Medidas de Dispersão: Variância e Desvio Padrão

22052023 PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA Laura Karoliny Nogueira BrasíliaDF 18 de maio de 2023 CENTRO DE EDUCAÇÃO SUPERIOR DE BRASÍLIA INSTITUTO DE EDUCAÇÃO SUPERIOR DE BRASÍLIA INTRODUÇÃO Medidas de dispersão Contextualização Variância e Desviopadrão 1 2 22052023 MEDIDAS DE DISPERSÃO Contextualização A interpretação de dados estatísticos exige que se realize um número maior de estudos além das medidas de posição Logo o estudo das médias medianas e moda são válidos mas não suficientes para os estudos comparativos ou conclusões qualitativas Também é importante descrever o conjunto de valores do grupo em termos da variação existente entre os seus elementos Quanto maior a variação dos dados menor a representatividade da média MEDIDAS DE DISPERSÃO Contextualização Sendo assim podese afirmar que as medidas de dispersão são úteis para qualificar a média e Não obstante quanto menor a dispersão maior a homogeneidade na concentração entre os elementos do conjunto de valores e mais confiável a média 3 4 22052023 MEDIDAS DE DISPERSÃO Variância S² Variância S² é a medida de dispersão mais empregada pois leva em consideração todos os valores coletados para a variável em estudo Logo é o indicador de variabilidade confiável A variância mede a concentração dos dados em torno da média ou mais especificamente é a média aritmética dos quadrados dos desvios Em outros termos a variância é definida como uma soma de quadrados sendo portanto uma média quadrática MEDIDAS DE DISPERSÃO Variância S² Nessa perspectiva temse que a variância é onde S² é a variância xi é o valor observado da série i é o valor da média aritmética e n é a amostra X n ² x S² i i X 5 6 22052023 MEDIDAS DE DISPERSÃO Exemplo Considerandose os desempenhos dos alunos a seguir apresente a variância dos dados 4 5 5 5 6 MEDIDAS DE DISPERSÃO Solução 1º passo Para se encontrar a Variância S² dos dados em questão primeiramente devese encontrar a média aritmética da série Dados 4 5 5 5 6 X 5 5 25 X 5 6 5 5 5 4 X n x X i 7 8 22052023 MEDIDAS DE DISPERSAO Solugao 2 passo Depois disso devese calcular a Variancia S da série Dados 45556 92 Dx xi 455555 55 65 n 5 ge 1 0 0 0 1 g2 140404041 5 5 g i259 04 Como a variancia deu um valor muito pequeno isso indica que os alunos apresentaram desempenho muito prdoximos 9 MEDIDAS DE DISPERSAO Desviopadrao S O desviopadrao S a medida mais usada na comparagao de diferengas entre conjunto de dados por ter grande precisao Estima o quanto em média cada valor se distancia da propria média aritmética de uma distribuigao e Assim temse que 0 desviopadrao S é s s2 onde S é o desviopadrao e S a variancia 10 22052023 MEDIDAS DE DISPERSÃO Desviopadrão S Em termos práticos valores da série próximos uns dos outros originam um desviopadrão S menor Isso significa que quanto menor for o valor do desviopadrão S menor será a dispersão dos valores da série Valores da série muito afastados uns dos outros dão um desviopadrão S maior e A variância e o desviopadrão medem a representatividade da média aritmética que é considerada representativa se o desviopadrão dos dados é no máximo 13 um terço da média MEDIDAS DE DISPERSÃO Desviopadrão S De outra forma o significado do desviopadrão S Qualquer dado com desvio menor do que o desviopadrão da variável estará mais próximo da média do que qualquer outro valor com desvio menor Quanto mais os dados se afastarem da média maiores serão os desvios e consequentemente maior será o desviopadrão da variável e Duas variáveis com médias iguais e desviospadrões diferentes tem distribuições com formas diferentes A distribuição da variável com maior desviopadrão será mais aberta do que a da variável com menor desviopadrão 11 12 22052023 MEDIDAS DE DISPERSAO Exemplo Partindose do exemplo anterior em que a variancia S 6 de 04 apresente o desviopadrao dos dados s S255 0455 063 13