualmente 900000 em disponibilidade deseja liquidar tantas prestações quantas forem possíveis Para uma taxa de juro definida em 35 am calcular quantas prestações podem ser pagas admitindo que sejam liquidadas as n primeiras as n últimas Admita um financiamento de 500000 a ser pago em 8 prestações iguais e mensais A taxa de juro cobrada na operação é de 26 am Determinar o valor das prestações sabendo que a primeira prestação vence em 20 dias e as demais de 30 em 30 dias a primeira prestação vence em 45 dias e as demais de 30 em 30 dias Um financiamento de 350000 é concedido a juros de 235 am Podendo dispor de 27000 ao final de cada mês determinar quantos pagamentos são necessários para liquidar o empréstimo Um empréstimo de 3800000 deve ser liquidado em 3 pagamentos trimestrais crescentes em progressão geométrica a uma razão igual a 2 Sendo de 85 at a taxa corrente de juros calcular o valor de cada prestação Um imóvel é vendido por 18000000 a vista A construtora facilita o negócio da forma seguinte entrada 10 32 33 prestações intermediárias de 1800000 vencíveis de hoje a 3 meses 2400000 de hoje a 7 meses e 3600000 de hoje a 12 meses 12 prestações mensais iguais e sucessivas vencíveis de hoje a um mês para uma taxa de juros de 32 am determinar o valor de cada prestação mensal Uma empresa captou um financiamento de 5400000 para ser liquidado em 18 prestações mensais iguais e sucessivas Quando do pagamento da 7a prestação passando por dificuldades financeiras solicitou ao banco que refinanciasse o seu saldo devedor para 20 prestações mensais iguais e sucessivas O empréstimo foi levantado com juros de 29 am e o refinanciamento foi processado cobrando juros de 40 am Determinar o valor de cada prestação do refinanciamento Uma loja de móveis diz financiar a seus clientes de acordo com as seguintes condições Entrada 20 Saldo em 4 prestações mensais e iguais Cálculo do valor de cada prestação 34 37 35 36 A loja anuncia estar cobrando 5 de juros ao mês Você concorda Um bem é financiado em 15 prestações mensais crescentes em PA à razão de 140000 por mês Sabese que o valor da 9a prestação é de 2250000 Para uma taxa de juros de 35 ao mês determinar o valor presente deste fluxo de caixa valor a vista Calcular o valor presente dos fluxos de caixa ilustrados a seguir admitindose uma taxa de juros de 3 ao mês Calcular o valor futuro dos fluxos de caixa ilustrados a seguir admitindose uma taxa de juros de 5 ao mês Um Fundo de Poupança iniciase em determinado mês com um saldo de 775000 Ao final de cada um dos meses seguintes são depositados 900000 no Fundo A cada trimestre ainda são sacados 1300000 Para 38 a b c a b 42 39 40 a b 41 1a b c d e 2a b uma taxa de juros de 25 ao mês determinar o montante acumulado pelo Fundo de Poupança ao final de 3 e de 8 anos Uma pessoa irá necessitar de um montante de 3100000 daqui a 4 anos Ela deposita hoje 250000 e planeja fazer depósitos mensais no valor de 29000 por período numa conta de poupança Que taxa de juros deve esta conta pagar mensalmente para que o poupador receba o montante desejado ao final dos 4 anos Uma pessoa levanta um financiamento de 7000000 pagando uma taxa de juros de 174 am Pedese se o financiamento for liquidado em duas parcelas iguais respectivamente ao final do 3o mês e do 5o mês determinar o valor de cada parcela se o banco concedente do crédito exigir um pagamento de 2500000 ao final do 2o mês e duas parcelas iguais ao final do 4o mês e do 6o mês calcular o valor de cada parcela Uma empresa contrata um financiamento de 250000000 nas seguintes condições prazo da operação 2 anos taxa de juros efetiva 115 aa pagamentos em parcelas iguais Determinar o valor de cada parcela considerando os pagamentos são efetuados mensalmente os pagamentos são efetuados trimestralmente se o financiamento prever uma carência de 4 meses e forem mantidos 24 pagamentos mensais iguais e sucessivos calcular o valor de cada parcela mensal Um financiamento no valor de 200000000 é concedido por um banco nas seguintes condições taxa efetiva de juros 12 aa pagamento em parcelas iguais prazo da operação 3 anos Pedese calcular o valor de cada parcela do empréstimo se os pagamentos forem feitos mensalmente ao final de cada um dos próximos 36 meses calcular o valor de cada parcela se os pagamentos forem realizados no início de cada um dos próximos 12 trimestres Uma pessoa planeja depositar mensalmente nos próximos 10 anos uma determinada quantia em um fundo de investimentos que promete pagar uma remuneração de 07 am O valor acumulado nos 10 anos de poupança deve ser suficiente para que a pessoa efetue uma retirada mensal de 200000 por mais 12 anos As retiradas devem iniciar um mês após o último depósito Admitindo parcelas iguais pedese calcular o valor do depósito mensal a ser efetuado no fundo de investimento por 12 anos Respostas 3656678 1374287 1800530 3512227 455330 1196957 1264625 c 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1491460 116985 PV 1317837 FV19 2827650 3389084 640914 27133 PMT2 469783 PMT3 422805 PMT4 375826 PMT5 328848 PMT6 281870 301373 387 am A alternativa a por apresentar menor PV é a mais atraente PVa 534925 PVb 756045 12 13 14a b c 15 16 17 18a b c d 19 20 21 22 23 24a b 25 26a b 27a b 28a b 29 30 31 32 33 34 35a b c d e 2687490 7693270 i 306 am i 469 am i 228 am 5590600 528963 541168 PMT 745865 PMT 2328293 PMT 1418942 PMT 2277410 84448 88200 80702 6149790 496290 105932 329703 1535738 85895 prestações 73767 prestações 88511 prestações 187448 prestações 69435 70936 156410 pagamentos PMT1 660617 PMT2 1321234 PMT3 2642468 1033969 266529 Não O custo efetivo do crédito é de 771 am 23270880 176867 259012 198317 44265 1000000 36a b c d 37 38 39a b 40a b c 41a b 42 1414335 234496 258943 405116 FV3 29236422 FV8 193547870 216 am Parcela x 3749474 Parcela x 2498520 PMT 11644412mês PMT 35252531trim PMT 12074619mês 6584415 19384189 96788 81 1 MATHIAS N Franco GOMES J Maria Matemática financeira 2 ed São Paulo Atlas 1998 p 242 2 Para a solução dos vários exercícios e cálculos financeiros através de calculadoras financeiras recomendase ASSAF NETO Alexandre LIMA F Guasti Investimentos no mercado financeiro usando a calculadora HP12C 2 ed São Paulo Inside Books Editora 2008 8 Coeficientes de Financiamento O coeficiente de financiamento pode ser entendido como um fator financeiro constante que ao multiplicarse pelo valor presente de um financiamento apura o valor das prestações Esses coeficientes são amplamente utilizados na prática sendo importante o seu manuseio As operações de financiamento pelo Crédito Direto ao Consumidor CDC e as operações de arrendamento mercantil constituemse em aplicações práticas importantes desses fatores O capítulo desenvolve os coeficientes de financiamento para séries uniformes inseridas no modelopadrão apresentado anteriormente para séries não periódicas as quais apresentam intervalos de tempo entre uma e outra prestação desiguais e para fluxos de caixa com carência A partir das formulações estudadas nessas situações é possível desenvolver fatores para outras formas de amortização Coeficientes de financiamento para fluxos de caixa uniformes Nesse caso o coeficiente é desenvolvido a partir do modelopadrão dos fluxos de caixa adotado pela Matemática Financeira e estudado no capítulo anterior Por exemplo admita que uma instituição financeira divulgue que seu coeficiente para financiamento a ser liquidado em 6 prestações mensais iguais e sucessivas atinge atualmente 0189346 utilizase geralmente seis casas decimais Em consequência um financiamento de 1600000 envolve o pagamento de 6 prestações mensais e iguais de 302954 ou seja PMT PV Coeficiente de Financiamento PMT 1600000 0189346 302954 Esse fator financeiro indica em outras palavras o valor da prestação para cada unidade monetária tomada emprestada Assim cada 100 de empréstimo gera 6 prestações de 0189346 200 determinam 0378692 de prestação e assim por diante Logo um financiamento de 1600000 conforme ilustrado determina prestações de 302954 mensais iguais e sucessivas A expressão de cálculo do coeficiente de financiamento é desenvolvida a partir da fórmula do valor presente padrão dos fluxos de caixa conforme estudada no Capítulo 7 ou seja IOF INCIDENTE SOBRE OPERAÇÕES DE CRÉDITO PRÁTICA VIGENTE O Imposto sobre Operações de Crédito Câmbio e Seguros IOF incide sobre diversas modalidades de operações de crédito a pessoas físicas e pessoas jurídicas como concessão de empréstimos operações de desconto financiamentos etc A alíquota do IOF é diária e incide sobre o valor disponibilizado ao solicitante do crédito As alíquotas atuais do IOF são reguladas através dos Decretos ns 633908 e 634508 que se encontram em vigor Para as pessoas físicas a alíquota do IOF é 00081 ao dia limitada a 365 dias ou seja a 3 ao ano do valor contratado Mesmo que a operação de crédito supere os 365 dias a alíquota máxima será de 3 ao ano Além deste percentual diário há uma incidência adicional de IOF de 038 sobre o valor contratado independente do prazo da operação Para as pessoas jurídicas a alíquota do IOF é menor sendo fixada em 00041 ao dia e limitada a 365 dias isto é 15 ao ano do valor contratado Sobre as operações de crédito em que o tomador é uma pessoa jurídica incide também a alíquota adicional de 038 igual ao previsto para as pessoas físicas Importante ressaltar uma vez mais que os impostos considerados nos vários exercícios desenvolvidos visam preferencialmente listar os cálculos do custo efetivo das operações Não se tem por objetivo manter atualizados os procedimentos fiscais e alíquotas vigentes os quais costumam sofrer modificações normativas PV PMT FPV i n Operandose com PMT Observe que multiplicandose o valor presente do financiamento pelo inverso do FPV chegase ao valor de cada prestação Logo onde CF coeficiente de financiamento FPV fator de valor presente Expressandose a fórmula do FPV temse Resultados do coeficiente de financiamento CF para diferentes valores de i e n podem ser obtidos de tabelas de fator de valor presente FPV especialmente preparadas ou mediante a utilização de calculadoras financeiras ou planilhas eletrônicas Por exemplo o coeficiente de financiamento de uma dívida a ser paga em 10 prestações mensais iguais e sucessivas admitindose uma taxa de juros de 3 am atinge Logo cada unidade de capital emprestado envolve o pagamento de 10 prestações mensais de 0117231 Por exemplo se o valor do financiamento for de 480000 a operação envolve o desembolso mensal de 10 prestações de 56270 cada 480000 0117231 Por outro lado a partir do coeficiente de financiamento podese determinar a taxa de juros cobrada na operação Por exemplo suponha que o fator para 5 prestações mensais seja de 0217420 O custo desse financiamento embutido no fator é 1 2 b a b a Resolvendose com o auxílio de uma calculadora financeira chegase ao custo efetivo de i 285 am Conforme foi exposto o coeficiente de financiamento embute os juros definidos para a operação No entanto outras despesas podem ainda ser consideradas no fator financeiro tais como IOF taxa de abertura de crédito usualmente cobrada em operações de financiamento encargos do valor residual de um contrato de arrendamento mercantil etc Exemplos Construir o coeficiente financeiro de um contrato de financiamento envolvendo 15 prestações mensais iguais e sucessivas a uma taxa de juros de 35 am Solução Para o cálculo da prestação mensal basta multiplicar o valor do financiamento pelo fator encontrado CF 0086825 Uma empresa está avaliando o custo de determinado financiamento Para tanto identificou as seguintes condições em dois bancos Coeficiente 0119153 Pagamento 10 prestações mensais iguais e sucessivas Coeficiente 0307932 Pagamento 4 prestações trimestrais iguais e sucessivas Determinar a proposta que apresenta o menor custo mensal Solução A taxa mensal de juros cobrada pela primeira proposta atinge Resolvendose i 332 ao mês A segunda proposta apesar de apresentar um coeficiente maior indicando prestações mais elevadas envolve pagamentos em intervalos trimestrais Logo i 889 at que equivale a 82 i 1 288 am Pela taxa equivalente mensal de 288 concluise ser esta proposta de menor custo que a primeira Coeficientes de financiamento para séries não periódicas Conforme foi demonstrado o coeficiente de financiamento para séries uniformes modelopadrão é obtido a partir da identidade de cálculo do valor presente ou seja PV PMT FPV i n O desenvolvimento do fator financeiro nessas condições implica a determinação de prestações periódicas intervalos de tempo entre as prestações sempre iguais iguais de mesmo valor sucessivas e finitas No entanto certas operações financeiras envolvem a apuração de prestações iguais e finitas porém com intervalos de ocorrência desiguais Por exemplo um financiamento pode prever resgate em 3 prestações iguais porém vencendo a primeira ao final do 1o mês a segunda ao final do 4o mês e a terceira ao final do 9o mês Graficamente essa situação é representada da forma seguinte Como não se constitui em série uniforme definida no modelopadrão os fluxos não são periódicos não é possível utilizarse a fórmula direta do valor presente para todos os fluxos de caixa As prestações devem ser atualizadas uma a uma constituindose o seu somatório no valor presente da série Isto é Colocandose PMT em evidência Os termos entre colchetes são os fatores de atualização ou de valor presente a juros compostos conforme definidos no Capítulo 2 item 21 para cada um dos termos do fluxo de prestações ou seja Dessa maneira PV PMT FAC i 1 FAC i 4 FAC i 9 Logo podese representar o coeficiente de financiamento para fluxos de caixa não periódicos como o inverso do somatório dos FAC i n de cada prestação Assim para o exemplo em consideração temse CF 1FAC i 1 FAC i 4 FAC i 9 ou Generalizandose a expressão 1 83 a b b No exemplo ilustrativo em consideração definindose em 4 a taxa mensal de juros e em 4000000 o valor do financiamento obtémse CF 10961538 0854804 0702587 CF 12518929 0396994 Logo o valor de cada prestação vencível ao final do 1o 4o e 9o meses atinge PMT PV CF PMT 4000000 0396994 1587976 Graficamente Observe que ao se determinar o custo efetivo desse financiamento pelo método da taxa interna de retorno chega se evidentemente à taxa mensal equivalente de 4 ou seja Calculandose com o auxílio de uma máquina financeira i 40 am corroborandose assim o raciocínio utilizado no cálculo do fator financeiro Exemplo Uma pessoa contrata no início de janeiro de determinado ano um empréstimo para ser pago em 5 prestações iguais vencíveis respectivamente ao final dos seguintes meses janeiro março junho julho e dezembro Sendo de 18 ao mês a taxa de juros cobrada nesta operação determinar coeficiente de financiamento para as 5 prestações não periódicas o valor de cada prestação admitindo que o valor do empréstimo atinja 12000000 Solução PMT PV CF PMT 12000000 0221308 PMT 2655696 Esse é o valor de cada prestação vencível nos meses assinalados acima Coeficientes de financiamento com carência Um fluxo de caixa com carência ou diferido é aquele em que os pagamentosrecebimentos começam a ocorrer após o final do primeiro período conforme foi demonstrado no capítulo anterior Graficamente podese representar o diferimento da forma seguinte Ilustrativamente se um empréstimo é contraído para pagamento em 5 prestações mensais e iguais com carência de 3 meses temse a seguinte representação Ao se desejar determinar o PV desse fluxo de caixa no momento zero pela atualização de cada um de seus termos temse Por outro lado a aplicação direta da fórmula do valor presente para n fluxos de caixa traz os valores somente para o momento 3 PV3 conforme ilustrado no gráfico A partir desse ponto o capital calculado deve ser atualizado para a data inicial zero pelo período de carência de acordo com o ilustrado no gráfico Utilizandose as expressões de cálculo apresentadas anteriormente É importante observar que a atualização do FPV pelo FAC de 3 meses representa o intervalo de tempo em que os fluxos de caixa se encontram diferidos É o prazo de carência Sabendose que o coeficiente de financiamento equivale ao inverso desses fatores temse onde c número de períodos de carência Logo O coeficiente de financiamento diferido é igual ao coeficiente desenvolvido para um fluxo de caixa uniforme e corrigido pela taxa de juros capitalizada pelo período de carência Por exemplo se um financiamento for pago em 18 prestações mensais e iguais com carência de um trimestre e admitindose uma taxa de juros de 23 ao mês o coeficiente de financiamento assume a seguinte expressão n 18 prestações mensais e iguais c 3 meses de carência i 23 ao mês CF 0068474 1070599 CF 0073308 Admitindose ainda que o valor do financiamento seja de 2500000 as prestações mensais somam PMT 2500000 0073308 PMT 183270 cada uma Graficamente representase Exemplos 1 Determinar o coeficiente de financiamento e o valor das prestações de uma operação de financiamento de 2500000 a ser liquidado em 18 prestações mensais e iguais com carência de um trimestre Admita uma taxa de juros de 273 am Solução 2 84 a b CF 1 ic CF 102733 CF 0071059 1084156 0077039 PMT PV CF PMT 2500000 0077039 PMT 192600 A liquidação do financiamento deve ser efetuada em 18 prestações mensais e sucessivas de 192600 vencendo a primeira ao final do 3o mês O preço a vista de uma TV é de 200000 O vendedor está oferecendo as seguintes condições para venda a prazo entrada 20 saldo em 4 prestações mensais iguais e sucessivas vencendo a primeira de hoje a 60 dias Determinar o valor de cada prestação admitindo uma taxa de juros de 31 am Solução Uma maneira direta de calcular o valor da prestação mensal é por meio do coeficiente de financiamento com carência ou seja Valor a Financiar PV 200000 20 160000 PMT PV CF PMT 160000 0278030 44485 Pelo conceito de equivalência financeira o valor presente desse fluxo de pagamento descontado à taxa de 31 ao mês deve ser igual ao valor do financiamento ou seja PV 44485 FPV 31 4 FAC 31 1 PV 44485 3708227 0969932 PV 160000 Coeficientes de financiamento com entrada A entrada para os fluxos de caixa é definida conforme estudado no capítulo anterior quando a primeira prestação é paga no ato da operação Graficamente esta alternativa é ilustrada da forma seguinte A formulação do valor presente dessa estrutura de fluxo de caixa é apresentada Colocandose PMT em evidência 85 851 O coeficiente de financiamento CF para uma série de valores com entrada fluxo de caixa antecipado é representado pela formulação Por exemplo suponha que uma loja esteja interessada em determinar o coeficiente de financiamento com entrada a ser aplicado às modalidades de vendas em 4 e 5 pagamentos A taxa de juros definida para a operação é de 42 am A elaboração dos fatores admitindo o primeiro pagamento como entrada é desenvolvida Para cada 1 de compra a prazo o cliente deve pagar 0265633 de prestação vencendo a primeira no ato isto é Identicamente para uma compra a prazo de 340000 em 5 pagamentos com entrada o cliente deve pagar prestações de 340000 0216786 73707 mensais vencendo a primeira no momento da compra Coeficiente de financiamento aplicado às operações de arrendamento mercantil O arrendamento mercantil leasing é uma modalidade de financiamento que como o próprio nome descreve promove o arrendamento aluguel de bens móveis e imóveis entre pessoas jurídicas Durante o período do aluguel a empresa Arrendatária tomadora do arrendamento paga uma prestação mais conhecida por contraprestação à instituição Arrendadora O contrato de arrendamento também prevê que a Arrendatária ao final do contrato pode devolver o bem à Arrendadora ou se for de seu interesse adquirilo por determinado preço previamente estipulado no contrato Este preço de compra é definido por valor residual garantido VRG Para o cálculo das contraprestações de um arrendamento o mercado trabalha geralmente com um fator de financiamento fixo denominado de coeficiente de arrendamento CA Ao se multiplicar este coeficiente pelo valor do bem arrendado determinamse as contraprestações periódicas de responsabilidade da Arrendatária O coeficiente de arrendamento é apurado de maneira semelhante aos outros fatores de financiamento estudados ao longo deste capítulo No entanto o processo de cálculo das contraprestações requer alguns ajustes em razão de seus valores não se apresentarem uniformemente constantes verificandose frequentemente algum pagamento diferenciado ao final do fluxo do arrendamento referente ao seu VRG Basicamente existem duas maneiras de tratar essa situação a se incluem os juros do VRG nas contraprestações em vez de no coeficiente ou b apurase o coeficiente de arrendamento levandose em conta os encargos do VRG Estas duas metodologias são tratadas a seguir Inclusão dos juros do VRG nas contraprestações Nesse caso as contraprestações do contrato de arrendamento são calculadas pela aplicação do coeficiente de arrendamento CA sobre o valor do bem arrendado diminuído do valor residual garantido Para melhor compreensão dessa metodologia admita ilustrativamente um contrato de arrendamento mercantil com as seguintes características Valor global do bem arrendado 30000000 Valor residual garantido VRG3000000 Taxa de juros cobrada27 ao mês Prazo24 meses Periodicidade dos pagamentosMensal Com base nessas informações e utilizando as mesmas formulações desenvolvidas em itens precedentes para a apuração do coeficiente de financiamento temse 852 Os valores das contraprestações do contrato de arrendamento são definidos da forma seguinte Mês Valor das contraprestações custo do bem a recuperar CA Encargos sobre o VRG Amortização do VRG Contraprestações totais 1 a 23 27000000 0057156 1543212 3000000 27 81000 1624212 24 1543212 81000 3000000 4624212 Ao se determinar a taxa interna de retorno do fluxo gerado do contrato de arrendamento em ilustração chegase evidentemente ao custo de 27 ao mês conforme definido pela Arrendadora ou seja 30000000 1624212 FPV i 23 4624212 FAC i 24 Resolvendose i 27 ao mês Observe que o esquema apresentado promove o cálculo das contraprestações sobre o custo do bem a recuperar e não sobre o seu valor global Em outras palavras o valor periódico das contraprestações é computado sobre o custo do bem a recuperar sendo adicionado em cada parcela encontrada os juros referentes ao VRG Desta forma fica demonstrado que a taxa de juros estipulada pela instituição Arrendadora embute além da remuneração dos recursos aplicados os juros provenientes do VRG a ser liquidado ao final do contrato de arrendamento Inclusão dos juros do VRG no coeficiente de arrendamento A empresa de leasing pode também optar por aplicar diretamente o coeficiente de arrendamento sobre o valor global do bem arrendado sem excluir o seu VRG Nesta situação evidentemente a instituição passa a operar com um coeficiente menor mas que irá ser aplicado sobre um montante maior Este critério apesar das diferenças de cálculo produz os mesmos resultados do método anterior supondo idênticas condições A expressão de cálculo do coeficiente de arrendamento segundo esse critério apresentase da forma seguinte CAG 1 W CA i W onde Wpercentual do VRG em relação ao bem arrendado CAG Coeficiente de arrendamento com a inclusão dos juros do VRG Processandose o cálculo do CAG no exemplo ilustrativo desenvolvido no item anterior temse W 10 CA 0057156 i 27 am Portanto CAG 1 01 0057156 0027 01 CAG 0051440 00027 CAG 0054140 1 a b Aplicandose o coeficiente de arrendamento encontrado sobre o valor global do bem arrendado de 30000000 determinamse as contraprestações exatamente iguais àquelas apuradas anteriormente ou seja Mês Valor das Contraprestações Amortização do VRG Contraprestações Totais 1 a 23 30000000 0054140 1624212 1624212 24 1624212 3000000 4624212 Exemplo Um contrato de arrendamento foi realizado com as seguintes características Valor Global do Bem Arrendado 26500000 Valor Residual Garantido1855000 Contraprestações36 contraprestações mensais Taxa de Juros5 ao mês Pedese determinar o valor das contraprestações a pagar e o coeficiente de financiamento de acordo com as duas metodologias apresentadas Solução Juros do VRG nas Contraprestações Custo do Bem a Recuperar 26500000 1855000 24645000 Mês Valor das Contraprestações Encargos sobre o VRG Amortização do VRG Contraprestações Totais 1 a 35 24645000 0060434 1489396 1855000 5 92750 1582146 36 1489396 92750 1855000 3437146 Juros do VRG no Coeficiente W 7 CA 0060434 i 5 CAG 1 W CA i W CAG 1 007 0060434 005 007 CAG 0056204 00035 CAG 0059704 Mês Valor das Contraprestações Amortização do VRG Contraprestações Totais 1 a 35 26500000 0059704 1582156 1582156 36 1582156 1855000 3437156 86 1 a b a Crédito direto ao consumidor O crédito direto ao consumidor conhecido no mercado por CDC é uma operação destinada a financiar a aquisição de bens e serviços por consumidores ou usuários finais O financiamento é geralmente amortizado com prestações mensais iguais e sucessivas seguindo a estrutura do modelopadrão de fluxo de caixa apresentado Podem existir também contratos de CDC com carência e com entrada Os encargos do CDC são basicamente juros e um tributo denominado de imposto sobre operações financeiras IOF O imposto é pago pelo financiado e recolhido pela instituição financeira Para uma alíquota do IOF de 03 ao mês embutida na prestação temse a seguinte fórmula de cálculo onde IOF100 Taxa unitária do IOF cIOF com IOF incluído sIOF sem IOF Por exemplo admita um financiamento de 500000 feito por meio de um contrato de CDC por 7 meses 7 prestações mensais iguais e sucessivas à taxa de 38 am O IOF é de 03 am O valor das prestações atinge O cálculo do coeficiente de financiamento processase da forma seguinte Exemplo Calcular o valor das prestações e o custo mensal efetivo de um financiamento de 2500000 em 6 prestações mensais iguais e sucessivas à taxa de juros de 35 ao mês A alíquota de IOF é de 03 am Admita que o CDC é realizado sem carência com carência Solução Sem carência Custo Mensal Efetivo 87 A b PV PMT cIOF FPV i n 2500000 477770 FPV i 6 i 406 am O IOF embutido nas prestações elevou a taxa efetiva de juros de 35 para 406 ao mês Com carência Período singular de juros O denominado período singular de juros é identificado quando o prazo da primeira prestação de um fluxo de caixa não coincide com os prazos das demais prestações todas iguais e sucessivas Por exemplo o financiamento de um veículo em 10 prestações mensais é oferecido vencendo a primeira prestação em 20 dias e as demais sequencialmente a cada 30 dias O prazo de pagamento da primeira parcela 20 dias é diferente dos demais pagamentos periódicos mensais sendo conhecido por período singular de juros Quando o intervalo de tempo para pagamento da primeira parcela for menor que os demais períodos temse um fluxo definido por antecipado quando for maior será postecipado EXEMPLO DE UM FLUXO ANTECIPADO Admita um financiamento de 1200000 a ser pago em 6 prestações mensais A primeira parcela vence em 25 dias e as demais de 30 em 30 dias A taxa de juros considerada na operação é de 36 am Determinar o valor da prestação Solução Graficamente o financiamento é ilustrado da maneira seguinte Ao se aplicar a fórmula do fluxo de caixa padrão os valores das prestações serão atualizados pela taxa mensal de 36 pelo intervalo de 30 dias sendo identificados no momento 5 Logo para se colocar todas as parcelas num mesmo momento data focal 0 o resultado atualizado deve ser corrigido por 5 dias isto é 1200000 PMT FPV 36 6 FCC 36 530 1200000 PMT 5311094 1005912 PMT 224614 O financiamento prevê 6 pagamentos mensais de 224614 vencendo o primeiro em 25 dias e os demais de 3030 dias Quando o período singular for de um fluxo de caixa antecipado o coeficiente de financiamento se expressa da maneira seguinte Logo PMT PV FAC i t at Dessa forma o coeficiente de financiamento de um período singular antecipado CFa pode ser apurado pela expressão CFa 1FPV i n FAC i t at sendo t o intervalo de tempo padrão do fluxo de caixa e a o prazo do primeiro pagamento do período singular B Desenvolvendo a formulação Substituindo os valores do exemplo ilustrativo acima na expressão do coeficiente de financiamento chegase a CFa 0188285 0994123 CFa 0187178 Efetivamente multiplicandose o coeficiente calculado pelo valor do financiamento encontrase a prestação mensal conforme indicada no exemplo PMT PV CFa PMT 1200000 0187178 PMT 224614 EXEMPLO DE FLUXO POSTECIPADO Suponha no exemplo anterior que o primeiro pagamento deve ocorrer em 40 dias vencendo os demais sequencialmente a cada intervalo de 30 dias Mantendo as demais informações do financiamento calcular o valor da prestação Solução Graficamente temse Nesse caso o valor atualizado das prestações é definido pelo modelopadrão no 10o dia devendo este resultado ser expresso no momento 0 Ou seja 1200000 PMT FPV 36 6 FAC 36 1030 1200000 PMT 5311094 0988280 PMT 228622 A expressão de cálculo do coeficiente de financiamento de um período singular com fluxo postecipado CFP é apurada CFp 1FPV i n FCC i p tt sendo p o período singular de juros de um fluxo postecipado intervalo de tempo do primeiro pagamento Substituindose os dados do exemplo ilustrativo acima na formulação do coeficiente de financiamento temse Exercícios propostos 1 Construir os coeficientes de financiamento mensais e uniformes a partir das seguintes taxas de juros e prazos Taxa de Juros Prazo a i 25 am n 6 meses b i 21 am n 12 meses c i 17 am n 20 meses 2 A partir dos coeficientes de financiamento para séries mensais iguais e sucessivas e prazos respectivos apresentados a seguir determinar o custo efetivo considerado em cada coeficiente Coeficiente de Financiamento Prazo a 0278744 n 4 meses b 0081954 n 18 meses c 0069817 n 36 meses 3 Apurar os coeficientes de financiamento para pagamentos iguais porém ocorrendo em diferentes momentos conforme discriminados a seguir Admita uma taxa de juros de 3 am a 05 pagamentos previstos para serem efetuados ao final dos meses 1 5 7 e 13 e 20 b 06 pagamentos previstos para serem efetuados ao final dos meses 3 6 10 15 21 e 27 4 Um financiamento é concedido para pagamento em 18 prestações mensais iguais e sucessivas com carência de 3 meses Para uma taxa de juros de 4 am determinar a coeficiente de financiamento b valor de cada prestação para um financiamento de 1800000 5 Com base nos valores discriminados abaixo calcular o custo efetivo mensal de cada opção de financiamento Opção de Financiamento Coeficiente de Financiamento Condições de Pagamento a 0110136 10 prestações mensais e iguais b 0232911 05 prestações trimestrais e iguais c 0424666 04 prestações semestrais e iguais 6 O coeficiente de financiamento para um plano de pagamento de 24 prestações mensais e iguais com 6 meses de carência atinge 0079604 Determinar custo efetivo do financiamento 7 8 9 10 11 12 13 14 ab a b c a b 15 custo efetivo mensal admitindose que o período de carência se reduza para 4 meses Uma empresa está contratando um financiamento junto a um banco para pagamento em 4 prestações iguais vencendo a primeira de hoje a 3 meses a segunda de hoje a 5 meses a terceira de hoje a 9 meses e a última de hoje a 15 meses Determinar o coeficiente de financiamento sabendose que a taxa de juros cobrada na operação atinge 22 am Um bem é financiado em 24 prestações mensais com um mês de carência A taxa de juros prefixada é de 314 am Determinar o coeficiente de financiamento Um financiamento é concedido para pagamento em 18 prestações mensais iguais e sucessivas Para uma taxa de juros de 256 am determinar o coeficiente de financiamento sendo a primeira prestação é paga ao final do mês a primeira prestação é paga no ato entrada a primeira prestação é paga com carência de um mês Um financiamento está sendo contratado para ser pago em 3 prestações vencendo a primeira em 28 dias a segunda em 42 dias e a terceira em 56 dias Determinar o coeficiente de financiamento desta operação sabendo se que a taxa de juros cobrada é de 23 am Admita um financiamento para pagamento em 7 prestações mensais sendo a primeira vencível em 20 dias e as demais de 30 em 30 dias Os juros cobrados na operação atingem 37 am Determinar o coeficiente de financiamento O coeficiente de financiamento publicado por um banco é de 0158933 para 8 prestações mensais sendo a primeira vencível em 40 dias e as demais de 3030 dias cada uma Apurar o custo efetivo mensal deste financiamento Uma instituição financeira revela que seu coeficiente de financiamento para séries uniformes de 10 prestações iguais é de 0113269 Se além disso ainda cobrar 2 sobre o valor do financiamento no ato da liberação dos recursos a pretexto de cobrir despesas de abertura de crédito determinar a taxa de juros mensal efetivamente cobrada Um computador está sendo vendido por 500000 a vista O vendedor oferece as seguintes condições para venda a prazo entrada 30 saldo em 5 prestações mensais iguais e sucessivas vencendo a primeira de hoje a 60 dias Determinar o valor de cada prestação admitindo uma taxa de juros de 3 am Calcular os termos dos fluxos de caixa apresentados a seguir admitindose uma taxa mensal de juros de 3 16 17 b 19 b c a 18 a 1a b Uma instituição financeira publica que seu coeficiente de financiamento a ser aplicado sobre o custo do bem a recuperar nas contraprestações é de 0054732 Admitindose um contrato de arrendamento de 36 pagamentos mensais e um valor residual garantido igual a 6 do valor global do bem arrendado que atinge 350000000 determinar o valor das contraprestações mensais e o custo efetivo do arrendamento Dois pagamentos no valor de 1500000 e 2500000 vencíveis respectivamente ao final dos 3o e 4o meses serão substituídos por quatro pagamentos no final do 5o 6o 7o e 8o meses A taxa de juros negociada é de 17 am se os valores dos quatro pagamentos forem iguais determinar o valor de cada parcela a ser paga se os valores das duas primeiras parcelas forem iguais e o valor da 3a e da 4a for igual ao dobro de cada uma das outras parcelas determinar o valor de cada pagamento Uma empresa apresenta os seguintes compromissos de dívidas com um banco pagar 2334000 em um mês pagar 4296000 em dois meses pagar 9918000 em quatro meses pagar 25340000 em seis meses As dívidas foram originariamente contratadas à taxa de juros de 18 am Prevendo dificuldades de caixa para honrar com os compromissos nas datas acertadas a empresa propõe ao banco credor substituir a dívida por 4 pagamentos trimestrais iguais e sucessivos O banco aceita a proposta porém define em 24 am a taxa de juros a ser cobrada na recomposição da dívida Pedese calcular o valor de cada parcela trimestral Admita que um investidor tenha aplicado 4000000 em um título com vencimento para 10 meses A taxa líquida de juro prometida pela aplicação é de 085 am Pedese valor do título na data de resgate o investidor vendeu o título 4 meses após a aplicação O negócio foi realizado pela taxa de 06 am Calcular o valor pago ao investidor pela venda do título determinar a rentabilidade efetiva auferida pelo investidor pela negociação do título venda do título 4 meses após ter aplicado seus recursos adquirido o título Respostas 0181550 0095141 c 2a b c 3a b 4a b 5a b c 6a b 7 8 9a b c 10 11 12 13 14 15a b c d e f g h 16 17a b 0059401 45 am 446 am 617 am 0257652 0242347 0088857 159943 1795 am 205 am 381 am 374 am 426 am 0296091 0061824 0070031 0068283 0071824 0344103 0162784 524 am 272 am 78717 23619 26232 84206 276695 30000 X 109218 104677 285140 Contraprestações Mês 1 a 35 18899328 Mês 36 39899328 Custo efetivo i 425 am ou 648 aa 1049506 PMT5 703624 PMT6 703624 PMT7 1407249 18 19a b c PMT8 1407249 PMT 11616681 4353304 4199824 08158 am a c 91 911 b 9 Matemática Financeira e Estratégias Comerciais de Compra e Venda É cada vez mais demandado o uso do cálculo financeiro na definição de estratégias comerciais de compra e venda analisando a atratividade dos vários planos financeiros propostos Para as várias decisões econômicas a serem tomadas por uma empresa é indispensável o conhecimento da taxa efetiva de juros embutida nas operações a prazo e o seu confronto com o desconto concedido em operações a vista A aplicação da Matemática Financeira nas operações comerciais objetiva determinar a efetiva redução do preço da mercadoriaproduto causada pelas condições de pagamento concedidas para determinada taxa de inflação ou custo de oportunidade o percentual de desconto nas operações a vista que seria equivalente à concessão do prazo respectivo para determinado nível de inflação quais os planos de venda a prazo considerados economicamente mais interessantes Todas as estratégias comerciais são avaliadas neste capítulo com base na taxa de inflação da economia ou custo de oportunidade do dinheiro Estratégias de vendas O objetivo da avaliação dessas estratégias é comparar as várias alternativas de venda expressas em moeda constante ou seja com poder de compra de mesma data Evidentemente o fluxo de valores das vendas poderia também ser descontado por um custo de oportunidade de mercado como a taxa de desconto bancário de duplicatas sem que isso alterasse a essência do raciocínio apresentado Por outro lado o enfoque das estratégias de vendas a ser adotado neste item é preferencialmente voltado para o lado do vendedor apurandose assim a perda da venda De forma oposta esta perda transformase em benefício para quem compra Custo da venda a prazo Foram amplamente discutidos no Capítulo 4 os desequilíbrios que a inflação exerce sobre o dinheiro fazendo com que a moeda apresente diferentes valores no tempo Nessa condição é essencial que se trabalhe com o conceito de valor presente ou seja em moeda representativa de uma única data Por exemplo suponha que uma empresa tenha vendido 3400000 para recebimento em 50 dias Está claro que o valor do dinheiro varia no tempo motivado pela inflação e também pelos juros incorridos no financiamento desta venda Logo receber 3400000 hoje ou daqui a 50 dias não é evidentemente a mesma coisa em termos do efetivo valor do dinheiro São dois momentos diferentes promovendo alterações no poder aquisitivo 2 1 a Para uma inflação por exemplo de 3 no período o valor presente dessa renda atinge 971 de seu valor daqui a 50 dias isto é indicando ser indiferente receber 3300970 hoje ou 3400000 dentro de 50 dias A venda a prazo nestas condições equivale a conceder um desconto comercial em torno de 29 para pagamento a vista O raciocínio pode também ser desenvolvido utilizandose além da inflação os juros reais do financiamento elevando as perdas da venda a prazo Por exemplo admitindose uma taxa de desconto bancário desta venda de 6 para todo o período o custo nominal do crédito concedido passa a Custo da Venda a Prazo 6 3400000 204000 indicando que o recebimento de 3400000 em 50 dias equivale a 3196000 hoje Dessa maneira para uma correta avaliação dos resultados de uma operação de venda a prazo o essencial é a aplicação do conceito do valor presente A partir deste raciocínio têmse ao mesmo tempo a perda determinada pela operação o montante de desconto a vista que seria equivalente a uma transação a prazo e informações corretas para avaliar as melhores estratégias de vendas Exemplos Admita uma venda de 600000 realizada para recebimento em 5 prestações iguais 1 4 Para uma taxa de inflação de 13 ao mês determinar a perda de capacidade aquisitiva desta venda a prazo Solução O PV calculado demonstra que a venda a prazo nas condições assinaladas reduz o preço a vista da mercadoria para 975 de seu valor Ou seja verificase uma perda aproximada de 25 determinada pelo prazo concedido Este percentual de 25 é também a taxa de desconto para pagamento a vista que torna o recebimento da venda equivalente em termos de poder de compra ao plano de cinco prestações mensais 1 4 É indiferente à empresa mantendose em 13 ao mês a taxa inflacionária vender a vista com desconto de 25 ou receber o produto da venda em 5 vezes sendo o primeiro pagamento no ato Para um custo de oportunidade de 38 ao mês taxa efetiva qual alternativa proporciona a menor perda para o vendedor a vender a vista com desconto de 6 ou b vender para recebimento em 30 dias sem acréscimo Solução Pelo cálculo do valor presente das propostas podese avaliar o custo de cada uma Tomandose a venda com base 100 temse PV 100 6 100 94 desconto comercial A venda em 30 dias proporciona maior valor presente sendo portanto a alternativa de maior atratividade para o vendedor 3 b a c Determinar a alternativa de venda de mais baixo custo dentre as relacionadas a seguir admitindo um custo de oportunidade de 4 am venda a vista com desconto de 7 venda em 3 pagamentos 1 2 sendo 40 de entrada e o restante em duas prestações mensais iguais e sucessivas vender no cartão de crédito Neste caso sabese que o pagamento é efetuado em 30 dias 4 a b além de serem cobrados 5 de comissão sobre o valor da compra Solução PV 100 7 100 93 Tomandose a venda com base 100 temse Do ponto de vista de quem vende a opção mais onerosa é vender por meio de cartão de crédito A venda a prazo 1 2 proporciona o maior valor presente a menor perda constituindose na alternativa de venda economicamente mais interessante A atual posição da carteira de valores a receber de uma empresa revela um elevado índice de atrasos A direção está avaliando alternativas para reduzir esse índice mediante incentivos descontos para quem pagar suas prestações pontualmente Para tanto foram preparadas duas propostas conforme ilustradas a seguir Proposta I Pague metade agora e metade em 30 dias sem acréscimo A empresa concede um desconto de 20 na prestação para o cliente que pagar pontualmente Proposta II Entrada de 10 e o restante em 30 dias sem acréscimo A empresa se compromete a devolver a entrada quando do pagamento da prestação se realizada até a data de vencimento Desenvolva uma avaliação dessas duas alternativas de crédito supondo um custo do dinheiro de 37 am Solução Custo 100 886 114 5 Custo 129 Por apresentar menor valor presente PV a proposta II é a que apresenta o maior custo A venda nestas condições indica que a empresa recebe em moeda atual o equivalente a 871 do valor da venda registrando uma perda de 129 Esta perda se reduz para 114 na proposta I Como resultado de acirrada concorrência de mercado uma empresa vem promovendo a venda de seus produtos por meio de uma política de desconto para pagamento a vista e prazos de pagamento As atuais condições de crédito praticadas pela empresa são Vendas a vista desconto de 25 Vendas a Prazo I clientes comuns é dado um desconto de 15 no preço de venda sendo o valor líquido pago da forma seguinte Entrada 30 Restante em 30 dias sem acréscimo Vendas a Prazo II clientes especiais é também concedido um desconto de 15 sendo o valor líquido integralmente pago em 30 dias sem acréscimo A empresa está atualmente interessada em conhecer o custo dessas alternativas de crédito simulando taxas mensais de custo de oportunidade do dinheiro de 0 3 5 7 e 10 Pedese colaborar com a empresa calculando percentualmente as perdas determinadas por esta política de crédito Solução Perdas da Política de Crédito Custo do Dinheiro am Venda a vista Venda a Prazo I Venda a Prazo II 0 25 150 150 3 25 167 175 5 25 178 19 7 25 189 206 10 25 204 227 O cálculo desses custos é mais facilmente apurado tomandose uma base 100 Assim para um custo de oportunidade de 10 am temse Venda a Prazo I Valor Líquido 100 15 85 Entrada 85 30 255 Em 30 dias 85 255 595 Ou seja o PV desse crédito representa 796 do valor integral da venda resultando numa perda de 204 92 Venda a Prazo II Estratégias de compras Em ambiente com inflação ou que apresente um custo de oportunidade do dinheiro em nível relevante tornase bastante pertinente a discussão sobre as decisões de compras de estoques empresariais Esta preocupação justificase basicamente diante da expectativa que se forma de obtenção de ganhos especulativos nos estoques desde que os valores sejam reajustados em percentuais superiores aos da inflação geral da economia ou também como maneira de se preservar a capacidade de compra do material Por exemplo uma empresa prevendo um aumento de 12 no preço de determinada mercadoria está avaliando a alternativa de antecipar esta compra de forma a não pagar o reajuste esperado Suponha que esta mercadoria permaneça 4 meses estocada antes de ser vendida Admitindo uma taxa prefixada de juros de 35 am o percentual de aumento evitado pela antecipação das compras será integralmente diluído em pouco mais de três meses ou seja 1035n 112 n log 1035 log 112 n 329 meses Dessa forma o volume de compras não pode demorar mais de três meses 329 meses para que seja vendido Ao ultrapassar este prazo o custo do dinheiro acumulado no período de venda superará a valorização registrada nos estoques Se o prazo de venda dessas mercadorias for inferior a três meses a empresa terá realizado um bom negócio Evidentemente situações mais complexas podem surgir na prática exigindo maior cuidado na avaliação da decisão de antecipar compras de estoques comerciais Por exemplo venda a prazo da mercadoria compra a prazo incidência de impostos sobre a venda etc devem ser levados em consideração na formulação de estratégias de compras Os exemplos ilustrativos desenvolvidos a seguir visam retratar cada uma dessas situações apresentando um detalhamento de suas principais características relevantes para a Matemática Financeira Exemplo 1 compra e venda a vista Determinada mercadoria vendida atualmente por 175000 a unidade tem seu custo total de compra definido em 135000 Tanto a compra como a venda desta mercadoria ocorrem a vista Sabese que sobre essa operação incidem impostos sobre vendas os quais totalizam o percentual líquido de 20 calculado sobre o preço de negociação Estes impostos são pagos 30 dias após a venda da mercadoria A empresa tarda geralmente 3 meses para vender essa mercadoria ou seja o período de estocagem é de 3 meses Sendo de 3 ao mês o custo nominal do dinheiro desejase saber se é interessante a aquisição dessa mercadoria nas condições estabelecidas Solução Graficamente o problema pode ser representado da seguinte forma Observe que os valores constantes do fluxo financeiro acima são considerados nos momentos em que são transformados em dinheiro Assim os impostos são desembolsados ao final do quarto mês um mês após a venda e as vendas realizadas e recebidas no terceiro mês A avaliação da atratividade de compra dessa mercadoria é processada a partir do cálculo do valor presente dos fluxos de entrada de caixa recebimento da venda e saídas de caixa pagamento de impostos e da mercadoria vendida conforme ilustrado no gráfico acima Assim vender uma mercadoria hoje para recebimento em 90 dias equivale para um custo financeiro de 3 ao mês a O custo de compra da mercadoria pago a vista soma 135000 Os impostos calculados sobre o preço de venda por oferecerem um prazo de estocagem de 30 dias têm o seguinte valor atualizado Logo em valor presente Receita de Venda 160150 Custo de Compra 135000 Impostos sVendas31100 Resultado a Valor Presente5950 Em termos de valor líquido atualizado a operação apresenta prejuízo Nestas condições a antecipação das compras deve ser suficiente para atender a no máximo um mês e meio das vendas 1476 isto é Definindo o prazo de estocagem por PE e dividindose cada membro da expressão por 103 PE temse 922 141020 135000 103PE 103PE 1044588 Aplicandose logaritmo conforme demonstrado no apêndice C Exemplo 2 compra a vista e venda a prazo Certo produto adquirido a vista em 2003 por 19000 foi vendido 21 dias após por 31000 A empresa ainda concedeu um prazo de pagamento de 15 dias ao cliente Sabese que em 0705 deve a empresa recolher 2160 de ICMS e no dia 1505 deve também recolher impostos sobre vendas no valor de 820 Para uma taxa de juros efetiva de 26 ao mês pedese avaliar o resultado desta operação Solução Graficamente esta situação é representada da forma seguinte Taxa efetiva de juros 26 am equivalendo a 1026130 1 00856 ao dia O cálculo do resultado dessa operação pelo método do valor presente envolve a definição de uma data focal data de comparação A decisão do negócio não se altera evidentemente qualquer que seja a data escolhida Para ilustrar são definidas duas datas na solução do problema 2003 compra da mercadoria e 2504 recebimento da venda Data Focal 2003 A receita de venda benefício de caixa que ocorre efetivamente 36 dias após a data da compra da mercadoria equivale na data focal de 2003 a Os custos da operação desembolsos de caixa são também expressos em valores da data focal isto é Logo o resultado líquido atualizado da operação atinge Resultado 30060 19000 2073 782 Resultado 8205 indicando a atratividade econômica da venda Data Focal 2504 923 924 Resultado 31000 19594 2138 806 Resultado 8462 Esse resultado atualizado equivale para a taxa de juros considerada ao valor presente calculado na data focal de 2003 isto é Exemplo 3 compra a prazo e venda a vista Um Magazine recebe de um fornecedor oferta de uma mercadoria por 70000 para pagamento em 30 dias ou 73150 para pagamento em 60 dias O Magazine trabalha com um prazo de venda desta mercadoria de três meses Qual o custo financeiro que torna essas propostas equivalentes para o Magazine Solução Graficamente temse A mercadoria assume um custo financeiro durante o período em que permaneceu estocada à espera de ser vendida Esse custo é reduzido pelo prazo de pagamento concedido pelo fornecedor Assim em termos líquidos a primeira proposta de pagamento em 30 dias envolve custo financeiro de 2 meses 3 1 e o pagamento em 60 dias reduz esse custo para um mês 3 2 Pelas informações apresentadas e supondose a inexistência de outros encargos sobre as vendas concluise que é indiferente ao magazine adquirir a mercadoria em qualquer prazo oferecido desde que o seu custo financeiro custo de financiar o estoque seja igual a 45 ao mês A esse percentual os custos de compra são idênticos nas duas condições de pagamento oferecidas proporcionando o mesmo resultado atualizado Em valores do momento da venda temse 70000 1 i3 1 73150 1 i3 2 1 i 1045 i 45 am Assim 45 é a taxa de juro mensal que torna equivalentes as duas propostas de compra Quando o custo de financiar o estoque superar a taxa de 45 tornase mais interessante a compra em 60 dias A opção para compra em 30 dias é recomendada quando os juros cobrados pelos fornecedores do Magazine ficarem abaixo dos 45 ao mês Exemplo 4 compra e venda a prazo Admita que uma empresa esteja avaliando a venda de um lote de mercadorias por 3200000 A expectativa é que esse lote demore 30 dias para ser vendido Tipicamente esse segmento de comércio trabalha com vendas a crédito sendo o prazo de recebimento esperado de 90 dias O fornecedor da mercadoria fixou o seu preço em 2450000 para pagamento em 60 dias Concede no entanto um desconto de 15 se o pagamento for efetuado em 30 dias e de 25 para pagamento a vista Sendo de 4 ao mês o custo financeiro da empresa pedese avaliar os resultados dessas opções de compra Solução Expressandose os valores dos fluxos de caixa para o momento do recebimento da venda temse para cada proposta de compra Compra da mercadoria a vista Resultado a valor presente data de recebimento da venda PV 3200000 1837500 10413 PV 3200000 1837500 1044 PV 3200000 2149620 PV 1050380 Compra da mercadoria para pagamento em 30 dias Resultado a valor presente data de recebimento da venda PV 3200000 2082500 1041 3 1 PV 3200000 2342530 PV 857470 Compra da mercadoria para pagamento em 60 dias 1 93 a b Resultado a valor presente data da venda PV 3200000 2450000 1041 3 2 PV 3200000 2450000 1042 PV 3200000 2649920 PV 550080 Pelos resultados calculados a atratividade maior para a empresa é adquirir a mercadoria a vista pois é a alternativa que oferece o maior resultado a valor presente Mesmo a concessão de um crédito pelo fornecedor por 60 dias não tornou a compra a prazo mais vantajosa Em verdade para a empresa seria interessante a compra por 60 dias somente se o preço da mercadoria fosse fixado pelo fornecedor em menos de 1987440 isto é 1050380 3200000 Custo 1041 3 2 Custo 1042 2149620 Custo Custo 1987440 Em outras palavras o incremento no preço por compra a prazo deve ser inferior ao custo financeiro da empresa Assim capitalizandose 4 ao mês ao preço a vista de 1837500 temse o preço máximo para pagamento em 60 dias isto é 1837500 1042 1987440 Exemplo Uma mercadoria tem seu preço de venda fixado em 36800 a vista ou 38200 para pagamento em 30 dias da data da compra Pela compra a empresa tem uma compensação de ICMS crédito de 18 sendo seu prazo de recuperação de 14 dias Este percentual incide sobre o valor nominal da compra Para uma taxa efetiva de juro de 34 am indicar se interessa à empresa adquirir a mercadoria a vista ou a prazo Solução Compra a Vista Custo Líquido a Valor Presente PV 30280 Compra a Prazo Custo Líquido a Valor Presente PV 30170 A compra a prazo por oferecer o menor custo líquido atualizado é mais interessante que a opção a vista Observe que o incremento do preço a prazo é de 38 superior à taxa de desconto considerada de 34 A compensação do imposto decidiu pela compra a prazo Formação do preço de venda a valor presente Um componente fundamental na formação do preço de venda é a aplicação dos conceitos de Matemática Financeira na definição de seu valor Um preço de venda representa efetivamente o valor presente de um fluxo futuro de entradas recebimentos e saídas desembolsos de despesas de caixa esperados em determinado intervalo de tempo Estes fluxos financeiros são descontados a uma taxa de juros que exprime preferencialmente o custo de oportunidade dos valores A metodologia de cálculo do valor presente envolve os prazos operacionais de pagamentos estocagem venda e cobrança O principal pressuposto da formação do preço de venda é que os valores do fluxo operacional não ocorrem num mesmo momento Ou seja a empresa adquire um produto em certo momento cujo pagamento pode darse em outro e investe ainda até a sua venda período de estocagem podendo o recebimento ocorrer posteriormente Estes valores futuros do ciclo financeiro devem ser atualizados a determinada taxa a valores de hoje de maneira a expressar o preço de venda Ilustrativamente admita uma empresa interessada em avaliar o preço de venda a vista de determinado produto As despesas da empresa são as seguintes impostos svendas 20 prazo para recolhimento de 20 dias comissões svendas 3 pagamento é efetuado no momento do recebimento da venda custo de compra líquido 8320 O fornecedor concede 40 dias para pagamento a empresa deseja apurar uma margem de lucro de 25 sobre o preço de venda de forma a cobrir suas despesas fixas e obter um lucro final a empresa trabalha com uma taxa de juro de 010 ao dia A partir desses dados podese formar o preço a vista como sendo o valor presente dos vários fluxos esperados de caixa Representando o problema no formato de um demonstrativo de resultados a valor presente temse Preço de venda a vista P Custo de compra 8320100140 7994 Impostos svendas 020 P100120 0196 P Comissões svendas 003 P Lucro desejado 025 P Exprimindo o preço de venda por meio de uma formulação matemática apurase P 7994 0196 P 003 P 025 P 0524 P 7994 P 15256 que representa o preço de venda a vista expresso em valor atual que cobre as despesas e promove uma margem equivalente a 25 de seu valor Admitindo que a venda será realizada para recebimento em 30 dias temse o seguinte preço a prazo 09705 P 7994 0196 P 00291 P 02426 P 05028 P 7994 P 15900 que representa o preço de venda para recebimento em 30 dias expresso a valor presente No exemplo ilustrativo foi admitido que a margem de lucro de 25 incide sobre o preço de venda a valor presente e não sobre o preço nominal a prazo Ao se considerar a margem de lucro sobre o preço de venda nominal temse 1 a b a 09705 P 7994 0196 P 00291 P 025 P 04954 P 7994 P 16136 Exemplo Determinado comércio está avaliando o preço de certa mercadoria O preço que o fornecedor oferece é de 11980 sendo o pagamento previsto para 20 dias Os impostos incidentes sobre a venda totalizaram 20 de seu valor devendo ser recolhidos em média 18 dias após Outras despesas de responsabilidade da empresa Comissão svendas 5 Pagamento na data do recebimento da venda Despesas operacionais 12 svenda Prazo de desembolso médio de 10 dias após a venda A empresa espera vender a mercadoria num prazo médio de 16 dias A margem de lucro desejada é de 15 sobre o preço de venda Admitindo uma taxa de juro de 009 ao dia determinar o preço de venda nas seguintes condições venda a vista venda a prazo 2 pagamentos sendo o primeiro no ato da venda e o segundo após 30 dias Solução Preço a Vista Data da Venda Pela estrutura do demonstrativo de resultados temse Preço de Venda a VistaP Custo de Compra 11980 1000916 100092011937 Impostos sVenda 020 P100091801968 P 1 b Comissão sVenda005 P Despesas Operacionais 012 P100091001189 P Margem de Lucro015 P Graficamente temse a seguinte representação P 11937 01968 P 005 P 01189 P 015 P 04843 P 11937 P 24648 Preço a Prazo Data da Venda A alteração com relação ao preço a vista ocorre no cálculo do valor presente do preço a prazo isto é Logo 09867 P 01968 P 0025 P 00243 P 01189 P 015 P 04717 P 11937 P 25306 Na ilustração calculouse a margem de lucro sobre o preço nominal O valor de venda pode também ser calculado considerando o percentual desejado de lucro incidindo sobre o preço expresso a valor presente Exercícios resolvidos Admita que uma mercadoria seja vendida a vista e adquirida com um prazo de pagamento de 4 meses Essa mercadoria permanece ainda 2 meses em estoque antes de ser vendida Sabese que a empresa vem conseguindo aplicar suas disponibilidades de caixa à taxa de juros de 23 ao mês no mercado financeiro Nessas condições a empresa recebe uma oferta de venda a vista dessa mercadoria por 169300 a unidade No entanto sabese que seu preço de custo compra é de 176000 Pode a empresa aceitar essa oferta Suponha simplesmente a inexistência de outras despesas sobre vendas Solução Expressando os valores do fluxo de caixa na data da venda temse o seguinte valor atualizado PV 169300 PV 1125 Ou em valores da data de pagamento da compra da mercadoria PV 169300 10232 176000 PV 1177 ou PV 1125 10232 1177 O ganho financeiro apurado pela empresa no período compreendido entre a data da venda e o respectivo recebimento e a do pagamento ao fornecedor permite que a empresa possa vender sua mercadoria a um preço abaixo de seu custo nominal Nestas condições a operação produz um valor presente positivo indicando sua atratividade econômica 2 4 3 Uma empresa vende determinado produto por 63000 O produto foi adquirido a vista tendo permanecido 29 dias em seus estoques antes da venda A venda foi realizada para pagamento em 15 dias sem acréscimo O custo unitário de compra do produto atinge 42000 Outros custos de responsabilidade da empresa são ICMS 1150 pagos 5 dias antes de realizada a venda IPI 1630 pagos quando da compra do produto Impostos sobre vendas 320 pagos 10 dias após a realização da venda Sendo de 010 ao dia a taxa de juro considerada pedese calcular o resultado desta operação comercial na data da venda Solução Resultado a valor presente data da venda PV 62063 43235 1678 1156 317 PV 62063 46386 PV 15677 resultado na data da venda Certa loja incorre nos seguintes custos para cada 10000 de compra de uma mercadoria Frete 1 pago a vista ICMS crédito 12 com prazo de recuperação de 16 dias IPI 15 pagamento a vista no ato da compra Condições de pagamento da compra 2 pagamentos iguais respectivamente em 30 e 60 dias Calcular o preço total líquido da compra admitindo uma taxa de juros de 22 am Solução Valor da Compra O custo da compra da mercadoria equivale a valor presente a um preço 093 superior ao seu valor nominal Por exemplo se o preço de uma mercadoria estiver definido em 17000 o seu valor líquido atualizado de compra atinge Custo a Valor Presente 10093 17000 17158 Uma cadeia de lojas adquire um lote de mercadorias a vista por 3600000 Essas mercadorias permanecem estocadas em média 2 meses antes de serem vendidas O custo financeiro da empresa é de 34 ao mês e a sua taxa de remuneração a b b a b 1 a 2 a proveniente das aplicações no mercado financeiro atinge 20 ao mês Pedese determinar o resultado a valor presente dessa operação sendo o preço de venda a prazo recebimento em 30 dias da mercadoria de 4600000 se o fornecedor propuser a venda da mercadoria para pagamento em 4 meses qual deve ser o valor máximo que a empresa deve pagar para que obtenha um resultado a valor presente idêntico ao da compra a vista Solução Resultado a Valor Presente na Data da Venda PV 4448742 3848962 PV 599780 Data Focal Data da Venda PV 4448742 3555846 PV 892896 O custo da mercadoria foi atualizado à taxa de 20 am para incorporar o ganho pelo prazo de pagamento e posteriormente corrigido à taxa de 34 am para refletir o custo de estocagem Este é o resultado da venda da mercadoria nas condições de compra para pagamento em 4 meses pelo valor de 3600000 O valor máximo que a empresa deve pagar ao fornecedor para apurar um resultado de 599780 idêntico ao da compra a vista questão a é obtido 599780 4448742 09877 Custo 09877 Custo 3848962 Custo 3896894 Exercícios propostos Demonstre a proposta mais onerosa vender a vista com desconto de 5 vender em 3 vezes 1 2 sem acréscimo Entrada de 40 do valor e duas prestações mensais iguais e sucessivas Sabese que o custo do dinheiro está definido em 34 am Determinar as perdas percentuais provocadas em cada uma das alternativas de venda ilustradas a seguir venda a vista com desconto de 6 3 4 5 6 7 8 9 10 b c venda a prazo para pagamento integral em 30 dias venda em 5 pagamentos mensais e iguais sendo o primeiro efetuado no ato O custo do dinheiro é definido em 29 am Uma revendedora está atualmente negociando suas mercadorias mediante desconto de 12 e prazo de pagamento de 30 dias A empresa está avaliando trabalhar exclusivamente com vendas a vista Determinar o desconto que pode conceder para pagamento a vista de forma que esta proposta seja equivalente em termos de custo às condições originais Admita uma taxa de 25 para o custo do dinheiro Uma empresa com o intuito de dinamizar determinado segmento de mercadorias está promovendo dois planos de vendas conforme demonstrados a seguir Plano I venda para pagamento em 30 dias sem acréscimo e sem entrada desconto de 15 no preço de venda Plano II venda para pagamento em 30 dias sem acréscimo e sem entrada a empresa paga ao cliente no ato da compra 10 do valor da nota fiscal em dinheiro Sendo de 32 am a taxa corrente de juros pedese calcular as perdas percentuais determinadas pelos dois planos Um empréstimo é efetuado para pagamento ao final de dois meses Sendo de 13 a taxa de inflação do primeiro mês e de 16 do segundo mês determinar a redução no poder de compra no momento da amortização da dívida Uma pequena indústria recebe uma oferta de compra de um lote de produtos para pagamento em 90 dias Com problemas de caixa a indústria propõe que a venda seja realizada a vista com desconto Para uma inflação de 12 am calcular a taxa de desconto que torna equivalente indiferente a venda a vista e a venda para recebimento em 90 dias O preço a vista de uma mercadoria é de 121000 A prazo pagamento em 60 dias o preço se eleva para 129400 Sendo de 85 o custo do dinheiro no período demonstre se o acréscimo no preço de venda cobriu o juro da venda a prazo Determinada mercadoria é vendida por 80000 para pagamento em 60 dias A loja oferece um desconto de 8 para pagamento a vista Calcular a taxa mensal efetiva de juros cobrada nesta venda a prazo Uma empresa está promovendo a venda de seus produtos em 3 pagamentos 1 2 Neste caso o cliente paga somente as duas primeiras prestações sendo a última quitada automaticamente após o pagamento da segunda As condições de pagamento definidas na proposta são Entrada 40 1a prestação 40 2a prestação 20 Sendo de 34 am o custo do dinheiro determinar a perda provocada por esta alternativa de crédito Certa empresa comercial tem normalmente concedido descontos de 20 a seus clientes especiais para pagamento em até 30 dias Esta prática de venda é direcionada às pequenas e médias empresas revendedoras de suas mercadorias as quais apresentam grande capacidade de compra Uma avaliação mais pormenorizada da carteira de valores a receber revela que os pagamentos vêm sendo realizados com atrasos de até 25 dias Estatisticamente é demonstrado que somente 47 dos clientes pagam pontualmente suas compras um percentual considerado muito baixo a b 11 a b 12 a Visando elevar o nível de pontualidade de seus clientes a empresa está estudando lançar um plano de venda aos revendedores com descontos decrescentes em função de inadimplência Após uma avaliação da situação foi adotada a seguinte tabela Desconto Condições de Pagamento 25 A vista 20 Em 30 dias 15 Com até 3 dias de atraso 10 Com 4 a 6 dias de atraso 5 Com 7 a 10 dias de atraso Nas condições de pagamento propostas não estão previstas entradas Sendo de 30 am o custo do dinheiro pedese determinar custo da venda em 30 dias paga pontualmente custo das condições de venda admitindo que o cliente pague com 3 dias de atraso 4 dias de atraso 6 dias de atraso 7 dias de atraso 10 dias de atraso Considerando uma taxa de juro de 26 am qual a melhor alternativa de compra a prazo compra para um único pagamento em 45 dias compra para 04 pagamentos mensais e iguais em 30 60 90 e 120 dias Selecionar a melhor alternativa de compra para uma taxa de juros de 21 am compra a vista por 320000 14 15 b c 16 b c 13 a compra para pagamento ao final de um mês por 329500 compra para pagamento ao final de dois meses por 330000 Considere que no preço encontramse embutidos o ICMS de 18 crédito e o custo financeiro cobrado pelo fornecedor O prazo de recuperação do ICMS é de 17 dias Uma concessionária de veículos adquire a vista um veículo novo pelo preço unitário de 1050000 O preço de venda ao público desse veículo é de 1670000 A concessionária realiza essa venda 17 dias após sua entrada em estoque concedendo ao cliente ainda 10 dias de prazo para pagamento Além do custo de compra a concessionária incorre também em outros desembolsos de caixa conforme identificados a seguir Impostos sobre vendas 48200 a serem pagos 30 dias após a venda ICMS 175000 a serem pagos 14 dias após a venda Comissão sobre venda 55000 a serem pagos 10 dias após o recebimento da venda Pedese calcular o resultado dessa operação a valor presente na data da venda Sabese que o custo financeiro da concessionária é de 016 ao dia e que consegue auferir no mercado financeiro 009 ao dia em suas aplicações financeiras Uma loja adquire uma mercadoria por 54000 devendo pagar em três prestações mensais iguais de 18000 cada uma a primeira no ato da compra e as demais sequencialmente A mercadoria permanece em média 12 dias em estoque para venda O lojista concede ao cliente ainda um prazo de 15 dias para pagamento Os impostos incidentes sobre a venda são de 20 com um prazo médio de 25 dias para recolhimento A loja paga também comissão de 3 sobre o valor nominal da venda no momento de sua realização O comerciante tem como política de venda obter uma margem de lucro margem de contribuição equivalente a 15 do preço de venda Pedese calcular o preço unitário de venda da mercadoria Considerese que os excedentes de caixa podem ser aplicados à taxa de 12 am e que os encargos financeiros de empréstimos estão fixados em 25 am Uma distribuidora vende determinada linha de produtos com deságio de 12 sobre o preço de fábrica e a gerência está atualmente avaliando os resultados de uma antecipação de compra destes produtos diante de um aumento dos preços O aumento definido pelo fabricante é de 8 e a distribuidora incorre nas seguintes despesas variáveis incidentes sobre as vendas Impostos svendas 36 Prazo médio de recolhimento de 15 dias Admita que sejam esses os únicos impostos incidentes sobre as vendas Comissão svendas 3 Prazo médio de pagamento de 20 dias A empresa trabalha com uma taxa de juro de 011 ad e os fornecedores concedem normalmente um prazo de 30 dias para pagamento da compra As vendas são realizadas a vista Pedese custo de compra a valor presente para cada 100 de compra antes e após o aumento de 8 do fabricante se a empresa demorar 20 dias para vender seus produtos determinar a margem de contribuição receitas de vendas despesas variáveis a valor presente para cada 100 de venda Em seus cálculos admita que a distribuidora não opte pela antecipação da compra compra e vende após a alta dos preços determinar a margem de contribuição a valor presente para cada 100 de venda na hipótese de a distribuidora adquirir os produtos antes da alta e vendêlos após pelo preço novo Neste caso prevêse que a distribuidora demora 30 dias para vender o produto Uma mercadoria é vendida por 36000 a vista sendo seu custo total de 16200 Na emissão da nota fiscal a empresa incorre em impostos sobre vendas de 18 Admitese que esses impostos são recolhidos em 20 dias e b 17 18 19 20 21 c a a b 22 o prazo de pagamento a fornecedores seja de 30 dias As demais despesas variáveis incidentes sobre as vendas atingem 20 As despesas fixas equivalem a 2100 por unidade Essas despesas fixas e variáveis são pagas em média em 15 dias A empresa está atualmente avaliando o preço de venda a prazo desta mercadoria As condições de venda a prazo são de dois pagamentos iguais sendo a metade de entrada e o restante em 30 dias Mantendose em 22 am a taxa efetiva de juros para os próximos meses pedese calcular resultado a valor presente na venda a vista da mercadoria preço de venda da mercadoria nas condições de venda a prazo Considere que a empresa deseja manter inalterado seu resultado em apurado na venda a vista Um computador está sendo negociado por 180000 a vista ou em três pagamentos 1 2 de 60000 cada um sendo o primeiro no ato da compra entrada e os restantes em 30 e 60 dias A loja afirma que não cobra juros na venda a prazo A taxa de juros de mercado é de 235 am Pedese calcular a taxa de desconto sobre o preço de venda do computador que a loja poderia conceder ao cliente Um empréstimo de 3000000 é concedido para ser pago em 3 parcelas iguais A primeira vence em 40 dias a segunda em 75 dias e a última em 110 dias Determinar o valor de cada parcela admitindo uma taxa de juros de 15 am Uma loja vende seus produtos em 4 pagamentos mensais e iguais 1 3 sendo o primeiro no ato da compra e os demais a cada 30 dias Visando incentivar as vendas a vista a loja vem oferecendo desconto de 55 sobre o valor da compra para o cliente que pagar no ato Calcular a taxa de juros que a loja está cobrando em suas vendas a prazo Um automóvel novo é vendido por 4500000 Um comprador deu como entrada seu carro usado e financiou a diferença em 6 prestações mensais iguais e sucessivas de 480000 A taxa de juros considerada no financiamento é de 295 am Pedese calcular o valor do carro usado dado como entrada na compra do veículo novo Uma mercadoria é adquirida por uma loja para revenda por 80000 O prazo de pagamento ao fornecedor é de 25 dias e o prazo médio de estocagem de 20 dias Os impostos comerciais totalizam a 20 do valor da venda pela loja sendo o prazo de recolhimento de 15 dias após a venda A empresa incorre ainda nas seguintes despesas comissões sobre vendas 4 sobre o valor da venda sendo pagas no ato do recebimento outras despesas representam 10 das vendas sendo o pagamento realizado 20 dias após a realização das vendas A empresa deseja apurar uma margem de contribuição Receitas de Vendas menos Despesas Variáveis igual a 18 do preço de venda A taxa de juros praticada pela empresa é de 27 am taxa efetiva Pedese calcular o preço de venda da mercadoria nas seguintes condições venda a vista venda para recebimento em duas parcelas iguais 30 e 60 dias venda para recebimento de 20 no ato entrada e o restante em duas parcelas iguais a serem liquidadas em 30 e 60 dias Considere a data da venda como a data focal de cálculo do preço de venda da mercadoria Uma mercadoria é vendida por 1000000 para pagamento a vista Um comprador oferece a seguinte proposta entrada 10 pagamento de 250000 em 60 dias restante em quatro prestações mensais iguais e consecutivas sendo liquidadas a partir do final do 5o mês A taxa de juro utilizada na operação está fixada em 14 aa taxa efetiva 23 Pedese calcular o valor de cada prestação mensal Uma mercadoria sofreu um reajuste de 40 em seu preço de venda Alguns dias após a loja decide promover a venda dessa mercadoria concedendo um desconto de 40 Pedese calcular o desconto efetivamente concedido pelo comerciante em relação ao preço original da mercadoria 24 25 1 2a b c 3 4 5 6 7 8 9 10a b 11a b 12a b c 13 14 15a b c 16a Uma mercadoria teve dois reajustes sequenciais em seu preço de venda O primeiro reajuste foi de 30 e o segundo de 15 Qual a taxa de desconto que deve ser concedida para que o preço da mercadoria seja igual ao seu valor original Uma mercadoria é vendida em uma loja por 220000 O vendedor recebe uma comissão de venda igual a 7 O lojista por sua vez aufere um lucro de 40 sobre o preço de custo Pedese calcular o preço de custo dessa mercadoria Respostas Vender a vista PV 94 6 PV 972 28 PV 945 55 1415 PV I 824 1760 PV II 869 131 284 35 Não O reajuste no preço a prazo é de 69 enquanto o custo financeiro atinge 85 426 am 213 PV 787 PV 7767 2233 PV 8228 1772 PV 8703 1297 PV 8686 1314 PV 9160 84 PV 9133 867 PV 9622 PV 9382 Por apresentar o menor valor presente a melhor alternativa é b PV 263074 PV 265313 PV 260250 A melhor alternativa é a compra em 60 dias 290839 88090 Antes do aumento 8514 Após o aumento 9196 701 1300 4563 36392 b 17 18 19 20 21a b c 22 23 24 101 25 PV 175900 1037819 i 391 am 1895433 V 164419 V 178225 V 172249 175889 16 3311 146143 10 Análise de Investimentos e Reposição de Ativos Basicamente toda operação financeira é representada em termos de fluxos de caixa ou seja em fluxos futuros esperados de recebimentos e pagamentos de caixa A avaliação desses fluxos consiste em essência na comparação dos valores presentes calculados segundo o regime de juros compostos a partir de uma dada taxa de juros das saídas e entradas de caixa Em consideração ao conceito do valor do dinheiro no tempo raciocínio básico da Matemática Financeira adotado neste livro colocase como fundamental estudarse somente os métodos que levem em conta o critério do fluxo de caixa descontado Dessa maneira o capítulo desenvolve os métodos da taxa interna de retorno e do valor presente líquido admitidos como os de maior utilização e rigor conceitual nas análises das operações financeiras aplicações e captações e de projetos de investimento O capítulo dedicase também como uma das mais interessantes aplicações dos métodos de avaliação de caixa às decisões básicas de reposição de ativos O intuito principal é o de estabelecer uma linha de raciocínio financeiro nas decisões de substituição de ativos incorporando preocupações associadas ao custo do investimento vida econômica valor de revenda etc Taxa interna de retorno IRR1 A taxa interna de retorno é a taxa de juros desconto que iguala em determinado momento do tempo o valor presente das entradas recebimentos com o das saídas pagamentos previstas de caixa Geralmente adotase a data de início da operação momento zero como a data focal de comparação dos fluxos de caixa Normalmente o fluxo de caixa no momento zero fluxo de caixa inicial é representado pelo valor do investimento ou empréstimo ou financiamento os demais fluxos de caixa indicam os valores das receitas ou prestações devidas Nessas condições a identidade de cálculo da taxa interna de retorno é identificada da forma seguinte deduzindose que 1011 onde FC0 valor do fluxo de caixa no momento zero recebimento empréstimo ou pagamento investimento FCj fluxos previstos de entradas ou saídas de caixa em cada período de tempo i taxa de desconto que iguala em determinada data as entradas com as saídas previstas de caixa Em outras palavras i representa a taxa interna de retorno Considerando que os valores de caixa ocorrem em diferentes momentos é possível concluir que o método da IRR ao levar em conta o valor do dinheiro no tempo expressa na verdade a rentabilidade se for uma aplicação ou custo no caso de um empréstimo ou financiamento do fluxo de caixa A rentabilidade ou custo é indicada em termos de uma taxa de juros equivalente periódica Por exemplo admita um empréstimo de 3000000 a ser liquidado por meio de dois pagamentos mensais e sucessivos de 1550000 cada Graficamente temse a seguinte representação O custo desta operação calculado pelo método da taxa interna de retorno atinge Resolvendo a expressão com o auxílio de uma calculadora temse o custo efetivo mensal de i 221 ao mês O custo obtido de 221 am representa diante das características enunciadas do método da IRR a taxa de juros que iguala em determinada data a entrada de caixa 3000000 recebimento do empréstimo com as saídas de caixa 1550000 valor de cada prestação desembolsada Conforme foi comentado ainda a data focal para o cálculo da taxa interna de retorno pode ser definida livremente sem que isso interfira em seu resultado Por exemplo ao se fixar a data focal ao final do segundo mês verificase que o custo não se altera permanecendo inalterado em 221 ao mês ou seja 3000000 1 i2 1550000 1 i 1550000 Resolvendo chegase ao mesmo resultado IRR i 221 ao mês Interpretação da IRR por meio de planilha financeira Uma visão mais ampla da IRR pode ser obtida ao elaborarse a planilha financeira do empréstimo a ser liquidado com duas prestações iguais Observe na planilha apresentada abaixo que a taxa calculada de 221 ao mês recai unicamente sobre o saldo devedor líquido da operação As prestações determinadas por esta taxa além de remunerarem o capital emprestado permitem a liquidação completa da dívida ao final do prazo contratado Planilha Financeira de uma Operação de Empréstimo Data mês Saldo Devedor Amortização Juros Prestação 0 3000000 1 1516420 1483580 66420 1550000 2 1516420 33580 1550000 Juro i 22141 am Outro exemplo ilustrativo permite fixar mais concretamente o conceito de taxa interna de retorno Admita que um investimento de 7000000 promova expectativas de benefícios de caixa de 2000000 4000000 4500000 e 3000000 respectivamente ao final dos próximos quatro anos da decisão Observandose que o investimento exige um desembolso inicial e quatro fluxos futuros de ingressos esperados de caixa temse a seguinte representação A expressão de cálculo é a seguinte IRRi 30 aa Por meio do auxílio de uma calculadora financeira apurase uma taxa interna de retorno de 300 ao ano isto é ao se descontarem os vários fluxos previstos de caixa pela IRR calculada o valor atualizado será exatamente igual ao montante do investimento de 7000000 Com isso o resultado apurado denota a efetiva taxa de rentabilidade anual do investimento PV 7000000 Deve ser ressaltado ainda que os 300 representam a taxa de retorno equivalente composta anual A IRR não pode ser considerada como o ganho efetivo em cada período ano mas como a rentabilidade média ponderada geometricamente consoante o critério de juros compostos A rentabilidade total acumulada do projeto para os quatro anos atinge 1856 ou seja Rentabilidade Total 1304 1 1856 p os quatro anos De outra forma ao se aplicar os fluxos de entrada de caixa à IRR de 300 ao ano calculase um montante ao final do prazo igual a 19992700 FV Este valor representa na verdade a riqueza econômica ao final do último ano de vida do projeto determinada pela aplicação de 7000000 PV 1012 Relacionandose esta riqueza de 19992700 com o valor do investimento inicial de 7000000 chegase à rentabilidade de 1856 referente aos quatro anos ou seja IRR i 1856 ou 1856 Ao se mensurar a taxa equivalente composta anual da operação apurase IRR i 030 ou 300 aa que representa a taxa interna de retorno rentabilidade anual calculada para o investimento Quando a taxa de reinvestimento não coincide com a IRR A demonstração mencionada no tópico anterior levou em consideração que os fluxos de caixa são reaplicados ao longo do prazo da operação à própria taxa interna de retorno calculada 300 aa Nesta hipótese a IRR do investimento representa efetivamente sua rentabilidade periódica Esse é um pressuposto implícito no método da IRR Em outras palavras a taxa interna de retorno de uma alternativa financeira somente é verdadeira na suposição de todos os fluxos de caixa que se sucederão sejam reaplicados à taxa de juro calculada pelo método Em caso contrário o resultado efetivo do investimento é outro Admita no exemplo citado que os fluxos de entrada de caixa possam ser reaplicados até o final do prazo do investimento à taxa de 22 aa Ao reduzir a taxa de reaplicação dos resultados de caixa de 30 para 22 aa a rentabilidade anual da alternativa também diminui conforme demonstrado a seguir Montante da Reaplicação das Entradas de Caixa FV FV 2000000 1223 4000000 1222 4500000 122 3000000 FV 18075300 Valor do Investimento PV PV 7000000 Rentabilidade Periódica IRRi IRRi 15822 p todo o período 4 anos equivalendo a IRRi 2582214 1 2676 aa Dessa maneira podese concluir que a IRR esperada de uma decisão de investimento é dependente não somente dos resultados de caixa projetados para a alternativa como também da reaplicação destes fluxos ao longo de todo o prazo A rentabilidade se eleva em condições de a taxa de reaplicação superar a IRR calculada do investimento ocorrendo o inverso 1 2 quando a reaplicação for efetuada a uma taxa inferior Exemplos Determinar a taxa interna de retorno referente a um empréstimo de 12690000 a ser liquidado em quatro pagamentos mensais e consecutivos de 2500000 3800000 4500000 e 2700000 Solução O fluxo de caixa é representado graficamente da forma seguinte A formulação para a solução do problema apresentase A IRR é a taxa de desconto juros que iguala os pagamentos do empréstimo saídas de caixa com o valor do capital emprestado entrada de caixa em determinada data Resolvendose a expressão com o auxílio de uma calculadora financeira chegase à IRR que representa o custo equivalente composto periódico da operação IRR i 247 ao mês Uma aplicação financeira envolve uma saída de caixa de 4700000 no momento inicial e os seguintes benefícios esperados de caixa ao final dos três meses imediatamente posteriores 1200000 1500000 e 2300000 Determinar a rentabilidade IRR mensal efetiva dessa operação Solução Resolvendose IRR i 284 ao mês que representa a rentabilidade equivalente composta mensal da aplicação Mediante esse exemplo ilustrativo é possível ressaltarse uma vez mais que a IRR de 284 assume implicitamente o pressuposto de que para ser verdadeira devem todos os fluxos intermediários de caixa serem reinvestidos à própria taxa interna de retorno calculada para a aplicação Em verdade o método da IRR adota a hipótese de que os vários fluxos de caixa gerados da aplicação devem ser reaplicados até o final do prazo da operação em alternativas que rendam pelo menos os 284 am obtidos de rentabilidade Na situação de não se conseguir aplicar os valores de caixa a esse percentual a taxa interna de retorno se modificará Ilustrativamente ao se admitir que os dois fluxos iniciais de caixa sejam reinvestidos às taxas mensais de 20 e 15 respectivamente apuramse os seguintes resultados Montante Acumulado ao Final do Período FV3 1200000 1022 1500000 1015 2300000 FV3 1248480 1522500 2300000 FV3 5070980 Rentabilidade Total do Investimento 102 IRRi 789 para os três meses Taxa Equivalente Composta de Rentabilidade Anual IRR 1 256 ao mês Observe que mesmo que os fluxos de caixa ocorram exatamente como o previsto para cada ano a impossibilidade de reinvestilos à IRR calculada de 284 ao mês promove a redução da rentabilidade da aplicação para 256 ao mês Assim para que a taxa de rentabilidade calculada seja verdadeira todos os fluxos de caixa gerados devem ser reaplicados pela própria IRR da operação até o final do prazo Muitas alternativas de aplicações financeiras economicamente atraentes em determinado momento poderão ter seus retornos reduzidos em épocas posteriores Para tanto basta tão somente ocorrer uma diminuição nos percentuais das taxas de reaplicação dos fluxos de caixa ao longo do tempo Se a decisão de aceitar determinado investimento for tomada exclusivamente a partir do método da IRR é importante que se esteja atento com relação ao reinvestimento dos fluxos intermediários de caixa Valor presente líquido NPV2 O método do valor presente líquido para análise dos fluxos de caixa é obtido pela diferença entre o valor presente dos benefícios ou pagamentos previstos de caixa e o valor presente do fluxo de caixa inicial valor do investimento do empréstimo ou do financiamento A identidade de cálculo do NPV é expressa da forma seguinte onde FCj representa o valor de entrada ou saída de caixa previsto para cada intervalo de tempo FC0 fluxo de caixa verificado no momento zero momento inicial podendo ser um investimento empréstimo ou financiamento Comparativamente ao método da IRR o valor presente líquido exige a definição prévia da taxa de desconto a ser empregada na atualização dos fluxos de caixa Na verdade o NPV não identifica diretamente a taxa de rentabilidade ou custo da operação financeira ao descontar todos os fluxos de entradas e saídas de caixa por uma taxa de desconto mínima aceitável o NPV denota em última análise o resultado econômico da alternativa financeira expressa em moeda atualizada O NPV é caracteristicamente referenciado ao momento inicial data zero Ilustrativamente admita que uma empresa esteja avaliando um investimento no valor de 75000000 do qual esperamse benefícios anuais de caixa de 25000000 no primeiro ano 32000000 no segundo ano 38000000 no terceiro ano e 28000000 no quarto ano Admitindose que a empresa tenha definido em 20 ao ano a taxa de desconto a ser aplicada aos fluxos de caixa do investimento temse a seguinte representação e cálculo do NPV NPV 20833333 22222222 21990741 13503086 75000000 NPV 78549382 75000000 NPV 3549382 Observe que mesmo descontando os fluxos de caixa pela taxa de 20 ao ano conforme definida previamente o NPV é superior a zero indicando que a alternativa de investimento oferece uma taxa de rentabilidade anual superior aos 20 Nesta situação evidentemente o investimento apresentase atraente indicando sua aceitação econômica Ao se elevar a taxa de desconto para 30 ao ano por exemplo o valor presente líquido apresentase negativo indicando que a rentabilidade implícita do investimento é inferior à taxa de desconto mínima exigida Ou seja NPV 19230769 18934911 17296313 9803578 75000000 NPV 65265571 75000000 NPV 9734429 1021 A Figura 101 a seguir ilustra graficamente o comportamento do valor presente líquido NPV do investimento admitindo diferentes taxas de desconto Figura 101 NPV para diferentes taxas de descontos Observe na figura que o NPV decresce à medida que se eleva a taxa de desconto dos fluxos de caixa do investimento Admitindo uma taxa de desconto de 0 o NPV é determinado pela simples diferença entre os benefícios anuais totais de caixa e o montante do investimento inicial isto é NPV i 0 25000000 32000000 38000000 28000000 75000000 NPV i 0 123000000 75000000 48000000 À medida que a taxa de desconto vai se distanciando de 0 o valor presente dos fluxos de caixa decresce proporcionando em consequência um NPV cada vez menor Até a taxa de 224 ao ano verificase que o NPV é positivo indicando atratividade do investimento A partir desta taxa o valor presente líquido passa a ser negativo demonstrando que o projeto é incapaz de produzir uma riqueza econômica positiva para uma taxa de desconto superior aos 224 ao ano A taxa de desconto de 224 que produz um NPV igual a zero o valor presente das entradas de caixa igualase ao das saídas no momento zero representa a taxa interna de retorno do investimento conforme demonstrado no item anterior Dessa maneira o interesse econômico pela alternativa existe desde que a taxa de desconto definida como mínima aceitável seja inferior ou igual a 224 ao ano Se a taxa exceder esse percentual a alternativa é considerada sem atratividade econômica o resultado do NPV é negativo sugerindo que a taxa de rentabilidade IRR oferecida pela decisão é inferior àquela definida como mínima aceitável Dessa maneira podese generalizar o critério de decisão do método do NPV pela seguinte regra toda vez em que o NPV for igual ou superior a zero o investimento pode ser aceito caso contrário existe indicação de rejeição Comparações entre NPV e IRR Com o intuito de melhor compreender a relação entre o NPV e a IRR é interessante descrever no gráfico os resultados dos fluxos de caixa da operação financeira descrita e interpretada sob dois ângulos aplicação de capital e empréstimo de capital Figura 102 Extensões dos métodos do NPV e IRR O gráfico A conforme demonstrado na Figura 101 é representativo de um aplicador de capital que apura uma taxa de retorno de 224 ao ano O gráfico B por outro lado reflete a posição de um tomador de capital que obtém emprestados recursos a um custo de 224 ao ano A taxa interna de retorno definida como a taxa de juros que iguala o NPV a zero é representada graficamente pelo ponto em que a linha do valor presente líquido corta o eixo horizontal Nas duas ilustrações gráficas a IRR é igual a 224 No gráfico A o NPV decresce à medida que a taxa de desconto se eleva representando valores positivos até 224 Para uma taxa de desconto igual a 224 o NPV anulase indicando a IRR do fluxo de caixa Apesar de o gráfico B ter sido elaborado com base no mesmo exemplo os valores de caixa apresentam sinais invertidos resultando em curva também inversa em comparação ao gráfico A Essa taxa periódica de 224 para quem toma capital emprestado é a taxa mínima que deve ser auferida na aplicação desses recursos Taxas de desconto menores que 224 ao ano produzem NPV negativo e maiores que 224 ao ano NPV positivo Em conclusão a IRR de 224 é a menor taxa de desconto que produz um valor presente líquido positivo do tomador do empréstimo 1 Exemplo Uma empresa está avaliando um investimento em uma nova unidade de negócios O valor a ser investido no momento zero atinge 100000000 prevendose os seguintes fluxos de caixa ao final dos próximos 4 anos 15000000 20000000 90000000 e 110000000 Admitindo que a empresa tenha definido em 20 ao ano a taxa de desconto dos fluxos esperados de caixa determinar o valor presente líquido Solução NPV 12500000 13888889 52083333 53047840 100000000 NPV 31520062 O NPV é positivo indicando a atratividade econômica do projeto Sendo o NPV 0 podese concluir que a rentabilidade do investimento medida pela IRR é superior à taxa de desconto exigida de 20 ao ano Mais especificamente a IRR do investimento alcança Resolvendose com o auxílio de uma calculadora financeira IRR i 312 ao ano Dessa forma os dois métodos de análise dos fluxos de caixa indicam a aceitação do investimento O NPV oferece resultados atualizados maiores que zero significando que o ganho oferecido pela proposta excede ao mínimo desejado pela empresa O método da IRR indica que o investimento produz uma taxa de rentabilidade periódica superior à taxa de desconto mínima aceitável Deve ser ressaltado ainda que o método do NPV identicamente ao da IRR pressupõe implicitamente que os fluxos intermediários de caixa da alternativa devem ser reinvestidos à taxa de desconto utilizada No entanto por trabalhar com uma taxa de juros definida pelo próprio investidor o método nesse aspecto é mais seguro que o anterior em que a taxa de 103 104 reinvestimento é a própria IRR do projeto e não a taxa de desconto mínima aceitável estabelecida para o investimento Índice de lucratividade IL e taxa de rentabilidade TR Esses métodos de análise de investimentos consideram também a metodologia do fluxo de caixa descontado O índice de lucratividade IL é medido pela relação entre o valor presente dos fluxos de entrada de caixa e os de saída de caixa No exemplo ilustrativo dado podese calcular o valor presente dos benefícios de caixa do investimento para a taxa de atratividade de 20 aa da forma seguinte PV Entradas 131520062 Sendo de 100000000 o desembolso previsto para o investimento apurase o índice de lucratividade de 1315 ou seja IL 1315 Esse resultado indica para cada 1 aplicado na alternativa quanto o projeto produziu de retorno expressos todos os resultados de caixa em valores atualizados pela taxa mínima de atratividade Quando o índice de lucratividade apresenta um valor maior que 10 indica a atratividade econômica do investimento O valor presente das entradas de caixa é superior ao dos desembolsos movendo um NPV positivo Ao contrário ao assumir um valor menor que 10 o IL revela o desinteresse econômico pela alternativa de investimentos a qual produz um valor presente líquido negativo A taxa de rentabilidade TR por outro lado consiste na relação entre o NPV determinado a partir da taxa de atratividade e o valor presente dos desembolsos de capital No exemplo ilustrativo em consideração a taxa de rentabilidade do investimento atinge a 3152 ou seja Os dois métodos são bastante próximos promovendo as mesmas decisões com relação à atratividade de uma alternativa de investimento Comparação entre os métodos de análise de investimentos projetos independentes Uma alternativa de investimento de capital quando tratada individualmente é considerada como economicamente atraente ao apresentar um NPV positivo ou uma IRR superior no mínimo igual à taxa mínima de retorno requerida ou um IL maior ou igual a 10 ou ainda uma TR positiva Para um único projeto de investimento ou para projetos classificados como independentes que podem ser implementados ao mesmo tempo os métodos de análise que levam em conta os fluxos de caixa descontados convergem sempre para a mesma decisão Ilustrativamente admita o seguinte investimento Sendo de 16 ao ano a taxa de atratividade definida para o investimento são obtidos os seguintes resultados dos métodos de avaliação NPV 134300 120000 NPV 14300 IRRi 202 IL 1119 TR 119 Pelos resultados dos métodos de avaliação econômica o investimento proposto é considerado atraente por todos Apresenta um NPV positivo indicando um retorno em excesso em relação ao ganho mínimo exigido A IRR supera a taxa de atratividade definida para a alternativa revelando uma rentabilidade esperada acima da mínima desejada O IL é maior que 10 que representa o ponto de corte entre aceitaçãorejeição deste método Um IL maior que 10 confirma conforme foi comentado os resultados positivos demonstrados pelo NPV e IRR Em consequência a TR é também positiva atingindo a 119 Dessa maneira trabalhandose com um único projeto de investimento a aplicação dos métodos de avaliação é processada de maneira bastante simples tendo como característica principal a total coincidência em termos de decisão aceitarrejeitar Exemplo Admita três projetos de investimento com as seguintes estimativas de fluxos de caixa Fluxos de Caixa Projeto Investimento Ano 1 Ano 2 Ano 3 Ano 4 Ano 5 A 10000 3000 3400 3500 3500 3800 B 20000 6800 6800 6600 6400 6400 C 18000 5000 5400 5800 6000 6200 As alternativas de investimento são independentes isto é não há restrições de serem aceitas ao mesmo tempo desde que haja atratividade econômica A taxa de retorno requerida é de 18 aa Determinar os resultados pelos métodos de análise de investimento NPV IRR IL e TR Solução Projeto NPV IRR IL TR Decisão A 580 204 aa 1058 58 Aceitar B 760 197 aa 1038 38 Aceitar 105 1051 C 550 167 aa 0969 31 Rejeitar Comparação entre os métodos de análise de investimentos projetos mutuamente excludentes Ao se considerar a comparação com alternativas de investimentos não independentes podem ocorrer situações conflitantes não revelando os métodos de análise a mesma indicação econômica As razões que explicam essa divergência dos métodos são disparidade de tamanho dos investimentos e diferenças com relação à evolução dos fluxos de caixa ao longo do tempo Na situação de conflito o método do valor presente líquido é aceito como o que produz as melhores recomendações A utilização da taxa interna de retorno identifica algumas limitações em relação à seleção das alternativas não indicando necessariamente a melhor alternativa Investimentos com diferentes tamanhos Para ilustrar as características dessa situação admita as duas alternativas de investimento identificadas a seguir A taxa de retorno requerida para esses investimentos é de 20 ao ano Investimento Ano 0 Ano 1 Ano 2 Ano 3 NPV IRR A 450 320 230 180 806 325 B 900 360 250 900 944 256 Ao considerar as duas alternativas como independentes a decisão com relação a um investimento não afeta o outro não há nenhum conflito nos resultados apurados Todos os métodos NPV e IRR convergem para a atratividade econômica dos dois investimentos por meio do NPV positivo e da IRR maior que a taxa de retorno exigida Não se verificando restrições de natureza técnica ou orçamentária os dois investimentos podem ser aceitos implementados simultaneamente como decorrência dos resultados positivos computados pelos métodos de avaliação Por outro lado se os investimentos forem classificados como mutuamente excludentes sabese que a escolha de uma alternativa elimina a possibilidade de se implementar a outra mesmo que todas demonstrem atratividade econômica Avaliandose os resultados calculados dos investimentos evidenciase uma situação decisorial de conflito Pelo método do NPV a alternativa B apresentase como a mais atraente diante de seu maior montante esperado de riqueza O método da IRR de maneira inversa seleciona o investimento A como o mais atraente proporcionando a melhor taxa percentual de retorno Essa dualidade de interpretação na seleção da melhor alternativa decorre em razão principalmente de o método da IRR ser expresso em termos relativos taxa percentual e não em valores absolutos como é característica do valor presente líquido Observe que o desembolso de capital de B é o dobro de A e a IRR por se apresentar referenciada em porcentagem não leva em conta essa disparidade de tamanho Em termos de riqueza absoluta inerente ao método do NPV é mais atraente apurarse um resultado de 256 sobre 900 do que de 325 sobre 450 Outra maneira bastante esclarecedora de enfocar esse problema é efetuar uma análise incremental dos investimentos A diferença entre os projetos é que B exige um investimento de 450 maior prometendo em consequência fluxos de caixa adicionais de 40 20 e 720 respectivamente ao final dos próximos três anos isto é Ano 0 Ano 1 Ano 2 Ano 3 Invest B 900 360 250 900 Invest A 450 320 230 180 Valores Incrementais B A 450 40 20 720 Apurandose o valor presente líquido e a taxa interna de retorno do investimento incremental chegase aos seguintes resultados positivos em termos de atratividade dos investimentos NPV 138 valor presente líquido incremental IRR 213 aa taxa interna de retorno incremental O NPV incremental define a riqueza adicional acrescida pelo investimento B de maior escala Em outras palavras é o custo máximo a que o investimento B pode elevarse para que mantenha sua preferência em relação a A A IRR incremental representa a taxa de juros que torna os dois investimentos equivalentes em termos de atratividade econômica produzindo o mesmo valor presente líquido Essa taxa é conhecida como intersecção de Fischer e para a ilustração em desenvolvimento têmse 1052 1053 Para uma taxa de desconto de até 213 aa o investimento B é preferível a A apresentando maior riqueza líquida A partir de 213 aa no entanto o investimento A passa a ser o mais atraente Em termos gráficos temse o seguinte comportamento dos investimentos A e B Figura 103 Intersecção de Fischer projetos mutuamente excludentes Como a taxa mínima de retorno exigida para os investimentos é de 20 aa a alternativa B é a que promove para esta taxa de desconto o maior valor presente líquido sendo portanto a melhor opção econômica de investimento Na situação descrita de conflito decisorial com disparidade de tamanho o método do NPV é aceito como o que produz as melhores recomendações A aplicação da IRR identifica algumas dificuldades em relação à seleção das alternativas pois o método não leva em conta a escala do investimento NPV e restrições de capital Quando há disparidade de tamanho a melhor decisão é tomada selecionandose a alternativa com maior valor presente líquido Na ilustração anterior demonstrouse que o método do NPV leva em consideração a escala do investimento destacandose dos demais critérios de avaliação econômica Por outro lado em situações que envolvem investimentos com disparidade mas que produzem o mesmo valor presente líquido a orientação de superioridade do método do NPV pode ser questionada Para ilustrar essa situação são apresentados a seguir os investimentos C e D para os quais está definida uma taxa mínima de atratividade de 20 ao período Investimento Ano 0 Ano 1 Ano 2 Ano 3 Ano 4 NPV C 3000 1400 1600 2000 435 645 D 6000 2200 1500 6152 435 645 Pelo método do NPV os dois investimentos são atraentes e economicamente equivalentes pois produzem o mesmo resultado líquido no momento presente A comparação envolve dois investimentos com diferentes tamanhos o investimento D exige um desembolso de capital duas vezes maior que C que produzem o mesmo valor presente líquido Em condições de restrição de capital é necessário levar em conta a relação do valor presente líquido com o volume de recursos demandado pelo investimento de forma a apurarse o retorno oferecido por unidade de capital aplicado Investimentos de mesma escala Em algumas situações de seleção de investimentos podese deparar com alternativas que apresentam diferentes e conflitantes resultados econômicos mas demandam o mesmo valor de desembolso inicial Nesses casos não há investimento incremental conforme foi discutido ao se tratar de projetos com disparidade de tamanho A análise é efetuada sobre o comportamento dos fluxos de caixa ao longo do tempo Considere por exemplo os investimentos E e F descritos a seguir A taxa mínima de retorno é fixada em 20 ao ano Investimento Ano 0 Ano 1 Ano 2 NPV IRR E 5000 6500 1000 1111 439 F 5000 800 8200 1361 363 Admitindo inicialmente que os investimentos sejam independentes isto é podem ser implementados ao mesmo tempo a orientação dos métodos de análise diante dos resultados é de aceitação das duas propostas As alternativas E e F apresentam NPV positivos e a IRR de cada investimento supera a taxa mínima requerida de retorno No entanto ao se considerar os investimentos como mutuamente excludentes surge uma divergência técnica de decisão O método do NPV seleciona o investimento F como o mais atraente maior riqueza absoluta e o método da IRR indica E como o mais desejável maior taxa percentual de retorno Os investimentos apresentam algumas características que os diferenciam da situação anterior com distintas escalas Os dois projetos demandam o mesmo volume de desembolso inicial 500 mas apresentam nítidas diferenças no perfil de formação de seus benefícios de caixa ao longo do tempo No projeto E os fluxos de caixa comportamse de maneira decrescente no tempo e no projeto F de forma oposta os fluxos de caixa são crescentes Essa dualidade de comportamento explica a natureza do conflito proporcionada pelos métodos de análise no tocante à seleção da melhor alternativa de investimento Os métodos quantitativos trazem implícito o pressuposto de reinvestimento dos fluxos de caixa pela taxa de desconto utilizada método do NPV ou pela própria taxa de retorno calculada método da IRR Nessas condições de reinvestimento automático o método que apresentar fluxos de caixa decrescentes valores maiores no início é levado a determinar a maior IRR Em verdade quanto mais elevados se apresentarem os fluxos de caixa nos momentos iniciais do investimento maior é a IRR calculada uma vez que se assume que os valores de caixa são reinvestidos a esta taxa de juros O mesmo não se verifica com o método do NPV O método admite reinvestimento à taxa de desconto utilizada geralmente inferior à IRR calculada Fluxos de caixa mais elevados em períodos mais distantes promovem maior valor presente quando descontados pela taxa mínima de atratividade do que quando adotada a taxa interna de retorno Pela intersecção de Fischer identificada pela taxa interna de retorno incremental F E chegase à taxa de juros de indiferença de 263 ao ano ou seja Ano 0 Ano 1 Ano 2 IRR Fluxo de Caixa Incremental F E 0 5700 7200 263 Graficamente temse a seguinte representação 106 Figura 104 Decisões conflitantes Até a taxa de investimento de 263 ponto de indiferença o projeto F é o mais desejável apurando maior valor presente líquido A partir dessa taxa até 439 o investimento E passa a ser o mais atraente Se for de 20 ao ano a taxa de atratividade para as propostas o projeto F de maior NPV se destacará como o mais desejável No raciocínio da decisão admitese como mais provável o reinvestimento dos fluxos de caixa à taxa de retorno requerida do que à IRR calculada Observe que uma vez mais a análise se desenvolve com base na taxa de reinvestimento dos fluxos de caixa Custo equivalente anual O uso do método do custo equivalente anual é amplamente adotado nas decisões financeiras citandose principalmente aquelas envolvendo comprar ou arrendar alternativas com diferentes vidas úteis reposição de ativos entre outras Considere ilustrativamente um investimento de 50000000 com uma vida útil esperada de 6 anos Os fluxos de custos anuais que apresentam um valor presente de 50000000 são identificados como equivalentes anuais do investimento Para uma taxa de 14 aa temse PV PMT FPV i n 50000000 PMT FPV 14 6 50000000 PMT PMT 50000000 PMT 50000000 0257157 PMT 12857875 O investimento para as condições estabelecidas tornase indiferente se realizado com um desembolso imediato de 50000000 ou implementado mediante seis aplicações anuais de 12857875 que representam o custo equivalente anual da alternativa Considere outro exemplo para tornar mais claras as aplicações do método do custo equivalente anual Admita que uma empresa tenha adquirido um caminhão para entrega de suas mercadorias por 6000000 A vida útil estimada desse veículo é de 5 anos apresentando depois um valor residual equivalente a 20 do valor de compra Os custos operacionais anuais de manutenção e operação do caminhão estão previstos em 820000ano 107 Pelas informações podese apurar o custo equivalente anual da decisão de compra do veículo admitindose uma taxa de juro de 12 aa Investimento Líquido Valor Bruto do Caminhão 6000000 Valor Residual Atualizado 20 60000001125 680910 Investimento Líquido 5319090 Custo Equivalente Anual Custo Anual do Investimento PMT 5319090FPV 12 5 1475570 Custo Operacional 820000 Custo Equivalente Anual 2295570 A decisão de compra do caminhão promove pelos resultados apurados um custo equivalente de 2295570ano para a empresa Uma eventual alternativa de terceirização das atividades de transporte deve ser avaliada pela comparação destes custos equivalentes e os desembolsos periódicos exigidos pelos serviços contratados Exemplo Determinar os fluxos de caixa constantes equivalentes a partir da série de valores de caixa não uniformes conforme ilustração a seguir Considere uma taxa de juros de 16 ao ano Solução Para o cálculo do fluxo equivalente anual de caixa é necessário inicialmente apurarse o valor presente da série obtendose posteriormente o PMT equivalente PV 205919 Logo o fluxo equivalente anual atinge PMT 205919FPV 16 7 PMT 205919 PMT 205919 0247613 PMT 50988 Substituição de ativos A substituição referese basicamente à troca de ativos atualmente em uso equipamentos máquinas veículos etc considerados de vida finita por outros economicamente mais atraentes A decisão de substituição pode ser justificada por inúmeras razões citandose altos custos de manutenção e operação obsolescência tecnológica perda de eficiência operacional inadequação etc Como regra geral um ativo deve ser mantido enquanto produzir um valor presente dos benefícios de caixa maior que o valor presente de seus desembolsos operacionais custos O custo total periódico de um ativo é formado pela soma do custo anual do investimento e de seus custos de operação e manutenção Este custo total tende a reduzirse com o passar do tempo porém até certo limite A partir deste ponto mínimo é esperado que o custo total do ativo comece a elevarse mantendo normalmente esta tendência conforme for ficando mais velho Dessa maneira o uso econômico de um ativo deve estenderse enquanto seu custo total estiver diminuindo de acordo com o ilustrado na Figura 103 Figura 105 Comportamento esperado dos custos Ilustrativamente admita um veículo utilitário cujo valor novo é de 4200000 O veículo é utilizado na distribuição de produtos de uma indústria alimentícia e apresenta os seguintes valores esperados para os próximos cinco anos Valor de Revenda Custos Operacionais Ano 1 3500000 1080000 Ano 2 3110000 1440000 Ano 3 2670000 1960000 Ano 4 2050000 2690000 Ano 5 1540000 3410000 Para uma taxa de 12 aa é desenvolvida a seguir uma avaliação da vida econômica do veículo 1 Investimento Bruto CustoAno 2 Valor de Revenda CustoAno 3 1 2 Investimento Líquido CustoAno 4 Custos Operacionais Ano 5 3 4 Custo Total Anual Ano Ano 1 4704000 3500000 1204000 1080000 2284000 1 2 3 Ano 2 2485132 1466981 1018151 1249811 2267962 Ano 3 1748660 791252 957408 1460275 2417683 Ano 4 1382785 428931 953854 1717576 2671430 Ano 5 1165121 242411 922710 1983980 2906690 Investimento Bruto representa o custo equivalente anual do valor do bem 4200000 É obtido para cada ano considerado pela expressão 4200000 PMT FPV 12 n Valor de Revenda equivalente anual do valor residual do veículo É determinado pela expressão do montante FV ou seja FV PMT FFV i n Valor de Revenda PMT FFV 12 n Custos Operacionais 1o ano 1080000ano 2o ano PMT 2112245FPV 12 2 1249811 3o ano PMT 3507334FPV 12 3 1460275 e assim por diante A coluna 5 demonstra o custo equivalente anual do veículo o qual atinge seu valor mínimo no segundo ano A decisão de manter o veículo por dois anos é a mais econômica para a empresa revelando a vida econômica ótima do ativo Exemplo Uma empresa está avaliando o melhor momento de venda de uma máquina A máquina foi adquirida há dois anos restando ainda mais três anos de vida física útil Os resultados operacionais anuais projetados para a máquina são os seguintes Ano 1 Ano 2 Ano 3 Benefícios de Caixa 7600000 4400000 1800000 Valor Residual 5400000 2300000 nulo 1071 a b c d a O preço de venda da máquina no mercado é de 11300000 É esperada uma forte depreciação de seu valor pelo uso A taxa de atratividade considerada para a decisão é de 15 aa Em que momento deve a máquina ser vendida Solução A decisão deve levar em conta os resultados de caixa atualizados da máquina para cada uma das possíveis alternativas de venda Vender a Máquina Imediatamente PV 11300000 Manter a Máquina por mais 1 Ano Manter a Máquina por mais 2 Anos Manter a Máquina por mais 3 Anos A opção economicamente mais atraente é a de manter a máquina por mais dois anos e depois vendêla por 2300000 Essa decisão é a que apresenta o maior valor presente em excesso ao preço de venda imediato Cálculo do custo de manter um ativo usado Nas decisões de substituição é importante conhecerse o custo de manter um ativo usado e comparar esse valor com o de adquirir um ativo novo Para ilustrar admita um ativo adquirido há três anos que apresenta um valor residual valor de venda previsto ao final de sua vida útil de 1400000 Esse ativo tem mais sete anos de vida útil e um custo equivalente anual de operação de 3800000 Seu valor atual está estimado em 2000000 A taxa de desconto utilizada nessas decisões é de 12 aa Determinar o custo equivalente anual desse ativo Solução Custo Equivalente do Investimento 2000000 PMT FPV 12 7 PMT 2000000FPV 12 7 PMT 438240ano Valor Residual Equivalente Anual 1400000 PMT FFV 12 7 PMT 138760ano Custo Total Equivalente 438240 138760 3800000 Custo Total Equivalente 4099480ano b 1072 a O cálculo do custo total pode também ser obtido pela expressão PMT 2000000FPV 12 7 1400000FFV 12 7 3800000 PMT 438240 138760 3800000 PMT 4099480ano Admita que um fabricante ofereça à empresa um novo equipamento para substituição pelo valor de 11000000 e vida útil estimada de 10 anos O valor residual desse novo ativo é de 800000 e o custo anual de operação atinge 2200000 Determinar o seu custo total equivalente Solução PMT 11000000FPV 12 10 800000FFV 12 10 2200000 PMT 1946830 45590 2200000 PMT 4101240ano O custo anual equivalente de substituir o ativo usado é maior que o custo de manter o ativo em operação justificandose o desinteresse econômico pela substituição O menor investimento e o maior valor residual do ativo usado compensaram o seu custo de operação mais elevado proporcionando um menor custo equivalente anual É importante destacar que o exemplo ilustrativo não considerou os efeitos fiscais sobre os resultados contábeis de alienação do bem fixo assim como sobre as diferenças de despesas operacionais e depreciação A demonstração visou preferencialmente destacar os cálculos de custo equivalente direcionados às decisões de substituição de ativos Vidas diferentes nas decisões de substituição de ativos Para ilustrar os efeitos de diferentes vidas estimadas dos ativos sobre as decisões de substituição admita que uma empresa esteja avaliando trocar duas máquinas velhas por uma nova com maior agregação tecnológica As informações básicas dos ativos são apresentadas a seguir Máquinas Usadas Valor Contábil Líquido descontada a depreciação 9000000 Vida Útil Estimada 3 anos Custos Operacionais 45000000ano Não se prevê valor residual dessas máquinas ao final da vida útil Máquinas Novas Valor Total de Aquisição 58000000 Vida Útil Estimada 5 anos Custos Operacionais 250000ano A empresa adota a depreciação linear para seus ativos fixos A taxa de desconto para esta decisão de substituição é de 12 Pedese calcular Custo equivalente anual das duas máquinas usadas Solução 1073 b c PMT 9000000FPV 12 3 45000000 PMT 3747140 45000000 48747140ano Custo equivalente anual da máquina nova sem os efeitos fiscais Solução PMT 58000000FPV 12 5 5000000FFV 12 5 25000000 PMT 40302710ano Comparação entre os custos equivalentes ΔPMT PMT Máq Nova PMT Máq Usada ΔPMT 40302710 48747140 8444430 O custo equivalente anual de adquirir uma máquina nova é 8444430 maior que o das duas máquinas usadas A decisão de substituição de duas máquinas antigas por uma nova envolve no exemplo ilustrativo durações diferentes as máquinas usadas têm vida prevista de 3 anos e a nova de 5 anos Assim o custo de 48747140ano das máquinas usadas equivale a sua utilização por 3 anos e o custo de 40302710 da máquina nova equivale a 5 anos de duração Um enfoque geralmente usado para essa situação é o de admitir que o custo equivalente anual calculado para cada decisão se repita indeterminadamente mantendose o uso das máquinas por um tempo indefinido Em outras palavras as opções de compra podem ser repetidas ao mesmo custo por um tempo bastante longo Mantida essa hipótese os valores podem ser comparados e tomada a decisão de escolha da alternativa de mais baixo custo equivalente anual Uma limitação desse enfoque mais simplificado é a possibilidade de surgimento no futuro de um maquinário mais eficiente bem diferente dos atuais trazendo relevantes alterações nos fluxos de caixa da empresa Nesse caso de possível substituição futura dos ativos deve a empresa incorporar em seus cálculos os novos resultados esperados Análise do momento da substituição Admita que uma empresa esteja avaliando a atratividade de substituição de uma máquina usada por uma nova Se decidir manter a máquina atual irá gastar anualmente e incorrerá em custos crescentes para sua manutenção e reforma A máquina em uso tem uma vida útil estimada de quatro anos e suas estimativas de resultados e custos estão a seguir Ano Custos Anuais Valor Residual Atual 1250000 1 340000 810000 2 620000 440000 3 890000 300000 4 1300000 O preço efetivo de revenda de mercado da máquina usada segue o valor residual previsto Considere por simplificação que não há Imposto de Renda A máquina nova é oferecida à empresa por 2550000 com vida útil prevista de oito anos São esperados gastos anuais de manutenção de 300000 durante toda a sua duração O valor residual ao final do 8o ano está estimado em 640000 Para um custo de oportunidade de 12 aa em que momento deve a empresa substituir a máquina usada Solução Custo Equivalente Anual da Máquina Nova Custo Equivalente Máquina PMT 2550000FPV 12 8 51332 Custo Equivalente Manutenção PMT 30000 Valor Residual PMT 640000FFV 12 8 5203 Custo Equivalente Anual 76129 Custo Equivalente da Máquina Usada Venda daqui a 1 ano Custo Final do 1o Ano 830360 112 930000 Venda daqui a 2 anos Custo ao Final do 2o Ano 970710 112 1087200 Venda daqui a 3 anos Custo ao Final do 3o Ano 966790 112 1082800 Venda daqui a 4 anos Custo ao Final do 4o Ano 1460710 112 1636000 Os custos de manter a máquina usada são crescentes e superiores aos da máquina nova durante toda a vida estimada de quatro anos A recomendação é a de substituição imediata da máquina usada Exercícios resolvidos 1 Estão sendo avaliadas quatro propostas de investimento cujas informações básicas são apresentadas a seguir Proposta Investimento Na Data Zero Fluxos Esperados de Caixa Ano 1 Ano 2 Ano 3 Ano 4 A 39000000 21000000 18000000 12000000 10000000 B 58000000 9000000 13000000 47000000 71000000 C 26000000 4000000 4000000 a b 2 b 20000000 20000000 D 85000000 52000000 41000000 39000000 39000000 Pedese determinar a IRR e o NPV de cada projeto admitindo uma taxa de desconto mínima aceitável de 25 ao ano Indique com base nesse retorno exigido as propostas economicamente aceitáveis se a taxa de desconto exigida se elevar para 35 quais propostas seriam aceitas Solução Proposta IRR NPV Aceitar ARejeitar R A 243 aa 440000 R B 321 aa 10665600 A C 220 aa 1808000 R D 378 aa 18782400 A As propostas A e C com NPV negativos indicam uma rentabilidade menor que a taxa mínima aceitável As propostas B e D são as que apresentam atratividade econômica tanto pelo método da IRR IRR 25 como do NPV NPV 0 Elevandose para 35 aa a taxa de desconto a ser aplicada aos fluxos de caixa somente a proposta D mantém a atratividade econômica promovendo uma taxa de rentabilidade IRR maior que a desejada Certa alternativa de investimento requer um dispêndio integral de capital de 15000000 estimandose um retorno de 4500000 6000000 7000000 8000000 e 10000000 respectivamente ao final de cada um dos próximos 5 anos Admitindose que os quatro primeiros fluxos de caixa possam ser reinvestidos até o prazo final de vida da alternativa às taxas de 28 26 24 e 22 respectivamente pedese determinar a IRR dessa operação considerando as diferentes taxas de reinvestimento Solução O montante acumulado dos fluxos de caixa ao final do 5o ano considerandose as taxas de reinvestimentos desses valores atinge 3 FV 4500000 1284 6000000 1263 7000000 1242 8000000 122 10000000 FV 12079596 12002256 10763200 9760000 10000000 FV 54605052 Logo a alternativa assume a seguinte configuração FV PV 1 in 54605052 15000000 1 i5 1 i5 3640337 1 i 1295 i 0295 ou 295 ao ano Essa taxa de rentabilidade representa a taxa interna de retorno da alternativa de investimento ajustada à remuneração prevista no reinvestimento dos fluxos intermediários de caixa Determinada empresa transportadora está avaliando a compra de um caminhão por 6000000 O veículo será usado durante 5 anos após o que prevêse um valor de revenda de 720000 A empresa estima ainda um custo anual de manutenção combustível etc de 2400000 no primeiro ano crescendo esse gasto aproximadamente 10 ao ano Segundo avaliação da empresa são esperados benefícios líquidos de caixa gerados pelo caminhão de 6000000 5600000 4800000 4000000 e 3600000 respectivamente nos próximos 5 anos Para uma taxa de desconto de 12 ao ano demonstrar se é economicamente interessante a compra desse caminhão Solução Com base no método do NPV a aquisição do caminhão nas condições apresentadas é atraente dado o seu resultado líquido atualizado ser positivo Em outras palavras a compra do veículo produz uma riqueza econômica ao investidor Ou seja PV das Entradas Benefícios de Caixa 4 PV 5357143 4464286 3416545 2542072 2042737 PV 17822783 PV das Saídas de Caixa PV 6000000 2142857 2104592 2067010 2030100 1993847 408547 PV 16338406 408547 PV 15929860 A proposta é vantajosa Esta conclusão está implícita no valor presente líquido positivo ou seja NPV 17822783 15929860 NPV 1892923 A rentabilidade oferecida pelo caminhão excede a taxa de desconto mínima aceitável Uma empresa possui um equipamento em uso avaliado em 3400000 com vida útil estimada de 6 anos Os custos anuais de manutenção desse ativo atingem 390000ano Não há valor residual A direção da empresa está avaliando os custos de aquisição de um novo equipamento para substituir 3 4 1 2 5 o usado O preço é de 4000000 e seus custos anuais de operação são de 500000 Também não se prevê valor residual para esse novo ativo A vida útil estimada do novo equipamento é de 12 anos A empresa entende que ao adquirir o novo ativo imediatamente somente o fará ao final da vida útil do equipamento em uso Se você admitir que a alternativa de compra possa ser repetida indeterminadamente ao mesmo custo indique a decisão economicamente mais atraente manter o ativo atual ou adquirir o novo conforme valores descritos Admita um custo de oportunidade de 12 aa Solução Custo Equivalente de Comprar Novo Ativo PMT 4000000FPV 12 12 500000 1145750 Custo Equivalente do Ativo em Uso PMT 3400000FPV 12 6 390000 1216970 A aquisição do novo equipamento no momento atual é mais econômica apresenta menor custo equivalente anual Em verdade a empresa ao substituir o equipamento existente irá incorrer num custo de 1145750ano indeterminadamente Por outro lado ao protelar a decisão para o 6o ano final da vida útil do equipamento em uso assumirá custos de 1216970ano por 6 anos e a partir do 7o ano 1145750ano indeterminadamente Exercícios propostos Pedese determinar a taxa interna de retorno dos investimentos com os seguintes fluxos de caixa anuais Ano 0 Ano 1 Ano 2 Ano 3 Projeto A 1000000 500000 400000 300000 Projeto B 3000000 900000 1200000 1500000 Projeto C 5000000 3000000 1000000 2000000 Um imóvel é colocado a venda por 36000000 a vista ou em 7 prestações mensais nos seguintes valores as duas primeiras parcelas de 5000000 as duas parcelas seguintes de 7000000 as três últimas parcelas de 8000000 Determinar o custo mensal desta operação expresso pela taxa interna de retorno Uma empresa contrata um financiamento de 2500000 para ser pago em 6 prestações trimestrais iguais e sucessivas no valor de 860000 cada Sabese que a primeira prestação será liquidada ao final do 9o mês dois trimestres de carência Determinar a IRR dessa operação de financiamento Uma empresa leva quatro duplicatas para desconto junto a um banco nos valores de 2800000 6500000 4700000 e 8800000 vencíveis respectivamente em 17 28 34 e 53 dias O banco credita a importância líquida de 21872000 na conta do cliente Determinar a taxa efetiva mensal de juros cobrada pelo banco Considere dois projetos de investimento com os seguintes fluxos anuais de caixa Projeto A Projeto B b 6 a a b c d e f 7 Ano 0 2500000 7000000 Ano 1 1000000 4000000 Ano 2 800000 2000000 Ano 3 600000 2000000 Ano 4 400000 1000000 determinar a taxa interna de retorno de cada investimento sendo de 10 aa a taxa de desconto sugerida calcular o valor presente líquido de cada investimento Indicar a alternativa que deve ser aceita Abaixo são apresentados os NPV de quatro propostas de investimento admitindose diferentes taxas de desconto Taxa de Desconto Projeto A Projeto B Projeto C Projeto D 0 252 500 400 500 4 82 370 264 301 8 02 259 149 137 12 99 163 50 00 16 181 79 343 114 20 252 05 108 210 Pedese se a taxa de desconto mínima aceitável atingir a 16 indicar as alternativas de investimento que podem ser aceitas qual a alternativa que apresenta a maior taxa de rentabilidade periódica qual a IRR da alternativa D o projeto C é mais rentável apresenta maior IRR que o projeto D a IRR do projeto B é maior ou menor que 20 a IRR do projeto A é menor que 8 Suponha os seguintes fluxos anuais de caixa de um investimento Ano Fluxos de Caixa 0 1500000 1 700000 8 9 b d b a c 10 a 2 500000 3 300000 4 200000 5 100000 Determinar os NPVs dos projetos correspondentes às taxas de desconto de 0 5 10 15 e 20 aa Admita um ativo que tenha sido adquirido por 14000000 Este ativo tem vida útil estimada de 7 anos e valor residual de 1500000 ao final da vida Os custos operacionais do ativo atingem a 2000000 no 1o ano crescendo à taxa aritmética constante de 1000000ano Para uma taxa de juro de 12 aa determinar o custo equivalente anual deste ativo Abaixo são apresentados os fluxos de caixa de três projetos de investimentos Diante dessas informações pede se determinar a taxa interna de retorno de cada proposta admitindose uma taxa de retorno requerida de 25 ao ano calcular o valor presente líquido de cada proposta se os projetos forem independentes indicar os projetos selecionados se os projetos são mutuamente excludentes somente um deles pode ser selecionado discuta sobre aquele que você recomendaria Investimento Fluxos de Caixa Projetos Ano 0 Ano 1 Ano 2 Ano 3 Ano 4 Ano 5 A 45000 9000 21000 30000 18000 24000 B 45000 12000 15000 18000 33000 39000 C 75000 24000 21000 15000 60000 135000 Uma empresa está avaliando duas propostas de investimento cujas informações são apresentadas a seguir Projetos Investimento Inicial Fluxos de Caixa Ano 1 Ano 2 Ano 3 Ano 4 I 52000 36000 30000 24000 24000 II 52000 12000 16000 54000 68000 A taxa de retorno exigida pelos investidores é de 30 aa Pedese determinar o valor presente líquido e a taxa interna de retorno de cada projeto admitindo que os projetos possam ser implementados ao mesmo tempo projetos independentes você recomendaria os dois investimentos E na hipótese de serem mutuamente excludentes qual deles seria economicamente mais atraente c qual a taxa de desconto anual que determina o mesmo valor presente líquido para os dois projetos intersecção de Fischer 12 13 14 11 a b c d 15 a b 16 Com base no investimento abaixo pedese determinar valor presente líquido NPV taxa interna de retorno IRR índice de lucratividade IL taxa de rentabilidade IR A taxa de retorno exigida do investimento é de 15 aa Ano 0 Ano 1 Ano 2 Ano 3 Ano 4 Ano 5 12000 2000 4000 4000 6000 6000 Adiante são apresentados os fluxos de caixa dos investimentos W e Z Pedese determinar a taxa de desconto que torna os NPV dos investimentos iguais intersecção de Fischer Investimento Ano 0 Ano 1 Ano 2 Ano 3 W 280 70 110 260 Z 280 180 120 100 Uma empresa deve a um banco três pagamentos vencíveis em 60 90 e 100 dias respectivamente de 470000 640000 e 810000 A dívida foi contraída com uma taxa de juro mensal de 18 A empresa procura o banco para substituir sua dívida por seis pagamentos mensais e iguais vencendo o primeiro em 90 dias e os demais sequencialmente O banco define o valor de cada prestação em 343220 Determinar o custo efetivo mensal cobrado pelo banco na renegociação da dívida Uma determinada compra é efetuada mediante pagamento de 220000 no ato e mais três pagamentos no valor de 306000 cada vencíveis em 2 3 e 5 meses O valor da compra a vista é de 1100000 Determinar o custo efetivo mensal considerado no financiamento Uma empresa está avaliando o seguinte projeto de investimento Ano 0 Ano 1 Ano 2 Ano 3 Ano 4 Ano 5 700000 140000 200000 250000 300000 500000 A empresa avalia como elevar a rentabilidade do investimento para seu padrão de retorno de 15 ao ano Pede se calcular a IRR do investimento admitindo que possa reinvestir os fluxos intermediários de caixa a própria IRR apurada no investimento taxa padrão de retorno da empresa de 15 aa Considere os seguintes fluxos de caixa de dois investimentos Ano Projeto X Projeto W 0 2000000 15000000 1 1500000 10000000 17 18 19 20 a b c d e a 2 1000000 5000000 3 500000 4000000 Pedese determinar a IRR de cada investimento com base no método da IRR a alternativa que se apresenta mais rentável na avaliação pelo método da IRR a característica ignorada dos investimentos a IRR incremental dos investimentos se a taxa de desconto apropriada para os investimentos for de 12 projeto que deve ser escolhido Uma máquina é adquirida por 4500000 e não se prevê valor residual O fabricante dá garantia por um ano A partir do segundo ano o comprador deve proceder à manutenção da máquina sendo previsto um desembolso de 600000 Estimase que este custo cresce à taxa de 50 ao ano Outros custos de operar a máquina são de 320000 por ano devendo crescer de acordo com uma progressão aritmética de razão 200000 Para uma taxa de juros de 10 aa pedese demonstrar o custo total equivalente anual da máquina admitindo se uma vida útil de 8 anos Uma indústria está operando uma máquina há 3 anos restando ainda uma vida útil prevista de 4 anos O custo equivalente anual desta máquina está estimado em 671160 A empresa recebe uma oferta para substituir sua máquina por uma mais moderna O valor da máquina nova é de 2800000 tendo um valor residual de 420000 A vida útil estimada é de 10 anos e os custos anuais de manutenção e operação somam 100000 Para uma taxa de retorno mínima de 12 aa pedese determinar se a empresa deve efetuar a substituição da máquina usada Um equipamento industrial tem ainda previsto 5 anos de vida útil Seu valor atual de venda é de 2500000 Os valores residuais e os custos operacionais para cada um dos próximos 5 anos são apresentados a seguir Pedese determinar o custo total equivalente anual recuperação do investimento e operacional para cada ano de sua vida útil restante admitindo uma taxa de desconto de 14 aa Ano Valor Residual Custo Operacional Anual 1 1730000 480000 2 1500000 520000 3 1140000 580000 4 410000 670000 5 870000 Uma empresa está avaliando a aquisição de uma máquina que será utilizada no processo de produção A máquina custa 7300000 tem uma vida útil de 10 anos e um valor residual previsto de 1240000 Os custos anuais de manutenção da máquina somam 1100000 Para operar a máquina é necessário somente um empregado com salário de 2400hora A máquina tem capacidade de produção de 16 unidades por hora A taxa de desconto utilizada para esta decisão é de 12 aa desenvolver a formulação do custo equivalente anual total da máquina 21 b b 22 a 1 2 3 4 5a b 6a b c d e f 7 qual o custo equivalente da máquina para uma quantidade de produção de 33200 unidades Uma empresa está avaliando a aquisição de uma nova máquina por 160000000 A estimativa é que essa máquina eleve os fluxos de caixa da empresa em 42000000 por ano ao final de cada um dos próximos 5 anos A vida útil estimada da máquina é de 5 anos sem previsão de valor residual A taxa de desconto adequada para o investimento é de 125 aa Sabese ainda que ao final dos anos 2 e 4 serão necessários investimentos de 50000 na máquina para manutenção Pedese avaliar a atratividade econômica em se adquirir a nova máquina Considere os seguintes rendimentos de dois títulos Título A negociado no mercado por 7398000 com prazo de 3 anos O título não prevê pagamento de juros durante sua vida de 3 anos devolvendo somente o seu valor nominal de 100000 ao final do 3o ano Título B negociado no mercado por 9750000 Este título paga juros trimestrais de 962000 durante sua duração de 3 anos Pedese determinar a taxa de retorno IRR anual de cada título admita que os fluxos de caixa do título B possam ser reinvestidos pela taxa de juro de 248 at Determinar a nova taxa interna de retorno IRR do título B Respostas IRRA 1065 aa IRRB 890 aa IRRC 1070 aa IRR 708 am IRR 1465 at 0111 ad 339 am IRRA 551 aa IRRB 1391 aa NPVA 205758 NPVB 474899 indicado Somente B B 12 Sim C apresenta maior IRR Maior Sim NPV 0 300000 NPV 5 122226 NPV 10 26324 NPV 15 151909 NPV 20 259195 b 8 9a b c d 10a c 11 12 13 14 15a b 16a b c d e 17 7470440 IRRA 3078 aa IRRB 3307 aa IRRC 3945 aa NPVA 623712 NPVB 971232 NPVC 341328 Todos Projeto C de maior NPV NPVI 1277084 NPVII 1508589 IRRI 4559 aa IRRII 4197 aa Se independentes os dois projetos são recomendados Se mutuamente excludentes o projeto mais atraente é o de maior valor presente líquido projeto II 3495 aa NPV 180735 IRR 202 aa IL 11506 IR 1506 1614 aa 225 am 128 am 2239 aa 1976 aa IRRX 2886 aa IRRW 1551 aa Investimento X com a maior IRR Diferença de escala dos investimentos IRR incremental 1343 NPVX 492 NPVW 762 CUSTOS EQUIVALENTES ANUAIS Ano Recuperação do Investimento Manutenção Operação Custo Total 1 4950000 320000 5270000 2 2592860 285710 415240 3293810 18 20a b 21 22a b 3 1809520 471300 507310 2788130 4 1419620 660630 596230 2676480 5 1187090 884110 682030 2753230 6 1033230 1163210 764710 2961150 7 924320 1520850 844323 3289493 8 843500 1985490 920900 3749890 PMT Máq Velha 671160 PMT Máq Nova 571620 A máquina nova tem menor custo equivalente anual 19 Ano Recuperação do Investimento1 Custo Operacional Equivalente Anual Custo Total equivalente Anual 1 1120000 480000 1600000 2 817290 498690 1315980 3 745400 522330 1267730 4 774700 552340 1327040 5 728210 600390 1328600 1 25000 FPV 145 Valor residual FFV 145 PMT 2321324 15Q PMT 7301324 Não é interessante NPV 17528222 IRR 794 aa IRRA 1057 aa IRRB 1124 aa IRRB 1078 aa 1 IRR Internal Rate of Return Taxa Interna de Retorno 2 NPV Net Present Value Valor Presente Líquido 11 Matemática Financeira e Títulos de Renda Fixa Os títulos são denominados de renda fixa quando se conhece a forma de rendimentos oferecidos São assim conhecidos por fixarem os rendimentos desde o momento inicial da operação Esses títulos são emitidos geralmente por instituições financeiras sociedades por ações e governos e negociados com os poupadores em geral Alguns exemplos de títulos ou papéis de renda fixa bastante negociados no mercado financeiro são os certificados e recibos de depósitos bancários CDB e RDB debêntures e letras de câmbio Esses papéis podem ser negociados de diversas formas principalmente no que concerne à formação das taxas de juros prazos periodicidade dos rendimentos e tributação Basicamente temse as seguintes modalidades de operação envolvendo títulos de renda fixa as quais são tratadas neste item Os títulos prefixados caracterizamse pela revelação antecipada do valor total da remuneração oferecida ao investidor Ou seja no momento da aplicação o poupador toma conhecimento da taxa total nominal de juro a ser aplicada sobre o capital investido Títulos pósfixados costumam definir previamente a taxa real de juros e o indexador de correção monetária a ser aplicado sobre o capital investido O valor do resgate no entanto somente será conhecido no momento da liquidação da operação em função do 111 1111 a b 1112 comportamento verificado no índice de correção selecionado Certificadosrecibos de depósitos bancários CDBRDB Os certificadosrecibos de depósitos bancários são emitidos por instituições financeiras visando captar recursos para suas operações de empréstimos A diferença básica entre os títulos é que o CDB pode ser negociado no mercado mediante endosso e o RDB é intransferível Sobre os rendimentos desses títulos de renda fixa incide imposto de renda geralmente pago quando de seu resgate Em algumas situações o imposto é pago na fonte isto é no momento da realização do negócio O critério de tributação temse alterado bastante no decorrer do tempo não permitindo que se defina uma regra assim como uma alíquota geral e permanente para essas operações De qualquer forma a incidência do imposto de renda nas negociações com títulos de renda fixa determina a necessidade de conhecer os rendimentos e taxas brutos apurados antes do IR e líquidos estabelecidos após o cálculo do IR A taxa de juros dos papéis de renda fixa é geralmente definida com base na taxa anual efetiva capitalizada por juros compostos A atribuição desta taxa para intervalos de tempo menores é processada por meio da taxa equivalente composta conforme estudada no segundo capítulo CDBRDB com taxas prefixadas Uma taxa prefixada incorpora uma expectativa de inflação mais os juros reais da operação Existe juro real evidentemente se o indexador escolhido refletir adequadamente a evolução dos índices de preços da economia Em alguns momentos da economia brasileira verificamse situações em que o indexador da aplicação situase abaixo da taxa efetiva da inflação consumindo o rendimento real da operação Dessa forma a taxa prefixada é uma taxa nominal que incorpora a priori a correção monetária e o juro real O imposto de renda incidente nessas operações conforme comentado tem sofrido nos últimos anos diversas alterações em sua metodologia de cálculo e alíquotas prejudicando a definição de uma fórmula de cálculo genérica Para as operações com títulos de renda fixa a tributação será tratada de duas maneiras IR Antecipado a incidência da alíquota do IR se reflete sobre o total dos rendimentos nominais da operação O imposto é retido na fonte e cobrado juntamente com a aplicação financeira IR Final o cálculo do IR se verifica identicamente sobre o rendimento total da operação sendo pago no entanto quando de seu resgate A simbologia a ser adotada nas operações com títulos de renda fixa apresenta algumas novidades em relação à que vem sendo adotada em juros compostos principalmente pela interferência da tributação sobre os resultados O tratamento a ser dispensado a estas operações desde que não haja uma orientação explícita segue o lado do investidor Assim temse PV valor da aplicação capital FV valor de resgate montante IR valor do imposto de renda T alíquota de IR ib iL taxa nominal bruta antes IR e líquida após dedução do IR respectivamente rb rL taxa real bruta e líquida respectivamente Taxa prefixada com rendimento final b a a Essa modalidade de operação indica que os encargos são acumulados capitalizados e resgatados somente ao final do prazo de aplicação Graficamente pode ser representada segundo seja a forma de tributação FV PV 1 ib IR T PV ib IR T PV ib O exemplo a seguir é desenvolvido de maneira a ilustrar detalhadamente o processo de cálculo dos resultados de uma operação com títulos de renda fixa Exemplo Suponha uma aplicação de 2700000 efetuada em título de renda fixa pelo prazo de um mês A remuneração do papel é calculada à taxa bruta prefixada de 30 ao ano Com base nessas informações pedese determinar rendimentos brutos de aplicação antes do IR rendimento nominal e real líquido para cada critério de tributação considerado acima Admita uma alíquota de 9 a ser aplicada sobre o rendimento nominal antecipado e de 15 sobre o rendimento final A correção monetária inflação do período atinge a 11 Solução Rendimentos Brutos da Aplicação Rentabilidade Nominal Bruta ib ib 30 aa ib 1 221 am Valor Bruto do Resgate 2700000 10221 2759670 Valor da Aplicação 2700000 Rendimento Bruto Nominal59670 Rentabilidade Real Bruta rb ou b Valor Bruto do Resgate2759670 Valor Corrigido da Aplicação 2700000 1011 2729700 Rendimento Bruto Real 29970 Rendimento Real é o ganho que excede à in𡤀ação No exemplo referese ao rendimento obtido do capital aplicado corrigido monetariamente ou seja Rendimento Real 1098 2729700 29970 Rendimento Bruto é o ganho calculado antes da dedução do imposto de renda Rendimentos Líquidos da Aplicação IR Antecipado Sendo de 9 a alíquota do IR retido na fonte incidente sobre o rendimento total da aplicação temse IR T PV ib IR 9 2700000 221 5370 Considerando esse tributo pago no momento da realização do negócio o total aplicado no título se eleva de 2700000 para 2705370 Logo a taxa de rentabilidade líquida nominal iL totaliza Por outro lado a rentabilidade real líquida rL atinge ou IR Final Para uma alíquota de 15 de IR calculada sobre o rendimento total e pago no resgate temse Valor Bruto de Resgate2759670 Valor de Aplicação 2700000 1113 Rendimento Bruto59670 IR 15 596708950 Rendimento Líquido50720 Como o IR é pago por ocasião de resgate temse o seguinte fluxo de caixa ou Extensões ao cálculo da taxa líquida Muitas vezes é importante determinarse a taxa líquida de um título de renda fixa diretamente de sua taxa bruta divulgada Este cálculo deve ser imediato de forma que se incorpore no processo de decisão de investir nestes papéis Para o caso de incidência do imposto de renda na fonte o qual é calculado antecipadamente sobre o rendimento nominal da operação temse Sabese que Valor de aplicação PV IR Valor de Resgate FV PV 1 ib IR T PV ib IR PV T ib Logo Valor de Aplicação PV PV T ib Valor de Aplicação PV 1 T ib Substituindo esses valores na expressão da taxa líquida nominal iL temse Utilizandose o exemplo ilustrativo anterior chegase ao mesmo percentual de rentabilidade apurado na hipótese de IR antecipado isto é ib 221 am T 9 Substituindo 1114 Assim pela utilização da expressão direta do iL desenvolvida podese determinar a taxa líquida de retorno de uma aplicação em título de renda fixa a partir da taxa bruta divulgada Evidentemente a fórmula permite também chegarse à taxa bruta sendo conhecida a taxa líquida Em qualquer caso a expressão de cálculo é válida somente para as operações em que a tributação é realizada na fonte e incidente sobre o valor nominal dos rendimentos conforme definido Para as operações em que o imposto de renda incidente sobre o rendimento nominal é pago por ocasião do resgate do título a expressão de cálculo da taxa líquida é bastante simplificada apurandose o IR diretamente sobre a taxa bruta isto é iL ib 1 T Reportandose novamente ao exemplo ilustrativo anterior temse iL 221 1 015 188 am A rentabilidade real líquida do IR por seu lado atinge rL rL 077 am Taxa prefixada com rendimento periódico Esse tipo de operação indica que os rendimentos são pagos periodicamente e o principal resgatado ao final do período da aplicação Identicamente ao rendimento final a taxa de juros considerada em cada período de rendimento é apurada pela equivalente composta Graficamente essa modalidade de operação pode ser apresentada da maneira seguinte sendo J o valor monetário dos rendimentos periódicos Conforme foi colocado considerando que os juros são geralmente definidos em taxas anuais os rendimentos são determinados pela taxa equivalente composta do período assumindo a seguinte expressão básica J PV ibq onde ibq taxa nominal prefixada bruta equivalente de juros a ser aplicada a cada período de rendimentos O imposto de renda na fonte incide sobre o total dos rendimentos Logo IR T PV ibq n onde ibq taxa nominal prefixada bruta de juros b e equivalente q ao período de rendimento n número de períodos de rendimento Por outro lado o IR final é pago somente por ocasião do resgate e calculado sobre o rendimento total Assim para cada período temse o valor do IR apurado sobre o ganho do período J ou seja IR T J Exemplos 1 Admita uma aplicação de 2500000 num título de renda fixa pelo prazo de um ano com rendimentos trimestrais equivalentes à taxa prefixada de 18 ao ano Os rendimentos nominais são tributados à alíquota de 9 e pagos por ocasião da aplicação Determinar o valor total da aplicação o rendimento trimestral e a rentabilidade líquida auferida pelo poupador 2 3 a b c Uma aplicação de 3700000 é efetuada num título de renda fixa emitido pelo prazo de 35 dias à taxa bruta efetiva de 375 ao ano Determinar os rendimentos e a taxa de retorno nominais desta aplicação Admita que a alíquota de IR seja de 20 incidente sobre o total dos rendimentos e paga no resgate Solução Taxa Bruta de retorno ib 375 aa equivalendo a ib 137535360 1 314 p35 dias Taxa Líquida de retorno iL 314 1 020 251 p35 dias Demonstração dos Rendimentos Valor Bruto de Resgate 3700000 10314 3816180 Capital Aplicado 3700000 Rendimentos Brutos116180 Imposto de Renda 20 11618023236 Rendimentos Líquidos92944 Valor Líquido de Resgate 3816180 23236 3792944 Graficamente Uma pessoa aplicou 1600000 num título de renda fixa com rendimentos pósfixados para ser resgatado ao final de 69 dias A remuneração do título é calculada com base numa taxa de juros de 16 ao ano mais correção monetária O índice de preços adotado como indexador da operação variou de 1951 para 2073 no período Sendo de 315 a alíquota de IR incidente sobre os rendimentos reais e paga no resgate determinar os rendimentos e as taxas reais mensais de retorno bruta e líquida Solução Rentabilidade Real Bruta rb 16 aa equivalendo a rb 11669360 1 289 p69 dias 124 am Rentabilidade Real Líquida rL 289 1 0315 198 p69 dias Rendimentos Reais Brutos Valor de Resgate 4 1119 a d a b c d a b c d 10289 1749183 Capital Aplicado Corrigido 1600000 1700051 Rendimentos Reais Brutos49132 Rendimentos Reais Líquidos Rendimentos Brutos49132 IR 31515477 Rendimentos Reais Líquidos33655 Admita que um banco esteja pagando 165 aa de juros na colocação de um título de renda fixa de sua emissão Apurar a taxa efetiva equivalente bruta e líquida antes e após o IR para os prazos seguintes Considere uma alíquota de IR de 15 incidente sobre os rendimentos nominais e descontada ao final do prazo da operação 1 mês 7 meses 37 dias 100 dias Solução rb 1165112 1 128 am rL 128 1 015 1088 am rb 1165712 1 932 p7 meses rL 932 1 015 792 p7 meses rb 116537360 1 158 p37 dias rL 158 1 015 134 p37 dias rb 1165100360 433 p100 dias rL 433 1 015 368 p100 dias Custo de captação com recolhimento compulsório Admita que uma instituição financeira tenha colocado no mercado um CDB de sua emissão pagando a taxa efetiva de 153 aa O prazo de colocação do título é de 63 dias O Banco Central para a formação de um depósito compulsório recolhe 8 do principal captado pela instituição financeira pelo prazo de emissão do título liberando o valor retido somente quando de sua liquidação Durante todo o período da operação o Banco Central não paga qualquer remuneração sobre o valor retido Pedese determinar Rentabilidade mensal efetiva e líquida do IR do aplicador do título Considere uma alíquota de 20 incidindo sobre a remuneração Solução Rentabilidade Bruta ib 153 aa ib 115363360 1 252 p 63 dias ib 115330360 1 119 am d 112 b c Rentabilidade Líquida iL 119 1 020 095 am Valor líquido de resgate do aplicador admitindo que tenha investido 20000000 Solução Valor Bruto 20000000 10252 20504000 Principal Aplicado 20000000 Remuneração Bruta 504000 IR s Rendimentos 20 100800 Remuneração Líquida 403200 Valor do Resgate 20000000 403200 20403200 Custo Efetivo do CDB para a Instituição Financeira emitente Solução i 102743063 1 129 am Suponha que existam 42 dias úteis no prazo de emissão do título de 63 dias corridos Transformar o custo efetivo de captação da instituição financeira em taxa over mensal Solução Taxa Efetiva i 274 p 63 dias Taxa over 10274142 1 006438 adu Dias corridos do mês 30 dias Taxa over mensal193 amo A taxa efetiva de 274 para 63 dias corridos ou 193 amo é o custo mínimo pelo qual a instituição financeira pode emprestar os recursos captados considerando o compulsório de 8 logo pode emprestar somente 92 para que iguale suas receitas com despesas Sobre esse custo é incluído um spread representando a margem de ganho exigida na operação Debêntures As debêntures são títulos de longo prazo emitidos por companhias de capital aberto visando financiar investimentos de maior maturidade em ativos fixos e capital de giro 1 Os rendimentos das debêntures são especificados em cada série lançada assim como as demais condições garantias prazo de vencimento prêmios etc Uma debênture é denominada simples quando resgatada exclusivamente em dinheiro no vencimento Quando o investidor puder optar por receber seu resgate em dinheiro ou em ações da empresa os títulos são classificados como conversíveis em ações Além dos juros normalmente pagos duas vezes por ano as debêntures podem remunerar os investidores com prêmios expressos em juros adicionais visando tornar o papel competitivo com as taxas vigentes no mercado As debêntures podem ainda conter certas cláusulas especiais como resgate antecipado dos títulos atualização monetária com base em índice geral de preços etc Em termos de garantia as debêntures são geralmente subordinadas indicando que o credor tem preferência no recebimento sobre os acionistas da empresa Exemplos Admita que uma empresa tenha colocado 5000 debêntures no mercado no valor de 1000 cada uma O prazo de colocação desses títulos é de dois anos A remuneração prometida aos investidores é de juros nominais de 30 ao ano com pagamento semestral O principal é pago por ocasião do resgate Sabese ainda que a colocação das debêntures somente foi possível mediante um deságio de 8 sobre o valor de emissão Pedese calcular o fluxo de caixa da operação e a taxa efetiva anual de juros Solução Valor Bruto da captação 5000 deb 1000 5000000 Deságio 8 400000 Valor Líquido 4600000 Valor do resgate 5000000 Encargos semestrais 15 5000000 750000 Fluxo de caixa da empresa emitente tomadora dos recursos Taxa efetiva de juros Taxa efetiva i 1797 as ou 117972 1 3917 aa 2 3 a b c d a b Admita que uma debênture com valor de resgate de 1000 esteja sendo negociada no mercado por 97230 O título paga ainda juros de 85 as e tem um prazo de resgate de dois anos Determinar a rentabilidade efetiva desse título Solução Resolvendose Rentabilidade efetiva i 936 as ou 109362 1 196 aa A rentabilidade efetiva deve refletir o deságio do título ganho de 100000 97230 2770 mais os pagamentos semestrais de juros de 8500 A medida da taxa interna de retorno calculada representa a taxa efetiva de juros oferecida pelo título até o vencimento Suponha que no dia 1o4X1 uma empresa tenha emitido e colocado 500000 debêntures no mercado ao valor nominal de 100 UMC1 cada O prazo de colocação desses títulos é de 2 anos vencendo em 1o4X3 A remuneração definida para essa captação é de juros de 20 ao ano sendo a correção monetária definida pela variação da UMC Os juros são pagos trimestralmente e calculados sobre o saldo devedor corrigido A correção monetária é acumulada e paga por ocasião do resgate Sabese ainda que a colocação somente foi possível mediante um deságio de 8 sobre o valor de emissão das debêntures Com base nessas informações pedese determinar valor líquido recebido pela empresa pela colocação das debêntures valor de resgate das debêntures em dinheiro valor dos juros pagos trimestralmente custo real efetivo dessa operação Solução Valor Líquido Recebido na Colocação O valor líquido recebido pela empresa admitindose a inexistência de outras despesas que geralmente ocorrem custos de lançamento comissões etc atinge Valor Bruto da Captação 500000 deb 100 UMC 50000000 UMC Deságio 50000000 UMC 8 4000000 Valor Líquido Recebido46000000 UMC Valor de Resgate 4 c d a O valor de resgate é de 50000000 UMC sendo convertido em unidades monetárias de acordo com o valor da UMC na data Juros Trimestrais Os juros a serem pagos trimestralmente aos debenturistas são mensurados pela taxa equivalente trimestral de 20 ao ano ou seja Juros 50000000 UMC 50000000 UMC 0046635 2331750 UMC Custo Real Resolvendo a expressão com o auxílio de uma calculadora apurase o custo efetivo real de 595 at equivalendo a 260 aa Admita uma debênture que prevê pagamentos semestrais de juros equivalente de 125 aa mais correção pelo IGPM O valor nominal do título é de 100000 sendo negociado no mercado a 96600 O prazo de emissão da debênture é de 18 meses e a variação do IGPM atinge respectivamente a 24 20 e 19 em cada semestre Pedese determinar rendimentos juros semestrais oferecidos pelo título 113 1131 b c a b c valor de resgate da debênture taxa de rentabilidade semestral e anual do investidor Solução Rendimentos juros semestrais juros 1o sem Juros 1o sem 6212 Juros 2o sem 100000 1024 102 112512 1 Juros 2o sem 6336 Juros 3o sem 100000 1024 102 1019 112512 1 Juros 3o sem 6456 Valor de resgate resgate 100000 1024 102 1019 resgate 106433 Taxa de retorno IRRi 964 as equivale a 109642 1 2020 aa Obrigações bônus As obrigações bônus são também títulos de renda fixa de longo prazo emitidos por órgãos governamentais ou empresas privadas visando financiar seus investimentos Os títulos conhecidos por zero coupon bond título de cupom zero não emitem cupons de juros sendo lançados no mercado com desconto Outros títulos costumam prever juros pagos aos investidores a cada semestre ocorrendo a amortização do principal no momento do resgate Outras formas de pagamentos de juro e principal podem também ocorrer porém com menor frequência Os juros dos títulos que preveem pagamentos periódicos e são representados por cupons cujos percentuais vigoram até o vencimento Os rendimentos são padronizados pelo mercado em taxas nominais geralmente expressos em taxa anual com capitalização semestral Assim para se obter a taxa de juro semestral do título basta dividir a taxa anual por dois O título é adquirido no mercado pelo seu valor de face geralmente fixado em 100000 Este valor pode no entanto sofrer alterações determinadas pelas condições de mercado e saúde financeira da empresa emitente do título Nestas condições o título é negociado no mercado com ágio ou deságio em relação a seu valor previsto no vencimento valor de face Zero Coupon Bond O zero coupon bond ou título de cupom zero é um título normalmente emitido sem cupom sendo negociado no mercado com desconto O zero coupon não prevê pagamento de juros oferecendo ao investidor somente o ganho pelo deságio valor de resgate valor pago pelo título Seu preço de negociação equivale ao valor presente de seu valor de face descontado a uma taxa de juro que reflete a expectativa de remuneração dos investidores Graficamente temse a seguinte representação de um título de cupom zero onde Cn Valor de resgate do título no vencimento também denominado de valor nominal ou valor de face P0 Valor de negociação do título sendo obtido por K equivale a taxa de retorno exigida na aplicação Por exemplo admita um título com vencimento para um ano e valor de face de 100000 A taxa de desconto do título é fixada em 9 aa O preço de negociação do título no mercado atinge a 91743 ou seja Exemplo Admita que um governo tenha emitido um título de cupom zero pagando taxa de 11 aa O valor de face do título é fixado em 100000 a ser resgatado no momento do vencimento O prazo do título é de 3 anos Pedese determinar o fluxo de caixa do título Solução Para o investidor o fluxo de caixa apresentase da forma seguinte 1132 A rentabilidade efetiva da operação atinge evidentemente a taxa de 11 aa Se as taxas de mercado forem diferentes maiores ou menores da taxa de emissão do título seu valor de mercado alterase em relação ao preço de 73119 calculado com base no cupom de 11 aa taxa de emissão Relação entre prazo de emissão e taxa de desconto com o valor do título O valor de um título de cupom zero aproximase de seu valor de face à medida que se aproxima seu vencimento Para ilustrar admita um título com maturidade de 10 anos e taxa de emissão de 8 O valor do título no vencimento é de 100000 O valor do título modificase aproximase de seu valor de face quanto mais próxima a data de vencimento Os cálculos a seguir demonstram este comportamento do valor do título em relação ao prazo de vencimento Prazo do Título Valor do Título 1 ano P0 1000001089 5002 3 anos P0 1000001087 5835 5 anos P0 1000001085 7835 7 anos P0 1000001083 7938 9 anos P0 100000108 9259 Apesar da tendência demonstrada os valores apurados podem ser diferentes em função das alterações das taxas de juros de mercado A taxa de juro usado para descontar o fluxo de caixa e o valor do título apresentam uma relação proporcionalmente inversa Quando os juros sobem o valor do título cai ao contrário ocorrendo uma redução na taxa de desconto verificase uma valorização no preço do título A tabela a seguir ilustra o valor de um título com maturidade de 10 anos e valor de face de 100000 admitindo diferentes taxas de desconto Anos Transcorridos Taxa de Juro 6 aa 8 aa 10 aa 0 ano 5584 4632 3855 1133 3 anos 6651 5835 5132 6 anos 7921 7350 6830 9 anos 9434 9259 9091 10 anos 10000 10000 10000 O valor do título diminui à medida que se eleva a taxa de desconto Quanto maior o prazo transcorrido do título seu preço converge ao valor de face Títulos bônus com cupons Títulos com cupons oferecem geralmente juros periódicos semestrais e devolução do principal aplicado ao final do prazo de emissão Esses títulos são geralmente de longo prazo variando a maturidade de 5 a 30 anos 1134 Os juros dos cupons são pagos de acordo com a taxa prometida pelo título garantindo um determinado fluxo de rendimentos ao aplicador Se o investidor aceitar os juros oferecidos pelo cupom o título é negociado por seu valor de face ou seja ao par Ocorrendo alterações nas taxas de juros o valor do título também sofre modificações sendo cotado com ágio ou deságio em relação a seu valor de face Um título é negociado com ágio quando o retorno oferecido cupom superar a remuneração exigida pelo investidor K O deságio ocorre quando o investidor exigir uma taxa de retorno maior que os juros oferecidos pelo título Quando a remuneração requerida pelo investidor for igual ao cupom dizse que o título é negociado ao par Em resumo temse Forma de negociação Valor do Título Retorno ÁGIO Valor de negociação Valor de resgate K cupom AO PAR Valor de negociação Valor de resgate K cupom DESÁGIO Valor de negociação Valor de resgate K cupom Preço de mercado O preço de negociação do bônus no mercado é obtido pelo valor presente dos fluxos esperados de rendimentos descontados a uma taxa de atratividade requerida pelos investidores ou seja onde P0 preço de mercado do título K taxa de retorno requerida pelo investidor do título Para ilustrar admita um título com maturidade de 12 anos valor de face de 100000 e cupom de 9 ao ano com pagamento semestral dos juros Se o investidor aceitar descontar este título à taxa do cupom de 9 seu preço de negociação será igual ao valor de face de 100000 Dizse nesse caso que o título é negociado ao par O fluxo de caixa do aplicador do título apresentase 1135 Se a taxa de desconto elevarse para 11 ao ano 55 as o título é negociado com deságio de 1315 em relação a seu valor de face Se a taxa de desconto reduzirse para 7 ao ano 35 as o preço de negociação do título será superior a seu valor de face oferecendo um ágio de 1606 ou seja Exemplo Admita uma obrigação com valor de face de 1000 com maturidade de seis anos A remuneração prometida são juros semestrais de 4 Se os investidores aceitarem descontar esse título somente à taxa de 10 ao ano calcular seu preço de mercado Calcular também o preço de mercado do título se a taxa de desconto se elevar para 13 ao ano Solução Taxa de desconto 10 ao ano Taxa de desconto 13 ao ano Yield to Maturity YTM A yield to maturity YTM reflete o rendimento yield do título de renda fixa até seu vencimento maturity Essa medida de retorno admite o pressuposto de reinvestimento dos fluxos intermediários de caixa O cálculo da YTM leva em conta o valor de negociação do título no mercado preço de compra seu valor de resgate o prazo e os rendimentos juros dos cupons A formulação básica é onde 1136 P0 preço corrente de negociação do título C1 C2 Cn juros periódicos representados pelos cupons previstos para cada período Pn valor de resgate valor de face do título YTM yield to maturity Rentabilidade da obrigação de longo prazo se retida até sua data de vencimento Representa em outras palavras a taxa de desconto que iguala os benefícios de caixa juros e resgate com o preço de negociação da obrigação Exemplo Considere uma obrigação com maturidade de quatro anos que paga juros semestrais proporcionais à taxa de 10 ao ano Seu valor de face é de 100000 e o preço de negociação de mercado é de 96875 Determinar a rentabilidade efetiva YTM dessa obrigação Solução Os fluxos de caixa dessa obrigação são representados Os rendimentos dos cupons são de 5 ao semestre equivalendo a 5 100000 5000semestre A YTM é a taxa de juros que iguala numa mesma data entradas com saídas de caixa taxa interna de retorno ou seja YTM 549 as 549 2 1098 aa YTM e IRR A YTM é geralmente expressa como uma taxa nominal anual Por exemplo ao se definir em 90 aa a YTM de um título admitese que a taxa de retorno equivale a 45 as 902 sem A taxa interna de retorno IRR por outro lado é normalmente definida como uma taxa efetiva de juros Por exemplo uma YTM de 10 reflete uma taxa nominal de 5 as Ao se transformar a YTM em IRR temse IRR 1 0052 1 1025 aa 2 1137 1 a b a b Exercícios Transformar as YTMs a seguir em taxa interna de retorno IRR anual YTM 70 aa YTM 90 aa Solução IRR 1 00352 1 712 aa IRR 1 00452 1 920 aa Um título público federal tem sua rentabilidade efetiva anual expressa na IRR de 118 Expressar esta taxa em YTM Solução IRR118 aa 111812 1 5736 as YTM 5736 2 1147 aa Relação entre valor do título e taxa de desconto Os títulos de renda fixa assim como os de renda variável ações depois de lançados primariamente são negociados pelos investidores no mercado secundário Os preços dos títulos de renda fixa são definidos como consequência das forças de oferta e procura sofrendo alterações de forma inversa à taxa de juros de mercado Desta forma quanto maior o rendimento exigido da aplicação ou seja mais elevadas se apresentarem as taxas de juros de mercado menor o preço de negociação do título ao contrário reduzindose os juros verificase uma valorização do preço do título Como o principal e os rendimentos juros prometidos pelo título são previamente estabelecidos o preço de negociação define a sua taxa de rendimento efetiva A Figura abaixo ilustra a relação preçoretorno de um título de renda fixa Observe que o comportamento desta relação não segue uma tendência linear ou seja não é uma linha reta assumindo na prática uma forma convexa É importante verificar ainda que a variação nos preços do título em decorrência de modificações nas taxas de juros ocorre a taxas decrescentes Por exemplo diante de uma elevação nos juros de mercado os títulos de renda fixa apresentam valores cada vez menores assumindo porém um comportamento decrescente 114 1141 Os títulos de renda fixa de longo prazo apresentam maior volatilidade diante de variações nas taxas de juros oferecendo maior risco aos investidores Para ilustrar são apresentados a seguir os preços de mercado de três títulos com diferentes prazos de vencimento Cada título possui valor nominal de 100000 e paga anualmente juros de 8 Prazo de Vencimento Taxa de Juros 1 ano 5 anos 10 anos 4 103846 117807 132444 6 101887 19 108425 80 114720 134 8 100000 100000 100000 10 98182 18 92418 76 87711 123 12 96429 18 85581 74 77399 118 14 94737 17 79402 72 68703 112 Em decorrência do aumento dos juros os preços dos títulos sofreram desvalorização no mercado Conforme aumenta a taxa de juro o preço do título diminui qualquer que seja a maturidade A variação mais significativa no valor do título ocorre no entanto em títulos de maior maturidade Observe na coluna de variação D que para um título de um ano de prazo a queda no seu preço de mercado diante de aumentos nas taxas de juros é bem mais discreta se comparada com a de 5 ou 10 anos Se os juros subirem de 8 para 14 aa por exemplo o preço do título de prazo de um ano cai de 100000 para 94737 o título de 5 anos reduzse para 79402 e o de 10 anos produz queda ainda maior atingindo o preço de 68703 Tributação vigente das aplicações de renda fixa A atual legislação tributária brasileira prevê essencialmente dois tipos de impostos incidentes sobre os rendimentos auferidos nas aplicações com títulos de renda fixa Imposto de Renda Imposto sobre Operações Financeiras IOF Imposto de Renda IR O fato gerador do Imposto de Renda é o valor de resgate montante do título O imposto tem como base de cálculo a diferença positiva entre o valor do capital aplicado e o valor do resgate subtraindose quando se verificar a incidência o valor do IOF O Imposto de Renda é cobrado do aplicador na fonte e o seu recolhimento é de responsabilidade da instituição financeira As atuais alíquotas de IR reduzem conforme se eleva o prazo da aplicação indo desde 225 para aplicações de curto prazo até 180 dias até 150 para prazos acima de 720 dias A tabela a seguir apresenta as alíquotas vigentes de Imposto de Renda Alíquotas de IR Tempo de Permanência Alíquota 1142 Até 180 dias 2250 de 181 a 360 dias 2000 de 361 a 720 dias 1750 acima de 720 dias 1500 Imposto sobre Operações Financeiras IOF O IOF incide também sobre o valor do rendimento auferido na aplicação financeira A principal diferença é que o imposto somente é devido quando o resgate é feito antes que a aplicação complete 30 dias A seguir é apresentada a tabela vigente do IOF Alíquotas de IOF Número de dias limite do rendimento Número de dias limite do rendimento 01 96 16 46 02 93 17 43 03 90 18 40 04 86 19 36 05 83 20 33 06 80 21 30 07 76 22 26 08 73 23 23 09 70 24 20 10 66 25 16 11 63 26 13 12 60 27 10 13 56 28 06 14 53 29 03 15 50 30 00 Exercícios propostos 1 2 3 a b c d 4 Admita que um banco esteja pagando 178 ao ano de juros efetivos na colocação de CDB de sua emissão Apurar a taxa efetiva equivalente composta bruta e líquida antes e após o IR para 1 mês 5 meses 39 dias 103 dias A alíquota de IR para títulos de renda fixa é de 20 sobre os rendimentos totais A taxa bruta de um CDB está fixada em 17 ao mês A alíquota de IR incidente sobre os rendimentos nominais atinge 20 Capitalizar a taxa líquida desse CDB para um ano Em 82 dias um CDB rendeu 612 antes do IR A alíquota do IR é de 20 Apurar a taxa líquida mensal e anual equivalentes A taxa efetiva paga por um CDB é de 19 am Para um mês de 30 dias transformar essa taxa em linear 5 6 7 9 10 11 12 13 a b a b c 8 a b Um título é emitido pelo valor de 10000 e resgatado por 11200 ao final de um semestre Determinar a taxa de rentabilidade mensal líquida desse título admitindo alíquota de 20 de IR pago por ocasião do resgate alíquota de 9 de IR na fonte pago no momento da aplicação Um título prefixado é emitido pelo prazo de seis meses pagando juros nominais de 95 as Para um investidor que deseja obter um ganho real de 10 am qual deve ser o valor máximo de inflação no semestre Um título de renda fixa está sendo negociado à taxa prefixada bruta de 21 am o IR é de 20 calculado sobre os rendimentos nominais e pagos no resgate e é de 09 am a inflação estimada do período Determinar rentabilidade nominal líquida do IR rentabilidade real líquida do IR remuneração pelo risco embutida na taxa real admitindo uma taxa pura livre de risco de 05 am Admita uma carteira constituída de três títulos de renda fixa conforme demonstrados abaixo Título Prazo de Resgate Valor do Resgate Taxa de Juros A 114 dias 10923 116 am B 171 dias 12920 124 am C 212 dias 31180 140 am Pedese determinar o valor presente dessa carteira Admita um título com valor de face de 1000 que paga cupom de juros semestrais proporcionais a 10 aa A taxa de retorno exigida pelos investidores é de 12 aa Determinar o valor de negociação do título que apresenta um prazo de resgate de quatro anos Uma obrigação de longo prazo paga cupom de 12 aa com rendimentos proporcionais semestrais A maturidade do título é de 10 anos O preço de negociação do título no mercado é de 101520 e seu valor de face é de 1000 Determinar a rentabilidade efetiva YTM desse título Considere um título de valor de resgate de 1000 e maturidade de oito anos O título paga juros de 75 as Calcular o valor de negociação preço de mercado do título admitindo as seguintes taxas de retorno exigidas pelos investidores 6 as 9 as Uma debênture no valor de 10000 UMC com 3 anos de prazo é emitida e negociada em determinada data com deságio de 6 Os juros são pagos semestralmente pela taxa equivalente a 18 ao ano e o principal corrigido é devolvido integralmente ao final do período Sabese ainda que as várias despesas de emissão e lançamento dos títulos atingem 12 de seu valor nominal Elabore uma planilha demonstrando os vários fluxos de pagamentos desta operação e calcule a rentabilidade real efetiva quadrimestral e anual Em determinada data uma empresa emite 35000 debêntures de valor nominal de 100000 cada O prazo de emissão é de um ano sendo os títulos não conversíveis em ações As debêntures foram subscritas 60 dias após a sua emissão sendo o seu valor nominal atualizado mensalmente pela variação nos valores da UMC O preço a ser pago na subscrição é definido pelo valor nominal do título corrigido monetariamente até o momento da subscrição 14 15 16 17 18 19 a d 20 a b c d a b b c A taxa de juros estabelecida para a operação é de 20 ao ano sendo calculada sobre o valor nominal corrigido Os juros são pagos mensalmente aos debenturistas e a correção monetária acumulada e resgatada ao final As variações mensais nas UMC são as seguintes Mês 1 23Mês 5 09Mês 9 20 Mês 2 18Mês 6 12Mês 10 24 Mês 3 21Mês 7 13Mês 11 13 Mês 4 17Mês 8 16Mês 12 11 As variações dos dois primeiros meses foram efetivamente ocorridas Para os demais meses são estimativas Pedese calcular valor de subscrição valor mensal dos juros para o primeiro semestre valor de resgate custo real do período A taxa efetiva prefixada de um CDB é de 234 am A alíquota de IR na fonte incidente sobre os rendimentos atinge a 20 e a inflação do período está prevista em 078 Para uma taxa livre de risco taxa pura de juros de 05 am determinar a taxa de risco embutida na remuneração do CDB Um título público está sendo negociado com um deságio de 34 em relação ao seu valor de face O título foi emitido pagando juros semestrais de 5 e tem ainda uma duração de três anos até o seu vencimento Calcular a rentabilidade efetiva oferecida ao investidor deste título Determinar o preço de negociação de um título com valor de face de 1000 e maturidade de 4 anos O título paga cupom semestral de 6 Admita que a taxa de juro de mercado seja de 15 aa 75 as 10 aa 50 as Admita um título com valor de face de 1000 maturidade de 2 anos e cupom igual a 13 aa com pagamento semestral de juros Este título está negociado no mercado atualmente por 101927 Determinar o retorno auferido pelo investidor Um banco capta recursos por 50 dias através da colocação de um CDB pagando uma taxa de juro efetiva de 274 aa Sobre o principal deve recolher 10 a título de depósito compulsório no Banco Central pelo prazo da operação Não está previsto nenhum rendimento sobre este compulsório Calcular o custo efetivo mensal e anual de captação do banco Um banco coloca um CDB de 100000 de sua emissão no mercado por 61 dias pagando a taxa efetiva de 318 aa O Banco Central retém 10 do valor principal captado a título de depósito compulsório sem remuneração Estes recursos permanecem retidos pelo prazo da emissão do CDB retornando à instituição financeira quando da liquidação da operação Pedese determinar a rentabilidade mensal efetiva do aplicador considerando a incidência de IR de 20 sobre toda a remuneração apurar o valor de resgate do aplicador calcular o custo efetivo anual do CDB para o banco existindo 40 dias úteis no prazo do CDB de 61 dias corridos transformar a taxa efetiva do custo de captação do banco em taxa over mensal Uma pessoa aplicou 20000000 em um título de renda fixa com resgate para 120 dias A taxa de juros da aplicação foi de 22 am Após 50 dias da aplicação o investidor necessitando de dinheiro decidiu negociar o título no mercado sendo a taxa de juros vigente de 16 am Pedese determinar 21 22 a b c valor de resgate do título se o investidor manter sua posição até seu vencimento 120 dias valor recebido pelo investidor ao negociar o título após 50 dias da aplicação a taxa de juros mensal efetivamente ganha pelo investidor na operação Um investidor aplicou recursos em um título pósfixado à taxa over de 26 am com capitalização diária e correção pelo IGPX índice geral de preços selecionado para a operação O aplicador paga no resgate do título imposto de renda de 20 calculado sobre o ganho nominal obtido na aplicação No momento da aplicação deve ser pago um imposto sobre movimentação financeira de 04 incidente sobre o valor aplicado Sabese que o prazo da operação foi de três meses e neste período são computados 63 dias úteis O índice de preços considerado como adequado para melhor mensurar a inflação da economia é o IGPM Os valores dos índices de preços nas datas de aplicação e resgate são apresentados a seguir Data IGPX IGPM Data da aplicação 1834 1537 Data de resgate 1891 1608 Determinar a rentabilidade real e líquida do Imposto de Renda em percentual ao mês obtida pelo investidor Um título com valor nominal de 1000000 tem um prazo de vencimento de 4 anos e paga cupom semestral proporcional a 11 aa O título 23 24 25 a b 26 27 28 a b c d 1a b c d 2 3 4 5a b é resgatado ao final do prazo por seu valor ao par Pedese determinar o preço de compra do título sabendo que a taxa de juros de mercado é de 13 aa 65 as Um título de valor nominal de 100000 e resgatável daqui a três anos paga cupons semestrais de 4 Calcular o valor de compra do título admitindo um rendimento desejado de 12 aa 6 as Um título com valor nominal de 100000 está sendo negociado no mercado secundário de renda fixa por 96530 O título tem um prazo de vencimento de dois anos e paga cupons semestrais proporcionais a 10 aa Determinar a rentabilidade nominal e efetiva anual desse título Um investidor avalia a compra de um título de valor nominal de 5000000 que paga cupons semestrais proporcionais a 9 aa O prazo de resgate do título é de 6 anos se o investidor desejar um rendimento nominal de 12 aa capitalização semestral qual o preço máximo que deve pagar pelo título se o investidor vender este título após 2 anos a uma pessoa que deseja ganhar 11 aa 55 as determinar o preço pago Uma debênture com prazo de emissão de 2 anos é negociada por 97280 O seu valor nominal está fixado em 100000 O título paga correção pelo IGPM e juros semestrais equivalentes a 134 aa A variação do IGPM para cada um dos semestres de emissão da debênture é a seguinte 1o semestre24 2o semestre22 3o semestre22 4o semestre20 Pedese determinar taxa de juros equivalente semestral rendimentos juros semestrais valor de resgate do título taxa de rentabilidade semestral e anual Um investidor adquire uma debênture de 12 meses com deságio de 45 sobre o valor nominal de 100000 O título paga juros de 130 aa mais variação do IGPM Sendo de 26 e 23 respectivamente a variação monetária de cada semestre pedese determinar a taxa de retorno semestral e anual obtida pelo investidor Todos os rendimentos são pagos no vencimento do título Uma debênture com prazo de 6 meses é negociada por 99280 sendo o valor nominal de 100000 O título paga juro de 122 aa mais variação do IGPM Sendo de 215 a correção monetária do período pedese determinar a taxa de rentabilidade mensal e semestral do investidor Respostas 137 am 110 am 706 p 5 meses 565 p 5 meses 179 p 39 dias 143 p 39 dias 480 p 103 dias 384 p 103 dias 176 aa 176 am 233 aa 188 am 154 am 172 am 6 7a b c 8 9 10 11a b 12 13 a b c 315 as 168 am 077 am 027 am 5076052 93790 587 as 115159 87531 Valor Líquido Recebido pelo Emitente Valor Bruto da Emissão10000 UMC Deságio 6600 Despesas de Emissão e Lançamento120 9280 UMC Valor de Resgate 10000 UMC Juros Semestrais 86278 UMC Custo Real Efetivo 103 as ou 216 aa Solução Valor de Subscrição Valor de subscrição 35000 deb 100000 1023 1018 3644949000 Considerando os 60 dias entre o momento da emissão dos títulos e o da subscrição o valor nominal é corrigido pela variação da UMC verificada no período Valor Mensal dos Juros Mês Valor Nominal Corrigido Juros 0 3500000000 1 3500000000 1023 3580500000 2 3580500000 1018 3644949000 3 3644949000 1021 3721492930 3721492930 153 56938840 4 3721492930 1017 3784758310 3784758310 153 57906800 5 3784758310 1009 3818821130 3818821130 153 58427960 6 3818821130 1012 3864646990 3864646990 153 59129100 Valor de Resgate O resgate é fixado pelo valor nominal corrigido da debênture isto é d 14 15 16a b 17 18 19a b c d 20a b c 21 22 23 24 25a b 26a b c d 27 28 Variação da UMC 1023 1018 1021 1017 1009 1012 1013 1016 102 1024 1014 1011 12156 ou 2156 Valor de Resgate 35000 deb 100000 12156 4254600000 Não se verificando outras despesas de emissão e colocação deságios prêmios etc o custo efetivo real é a própria taxa de juros considerada na operação ou seja 20 ao ano Risco 058 1366 as 2919 aa 91214 106463 YTM 594 as 1224 aa i 226 am i 308 aa iL 186 am Valor de resgate 1038318 i 3578 aa i 258 am Over 389 am FV120 dias 21818937 FV50 dias 21025594 i 3046 am i 218 am Preço de Compra 939112 Preço de Compra 90165 Rentabilidade Nominal 12 aa Rentabilidade Efetiva 1236 aa 4371212 4683272 649 as 1o semestre 6645 2o semestre 6791 3o semestre 6941 4o semestre7080 resgate 109094 i 967 as i 2027 aa i 1144 as i 2419 aa i 899 as i 144 am 1 UMC unidade monetária de capital de poder aquisitivo constante 121 a b c d e 12 Sistemas de Amortização de Empréstimos e Financiamentos1 Os sistemas de amortização são desenvolvidos basicamente para operações de empréstimos e financiamentos de longo prazo envolvendo desembolsos periódicos do principal e encargos financeiros Existem diversas maneiras de se amortizar uma dívida devendo as condições de cada operação estarem estabelecidas em contrato firmado entre o credor mutuante e o devedor mutuário Uma característica fundamental dos sistemas de amortização a serem estudados neste capítulo é a utilização exclusiva do critério de juros compostos incidindo os juros exclusivamente sobre o saldo devedor montante apurado em período imediatamente anterior Para cada sistema de amortização é construída uma planilha financeira a qual relaciona dentro de certa padronização os diversos fluxos de pagamentos e recebimentos São consideradas também modalidades de pagamento com e sem carência conforme estudadas em capítulos anteriores Na carência não há pagamento do principal sendo pagos somente os juros Eventualmente os juros podem ser capitalizados durante o prazo de carência O capítulo trata dos seguintes sistemas de amortização Sistema de Amortização Constante SAC Sistema de Prestação Constante SPC também conhecido por Sistema de Amortização Francês SAF Sistema de Amortização Misto SAM Sistema de Amortização Americano SAA Sistema de Amortizações Variáveis Parcelas intermediárias Definições básicas Os sistemas de amortização de empréstimos e financiamentos tratam basicamente da forma pela qual o principal e os encargos financeiros são restituídos ao credor do capital Antes do estudo desses vários sistemas é importante que sejam definidos os principais termos empregados nas operações de empréstimos e financiamentos Encargos Despesas Financeiros Representam os juros da operação caracterizandose como custo para o devedor e retorno para o credor Os encargos financeiros podem ser prefixados ou pósfixados O que distingue essas duas modalidades é a correção indexação da dívida em função de uma expectativa prefixação ou verificação posterior pósfixação do comportamento de determinado indexador 122 Em outras palavras nas operações pósfixadas há um desmembramento dos encargos financeiros em juros e correção monetária ou variação cambial no caso de a dívida ser expressa em moeda estrangeira que vier a se verificar no futuro e nas prefixadas estipulase uma taxa única a qual incorpora evidentemente uma expectativa inflacionária para todo o horizonte de tempo Assim para uma operação pósfixada a taxa de juros contratada é a taxa definida como real isto é aquela situada acima do índice de inflação verificado no período Além do encargo real da taxa de juros as operações pósfixadas preveem também a correção monetária ou variação cambial do saldo devedor da dívida o que representa normalmente a recuperação da perda de poder aquisitivo desvalorização perante a inflação da parte do capital emprestado e ainda não restituído Nas operações prefixadas os encargos financeiros são medidos por uma única taxa a qual engloba os juros exigidos pelo emprestador e a expectativa inflacionária correção monetária para o período de vigência Amortização A amortização referese exclusivamente ao pagamento do principal capital emprestado o qual é efetuado geralmente mediante parcelas periódicas mensais trimestrais etc Alguns poucos tipos de empréstimos permitem que o capital emprestado seja amortizado por meio de um único pagamento ao final do período Essa situação é descrita no denominado Sistema de Amortização Americano a ser estudado mais adiante neste capítulo Saldo Devedor Representa o valor do principal da dívida em determinado momento após a dedução do valor já pago ao credor a título de amortização Prestação É composto do valor da amortização mais os encargos financeiros devidos em determinado período de tempo Assim Prestação Amortização Encargos Financeiros Carência Muitas operações de empréstimos e financiamentos preveem um diferimento na data convencional do início dos pagamentos Por exemplo ao se tomar um empréstimo por 4 anos a ser restituído em prestações trimestrais o primeiro pagamento ocorrerá normalmente três meses um trimestre após a liberação dos recursos vencendose as demais ao final de cada um dos trimestres subsequentes Pode no entanto ocorrer um diferimento carência no pagamento da primeira prestação iniciandose por exemplo 9 meses após o recebimento do capital emprestado Neste caso dizse que a carência corresponde a dois trimestres ou seja ela equivale ao prazo verificado entre a data convencional de início de pagamento final do primeiro trimestre e a do final do 9o mês É importante acrescentar ainda que a carência significa a postergação só do principal não sendo incluídos necessariamente os juros Os encargos financeiros podem dependendo das condições contratuais estabelecidas serem pagos ou não durante a carência É mais comum o pagamento dos juros durante o período de carência Na hipótese de se decidir pela carência de juros os mesmos são capitalizados e pagos junto com a primeira parcela de amortização do principal ou distribuídos para as várias datas pactuadas de pagamento Exemplo Ilustrativo Geral Visando ilustrar os principais sistemas de amortização normalmente adotados no mercado financeiro admita de uma maneira geral um empréstimo com as seguintes condições básicas Valor do Empréstimo 10000000 Prazo da Operação 5 anos Taxa de Juros 30 ao ano efetiva Sistema de amortização constante O Sistema de Amortização Constante SAC como o próprio nome indica tem como característica básica serem as amortizações do principal sempre iguais ou constantes em todo o prazo da operação O valor da amortização é facilmente obtido mediante a divisão do capital emprestado pelo número de prestações Os juros por incidirem sobre o saldo devedor cujo montante decresce após o pagamento de cada amortização assumem valores decrescentes nos períodos Em consequência do comportamento da amortização e dos juros as prestações periódicas e sucessivas do SAC são decrescentes em progressão aritmética Admita que o empréstimo de 10000000 descrito no Exemplo Geral deva ser pago dentro de um prazo de 5 anos em 10 prestações semestrais Desconsiderando inicialmente a existência de um prazo de carência podese elaborar a seguinte planilha financeira para a operação de empréstimo Quadro 121 SAC sem carência Período Semestres Saldo Devedor Amortização Juros Prestação 0 10000000 1 9000000 1000000 1401750 2401750 2 8000000 1000000 1261580 2261580 3 7000000 1000000 1121400 2121400 4 6000000 1000000 981230 1981230 5 5000000 1000000 841050 1841050 6 4000000 1000000 700880 1700880 7 3000000 1000000 560700 1560700 8 2000000 1000000 420530 1420530 9 1000000 1000000 280350 1280350 10 1000000 140180 1140180 Total 10000000 7709650 17709650 Conforme foi comentado o SAC determina que a restituição do principal capital emprestado seja efetuada em parcelas iguais Assim o valor de cada amortização constante devida semestralmente é calculado pela simples divisão entre o principal 10000000 e o número fixado de prestações 10 semestres ou seja Os pagamentos desses valores determinam como é natural decréscimos iguais e constantes no saldo devedor em cada um dos períodos ocasionando ainda reduções nos valores semestrais dos juros e das prestações 1221 Para o cálculo dos juros trabalhouse como é mais comum nessas operações de crédito de médio e longo prazos com a taxa equivalente composta Assim para uma taxa nominal de 30 ao ano conforme considerada no Exemplo Ilustrativo Geral a taxa equivalente semestral atinge Taxa Equivalente Semestral de 30 aa 1 140175 as Os juros por incidirem sobre o saldo devedor imediatamente anterior apresentam valores aritmeticamente decrescentes conforme são apurados na penúltima coluna do Quadro 121 Para o final do primeiro semestre os encargos financeiros somam 140175 10000000 1401750 para o final do segundo semestre 140175 9000000 1261580 para o final do terceiro semestre 140175 8000000 1121400 e assim por diante Somandose para cada período o valor da amortização do principal com os respectivos encargos financeiros temse o valor da prestação semestral do financiamento Assim para o primeiro semestre a prestação atinge 1000000 1401750 2401750 para o segundo semestre 1000000 1261580 2261580 e assim sucessivamente Pode ser observado uma vez mais que a diminuição de 140170 no valor dos juros em cada período é explicada pelo fato de as amortizações fixas reduzirem o saldo devedor da dívida base de cálculo dos juros semestralmente em 1000000 Esta diminuição provoca em consequência uma redução nos juros equivalente 14017 1000000 140170 Expressões de cálculo do SAC São desenvolvidas a seguir expressões genéricas de cálculo de cada parcela da planilha do sistema de amortização constante Amortização AMORT os valores são sempre iguais e obtidos por onde PV principal valor do financiamento n número de prestações Logo PV Amort1 Amort2 Amort3 Amortn Saldo Devedor SD é decrescente em PA progressão aritmética pelo valor constante da amortização Logo a redução periódica do SD é PVn Juros J pela redução constante do saldo devedor os juros diminuem linearmente ao longo do tempo comportandose como uma PA decrescente O valor periódico da redução é Pn i sendo i a taxa de juros As expressões de cálculo dos juros para cada período são e assim por diante Para um período qualquer t temse Por exemplo na ilustração geral calcular o valor dos juros para o período t 7 1222 a b J7 10 7 1 0140175 J7 1000000 4 0140175 J7 560700 Prestação PMT é a soma da amortização com os juros isto é Por exemplo calcular no exemplo ilustrativo geral o valor da prestação no 5o semestre PMT5 1 10 5 1 0140175 PMT5 1000000 1 6 0140175 PMT5 1000000 184105 1841050 SAC com carência Conforme foi comentado a ilustração desenvolvida não previu a existência de prazo de carência para a amortização do empréstimo Ao se supor uma carência de 2 anos contada a partir do final do primeiro semestre por exemplo três situações podem ocorrer os juros são pagos durante a carência os juros são capitalizados e pagos totalmente quando do vencimento da primeira amortização c os juros são capitalizados e acrescidos ao saldo devedor gerando um fluxo de amortizações de maior valor Os Quadros 122 123 e 124 apresentados a seguir ilustram essas situações O Quadro 122 demonstra uma situação em que os juros são pagos durante a carência estipulada Assim ao final dos quatro primeiros semestres a prestação constituída unicamente dos encargos financeiros atinge 1401750 ou seja 140175 10000000 A partir do quinto semestre tendo sido encerrada a carência de 2 anos 4 semestres iniciase a amortização devolução do principal emprestado sendo o fluxo de prestações deste momento em diante idêntico ao desenvolvido anteriormente no Quadro 121 Quadro 122 SAC com Carência 2 anos e Pagamento dos Juros Períodos Semestres Saldo Devedor Amortização Juros Prestação 0 10000000 1 10000000 1401750 1401750 2 10000000 1401750 1401750 3 10000000 1401750 1401750 4 10000000 1401750 1401750 5 9000000 1000000 1401750 2401750 6 8000000 1000000 1261580 2261580 7 7000000 1000000 1121400 2121400 8 6000000 1000000 981230 1981230 9 5000000 1000000 841050 1841050 10 4000000 1000000 700880 1700880 11 3000000 1000000 560700 1560700 12 2000000 1000000 420530 1420530 13 1000000 1000000 280350 1280350 14 1000000 140180 1140180 Total 10000000 13316650 23316650 Quadro 123 SAC com Carência 2 anos e Capitalização dos Juros Períodos Semestres Saldo Devedor Amortização Juros Prestação 0 10000000 1 11401750 2 12999990 3 14822260 4 16899970 5 9000000 1000000 9268930 10268930 6 8000000 1000000 1261580 2261580 7 7000000 1000000 1121400 2121400 8 6000000 1000000 981230 1981230 9 5000000 1000000 841050 1841050 10 4000000 1000000 700880 1700880 11 3000000 1000000 560700 1560700 12 2000000 1000000 420530 1420530 13 1000000 1000000 280350 1280350 14 1000000 140180 1140180 Total 10000000 15576830 25576830 Quadro 124 SAC com Carência 2 anos com Juros Capitalizados e Acrescidos ao Saldo Devedor Períodos Semestres Saldo Devedor Amortização Juros Prestação 0 10000000 1 11401750 2 12999990 3 14822260 4 16900000 5 15210000 1690000 2368960 4058960 6 13520000 1690000 2132060 3822060 7 11830000 1690000 1895170 3585170 8 10140000 1690000 1658270 3348270 9 8450000 1690000 1421370 3111370 10 6760000 1690000 1184480 2874480 11 5070000 1690000 947580 2637580 12 3380000 1690000 710690 2400690 13 1690000 1690000 473790 2163790 14 1690000 236900 1926900 Total 16900000 13029270 29929270 O Quadro 123 ilustra o plano de amortização da dívida na hipótese de os juros não serem pagos durante a carência Neste caso os encargos são capitalizados segundo o critério de juros compostos e devidos integralmente quando do vencimento da primeira parcela de amortização Assim ao final do primeiro semestre o saldo devedor acrescido dos juros de 140175 atinge 11401750 isto é 10000000 1140175 Ao final do segundo semestre de forma idêntica são calculados os juros de 140175 sobre o saldo devedor anterior de 11401750 e acrescidos ao mesmo gerando um novo saldo devedor atualizado de 12999990 11401750 1140175 Seguindo o mesmo raciocínio no terceiro semestre o saldo devedor atinge 14822260 12999990 1140175 e no quarto período 16900000 14822260 1140175 No quinto semestre o saldo devedor é novamente corrigido por 140175 atingindo o montante de 19268920 No entanto de acordo com as condições estabelecidas para o financiamento neste semestre iniciase o pagamento das amortizações periódicas 1000000semestre sendo liquidado também o montante capitalizado dos juros o qual atinge 9268920 ou seja Saldo Devedor Capitalizado pelos juros durante a carência 5o semestre 19268920 Valor do Financiamento10000000 Juros9268920 A partir desse semestre o esquema de cálculos da planilha financeira é idêntico ao apresentado anteriormente no Quadro 121 O Quadro 124 por outro lado prevê uma situação em que os juros não pagos durante a carência são capitalizados e distribuídos uniformemente no fluxo de amortização do financiamento a partir do quinto semestre De maneira contrária à situação descrita no Quadro 123 os encargos financeiros totais da carência juros semestrais capitalizados durante a carência não são pagos quando do vencimento da primeira parcela de amortização Estes valores são capitalizados e acrescidos ao principal produzindo novas parcelas semestrais de amortização Dessa forma no quinto semestre quando do término da carência o saldo devedor somado ao montante capitalizado de juros atinge conforme está demonstrado acima 16900000 As parcelas semestrais de amortização totalizam portanto 1690000 1690000010 Os valores dos juros e das prestações referentes aos demais semestres são apurados seguindo a metodologia de cálculo apresentada para o SAC É interessante notar ainda que nas três hipóteses de carência consideradas o valor total dos pagamentos semestrais prestações difere bastante Na ilustração contida no Quadro 122 o total das prestações atinge 23316650 no Quadro 123 este valor sobe para 25576830 e no Quadro 124 o total atinge 29929270 123 Na realidade essas diferenças não estão efetivamente significando elevações no custo relativo da dívida O que ocorre é um maior prazo na restituição do capital emprestado o que determina maiores valores absolutos de juros Ao se calcular a taxa interna de retorno que mede com maior rigor o custo efetivo do empréstimo para as três ilustrações sugeridas chegase evidentemente a 140175 as ou 30 aa o que indica que o custo da operação não é alterado apesar de os encargos financeiros assumirem valores monetários diferentes ao longo do tempo Sistema de prestação constante O Sistema de Amortização Francês SAF ou Prestação Constante SPC amplamente adotado no mercado financeiro do Brasil estipula ao contrário do SAC que as prestações devem ser iguais periódicas e sucessivas Equivalem em outras palavras ao modelopadrão de fluxos de caixa conforme estudado no Capítulo 7 Os juros por incidirem sobre o saldo devedor são decrescentes e as parcelas de amortização assumem valores crescentes Em outras palavras no SPC os juros decrescem e as amortizações crescem ao longo do tempo A soma dessas duas parcelas permanece sempre igual ao valor da prestação Com o intuito de melhor desenvolver a compreensão do sistema de prestação constante considere o exemplo ilustrativo geral proposto anteriormente O Quadro 125 a seguir identifica a planilha financeira deste sistema a qual é mais bem elaborada partindose da última coluna para a primeira Isto é calculamse inicialmente as prestações e posteriormente para cada período os juros e por diferença as parcelas de amortização e o respectivo saldo devedor Quadro 125 SPC sem carência Períodos Semestres Saldo Devedor Amortização Juros Prestação 0 10000000 1 9483310 516690 1401750 1918440 2 8894180 589120 1329320 1918440 3 8222480 671700 1246740 1918440 4 7456620 765860 1152590 1918440 5 6583410 873210 1045230 1918440 6 5587790 995620 922830 1918440 7 4452620 1135180 783270 1918440 8 3158320 1294300 624150 1918440 9 1682590 1475730 442720 1918440 10 1682590 235860 1918440 Total 10000000 9184400 19184400 1231 As prestações semestrais são determinadas pela aplicação da fórmula de valor presente do modelopadrão conforme desenvolvida no item 711 do Capítulo 7 ou seja PV PMT FPV i n ondePV valor presente PMT valor da prestação periódica igual e sucessiva FPV fator de valor presente sendo Substituindo os valores do exemplo ilustrativo na equação temse 10000000 PMT 10000000 PMT 5212555 PMT 1918440semestre Os demais valores da planilha são mensurados de forma sequencial em cada um dos períodos Assim para o primeiro semestre temse Juros calculados sobre o saldo devedor imediatamente anterior 140175 10000000 1401750 Amortização obtida pela diferença entre o valor daprestação e o dos juros acumulados para o período 1918440 1401750 516690 Saldo Devedor Saldo Anterior no Momento Zero Parcela de Amortização do Semestre 10000000 516690 9483310 Para o segundo semestre os cálculos são os seguintes Juros 140175 9483370 1329320 Amortização 1918440 1329320 589120 Saldo Devedor 9483310 589120 8894190 e assim por diante Expressões de cálculo do SPC Conforme foi apresentado no sistema de prestação constante as prestações são constantes os juros são decrescentes e as amortizações são exponencialmente crescentes ao longo do tempo As expressões básicas de cálculo destes valores são desenvolvidas a seguir Amortização AMORT é obtida pela diferença entre o valor da prestação PMT e o dos juros J ou seja Amort PMT J A amortização do primeiro período expressase Amort1 PMT J1 o que equivale a Amort1 PMT PV i Como o seu crescimento é exponencial no tempo o valor da amortização num momento t qualquer é calculado Amortt Amort1 1 it 1 Por exemplo na ilustração geral desenvolvida o valor da amortização no quarto semestre t 4 atinge Amort4 516690 1 01401754 1 Amort4 516690 11401753 765860 conforme demonstrado na planilha financeira Quadro 125 Prestação PMT conforme foi demonstrado o valor da prestação é calculado mediante a aplicação da fórmula do valor presente desenvolvida para o modelopadrão de fluxos de caixa isto é Saldo Devedor SD calculado para cada período pela diferença entre o valor devido no início do intervalo de tempo e a amortização do período Logo para uma dada taxa de juros o saldo devedor de qualquer período t é apurado da forma seguinte SDt PMT FPV i n t Por exemplo na ilustração geral desenvolvida no capítulo o saldo devedor no 6o semestre do financiamento atinge SD6 1918440 FPV 140175 10 6 SD6 1918440 FPV 140175 4 SD6 1918440 2912667 5587790 resultado que coincide com o demonstrado na planilha financeira Quadro 125 Juros J incide sobre o saldo devedor apurado no início de cada período ou ao final de cada período imediatamente anterior A expressão de cálculo de juros pode ser ilustrada da maneira seguinte J1 SD0 i PV i J2 SD1 i PV Amort1 i J3 SD2 i PV Amort1 Amort2 i J4 SD3 i PV Amort1 Amort2 Amort3 i e assim sucessivamente 1232 Para um momento t qualquer Jt SDt 1 i Por exemplo determinar os juros devidos no terceiro semestre do exemplo ilustrativo geral conforme desenvolvido na planilha financeira do Quadro 125 SDt 1 PMT FPV i n t SD3 1 1918440 FPV 140175 10 2 SD2 8894180 J3 SD3 i J3 8894180 0140175 J3 1246740 e assim por diante SPC com carência Identicamente aos demais sistemas no SPC podem verificarse períodos de carência nos quais ainda os encargos financeiros podem ser pagos ou capitalizados Os Quadros 126 e 127 ilustram respectivamente para o exemplo geral considerado situações em que os juros são pagos durante a carência e capitalizados para resgate posterior juntamente com as prestações Quadro 126 SPC com Carência 2 anos e Pagamento dos Juros Períodos Semestres Saldo Devedor Amortização Juros Prestação 0 10000000 1 10000000 1401750 1401750 2 10000000 1401750 1401750 3 10000000 1401750 1401750 4 10000000 1401750 1401750 5 9483310 516690 1401750 1918440 6 8894180 589120 1329320 1918440 7 8222480 671700 1246740 1918440 8 7456620 765860 1152590 1918440 9 6583410 873210 1045230 1918440 10 5587790 995620 922830 1918440 11 4452620 1135180 783270 1918440 12 3158320 1294300 624150 1918440 13 1682590 1475730 442720 1918440 14 1682590 235860 1918440 Total 10000000 9184400 19184400 Quadro 127 SPC com Carência 2 anos e Capitalização dos Juros Períodos Semestres Saldo Devedor Amortização Juros Prestação 0 10000000 1 11401750 2 12999990 3 14822260 4 16900000 5 16026760 873220 2368950 3242170 6 15031140 995620 2246550 3242170 7 13895970 1135180 2106990 3242170 8 12601670 1294300 1947870 3242170 9 11125940 1475730 1766440 3242170 10 9443350 1682590 1559580 3242170 11 7524910 1918440 1323720 3242170 12 5337550 2187370 1054800 3242170 13 2843570 2493980 748190 3242170 14 2843570 398600 3242170 Total 16900000 15521700 32421700 O sistema francês prestação constante com carência e pagamento dos juros no período conforme ilustrado no Quadro 126 segue basicamente o mesmo esquema anterior SPC sem carência diferenciandose unicamente nas prestações dos quatro primeiros semestres carência Nestes períodos estão previstos somente pagamentos de 1401750 referentes aos juros do principal não amortizado 140175 10000000 Para os demais semestres o raciocínio é idêntico ao formulado anteriormente apurandose prestações com valores constantes juros decrescentes e amortizações crescentes 124 No Quadro 127 está prevista a capitalização dos juros durante o período de carência de quatro semestres Somandose este montante ao saldo devedor temse um novo valor ao final do quarto semestre de 16900000 o qual serve de base para o cálculo das prestações com vencimento a partir do quinto semestre ou seja Saldo Devedor 4o semestre que serve de base para o cálculo das prestações após o período de carência 5o semestre 10000000 11401754 16900000 Prestação PMT semestral a ser paga a partir do 5o semestre PV PMT 16900000 PMT 16900000 PMT 5212555 O preenchimento da planilha financeira a partir do final do período de carência é análogo ao proposto anteriormente SPC e taxa nominal de juros Uma alternativa de cálculo do SPC é verificada quando os períodos das prestações normalmente mensais mas não necessariamente se apresentarem menores que o da taxa de juros e tem como característica básica o uso da taxa proporcional linear simples em vez da taxa equivalente composta de juros taxa efetiva No exemplo ilustrativo geral proposto utilizouse a taxa equivalente semestral de 140175 para o cálculo dos juros no sistema francês e no SAC também Este percentual conforme estudado no Capítulo 2 quando capitalizado para um ano é igual à taxa de 30 de acordo com o estabelecido na operação de empréstimo 11401752 1 30 No entanto se fosse utilizado o SPC com taxa nominal no plano de amortização da dívida a taxa semestral a ser considerada seria a taxa proporcional simples de 15 302 a qual quando capitalizada para um ano resulta num percentual efetivo superior à taxa contratada ou seja 125 Taxa de Juros Contratada 30 aa Taxa Linear Semestral 302 15 as Taxa Efetiva Anual de Juros 1152 1 3225 aa Deve ficar claro que o SPC com taxa nominal é o próprio sistema francês de amortização introduzidas as observações comentadas As alterações nos valores do plano de amortização são devidas fundamentalmente ao uso da taxa de juros proporcional simples em substituição à taxa equivalente composta Fica evidente ainda que se o período de amortização coincidir com o da taxa prestações anuais e taxa de juros definidas também para ano por exemplo a taxa nominal de juros será a própria taxa efetiva da operação e os valores do plano de amortização para o SPC com taxa nominal coincidirão com aqueles apurados pelo SPC com taxa efetiva Sistema de amortização misto O Sistema de Amortização Misto SAM foi desenvolvido originalmente para as operações de financiamento do Sistema Financeiro de Habitação Representa basicamente a média aritmética entre o sistema francês SAF ou Sistema de Prestação Constante SPC e o sistema de amortização constante SAC daí explicandose a sua denominação Para cada um dos valores de seu plano de pagamentos devese somar aqueles obtidos pelo SPC com os do SAC e dividir o resultado por dois Os Quadros 121 e 125 apresentados anteriormente ilustram o plano de amortização do exemplo ilustrativo geral por meio do SAC e do SPC respectivamente Ao se adotar o sistema misto de amortização para o empréstimo contraído temse para o primeiro período semestre os seguintes valores Para os demais semestres seguese o mesmo raciocínio A planilha financeira do sistema misto elaborada por meio do SAC Quadro 121 e SPC Quadro 125 encontrase demonstrada no Quadro 128 Quadro 128 SAM sem Carência Períodos Semestre Saldo Devedor Amortização Juros Prestação 0 10000000 1 9241660 758350 1401750 2160100 126 2 8447090 794560 1295450 2090010 3 7611240 835850 1184070 2019920 4 6728310 882930 1066910 1949840 5 5791700 936600 943140 1879740 6 4793900 997810 811860 1809670 7 3726310 1067590 671990 1739580 8 2579160 1147150 522340 1669490 9 1341300 1237870 361540 1599410 10 1341300 188020 1529320 Total 10000000 8447080 18447080 Comparações entre SAC SPC e SAM Uma avaliação comparativa dos três sistemas de amortização estudados SAC SPC e SAM é desenvolvida a partir do exemplo ilustrativo geral Os valores correspondentes a cada um dos planos de pagamento estão transcritos conforme foram calculados anteriormente no Quadro 129 A partir das planilhas financeiras expostas no Quadro 129 observase que as prestações do SAC decrescem linearmente à razão de 140170 por semestre Este valor constante representa conforme discutido os juros de 140175 aplicados sobre o valor da amortização semestral 1000000 No SAF as prestações são sempre iguais atingindo a 1918440 em cada período Graficamente o comportamento das prestações para os critérios de amortização considerados é ilustrado na Figura 121 Optandose pelo SAC o mutuário começa a pagar valores prestações maiores que no SPC Este comportamento se mantém até o momento em que as duas retas descritas na Figura 121 se cruzam indicando o momento da reversão Figura 121 Comportamento das prestações O ponto em que as retas se cruzam indica valores iguais para as prestações Calculandose analiticamente este ponto de intersecção conforme demonstrado a seguir verificase que as prestações se igualam por volta da 4a prestação A partir daí as prestações pelo SPC tornamse maiores que as determinadas pelos demais sistemas de amortização PONTO DE IGUALDADE DAS PRESTAÇÕES PMTSPC 1918440 constante Igualandose PMTSPC PMTSAC temse 1 10 t 1 0140175 1918440 1000000 1 140175 0140175 t 0140175 1918440 1000000 1401750 140175 t 140175 1918440 140175 t 623485 t 445 Esse resultado pode ser confirmado no Quadro 129 para as prestações calculadas No 4o semestre a prestação PMT pelo SAC de 1981230 é superior ao valor constante de 1918440 determinado pelo SPC situandose ligeiramente abaixo no 5o semestre Logo a intersecção se verifica entre estes doisperíodos verificandose uma igualdade das prestações exatamente no semestre t 445 Quadro 129 Planilhas do SAC SPC e SAM Períodos Semestres SAC SPC SAM SD Amort J PMT SD Amort J PMT SD Amort J PMT 0 10000000 10000000 10000000 1 9000000 1000000 1401750 2401750 9483310 516690 1401750 1918440 9241660 758350 1401750 2160100 2 8000000 1000000 1261580 2261580 8894180 589120 1329320 1918440 8447090 794560 1295450 2090010 3 7000000 1000000 1121400 2121400 8222480 671700 1246740 1918440 7611240 835850 1184070 2019920 4 6000000 1000000 981230 1981230 7456620 765860 1152590 1918440 6728310 882930 1066910 1949840 5 5000000 1000000 841050 1841050 6583410 873210 1045230 1918440 5791700 936600 943140 1879740 6 4000000 1000000 700880 1700880 5587790 995620 922830 1918440 4793900 997810 811860 1809670 7 3000000 1000000 560700 1560700 4452620 1135180 783270 1918440 3726310 1067590 671990 1739580 8 2000000 1000000 420530 1420530 3158320 1294300 624150 1918440 2579160 1147150 522340 1669490 9 1000000 1000000 280350 1280350 1682590 1475730 442720 1918440 1341300 1237870 361540 1599410 10 1000000 140180 1140180 1682590 235860 1918440 1341300 188020 1529320 Total 10000000 7709650 17709650 10000000 9184400 19184400 10000000 8447080 18447080 No que se refere à parcela de amortização os valores são constantes no SAC e crescentes no SPC No sistema francês a parcela cresce exponencialmente à taxa de juros admitida na operação Observe no Quadro 129 que o valor da amortização pelo SPC apresenta um crescimento composto de 140175 por semestre taxa que representa os juros cobrados na operação Pelos dados do Quadro 129 ainda observase que os valores da amortização tornamse iguais entre o 6o e o 7o semestre Mais precisamente este ponto é obtido da forma seguinte AmortSAC 1000000 constante AmortSPC Amort1 1 it 7 Igualandose as expressões Amort1 1 it 1 1000000 516690 1140175t1 1000000 1140175t 1 1935396 Aplicandose log t 1 log 1140175 log 1935396 t 1 5034 t 5034 1 6034 As amortizações igualamse na prestação t 6034 No que se refere aos saldos devedores o decréscimo no SAC é mais acentuado que nos demais sistemas Quando do pagamento da 5a prestação no SAC por exemplo o saldo devedor corresponde a 50 da dívida No SPC ao se liquidar a metade das prestações o saldo devedor totaliza ainda a 658 da dívida somente atingindo a marca dos 50 quando do pagamento da 7a prestação aprox Mais precisamente SDt PMT FPV i n t 5000000 1918440 FPV 14017510 t 127 1140175 10 t 0634664 1140175 10 t 0634664 114017510 1140175t 0634664 1140175t 2356454 Aplicandose logaritmo As parcelas de juros apuradas para os três sistemas são definidas evidentemente com base no comportamento dos respectivos saldos devedores O total dos juros calculados no SPC é bastante superior ao do SAC ficando os valores do SAM numa posição intermediária Por se tratar de uma média do SAC e do SPC o sistema misto dispensa maiores comentários As prestações do SAM decrescem linearmente PA decrescente sendo a razão igual à metade da razão do SAC No Quadro 129 verificase que as prestações do SAC apresentam razão igual a 140170 exatamente o dobro da razão apurada no SAM de 70085 A prestação inicial no SAM é menor que a do SAC porém maior que a do SPC O inverso ocorre com a última prestação Este comportamento das prestações encontrase graficamente ilustrado na Figura 121 É importante ser acrescentado ainda que o SAM diante de suas características de formação é um plano de amortização financeiramente equivalente ao SAC e ao SPC Ao se descontar as prestações do SAM à taxa de juros i o valor presente encontrado é exatamente igual ao financiamento principal Sistema de amortização americano O Sistema de Amortização Americano SAA estipula que a devolução do capital emprestado é efetuada ao final do período contratado da operação de uma só vez Não se prevê de acordo com esta característica básica do SAA amortizações intermediárias durante o período de empréstimo Os juros costumam ser pagos periodicamente Admita no exemplo ilustrativo geral descrito que os 10000000 captados devam ser amortizados pelo SAA mediante uma única parcela ao final do 3o ano Os juros são pagos semestralmente à taxa efetiva de 140175 O Quadro 1210 a seguir ilustra a planilha financeira desta operação 1271 Quadro 1210 SAA com Pagamento Periódico dos Juros Períodos Semestres Saldo Devedor Amortização Juros Prestação 0 10000000 1 10000000 1401750 1401750 2 10000000 1401750 1401750 3 10000000 1401750 1401750 4 10000000 1401750 1401750 5 10000000 1401750 1401750 6 10000000 10000000 1401750 11401750 Total 10000000 8410500 18410500 Fundo de amortização Junto com o SAA costuma ser constituído pelo mutuário um Fundo de Amortização no qual vão sendo acumuladas poupanças periódicas durante o prazo do empréstimo O objetivo deste fundo é que o seu montante ao final do prazo n seja igual ao valor da dívida Estes depósitos são remunerados por meio de uma taxa periódica de juros No exemplo ilustrativo considerado acima admita que o tomador do empréstimo constitua um fundo de amortização no qual deve depositar certa quantia semestralmente durante todo o prazo do empréstimo Os depósitos periódicos são remunerados pela instituição financeira à taxa de 4 ao semestre O valor de cada depósito deve produzir um montante ao final dos 3 anos igual ao valor devido da dívida ou seja Conforme estudado no Capítulo 2 sabese que FV PMT FFV i n 10000000 PMT FFV 4 6 10000000 PMT 6632975 PMT 1507619 Dessa forma 1507619 é o valor de cada depósito semestral que irá produzir um montante ao final dos 3 anos igual à amortização da dívida de 10000000 128 1281 Custo efetivo Quando é cobrado unicamente juro nas operações de empréstimos e financiamentos o custo efetivo qualquer que seja o sistema de amortização adotado é a própria taxa de juro considerada O custo efetivo do exemplo ilustrativo geral desenvolvido ao longo deste capítulo é de 140175 as ou 30 aa que representa a taxa contratada para a operação Por outro lado é comum as instituições financeiras cobrarem além do juro declarado outros tipos de encargos tais como IOC Imposto sobre Operações de Crédito comissões taxas administrativas etc Estas despesas adicionais devem ser consideradas na planilha de desembolsos financeiros onerando o custo efetivo da operação Nessas condições tornase indispensável a apuração do custo efetivo de um empréstimo permitindo melhores comparações com outras alternativas O cálculo do custo efetivo é desenvolvido pelo método da taxa interna de retorno conforme estudado no Capítulo 2 item 26 Planilha com despesas adicionais Ilustrativamente admita que uma empresa tenha obtido um financiamento de 5000000 para ser amortizado em 4 prestações anuais de 1250000 cada O financiamento foi concedido sem carência O custo da operação é constituído de juros de 20 ao ano e IOC de 45 incidente sobre o valor do crédito e pago quando da liberação dos recursos O banco cobra ainda uma taxa de 10 ao final de cada ano incidente sobre o saldo devedor a título de cobrir despesas administrativas de concessão do crédito Pelos dados apresentados podese elaborar a planilha financeira do financiamento levandose em consideração as despesas adicionais de IOC e taxa administrativa Período Anos Saldo Devedor IOC Taxa Admin Amortização Juros Prestação 0 5000000 225000 225000 1 3750000 50000 1250000 1000000 2300000 2 2500000 37500 1250000 750000 2037500 3 1250000 25000 1250000 500000 1775000 4 12500 1250000 250000 1512500 Total 225000 125000 5000000 2500000 7850000 Conforme discutido no Capítulo 2 para se achar a taxa interna de retorno do fluxo de caixa deve ser determinado i de tal forma que 129 Calculandose i 237 aa que representa o custo efetivo do empréstimo levandose em conta os encargos adicionais cobrados Planilha de financiamento com juros pósfixados pela TJLP Admita um financiamento Finame de 70000000 a ser liquidado em 24 meses O primeiro ano é de carência sendo pagos somente os encargos financeiros ao final de cada trimestre Após a carência o tomador deve efetuar 12 pagamentos mensais pelo sistema francês de amortização vencendo a primeira no 13o mês e as demais sequencialmente A taxa de juros contratada para essa operação é a efetiva de 5 aa que equivale a 04074 am mais a TJLP A TJLP é uma taxa de juros de longo prazo instituída pelo Conselho Monetário Nacional que tem como base de cálculo as médias de juros dos títulos públicos federais das dívidas externas e internas O prazo de vigência dessa taxa é de três meses sendo seu percentual geralmente divulgado pelo Banco Central no primeiro dia útil do período de sua vigência A TJLP foi regulamentada pela Resolução no 2121 de 301194 do Banco Central do Brasil Admita ilustrativamente que as taxas TJLP para cada um dos trimestres do prazo do financiamento sejam as seguintes 1o Trim 685o Trim 48 2o Trim 626o Trim 60 3o Trim 777o Trim 70 4o Trim 60 O Quadro 1211 apresentado a seguir representa a planilha de pagamentos desse financiamento Durante o período de carência os valores da planilha são calculados da forma seguinte Quadro 1211 Planilha Financeira com Juros e TJLP Mês Saldo Devedor Amortização Juros Prestação 0 70000000 3 70000000 4760000 917460 5677460 6 70000000 4340000 912300 5252300 9 70000000 5390000 925190 6315190 12 70000000 4200000 910580 5110580 13 64296220 5703780 285180 5988960 14 58569210 5727010 261940 5988960 15 52818860 5750350 238610 5988960 16 49303240 6050920 225510 6276430 17 43227670 6075570 200860 6276430 18 37127350 6100320 176110 6276430 19 32862310 6492680 160330 6653010 20 26343180 6519130 133880 6653010 21 19797490 6545690 107320 6653010 22 14150880 7032430 86300 7118730 23 7089800 7061080 57650 7118730 24 7089800 28880 7118730 Total 94838760 5628100 100466860 Saldo Devedor permanece constante 70000000 pois os encargos financeiros são pagos ao final de cada trimestre Amortização representa para cada trimestre a TJLP do período aplicada sobre o saldo devedor de 70000000 ou seja 1o Trim 70000000 68 4760000 2o Trim 70000000 62 4340000 3o Trim 70000000 77 5390000 4o Trim 70000000 60 4200000 Juros taxa efetiva de 5 aa equivalendo a 12272 at Esse percentual é aplicado trimestralmente sobre o principal corrigido pela TJLP Assim 1o Trim 70000000 1068 12272 917460 2o Trim 70000000 1062 12272 912300 3o Trim 70000000 1077 12272 925190 4o Trim 70000000 106 12272 910580 Ao final da carência o financiamento prevê 12 pagamentos mensais corrigidos trimestralmente pela TJLP Dessa maneira para o 5o trimestre as prestações são calculadas com base na formulação do fluxo de caixa padrão conforme descrito no Capítulo 6 isto é PV PMT FPV i n 70000000 PMT FPV 04074 12 Resolvendose PMT 5988960 No início dos próximos três trimestres 16o mês 19o mês e 22o mês as prestações e também os demais valores da planilha financeira são corrigidos pela TJLP publicada para o período conforme consta do Quadro 1211 Por exemplo no 16o mês temse Prestação 5988960 1048 6276430 Juros 52818860 1048 04074 225510 Amortização 6276430 225510 6050920 Saldo Devedor 52818860 1048 6050920 49303240 Para os demais trimestres seguese a mesma metodologia de cálculo Exercícios resolvidos2 1 a b a Um empréstimo no valor de 42000000 foi concedido a uma empresa nas seguintes condições Taxa de juros5 at Amortizaçãopagamentos trimestrais Prazo de amortização3 anos Pedese elaborar a planilha financeira para amortizações pelos sistemas SAC e SPC admitindo que não haja carência haja carência de 2 trimestres Solução Planilha pelo SAC com e sem Carência Período Trimes tres Sem Carência Carência 2 Trimestres Saldo Devedor Amortização Juros Prestação Saldo Devedor Amortização Juros Prestação 0 42000000 42000000 1 38500000 3500000 2100000 5600000 42000000 2100000 2100000 2 35000000 3500000 1925000 5425000 42000000 2100000 2100000 3 31500000 3500000 1750000 5250000 38500000 3500000 2100000 5600000 4 28000000 3500000 1575000 5075000 35000000 3500000 1925000 5425000 5 24500000 3500000 1400000 4900000 31500000 3500000 1750000 5250000 6 21000000 3500000 1225000 4725000 28000000 3500000 1575000 5075000 7 17500000 3500000 1050000 4550000 24500000 3500000 1400000 4900000 8 14000000 3500000 875000 4375000 21000000 3500000 1225000 4725000 9 10500000 3500000 700000 4200000 17500000 3500000 1050000 4550000 10 7000000 3500000 525000 4025000 14000000 3500000 875000 4375000 11 3500000 3500000 350000 3850000 10500000 3500000 700000 4200000 12 3500000 175000 3675000 7000000 3500000 525000 4025000 13 3500000 3500000 350000 3850000 14 3500000 175000 3675000 Total 42000000 13650000 55650000 42000000 17850000 59850000 Amortização 3500000Trim 2 b Planilha pelo SPC com e sem Carência Período Trimes tres Sem Carência Carência 2 Trimestres Saldo Devedor Amortização Juros Prestação Saldo Devedor Amortização Juros Prestação 0 42000000 42000000 1 39361330 2638670 2100000 4738670 42000000 2100000 2100000 2 36590730 2770600 1968070 4738670 42000000 2100000 2100000 3 33681600 2909130 1829540 4738670 39361330 2638670 2100000 4738670 4 30627010 3054590 1684080 4738670 36590730 2770600 1968070 4738670 5 27419790 3207320 1531350 4738670 33681600 2909130 1829540 4738670 6 24052010 3367680 1370980 4738670 30627010 3054590 1684080 4738670 7 20515960 3536070 1202600 4738670 27419790 3207320 1531350 4738670 8 16803080 3712870 1025800 4738670 24052010 3367680 1370980 4738670 9 12904570 3898510 840150 4738670 20515960 3536070 1202600 4738670 10 8811130 4093440 645230 4738670 16803080 3712870 1025800 4738670 11 4513020 4298110 440560 4738670 12904570 3898510 840150 4738670 12 4513020 225650 4738670 8811130 4093440 645230 4738670 13 4513020 4298110 440560 4738670 14 4513020 225650 4738670 Total 42000000 14864010 56864000 42000000 19064010 61064010 Um empréstimo de 16000000 é concedido a uma empresa para ser liquidado em 2 anos e meio mediante pagamentos semestrais A taxa de juros contratada é de 24 ao ano e não há carência Pedese construir a planilha de desembolso deste empréstimo pelo sistema de amortização misto 3 Solução Períodos Semes tres SAC SPC Saldo Devedor Amortização Juros Prestação Saldo Devedor Amortização Juros Prestação 0 16000000 16000000 1 12800000 3200000 1817600 5017600 13449200 2550800 1817600 4368400 2 9600000 3200000 1454080 4654080 10608630 2840570 1527830 4368400 3 6400000 3200000 1090560 4290560 7445370 3163260 1205140 4368400 4 3200000 3200000 727040 3927040 3922770 3522600 845800 4368400 5 3200000 363520 3563520 3922770 445630 4368400 Total 16000000 5452800 21452800 16000000 5842000 21842000 Juros 24 aa 1 1136 as Períodos Semestres SAM Saldo Devedor Amortização Juros Prestação 0 16000000 1 13124600 2875400 1817600 4693000 2 10104320 3020290 1490960 4511240 3 6922690 3181630 1147850 4329480 4 3561390 3361300 786420 4147720 5 3561390 404580 3965960 Total 16000000 5647400 21647400 Uma pessoa está negociando a compra de um imóvel pelo valor de 35000000 As condições de pagamento propostas são as seguintes 1o mês 7000000 2o mês 5000000 3o mês 8000000 4o mês 6000000 5o mês 9000000 4 Sendo de 25 ao mês a taxa corrente de juros determinar o valor dos desembolsos mensais amortização juros e prestação que devem ser efetuados caso o negócio seja realizado nessas condições Solução Períodos meses Saldo Devedor Amortização Juros Prestação 0 35000000 1 28000000 7000000 875000 7875000 2 23000000 5000000 700000 5700000 3 15000000 8000000 575000 8575000 4 9000000 6000000 375000 6375000 5 9000000 225000 9225000 Total 35000000 2750000 37750000 Um financiamento para capital de giro no valor de 200000000 é concedido a uma empresa pelo prazo de 4 semestres A taxa de juros contratada é de 10 as Sendo adotado o sistema americano para amortização desta dívida e os juros pagos semestralmente durante a carência calcular o valor de cada prestação mensal Admita ainda que a taxa de aplicação seja de 4 as Calcular os depósitos semestrais que a empresa deve efetuar neste fundo de maneira que possa acumular ao final do prazo do financiamento 4 semestres um montante igual ao desembolso de amortização exigido Solução Planilha Financeira pelo SAA Períodos Semestres Saldo Devedor Amortização Juros Prestação 0 200000000 1 200000000 20000000 20000000 2 200000000 20000000 20000000 3 200000000 20000000 20000000 4 200000000 20000000 220000000 Total 200000000 80000000 280000000 5 a b c d O valor de cada parcela a ser depositada semestralmente no fundo de amortização é de 47098000 isto é PV PMT FPV i n PMT 200000000 0235490 47098000 Um empréstimo no valor de 8000000 será liquidado pelo sistema de amortização constante em 40 parcelas mensais A taxa de juros contratada para a operação é de 4 ao mês Determinar valor de cada amortização mensal valor dos juros e da prestação referentes ao 22o pagamento valor da última prestação valor do saldo devedor imediatamente após o pagamento da 10a prestação Solução J22 200000 19 004 152000 PMT Amort Juros PMT 200000 152000 352000 ou 6 7 d a b a b PMT40 200000 1 004 208000 SD10 8000000 200000 10 6000000 Um financiamento no valor de 90000000 é amortizado em 30 parcelas mensais pelo sistema francês A taxa de juros contratada é de 28 ao mês Determinar o valor de cada prestação mensal o valor da amortização e dos juros referentes ao 19o mês Solução Prestação Mensal PMT PMT PV 1FPV i n PMT 900000 0049709 4473810 Amort19 e J19 Amortt Amort1 1 it 1 Amort1 PMT PV i Amort1 4473810 900000 0028 1953810 Substituindo Amort19 1953810 102819 1 3211870 Jt SDt 1 i SDt 1 PMT FPV i n t SD19 1 4473810 FPV 28 30 18 SD18 4473810 10073898 45068700 Substituindo J19 45068700 0028 1261920 Admita que em determinada data um banco conceda um financiamento a uma empresa com as seguintes condições Valor do financiamento 60000000 Prazo de Amortização 12 meses com carência de 6 meses Durante a carência o mutuário paga trimestralmente somente os encargos de juros e comissão do banco Taxa de juros 18 ao ano taxa efetiva Sistema de amortização SAC Comissão do banco 02 am calculado sobre o saldo devedor IOC 69 sobre o valor do financiamento principal e descontado quando da liberação dos recursos ao mutuário Pedese elaborar a planilha de desembolsos desse financiamento Solução Período meses Saldo Devedor Amortização Comissão IOC Juros Prestação 0 60000000 4140000 4140000 3 60000000 360000 2534800 2894800 6 60000000 360000 2534800 2894800 7 55000000 5000000 120000 833300 5953300 8 50000000 5000000 110000 763860 5873860 9 45000000 5000000 100000 694420 5794420 10 40000000 5000000 90000 624980 5714980 11 35000000 5000000 80000 555540 5635540 12 30000000 5000000 70000 486100 5556100 13 25000000 5000000 60000 416650 5476650 14 20000000 5000000 50000 347210 5397210 15 15000000 5000000 40000 277770 5317770 16 10000000 5000000 30000 208330 5238330 17 5000000 5000000 20000 138880 5158880 18 5000000 10000 69440 5079440 Total 60000000 1500000 4140000 10486080 76126080 Comissão 02 am ou 06 at 1 Mês 3 Mês 6 60000000 06 360000 IOC 60000000 69 4140000 Juros 18 aa 1 13888 am 1 42247 at Exercícios propostos Um banco concede um financiamento de 66000000 para ser liquidado em 8 pagamentos mensais pelo sistema SAC A operação é realizada com uma carência de 3 meses sendo somente os juros pagos neste período Para uma taxa efetiva de juros de 25 ao mês elaborar a planilha de desembolsos deste financiamento 2 3 4 b 6 7 8 9 10 a 5 a b c a b c Um equipamento no valor de 120000000 está sendo financiado por um banco pelo prazo de 6 anos A taxa de juros contratada é de 15 ao ano e as amortizações anuais são efetuadas pelo sistema de prestação constante O banco concede ainda uma carência de 2 anos para início dos pagamentos sendo os juros cobrados neste intervalo de tempo Elaborar a planilha financeira deste financiamento Um empréstimo no valor de 500000000 foi concedido a uma empresa para ser devolvido no prazo de 24 meses A taxa de juros cobrada trimestralmente é de 36 e as amortizações são efetuadas pelo sistema americano Elaborar a planilha financeira deste empréstimo Uma instituição empresta 85000000 a uma empresa para serem devolvidos em prestações quadrimestrais pelo sistema americano em 4 anos A taxa de juros cobrada a cada quadrimestre é de 85 Pedese elaborar a planilha financeira do empréstimo pelo SAA sendo de 40 aq a taxa de aplicação determinar os depósitos quadrimestrais para a constituição de um fundo de amortização Um banco concede um empréstimo de 48000000 para ser amortizado de acordo com as seguintes condições 1o semestre 3000000 2o semestre 5000000 3o semestre 7000000 4o semestre 9000000 5o semestre 11000000 6o semestre 13000000 O empréstimo é realizado com uma carência de um semestre Sendo de 8 a taxa de juros paga semestralmente determinar os desembolsos periódicos exigidos por este empréstimo Um imóvel é colocado a venda por 6000000 de entrada mais seis prestações trimestrais de 2400000 cada Sendo de 25 am a taxa corrente de juros determinar a base de valor a vista do imóvel Um financiamento no valor de 24000000 deve ser saldado em 30 prestações mensais pelo sistema SAC A taxa de juros contratada é de 4 ao mês Determinar o saldo devedor os juros e a prestação referentes ao 19o mês Uma empresa levanta um financiamento de 400000000 sem carência para ser amortizado em 6 anos pelo SPC Os pagamentos são efetuados trimestralmente e a taxa de juros contratada atinge 9 at Pedese determinar valor de cada prestação trimestral valor da amortização e dos juros referentes à 15a prestação saldo devedor no 7o trimestre logo após o pagamento da prestação Um financiamento no valor de 200000000 é concedido para ser amortizado em 24 pagamentos mensais pelo SPC com taxa nominal A taxa de juros linear contratada é de 24 ao ano Com base nestas informações pedese determinar valor de cada prestação mensal saldo devedor ao final do 18o mês os valores de juro e amortização referentes ao 10o mês Um financiamento de 160000000 pode ser amortizado pelo SAC SPC e SAM O prazo é de 32 meses e a taxa de juros de 3 ao mês Determinar 11 12 13 14 a b c d a b 1 o valor da 10a prestação de cada um dos sistemas de amortização o saldo devedor imediatamente após o pagamento da 20a prestação pelos três sistemas de amortização os valores de amortização e juros contidos na 27a prestação dos três sistemas de amortização em que momento as prestações do SAC e do SPC tornamse iguais Um imóvel no valor de 50000000 está sendo financiado por um banco em 180 meses A taxa de juros cobrada neste tipo de financiamento é de 1 ao mês e a amortização pode ser efetuada tanto pelo SAC como pelo SPC Determinar em que momento os valores das prestações apuradas pelos dois sistemas tornamse iguais Seja um financiamento com prazo de amortização de 6 anos e juros de 48 ao ano A operação é contratada pelo SPC Pedese determinar o momento em que o saldo devedor da dívida esteja reduzido à metade Um banco oferece um financiamento de 18000000 para ser liquidado em 24 pagamentos mensais podendo na amortização ser usado tanto o SAC como o SPC O financiamento não prevê carência e a taxa de juros é de 6 ao mês O tomador do empréstimo está em dúvida quanto ao sistema de amortização que deve escolher Para tanto necessita de informações adicionais com relação ao comportamento das parcelas de financiamento Pedese determinar em qual pagamento as parcelas das prestações se tornam iguais nos dois sistemas após o 12o pagamento qual o percentual que o saldo devedor corresponde da dívida pelo SAC e SPC Admita que uma empresa tenha captado um financiamento em moeda estrangeira dólar por meio de uma operação de repasse de recursos externos As informações extraídas da operação são apresentadas a seguir Valor do financiamento US 600000 Forma de pagamento o principal é amortizado em 6 pagamentos trimestrais de US 100000 cada Taxa de juros 20 ao ano Comissão de repasse fixada em 5 e calculada sobre o valor do repasse A comissão é cobrada no ato da liberação dos recursos Comissão de abertura de crédito fixada em 1 sobre o valor do repasse e cobrada no momento da liberação dos recursos Elaborar a planilha financeira em dólar e determinar o custo efetivo da operação Respostas Períodos meses Saldo Devedor Amortização Juros Prestação 0 66000000 1 66000000 1650000 1650000 2 66000000 1650000 1650000 3 66000000 1650000 1650000 4 57750000 8250000 1650000 9900000 5 49500000 8250000 1443750 9693750 6 41250000 8250000 1237500 9487500 7 33000000 8250000 1031250 9281250 8 24750000 8250000 825000 9075000 9 16500000 8250000 618750 8868750 10 8250000 8250000 412500 8662500 11 8250000 206550 8456550 Total 66000000 12375300 78375300 2 3 4a Períodos Anos Saldo Devedor Amortização Juros Prestação 0 120000000 1 120000000 18000000 18000000 2 120000000 18000000 18000000 3 106291570 13708430 18000000 31708430 4 90526880 15764690 15943740 31708430 5 72397480 18129400 13579030 31708430 6 51548670 20848810 10859620 31708430 7 27572540 23976130 7732300 31708430 8 27572540 4135880 31708430 Total 120000000 106250580 226250580 Períodos Trimestres Saldo Devedor Amortização Juros Prestação 0 500000000 1 500000000 18000000 18000000 2 500000000 18000000 18000000 3 500000000 18000000 18000000 4 500000000 18000000 18000000 5 500000000 18000000 18000000 6 500000000 18000000 18000000 7 500000000 18000000 18000000 8 500000000 18000000 518000000 Total 500000000 144000000 644000000 Planilha Financeira pelo SAA b 5 Períodos Quadrimestres Saldo Devedor Amortização Juros Prestação 0 85000000 1 85000000 7225000 7225000 2 85000000 7225000 7225000 3 85000000 7225000 7225000 4 85000000 7225000 7225000 5 85000000 7225000 7225000 6 85000000 7225000 7225000 7 85000000 7225000 7225000 8 85000000 7225000 7225000 9 85000000 7225000 7225000 10 85000000 7225000 7225000 11 85000000 7225000 7225000 12 85000000 7225000 92225000 Total 85000000 86700000 171700000 Depósitos quadrimestrais 5656930 Períodos Semestres Saldo Devedor Amortização Juros Prestação 0 48000000 1 48000000 3840000 3840000 2 45000000 3000000 3840000 6840000 3 40000000 5000000 3600000 8600000 4 33000000 7000000 3200000 10200000 5 24000000 9000000 2640000 11640000 6 13000000 11000000 1920000 12920000 7 13000000 1040000 14040000 6 7 8a b c 9a b c 10a b c d 11 12 13a b 14 Total 48000000 20080000 68080000 17200350 SD19 8800000 J19 384000 PMT19 1184000 Amort 800000 PMT 41209020 Amort15 17407140 J15 23801880 SD7 352074680 PMT 10574220 SD18 59230760 J10 2717420 Amort10 7856800 PMT10 SAC 8450000 PMT10 SPC 7847460 PMT10 SAM 8148730 SD20 SAC 60000000 SD20 SPC 78113650 SD20 SAM 69056820 Amort27 SAC 5000000 J27 SAC 900000 Amort27 SPC 6572130 J27 SPC 1275330 Amort27 SAM 5786060 J27 SAM 1087670 Aproximadamente na 14a prestação n 14016933 Por volta da 65a prestação n 6496976 Entre o 4o e o 5o pagamento n 446 Em torno do 10o pagamento SAC 50 SPC 668 Planilha em Dólar Períodos Trimestres Saldo Devedor Amortização Juros Prestação 0 60000000 1 50000000 10000000 2796000 12796000 2 40000000 10000000 2330000 12330000 3 30000000 10000000 1864000 11864000 4 20000000 10000000 1398000 11398000 5 10000000 10000000 932000 10932000 6 10000000 466000 10466000 Total 60000000 9786000 69786000 Custo Efetivo 669 at ou 296 aa 1 O capítulo é em grande parte uma condensação do trabalho Sistemas de Amortizações de Empréstimos e Financiamentos elaborado pelo autor e publicado no Boletim de Temática Contábil do IOB n 12 abr 1984 2 Programas de cálculo estão disponíveis em ASSAF N Alexandre LIMA F Guasti Investimentos no mercado financeiro usando a calculadora HP 12C 2 ed São Paulo Inside Books Editora 2008 131 13 Taxa e Prazo Médios de Operações Financeiras O estudo de taxa e prazo médios de operações financeiras assume maior importância à medida que se desenvolvem as operações do mercado financeiro e de capitais Estes assuntos são bastante pertinentes a um controle mais eficiente das operações financeiras e de suas carteiras de ativos e passivos cada vez mais complexas e sofisticadas O capítulo dedicase a um estudo mais aprofundado do tema demonstrando suas formas práticas de cálculo com base sempre no critério de juros compostos Taxa média A taxa média i indica para determinada carteira de aplicação ou captação a taxa de juro média e periódica representativa das operações financeiras realizadas Corresponde em outras palavras à taxa interna de retorno conforme estudada no Capítulo 2 que iguala em determinada data todas as entradas e saídas de caixa provenientes das operações de captações ou aplicações processadas No caso de uma carteira de aplicações a taxa média indica o retorno médio por período definido em termos percentuais das diversas operações Para uma carteira de captações a taxa média mede o custo percentual médio que os fornecedores de capital estão sendo remunerados em cada período A expressão básica de cálculo da taxa média apresentase da forma seguinte onde somatório do valor presente de todos os valores aplicados ou captados em determinado período PMTj PMT1 PMT2 PMTn são todas as entradas captações ou saídas aplicações de caixa representativas das operações financeiras em determinado período i taxa média de retorno ou custo determinada da carteira de operações financeiras no período Representa mais efetivamente a própria taxa interna de retorno da carteira de operações Visando desenvolver uma aplicação prática da metodologia de cálculo da taxa média considere inicialmente a seguinte ilustração Um investidor efetua em determinado momento as seguintes aplicações de recursos pelo prazo de 5 meses Aplicações Valor Presente Valor da Aplicação Taxa Mensal A 2000000 16 B 9200000 25 C 11200000 37 Sendo de 5 meses o prazo de resgate para as três operações têmse os seguintes resultados Aplicações Valor Presente PV Valor Futuro FV Juros A 2000000 2165200 165200 B 9200000 10408960 1208960 C 11200000 13431110 2231110 Total 22400000 26005270 3605270 FVA 2000000 10165 2165200 FVB 9200000 10255 10408960 FVC 11200000 10375 13431110 26005270 Graficamente O cálculo da taxa média i é obtido FV PV 1 in 1 i5 1 i5 1160950 i 10303 i 303 ao mês 1311 Concluise que é equivalente aplicar os três capitais às taxas de 16 25 e 37 respectivamente pelo período de 5 meses em relação à aplicação do total destes capitais à taxa média de 303 am por 5 meses Ambas as alternativas produzem o mesmo montante ao final do prazo ou seja FV5 22400000 103035 260052701 A situação desenvolvida acima assume a hipótese simplificadora de todas as operações serem realizadas num mesmo momento assim como os prazos de aplicação estarem definidos igualmente em 5 meses No entanto várias outras situações podem ocorrer envolvendo prazos diferentes para as operações ou inclusive datas desiguais para as aplicações ou captações financeiras Conforme é estudado a seguir a solução desses casos envolve necessariamente expressar alguns dos valores entradas ou saídas de caixa num mesmo momento de tempo Taxa média de operações com prazos diferentes Admita uma carteira de aplicações todas efetuadas num mesmo momento cujos rendimentos são apropriados ao final dos respectivos prazos Aplicação Valor da Aplicação valor atual Taxa Mensal Prazo A 26000000 34 15 meses B 8500000 18 5 meses C 10000000 26 10 meses Total 44500000 FVA 26000000 103415 42932030 FVB 8500000 10185 9293040 FVC 10000000 102610 12926280 Graficamente a carteira de aplicações tem a seguinte ilustração Ocorrendo todas as aplicações numa mesma data a taxa média de retorno da carteira é a taxa de desconto composta taxa interna de retorno que iguala o total das aplicações com o valor atualizado dos montantes verificados em diferentes datas ou seja Resolvendose a expressão chegase a i 313 am que corresponde à taxa média mensal de rentabilidade do fluxo de aplicações financeiras também denominada por taxa interna de retorno O mesmo esquema de cálculo da taxa média pode também ser aplicado em carteira de operações financeiras envolvendo fluxos de caixa periódicos os quais se justapõem ao longo do tempo Ilustrativamente admita as seguintes aplicações efetuadas por um investidor em determinado momento Aplicação Valor da Aplicação Valor atual No de Prestações Mensal A 800000 3 17 B 4200000 5 29 C 9000000 8 40 Total 14000000 Prestações mensais iguais e sucessivas PMT Pelos dados apresentados são apurados os seguintes resultados PMTA 800000FPV 17 3 275780 PMTB 4200000FPV 29 5 914470 PMTC 9000000FPV 40 8 1336750 Dessa maneira evidenciamse as seguintes entradas periódicas de caixa provenientes das aplicações financeiras realizadas Mês 1 275780 914470 1336750 2527000 Mês 2 275780 914470 1336750 2527000 Mês 3 275780 914470 1336750 2527000 Mês 4914470 1336750 2251220 1312 Mês 5914470 1336750 2251220 Mês 61336750 1336750 Mês 71336750 1336750 Mês 81336750 1336750 A representação gráfica dos fluxos de caixa da carteira de aplicações apresentase da seguinte maneira De acordo com a definição proposta a taxa média de retorno da carteira de aplicações é aquela taxa que ao descontar os fluxos de caixa apura um valor igual ao desembolso inicial Logo Efetuandose os cálculos com o auxílio de uma calculadora financeira chegase à taxa de i 3676 am Taxa média com diferentes momentos de aplicação Para a ilustração dessa situação admita um investidor com uma carteira de aplicações financeiras cujo resgate irá ocorrer daqui a 15 meses As principais informações da carteira são apresentadas a seguir Aplicação Momento da Aplicação Valor da Aplicação Valor Atual Taxa Mensal Prazo da Aplicação A t0 7000000 47 15 meses B t8 3000000 30 7 meses C t4 4500000 40 11 meses Total 14500000 Os montantes das operações são obtidos FVA 7000000 104715 13941140 FVB 3000000 1037 3689620 FVC 4500000 10411 6927540 Montante FV 24558300 Representação gráfica do fluxo de caixa Observe que apesar de as aplicações terem sido realizadas em momentos diferentes do tempo estáse admitindo que os seus resgates ocorrerão numa única data 15o mês Ou seja os valores futuros montantes encontramse capitalizados para um mesmo momento Conforme comentouse é necessário para a Matemática Financeira que pelo menos um dos valores valor presente ou valor futuro esteja referenciado a uma mesma data Assim para a ilustração dada elaborase a seguinte expressão de cálculo da taxa interna de retorno média 7000000 1 i15 4500000 1 i11 3000000 1 i7 24558300 Resolvendose a equação com o auxílio de calculadoras financeiras temse que i 437 ao mês Observe que ao se capitalizarem todas as aplicações da carteira para o 15o mês pela taxa média de juros calculada apurase um montante igual a 24558300 demonstrando a equivalência da taxa média de 437 am com as várias taxas consideradas na carteira Ou seja FV 7000000 1043715 4500000 1043711 3000000 104377 FV 13303670 7206420 4048210 FV 245583002 Conforme salientado o exemplo ilustrativo foi desenvolvido admitindose que os términos das operações ocorrem no mesmo momento do tempo 15o mês Na prática não se verificando esta identificação o cálculo da taxa média é processado propondose uma única data de resgate para todas as aplicações Em carteiras de captações financeiras ao contrário é mais comum expressar os valores captados 132 1 numa única data permanecendo somente os montantes valores a pagar referenciados em momentos distintos Prazo médio O prazo n de uma operação conforme foi amplamente estudado ao longo dos capítulos anteriores reflete o número de períodos que compõem um fluxo de caixa Em outras palavras n indica a quantidade de períodos que as várias parcelas de caixa remunerarão o capital emprestado ou aplicado da operação Por outro lado o prazo médio n pode ser entendido como o tempo em que um ou mais fluxos de caixa dada uma taxa de juros e regime de capitalização produz uma única parcela equivalente a todo o fluxo De outra maneira indica o número de períodos em que uma única parcela de pagamento ou recebimento se torna equivalente indiferente a todos os fluxos de entradas ou saídas de caixa determinados por uma ou mais operações financeiras A expressão geral de cálculo do prazo médio apresentase da forma seguinte onde VBF valor bruto final É apurado pela soma de todos os pagamentos ou recebimentos envolvidos em uma ou mais operações financeiras representa o somatório do valor bruto final das t operações consideradas correspondente ao somatório do valor presente das t operações financeiras consideradas no cálculo do prazo médio isto é o total das entradas ou saídas de caixa referenciados no momento atual i taxa média da operação financeira conforme demonstrada no item precedente n prazo médio das operações financeiras duração Representa em verdade a incógnita do problema Uma aplicação prática para melhor entendimento do conceito de prazo médio é desenvolvida a seguir Exemplo Determinar o prazo médio de um financiamento no valor de 1870000 a ser liquidado em 10 prestações mensais de 214770 cada Solução Inicialmente deve ser apurada a taxa custo média deste financiamento ou seja PV PMT FPV i n 1870000 214770 FPV i 10 i 260 am Considerando a existência de uma única operação 26 am é a taxa média e a própria taxa de remuneração da operação Aplicandose a expressão do prazo médio temse Logo 2147700 1870000 1026n 1026n 1148503 Aplicandose logaritmo conforme ilustrado no Apêndice B Esse resultado revela que ao final de 539 meses o recebimento de uma única prestação de 2147700 que representa o valor bruto final do financiamento concedido tornase indiferente equivalente ao recebimento mensal e sucessivo de 10 prestações no valor de 214770 cada conforme o esquema apresentado acima Graficamente esta equivalência é ilustrada da seguinte maneira equivalente a Observe que o valor presente dos dois fluxos de caixa é igual em 1870000 denotando a equivalência entre ambos ou seja PV 214770 FPV 26 10 1870000 PV 21477001026539 1870000 Da mesma maneira se os fluxos de caixa forem aplicados à mesma taxa de juros considerada de 26 am apurase o mesmo montante ao final do prazo de 10 meses isto é 1321 1 FV 214770 FFV 26 10 2417220 FV 2147700 102610 539 2417220 Prazo médio duration de Macaulay Uma metodologia mais rigorosa de cálculo do prazo médio duration é apresentada pela formulação de Macaulay a qual leva em conta os fluxos de caixa juros e amortizações ponderados pelas respectivas maturidades e trazidos a valor presente pela taxa de atratividade A formulação básica da duration de Macaulay é apresentada onde ct valores periódicos pagos referentes aos juros e amortizações do principal t maturidade de cada fluxo de pagamento YTM Yield to Maturity taxa efetiva de juros da operação financeira conforme estudada no Capítulo 11 P0 preço de negociação de mercado do título conforme calculado no Capítulo 11 Exemplos Determinar o prazo médio duration pela formulação de Macaulay de um título que oferece rendimentos de 6 as e maturidade de quatro anos O valor de face do título é de 1000 Solução Como já explicado o duration visa expressar o prazo médio a decorrer de um título de renda fixa até seu vencimento Quando uma obrigação apresenta pagamentos ao longo de sua maturidade o prazo de emissão do título pode não representar de forma mais adequada a duração média do investimento demandando uma medida que envolve outras variáveis Utilizando a expressão de cálculo de Macaulay temse 2 a b b Pelo modelo de Macaulay o prazo médio a decorrer desse título equivale a 658 semestres Assim FV Duration 601066581 601066582 601066583 601066584 601066585 601066586 601066587 10601066588 FV Duration 14673 equivalendo ao valor do investimento no título capitalizado pelos rendimentos até a duration FV Duration 1000 106658 FV Duration 14673 Considere a seguinte carteira de títulos de renda fixa Título Resgate Prazo de Resgate Juros I 70000 21 dias 14 am II 50000 40 dias 18 am Pedese determinar Duration de Macaulay Rentabilidade média mensal Solução A rentabilidade média pode ser calculada pelo fluxo de caixa ou pela duração média 1 Resolvendose IRR i 163 am Utilizandose a duration temse 12000000 1181468 1 i288530 IRR i 163 am Exercícios resolvidos Calcular a taxa média e o prazo médio da seguinte carteira de aplicações financeiras ilustradas a seguir sabendo que o resgate ocorre ao final do prazo Aplicação Valor da Aplicação Taxa Mensal de Juros Prazo da Aplicação Momento da Aplicação I 800000 30 2 meses t8 II 2200000 35 7 meses t3 III 4500000 41 5 meses t5 IV 600000 24 10 meses t0 810000000 Solução Taxa Média Seguindo o raciocínio desenvolvido anteriormente temse FVI 800000 1032 848720 FVII 2200000 10357 2799010 FVIII 4500000 10415 5501310 FVIV 600000 102410 760590 Montante FV 9909630 Graficamente temse 2 A taxa média de juros da carteira taxa interna de retorno é determinada pela formulação 600000 1 i10 2200000 1 i7 4500000 1 i5 800000 1 i2 9909630 Resolvendose com o auxílio de calculadora financeira i 361 am 36145089 A taxa média de retorno calculada de 361 am promove um montante das operações da carteira igual a 9909630 Prazo Médio Para o cálculo do prazo médio têmse as seguintes informações 800000 2200000 4500000 600000 8100000 i 361 am Aplicandose a fórmula de cálculo chegase a 9909630 8100000 O cálculo do prazo médio revela que a aplicação dos quatro capitais dadas as taxas de juros e os momentos considerados é equivalente segundo o modelo mais simplificado desenvolvido no item 132 a aplicarse todo o capital de 8100000 por 569 meses capitalizado pela taxa média de juros de 361 am Ambas as alternativas produzem o mesmo montante de 9909630 em t10 FV10 8100000 10361569 9909630 Determinar a taxa média de juros e o prazo médio de dois financiamentos com as seguintes características Aplicação Valor do Financiamento No de Prestações Taxa Mensal A 1600000 5 6 B 2900000 8 5 Total 4500000 Prestações mensais iguais e sucessivas PMT No cálculo do prazo médio utilize a formulação simplificada apresentada no item 132 e a duration de Macaulay Solução Taxa Média PMTA 1600000FPV 6 5 379830 PMTB 2900000FPV 5 8 448690 Os desembolsos mensais de caixa exigidos pelos dois financiamentos são ilustrados a seguir Mês 1 379830 448690 828520 Mês 2 379830 448690 828520 Mês 3 379830 448690 828520 Mês 4 379830 448690 828520 Mês 5 379830 448690 828520 Mês 6448690 448690 Mês 7448690 448690 Mês 8448690 448690 5488670 Graficamente Expressão de cálculo da taxa média de juros Resolvendose a expressão com o auxílio de uma calculadora financeira chegase a i 528 am Prazo Médio item 132 i 528 am Substituindose os valores na fórmula apurase o seguinte prazo médio 5488670 4500000 10528n 10528n 1219704 Ilustrando o resultado graficamente temse o seguinte contorno Os fluxos de caixa capitalizados à taxa média de juros de 528 ao mês produzem um montante de 6790580 ao final do mês 8 isto é FV8 828520 105287 828520 105286 828520 105285 828520 105284 828520 105283 448690 105282 448690 10528 448690 FV8 6790580 1 a O montante no mesmo momento do valor bruto final VBF de 5488670 considerado como equivalente no mês 386 atinge também FV8 5488670 105288386 6790580 Comprovandose dessa maneira os resultados Duration de Macaulay 1 Mês n 2 Prestações PMT 3 PV das prestações PMT10528n 4 1 3 1 82852 78697 78697 2 82852 74750 149500 3 82852 71001 213003 4 82852 67440 269760 5 82852 64058 320290 6 44869 32951 197706 7 44869 31299 219093 8 44869 29729 237832 TOTAL 548867 449925 1685881 Conforme foi demonstrado a duration de Macaulay equivale a capitalizar o valor das aplicações até o duration ou seja FV Duration 450000 10528375 545770 Esse montante é exatamente igual ao valor corrigido dos fluxos das prestações para o mesmo momento da duration FV Duration 82852 105283751 82852 105283752 82852 105283753 82852 10528375 4 82852 105283755 44869 105283756 44869 105283757 44869 105283758 FV Duration 545770 Exercícios propostos Calcular a taxa média composta das seguintes carteiras de aplicações financeiras sendo todas com resgate ao final do prazo Carteira X Aplicações Valor da Aplicação Taxa Mensal Prazo da Aplicação Momento da Aplicação 2 b c A 25000000 35 10 meses hoje t0 B 44000000 55 10 meses hoje C 18000000 30 10 meses hoje D 30000000 40 10 meses hoje Carteira W Aplicações Valor da Aplicação Taxa Mensal Prazo da Aplicação Momento da Aplicação A 13000000 50 12 meses hoje t0 B 48000000 90 6 meses hoje C 25000000 60 10 meses hoje D 36000000 75 8 meses hoje Carteira Z Aplicações Valor da Aplicação Taxa Mensal Prazo da Aplicação Momento da Aplicação A 11500000 70 6 meses t4 B 7000000 60 7 meses t3 C 2000000 35 10 meses t0 hoje D 25000000 85 2 meses t8 Admita que uma Instituição Financeira tenha em diferentes momentos efetuado as seguintes captações de recursos Captações Valor da Captação Taxa de Juros Contratada Prazo da Captação Momento da Captação I 18000000 25 12 meses t0 hoje II 13000000 15 3 meses t9 III 10000000 20 5 meses t7 IV 25000000 30 7 meses t5 Pedese determinar o custo médio taxa média da carteira de captações da Instituição admitindo que o resgate das operações ocorra ao final dos períodos 3 4 5 Um título com valor de face de 1000 é lançado prometendo uma remuneração linear de 10 aa Os juros são pagos ao final de cada semestre O prazo do título é de três anos Calcular a duration de Macaulay desse título Considere a seguinte carteira representativa de quatro títulos Títulos Prazo de Resgate Valor do Resgate Taxa de Juros A 58 dias 37800 11 am B 70 dias 21400 13 am C 98 dias 55400 15 am D 112 dias 68300 16 am Calcular a rentabilidade média da carteira e a duration de Macaulay Uma sociedade efetua em determinado momento as seguintes captações de recursos no mercado Captação Valor da Captação Número de Pagamentos Mensais Taxa de Juros A 5000000 5 31 am B 12000000 8 36 am C 3000000 11 25 am Sabese que os recursos captados são pagos de acordo com os prazos e taxas de juros considerados em prestações mensais iguais e sucessivas Determinar a taxa média de juros desta carteira de captações 6 9 11 12 7 a b 8 a b 10 1a b Calcular o prazo médio duration de Macaulay de uma operação de crédito direto ao consumidor no valor de 1450000 a ser liquidada em 12 prestações mensais iguais e sucessivas de 148290 cada uma Determinar a taxa média das seguintes captações financeiras realizadas em determinada data Valor Líquido Captado 30000000 Juros 6 ao mês Prazo 4 meses Forma de Pagamento 4 prestações mensais iguais e sucessivas Valor Líquido Captado 54000000 Juros 8 ao mês Prazo 7 meses Forma de Pagamento Resgate ao final do prazo Determinar a taxa média mensal de juros de uma carteira de empréstimos com as operações seguintes empréstimo 70000 a ser liquidado em quatro prestações semestrais iguais e sucessivas de 25000 cada uma empréstimo 200000 a ser pago em sete parcelas semestrais e sucessivas de 40000 cada uma Admita um empréstimo de 40000000 por 4 semestres à taxa de juros de 112 aa taxa efetiva São negociadas duas opções de pagar pagamento do principal ao final de dois anos e os juros ao final de cada semestre pagar o financiamento em quatro prestações semestrais iguais e sucessivas Pedese calcular a duration de cada alternativa Uma Instituição Financeira apresenta a seguinte carteira de ativos Ativo Duration Títulos Públicos 070 ano 450 Títulos Privados 090 ano 1110 Empréstimos 060 ano 4440 6000 Determinar a duration média dos ativos Calcular a duration de um título de 3 anos com cupom anual de 9 aa 45 as Os investidores exigem uma taxa mínima de retorno de 11 aa 55 as do título O valor nominal do título é de 100000 Determinar a duration de um título com prazo de 4 anos que paga cupom de 10 aa semestralmente O título está sendo negociado no mercado c deságio 7 s o seu valor de face valor nominal Respostas i 435 am i 724 am c 2 3 4 5 6 7 8 9a b 10 11 12 i 66 am i 256 am D 5329 semestres i 1477 am D 91365 dias i 329 am D 611 meses i 768 am i 105 ao semestre D 370 semestres D 243 semestres D 0564 ano D 537 sem D 673 sem 141 1411 1 Uma vez mais os números não se mostram totalmente exatos em razão de arredondamentos efetuados nos cálculos da taxa média Ao considerar todas as casas decimais temse FV5 22400000 1030297565 26005270 2 Os resultados foram obtidos utilizandose a taxa média de juros com seis casas decimais isto é i 4373818 am 14 Matemática Financeira e Avaliação de Ações Os valores mobiliários representados por ações e debêntures são emitidos pelas Sociedades Anônimas de acordo com aprovação prévia da CVM Comissão de Valores Mobiliários Cabe à CVM o disciplinamento da emissão e a fiscalização do mercado de negociações de ações e debêntures A ação representa uma fração do capital social de uma Sociedade Anônima sendo caracteristicamente definida como ativo de risco A debênture por seu lado representa um título de crédito cujos rendimentos são calculados de maneira semelhante aos títulos de renda fixa conforme estudados no Capítulo 11 Todas as aplicações em valores mobiliários equivalem ao longo do tempo a um problema de Matemática Financeira isto é produzem fluxos de caixa mediante os quais é possível medir a rentabilidade da operação Avaliação de ações Identicamente às demais operações financeiras na avaliação de ações é necessário construirse os fluxos de caixa isto é os fluxos dos benefícios econômicos de caixa esperados Fundamentalmente os benefícios de caixa das ações são representados pelos dividendos parcela do lucro líquido que as empresas distribuem aos seus proprietários periodicamente e valorização de sua cotação ou seja ganhos de capital promovidos pelo aumento dos preços das ações O preço que uma ação está sendo normalmente negociada no mercado é denominado valor de mercado ou cotação O valor presente do fluxo de benefícios esperados de caixa descontados a uma dada taxa de juros taxa de atratividade da aplicação é definido por valor teórico de mercado ou valor intrínseco de uma ação Estes dois valores são iguais caracteristicamente em condições de mercado eficiente As ações são consideradas aplicações de renda variável pois os seus benefícios de caixa dividendos e valorização não são geralmente estabelecidos no momento da aquisição variando em cada período como resultado de diversos fatores Aplicações em ações com prazo determinado Para o caso mais simples de uma aplicação financeira em ação por determinado período no qual 1 a b não está prevista a distribuição de dividendos o fluxo de caixa pode ser estabelecido a partir da seguinte representação gráfica sendo P0 preço de mercado aquisição da ação em t0 Pode também representar o valor presente PV do fluxo de benefícios esperados de caixa Pn preço de mercado esperado no momento da venda da ação A expressão de cálculo assume a forma seguinte onde K representa a taxa de desconto da operação ou seja a taxa de retorno periódica exigida pelo investidor Exemplo Admita uma ação cujo valor de mercado atinja em determinado momento 1500 Sendo de 5 ao mês a taxa de retorno exigida por um investidor pedese demonstrar a atratividade da compra dessa ação pelo investidor prevendose que o seu preço de mercado suba para 1600 ao final de um mês se o investidor estimar que o preço de mercado dessa ação irá alcançar o valor de 1550 ao fim de um mês qual o preço máximo que ele poderia pagar hoje de maneira que apure um retorno mínimo de 5 ao mês Solução a K667 O rendimento produzido nesta situação esperada atinge 667 no período marca superior à taxa de retorno exigida pelo investidor de 5 Logo a alternativa de aplicação considerando os benefícios esperados de caixa é economicamente atraente b O preço máximo que o investidor poderia pagar pela ação de forma a obter a rentabilidade mínima desejada de 5 ao mês é de 1476 Logo diante das expectativas de valorização da ação o preço atual de mercado de 1500 é alto para o investidor não sendo atraente a sua compra Para a alternativa de aplicação financeira em ação por determinado período n no qual são previstos pagamentos de dividendos temse a seguinte representação gráfica sendo D1 D2 D3 Dn os dividendos previstos de serem recebidos ao longo do período de aplicação 1 a b 1412 A identidade básica de avaliação dessa situação adotandose sempre o conceito de fluxo de caixa descontado apresentase da forma seguinte Genericamente temse Exemplo Admita que um investidor tenha projetado em 070 e 100 os dividendos por ação a serem pagos respectivamente ao final de cada um dos próximos dois semestres Tendo sido estimado ainda em 2000 o valor de venda ao final do segundo semestre e definida em 10 as a taxa de retorno exigida pelo investidor para esta aplicação pedese determinar o valor máximo a ser pago hoje por essa ação de forma que o investidor apure um retorno equivalente a 10 ao semestre estando a cotação da ação atualmente fixada em 1950 calcular a rentabilidade que se obteria na aquisição dessa ação respeitandose as demais condições estabelecidas no exemplo Solução a Para que se obtenha uma rentabilidade de 10 ao semestre e considerando as previsões de dividendos semestrais e preço de venda ao final do ano o preço máximo a ser pago por esta ação atinge 1799 b Pelo conceito de fluxo de caixa descontado temse Resolvendose K 559 as ou 1148 aa A rentabilidade que se obteria de 559 as é inferior à taxa mínima exigida pelo investidor de 10 as tornando desinteressante a aquisição da ação pela sua cotação de 1950 Dessa forma para qualquer prazo definido da aplicação e quaisquer que sejam os valores e os critérios de recebimento dos benefícios o modelo do fluxo de caixa descontado conforme é apresentado permite que se calcule o valor teórico de compra P0 e de venda Pn da ação assim como o retorno esperado K do investimento Aplicações em ações com prazo indeterminado Existem situações em que o prazo do investimento em ações apresentase indefinido não se prevendo o momento da venda Nestes casos por se tratar de prazo indeterminado perpétuo os únicos benefícios a serem considerados nos fluxos de caixa são os dividendos esperados podendo ser representados graficamente da seguinte forma 1 A tarefa de se prever os dividendos futuros nesses casos é complexa envolvendo prazos dilatados A expressão de cálculo apresentase ou genericamente De acordo com o que foi desenvolvido no Capítulo 7 item 733 um fluxo de caixa com duração indefinida é identificado pela relação entre o fluxo periódico de caixa e a taxa de desconto considerada ou seja Assim a taxa de retorno esperada e o preço de compra são obtidos determinandose respectivamente os valores de K e P0 na equação Essa identidade ainda assume que os valores dos dividendos periódicos D se mantenham constantes ao longo do tempo Exemplo Uma pessoa adquire um lote de ações com o intuito de formar um pecúlio para sua aposentadoria Não pretendendo se desfazer destas ações em tempo previsível admitese que a aplicação é realizada por prazo indeterminado As ações foram adquiridas pelo preço de 2750 cada O investidor define ainda em 12 ao ano sua taxa mínima exigida de retorno Pedese demonstrar se o preço pela ação foi economicamente adequado prevendose um fluxo anual de dividendos no valor de 330 por ação Solução Descontandose o fluxo de dividendos de 330 à taxa de atratividade de 12 ao ano conforme definida pelo investidor chegase a um valor presente de 2750 igual ao valor pago pela ação Logo o investidor está ganhando exatamente a taxa de retorno desejada sendo o preço pago o valor máximo permitido de compra Isto é ou Conforme foi comentado o modelo de fluxos de caixa com duração indeterminada pressupõe que o valor dos dividendos permaneça inalterado ao longo dos anos No entanto podem ser previstos em diversas situações crescimentos periódicos nesses valores e nesses casos é utilizado o denominado modelo de Gordon para a determinação do valor da ação 1 1 2 3 Definindose por g a taxa periódica e constante de crescimento dos dividendos temse para um fluxo de caixa indeterminado Ao se admitir que a taxa constante de crescimento g seja inferior à taxa de desconto K hipótese implícita no modelo a extensa fórmula anterior é deduzida matematicamente para ou Exemplo O dividendo de determinada ação está fixado em 085 para o próximo ano Está previsto também que estes dividendos irão crescer a uma taxa constante de 4 ao ano indefinidamente Admitindose que os acionistas dessa empresa desejam obter uma rentabilidade mínima de 15 aa determinar o valor teórico de compra desta ação Solução Por se tratar de um fluxo de caixa indefinido com os dividendos crescendo anualmente a uma taxa constante é utilizado o modelo de Gordon para o cálculo do valor intrínseco da ação ou seja Este é o preço máximo teórico que se pagaria por essa ação de forma a satisfazer o retorno mínimo desejado de 15 Exercícios resolvidos Determinar a rentabilidade produzida por uma ação adquirida no início de certo trimestre por 6000 e vendida por 6230 ao final desse mesmo período após o investidor ter recebido 090 sob a forma de dividendos Solução K533 at 1747 am O preço atual de mercado de uma ação atinge 400 Estimamse os seguintes dividendos por ação a serem distribuídos respectivamente ao final dos próximos 4 trimestres 011 018 025 e 033 Para um investidor que deseja obter uma taxa de rentabilidade anual efetiva de 20 nessa aplicação determinar o preço pelo que a ação deveria ser vendida ao final de um ano Solução K20 aa P0 3885ação Uma empresa não pretende pagar dividendos nos próximos dois anos Do 3o ao 7o ano prevê uma distribuição de 150 por ação Do 8o ao 12o ano estes dividendos anuais se elevam para 210 por ação A partir do 13o ano esperase que os dividendos se elevem indefinidamente a uma taxa constante de 25 ao ano Para uma taxa de retorno exigida de 10 ao ano determinar o preço teórico de mercado dessa ação 4 5 Solução P0 56862 1102 796 1107 2870 11012 P0 46993 4085 91447 P0 1793ação Determinada ação é adquirida em Bolsa de Valores por 420 Ao final de 4 meses o acionista recebe 022 de dividendos e vende sua ação por 592 Admitindose que a taxa de inflação tenha atingido 725 no período determinar a rentabilidade real mensal auferida pelo investidor nesta aplicação Solução 1 K414619 1 K10996 K 996 ao mês ou 4619 ao quadrimestre Taxa de Inflação I 725 ao quadrimestre ou I 177 ao mês A atual política de dividendos de uma empresa prevê uma distribuição anual de 240 por ação indeterminadamente atingindo 5 ao ano a taxa de crescimento desses valores 1 2 3 4 5 6 a b Essa prática no entanto está em via de alteração pela empresa a qual pretende estabelecer as seguintes condições não haverá distribuição de dividendos para os próximos dois anos a partir do 3o ano os dividendos serão da ordem de 286 por ação crescendo indefinidamente também em 5 ao ano Pedese determinar o impacto da implementação dessa nova política sobre o patrimônio riqueza dos atuais acionistas da empresa Sabese ainda que os acionistas desejam um retorno de 20 ao ano sobre seus investimentos Solução Política Atual Proposta de Alteração O valor teórico intrínseco da ação que denota a riqueza de seu proprietário é reduzido diante das alterações propostas na política de dividendos Exercícios propostos Suponha que a ação de uma empresa esteja sendo vendida atualmente por 220 A expectativa dos investidores é a de receber um dividendo de 014 por ação ao final de um ano Eles esperam também que possam vender a ação por 246 logo após o recebimento do dividendo Pedese determinar o retorno esperado pelos investidores Uma empresa promete pagar um dividendo de 022 por ação ao final de um ano Após os dividendos esperase que o preço de mercado da ação atinja 440 Sendo a taxa de rentabilidade esperada de mercado de 12 ao ano calcular o preço corrente da ação Se os dividendos de uma ação estão estimados indefinidamente em 137 ao ano e o seu preço corrente de mercado seja de 1050 qual a taxa de capitalização taxa de retorno anual definida pelo mercado Os investidores de uma empresa definem em 18 ao ano a taxa mínima de retorno exigida Calcular o preço corrente da ação admitindo que os dividendos anuais atualmente definidos em 100 por ação cresçam indefinidamente a uma taxa constante de 3 ao ano Estimase que os dividendos de uma empresa cresçam indefinidamente a uma taxa constante de 5 ao ano Se o dividendo esperado para o próximo ano for de 125 determinar o preço corrente desta ação admitindose uma taxa de desconto K de 12 aa 15 aa Em determinado mês o preço de mercado de uma ação atinge 1400 Este preço é baseado em expectativas permanentes de benefícios econômicos de caixa dividendos os quais deverão esperase crescer em 6 ao ano A taxa a b 7 a b 8 9 b 11 10 a de atratividade definida pelos investidores é de 18 ao ano Um quadrimestre após no entanto os investidores revisaram suas projeções e diante de sinais de desaceleração da atividade econômica no futuro reduziram a taxa de crescimento esperada dos dividendos para 4 ao ano Para um fluxo de benefícios de caixa indeterminado e mantendose inalterada a taxa de retorno exigida em 18 ao ano pedese determinar valor dos dividendos incorporados no cálculo do preço corrente de mercado da ação de 1400 admitindo a previsão de crescimento de 6 aa dos dividendos o novo preço teórico da ação como resultado da revisão das projeções de benefícios esperados Admita um fluxo corrente de dividendos nesse período de 114 por ação Os dividendos atuais de determinada ação são de 065 sendo de 24 ao ano a taxa de retorno exigida pelos investidores Calcular o preço teórico de mercado da ação admitindose que estimase um crescimento de 8 ao ano nos dividendos nos três primeiros anos e posteriormente 6 ao ano indefinidamente esperase que os dividendos cresçam 12 ao ano nos cinco primeiros anos sendo indefinidamente nula a taxa de crescimento a partir do 6o ano Admita que o preço corrente de mercado de uma ação atinja 882 Estimamse os seguintes benefícios econômicos desta aplicação dividendos de 053 a serem pagos ao final de um mês O preço corrente de mercado da ação no momento imediatamente após o pagamento dos dividendos está previsto em 885 Projetandose uma taxa de inflação para o mês em 17 determinar o retorno real esperado do investidor para o período Admita que um investidor tenha efetuado em determinado mês as seguintes operações de compra e venda de ações Dia Compras Vendas 05 6000000 10 4800000 20 9700000 5400000 25 3200000 Admitindose que a sua carteira de ações esteja avaliada a preços de mercado em 12100000 ao final do mês determinar a rentabilidade mensal apurada por esse investidor Estão previstos os seguintes fluxos de dividendos anuais de uma ação dividendos fixos de 052 por ação ao final de cada um dos próximos 4 anos a partir do 5o ano os dividendos anuais se elevam para 076 indefinidamente Pedese para uma taxa mínima de atratividade de 18 ao ano determinar o preço máximo de compra dessa ação calcular o valor dos dividendos anuais constantes cujo valor presente seja equivalente ao preço teórico de compra determinado na questão anterior Um investidor adquire uma ação por 2300 Ao final dos dois semestres seguintes ao momento da compra são distribuídos dividendos de respectivamente 140 e 200 por ação Permanecendo com esta ação ainda por 12 13 2 a 16 14 1 15 1 2 3 4 5a b 6a b 7a b mais três meses após o recebimento do segundo dividendo pedese determinar o valor de venda desta ação de modo que o investidor apure uma rentabilidade mínima de 3 ao mês na aplicação Os dividendos por ação a serem distribuídos por determinada empresa estão previstos em 150 e 180 para o primeiro e segundo semestres de 20X9 respectivamente Admitindose que um investidor tenha adquirido essa ação no início do ano por 1100 qual deverá ser o seu preço de venda ao final de 20X9 após o recebimento do dividendo previsto no 2o semestre de modo que obtenha uma rentabilidade real mínima desejada de 20 ao ano Estimase em 14 a inflação de 20X9 A projeção de distribuição de dividendos de determinada ação é de 058 para o próximo ano Diante da evolução apresentada pelos lucros da empresa esperase que a taxa de crescimento desses dividendos atinja 3 ao ano acima da inflação O horizonte do investimento é de 4 anos findo o qual a ação será vendida A taxa de retorno exigida pelo investidor na aplicação é de 20 ao ano acima da inflação Está prevista ainda uma inflação média de 15 ao ano para os próximos 4 anos Sabese também que o preço de mercado da ação temse valorizado em 75 ao ano acima da inflação Pedese determinar o preço máximo que o investidor deveria pagar hoje pela ação Uma empresa está avaliando as seguintes políticas de distribuição de dividendos dividendos de 150 por ação pagos anualmente nos próximos 3 anos não haverá distribuição de dividendos A partir do 4o ano inclusive os dividendos serão da ordem de 215 por ação Admitindose que os fluxos de dividendos das duas propostas sejam indeterminados pedese para um investidor que apresente uma taxa de atratividade de 20 ao ano determinar o preço máximo que ele pagaria pela ação em cada uma das propostas acima Admita as seguintes estimativas de crescimento dos dividendos de uma ação 6 ao ano para os próximos 4 anos 9 ao ano para os 6 anos seguintes 5 ao ano para daí em diante Sabese que o dividendo esperado para o próximo ano dessa ação é de 080 Fixandose em 12 ao ano a taxa mínima de retorno requerida determinar o preço máximo que um investidor pagaria por esta ação e demonstrar o valor dos dividendos anuais esperados Um investidor adquire a vista 9000000 de ações na expectativa de um ganho mínimo de 35 ao mês De posse destas ações o comprador as vende por 9300000 para recebimento em três parcelas iguais e sucessivas vencendo a primeira em 20 dias a segunda em 25 dias e a terceira em 30 dias Determinar a rentabilidade da operação comentando se o investidor fez um bom negócio Respostas 1818 aa ou 14 am 4125 1305 aa 667 1786 1250 168 814 402 405 16 8 9 10a b 11 12 13 14 15 Valor dos Dividendos Anuais Esperados 457 am 220 am 358 064 3182 1149 378 750 e 622 Preço Máximo 1450 Sim fez um bom negócio O valor presente dos fluxos de recebimento é maior que o valor pago PV 9037273 denotando uma rentabilidade superior aos 35 exigidos K 4015 am c 151 a b 15 Matemática Financeira Títulos Públicos e Contratos Futuros As operações envolvendo títulos públicos vêm ganhando importância cada vez maior nos mercados financeiros de todo o mundo A participação destes papéis nas carteiras de investimentos é relevante promovendo um alto volume de negociações Partindo de uma revisão da formação e cálculo da taxa de juro SELIC desenvolvida anteriormente Cap 6 este capítulo dedicase ao estudo de principais títulos públicos federais negociados no mercado financeiro nacional marcação a mercado dos títulos públicos avaliação dos contratos futuros de taxas de juros lastreados em depósitos interfinanceiros denominados de Contratos Futuros DIs Os títulos públicos federais formam a Dívida Pública Mobiliária interna do Brasil e são emitidos pela Secretaria do Tesouro Nacional STN responsável pela gestão e controle da Dívida Pública Mobiliária do Governo Federal Importante lembrar que no mercado financeiro brasileiro o prazo das operações é geralmente definido para operação das taxas de juros em contagem de dias corridos tendo como padrão um ano de 360 dias e em contagem de dias úteis sendo o anobase definido em 252 dias úteis Taxa SELIC O SELIC Sistema Especial de Liquidação e Custódia de acordo com a definição do Banco Central é o depositário central dos títulos da dívida pública federal interna Neste sistema são registradas e controladas entre outras operações as negociações secundárias envolvendo títulos públicos sendo realizadas também as respectivas liquidações financeiras O sistema é administrado pelo Banco Central através do DEMAB Departamento de Operações do Mercado Aberto em parceria com a ANDIMA Associação Nacional de Instituições de Mercado Aberto Os títulos negociados no SELIC apresentam normalmente elevada liquidez e risco bastante reduzido considerando que são emitidos pelo poder público As taxas destes títulos públicos negociados constituemse na principal referência do mercado para a formação das taxas de juros A taxa overnight da SELIC representa a média ponderada das operações de financiamento de um dia lastreadas em títulos públicos federais Em outras palavras é a taxa de juro representativa de um dia útil A taxa SELIC é o piso dos juros da economia brasileira Os bancos definem a remuneração das aplicações de seus clientes a partir da SELIC Nas operações de empréstimos e financiamentos as instituições costumam definir os 152 juros a serem cobrados pela taxa SELIC acrescentam a esta taxa um spread para cobrir seus custos operacionais e riscos A taxa SELIC é atualmente fixada pelo Banco Central em reuniões periódicas do COPOM Comitê de Política Monetária como resultado de uma política monetária que define uma meta para a taxa de juros Esta taxa é normalmente expressa em taxa anual ou seja taxa over efetiva ao ano base de 252 dias úteis conforme estudada no Capítulo 6 Assim admitindose que o COPOM tenha definido uma taxa meta SELIC de 12 aa a taxa equivalente por dia útil é calculada da seguinte forma idu 1121252 1 100 00450 adu ao dia útil Por outro lado sendo de 00476 a taxa ao dia útil a taxa efetiva anual over atinge a Ianual 1000476252 1 100 1274 aao ao ano over A tabela abaixo ilustra as taxas anuais over efetivas SELIC definidas como meta no último mês dos anos 2002 a 2014 conforme disponibilizadas pelo Banco Central wwwbcbgovbr A última coluna calcula a taxa efetiva por dia útil considerando 252 dias úteis Assim a taxa anual de dez2003 equivale a 117311252 1 100 00634 adu e assim por diante Referência Taxa Anual Divulgada Taxa por Dia Útil Dez2003 1731 00634 adu Dez2004 1723 00631 adu Dez2005 1852 00674 adu Dez2006 1318 00491 adu Dez2007 1118 00421 adu Dez2008 1367 00509 adu Dez2009 865 00329 adu Dez2010 1067 00402 adu Dez2011 1091 00411 adu Dez2012 729 00279 adu Dez2013 990 00375 adu Dez2014 1165 00437 adu Preço unitário PU de um ativo O preço unitário PU ou preço de aquisição equivale ao valor de negociação de um ativo no mercado É calculado na data da negociação pelo valor total de resgate valor nominal do ativo descontado por uma taxa de juros que reflete o risco do investimento taxa de atratividade do investidor 153 Por exemplo admita que um título a vencer em 42 dias tenha um valor nominal valor de resgate de 10000000 Sendo de 22 a taxa de juro efetiva para todo o período o preço unitário de negociação do ativo atinge a O valor do PU é uma função inversa da taxa de desconto Quanto maior a taxa de juro menor o PU e viceversa Contratos futuros de juros Com a criação da Bolsa de Mercadorias Futuros BMF foram desenvolvidos os contratos futuros de taxas de juros atualmente baseados nas taxas dos Depósitos Interfinanceiros DIs Por isso esses contratos são hoje conhecidos por DIFuturo O objeto de negociação desses contratos são as taxas DIs conforme calculadas pela Central de Custódia e Liquidação Financeira de Títulos CETIP Os principais padrões de negociação de um contrato DIFuturo definidos pela atual BMFBovespa são os seguintes Valor Nominal valor do contrato no vencimento R 10000000 R 100 100000 pontos Taxa de Negociação taxa efetiva anual com base em 252 dias úteis Preço Unitário PU consiste no preço atual de negociação do título para receber R 10000000 em seu vencimento futuro O título é negociado cotado no mercado pelo seu valor nominal descontado pela taxa de juro de negociação A formulação básica de cálculo do preço de um contrato expressa em PU apresentase 1 2 onde i taxa e juro de negociação correspondendo ao período de vencimento do contrato n intervalo de tempo em dias úteis desde a data de negociação inclusive até a data de vencimento do contrato exclusive Os contratos futuros DI vencem no primeiro dia útil do mês Exemplo Um contrato futuro com prazo corrido de um mês e que contém 22 dias úteis é negociado à taxa efetiva anual over de 145 aao ao ano over O valor nominal do contrato atinge a R 10000000 O PU de negociação deste ativo é calculado da seguinte forma O investidor está aplicando R 9882486 hoje para receber após 22 dias úteis na data de vencimento do contrato o valor de R 10000000 que corresponde a uma taxa efetiva anual over de 145 Se um investidor tem a expectativa de a taxa futura de juros situarse abaixo deste percentual irá auferir um ganho ao aplicar seus recursos comprar PU Por exemplo se a verdadeira taxa de juros verificada no período for de 132 aao conforme informada pela CETIP o aplicador irá apresentar o seguinte resultado Valor a Receber R 10000000 Valor a Pagar R 9882486 113222252 R9990037 Ganho R9963 O vendedor do contrato futuro ao contrário estava apostando numa taxa de juro anual acima de 145 definida para a operação Como o juro ficou abaixo do mínimo desejado 132 apura um prejuízo de R 9963contrato Exercícios Determinar a taxa anual efetiva de um contrato futuro de DI com 44 dias úteis até o seu vencimento e cujo PU de negociação atinge a R 9842513 Solução Taxa Efetiva i 952 aao ao ano over O quadro a seguir fornece em determinada data informações sobre dois contratos futuros de juros negociados na BMF Sabese que o valor de cada contrato no vencimento é fixado em R 10000000 Pedese determinar a taxa efetiva anual de juro base de 252 dias úteis prevista em cada contrato Contrato Mês de Referência PU Médio Negociado Número de Dias Úteis 154 1 janeiro R 9832730 21 2 fevereiro R 9729140 19 Solução Contrato 1 ou Contrato 2 Dias Úteis 21 19 40 ou Esta taxa calculada com base no bimestre janfev é conhecida no mercado como taxa spot mercado a vista Por outro lado o comportamento da taxa de juros pode também ser calculado com base no mês ou seja Taxa Anual Referente a Fevereiro 1 ijan fev 1 ijan 1 ifev 10278 10170 1 ifev ifev 1062 p 19 du ifev l0106225219 1 150 aao Esta taxa calculada com base no mês fevereiro é adotada no mercado como taxa forward taxa a termo Títulos públicos Os títulos públicos podem ser emitidos pela União Estados e Municípios Este capítulo dedicase aos títulos de responsabilidade do Governo Federal emitidos pela Secretaria do Tesouro Nacional O objetivo é demonstrar o cálculo financeiro básico dos principais títulos públicos negociados no Brasil1 A emissão de títulos públicos é uma importante alternativa de captação de recursos para o governo constituindo a denominada Dívida Mobiliária da União Estes papéis apresentamse também como uma interessante oportunidade de investimentos para os aplicadores de mercado em geral constituídos por pessoas físicas e jurídicas O investidor não é obrigado a manter o título público até o seu vencimento Se desejar pode negociar os títulos adquiridos a qualquer momento normalmente oferecendo algum deságio O mercado de títulos públicos vem crescendo bastante no Brasil sendo atualmente um dos principais papéis que compõem a carteira de fundos de investimentos Os títulos públicos oferecem remuneração a partir de taxas de juros prefixadas ou pósfixadas podendo o resgate prever atualização por algum índice de mercado ou até mesmo correção cambial Os títulos públicos federais emitidos pela Secretaria do Tesouro Nacional são considerados os investimentos mais seguros sendo garantidos pelo Governo sugerindo reduzida possibilidade de inadimplência A negociação primária dos títulos públicos pode se realizar por a oferta pública através de leilão b oferta pública direta sem leilão também conhecida por Tesouro Direto c emissão e colocação visando atender a algum objetivo específico previsto em lei Os principais títulos de responsabilidade do Tesouro Nacional são Letras Financeiras do Tesouro LFT Tesouro Selic Letras do Tesouro Nacional LTN Tesouro Pré Notas do Tesouro Nacional NTN As características básicas destes títulos são apresentadas a seguir Principais características dos títulos públicos federais Título Valor Nominal Rendimento Pagamento dos Juros Taxa de Juros LTN Letras do Tesouro Nacional Múltiplo de R 100000 Não há atualização Deságio sobre o valor nominal Não há LFT Letras Financeiras do Tesouro Múltiplo de R 100000 Atualizações pela taxa SELIC desde a database PósUxado taxa SELIC Não há NTNF Notas do Tesouro Nacional Série F Múltiplo de R 100000 Não há atualização Deságio sobre o valor nominal Semestral DeUnida quando da emissão do título NTNB Notas do Tesouro Nacional Série B Múltiplo de R 100000 Atualizações pelo IPCA desde a database PósUxado Semestral DeUnida quando da emissão do título NTNC Notas do Tesouro Nacional Série C Múltiplo de R 100000 Atualizações pelo IGPM desde a database PósUxado Semestral DeUnida quando da emissão do título NTND Notas do Tesouro Nacional Série D Múltiplo de R 100000 Atualizações pela variação da cotação do dólar dos EUA PósUxado Semestral DeUnida quando da emissão do título Recentemente estes títulos tiveram suas denominações alteradas passando a ser classificados e conhecidos da forma seguinte TÍTULOS PREFIXADOS Denominação Antiga Denominação Atual Letra do Tesouro Nacional LTN Tesouro preUxado NTNF com juros semestrais Tesouro preUxado com juros semestrais TÍTULOS PÓSFIXADOS INDEXADOS AO IPCA NTNB Principal Tesouro IPCA NTNB Tesouro IPCA com juros semestrais TÍTULOS PÓSFIXADOS INDEXADOS AO IGPM 1541 1542 155 NTNC Tesouro IGPM com juros semestrais TÍTULOS PÓSFIXADOS INDEXADOS À TAXA SELIC Letra Financeira do Tesouro LFT Tesouro Selic Marcação a Mercado MaM Representa o ajuste do preço de um título ao seu valor cotação de mercado Com a MaM o valor de um título ou de uma carteira de títulos reflete quanto o investidor efetivamente receberia caso os papéis fossem vendidos naquela data A marcação a mercado pelas instituições financeiras tornouse obrigatória no Brasil por Circular do Banco Central oferecendo ao investidor maior transparência do capital aplicado precificando os títulos de maneira mais próxima da realidade Importante Se o investidor mantiver o título até o seu vencimento receberá exatamente os juros e o valor de face prometidos em sua emissão independentemente de sua marcação a mercado Principais medidas dos títulos públicos Valor preço de Mercado Valor de negociação do título no mercado Preço que o investidor irá pagar em caso de adquirir investir o título Valor de Face ou Valor Nominal valor de resgate do título na data de seu vencimento Data de Vencimento momento previsto para resgate do título recebendo o investidor seu valor de face conforme definido em sua emissão Quando o investidor permanece até o vencimento do título receberá exatamente o seu valor de face Caso negocie o papel antes da data de vencimento o valor a ser recebido é o do mercado Cupom para os títulos que pagam juros periódicos ao investidor o cupom representa o valor dos juros Os juros são definidos como uma porcentagem calculada sobre o valor nominal do título sendo a taxa prevista em sua emissão O percentual previsto de juro é denominado de taxa do cupom Valor Nominal Atualizado Ajustado alguns títulos públicos são corrigidos por índices de preços IPCA IGPM como o Tesouro IPCA e Tesouro IGPM ou pela taxa Selic como o Tesouro Selic Esses papéis têm seu valor nominal corrigido desde a database geralmente a data da emissão do título até a data de sua liquidação no mercado A Secretaria do Tesouro Nacional divulga o Valor Nominal Atualizado VNA de alguns títulos Tesouro Prefixado LTN Principais características Prazo deUnido quando da emissão do título Remuneração título preUxado Não prevê pagamento de juros sendo negociado com deságio sobre o valor nominal Valor Nominal Valor de resgate no vencimento DeUnido em múltiplo de R 100000 O principal é resgatado na data de vencimento Negociação no Mercado Secundário a taxa utilizada na negociação do Tesouro Pré é a taxa efetiva anual apurada com base em 252 dias úteis conforme estudada no Capítulo 6 item 623 Desta forma o prazo do título é também deUnido em dias úteis Formulações 1551 1 2 a b onde N Valor nominal resgate do título PU Preço unitário de compra do título onde du número de dias úteis a decorrer do título definido pelo intervalo de tempo entre a data de liquidação inclusive e a data de vencimento exclusive 252 número de dias úteis do ano conforme definição do Banco Central do Brasil O diagrama de fluxo de caixa de um Tesouro Prefixado é representado da maneira seguinte Exemplos leilão primário de Tesouro Prefixado LTN Admita que o Banco Central divulgue os seguintes resultados de um leilão primário de Tesouro Prefixado LTN Valor Nominal do Título R 100000 PU Médio R 712396460 Dias Úteis 598 Dias Corridos 880 Pedese calcular a taxa efetiva de juro no período e a taxa efetiva over anual Solução Taxa Efetiva de Juro no Período Taxa Efetiva Over Anual aao ao ano over Admita que uma instituição financeira tenha adquirido um lote de Tesouro Pré em mercado primário O prazo do título é de 108 dias corridos correspondendo a 76 dias úteis A instituição define uma taxa over anual de 118 para o negócio Pedese calcular o PU preço unitário que a instituição deve oferecer no leilão 1552 1 2 a a b b Solução Representação gráfica do investimento O PU é calculado para uma determinada data pelo valor presente dos fluxos de caixa esperados do título ou seja Este preço de compra se aceito no leilão dos títulos irá propiciar uma taxa de retorno de 342 no período da aplicação ou seja Exemplos mercado secundário de Tesouro Prefixado LTN Admita um Tesouro Pré negociado no mercado secundário em 65 de determinado ano à taxa de 107 aa Da data da negociação até o vencimento são computados 420 dias úteis Pedese determinar o preço unitário de compra PU do título Solução Na negociação do Tesouro Pré no mercado secundário é considerado o prazo a decorrer em dias úteis A operação é registrada no SELIC Sistema Especial de Liquidação e Custódia em PU Preço Unitário Um investidor adquire um Título Tesouro Prefixado pelo preço unitário PU de R 931314852 O prazo do título é de 127 dias úteis Pedese calcular taxa efetiva de juro auferida pelo investidor no período da aplicação taxa over efetiva anual Solução iover 107375252127 1 1516 aao Admite um Tesouro Pré negociado no mercado com as seguintes informações Data de vencimento 1º1020x7 Data de compra 25720x5 Data de liquidação 28720x5 Taxa de retorno 12464 aa base 252 du Dias úteis entre a data de liquidação do papel 28720x5 e a data de vencimento 1º1020x7 529 du Pedese calcular a Preço de negociação PU do título Solução PU 100000 781469590 1124640529252 b Demonstrar o cálculo da taxa de juro retorno do título Solução Taxa i 100000 781469590 1 100 27964 p 529 du Taxa i 1279640252529 1 100 12464 aa 156 Tesouro Selic LFT O Tesouro Selic denominação atual da Letra Financeira do Tesouro LFT é um título com rentabilidade pósfixada emitido pelo Tesouro Nacional O prazo de vencimento do título é definido quando de sua emissão e não prevê pagamentos de juros O valor nominal é R 100000 sendo atualizado pela taxa média calculada no Selic em operações com títulos públicos O principal do título é resgatado na data de vencimento Valor Nominal Atualizado VNA Valor nominal atualizado pela variação da taxa média Selic desde a database inclusive e a data de liquidação exclusiva Este fator de atualização é divulgado pelo BACEN A database do título é a data de referência utilizada na atualização de seu valor nominal Esta data pode ser anterior à data de emissão do título No mercado secundário a negociação do título processase com base em 252 dias úteis taxa over ao ano Principais características Prazo definido quando da emissão do título Remuneração o título não prevê remuneração por pagamento de juros É um papel com tipo de rentabilidade pósfixada O fator de remuneração do título é a taxa SELIC sendo do tipo floating rate O principal e os rendimentos são resgatados somente na data de vencimento do título Valor nominal definido em múltiplo de R 100000 Valor nominal é atualizado pela taxa média ajustada dos financiamentos no SELIC para títulos federais Na negociação do título a taxa utilizada é a rentabilidade ao ano baseada em 252 dias úteis A database do título é a que serve de referência para atualização do valor nominal 1561 1562 Cálculo da cotação do Tesouro Selic Estando em 120 aa a taxa SELIC por exemplo e desejando um investidor obter uma rentabilidade de 1230 no período pedese calcular a cotação da LFT que apure esta taxa de retorno requerida Solução Esta é a taxa de juros que juntamente com a atualização pela taxa SELIC projetada de 120 aa oferece uma rentabilidade efetiva de 1230 aa ao investidor Representa em outras palavras um acréscimo ao valor de face do título fator de remuneração para que promova a taxa de retorno desejada de 1230 aa Caso a rentabilidade efetiva aceita pelo investidor seja superior à taxa SELIC temse um fator de desconto sobre o valor nominal No exemplo ilustrativo admitindose ser de 380 dias úteis o prazo da LFT a cotação do título atinge a Cotação 99597441 Logo Cotação 99597441 De maneira inversa com a cotação do Tesouro Selic podese apurar a rentabilidade exigida pelo investidor acima da taxa SELIC ou seja Observe que em razão de a remuneração adicional esperada pelo investidor ser geralmente reduzida a cotação do título é bastante próxima da taxa SELIC perto de 100 Este percentual calculado reflete a taxa de spread de crédito definida pelo mercado para os títulos com diferentes vencimentos Esta taxa é geralmente divulgada ao mercado Cálculo do acréscimo ao valor de face Tesouro Selic Admita as informações abaixo referentes à cotação média de um título Tesouro Selic conforme divulgada pelo Banco Central Valor de Face Nominal R 100000 Cotação Cheia 1000 do valor nominal Cotação Média 993455 Dias Úteis de Emissão do Título 2442 Pedese apurar o acréscimo sobre o valor de face a taxa de retorno aao e o PU Preço Unitário do título 1563 Solução A partir deste acréscimo é possível apurarse a rentabilidade média em taxa over efetiva anual ou seja Retorno Médio 10065882522442 1 100 Retorno Médio 0067785 aao ao ano over Desta forma pode ser sugerida a seguinte formulação de cálculo para a rentabilidade de uma LFT Tesouro Selic Utilizando a formulação com os dados do exemplo temse O Preço Unitário PU do título é calculado pelo produto da cotação do título e o seu valor nominal ou seja PU cotação Valor Nominal Substituindo os valores PU 993455 R 10000000 PU R 9934550 Cálculo do valor de mercado do Tesouro Selic mercado secundário O valor de mercado PU a mercado de um Tesouro Selic é desenvolvido pela seguinte formulação onde VNA valor nominal atualizado A correção tem por base a variação da Selic nos dias úteis entre a data de emissão do título database e a data de avaliação precificação O VNA é calculado 157 O VNA é o produto do preço de emissão PU 100000 corrigido pela taxa acumulada da Selic Este valor atualizado é divulgado pelo Banco Central n número de dias decorridos entre a data de emissão ou database e a data de precificação is spread do papel definida pelo mercado Taxa de retorno exigida pelo investidor acima da taxa Selic du número de dias úteis existente da data de precificação do título até a sua data de vencimento PUMaM valor de mercado da LFT Calculado pelo seu valor nominal atualizado VNA atualizado a valor presente aplicando a taxa de spread de crédito do título Exercício Ilustrativo Admita um Tesouro Selic com prazo de 532 dias úteis até o seu vencimento A taxa de spread para o título no mercado é de 0273498 aa e a taxa Selic acumulada no período 532 du atingiu a 21924366 Pedese calcular o valor nominal atualizado VNA e o valor a mercado PUMaM do título Solução Valor nominal atualizado VNA VNA 100000 121924366 R 1219243660 Valor a mercado do Tesouro Selic PUMaM A precificação do título no mercado incorpora seu valor nominal atualizado VNA pela variação da Selic acumulada no prazo entre a database emissão e a data de precificação acrescido do spread do papel conforme praticado pelos investidores Tesouro Prefixado com Juros Semestrais NTNF Principais características do título Prazo Denido quando da emissão do título Remuneração O título não sofre atualização de seu valor nominal O título prevê pagamentos semestrais de juros através de cupons calculados sobre o valor nominal R 100000 A taxa de juros é denida quando da emissão do título em porcentagem ao ano e calculada sobre seu valor nominal Importante o primeiro cupom de juros deve pagar os rendimentos totais previstos para o semestre independente da data de liquidação da compra do título O pagamento do último cupom de juros ocorre na data de resgate do principal do título O principal é resgatado no vencimento Título Pré Título Pré com Juros A principal diferença entre o Tesouro Prexado com juros semestrais e o Tesouro Prexado antiga LTN são os pagamentos semestrais de juros previstos O Tesouro Prexado não prevê pagamentos de juros oferecendo como rendimento o deságio no valor nominal do título O título pré com juros semestrais promete um ⱐuxo de pagamentos de cupons de juros além de eventual ágio ou deságio sobre o valor nominal do título Valor Nominal O valor nominal do título é denido em R 100000 O título é resgatado pelo seu valor nominal em parcela única em sua data de vencimento O Tesouro Prexado com juros semestrais não sofre atualização do valor nominal 1571 Negociação Para a contagem do prazo do título é geralmente utilizado o critério de dias úteis entre as taxas contemplando um ano de 252 dias úteis Formulações onde i taxa de juro anual definida no edital de leilão da NTNF O fluxo de caixa representativo da Nota do Tesouro Nacional Série F para um prazo de dois anos é apresentado da seguinte maneira onde PU preço unitário N valor nominal do título C1 C4 valor do juro cupom previsto para cada período de acordo com a taxa definida no leilão Cálculo do PU Tesouro Prefixado com Juros O preço unitário de um Tesouro Pré com Juros é determinado pelo valor presente dos pagamentos previstos juros e principal descontados pela taxa de retorno requerida pelo investidor Conforme observado o intervalo entre a data de liquidação e a data de pagamento é definido em dias úteis Para ilustrar esta operação é calculado a seguir o PU do título admitindo uma taxa efetiva anual de juros de 122 e cupom de 6 ao ano de acordo com o que ficou definido no edital de leilão do título O número de dias úteis de cada parcela é apresentado no fluxo de caixa abaixo Valor do Cupom C R 100000 10612 1 R 2956 O PU do título é calculado da seguinte forma PU R 895830265 1572 O investidor ao adquirir o título pelo PU calculado de R 895830265 aufere uma rentabilidade efetiva taxa interna de retorno de 122 ao ano Operação de leilão primário de Tesouro Prefixado com Juros Semestrais Para o desenvolvimento da operação completa de leilão primário de um Tesouro Pré com juros admita as seguintes informações divulgadas pelo Banco Central2 Valor nominal R 100000 Prazo de emissão 1477 dias corridos correspondendo a 1013 dias úteis Juros 10 aa equivalendo a 4880885 as Data de emissão 16122005 Data de resgate 112010 Preço unitário do título PU R 881275128 As datas dos pagamentos e respectivos valores previstos neste leilão de NTNF são apresentados a seguir conforme divulgados pelo Banco Central Datas Dias Corridos Dias Úteis Pagamentos Juros 1a parcela 212006 17 11 48808850 Juros 2a parcela 372006 199 135 48808850 Juros 3a parcela 212007 382 260 48808850 Juros 4a parcela 272007 563 384 48808850 Juros 5a parcela 212008 747 510 48808850 Juros 6a parcela 172008 928 633 48808850 Juros 7a parcela 212009 1113 764 48808850 Juros 8a parcela 172009 1293 886 48808850 Principal juros 412010 1480 1014 1048808850 O Banco Central divulga o PU com arredondamento de seis casas decimais e a taxa efetiva anual de juros com três casas decimais Para negociação dos títulos no mercado secundário é utilizada a taxa efetiva anual base em 252 dias úteis Os prazos de pagamentos dos juros e do principal são também baseados em dias úteis Observe que conforme previsto nos procedimentos comentados do título a primeira parcela de juros é paga contemplando integralmente os juros do semestre independentemente da data em que o título foi emitido São efetuados a seguir cálculos dos principais resultados deste leilão Juros Semestrais Os juros previstos em cada semestre são calculados seguindo a formulação apresentada Juros semestrais N 1 i12 1 Juros semestrais R 100000 11012 1 R 48808850 Taxa Efetiva de Juros Dias Corridos A taxa efetiva anual oferecida por este título é calculada pela metodologia da taxa interna de retorno IRR ou seja Com o auxílio de planilhas financeiras do tipo Excel é calculada3 IRRi 6678 as que equivale a 13803 aa taxa composta Esta taxa efetiva de 13803 aa considera pagamentos de juros em intervalos semestrais de 180 dias cada Ou seja é a taxa efetiva de juros para dias corridos Taxa Efetiva de Juros Dias Úteis Pelas características de negociação do título é necessário que os fluxos de caixa sejam expressos em dias úteis Assim Calculandose IRRi 16007 aa Foi através desta taxa efetiva de 16007 aa base em dias úteis que os fluxos de caixa do título foram descontados para se chegar em seu preço unitário PU médio de R 881275128 conforme divulgado pela autoridade monetária Esta taxa base em dias úteis tornase ainda referência para negociações no mercado secundário Os procedimentos de cálculo deste título no mercado secundário são similares ao apresentado no leilão primário 158 1581 Tesouro IGPM e IPCA com Juros Semestrais Principais características Prazo denido quando da emissão do título Remuneração taxa de juros denida quando da emissão do título prevendo pagamentos de cupons semestrais As datas de pagamento dos juros são denidas de forma retrospectiva a cada 6 meses a partir da data de vencimento do título Valor Nominal valor nominal na database é de R 100000 O valor nominal do Tesouro IPCA é atualizado pelo Índice de Preço ao Consumidor Amplo IPCA e o Tesouro IGPM é atualizado pelo Índice Geral de Preço de Mercado IGPM O resgate dos títulos ocorre na data de vencimento Os títulos IGPM e IPCA podem ser representados pelo seguinte diagrama de ⱐuxo de caixa para um investidor Sendo onde Ij taxa de inⱐação semestral Negociação tanto no leilão primário como no mercado secundário a taxa de juro utilizada é a taxa efetiva anual calculada com base em 252 dias úteis Desta forma os intervalos entre as datas são calculados em dias úteis Database data de referência para correção do valor nominal da NTN podendo ocorrer em data diferente da data de emissão Pagamento dos juros semestralmente O pagamento do primeiro cupom de juros calcula o total dos juros previstos para o semestre independentemente da data da compra e liquidação do título Negociação do Tesouro IPCA no mercado secundário Admita um investidor que esteja avaliando adquirir um título do Tesouro IPCA com pagamentos semestrais de juros antiga NTNB no mercado A taxa de juro definida para o título remuneração mínima exigida é de 9 aa base de 252 dias úteis mais atualização monetária pelo IPCA O fator de atualização informado entre a database e a data de liquidação do título é de 10450 O título prevê quatro pagamentos semestrais de juros 1582 equivalentes a uma taxa efetiva de 6 aa Os intervalos entre as datas de pagamentos são 1a parcela de juros 125 dias úteis 2a parcela de juros 252 dias úteis 3a parcela de juros 380 dias úteis 4a parcela de juros 507 dias úteis A metodologia de avaliação do Tesouro IPCA e IGPM é similar à desenvolvida anteriormente para o Tesouro Prefixado Cálculo da cotação Valor dos Juros Semestrais R 100000 10612 1 Juros Semestrais R 295630 Valor Presente PV do Título PV 947082349 Cotação 94708235 Cálculo do PU PU Valor Nominal Atualizado VNA Cotação Valor Nominal Atualizado VNA R 100000 10450 R 104500 PU 104500 94708235 R 989701056 Cotação do Tesouro Indexado Admita que em 1572009 seja negociado no mercado um Tesouro IPCA com vencimento para 15122015 O número de dias úteis previsto para o período é de 1589 sendo contados da data de liquidação inclusive até a data de venda do título exclusive O valor nominal atualizado VNA do título em 1572009 estava fixado em R 1412790810 e os juros oferecidos pelo título de 732 ao ano Pedese determinar a cotação e o preço do mercado em R do título Cotação do título Cotação Cotação Cotação 64015658 64015658 de seu valor nominal Preço de mercado Preço VNA cotação 159 1591 Preço R 1412790810 64015658 Preço R 904407330 Notas do Tesouro Nacional Série D NTND Tesouro com Variação Cambial Principais características Prazo denido quando da emissão do título Remuneração pagamentos semestrais de juros calculados sobre o valor nominal atualizado O juro é normalmente denido em taxa nominal anual base 360 dias corridos Valor Nominal atualizado pela variação cambial Título é referenciado pela variação da cotação do dólar norteamericano O resgate ocorre na data de vencimento Database é a data de referência para atualização do valor nominal Leilão Primário a liquidação do título é feita na forma de PU No leilão primário é usado o critério de contagem de dias corridos entre as datas considerando sempre o ano comercial de 360 dias corridos e o mês de 30 dias corridos O Banco Central divulga os resultados do leilão na forma de cotação e taxa nominal anual na forma de yield to maturity YTM conforme estudado no Capítulo 11 Mercado Secundário a forma de negociação usada é também a Yield to Maturity YTM Da mesma forma considerase na negociação o prazo em dias corridos ano comercial Leilão primário de NTND Admita que o Banco Central tenha divulgado as seguintes informações de um leilão de NTND4 Valor nominal R 100000 Cotação média 998555 Juros do título 12 aa taxa nominal Prazo 580 dias corridos Data de emissão 41020x1 Data de liquidação 171020x2 Data da 1a parcela de juros 71120x2 Data de resgate vencimento 7520x3 Cálculo dos Juros Semestrais Taxa semestral 60 as Juros semestrais 60 R 100000 R 6000 Representação Gráfica5 1 2 a b c Taxa Efetiva de Juros IRRi 2431 aa Observe que se os fluxos de caixa forem descontados à taxa de 2431 aa o valor presente será igual a 998555 que representa a cotação do título Taxa Efetiva Expressa em YTM O Banco Central divulga a taxa do título seguindo o formato da YTM Desta forma a taxa efetiva calculada deve ser convertida para YTM que é a taxa básica de negociação do título no mercado Assim Valor Nominal Ajustado Atualizado do Título Admita conforme apurado pelo documento citado da Andima que a cotação do dólar seja de 38744 na data de liquidação e de 18000 na data de venda Nestas condições o valor nominal atualizado da NTND atinge PU do Título O PU pode ser calculado através da seguinte expressão PU cotação valor nominal atualizado PU 998555 R 215244 PU R 214933 Exercícios resolvidos Admita uma taxa SELIC meta definida pelo Banco Central de 1050 aa Pedese determinar a taxa efetiva por dia útil Solução Taxa Efetiva por Dia Útil 11051252 1 100 Taxa Efetiva por Dia Útil 00396 adu ao dia útil Sendo de 170 a taxa over mensal pedese determinar a taxa por dia útil taxa efetiva mensal admitindo a existência de 21 dias úteis taxa efetiva over anual Solução a b Taxa por Dia Útil 00567 adu Taxa Efetiva Mensal 100056721 1 100 3 4 5 6 c Taxa Efetiva Mensal 11975 Taxa Efetiva Over Anual 1000567252 1 100 Taxa Efetiva Over Anual 15355 Calcular o preço unitário de negociação de um contrato futuro com vencimento em 34 dias úteis A taxa de desconto para avaliação deste contrato é igual à efetiva anual over de 118 Solução PU R 9850634 Um lote de LTN Tesouro Prefixado foi colocado em leilão pelo Tesouro Nacional pelo PU de R 899136754 O valor nominal do título é de R 100000 e o prazo de emissão definido pelo Ministério da Fazenda foi de 540 dias corridos contendo 377 dias úteis Pedese determinar a taxa de juro efetiva anual over Solução A taxa de retorno anual exigida de um Tesouro Selic LFT é de 1210 e a SELIC projetada para o ano atinge a 118 Sendo de 480 dias úteis o prazo entre a liquidação do título e o seu resgate pedese determinar a sua cotação Solução 100268336 que equivale a 0268336 Taxa de juro que capitalizada com a SELIC projetada de 118 ao ano forma a rentabilidade exigida pelo investidor Cotação 99490869 Cotação 99490869 Admita que um investidor adquira um Tesouro IGPM NTNC na expectativa de auferir rendimentos anuais efetivos de 11 base de 252 dias úteis mais correção calculada pelo IGPM Principais características do título Juros semestrais prometidos pelo título 6 aa taxa efetiva Prazo do título 2 anos Admita que os juros sejam pagos em 127 254 379 e 505 dias úteis Variação do IGPM desde a database até a data de liquidação do título 78 Pedese calcular o PU do título Solução Juros semestrais 10612 1 100 29563 as Valor dos juros R 100000 29563 R 29563sem 7 a b a b Cotação PV R 915198845 Valor nominal atualizado R 100000 1078 R 107800 PU R 107800 91519885 PU R 986584360 Admita que um investidor em NTND Tesouro com variação monetária deseja auferir um retorno efetivo de 135 aa além da variação cambial Principais características do título Remuneração 6 aa taxa nominal com pagamentos semestrais Prazo do título 2 anos 4 semestres Variação verificada no dólar desde a database do título até sua data de vencimento 85 Pedese calcular Cotação do título PU do título Solução Cotação PU do título PU Valor Nominal Atualizado Cotação 9 11 8 10 PU R 100000 1085 87895092 PU R 953661748 Determinar o preço teórico do Tesouro Prefixado LTN abaixo descrito em 19x9 Taxa Dias úteis até o vencimento 1075 aao 538 1150 aao 407 Solução Admita que a taxa de juro de mercado de um título Tesouro Pré seja de 7973045 ao ano base 252 du O prazo até o vencimento é de 188 dias úteis Calcular o preço unitário a mercado PUMaM do título Solução Preço unitário a mercado do título PUMaM O preço de negociação do título é calculado com deságio de 556 em relação ao seu valor nominal Considere as seguintes informações de um título Tesouro Selic database emissão 1o720x2 data de vencimento 1o620x9 data de precificação 1o1220x6 taxa de variação da Selic verificada entre a data de emissão e a data de precificação do título 45081661 prazo em dias úteis entre a precificação do título e sua data de vencimento 640 dias úteis du taxa de spread do título 0288955 aa Pedese precificar o título na data 1o1220x6 Solução Admita que um contrato futuro DI seja negociado no mercado em 1o8 à taxa de 96 aao O vencimento do contrato está previsto para 39 primeiro dia útil do mês No mês de agosto são calculados 22 dias úteis Pedese determinar b a a b preço unitário PU do contrato se a taxa média de agosto do CDI divulgada for de 101 aao demonstrar os resultados da operação para o aplicador doador de recursos e para o vendedor captador de recursos Solução resultado da operação Aplicador no contrato O investidor adquiriu um contrato futuro por R 99202924540 na expectativa de receber R 10000000 após 22 dias úteis Esta operação rende uma taxa de 96 aao 1 6 7 2 3 a b c 4 a b c d 5 a b c Valor a receber R 10000000 Valor a pagar R 99202924540 110122252 R 10003974 Perda por contrato R3974 Vendedor do contrato Este investidor vende um contrato futuro por R 99202924540 com o compromisso de pagar R 10000000 no vencimento Na operação está pagando uma taxa de juros de 96 aao pelos recursos Valor a receber R 10003974 Valor a pagar R 10000000 Ganho por contrato R3974 Exercícios propostos Sendo fixada pelo Banco Central a taxa SELIC meta em 1125 em certa data determinar a taxa equivalente por dia útil Calcular a taxa over efetiva anual a partir da taxa por dia útil de 00494 Sendo de 192 a taxa over mensal pedese determinar taxa por dia útil taxa efetiva mensal admitindo a existência de 22 dias úteis taxa efetiva over anual Sendo de 132 a taxa over mensal determinar taxa por dia útil taxa efetiva mensal admitindo a existência de 20 dias úteis taxa efetiva para um período de 51 dias úteis taxa efetiva over anual Sendo de 217 a taxa efetiva de juro para um período de 50 dias corridos e 34 dias úteis determinar taxa efetiva por dia útil taxa ao mês over taxa efetiva over anual Calcular o PU preço unitário de negociação de um contrato futuro com valor nominal de R 10000000 para vencer em 26 dias úteis A taxa de juro para desconto é de 1125 aao Admita que o preço unitário de um contrato futuro de taxa de juro com 17 dias úteis até o seu vencimento seja de R 9933744 Determinar a taxa anual efetiva da operação 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 19 20 a b 18 Determinar a taxa efetiva anual over de um contrato futuro com prazo de 44 dias úteis e PU de R 9790120 O valor do contrato no vencimento conforme padrão da bolsa é de R 10000000 Admita um contrato futuro negociado na BMF à taxa de 162 aao O prazo do contrato no mês de referência é de 20 dias úteis e seu valor nominal valor a receber no vencimento é padronizado pela bolsa em R 10000000 Determinar o PU do contrato futuro ou seja o preço que um investidor pagaria hoje para receber R 10000000 em seu vencimento Admita um contrato futuro de juros com um valor médio unitário de negociação PU médio de R 9881220 O contrato referese ao mês de abrilX7 e apresenta 20 dias úteis Pedese calcular a taxa efetiva anual de juro prevista no contrato base de 252 dias úteis Sabese que um contrato futuro de juro é negociado na BMF pelo preço unitário de R 9661920 O prazo verificado de hoje até a data de vencimento do contrato é de 63 dias úteis Pedese determinar a taxa efetiva anual base 252 dias úteis de juro deste contrato São apresentados a seguir em 3004 três contratos futuros de juros conforme negociados na Bolsa de Mercadorias e Futuros Contrato Mês de Referência PU Médio Negociado Dias Úteis 1 maio R 9897530 22 2 junho R 9766020 20 3 julho R 9642040 21 Pedese calcular a taxa efetiva anual base 252 dias úteis para cada um dos meses A taxa anual efetiva base 252 dias úteis de um título é de 1275 Qual a taxa de rentabilidade oferecida pelo título para um mês com 21 dias úteis Um contrato futuro de taxa de juro DI Futuro com vencimento para daqui a 37 dias úteis está cotado em R 9886097 Determinar a taxa de juro anual efetiva base de 252 dias úteis implícita do contrato Uma instituição adquiriu um lote de Tesouro Prefixado pagando um PU de negociação de R 911276890 O valor nominal do título é de R 100000 e o prazo de 228 dias úteis Pedese calcular taxa efetiva de juro no período taxa efetiva over anual Uma instituição define uma taxa anual de juros de 112 em leilão de Tesouro Prefixado realizado O prazo do título é de 119 dias úteis Sendo de R 100000 o valor nominal do título pedese determinar o PU pago pela instituição Determinar o preço unitário de negociação PU de um título Tesouro Pré com prazo de 68 dias úteis considerando uma taxa efetiva anual base de 252 dias úteis de 1225 Admita um Tesouro Prefixado com as seguintes características Prazo 188 dias úteis Preço Unitário PU R 923178344 Valor Nominal N R 100000 Pedese calcular a taxa de rentabilidade anual efetiva oferecida pelo título Sendo de 1017 aa a taxa de rentabilidade efetiva de uma LTN de 330 dias úteis base 252 dias úteis pede se calcular seu preço unitário de negociação Sendo de 99823915 a cotação de um Tesouro Selic e de R 131245 o seu valor nominal atualizado pela SELIC pedese determinar o preço unitário de negociação deste título 21 22 23 24 a 26 27 b c 25 Um título Tesouro Selic com prazo de 282 dias úteis apresenta uma cotação de 99114318 Calcule a taxa de rentabilidade anual efetiva base de 252 dias úteis do título Sendo o PU de um Tesouro Selic igual a R 128714 e seu valor nominal atualizado de R 132000 pedese determinar a cotação do título Admita um Tesouro Selic com 681 dias úteis de prazo contados da data de liquidação e a data de vencimento do título A taxa anual esperada pelos investidores é de 023 Determinar a cotação do título O Banco Central divulgou o prazo de leilão primário de Tesouro Selic com prazo de 498 dias úteis A SELIC projetada anual efetiva para o período é de 1125 Os investidores vêm exigindo um retorno efetivo anual de 118 Pedese determinar fator de acréscimo sobre o valor nominal do título Ou seja o acréscimo no valor nominal do título que forneça a taxa de retorno desejada pelo investidor calcular a cotação do título determinar a rentabilidade média do ano base de 252 dias úteis São definidas as seguintes características de emissão de um Tesouro prefixado com juros semestrais Prazo 1 ano Juros taxa efetiva de 6 aa cupom Pagamento de juros semestral Resgate do Principal na data de vencimento Valor Nominal do Título R 100000 Os pagamentos dos juros ocorrem em 127 e 252 dias úteis Para uma taxa efetiva anual de 1090 aao determinar o preço unitário de negociação do título Para aplicar em Tesouro IGPM um investidor exige uma taxa de retorno de 10 aa base 252 dias úteis além de correção pelo índice de inflação O título paga cupom de 6 aa e tem prazo de 2 anos Os dias úteis entre as datas de pagamentos dos juros são os seguintes 1o Pagamento de Juros 125 dias úteis 2o Pagamento de Juros 252 dias úteis 3o Pagamento de Juros 380 dias úteis 4o Pagamento de Juros 502 dias úteis Pedese determinar a cotação do título Admita que um investidor tenha adquirido um Tesouro com Variação Cambial na expectativa de um rendimento nominal anual de 10 5 as além da variação cambial Outros dados da operação são os seguintes Juros semestrais prometidos pelo título taxa nominal 6 aa c 28 29 30 32 b c a b 31 33 a Data de Liquidação Financeira 1o102006 Data de Vencimento 1o102008 A variação cambial verificada desde a database do título até o momento de sua liquidação financeira atinge a 862 Pedese taxa efetiva anual de rendimento exigida pelo investidor cotação do título valor nominal do título atualizado pela variação cambial Admita que o título foi emitido por um valor nominal de R 100000 Determinar o preço teórico de um Tesouro Pré com 538 dias úteis até o seu vencimento e rendimento de 1075 aao O valor de face do título é igual a 100000 Um Tesouro Prefixado com prazo de 512 dias úteis é negociado no mercado por R 794184500 Pedese determinar a taxa de rendimento oferecida pelo título Admita um Tesouro IPCA com cupom de 6 ao ano e as seguintes datas previstas para pagamento dos juros 64 198 310 e 440 dias úteis A taxa praticada no mercado para esse título é de 8124964 ao ano que equivale à IRR taxa interna de retorno do papel Pedese determinar a cotação desse título Informações de um Tesouro IPCA Data de compra e liquidação do título 15920X4 Data de emissão 25720X1 Data de vencimento 22820X9 Taxa interna de retorno IRR do título 1012 aa Preço de compra R 122764 Valor nominal do título na data da compra R 1381910287 Pedese calcular o valor nominal corrigido do título a cotação e o preço a mercado do título Suponha um Tesouro Prefixado negociado no mercado por R 854443912 O prazo do título até a data de vencimento atinge 383 dias úteis Determinar a taxa de juro prefixada pelo mercado para o título Informações de um Tesouro Selic Data de vencimento do título 17620X9 Data de compra do papel 261020X3 Data de liquidação 271020X3 Database do título 1o519X5 Valor nominal do título na database 100000 Número de dias úteis entre a data de liquidação 271020X3 e a data de vencimento 17620X9 1441 A taxa de juros do título é negativa 0025 Pedese calcular a cotação do título calcular o Valor Nominal Atualizado VNA do Tesouro Selic na data da compra Admita que a variação acumulada da SELIC no intervalo entre a database e a data de compra tenha sido de 229694124 calcular o VNA na data de liquidação do título Para obtenção do VNA o mercado na liquidação do título costuma trabalhar com a taxa meta da SELIC conforme definida pelo COPOMBACEN Admita que a SELIC meta na data da compra seja de 1075 aa d 1 2 3 a b c 4a b c d 5a b c 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15a b 16 17 18 19 20 21 22 23 24a b c 25 26 preço previsto para a data de liquidação do título Respostas 0042314 adu 1325 aao 0064 adu 1418 am efetiva 17495 aao 0044 adu 08837 am 2269 para o período de 51 dias úteis 11723 aao 00632 adu 1895 ao mês over 1725 aao R 9890609 1036 aao 1292 aao R 9881546 1625 aao 1475 aao imaio 1252 aao ijun 1526 aao ijul 1570 aao 1005 811 aao 9736131 ao período 108146 aao R 951104628 R 96930 1131 aao R 88088 R 131014 0798155 97510606 99381089 1009793505 09793505 99030148 0494382 R 956443202 93220108 27a b c 28 29 30 31 32 33a b c d 1025 aa 92908099 R 108620 R 80414 120 aao 981928 VNA R 1381910287 Cotação 907909 Preço R 1254648787 109 aao 100143076 329694124 3298277365 3302996408 1 As características dos cálculos operacionais dos títulos públicos federais conforme desenvolvidas neste capítulo foram obtidas em sua essência do documento COM CÓDIGO OPERACIONAL DO MERCADO elaborado pela ANDIMA e disponível em wwwandimacombr 2 Para ilustrar o lançamento utilizouse de informações divulgadas pelo Banco Central e disponíveis em wwwandimacombr COM Código Operacional de Mercado 3 Para a utilização de calculadora financeira nas diversas operações sugerese ASSAF NETO Alexandre LIMA F Guashi Investimentos no mercado financeiro usando a calculadora HP 12C 2 ed São Paulo Inside Books 2008 4 Informações do leilão disponibilizadas em wwwanbidcombr 5 Ano comercial 360 dias A1 a b c d Apêndice A Operações Básicas de Matemática REGRAS DE SINAIS NAS OPERAÇÕES MATEMÁTICAS Na soma de dois números com o mesmo sinal efetuase a operação e atribuise ao resultado da soma o mesmo sinal Exemplos 18 35 18 35 53 60 30 60 30 60 30 90 Na soma de dois números com sinais desiguais subtraise do maior o de menor valor absoluto e atribuise à diferença encontrada o sinal presente no de maior valor absoluto Exemplos 120 70 120 70 50 40 100 40 100 60 80 50 80 50 30 Na subtração de um número negativo o sinal é alterado e os valores somados Exemplos 120 90 120 90 210 150 100 150 100 50 200 500 200 500 300 Na multiplicação ou divisão de dois números valem as seguintes regras se os dois números tiverem o mesmo sinal atribuise ao resultado da operação sinal positivo se os dois números tiverem sinais desiguais atribuise ao resultado da operação o sinal negativo Exemplos 140 20 2800 140 20 2800 140 20 7 140 20 7 140 20 7 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 A2 a b c d Exercícios propostos Efetuar as seguintes operações 300 150 800 950 700 300 2000 1200 200 500 900 600 100 400 1000 300 500 200 0 900 18 5 10 12 6 4 5 Respostas 300 3400 1100 1500 900 1440 OPERAÇÕES COM FRAÇÕES Frações são basicamente símbolos representados por meio de sinais ou utilizados para indicar operações de divisão que não produzem quocientes inteiros Por exemplo 4 5 45 1 3 13 2 3 23 e assim por diante Existem algumas regras úteis para o cálculo de operações com frações Nas operações de soma ou subtração as frações devem inicialmente ser reduzidas geralmente pelo mínimo múltiplo comum a um mesmo denominador Em seguida os numeradores devem ser somados e mantido o denominador comum Exemplo Nas operações de multiplicação de fração o resultado final é obtido pela multiplicação dos numeradores e denominadores Exemplo Nas operações de divisão de frações multiplicase a fração do numerador pelo inverso da fração do denominador Exemplo O resultado de uma fração não se altera ao multiplicar ou dividir o numerador e o denominador por um mesmo número não igual a zero Exemplo A3 Exercícios propostos Desenvolver as operações abaixo indicadas Respostas EXPRESSÕES NUMÉRICAS E PONTUAÇÃO Com o intuito de se definir uma ordem na qual as operações indicadas numa expressão numérica devem ser calculadas costumase utilizar certas pontuações como parênteses colchetes e chaves a b c a b 1 2 3 4 5 6 1 2 3 A forma como a pontuação é colocada na expressão exerce evidentemente influência decisiva sobre o resultado Por exemplo a expressão 9 7 4 pode ser identificada de duas maneiras com diferentes resultados 9 7 4 6 ou 9 7 4 2 A solução de uma expressão numérica deve ser efetuada obedecendo sempre a seguinte ordem operações indicadas entre parênteses operações indicadas entre colchetes operações indicadas entre chaves Por outro lado nas expressões numéricas que não contêm sinais de pontuação ou que apresentam mais de uma operação dentro da mesma pontuação são estabelecidas certas prioridades para a sua solução ou seja inicialmente são efetuadas as operações de multiplicação e divisão posteriormente são efetuadas na ordem as operações de adição e subtração Exemplo Calcular os resultados das seguintes expressões numéricas 18 3 6 18 18 0 24 10 3 20 24 30 20 54 20 34 100 6 12 8 6 1 15 3 100 6 12 8 5 45 100 6 12 40 45 100 6 7 100 42 142 Exercícios propostos 300 14 5 20 60 72 120 70 10 30 17 7 2 9 5 5 40 90 2 8 9 3 7 10 6 4 40 140 30 12 5 3 7 2 1 170 50 3 0 165 4 22 70 40 60 12 3 5 800 170 2 40 50 4 1200 30 60 310 70 5 Respostas 238 1145 172 4 5 6 A4 A5 790 5 340 MÉDIAS ARITMÉTICA E GEOMÉTRICA A média é um valor típico medida de tendência central de um conjunto de dados Podem ser definidos diversos tipos de médias sendo as mais utilizadas a média aritmética e a média geométrica Os conceitos destas medidas são aplicados respectivamente no desenvolvimento de juros simples e juros compostos A média aritmética x de um conjunto de números a1 a2 a3 an é obtida pelo somatório das quantidades consideradas dividido por n quantidade de números Por exemplo os juros mensais dos quatro primeiros meses de um ano foram respectivamente 7 8 8 e 13 A taxa média mensal dos juros no período atinge Por outro lado a média geométrica XG de um conjunto de números a1 a2 a3 an é a raiz n do produto desses dados ou seja Por exemplo a média geométrica dos números 4 9 e 6 é PROPORÇÕES A proporção é entendida pela igualdade de duas razões isto é Por exemplo 35 e 610 são duas razões iguais e portanto proporcionais Em toda proporção o produto dos meios b c é igual ao produto dos extremos a d ou seja b c a d Dessa maneira se um dos termos da proporção for desconhecido é possível calcular o seu valor mediante a propriedade apresentada Exemplo B1 B11 a c Apêndice B Expoentes e Logaritmos EXPOENTES O produto a a a a pode ser representado por a4 no qual a denominase base e o número 4 é o expoente Um expoente em outras palavras indica o número de vezes em que a base é multiplicada por si mesma De uma maneira geral a potência nésima de um fator a é representada por Exemplos b5 b b b b b 36 3 3 3 3 3 3 729 42 54 4 4 5 5 5 5 10000 1 i5 1 i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 r3 1 r 1 r 1 r Propriedades dos Expoentes Se m e n forem números inteiros e positivos e a base diferente de zero temse am an amn Exemplo 53 52 53 2 55 3125 Exemplo amn am n d 2 9 1 2 3 4 5 6 7 9 B12 a b c Exemplo 332 33 2 36 729 a bn an bn Exemplo 4 62 42 62 16 36 576 Exemplo Exercícios propostos Calcular as expressões abaixo 10 102 103 53 25 34 2 122 3 32 44 2 16 2 Respostas 72 1000000 a5 200 1 r14 a20 a6 b6 2474 Expoentes Zero Negativo e Fracionário Esses expoentes obedecem as seguintes definições a0 1 a 0 an n inteiro e positivo amn m e n inteiros e positivos Exemplos 23 35 60 8 243 1 251 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 52 25 43 43 22 64 4 256 1914 1174 2713 3 934 280 1 i10 560 1 i10 2 1 i i 2110 1 i 007177 Exercícios propostos Resolver as expressões abaixo 1073231 53 53 1195112 1 1053130 1 2334 217545 678 10923 Respostas 1045 1177 125 0008 0015 00017 07378 18619 64015 01642 B2 a b c LOGARITMOS A solução de uma equação cuja incógnita é o expoente pode ser apurada por logaritmo Por exemplo 3x 20 revela que o valor do expoente incógnita da expressão situase entre 2 e 3 o qual poderá ser mais facilmente determinado com o uso de logaritmo A expressão básica do logaritmo é a seguinte L logb N ou seja o logaritmo de base b de um valor positivo N é igual à base b elevado ao expoente L Em outras palavras o logaritmo de N na base b é o expoente L que satisfaz a igualdade bL N Exemplos log2 32 5dado que 25 32 log3 81 4dado que 34 81 log10 10000 4dado que 104 10000 log10 1 0dado que 100 1 log10 01 1dado que 101 01 Os logaritmos de base 10 são denominados de logaritmos comuns ou decimais sendo simplesmente identificados por log N x em vez de log10 N x São enunciadas três leis fundamentais dos logaritmos O logaritmo da multiplicação de dois ou mais múltiplos positivos é a soma dos logaritmos dos números log A B log A log B log A B C log A log B log C O logaritmo do quociente de dois números positivos é o logaritmo do numerador menos o logaritmo do denominador log log A log B O logaritmo da potência de um número positivo é o produto do expoente n da potência pelo logaritmo do número log An n log A Exemplos log 6 9 log 6 log 9 0778151 0954243 1732394 log 3 52 log 3 log 52 0477121 1397940 1875061 log 5 103 log 5 log 103 log 5 3 log 10 0698970 3 1 0698970 3 2301030 1 2 3 4 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 C1 log log 513 log 5 0698970 0232990 Exercícios propostos Resolver as operações abaixo 30 1125n 270 1 3x 201 420 109n 80 200 1 i15 3000 8x 145 3x log 9 14 Respostas n 1865 x 482 n 1924 i 01979 n 0 n 647 x 27264 376895 Apêndice C Noções sobre Progressões PROGRESSÃO ARITMÉTICA a Progressão Aritmética PA é uma sucessão de números onde cada termo considerado a partir do segundo é exatamente igual ao termo anterior somado a um valor constante Ou seja a partir do segundo termo a diferença existente entre cada termo imediatamente anterior é sempre igual constante Sendo aK um termo qualquer de uma PA pela definição temse Valor constante aK aK 1 Esse valor constante é definido na PA por razão sendo representado por r O primeiro termo da progressão é definido por a1 e o último por an A sucessão apresentada a seguir composta de 7 termos é um exemplo de PA ou seja 3 5 7 9 11 13 15 sendo a1 3 an 15 r 2 n 7 Observe ainda que a1 3 a2 a1 r a2 3 2 5 a3 a2 r a1 2r a3 5 2 3 2 2 7 a4 a3 r a1 3r a4 7 2 3 3 2 9 e assim por diante Pela sequência desse raciocínio podese apurar a expressão do termo genérico de uma PA ou seja an an 1 r ou an a1 n 1 r Por exemplo na ilustração numérica desenvolvida acima determinar por meio da expressão do termo genérico 4o termo da PA an a1 n 1 r b C11 a4 3 4 1 2 a4 3 3 2 3 6 9 Último termo da PA an a1 n 1 r an 3 7 1 2 an 3 6 2 3 12 15 ou an an 1 r an 13 2 15 Soma dos Termos de uma PA A soma dos termos de uma PA SnPA é obtida pela seguinte identidade No exemplo ilustrativo observase que a soma da sucessão de números atinge SnPA 3 5 7 9 11 13 15 63 Pela fórmula Exemplo 1 Calcular o último termo de uma progressão aritmética de 18 termos em que a1 17 e r 6 Solução an a1 n 1 r an 17 18 1 6 an 17 102 119 Exemplo 2 Calcular o décimo termo da PA 7 16 25 34 43 Solução Como r 9 temse a10 a1 n 1 r a10 7 10 1 9 a10 7 81 88 ou 7 16 25 34 43 52 61 70 79 88 Exemplo 3 Determinar o primeiro termo de uma PA admitindose que o oitavo termo seja 101 e a razão igual a 14 Solução an a1 n 1 r a1 an n 1 r a1 101 8 1 14 a1 101 98 3 Exemplo 4 Determinar o primeiro termo de uma PA de 66 termos sendo os três últimos ilustrados a seguir 8030 8019 8008 Solução an 8008 r 8008 8019 11 c 66 an a1 n 1 r a1 an n 1 r a1 8008 66 1 11 a1 8008 715 8723 Exemplo 5 Calcular a razão de uma PA de 15 termos sendo o primeiro termo igual a 48 e o último igual a 118 Solução an a1 n 1 r an a1 n 1 r Exemplo 6 Calcular o número de termos de uma PA de razão igual a 22 sendo a1 12 e an 254 Solução an a1 n 1 r an a1 n 1 r Exemplo 7 Determinar a soma de uma PA representada pelos 50 primeiros números naturais ímpares Solução a1 1 r 2 n 50 an a1 n 1 r C2 an 1 50 1 2 an 1 98 99 Exemplo 8 Calcular a soma dos 47 primeiros termos de uma PA sendo a1 16 e a47 430 Solução PROGRESSÃO GEOMÉTRICA Progressão Geométrica PG é uma sucessão de números positivos em que a divisão de cada número a partir do segundo pelo termo imediatamente anterior produz sempre um mesmo resultado Em outras palavras um termo de uma PG é sempre igual ao precedente multiplicado por um valor constante e positivo Ilustrativamente a seguir é apresentada uma PG de 7 termos com razão igual a 2 5 10 20 40 80 160 320 Em PG a razão é expressa por q Na ilustração q 2 podendo ser apurada pela seguinte expressão de acordo com o enunciado acima q aK aK 1 Logo aK aK 1 q aK termo qualquer de uma PG A formulação do termo genérico de uma PG ilustrada pelos dados do exemplo ilustrativo considerado é desenvolvida a seguir a1 a1 a1 5 a2 a1 q a2 5 2 10 a3 a2 q a1 q q a1 q2 a3 10 2 5 2 2 5 22 20 a4 a3 q a1 q q q a1 q3 a4 20 2 5 2 2 2 5 23 40 e assim por diante Nessa sequência o último termo da progressão é expresso da forma seguinte an an 1 q ou an a1 qn 1 C21 Na PG ilustrada anteriormente o último termo é igual a 320 Pela formulação apresentada do valor desse termo é obtido an 160 2 320 ou an 5 271 320 Se a razão for menor que 1 q 1 dizse que a PG é decrescente Por exemplo 16384 4096 1024 256 64 16 Sendo Soma dos Termos de uma PG Para uma PG limitada a soma dos termos é dada pela seguinte expressão Para o exemplo ilustrativo inicial de uma PG crescente com razão igual a 2 a soma de seus termos é determinada da seguinte forma ou SnPG 5 10 20 40 80 160 320 635 A soma dos termos da PG decrescente conforme apresentada é apurada a seguir a1 16384 an 16 q 025 ou SnPG 16384 4096 1024 256 64 16 21840 Exemplo 1 Determinar o último termo de uma PG sabendose que o primeiro termo é igual a 13 a razão igual a 6 e o número de termos igual a 12 Solução an a1 qn 1 an 13 612 1 an 4716361728 Exemplo 2 Calcular o décimo termo da PG 27 135 675 Solução an a1 qn 1 a10 27 510 1 a10 52734375 Exemplo 3 O primeiro termo de uma PG é 4 a sua razão também é 4 e o último termo é 16777216 Calcular o número de termos desta PG Solução an a1 qn 1 16777216 4 4n 1 16777216 41 n 1 16777216 4n Por tentativa e erro ou aplicandose o logaritmo chegase a n 12 isto é 4n 16777216 n log 4 log 16777216 Exemplo 4 Determinar a razão de uma PG sabendose que a1 17 an 11262492 n 18 Solução an a1 qn 1 11262492 17 q18 1 q17 66249953 q17 66249953117 q q 22 Exemplo 5 Em uma PG o último termo é igual a 15309 a razão é igual a 3 e o número de termos é igual a 8 Calcular o primeiro termo Solução an a1 qn 1 Exemplo 6 Achar a soma dos 15 primeiros termos da seguinte PG 4 12 36 108 Solução a1 4 q 3 an a1 qn 1 an 4 315 1 19131876 Exemplo 7 Calcular a soma de uma PG cujo primeiro termo é igual a 9 a razão é igual a 5 e o número de termos é igual a 10 Solução a1 9 q 5 an a1 qn 1 an 9 510 1 17578125 Exemplo 8 Determinar o valor do último termo e da soma dos termos de uma PG com os seguintes dados a1 700 a2 70 n 6 Solução a1 700 q 010 PG decrescente an a1 qn 1 an 700 016 1 0007 Exemplo 4 Determinar a razão de uma PG sabendose que a1 17 an 11262492 n 18 Solução an a1 qn 1 11262492 17 q18 1 q17 66249953 q17 66249953117 q q 22 Exemplo 5 Em uma PG o último termo é igual a 15309 a razão é igual a 3 e o número de termos é igual a 8 Calcular o primeiro termo Solução an a1 qn 1 Exemplo 6 Achar a soma dos 15 primeiros termos da seguinte PG 4 12 36 108 Solução a1 4 q 3 an a1 qn 1 an 4 315 1 19131876 Exemplo 7 Calcular a soma de uma PG cujo primeiro termo é igual a 9 a razão é igual a 5 e o número de termos é igual a 10 Solução a1 9 q 5 an a1 qn 1 an 9 510 1 17578125 Exemplo 8 Determinar o valor do último termo e da soma dos termos de uma PG com os seguintes dados a1 700 a2 70 n 6 Solução a1 700 q 010 PG decrescente an a1 qn 1 an 700 016 1 0007