Aulas sobre Funções Matemáticas: Afim, Quadrática, Exponencial, Logarítmica e Trigonométricas

o Wn 168 minutos S eu Aula 1 Funcdo afim 2 Oo Aula 2 Fundo quadratica G Aula 3 Fundo exponenciale logaritmica Aula 4 Funcées trigonométricas Referéncias Aula 1 Nesta unidade vocé iraé conhecer a definido de fungao e suas aplicacées além de aprofundarse nas suas propriedades para diferenciar uma funcdo afim de uma funcdao linear 35 minutos INTRODUCAO Caro estudante nesta unidade vocé ira compreender algumas relac6es existentes entre grandezas a partir de situagdes que fazem parte do cotidiano Tais relagées podem ser denominadas funcgoes Podemos identificar as fungdes em situagdes simples do dia a dia como por exemplo na ida a padaria para comprar pdes relacionar a compra com o prego que ira pagar ao medir um terreno para fazer uma horta relacionar a quantidade de arame que ira gastar para a cerca na atuacdo da engenharia ao construir um edificio na linha de produgdo de uma industria entre tantas outras situagdes Nesta unidade vocé ira conhecer a definigdo de fungao e suas aplicagdes além de aprofundarse nas suas propriedades para diferenciar uma fungdo afim de uma fungdo linear Por fim ira solucionar uma situacdo que pode ser aplicada em seu contexto académico profissional e pessoal Vamos la DEFINICAO DE FUNCAO AFIM As fungdes matematicas estdo associadas as mais diversas situagdes do nosso dia a dia pois uma vez que relacionamos duas grandezas temos uma fungdo De acordo com Stewart 2016 p 10 uma fungdo f é uma lei que associa a cada elemento x em um conjunto A exatamente um elemento fx em um conjunto B Geralmente os conjuntos A e B sdo conjuntos numéricos Vejamos um exemplo de representacao de fungdo Figura 1 Fungdo no Diagrama de Ven Wn VO ie eu Cc Oo vo os 2 i A Fonte elaborada pela autora Para satisfazer uma relacdo de A em B como funcao temos que E necessdrio que todo elemento x A tenha relacdo x y E necessdrio que cada elemento x Atenha relacdo a um Unico par ordenado x y O dominio Df de uma fungdo sao todos os valores possiveis de x ou seja a regido em que a funcdo pode ser definida Observe o exemplo a seguir Figura 2 Dominio de uma fungdo 1 4 Wn 9S 8 g Dominio Fonte elaborada pela autora Ndo existe divisdo por zero ou seja a funcdo f R R definida por fz tem como dominio todos os numeros reais com excedo do zero pois no denominador 0 x tem que ser diferente de 0 A imagem da fungao é formada pelo conjunto de todos os valores possiveis de fx obtidos quando x varia por todo o dominio Observe a figura Figura 3 Imagem e contradominio de uma funcgado adominio 4 8 Imag Dominio Fonte elaborada pela autora Nesse caso temos a imagem da funcdo Imf 4 8 12 e o contradominio da fungdo CDf 1 4 8 12 Assim temos que 0 dominio da funcgdo é composto pelos valores da variavel x e a imagem é composta pelos valores da variavel y ou seja fx Para Stewart 2016 a variavel independente esta relacionada a um numero arbitrario no dominio de uma fungao f ja aquele que representa um numero na imagem de f é denominado variavel dependente Para melhor compreendermos tal conceito observe a seguinte situagdo um posto de gasolina de uma determinada cidadé g 2 va cobra pelo litro de gasolina R 350 Temos que a variavel dependente é 0 valor a ser pago y ou fx e a variavel c independente é a quantidade de gasolina x Com base nessas informacées podemos escrever a seguinte expressdo s matematica fx 350x Tal expressdo é denominada de Lei de Formagdo da Fungcao e nos fornece o valor a ser pago de acordo com a quantidade de gasolina x As fungdes podem ser classificadas de acordo com algumas especificidades e caracteristicas Dizemos que fx uma fundo afim ou polinomial do 1 grauf R R quando temos a seguinte lei de formacao fx axrb em que os coeficientes a e b sdo numeros reais e a precisa ser diferente de zero a 0 Segundo Stewart 2016 uma particularidade desse tipo de fungdo é que elas variam a uma taxa constante Conforme vimos as funcées sdo classificadas de acordo com a Sua lei de formagdo e seus respectivos coeficientes Para melhor compreendermos a fungdo afim a seguir abordaremos seus comportamentos e graficos Agora que vocé ja viu qual a definido e a lei de formacgdo de uma fungao afim vamos nos aprofundar no assunto e abordar a construcdo dos graficos e a raiz de uma fungdo afim Quando estamos trabalhando com fungées a construgdo e interpretagdo de graficos sdo necessdrias uma vez que cada fungdo tem a sua representacdo grafica Independentemente do tipo de funcdo é fundamental conhecermos o que 0 plano cartesiano o que é um par ordenado o que sdo 0 eixo das abscissas e 0 eixo das ordenadas De acordo com Anton 2007 o plano cartesiano é formado por duas retas perpendiculares entre si reta horizontal x denominada eixo das abscissas e reta vertical y denominada eixo das ordenadas O encontro dos eixos é chamado origem e cada ponto representado nesse plano é formado por um par ordenado x y Os eixos no plano formam quatro quadrantes conforme ilustra a figura 4 Figura 4 Plano cartesiano 2 quadrante y 1 quadrante 5 4 4 o 1 x 543 2 4 1 2 3 4 9 O ww g 2 2 Oo 4 5 3 quadrante 4 quadrante Fonte elaborada pela autora Conforme vimos uma fungdo afim ou do 1 grau é definida em f R R quando temos a seguinte lei de formacao fx az b tal que os coeficientes a e b sio numeros reais e a precisa ser diferente de zero a 0 Quando elaboramos a representacdo grafica da fungdo afim no plano cartesiano temos uma reta em que na lei de formacdo fx ax b o coeficiente b 6 denominado coeficiente linear da reta e numero a é o coeficiente angular da reta ou declividade da reta representada no plano cartesiano Para melhor compreender essa representacdo considere a seguinte funcdo fa 2x 4 1 Nesse caso 0 coeficiente angular é igual a 2 e o coeficiente linear é 1 Para construgdo do grafico consideremos os seguintes valores para x e na sequéncia seus respectivos valores de fx ou seja de y Quadro 1 Calculo para valores dexey 1 19 941 1 f1211211 o roreorn wn Fonte Produzido pelo autor Na sequéncia iremos localizar os pontos referentes a x y encontrados no Quadro 1 ligalos e tracgar a reta Observe a localizagdo dos pontos A1 1 BO 1 e C1 3 Figura 5 Reta no plano cartesiano 3 fx 2x1 2 o Yn 1 s eu g ie Cc uo 3 2 1 0 1 2 1 Fonte elaborada pela autora Observe que temos uma reta crescente uma vez que 0 coeficiente a é igual a 2 ou seja um numero positivo Diante disso temos a seguinte relacdo Quando o coeficiente a0 temos uma reta decrescente Figura 6 Reta decrescente Fonte elaborada pela autora Quando o coeficiente a0 temos uma reta crescente Figura 7 Reta crescente S O o Cc Oo o Fonte elaborada pela autora Ainda podemos encontrar a raiz de uma fungao afim também chamada de zero da fungdo quando fazemos fx 0 Vejamos um exemplo Considerando fx 2x 1 temos que 0 zero da fungao sera fx 0 2210 2x 1 1 c xz 05 Assim 0 zero da funcdo é x05 O zero da fungdo representa onde a reta corta 0 eixo x das abscissas nas coordenadas 05 0 Observe Figura 8 Raiz da fungdo no grafico fx 2x1 15 1 5 0 05 Raiz 05 0 Fonte elaborada pela autora Um caso particular da funcdo afim é a funcao linear em que f R R Nesse caso cada elemento x Ré associado a um elemento az R tal que a 0 ese trata de um numero real Nesse caso a funcdo linear é dado por fx az a 0 em que sua representacdo grafica corta o plano cartesiano na origem 0 0 A funcado fx 2 tratase de uma fungao linear pois seu coeficiente b é igual a zero Observe sua representagdo grafica Wn VO Figura 9 Representagdo grafica funcao linear S o Cc Oo j o f 4 f 4 1 Raiz Fonte elaborada pela autora Conforme mostra 0 grafico a reta da funcdo linear fx 2a fx 2a corta 0 eixo x das abscissas na origem 0 0 Para melhor compreender a fungao afim e linear a seguir abordaremos algumas situagdesproblema que podem ser aplicadas em seu dia a dia APLICACAO Agora que vocé ja estudou sobre a definigdo propriedades e representacdo grafica de uma fungao afim vamos abordar sua utilizagado em uma situacdoproblema numa industria alimenticia um determinado produto tem um custo fixo de R500 para sua producdo mais um adicional de R 200 por unidade produzida Neste caso determine a Alei de formacdo da fungdo preco por corrida b O dominio e a imagem da funcdo prego por corrida c Representacdo grafica da fundo custo com valores de x 0 1 2 3 d Qual o custo para produzir 1500 produtos nesta industria alimenticia e Se aindustria gastou R 355500 no custo de producdo quantos produtos foram produzidos Para resolvermos 0 problema precisamos relembrar os conceitos relacionados a fungdo afim vamos la a Alei de formacdo da fungdo preco por corrida Primeiramente observe que nessa situagdo a taxa constante ou seja 0 coeficiente linear 6 o valor do custo fixo para producdo do produto que é equivalente a R500 Por sua vez 0 valor que varia de acordo com a quantidade de produto x Wn é equivalente a R 200 o s x x x eC Assim a lei de formacdo da fungdo que representa a fundo preco por corrida o o fx 2x 5 Temos que fx 6 nossa variavel dependente e o custo total da producgdo de uma quantidade de produtos produzidos x é nossa variavel independente b O dominio e a imagem da fungdo custo Ao analisar a lei de formacao fx 2 5 dessa funcdo podemos dizer que seu dominio sdo os numeros inteiros pois a fungdo existe para qualquer x real A imagem dessa funcdo também sdo os numeros reais pois a fungdo pode assumir qualquer valor real dependendo do valor de x Importante salientarmos que quando analisamos a lei de formacdo em seu contexto real ndo faz sentido termos quantidade de produtos produzidos que ndo sejam inteiros e nem negativos assim 0 dominio seria composto pelos numeros inteiros positivos e consequentemente a imagem também s6 conteria valores inteiros positivos c Representacdo grafica da fungdo custo com valores de x 0 1 2 3 Precisamos construir a representacdo grafica da fungdo fx 2x 5 Para isso vamos utilizar os valores de x 0 1 2 3 para encontrar os valores de fx ou seja y Quadro 1 Especificagdes da realidade a ee ee ot e Fonte autora 2022 Ao encontrarmos os pares ordenados x y para as quantidades de produtos produzidos com seus respectivos custos canctriifmac a ranracantac4dn orafica Imnartanta raccaltar ata ac valarac da v faram Iacalizadas no aivn dac ahriccacs au es i i i Oe re BE seja na horizontal e os valores de y foram localizados no eixo das ordenadas ou seja na vertical Observe os pontos A0 5 B1 7 C2 9 D3 11 Figura 10 Representacdo grafica 12 12 D D Cc Cc S 7 B 5 3 é 8 A fx 2x5 2 0 2 4 2 0 2 4 Fonte autora 2022 d Qual o custo para produzir 1500 produtos nesta industria alimenticia Para encontrarmos 0 valor do custo para produzir 1500 produtos nesta industria podemos utilizar a lei de formacdo para facilitar os calculos Basta substituir na variavel x o valor de 1500 e encontrar o valor do custo fx f1500 21500 5 f x 2x245f1500 3000 5 f1500 3005 Assim 0 valor do custo de produgdo de 1500 produtos nesta empresa sera de R 300500 e Se a industria gastou R 355500 no custo de producdo quantos produtos foram produzidos Para resolver esse problema novamente utilizaremos a lei de formagao mas neste caso vamos substituir o valor de R 355500 no lugar de fx que é 0 custo total observe fx 2e 5 3590 24 5 3555 5 2x 3590 2x 3550 a x 1775 Assim com R 355500 foram produzidos 1775 produtos VIDEO RESUMO Ola estudante Vocé ira aprender sobre o conceito da fundo afim sua definigdo e propriedades e construir e interpretar sua representacao grafica Vamos também conhecer a fungao linear e calcular 0 zero da funcdo além de aplicar esses conhecimentos em situacées praticas do seu dia a dia Wn oS Vamos la o o fc Bom estudo a7 Para visualizar 0 objeto acesse seu material digital 6d Saiba mais Para saber mais sobre fungdo afim acesse 0 artigo Estudo de fundo afim através da modelagem matematica de Soraya Martins Camelo Aula 2 Vocé iré aprofundar ainda mais os estudos sobre as funcées a partir das funcdes quadraticas 36 minutos INTRODUCAO Caro estudante vimos anteriormente a definigdo da funcgdo afim assim como suas representagdes caracteristicas e aplicagdes Agora nesta aula vocé ira aprofundar ainda mais os estudos sobre as funcées a partir das funcées quadraticas As fungdes quadraticas podem ser aplicadas também em situacées do nosso dia a dia como no langamento de projéteis de foguetes na superficie parabdlica presente nos espelhos dos fardéis automotivos nos radares de velocidade que utilizam as propriedades 6ticas da parabola entre outros Vamos entdo definir uma fungdo quadratica e suas aplicacdes além de nos aprofundar em propriedades Por fim solucionaremos alguns problemas que podem ser aplicados em nosso dia a dia Vamos Ia DEFINICAO DE FUNCAO QUADRATICA A fungdo quadratica pode ser aplicada em diversas situac6es do nosso dia a dia e nos auxiliar na resolucdo de situagdes problema Mas antes de realizar algumas aplicagdes vamos ver sua definicdo Podemos definir uma fungdo quadratica ou fungao polinomial do 2 grau como qualquer fungao f R Rdada por uma lei da seguinte forma fx axba c a bec sdo numeros reais e a O0 coeficiente a é obrigatoriamente diferente de 0 Conforme veremos mais adiante 0 5 grafico de uma fungdo quadratica é representado por uma curva denominada parabola que pode ter a concavidade voltada para cima ou para baixo Do mesmo modo que vimos na funcao afim na fungdo quadratica também temos que o Ne dominio dessa funcdo é 0 conjunto dos numeros reais limitado ao espaco ocupado pela parabola e a imagem tambémé composta pelo conjunto dos numeros reais s Vejamos um exemplo de fungdo quadratica fx 2x2x 3 Nessa fungado quadratica temos que os coeficientes sao a 2b 1c 3 Os valores dos coeficientes b e c também podem ser iguais a zero e quando isso acontece a equacdo do segundo grau ou quadratica sera considerada incompleta Observe os exemplos Quando fx 24 temos que b0 Quando fx 24z temos que c0 Outra caracteristica das fungdes quadraticas ou do 2 grau é em relacgdo aos métodos para encontrar o zero da fungdo também chamado de raiz da fundo Dada a funcdo f de A em B chamamos raiz ou zero da fungdo todo elemento de A cuja imagem é zero ou seja fz 0 Para resolver uma equacdo incompleta do 2 grau podemos fazer das seguintes formas Considere a funcdo f x24 em que b0 fx 4 x24 0 v 4 aV4 x 2 Logo a raiz ou zero da fungdo quadratica sera 2 Considere a funcdo f x24z em que c0 fx v24e x4x 0 za 4 0 z40 2A4A Logo a raiz ou zero da fundo quadratica sera x0 ou x4 Outro método para encontrar a raiz de uma funcdo quadratica seja ela completa ou incompleta é a partir da foérmulade Bhaskara em que a b ec sdo os coeficientes da equacdo a eevA S a 2a s Cc ne Oo O discriminante é igual a g A b4ac Dependendo do valor do discriminante podemos determinar a quantidade de raizes que a fungdo quadratica tem observe Se A 0 a funcdo apresenta duas raizes reais e iguais tangenciando 0 eixo das abscissas eixo x Se A 0 a funcdo contém duas raizes reais e diferentes e a parabola intercepta o eixo das abscissas em dois pontos distintos Se A 0 a funcdo nao contém raizes reais e a parabola nao intercepta o eixo das abscissas Para melhor compreender a aplicagdo da férmula vejamos como encontrar a raiz ou solugdo da fungdo quadratica fx 3x22e 1 Primeiramente temos que considerar fa 0 3z2222 10 Assim os coeficientes serdo a 3b 2c1 Determinando o discriminante A b4ac A 2431 A412 A 16 De acordo com o discriminante como A 0 teremos duas raizes distintas e reais Substituindo na formula temos bVA v 2a 2vi6 wo 23 244 cv 6 24 2 1 T eH TB Logo a raiz ou zero da fundo quadratica sera x1 ou t Conforme vimos a fungdo quadratica ou fungdo do 2 grau tem suas especificidades além de suas ferramentas para encontrar suas raizes A seguir nos aprofundaremos ainda mais no assunto abordando sua representacdo grafica Ne ww 5 2 PROPRIEDADES E GRAFICOS DA FUNCAO QUADRATICA Conforme vimos a fungdo quadratica assim como a fungdo afim também apresenta uma lei de formagao e pode ter duas raizes reais distintas uma raiz Unica ou nenhuma raiz real Agora para melhor compreendermos o assunto abordaremos a construcdo e interpretacdo do grafico de uma fungdo quadratica Quando estamos trabalhando com fungées a construgdo e interpretagdo de graficos sdo necessdrias uma vez que cada fungdo tem a sua representacdo grafica e independentemente do tipo de fungdo é fundamental conhecermos plano cartesiano par ordenado eixo das abscissas x e eixo das ordenadas y O grafico de uma funcdo do segundo grau é chamado de parabola Ao construir 0 grafico de uma funcdo quadratica notaremos sempre que Figura 1 Coeficiente a0 a parabola tem a concavidade voltada para cima v2 fx x2x1 aO Fonte elaborada pela autora Figura 2 Coeficiente a0 a parabola tem a concavidade voltada para baixo g vo Ne ww g Cc Oo o Fonte elaborada pela autora Para melhor compreender essa representacdo considere a seguinte funcdo fa x22x 1 Nesse caso 0 coeficiente angular é igual a 1 ou seja a0 portanto teremos uma parabola com concavidade para cima Para construcdo do grafico consideremos os seguintes valores para x e na sequéncia seus respectivos valores de fx ou seja y Tabela 1 Pares ordenados ore PACT oO forn no m pee at Fonte elaborada pela autora Na sequéncia iremos localizar os pontos A12 B01 e C12 referentes a x y encontrados na tabela anterior ligalos e tragar a parabola da funcao Figura 3 Parabola no plano cartesiano 1 fx x 2x 1 a0O o Wn vo Ne ww s Cc Oo J 24 Fonte elaborada pela autora Outro ponto de ressalva é que o coeficiente c presente na fungao polinomial do 2 grau representa o valor da intersegao da parabola com 0 eixo y Nesse caso com a funcdo fx 22ax 1 temos 0 coeficiente c1 entdo a parabola corta o eixo y em 1 observe Figura 4 Coeficiente c no grafico 7 a Fonte elaborada pela autora Ao analisarmos 0 grafico podemos também observar que a parabola corta o eixo das abscissas eixo x em dois pontos ou seja nesses pontos estdo localizadas as raizes da fungdo Conforme vimos anteriormente para encontrar a raiz da fungdo fazemos fx0 Considerando a mesma fungdo fx x22a 1 temos que 0 zero ou raiz da funcdo sera dado por fx 0 fx v222 1 x22 10 Primeiramente encontraremos o discriminante Substituindo na fórmula Nesse caso podemos colocar 2 em evidência ou Assim as raízes da função são ou O zero ou raízes da função representa onde a parábola corta o eixo x das abscissas nas coordenadas 2410 e 0410 Observe Figura 5 Raízes da função quadrática Fonte elaborada pela autora Podemos também obter os vértices de uma função quadrática que nos indicam o máximo ou mínimo da parábola Para determinarmos as suas coordenadas utilizamos a seguinte relação Δ b²4a c Δ 2²411 Δ 4 4 Δ 8 x bΔ 2a x 28 21 x 222 2 x 212 2 x 1 2 x 1 2 241 x 1 2 041 x 241 x 041 xv b 2a yv Δ 4a 0 Ver anotações Quando temos uma parábola com concavidade voltada para cima a 0 temos o ponto mínimo da função e quando a parábola tem concavidade voltada para baixo a 0 temos o ponto de máximo Observe na Figura 6 Figura 6 Vértice de uma função quadrática Fonte elaborada pela autora Considerando a função temos que as coordenadas do vértice serão Então as coordenadas do vértice são Observe a Figura 7 Figura 7 Vértice da função fx x²2x 1 xv yv xv b 2a xv 2 21 xv 2 2 1 yv Δ 4a yv 8 41 2 xv yv 1 2 0 Ver anotações Fonte elaborada pela autora Como a parabola tem concavidade voltada para cima 0 vértice de coordenadas 2 yy 1 2é 0 ponto minimo da fungdo APLICAGAO vn O Agora que vocé ja estudou a definido propriedades e representagdo grafica da fundo quadratica vamos abordar uma 8 Oo aplicagdo através de uma situacdoproblema g Em um jogo de futsal quando a bola é atirada para cima por um determinado jogador acaba fazendo uma trajetéria em forma de parabola Tal trajetoria pode ser descrita por meio da fungdo fz s 2 na qual x indica o tempo dado em décimos de segundo e fx representa a altura em metros Considerando isso resolva as quest6es a Represente o grafico que descreve a trajetéria da bola analisada b Qual sera a altura maxima atingida pela bola em relacdo ao eixo horizontal c Em quanto tempo a bola atinge a altura maxima d Apds quanto tempo decorrido do langamento a bola atinge o solo Para resolvermos 0 problema precisamos relembrar os conceitos relacionados a fundo quadratica Vamos la a Represente o grafico que descreve a trajetéria da bola analisada Primeiramente utilizaremos a fungdo dada fz a 2 substituindo valores quaisquer para x tempo encontrando seus respectivos valores para y altura conforme tabela Tabela 2 Pares ordenados fern A fororeoror0 0 PP PORE 201602052687 oe om oreo mes TO 7ON008 704 we Fonte elaborada pela autora Ao encontrarmos os pares ordenados x y A00 B20 2667 C10833 D30 15 e E70 1167 que relacionam os tempos com suas respectivas alturas construimos a representacao grafica Importante ressaltar que os valores de x foram localizados no eixo das abscissas ou seja na horizontal e os valores de y foram localizados no eixo das ordenadas ou seja na vertical o Figura 8 Representacdo grafica 404 o Ne ww Cc ay 4 o 4 7 20 a 6 2 x foe 60 40 4 Fonte autora 2022 b Qual sera a altura maxima atingida pela bola em relagdo ao eixo horizontal Para encontrarmos a altura maxima que a bola atingira temos que determinar 0 ponto maximo da parabola ou seja yy Para isso temos A Yo da Primeiramente vamos encontrar o discriminante da fungdo considerando a fungdo em que os coeficientes a F b1 e c0 Para encontrar o discriminante calculamos A B4ac 1 2 A 124 50 A1 Agora substituiremos no y do vértice A e Yu 7 we 48 1 WF Tt 60 60 nr Y 15 Assim a altura maxima que a bola atingira sera de 15 metros c Em quanto tempo a bola atinge a altura maxima Para resolver essa questdo precisamos determinar em quanto tempo a bola atinge a altura maxima ou seja O xy b ty 9a 1 Ly 357Ly n 2 Fy So ww 1 g Ly TE 5 60 oO 60 S ty 1Y Ly 30 Assim a bola atingira a altura maxima em 30 décimos de segundo Para complementar ainda mais 0 assunto 0 grafico a seguir representa as coordenadas do vértice da parabola com o ponto de maximo dessa fungdo onde podese observar representados graficamente o x x do vértice e o yy do vértice Figura 9 Ponto maximo da fungdo 40 20 V 30 15 20 20 40 6 20 20 40 60 Fonte elaborada pela autora d Apds quanto tempo decorrido do langamento a bola atinge o solo Para encontrarmos o tempo decorrido entre o langamento e o momento em que a bola atinge o solo precisamos determinar o valor de x quando fx 0 ou seja sua raiz Para isso temos 2 fz o 2 Como temos uma equacdo do segundo grau incompleta vamos resolver da seguinte forma 2 40 r2 0 2 Assim temos a primeira raiz xzl 0 E a segunda raiz a ie o 2 8 wo 7 S x 60 xil 60 Portanto como queremos saber quando a bola apdés langamento atingira o solo desconsideraremos o valor do tempo x0 pois nesse momento deuse 0 inicio do langamento Assim apds decorridos 60 décimos de segundos a bola atinge o solo VIDEO RESUMO Ola estudante Vocé ira aprender sobre o conceito da fundo quadratica ou do 2 grau sua definigdo propriedades construir e interpretar sua representacdo grafica Vamos também conhecer sobre o ponto de maximo e minimo calcular a raiz da fundo além de aplicar esses conhecimentos em situag6es do cotidiano Vamos la Bom estudo Para visualizar 0 objeto acesse seu material digital 6d Saiba mais Para saber mais sobre fungdo quadratica acesse o artigo Explorando a Funcdo Quadrdtica com o Software Wimplot de Rocha e Miragem Aula 3 Vocé ira compreender algumas relacdes existentes entre as fundes exponencial e logaritmica a partir de problemas que fazem parte do nosso dia a dia Caro estudante nesta aula vocé ira compreender algumas relacdes existentes entre as fungdes exponencial e logaritmica a partir de problemas que fazem parte do nosso dia a dia Encontramos as fungdes exponencial e logaritmicas nas mais diversas situagdes como por exemplo crescimento ou decrescimento caracteristico de alguns fenédmenos da natureza medigdo de magnitude de terremotos evolugdo do z a roe n calculo de juros decaimento radioativo de substancias quimicas entre outros 2 Vamos estudar as propriedades algébricas e a definigdo das equagdes exponencial e logaritmica a construgdo dosseus so Z oes Z respectivos graficos e algumas de suas aplicagdes além de nos aprofundarmos nas suas especificidades e calculos Por fin iremos solucionar algumas situagdes que podem ser aplicadas em seu contexto académico profissional e pessoal Vamos la As fungdes exponencial e logaritmica sdo inversas entre si e suas aplicagdes sao utilizadas nas mais diversas situag6es do nosso dia a dia como na taxa de crescimento de uma coldénia de bactérias na aplicagdo de juros compostos na Matematica no carregamento de bateria de aparelhos celulares entre outros Antes de abordarmos as fungdes exponencial e logaritmica veremos sobre algumas propriedades algébricas basicas tais como as propriedades de potenciado e logaritmo que servirdo de subsidio para 0 avanco dos estudos dessas funées A potenciacdo tratase de uma operacdo matematica que facilita a multiplicagdo de numeros iguais Sua forma generalizada é escrita como a em que a denominado base na qual escrevemos o numero que sera multiplicado repetidamente n denominado expoente que representa a quantidade de vezes que a base sera multiplicada por ela mesma Para elevar um numero ao outro basta saber ler a poténcia 4 Lése quatro elevado ao quadrado Como 0 4 esta na base e 0 2 no expoente logo 47 4x 4 16 Para que uma poténcia exista obrigatério que a base ndo Seja zero ou seja a 0 Outras regras podem ser explicitadas da seguinte forma Para todo numero elevado a 0 0 resultado sera 1 Exemplo 2 2 Sempre que o expoente for 1 o resultado sera a propria base 2 Exemplo 2 4 Todo numero negativo entre parénteses com expoente par tem resultado positivo 3 Exemplo 2 8 Todo numero negativo entre parénteses com expoente impar tem resultado negativo Exemplo 2 4 s1 plo o B 8 Quando temos expoente com numero negativo é preciso aplicar o inverso do numero Exemplo A partir da potenciagdo também podemos resolver uma equagao exponencial considerada uma expressdo algébrica que vo Ne possui uma igualdade e pelo menos uma incdégnita em um de seus expoentes s Para resolver uma equacdo exponencial precisamos igualar suas bases para que consequentemente seus expoentes o também sejam iguais Vejamos um exemplo 3 81 Precisamos deixar as bases 3 e 81 iguais para isso vamos fatorar 81 e deixar na base 3 Logo 813 3 81 3 34 zA Agora que ja vimos as principais propriedades que envolvem a potenciagdo conheceremos as do logaritmo O logaritmo é definido como um numero de base a no qual a é uma base de valor positivo a 0 e sempre diferente de 1 Nesse tipo de equacao ligado a determinado valor de b temse um expoente igual a x que é a poténcia da base que resulta justamente no valor de b Isto é 1 logbax2ab Em que a a base do logaritmo b é0 logaritmando x 0 logaritmo Observe alguns exemplos 1 logbax2ab Nesse ponto chegamos em uma equacao exponencial Para sua resolugdo precisamos deixar suas bases iguais consequentemente seus expoentes também serdo iguais 2 8 2 23 x3 Assim 0 valor do logs 8 xe X3 Agora que ja vimos as propriedades algébricas que envolvem a potenciacdo e os logaritmos podemos abordar as definigdes das fungdes exponencial e logaritmica De acordo com Stewart 2016 as fungdes exponenciais sdo da forma fz bab0a0aA71 Consideremos b1 e xn vamos analisar 0 que significa dizer fz a Assim temos a aa a a OU seja a base Wn é multiplicada por ela n vezes O Ja a fungdo logaritmica de acordo com Stewart 2016 é dada pela lei fx log x g Para melhor conhecermos tais funcdes a seguir serdo apresentadas suas representacoes graficas FUNCAO EXPONENCIAL E LOGARITMICA Agora que vocé ja viu algumas das propriedades que envolvem uma equaGgao exponencial e logaritmica vamos aprofundar ainda mais 0 assunto abordando a construcdo dos graficos de uma fungdo exponencial e logaritmica A fungdo exponencial ocorre frequentemente em modelos matematicos que representam situagdes da natureza e da sociedade sendo possivel explicar por meio dessa funcdo por exemplo o crescimento populacional o decaimento radioativo e a acdo de alguns remédios no organismo Por exemplo considere que uma cultura de bactérias comecga com 500 individuos e dobra de tamanho a cada hora Temos portanto t0 500 bactérias t1 5002 5002 1000 bactérias t2 50022 50027 2000 bactérias t3 500222 5002 4000 bactérias tn 5002 bactérias Assim temos que a fungdo que descreve o crescimento dessa colénia de bactérias é Ct 5002 em que n é 0 tempo e Ct é a quantidade de bactérias logo tratase de uma fungdo exponencial Agora que ja vimos uma forma de aplicacdo da fungdo exponencial vamos entender como se dado as suas representagdes graficas possiveis em um comparativo com a representacdo grafica de uma funcdo afim constante conforme segue Figura 1 Grafico das fungdes exponenciais a e b versus grafico da funcdo afim constante c 25 a b c 15 5 fx 1 a 0a1 1s a a1 fx2 th fee 05 05 oe Wn 15 1050 os 1 0S 0 05 15 ee 1 Rs ww g Fonte elaborada pela autora S o Neste caso temos que a Se a 1 temos uma funcdo exponencial crescente b Se0a1 temos uma funcdo exponencial decrescente c Sea1 temos uma funcdo afim constante Para melhor compreendermos a construcdo de um grafico de uma funcdo exponencial considere a funcdo fx 3 Primeiramente vamos substituir valores quaisquer para x e encontrarmos seus respectivos fx ou seja y Tabela 1 Calculo para valores de xe y f2379 oO Fonte elaborada pela autora Ao encontrarmos os pares ordenados x y tal que A0 1 B1 3 C2 9 construimos a representagdo grafica conforme segue Figura 2 Grafico da fungdo exponencial 10 Cc g o fx 3 Wn 6 ww Cc B g 6 4 2 0 2 i Fonte elaborada pela autora Ja a fungdo logaritmica é dada pela lei fx log x sendo sua representacdo grafica uma curva construida em razdo dos valores aplicados em x os respectivos resultados calculados para fx Dependendo da base a as curvas sdo classificadas em crescente e decrescente Figura 3 Grafico da fungdo logaritmica 1 a1 05 fx logio x 1 05 0 1 15 2 25 3 05 1 15 Fonte elaborada pela autora Caso a base a seja maior que 1 a funcdo logaritmica é crescente j4 que a medida que x aumenta acontece 0 mesmo com fx Quando estipulamos valores reais positivos para x encontramos imagens que pertencem ao conjunto dos numeros reais De modo geral a fungdo na forma fx log x segue as regras o A base do logaritmo sempre é diferente de 1 e maior do que 0 eae 9 O valor de x deve ser um numero real positivo exceto zero g 2 Se a base for 0 a 1 a funcgdo é decrescente em todo o seu dominio Isso ocorre porque a medida que x aumenta a o J imagem diminui Essa relacdo inversamente proporcional origina a seguinte representacdo grafica Figura 4 Grafico da funcdo logaritmica a f x logosx Fonte elaborada pela autora Para melhor compreendermos essa construdo considere a funcdo fx logx Importante ressaltar que no caso de o logaritmo ndo apresentar o valor da base essa sempre sera igual a 10 Primeiramente vamos substituir valores quaisquer para x e encontrarmos seus respectivos fx ou seja y Tabela 2 Calculo para valores de xe y ee me 10 f10l0g10 10x10 x1 1 SO Fonte elaborada pela autora Ao encontrarmos os pares ordenados x y tal que A1 0 B10 1 construimos a representacgdo grafica Figura 5 Grafico da funcao logaritmica 34 o Wn vo 4 S fx logx Cc Oo J Fs S 7 A 0 Q 3 6 7 g 9 10 4 Fonte elaborada pela autora Com intuito de aprofundar ainda mais 0 conhecimento das fungdes exponenciais e logaritmicas a seguir serdo apresentadas algumas aplicac6es Agora que vocé ja estudou a definido propriedades e representagao grafica das funcdes exponencial e logaritmica vamos abordar sua utilizagdo em duas situagéesproblema Situagdo 1 em determinada cidade no interior do estado de Minas Gerais a taxa de crescimento populacional é de 103 ao ano aproximadamente Responda a Qual fungdo representa essa relagdo b Em quantos anos a populacdo dessa cidade ira dobrar se a taxa de crescimento continuar a mesma Resolugdo para resolver o problema proposto precisamos utilizar os conceitos relacionados a fundo exponencial e logaritmica Vamos la a Qual fungdo representa essa relagdo Para a populagdo do ano base vamos considerar Po Para a populacao apds um ano tomase a populacdo do anobase representada por Po e multiplicase pela taxa de crescimento populacional dada no enunciado do problema que é 103 Assim temos Para calculo da populacdo considerando t 1 temos Pi Po 1031 Para populacdo com t 2 temos P2 Po 1031 Considerando t 0 tempo em ano para calculo da populagdo em relagdo at temos un t Pt Po 1031 5 iS Assim a fungdo que representa essa relacdo sera Pt Po 103 S b Em quantos anos a populacdo dessa cidade ira dobrar se a taxa de crescimento continuar a mesma Suponhamos que a populacdo dobrara em relacdo ao anobase apdos t anos sendo assim temos Pt 2 Po Partindo da relagdo Pt Po 103 temos Pt 2 Po Po 103 2 Po 103 2 Nesse caso temos que multiplicar pelo logaritmo ambos os lados log 103 log 2 t log 103 log2 Calculando log 103 00128 log 2 03010 e substituindo t 00128 03010 t 03010 00128 t235 Ou seja a populagdo dobrara em aproximadamente 235 anos caso mantenha a taxa de crescimento em 103 ao ano Situagdo 2 em uma pesquisa constatouse que a populacdo P de determinada bactéria cresce segundo a expressdo Pt 252 na qual t esta medido em horas Responda a Em quanto tempo essa populacdo atinge 400 bactérias b Construa 0 grafico que representa essa fundo Temos nesse caso uma fungdo exponencial e a partir das propriedades algébricas e conceitos relacionados a construdo de graficos vamos para sua resolucdo ad Lill yual 1tU LEN IPU s5a pupuiagau aut Ipsec 400 vaciel las Utilizando a fungdo Pt 252 para descobrir em quanto tempo a populagao atingirad 400 bactérias temos que fazer Pt 400 252 400 t 400 2535 2 16 Nesse caso temos uma equacdo exponencial na qual as bases precisam ser iguais logo fatorando o 16 temos s zt zt oO t4 Portanto a populacao atingira 400 bactérias em 4 horas b Construa 0 grafico que representa essa fundo Primeiramente vamos substituir valores quaisquer para x e encontrarmos seus respectivos fx ou seja y Tabela 3 Calculo para valores de xe y oO Ore mn a en in rere Fonte elaborada pela autora Ao encontrarmos os pares ordenados x y tal que A0 25 B1 50 C2 100 D3 200 construimos a representagdo grafica Imprimir Figura 6 Grafico da funcado exponencial D 200 o 150 Wn vo S c Px 252 2 iS C 5 100 B 50 A 50 0 Fonte elaborada pela autora Nesse caso consideramos somente valores positivos para x pois eles se referem a variavel tempo ou seja horas decorridas relacionadas ao crescimento de bactérias Desse modo ndo tem ldgica utilizarmos valores negativos Ola estudante Vocé ira aprender sobre o conceito das fungdes exponencial e logaritmica sua definigdo propriedades construgao e interpretacdo de sua representacdo grafica Vamos também aplicar esses conhecimentos em situacdes praticas do seu diaa dia Vamos la Bom estudo Para visualizar 0 objeto acesse seu material digital 6d Saiba mais Para saber mais sobre fungdo exponencial e logaritmica acesse a dissertagdo Funcao exponencial e logaritmica Aula 4 Vocé conhecera a composicao de um ciclo trigonométrico compreenderda a conversdo entre graus e radianos e também aprenderd sobre as funées trigonométricas seno cosseno e tangente 42 minutos Wn VO ie eu INTRODUCAO S Caro estudante nesta unidade vocé ira compreender sobre algumas relacées existentes entre as fungdes trigonométricas bem como a construcdo do ciclo trigonométrico e a definido de graus e angulos Em nosso cotidiano podemos encontrar diversas situagédes que podem ser aplicadas as funcées trigonométricas como por exemplo oscilagdes de ondas e cordas fendmenos periddicos como a claridade do sol variagdo de temperaturas frequéncia cardiaca entre outras Neste conteudo vocé conhecera a composicdo de um ciclo trigonométrico compreendera a conversdo entre graus e radianos e também aprenderad sobre as fungdes trigonométricas seno cosseno e tangente Também sera abordada a representacao e interpretagdo grafica de cada uma dessas funcées Por fim solucionaremos trés problemas que podem ser identificados no nosso dia a dia Vamos la FUNCAO TRIGONOMETRICA E CICLO TRIGONOMETRICO Antes de adentrarmos as funcgées trigonométricas vocé sabe o que é trigonometria A palavra trigonometria vem do grego tri trs gonos Angulo e metron medir ou seja significa a medido dos trés angulos STEWART 2016 A trigonometria é muito utilizada desde sua concepdo para resolver problemas geométricos que relacionam angulos e distancias A fungado trigonométrica é composta a partir das raz6es trigonométricas as possiveis divisOes entre as medidas dos dois lados de um tridngulo e especificamente nesta sedo abordaremos as seguintes funcdes fx senz fx cosaz fx tox O dominio dessas funcées trigonométricas é o conjunto dos numeros reais ou seja cada numero real é associado ao seno cosseno e a tangente da funcdo Tais funcées envolvem as relacées do tridngulo retangulo em fungdo de um determinado angulo Observe a figura a seguir Figura 1 Tridngulo retangulo o i fo Ya n vo Ne ww A a 5 Oo on o i Cc fo od A rs ad Yd Yo 4 oB Fonte Souza 2013 Com relacdo ao triangulo retangulo temos a hipotenusa que é dada pelo segmento OA e em relacgdo ao angulo fi o cateto oposto que é dado pelo segmento AB e 0 cateto adjacente que é dado pelo segmento OB A partir disso temos as seguintes relacées trigonométricas sen0 5 cos0 Cc Em nosso dia a dia encontramos diversas situagdes que se repetem apos um determinado intervalo como dias da semana horas fases da Lua radiacgdo eletromagnética molas entre outras As fundes trigonométricas sdo periddicas e se movem em um ciclo trigonométrico sendo que a projegdo dos pontos que a compéem sobre o eixo y ou sobre o eixo x formam um movimento ciclico Um ciclo trigonométrico é composto de uma circunferéncia com o centro no ponto 00 e raio unitario de medida igual a 1 com dois eixos perpendiculares vertical e horizontal cruzando no centro formando quatro quadrantes conforme figura a seguir Figura 2 Ciclo trigonométrico A y 01 ne me a 90 o Quadrante Il Quadrante S I 20 0 0 O xy 180 10 g Quadrante III Quadrante IV nN 270 0 v Fonte elaborada pela autora No ciclo trigonométrico utilizamos medidas a partir de arcos ou angulos Um arco completo possui 360 graus e 0 1 grau é igual a 60 minutos Ja a medida de um arco f3 completo em radianos envolve a razdo entre o comprimento e o raio da circunferéncia ou seja AB a Faio De acordo com Oliveira 2014 a medida de um dngulo em radianos depende de uma unidade de comprimento Tais relagdes entre arcos e angulos possibilitou a ampliacgdo das raz6es trigonométricas do tridngulo retangulo para as fungdes trigonométricas definidas nos reais Para melhor compreender essa relacdo observe a Figura 3 Figura 3 Ciclo trigonométrico com graus e radianos y 01 39 33 BNL me FF FN ey 3 3n 3 ep 6a 3 wv Y 4s sey 4 l 3 5 138 48 n 3 4 h ff a wo 6 50 wo 6 a 8 we C7 Zo 9 10 1 180 r0 x ZAR 10 a ff 210 cf 330 mn Lin V3 1 6 2 315 6 3 51 240 ator 300 In 33 4 4n 5n FPINB 3 BY RF 2 v3 7 0 1 Fonte elaborada pela autora A partir da figura 3 possivel ver a relagdo entre graus e radianos com suas respectivas coordenadas no eixo x horizontal e eixo y vertical Vejamos um exemplo de conversdo de medidas em radianos para graus Exemplo Converter radpara graus Para converter medidas em radiano para graus vamos utilizar a regra de trés e a relacdo ja previamente conhecida de que mrad 180 mrad 180 2rrad 3 Ta x mrad 180 rad xzmrad 1803arad 2 xz 120 Logo 21 radcorresponde a 120 Agora vamos fazer 0 processo inverso transformar uma medida que esta em graus para uma medida em radianos Exemplo Converter 60 para radiano Para converter a medida de graus para radianos vamos utilizar a regra de trés e a relagdo de que mrad 180 Logo 60º corresponde a FUNÇÃO SENO COSSENO E TANGENTE Agora que você já viu as principais características das relações trigonométricas e compreendeu a relação entre as medidas em graus e radianos vamos nos aprofundar nos estudos sobre as funções seno cosseno e tangente A partir do ciclo trigonométrico é possível representar essas funções partindose de um ângulo com raio de uma unidade cujas coordenadas são projetadas no eixo das abscissas x e no eixo das ordenadas y formando um triângulo retângulo Observe a Figura 4 Figura 4 Funções trigonométricas no ciclo trigonométrico Fonte Oliveira 2014 A partir do ciclo trigonométrico e considerando que a hipotenusa vale uma unidade podemos interpretar as razões do seno cosseno e tangente Seno teremos como base o eixo vertical y portanto a razão do seno será o mesmo valor do cateto oposto CO em relação à hipotenusa HIP πrad 180º x 60º πrad x 180º 60º 180ºx 60ºπrad x 60ºπrad 180º x πrad 3 π 3 rad 0 Ver anotações CO SENa FTP A representacdo grafica da funcdo seno tem o formato de uma curva chamada senoide que possui as seguintes caracteristicas O dominio da fungdo pertence ao conjunto dos numeros Reais A periodicidade é de 2m rad nv 9S o Aimagem da fungao sera entre 11 o O valor maximo é igual a 1 e o valor minimo é igual a 1 Aamplitude sera igual a 1 A funcdo apresenta sinal positivo no 1 e 2 quadrantes A funcao apresenta sinal negativo no 3 e 4 quadrantes Para construcdo do grafico da funcdo fxsenx atribuimos valores de x para encontrarmos os respectivos fx ou seja y Quadro 1 Valores substituidos na fungdo Oe Be Fonte elaborado pela autora O eixo vertical correspondente a ordenada identificada como seno e a representacgdo grafica da fungdo seno se repete no intervalo de 0 a 2m rad ou de 0 a 360 Ja 0 eixo horizontal é 0 eixo x das abscissas Figura 5 Fungdo seno 1 6211 0 T 3 14 Fonte Oliveira 2014 Cosseno teremos como base 0 eixo horizontal x portanto a razdo do cosseno sera o mesmo valor do cateto adjacente CA em relacgdo a hipotenusa HIP CA COS Q FTP A representacao grafica da funcdo cosseno sera uma curva denominada cossenoide com as seguintes caracteristicas A funcdo apresenta sinal positivo quando x pertence ao 1 e 4 quadrantes u A funcdo apresenta sinal Negativo quando x pertence ao 2 e 3 quadrantes s 2 Zz O Periodo é de 2 rad 5 O dominio da fungdo pertence ao conjunto dos numeros Reais Aimagem da fungao sera entre 11 Para construir 0 grafico fx cosx atribuimos valores de x para encontrarmos os respectivos fx ou seja y Tabela 1 Tabela para exemplo pratico re Pf mB Fonte elaborada pelo autor O eixo horizontal é correspondente a abcissa e identificada como eixo dos cossenos Sua representacao grafica é Figura 6 Fungdo cosseno 21T TT 0 tT 21 3tT 1 Fonte Oliveira 2014 Tangente teremos como base 0 eixo vertical y e 0 eixo horizontal x portanto a razdo da tangente sera o mesmo valor do cateto oposto CO em relacdo ao cateto adjacente CA CO tga Gq A fungdo tangente tratase de uma fungdo real de variavel tal que x pertence ao conjunto dos numeros Reais e sua representacao grafica fi é denominada tangentoide com as seguintes caracteristicas Osinal da funcdo é positivo no 1 e 3 quadrantes Osinal de funcdo é negativo no 2 e 4 quadrantes Tem 0 periodo em mrad s se D2ERaA5kn roy O dominio da fungdo sera tga qg 2 Cc Oo Para construir 0 grafico de fx tgx atribuimos valores de x para encontrarmos os respectivos fx ou seja y Quadro 3 Valores substituidos na fungao ee PO ee Fonte elaborada pelo autor Observe a representacdo grafica da fundo tangente Figura 7 Funcdo tangente 21 4 9 w2 0 me TT 3n2 7 2 1 Fonte Oliveira 2014 so Z seo 7 ean vige T Observe no grafico da funcdo tangente que a funcdo é periddica com periodo fj e para valores multiplos de a tangente ndo esta definida APLICACAO Vamos verificar trés situagdesproblema que envolvem a definigao propriedades e representacdo grafica das fungdes trigonométricas Situagdo 1 em determinada cidade do litoral do estado de Sdo Paulo a maré alta ocorreu a meianoite A altura da agua nd porto dessa cidade é uma funcdo periddica pois oscila regularmente entre maré alta e maré baixa Wn 9S A altura ft em metros da maré nesse dia pode ser obtida aproximadamente pela formula TT ft 2419cos Considerando que t é 0 tempo decorrido em horas apds a meia noite determine a altura da maré em 3 horas Solugao Para resolver o problema precisaremos dos conhecimentos relacionados a fungdo cosseno Assim para determinar a altura da maré no tempo de 3 horas vamos considerar t 3h e substituir na fungdo que modela esse fendmeno t ft 219cos 3 f3 219cos 4 f3 2 19 cos 90 Temos que cos 90 0 portanto f3 2 190 f3 20 f3 2 Logo a altura da maré no tempo de 3 horas sera de 2 metros Situagao 2 com o intuito de aumentar a producdo de alimentos em uma cidade a coordenadora da secretaria de agricultura encomendou uma analise sobre as potencialidades do solo nessa localidade Na analise da temperatura do solo foram realizadas medicées em intervalos de uma hora Tais medicgédes mostraram que a temperatura T medida em graus Celsius e o tempo t medido em horas decorridas apds o inicio das observacgoes relacionavamse a partir do seguinte modelo T An Tt 26 5cos 4 t 4 A partir do modelo criado no decorrer das analises qual a temperatura do solo as 16horas considerandose que 0 inicio das observacées se deu a Ohora Solugao primeiramente iremos utilizar o modelo matematico apresentado no problema e substituir t 16h T An Tt 26 5cos t T An T16 26 5cos 4516 Ar Air T16 26 5cos T16 26 5cos0 Temos que cos 0 1 portanto T16 26 51 T16 265 Wn T16 31 2 ww 2g Assim a temperatura do solo as 16horas sera de 31C g Situagdo 3 as ondas sonoras se propagam em formato de ondas periddicas e estado constantemente presentes em nosso cotidiano A radio PM envia uma transmissdo via ondas sonoras que pode ser modelada a partir do grafico da fundo a seguir Figura 8 Fungdo modelo das ondas sonoras 1 37 4 4 1 Fonte elaborada pela autora Considerando a representacdo grafica e os conhecimentos relacionados as fungdes trigonométricas determine qual funcdo referese a curva modelada Solugao ao analisarmos 0 grafico identificamos que seu comportamento é o de uma senoide pois ele passa pelo ponto de origem 00 e sen0 0 Também concluimos que quando fi temos que fx 1 Assim sendo fz senaz encontraremos o valor de a lembrando que o angulo cujo senx 1é 0 Angulo fi fx senaz on 1 sen 4 q ant 27 4 An 2am 42a A4 a 2 a2 Substituindo a 2 em fx senax temos que a funcdo que representa a curva é fx sen2z eu o Cc ar vo VIDEO RESUMO Ola estudante Vocé ira aprender sobre o conceito das fungées trigonométricas sua definido ciclo trigonométrico e interpretar sua representacao grafica Vamos também aplicar esses conhecimentos em situacgdes praticas do seu dia a dia Bons estudos Para visualizar 0 objeto acesse seu material digital 6d Saiba mais Para saber mais sobre fungao trigonométrica veja a dissertagdo Funcées Trigonométricas ou Funcao Trigonométrica Uma andlise histérica e institucional no Ensino Médio de Leticia Santos Meneses 15 minutos Aula 1 ANTON H Calculo v 8 ed Porto Alegre Bookman 2007 CAMELO S M Estudo de fungao afim através da modelagem matematica 2013 49f TCC Bacharelado Universidade Federal de Campina Grande Centro de Ciéncias e Tecnologia Campina GrandePB 2013 CARACA D C Conceitos Fundamentais da Matematica Lisboa Editora Gradiva publicagées 1951 DANTE L R Matematica 1 ed Sdo Paulo Atica 2008 STEWART J Calculo v 1 4 ed Sdo Paulo Cengage Learning 2016 Aula 2 ANTON H Calculo v 8 ed Porto Alegre Bookman 2007 CARACA D C Conceitos Fundamentais da Matematica Lisboa Editora Gradiva publicagdes 1951 DANTE L R Matematica 1 ed Sdo Paulo Atica 2008 ROCHA J MIRAGEM F F Explorando a Funcdo Quadratica com o Software Winplot RENOTE Porto Alegre v 8 n 3 2010 Disponivel em httpswwwseerufrgsbrindexphprenotearticleview18105 Acesso em 20 nov 2022 un O STEWART J Calculo v 1 4 ed Sdo Paulo Cengage Learning 2016 8 Oo o Aula 3 ANTON H Calculo v 8 ed Porto Alegre Bookman 2007 CARACA D C Conceitos Fundamentais da Matematica Lisboa Editora Gradiva publicagdes 1951 DANTE L R Matematica 1 ed Sdo Paulo Atica 2008 SILVA R F Fungao exponencial e logaritmica 2016 121f Dissertagdo Mestrado Profissional em Matematica em Rede Nacional Faculdade de Ciéncias e Tecnologia da Universidade Estadual Paulista JUlio de Mesquita Filho Presidente Prudente 2016 STEWART J Calculo v 1 4 ed Sdo Paulo Cengage Learning 2016 Aula 4 ANTON H Calculo v 8 ed Porto Alegre Bookman 2007 CARACA D C Conceitos Fundamentais da Matematica Lisboa Editora Gradiva Publicacées 1951 DANTE L R Matematica 1 ed Sdo Paulo Atica 2008 OLIVEIRA C A C de Trigonometria o radiano e as fungdes seno cosseno e tangente 2014 77 f Dissertacdo Mestrado profissional em Matematica Programa de PésGraduagdo em Matematica Centro de Ciéncia e Tecnologia Universidade Federal de Campina Grande Paraiba 2014 SOUZA T S de et al Um estudo da extensdo do seno cosseno e tangente no tridngulo retangulo para funcdes de dominio real 2013 TCC Graduagdo em Matematica Universidade Federal de Santa Catarina Centro de Ciéncias Fisicas e Matematicas Florianopolis 2013 STEWART J Calculo v 1 4 ed Sdo Paulo Cengage Learning 2016 Imagem de capa Storyset e ShutterStock