Fórmulas e Testes Estatísticos de Correlação

Formuldrio Prof Josefa A Alvarez Preco pon oe 100 Quantidade qon 7x 100 0 Valor uv 2100 Podo She n Pn n Qn 5 ria Ft 5 ri a Gq ye Po Prego a a Quantidade Indice de Laspeyres XPn 40 499 L XInPo so a Do Wo q do Po Indice de Paasche P XPnI 499 P XInPn 99 Do dn do Dy indice de Fisher Indice de Marshall M Pndo An v Ino Pn Edgeworth P PoGo An 7 doPo Pn D Dg Indice de Divisia Pn In wy Lodo r 1 ba G oT Do do Se ee DES L w L w Laspeyres Modificado mP Do ma do 1 Formuldrio Prof Josefa A Alvarez Correlacao O coeficiente de correlagao Linear r Sxy COVXY deredl r PEARSON JSxxSyy SySy coe v2 2 1 2 Sxx DX X DX EX Desvio padrao da variavel X s YX X Sxx x n1 n1 y2 2 1 2 Syy LY DY Y Desvio padrao da variavel Y LO Srv y n1 n1 1 Sxy UX X Wi Y UXY ay Covariancia Ss COVXY n1 Variacao der Interpretacao do valor da correlagao Existe uma correlacdo positiva perfeita entre os dados A medida que x aumenta aumenta 08r 10 Existe forte correlacgao positiva entre os dados A medida que x aumenta y aumenta 04r08 Existe uma correlacao positiva moderada entre os dados A medida que x aumenta y aumenta 04r04 Existe muito pouca correlagdao entre os dados 08r04 Existe uma correlacdo negativa moderada entre os dados A medida que x aumenta y diminui 10r08 Existe forte correlagdo negativa entre os dados A medida que x aumenta y diminui Existe uma correlacdo negativa perfeita entre os dados A medida que x aumenta diminui 2 Formuldrio Prof Josefa A Alvarez Teste de Hipdtese Coeficiente de Correlacao Teste de Hipotese para p 0 7 5 Res uaocritica r rvn 2 op n2 a cal 7 lHep 0 V1r2 fee eo T th2 0 Hp 0 ae Ttnh2 ou Ttr2 Hp 0 2 2 Teste de Hipotese para p p 0 Estatistica teste Regiao critica 1 L 3 r 1 L é Po ep Pe Z11a 2 n 1r 2 n 1 po Hy p po Leal O 1 fence 3 My p Po fee Po ZZ a ouZ 2 Hy p Po Z a Intervalo de confianca para o coeficiente de correlacao 1 I 1 a In z 2 1r n3 b 1 1 1 In z 2 1r n3 2a 2b e1 e1 PI Zany Ps bay py pr ps z tabeladanormal inversa Z 142 C lacdo Ordinal S Este coeficiente leva em conta os valores que as variaveis ocupam quando ordenadas na forma crescente rs 1 ha concordancia completa entre as classificagoes rs 1 ha discordancia completa entre as classificagoes 1 6 d 1 6 rank rank ts aD nn2 1 d rank ranky Correlagao de Spearman com empates r S vent rank V S entrant Sentrant 3 Formuldrio Prof Josefa A Alvarez Regressao Estimadores dos parametros coeficiente angular declive coeficiente linear intercepto Sxy yp x B 5 Bo Y BX S Sx Erro padrao dos estimadores erro padrao da estimativa Rat sores S SyyBiSxy Sr nz nz CUYE n2 erro padrao do declive erro padrao do intercepto SE 1 x2 Sz Sp Sp By S 0 n Sxx XX Intervalo de Confianca Intercepto IC Bo Bo t Sgo Bo t Spo Bo t Spo tn2 gl Declive IC 61 Bi t Spi Bi t Spi Bit t Spi tn2 gl Valor médio A 1 xx Valor a 1 irx Teste de Hipdtese parametros Regido critica v n 2 Estatistica Teste 7 Bo Poo Ttyja ou Ttyas2 Regido critica v n 2 Estatistica Teste T Fis Ttya ou Ttyas2 Variacao total VTSQT Sw SQT YL Y Variagao explicada VE SQREG BSxy SQReg YiL Y Variacgao residual VRVTVE SQRESVROyy BiSxy n n SQRes a i1 i1 4 Formulário Profª Josefa A Alvarez 5 M H não existe regressão e9ue eˆeã Quadro de Análise de Variância FV GL SQ MQ F Regressão 1 B1SXY QMReg B1SXY ŠBZ tŒeˆ 7r Resíduo n2 SYY B1SXY QMRes 7r 7AAEq78A E Total n1 SYY Rejeitase H0 se Fcal Ftab FtabF1n2 Existe regressão Coeficiente de Determinação Dr D q78A 7AA 7t e ˆ 7tuXY Coeficiente de Determinação Ajustado XŽau K número de variáveis independentes n número de pares tamanho da amostra pnúmero de parametros do modelo Teste F š œ œ œ Regressão Múltipla As q q8 q8 Duas variáveis independentes 788 7 8 8 788 7 8 8 7AA A A 788 7 88 88 78A 7A 8A 8A 78A 7A 8A 8A q 7A7 77A 77 77 q 7A7 77A 77 77 q A q 8 q 8 M H não existe regressão X že až 9 Ÿ š ššã Variação total VTSQT SYY Variação explicada VE SQReg B1SX1Y B2SX2Y B1SY1 B2SY2 Variação residual VRVTVE SQResVRSYY B1SY1 B2SY2 š ƒ s Formulário Profª Josefa A Alvarez 6 K número de variáveis independentes n número de pares tamanho da amostra pnúmero de parametrosdo modelo As q q8 q8 Duas variáveis independentes no caso K2 p3 FV gl SQ MQ F Regressão x1 e x2 p12 SQReg Œteˆ 7teˆ ŠBZ tŒ e ˆ 7r Resíduo np SQRes 7r 7te Total n1 SYY Rejeitase H0 se Fcal Ftab FtabF2n3 Existe regressão q7A q7A 7AA XŽau H0 Região crítica n p Estatística Teste q q H1 T t H1 T t H1 T t 2 ou T t 2 H0 Região crítica n p Estatística Teste qE q H1 T t H1 T t H1 T t 2 ou T t 2 H0 Região crítica n p Estatística Teste qE q H1 T t H1 T t H1 T t 2 ou T t 2 IC 0 B0 t SB0 B0 t SB0 B0 t SB0 u gl IC 1 B1 t SB1 B1 t SB1 B1 t SB1 u gl IC 2 B2 t SB2 B2 t SB2 B2 t SB2 u gl Formuldrio Prof Josefa A Alvarez Yvariavel dependente variavel resposta Xi variavel independente variavel previsora ou variavel explicativa Bo intercepcao do eixo y Bi coeficiente angular da iésima variavel k ndmero de variaveis independentes p numero de parametros onde pk1 Bi Estimativas dos parametros a partir dos dados ndmero de parametros p n numero de pares tamanho da amostra Regressdo Multipla Coeficiente de Determinacao VE R VT 8 O R2 é frequentemente conhecido como a proporcdo da variacdo de y observada que pode ser explicada pela variavel regressora Xi Se R 68 num modelo de regressao linear cerca de 68 da variabilidade em Y é explicada pela equacao baseada na variavel X Quanto mais alto é 0 valor de R2 mais o modelo de regressado linear simples consegue explicar a variagdo de Y 0 R1 VE SQReg BiSxyy Sxiy Say R2749 2 B Y Bo BX UT sor Sy onde B Sex Sus VE SQRe BiSxy Sxoy S Y By BX R2 SOReg PY onde By 2 VT SQT Syy Sxox S22 Y Bo BX BX2 R2 VE SQReg BiSxiyB2Sxov VT SQT Syy Coeficiente de Determinacgao Ajustado 3 n 11 R Rojust 1 nk1 K numero de variaveis independentes n tamanho da amostra Regressao Multipla YBy BX ByXot BAX ae Po B Ndo existe regressao Hpelo menos um f é diferente de zero p Fv lg S6Q QT Regressdo SQReg MQReg SQReg Fea QM Reg x1 X2 Xk p1 QM Res SQRes nDp Totl ed QT Rejeitase Ho se Frat Frab FrabFpanp Existe regressdo 7 Formuldrio Prof Josefa A Alvarez Teste de hipdtese Ho Bi Bio HB Bio Estatistica Teste BiBi T Br Bio onde gl np SB B 0 avariavel X nao é significativa H B 0 avariavel X é significativa B0 T onde g np IC Bi B it t SBi onde gl np IC 6 Bit Sgi Bi t Spi Bit t Spi tnp gl Teste F SQReg SQReg F prl p1 mp x R cal SQRes s2 p1 1R np vas QMReg Estatistica Teste F4 OMRes n QMResVRErro padrao2S2 sor 7 nO a VRSQResnp QMRes SQRes d n SQRes ne MRes SQT a Hy ndo existe melhoramento Regido Critica Hipoteses H existe melhoramento RCF Fmnp Estatisticas Teste Conclusao Reompleto R strito FcalFcrit Nao devemos rejeitar a hipd6tese Ho r 1 R completo np Teste de Jarque Bera Regiao Critica 8 Formuldrio Prof Josefa A Alvarez fie os residuos possuem distribuicdo normal RC 7 TBerit x gl2 H os residuos possuem nao distribuigdo normal Estatistica teste Conclusao JB y2n A C 3 Se 77cal cai na RC devemos rejeitar cal Xx 6 24 Ho Teste de Farrar Glauber Hipoteses Regido Critica fie auséncia de multicolinearidade RC x comgl kk1 H presenca de multicolinearidade 2 Estatistica teste Conclusao Se 77 cal cai na RC devemos rejeitar Ho 1 V n 1 g 2k 5 Indet Teste de GoldfeldQuandt a amostra ja esta naturalmente pronta para a separacao em duas subamostras Hipoteses Regido Critica Ho 07 oF RCFF H 02 02 com Fglnum glden gl do num gldo Res 1 gl do den gl do Res 2 Estatistica teste Conclusao Fcal Fcrit devemos rejeitar Ho QM Res 1 Fcal QM Res 2 Teste DurbinWatson Hipoteses Estatistica teste he p0Q residuos nao sao correlacionados Hp0O acorrelacao positiva esta presente 2 e e1 DW viet Ci i1l Auto Regiao nao Auséncia de Regiao nao Autocorrelacgao correlagao conclusiva Autocorrelacao conclusiva negativa positiva 0 dq d 4d 4d 4 U U L 9 Formuldrio Prof Josefa A Alvarez Funcao de verossimilhanga Nn die ef L 3 In 27 in Eee critério de Schwarz CIScritério bayesiano de informacao QO o CIS o QO A qualidade do ajuste de um modelo sera melhor quanto menor o valor do CIS Q CIS penaliza bem mais que o R a presenca de variaveis irrelevantes CIS 2LpLnn Critério de Informacao de Akaike CIA Oo CIAw Q A qualidade do ajuste de um modelo sera melhor quanto menor o valor do CIA QO CIA penaliza bem mais que 0 R a presenca de variaveis irrelevantes CIA 2L 2p Matrizes pi Bp By By B XX 1XY No caso linear n XX XY xv 1 x XX oa ny X YX x n MATRIZ DE VARIANCIAS E COVARIANCIAS XX 1QMRes n ser 7 n iS n n 2 sares Yh f a Yrs i 7 i j x2 soReg R2 SQ Reg SQT 10 Formuldrio Prof Josefa A Alvarez Rsquared Valor do R Adjusted Rsquared Valor do R2 corrigido pelos graus de liberdade R2 SE of regression Soma dos erros da regressao Sum Squared resid Soma dos quadrados dos residuos Log likelihood E 0 valor da funco log probabilidade admitindo uma distribuicao normal dos erros calculada na estimacao dos coeficientes DurbinWatson stat Estatistica calculada para DurbinWatson Mean dependent var Média da variavel dependente SD dependent var Desvio padrao da variavel dependente Akaike info criterion Critério de informacdo Akaike ou AIC conduz para a selecdo do numero de defasagens em uma estimacao Schwars Criterion Critério Schwarz Uma alternativa ao AIC Fstatistic Valor do Fcalculado ProbFstatistic Valor do nivel de significancia para o teste FPvalor Testes sobre os coeficientes de regressao Bi Bi Sp Sod HytK1 com SB Sel Ci onde ci o elemento diagonal da linha i1 da matriz XxX71 SQ Res SQ Res S52 QMRes eQ nk1 np 11