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Biomedicina ·
Probabilidade e Estatística 2
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18052023 PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA Laura Karoliny Nogueira BrasíliaDF 18 de maio de 2023 CENTRO DE EDUCAÇÃO SUPERIOR DE BRASÍLIA INSTITUTO DE EDUCAÇÃO SUPERIOR DE BRASÍLIA INTRODUÇÃO Medidas de tendência central Contextualização e Média aritmética i De dados não agrupados e ii De dados agrupados sem intervalo de classe Moda i De dados não agrupados e ii De dados agrupados sem intervalo de classe Mediana i De dados não agrupados e ii De dados agrupados sem intervalo de classe 1 2 18052023 MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL Contextualização Medidas de tendência central são medidas que tem como objetivo representar o ponto central de equilíbrio de uma distribuição de dados Entre as medidas de tendência central destacamse i A média aritmética ii A mediana e iii A moda MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL Contextualização A partir da idade de pessoas de um grupo podese estabelecer uma única idade que caracteriza o grupo todo Podese também por exemplo a partir das temperaturas de vários momentos em um mês qualquer determinar uma só temperatura que dá uma ideia de todo o período e Em situações como estas entre outras os números obtidos são a medida da tendência central das várias informações que estão disponíveis 3 4 18052023 MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL Média aritmética A média aritmética é uma das informações mais relevantes para a análise estatística Não obstante a média aritmética é uma medida de posição de tendência central mesmo que ela não se encontre necessariamente no centro da distribuição pois na verdade ela corresponde a uma das posições de equilíbrio entre os dados coletados Para o cálculo da média aritmética devese levar em conta o agrupamento ou não de dados X X MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL i Média aritmética de dados não agrupados A média aritmética de dados não agrupados corresponde ao cálculo de média aritmética simples A média aritmética simples é calculada por meio da divisão entre a soma dos valores da série pelo número total de valores onde é a média aritmética Xi é a variável em estudo e n é o tamanho da amostra X n x x X x x x i n 3 2 1 n X 5 6 18052023 MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL Exemplo As notas finais de 15 quinze alunos amostra n 15 do curso de Psicologia estão apresentadas abaixo A partir dessas informações qual a média das notas obtidas 75 90 45 40 55 80 85 90 75 75 70 65 75 90 65 MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL Solução Dados 75 90 45 40 55 80 85 90 75 75 70 65 75 90 65 717 15 1075 X 15 65 90 75 65 70 75 75 90 85 80 55 45 40 90 75 X n x X i 7 8 18052023 MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL ii Média aritmética de dados agrupados sem intervalo de classe A média aritmética de dados agrupados sem intervalo de classes processase por meio da média aritmética ponderada Assim a média ponderada é caracterizada pelo número de repetições de cada valor ou mais claramente pela frequência absoluta Assim a média é obtida por onde é a média aritmética Xi é a variável em estudo fi é a frequência da variável e n é a amostra n x f X i i X MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL Exemplo Pesquisouse em 50 cinquenta residências o número de computadores em cada domicílio A partir da Tabela a seguir que ilustra os resultados da pesquisa calcular a média aritmética ponderada dessa distribuição Nº de computadores xi Nº de residências fi 0 4 1 19 2 16 3 9 4 2 Total 50 9 10 18052023 MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL Solução O primeiro passo para a resolução é a criação de uma coluna para efetuar a multiplicação das variáveis xi pela frequência fi Nº de computadores xi Nº de residências fi xifi 0 4 0 x 4 0 1 19 1 x 19 19 2 16 2 x 16 32 3 9 3 x 9 27 4 2 4 x 2 8 Total 50 86 MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL Solução Feito isso basta empregar a fórmula da média aritmética para dados agrupados sem intervalo de classe Em resumo em virtude da média encontrada presumese que há uma tendência a ter 2 dois computadores por residência 1 72 50 86 n x f X i i 11 12 18052023 MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL i Moda Mo de dados não agrupados Moda Mo em geral é o valor que ocorre com maior frequência nos dados obtidos em uma coleta esse valor é denominado valor modal e Assim em um conjunto de valores em que os dados não são agrupados o valor modal corresponde ao valor com maior número de ocorrência MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL Exemplo Dada a série estatística a seguir qual o valor modal dessa amostra 2 2 3 4 5 5 6 7 7 7 7 8 8 8 9 9 10 10 11 12 13 14 18052023 MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL Solução Observe que na série há repetição dos valores 2 duas vezes 5 duas vezes 7 quatro vezes 8 três vezes 9 duas vezes e 10 duas vezes Os demais valores aparecem uma única vez Qual o valor modal da série Resposta Mo 7 O valor modal da série é 7 pois é o valor com maior repetições na série MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL ii Moda Mo de dados agrupados sem intervalo de classe Após o agrupamento dos valores coletados em uma tabela de distribuição de frequência fica fácil a determinação do valor modal e A moda de dados agrupados sem intervalo de classe é o valor da variável que corresponde à classe de maior frequência classe modal 15 16 18052023 MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL Exemplo Pesquisouse em 50 cinquenta residências o número de computadores em cada domicílio A partir dos dados da Tabela a seguir que ilustra os resultados da pesquisa identifique a moda da distribuição Nº de computadores xi Nº de residências fi 0 4 1 19 2 16 3 9 4 2 Total 50 MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL Solução Note que a 2ª classe é a classe modal já que é a classe que contém o maior valor de frequência Resposta Mo 1 A moda da série é a variável 1 computador Nº de computadores xi Nº de residências fi 0 4 1 19 2 16 3 9 4 2 Total 50 17 18 18052023 MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL i Mediana M de dados nao agrupados Amediana M uma medida de posigao que divide Oo conjunto de dados coletados em duas partes iguais com o mesmo numero de elementos Logo o valor da mediana se encontra no centro da série historica Ordenados os elementos da amostra a mediana é o valor que divide a amostra ao meio isto é 50 dos elementos sao menores ou iguais a mediana e os outros 50 sao maiores ou iguais a ela e Amediana de dados nao agrupados é M me onde M a mediana e n o tamanho da amostra 19 MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Exemplo Determinar a mediana da série historica a seguir 131417 18 22 23 25 26 27 29 31 20 18052023 MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Solugao Para encontrar a mediana M devese primeiramente observar que amostra composta por 11 elementos n 11 Apds isso devese a partir dos dados da série aplicar a seguinte formula a fim de determinar a M 1 111 12 M de My 7 des Mg My 6 Resposta M 23 A moda de dados nao agrupados em questao 23 existem cinco valores coletados antes da mediana e cinco depois ou seja o 6 elemento da amostra 21 MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL ii Mediana M de dados agrupados sem intervalo de classe Amediana M de dados agrupados sem intervalo de classe segue os seguintes passos Calcular a posigo da Mg POSieg 5 ii Localizar a classe da mediana a partir do resultado alcangado na formula acima devendo se para isso criar uma coluna da frequéncia acumulada Fac das classes e ii Verificar o valor da variavel contido na classe mediana 22 18052023 MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL Exemplo Pesquisouse em 50 cinquenta residências o número de computadores em cada domicílio A partir dos dados da Tabela a seguir que ilustra os resultados da pesquisa identifique a mediana da distribuição Nº de computadores xi Nº de residências fi 0 4 1 19 2 16 3 9 4 2 Total 50 MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL Solução Para encontrar a mediana Md devese primeiramente observar que amostra é composta por 50 elementos n 50 Após isso devese aplicar a seguinte fórmula a fim de determinar a posição da Md na série Posmed 𝒏 𝟐 Posmed 𝟓𝟎 𝟐 Posmed 25 23 24 18052023 MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL Solução Feito isso devese criar uma coluna da frequência acumulada Faci das classes Nº de computadores xi Nº de residências fi Faci 0 4 4 1 19 23 2 16 39 3 9 48 4 2 50 Total 50 MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL Solução Criada a coluna devese interpretála da seguinte maneira Nº de computadores xi Nº de residências fi Fac i Interpretação da frequência acumulada 0 4 4 do 1º ao 4º termo 1 19 23 do 4º ao 23º termo 2 16 39 do 23º ao 39º termo 3 9 48 do 39º ao 48º termo 4 2 50 do 48º ao 50º termo Total 50 25 26 18052023 MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL Solução Como a posição da mediana está no 25º valor da série então ela está localizada na 3ª classe Nº de computadores xi Nº de residências fi Fac i Interpretação da frequência acumulada 0 4 4 do 1º ao 4º termo 1 19 23 do 4º ao 23º termo 2 16 39 do 23º ao 39º termo 3 9 48 do 39º ao 48º termo 4 2 50 do 48º ao 50º termo Total 50 MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL Solução Finalmente destaquese que o valor da variável que pertence a essa classe é 2 ou seja corresponde à 2 computadores por residência Resposta Md 2 O resultado significa dizer que 50 das residências possui 2 ou menos computadores e os outros 50 possui 2 ou mais computadores 27 28
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18052023 PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA Laura Karoliny Nogueira BrasíliaDF 18 de maio de 2023 CENTRO DE EDUCAÇÃO SUPERIOR DE BRASÍLIA INSTITUTO DE EDUCAÇÃO SUPERIOR DE BRASÍLIA INTRODUÇÃO Medidas de tendência central Contextualização e Média aritmética i De dados não agrupados e ii De dados agrupados sem intervalo de classe Moda i De dados não agrupados e ii De dados agrupados sem intervalo de classe Mediana i De dados não agrupados e ii De dados agrupados sem intervalo de classe 1 2 18052023 MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL Contextualização Medidas de tendência central são medidas que tem como objetivo representar o ponto central de equilíbrio de uma distribuição de dados Entre as medidas de tendência central destacamse i A média aritmética ii A mediana e iii A moda MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL Contextualização A partir da idade de pessoas de um grupo podese estabelecer uma única idade que caracteriza o grupo todo Podese também por exemplo a partir das temperaturas de vários momentos em um mês qualquer determinar uma só temperatura que dá uma ideia de todo o período e Em situações como estas entre outras os números obtidos são a medida da tendência central das várias informações que estão disponíveis 3 4 18052023 MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL Média aritmética A média aritmética é uma das informações mais relevantes para a análise estatística Não obstante a média aritmética é uma medida de posição de tendência central mesmo que ela não se encontre necessariamente no centro da distribuição pois na verdade ela corresponde a uma das posições de equilíbrio entre os dados coletados Para o cálculo da média aritmética devese levar em conta o agrupamento ou não de dados X X MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL i Média aritmética de dados não agrupados A média aritmética de dados não agrupados corresponde ao cálculo de média aritmética simples A média aritmética simples é calculada por meio da divisão entre a soma dos valores da série pelo número total de valores onde é a média aritmética Xi é a variável em estudo e n é o tamanho da amostra X n x x X x x x i n 3 2 1 n X 5 6 18052023 MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL Exemplo As notas finais de 15 quinze alunos amostra n 15 do curso de Psicologia estão apresentadas abaixo A partir dessas informações qual a média das notas obtidas 75 90 45 40 55 80 85 90 75 75 70 65 75 90 65 MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL Solução Dados 75 90 45 40 55 80 85 90 75 75 70 65 75 90 65 717 15 1075 X 15 65 90 75 65 70 75 75 90 85 80 55 45 40 90 75 X n x X i 7 8 18052023 MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL ii Média aritmética de dados agrupados sem intervalo de classe A média aritmética de dados agrupados sem intervalo de classes processase por meio da média aritmética ponderada Assim a média ponderada é caracterizada pelo número de repetições de cada valor ou mais claramente pela frequência absoluta Assim a média é obtida por onde é a média aritmética Xi é a variável em estudo fi é a frequência da variável e n é a amostra n x f X i i X MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL Exemplo Pesquisouse em 50 cinquenta residências o número de computadores em cada domicílio A partir da Tabela a seguir que ilustra os resultados da pesquisa calcular a média aritmética ponderada dessa distribuição Nº de computadores xi Nº de residências fi 0 4 1 19 2 16 3 9 4 2 Total 50 9 10 18052023 MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL Solução O primeiro passo para a resolução é a criação de uma coluna para efetuar a multiplicação das variáveis xi pela frequência fi Nº de computadores xi Nº de residências fi xifi 0 4 0 x 4 0 1 19 1 x 19 19 2 16 2 x 16 32 3 9 3 x 9 27 4 2 4 x 2 8 Total 50 86 MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL Solução Feito isso basta empregar a fórmula da média aritmética para dados agrupados sem intervalo de classe Em resumo em virtude da média encontrada presumese que há uma tendência a ter 2 dois computadores por residência 1 72 50 86 n x f X i i 11 12 18052023 MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL i Moda Mo de dados não agrupados Moda Mo em geral é o valor que ocorre com maior frequência nos dados obtidos em uma coleta esse valor é denominado valor modal e Assim em um conjunto de valores em que os dados não são agrupados o valor modal corresponde ao valor com maior número de ocorrência MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL Exemplo Dada a série estatística a seguir qual o valor modal dessa amostra 2 2 3 4 5 5 6 7 7 7 7 8 8 8 9 9 10 10 11 12 13 14 18052023 MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL Solução Observe que na série há repetição dos valores 2 duas vezes 5 duas vezes 7 quatro vezes 8 três vezes 9 duas vezes e 10 duas vezes Os demais valores aparecem uma única vez Qual o valor modal da série Resposta Mo 7 O valor modal da série é 7 pois é o valor com maior repetições na série MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL ii Moda Mo de dados agrupados sem intervalo de classe Após o agrupamento dos valores coletados em uma tabela de distribuição de frequência fica fácil a determinação do valor modal e A moda de dados agrupados sem intervalo de classe é o valor da variável que corresponde à classe de maior frequência classe modal 15 16 18052023 MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL Exemplo Pesquisouse em 50 cinquenta residências o número de computadores em cada domicílio A partir dos dados da Tabela a seguir que ilustra os resultados da pesquisa identifique a moda da distribuição Nº de computadores xi Nº de residências fi 0 4 1 19 2 16 3 9 4 2 Total 50 MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL Solução Note que a 2ª classe é a classe modal já que é a classe que contém o maior valor de frequência Resposta Mo 1 A moda da série é a variável 1 computador Nº de computadores xi Nº de residências fi 0 4 1 19 2 16 3 9 4 2 Total 50 17 18 18052023 MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL i Mediana M de dados nao agrupados Amediana M uma medida de posigao que divide Oo conjunto de dados coletados em duas partes iguais com o mesmo numero de elementos Logo o valor da mediana se encontra no centro da série historica Ordenados os elementos da amostra a mediana é o valor que divide a amostra ao meio isto é 50 dos elementos sao menores ou iguais a mediana e os outros 50 sao maiores ou iguais a ela e Amediana de dados nao agrupados é M me onde M a mediana e n o tamanho da amostra 19 MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Exemplo Determinar a mediana da série historica a seguir 131417 18 22 23 25 26 27 29 31 20 18052023 MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Solugao Para encontrar a mediana M devese primeiramente observar que amostra composta por 11 elementos n 11 Apds isso devese a partir dos dados da série aplicar a seguinte formula a fim de determinar a M 1 111 12 M de My 7 des Mg My 6 Resposta M 23 A moda de dados nao agrupados em questao 23 existem cinco valores coletados antes da mediana e cinco depois ou seja o 6 elemento da amostra 21 MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL ii Mediana M de dados agrupados sem intervalo de classe Amediana M de dados agrupados sem intervalo de classe segue os seguintes passos Calcular a posigo da Mg POSieg 5 ii Localizar a classe da mediana a partir do resultado alcangado na formula acima devendo se para isso criar uma coluna da frequéncia acumulada Fac das classes e ii Verificar o valor da variavel contido na classe mediana 22 18052023 MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL Exemplo Pesquisouse em 50 cinquenta residências o número de computadores em cada domicílio A partir dos dados da Tabela a seguir que ilustra os resultados da pesquisa identifique a mediana da distribuição Nº de computadores xi Nº de residências fi 0 4 1 19 2 16 3 9 4 2 Total 50 MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL Solução Para encontrar a mediana Md devese primeiramente observar que amostra é composta por 50 elementos n 50 Após isso devese aplicar a seguinte fórmula a fim de determinar a posição da Md na série Posmed 𝒏 𝟐 Posmed 𝟓𝟎 𝟐 Posmed 25 23 24 18052023 MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL Solução Feito isso devese criar uma coluna da frequência acumulada Faci das classes Nº de computadores xi Nº de residências fi Faci 0 4 4 1 19 23 2 16 39 3 9 48 4 2 50 Total 50 MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL Solução Criada a coluna devese interpretála da seguinte maneira Nº de computadores xi Nº de residências fi Fac i Interpretação da frequência acumulada 0 4 4 do 1º ao 4º termo 1 19 23 do 4º ao 23º termo 2 16 39 do 23º ao 39º termo 3 9 48 do 39º ao 48º termo 4 2 50 do 48º ao 50º termo Total 50 25 26 18052023 MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL Solução Como a posição da mediana está no 25º valor da série então ela está localizada na 3ª classe Nº de computadores xi Nº de residências fi Fac i Interpretação da frequência acumulada 0 4 4 do 1º ao 4º termo 1 19 23 do 4º ao 23º termo 2 16 39 do 23º ao 39º termo 3 9 48 do 39º ao 48º termo 4 2 50 do 48º ao 50º termo Total 50 MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL Solução Finalmente destaquese que o valor da variável que pertence a essa classe é 2 ou seja corresponde à 2 computadores por residência Resposta Md 2 O resultado significa dizer que 50 das residências possui 2 ou menos computadores e os outros 50 possui 2 ou mais computadores 27 28