Avaliação com 5 Perguntas

Questao 1 Considere uma superfıcie no formato de paraboloide cuja equacao seja dada por z 4 x2 3y2 A partir dessa superfıcie um dos estudos que pode ser realizado consiste na avaliacao de planos tangentes a superfıcie em diferentes pontos Nesse contexto vamos determinar a equacao do plano tangente a superfıcie passando pelo ponto P1 1 0 Resolucao Primeiro para determinar a equacao do plano tangente a superfıcie precisamos encontrar o vetor gradiente z da funcao zx y 4 x2 3y2 O vetor normal ao plano tangente pode ser expresso na forma fx fy 1 onde fx e fy sao as derivadas parciais de z em relacao a x e y respectivamente Calculando as derivadas parciais fx z x 2x fy z y 6y No ponto P1 1 0 temos fx 21 2 fy 61 6 Entao os valores de fx e fy sao fx 2 fy 6 O vetor normal ao plano tangente no ponto P1 1 0 e entao n 2 6 1 A equacao do plano tangente e entao dada por 2x 1 6y 1 z 0 0 Simplificando 2x 2 6y 6 z 0 2x 6y z 8 0 Alternativa correta B Questao 2 No calculo de uma integral tripla fazse necessario representar adequadamente a regiao de integracao para que seja possıvel reconhecer os limites de integracao corretamente e calcular as integrais iteradas segundo uma ordem correta conforme indica o teorema de Fubini Nesse sentido considere a regiao R no espaco cartesiano limitada superiormente pelo plano xyz2 0 e inferiormente pelo plano xy z 0 1 Resolucao Para determinar a descricao correta da regiao R comecamos analisando as equacoes dos planos que limitam essa regiao 1 Plano Superior O plano superior e dado pela equacao x y z 2 0 Podemos reescrever essa equacao como z 2 x y Isso indica que para cada ponto x y o valor de z varia desde z 0 ate z 2 x y 2 Plano Inferior O plano inferior e simplesmente o plano xy que e dado por z 0 Este plano limita a regiao inferiormente ou seja z nao pode ser menor que zero 3 Projecao no Plano xy Agora precisamos determinar a projecao da regiao R no plano xy ou seja o conjunto de pontos x y onde a regiao R existe A partir da equacao do plano superior z 2 x y sabemos que z deve ser naonegativo ou seja 0 2 x y Simplificando temos x y 2 Isso define uma linha reta no plano xy que passa pelos pontos 0 2 2 0 e 0 0 Portanto a regiao R projetada no plano xy e o triˆangulo com vertices nesses pontos 4 Descricao da Regiao R Com essas informacoes podemos descrever a regiao R em termos de x y e z x varia de 0 a 2 Para cada valor de x y varia de 0 a 2 x Para cada par x y z varia de 0 a 2 x y Assim a descricao correta da regiao R e dada por R x y z 0 x 2 0 y 2 x 0 z 2 x y Alternativa correta E Questao 3 Alem da utilizacao de coordenadas cartesianas no calculo de integrais triplas tambem e possıvel empregar a mudanca para outros sistemas de coordenadas como e o caso das coordenadas cilındricas ou esfericas conforme a estrutura da regiao de integracao Nesse contexto considere a regiao tridimensional A limitada superiormente pelo hemisferio superior da esfera de equacao x2 y2 z2 9 e limitada inferiormente pelo plano z 0 Empregando mudanca de coordenadas vamos calcular a integral tripla da funcao fx y z 12z sobre a regiao A 2