Aula 1: Derivadas do Produto e Quociente

Aula 1 DERIVADA DO PRODUTO E QUOCIENTE Nesta aula você aprenderá sobre as regras de derivação do produto e do quociente A regra do produto é utilizada para calcular a derivada de um produto de funções ou seja de uma multiplicação entre funções No estudo que você vem desenvolvendo sobre derivadas já percebeu que é possível calcular a derivada de uma função por uma forma mais simplificada que é por meio do uso de fórmulas definidas Nesta aula veremos como calcular a derivada quando temos uma multiplicação entre duas funções e uma divisão entre duas funções por meio da regra do produto e do quociente respectivamente REGRAS DE DERIVAÇÃO gx 2x2 3x2 5x 3 2x 32x 5 x2 5x 32 8x2x2 5 3 x2 5x 32 8x5 40x4 24x3 15 x2 10x 31 30x 9 4x5 30x4 24x3 15 x2 10x 31 30x 9 y 5x 2 y 0 5x 2 y 5x 10 y x3 1x 1 x3 xx 1 x 12 3x2 1x 1 x3 x x 12 2x3 3x2 1 x2 2x 1 Assim você aprendeu que mediante o uso das regras da derivada do produto e do quociente podemos utilizar a derivada aplicada a um ponto da função para encontrar a reta tangente a função nesse ponto O número de novas linhas que a companhia deverá instalar até o final de janeiro consiste em calcular a taxa de crescimento das linhas no começo do mês ou seja TLt Nesta aula você aprenderá sobre uma regra de derivação muito especial a regra da cadeia que é utilizada para calcular a derivada de uma função composta ou seja quando a função que desejamos derivar é resultado da composição entre outras duas funções Exemplo 3 Seja Podemos reescrever a função hx como sendo Sua derivada é calculada por ou seja a derivada da função de fora é a derivada em relação à potência pela derivada da função de dentro que é a função do segundo grau Desse modo temos que a derivada da função hx é dada por Exemplo 4 Seja Sua derivada é calculada por ou seja a derivada da função de fora é a derivada em relação à potência pela derivada da função de dentro que é a função do segundo grau Desse modo temos que a derivada da função fx é dada por Exemplo 5 Seja Podemos reescrever a função gx como Sua derivada é calculada por ou seja a derivada da função de fora é a derivada em relação à potência pela derivada da função de dentro que é a função do segundo grau Desse modo temos que a derivada da função gx é dada por vx 1 x210 1 x2 101 x2 9 2x 20x1 x2 9 hx x2 1 hx x2 1 x2 1 1 2 hx x2 1 1 2 x2 1 hx x2 1 1 2 x2 1 1 2 x2 1 1 2 2x 2x 2x21 x x21 fx x2 5x 2 7 fx x2 5x 2 7 x2 5x 2 fx x2 5x 27 x2 5x 2 7x2 5x 2 6 2x 5 x2 5x 26 14x 35 gx 1 3x2x1 gx 1 3x2x1 1 x2x1 1 3 x2 x 1 1 3 gx x2 x 1 1 3 x2 x 1 1 0 Ver anotações A regra da cadeia pode ser utilizada juntamente com outras regras de derivação com as quais você já teve contato ao longo da disciplina como por exemplo a regra do produto e do quociente Veja os exemplos a seguir Exemplo 1 Seja fx 3x2 13 cdot x x22 Para calcular a derivada da função fx devemos aplicar primeiramente a regra do produto já que é a operação entre as funções e depois utilizar a regra da cadeia Exemplo 3 Seja Primeiramente podemos reescrever a função fr como Para calcular a derivada da função fr devemos aplicar em princípio a regra do produto já que ela é a operação entre as funções e depois utilizar a regra da cadeia Desse modo temos que a derivada de fr é dada por Após aplicar a regra do produto você pode observar que para resolver as derivadas indicadas podemos utilizar a regra da cadeia Assim o resultado da derivada de fr é obtido por Exemplo 4 Seja Para calcular a derivada da função gx devemos aplicar primeiramente a regra da cadeia depois a regra do quociente pois a operação da divisão entre as funções está dentro da operação potência Desse modo temos que a derivada de gx é dada por Após aplicar a regra da cadeia você pode observar que para resolver a derivada indicada precisamos utilizar a regra do quociente Assim o resultado da derivada de gx é obtido por ft t 1 2 3 2t2 13 t 1 2 3 2t2 13 t 1 2 3 32t2 1 2 4t 2 3 t 1 1 3 1 2t2 1 3 t 1 2 3 12t2t2 1 2 2 3 1 t1 1 3 2t2 1 3 3t 12 12t2t2 1 2 2 3 3t1 2t2 1 3 2t2 12 12t 3t 12 22t21 3 3t1 fr r r21 fr r r21 1 2 rr2 1 1 2 fr r r2 1 1 2 rr2 1 1 2 fr r r2 1 1 2 rr2 1 1 2 r 1 2 r2 1 3 2 1 r2 1 1 2 r 2r21 3 2 1 r21 1 2 r 2r213 1 r21 gx x2 2x1 9 gx 9 x2 2x1 8 x2 2x1 gx 9 x2 2x1 8 x2 2x1 9 x2 2x1 8 x22x1x22x1 2x12 9 x2 2x1 8 12x1x22 4x24x1 9 x2 2x1 8 2x12x4 4x24x1 9 x2 2x1 8 5 4x24x1 x2 2x1 8 45 4x24x1 0 Ver anotações Exemplo 5 Seja Primeiramente podemos reescrever a função gs como Desse modo para calcular a derivada da função gs devemos aplicar primeiramente a regra da cadeia depois a regra do quociente pois a operação da divisão entre as funções está dentro da operação potência Desse modo temos que a derivada de gs é dada por Após aplicar a regra da cadeia você pode observar que para resolver a derivada indicada precisamos utilizar a regra do quociente Assim o resultado da derivada de gs é obtido por Assim você pode entender que dependendo da função é preciso aplicar mais de uma regra de derivação para obter sua derivada APLICAÇÕES O cálculo de derivadas é aplicável na resolução de problemas nas mais diversas áreas do conhecimento sendo o cálculo da velocidade instantânea e da aceleração instantânea de um objeto um dos mais conhecidos Vamos relembrar A velocidade instantânea vt de um objeto no instante t é dada pela derivada da função ft que descreve a posição do objeto no instante t ou seja Já a aceleração instantânea at de um objeto no instante t é dada pela derivada da função velocidade vt ou seja Você viu anteriormente a resolução de problemas envolvendo velocidade instantânea e aceleração instantânea através da aplicação das regras do produto e do quociente para o cálculo das derivadas Vejamos a seguir um exemplo da resolução desses problemas utilizando a regra da cadeia que você aprendeu nesta aula Exemplo 1 gs s21 s24 gs s21 s24 1 2 gs 1 2 s21 s24 1 2 s21 s24 gs 1 2 s21 s24 1 2 s21 s24 1 2 s21 s24 1 2 s21s24s21s24 s242 1 2 s21 s24 1 2 2ss24s212s s242 1 2 s24 s21 1 2 2s38s2s32s s242 1 2 s24 s21 1 2 6s s242 s24 s21 1 2 6s 2s242 s24 s21 3s s242 vt ft at vt 0 Ver anotações Seja a função a trajetória descrita por um objeto calcule a velocidade e a aceleração instantâneas no momento x Primeiramente podemos reescrever a função fx por Desse modo a velocidade vx em que esse objeto se encontra no instante x é dada pela derivada da função trajetória fx Assim também podemos calcular a aceleração ax em função do instante x Para isso basta derivarmos a função velocidade vx Exemplo 2 A equação do movimento de uma partícula pode ser escrita através da função na qual a distância s é descrita em metros e o tempo t é descrito em segundos a Determine o instante em que a velocidade dessa partícula é de ms Como você já viu a função velocidade pode ser expressa pela derivada da função movimento Podemos reescrever a função movimento st como Desse modo a velocidade pode ser expressa pela função Queremos encontrar em que momento a partícula terá uma velocidade igual a ms ou seja fx x2 13 fx x2 1 3 2 vx fx x2 1 3 2 3 2 x2 1 1 2 2x 6xx21 2 3xx2 1 ax vx 3x x2 1 1 2 3xx2 1 1 2 3x 1 2 x2 1 1 2 2x 3 x2 1 1 2 3x x x21 1 2 3 x2 1 1 2 3x2 x21 3x2 1 st 3t 2 1 12 st t 2 1 3 vt st t 2 1 3 1 3 t 2 2 3 1 1 3 1 t2 2 3 1 3 3t22 1 12 0 Ver anotações Portanto a velocidade de ms é alcançada no instante t 6s b Qual a distância percorrida pela partícula até o instante encontrado no item a Encontramos no item a que o instante em questão é t 6s Então queremos encontrar qual distância a partícula percorreu até o instante de 6 segundos ou seja s6 Desse modo Portanto após 6 segundos a partícula percorreu 2 metros c Calcule a aceleração da partícula no instante t 2s Como você já viu a função aceleração pode ser expressa como a derivada da função velocidade A função velocidade pode ser escrita como Desse modo a função aceleração é expressa por Queremos encontrar a aceleração da partícula no instante t 2s ou seja a2 Ou seja no instante t 2s a partícula está desacelerando a uma taxa de aproximadamente 0022ms Desse modo você pôde observar que o uso das regras da derivada do produto e do quociente são importantes no cálculo de situações do dia a dia VÍDEO RESUMO Olá estudante vt 1 12 1 3 3t22 1 12 3 3t 22 12 3 3t 22 3 123 27t 22 1728 t 22 64 t 22 64 t 2 8 t 6 1 12 s6 36 2 38 2 vt 1 3 t 2 2 3 at vt 1 3 t 2 2 3 1 3 2 3 t 2 5 3 1 2 9 1 t2 5 3 2 9 3 1 t2 5 2 9 3t25 a2 2 9 3225 0022 2 0 Ver anotações Introdução Olá estudante Nesta aula você aprenderá como calcular a derivada quando temos funções exponenciais e funções logarítmicas Além disso vale lembrar que para algumas funções é necessário aplicar mais do que uma regra de derivação para obter sua derivada Ao final desta aula esperase que você seja capaz de realizar derivadas de funções exponenciais e logarítmicas e que saiba utilizar tais conceitos em aplicações relacionadas à sua profissão Esses conceitos serão amplamente utilizados na disciplina de Cálculo Diferencial e Integral e em outras disciplinas ao longo do curso Para fx ax com 0 a eq 1 temos que a sua derivada é dada por fx ax ln a Ou seja a derivada da função exponencial é a própria função exponencial vezes o logaritmo neperiano ln da base da função Temse um caso particular da derivada para uma função exponencial quando a base da função é e ou seja o número neperiano Com isso para fx ex onde e é o número neperiano temos que fx ex ln e ex pois ln e 1 Exemplo 5 Seja a função 𝑓𝑥32𝑥21𝑥1 Tratase de uma função exponencial na qual no expoente há uma função de segundo grau Utilizando a regra da cadeia a derivada da função fx é dada por 𝑓𝑥3𝑡2𝑥23𝑥12𝑎𝑥23𝑥1𝑓𝑥3𝑡2𝑥23𝑥14𝑥4ln3 Observe que ln3 representa aproximadamente 11 Logo atentese para não cometer o erro de multiplicar 4𝑥3 por 3 Para evitar tal erro você pode deixálo indicado ao final da expressão assim como na resolução apresentada Exemplo 6 Seja a função 𝑣𝑠log23𝑠27𝑠1 Tratase de uma função logarítmica na qual em seu logaritmando há uma função do segundo grau Utilizando a regra da cadeia a derivada da função vs é dada por 𝑣𝑠log23𝑠27𝑠13𝑠27𝑠113𝑠71log2e6𝑠7 Assim você pode calcular a derivada de funções que envolvem função exponencial e função logarítmica Exemplo 1 Encontre a reta tangente à curva 𝑓𝑥23𝑥26𝑥 no ponto 01 Para encontrar a reta tangente à curva em um determinado ponto temos que primeiramente encontrar seu coeficiente angular O coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de uma função é dado pela sua derivada no ponto Para t0 temos 𝑓0e00290255 Agora que encontramos o coeficiente angular da reta m5 vamos encontrar a reta tangente à curva no ponto 00 que é dada através da equação da reta O gráfico a seguir representa respectivamente a função 𝑓𝑡 na cor verde e a reta tangente à curva no ponto 00 na cor azul Encontre a reta tangente à curva gx log₂2x 4 no ponto 2 3 Para encontrar a reta tangente à curva em um determinado ponto temos que primeiramente encontrar o seu coeficiente angular O coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de uma função é dado pela sua derivada no ponto Para calcular a derivada de gx precisamos utilizar a regra da cadeia pois a função é composta e determinada por uma função logarítmica e uma função do primeiro grau Assim sua derivada é calculada por gx log₂2x 42x 4 12x 4log₂ e 22x 4log₂ e 1x 2log₂ e Para x 2 temos g2 12 2log₂ e 036 Agora que encontramos o coeficiente angular da reta m 036 vamos encontrar a reta tangente à curva no ponto 2 3 que é dada através da equação da reta y y₀ m x x₀ y 3 036 x 2 y 036x 228 O gráfico a seguir representa respectivamente a função gx na cor verde e a reta tangente à curva no ponto 2 3 na cor azul Um ponto móvel tem velocidade variável de acordo com a função em ms Encontre a aceleração do ponto móvel no instante t 2s Nas aulas anteriores você aprendeu que a função velocidade pode ser obtida através da derivada da função movimento e que a função aceleração é resultado da derivada da função velocidade Desse modo temos que a função aceleração é dada por Como queremos encontrar a aceleração no instante t 2s então Ou seja no instante t 2s a partícula está acelerando a uma taxa de aproximadamente 125ms Exemplo 2 A quantidade de bactérias presentes em uma cultura controlada Nt no instante t em horas pode ser calculada através da função a Qual a quantidade inicial de bactérias A quantidade inicial de bactérias é dada no instante t 0h Portanto a quantidade inicial é de 150 bactérias b Qual a quantidade de bactérias depois de 1 hora A quantidade de bactérias após 1 hora é dada por t 1h Portanto após 1 hora haverá aproximadamente 209 bactérias c Qual a velocidade instantânea de crescimento no instante t 1 A função velocidade pode ser obtida através da derivada da função que relaciona a quantidade de bactérias em relação ao tempo ou seja Para t 1 temos que Portanto a velocidade de crescimento da cultura é de aproximadamente 70 bactériashora Exemplo 3 O modelo Count é uma fórmula empírica utilizada para predizer a altura de uma criança em idade préescolar A altura hx em centímetros na idade x em anos para pode ser aproximada pela função Desse modo qual a altura e a taxa de crescimento previstos quando uma criança atinge a idade de 2 anos vt t3 ln t at vtt t3 ln t 3t2 1 t a2 322 1 2 125 2 Nt 150e t 3 N0 150e 0 3 150 N1 150e 1 3 209 vt Nt 150e t 3 150e t 3 1 3 50e t 3 vt Nt 150e t 3 150e t 3 1 3 50e t 3 v1 50e 1 3 698 1 4 x 6 hx 70228 5104x 9222 ln x 0 Ver anotações A altura prevista é calculada utilizando x 2 ou seja h2 70228 5104 2 9222 ln 2 868 centimetros Portanto a altura prevista para uma criança que atinge dois anos de idade é de aproximadamente 868 centímetros Para o cálculo da taxa de variação prevista basta calcular a derivada da função crescimento para a idade igual a 2 anos Desse modo hx 5104 9222 1x Para x 2 temos que h2 5104 9222 12 97 Portanto aos dois anos uma criança cresce cerca de 97 centímetrosano DERIVADAS TRIGONOMÉTRICAS E DERIVADAS SUCESSIVAS Como você vem aprendendo durante o curso para cada tipo de função temos a definição do cálculo de sua derivada Nesta aula você vai aprender como calcular a derivada de funções trigonométricas e derivadas sucessivas Primeiramente vamos relembrar quais são as funções trigonométricas utilizadas nesta aula Além das funções seno senx e cosseno cosx podemos escrever a partir delas as funções tangente tgx cossecante cos secx secante secx e cotangente cot gx Veja a tgx senx cosx b cosecx 1 senx c secx 1 cosx d cot gx 1 tgx Agora vamos relembrar a relação fundamental da trigonometria Tratase de uma relação de grande importância e que será utilizada ao longo da aula sen2x cos2x 1 Finalmente vamos aprender a calcular a derivada de funções trigonométricas Derivada da função seno Para fx senx temos que a sua derivada é dada por fx cosx Exemplo 1 Seja gx 2senx Então sua derivada é gx 2cosx Derivada da função cosseno Para fx cosx temos que a sua derivada é dada por fx senx Exemplo 2 Seja hx 2cosx Então sua derivada é hx 2senx 2senx A partir das definições das derivadas das funções seno e cosseno podemos obter a derivada da função tangente Veja o exemplo a seguir Exemplo 3 Calcule a derivada da função fx tgx Podemos reescrever a função fx como fx tgx senx cosx Desse modo temos uma função na forma de um quociente entre funções e para obter a sua derivada basta utilizar a regra da derivada do quociente Assim a derivada da função fx é fx tgx senx cosx senxcosx senxcosx cosx2 cosxcosx senxsenx cosx2 cos2x sen2x cos2x 1 cos2x sec2x Derivada da função tangente Para fx tgx temos que a sua derivada é dada por fx sec2x conforme você pode verificar no exemplo anterior Exemplo 4 Seja gt 23tgt Então sua derivada é gx 23sec2x Derivada da função cossecante Para fx cosecx temos que a sua derivada é dada por fx cosecxcotgx Exemplo 5 Seja vt 4cosect Então sua derivada é vt 4cosectcotgt 4cosectcotgt Derivada da função secante Para fx secx temos que a sua derivada é dada por fx secxtgx Exemplo 6 Seja hx 3secx Então sua derivada é hx 3secxtgx Derivada da função cotangente Para fx cotgx temos que a sua derivada é dada por fx cosec2x Agora vamos aprender sobre as derivadas sucessivas Derivadas sucessivas Seja fx uma função diferenciável ou seja na qual existem suas derivadas para todos os pontos do seu domínio Se fx também for diferenciável então sua derivada é chamada de derivada de segunda ordem de f e é representada por fx Exemplo 8 Calcule a derivada de segunda ordem de Temos que a derivada de f é dada por Então a derivada de segunda ordem de f é Exemplo 9 Calcule a derivada de segunda ordem de Temos que a derivada de g é dada por Então a derivada de segunda ordem de g é Observe que nesse exemplo a função gx tratase de uma função composta por uma potência função de fora e pela função trigonométrica função de dentro Com isso ao calcularmos a derivada de segunda ordem de gx foi preciso utilizar a regra da cadeia que você já aprendeu mas que será explorada para as funções trigonométricas no próximo bloco Assim podemos estender o conceito de derivadas sucessivas para ordem n ou seja a derivada de ordem n de uma função fx representada por é obtida derivandose a derivada de ordem n1 de f Exemplo 10 Calcule a derivada de ordem 5 da função Desse modo você pode calcular a derivada de funções trigonométricas e derivadas sucessivas fx 10x3 8x2 1 fx 10x3 8x2 1 3 10x2 2 8x 30x2 16x fx 30x2 16x 2 30x 16 60x 16 gx tgx gx tgx sec2x gx sec2x sec2x sec2x 2 secx secx tgx 2 sec2x tgx f nx f n1x vt 3x4 2x vt 3x4 2x 12x3 2vt 12x3 2 36x2vt 36x2 72xv4t 72x 72v5t 72 0 0 Ver anotações APROFUNDAMENTO Como você vem observando no decorrer das aulas algumas funções são resultado da composição de outras duas funções Logo podemos ter uma função composta que seja constituída por uma função trigonométrica juntamente com outra função seja através da potência da função trigonométrica ou da aplicação da função trigonométrica a outra função Em ambos os casos podemos utilizar a regra da cadeia para obter a derivada dessa função Veja os exemplos a seguir Exemplo 1 Calcule as derivadas a A função fx é uma função composta na qual a função trigonométrica é aplicada a uma função potência Desse modo para calcular sua derivada é preciso utilizar a regra da cadeia na qual a derivada é resultante da derivada da função seno função de fora vezes a derivada da função potência função de dentro Assim temos b Primeiramente Portanto a função gx é uma função composta em que a função potência está sendo aplicada à função trigonométrica Desse modo o cálculo de sua derivada pode ser realizado de duas maneiras através da regra da cadeia item i na qual a derivada é resultante da derivada da função potência função de fora vezes a derivada da função trigonométrica função de dentro ou através da regra do produto entre duas funções item ii já que Observe as duas resoluções i ii Observe que ambas as resoluções i e ii retornam o mesmo resultado porém é importante observar que se a potência fosse maior do que 2 resolver pela regra da cadeia seria menos trabalhoso do que pela regra do produto Além disso atentese à diferença entre os itens a e b no primeiro a potência pertence apenas ao x e no segundo a toda função trigonométrica Exemplo 2 Calcule a derivada de Primeiramente Portanto a função gv é uma função duplamente composta em que a função potência está sendo aplicada à função trigonométrica que por sua vez é aplicada à uma função do primeiro grau Desse modo temse que sua derivada é calculada pela derivada em relação à potência vezes a derivada da função seno vezes a derivada da função do primeiro grau Assim temos fx senx2 fx senx2x2 cosx2 2x 2x cosx2 gx sen2x gx sen2x senx2 senx2 senx senx gx senx2senx 2 sexx cosx gx sexx senxsenxsenx senx cosx cosx senx 2 senx cosx gv sen32v 1 gv sen32v 1 sen2v 13 0 Ver anotações Exemplo 3 Calcule a derivada de Primeiramente podemos reescrever a função hu como Desse modo temos uma função na qual a primeira parcela de hu tratase de uma função composta a função tangente é aplicada a uma função do primeiro grau e que para calcular sua derivada é preciso utilizar a regra da cadeia A segunda parcela de hu é uma função potência na qual usamos a regra da potência no cálculo de sua derivada Assim a derivada da função hu é dada por Uma função composta também pode ser resultante da derivada de outra função como você viu no Exemplo 9 do bloco anterior Nele tínhamos a função e queríamos calcular sua derivada de segunda ordem Ao calcular a primeira derivada o resultado foi a função composta na qual para calcular a derivada de segunda ordem foi necessário utilizar a regra da cadeia obtendose Portanto neste bloco você aprendeu que podemos ter funções compostas que possuem funções trigonométricas APLICAÇÕES Você aprendeu durante as aulas que a velocidade instantânea vt de um objeto no instante t é dada pela derivada da função ft que descreve a posição do objeto no instante t ou seja Já a aceleração instantânea at de um objeto no instante t é dada pela derivada da função velocidade vt ou seja Desse modo a partir de uma função que descreve a trajetória de um objeto você pode calcular sua velocidade e sua aceleração em um determinado instante através do uso de derivadas Nesta aula você aprendeu sobre as derivadas sucessivas Assim podemos reescrever a função que descreve a aceleração instantânea de um objeto através da derivada de segunda ordem da função que descreve a posição do objeto no instante t Desse modo temos ft como a posição do objeto no instante t vt ft como a velocidade instantânea do objeto no instante t at ft como a aceleração instantânea do objeto no instante t Veja os exemplos a seguir Exemplo 1 gv sen2v 13 sen2v 12v 1 3 sen2v 12 cos2v 1 2 6 sen22v 1 cos2v 1 hu 3tg2u 1 u hu 3tg2u 1 u 1 2 hu 3tg2u 1 u 1 2 3 sec22u 1 2 1 2 u 1 2 6 sec22u 1 1 2u gx tgx gx tgx sec2x gx sec2x 2 sec2x tgx vt ft at vt 0 Ver anotações Um corpo em uma mola que vibra horizontalmente sobre uma superfície lisa possui sua equação de movimento como st 8sent na qual t está em segundos e s em centímetros Calcule a velocidade e a aceleração do corpo no instante t 2π 3 Como você viu a velocidade vt pode ser descrita como a derivada de primeira ordem da função posição e a aceleração at pela derivada de segunda ordem da função posição Assim temos vt st 8sent 8costat st 8cost 8sent 8sent Para t 2π 3 v2π 3 8cos2π 3 812 4a sen2π 3 83 2 43 Portando o corpo está desacelerando no instante t 2π 3 Exemplo 2 Um objeto na extremidade de uma mola vertical é esticado 4 cm além de sua posição no repouso e solto no tempo t 0 segundos Sua posição no tempo t é descrita pela função st 4cost Encontre a velocidade e a aceleração instantâneas no tempo t e useas para analisar o movimento do objeto Para calcular a velocidade e a aceleração instantâneas desse objeto vamos utilizar as derivadas de primeira e de segunda ordem da função posição respectivamente Assim vt st 4cost 4sentat st 4sent st 4cost O gráfico a seguir representa as funções posição st velocidade vt e aceleração at respectivamente De acordo com a Figura 1 a velocidade é máxima quando sent 1 ou seja quando cost 0 Assim o objeto movese mais rápido quando passa pela posição s 0 Sua velocidade instantânea é 0 quando sent 0 ou seja no ponto mais alto e no mais baixo Já a aceleração instantânea é 0 quando s 0 e possui seu maior módulo nos pontos mais altos e mais baixos Desse modo você pode observar que as funções trigonométricas podem representar situações do dia a dia e que o conceito de derivadas sucessivas pode facilitar os cálculos dessas situações reais VÍDEO RESUMO Caro estudante neste vídeo você verá o resumo dos conceitos abordados na aula sobre a derivada de uma função trigonométrica e sobre as derivadas sucessivas e verá alguns exemplos para ajudar na fixação do conteúdo Imagem de capa Storyset e ShutterStock Aula 1 FLEMMING D M GONÇALVES M B Cálculo A 6 ed Pearson Educación 2007 GIBIM G F B Cálculo diferencial e integral I Editora e Distribuidora Educacional S A 2015 PRADO M V B FERNANDES R K BONI K T Cálculo I Editora e Distribuidora Educacional S A 2015 STEWART J Cálculo volume 1 7 ed Pioneira Thomson Learning 2001 Aula 2 FLEMMING D M GONÇALVES M B Cálculo A 6 ed São Paulo Pearson Education 2007 GIBIM F F B Cálculo Diferencial e Integral I Londrina Editora e Distribuidora Educacional S A 2015 PRADO M V B FERNANDES R K BONI K T Cálculo I Londrina Editora e Distribuidora Educacional S A 2015 STEWART J Cálculo v 1 7 ed S l Pioneira Thomson Learning 2001 Aula 3 FLEMMING D M GONÇALVES M B Cálculo A 6 ed São Paulo Pearson Education 2007 GIBIM F F B Cálculo Diferencial e Integral I Londrina Editora e Distribuidora Educacional S A 2015 PRADO M V B FERNANDES R K BONI K T Cálculo I Londrina Editora e Distribuidora Educacional S A 2015 STEWART J Cálculo v 1 7 ed S l Pioneira Thomson Learning 2001 Aula 4 FLEMMING D M GONÇALVES M B Cálculo A 6 ed São Paulo Pearson Education 2007 GIBIM F F B Cálculo Diferencial e Integral I Londrina Editora e Distribuidora Educacional S A 2015 PRADO M V B FERNANDES R K BONI K T Cálculo I Londrina Editora e Distribuidora Educacional S A 2015 STEWART J Cálculo v 1 7 ed S l Pioneira Thomson Learning 2001 REFERÊNCIAS 2 minutos 0 Ver anotações Saiba mais Saiba mais sobre as Derivadas de funções trigonométricas e sobre as Derivadas sucessivas com exemplos sobre os conteúdos desta aula