Análise do Campo Vetorial e Cálculo de Integrais de Linha

EFB109 Diurno Pág 1 de 4 Gabarito P4 Q1 40 Considere o campo vetorial 𝐹𝑥 𝑦 1 2 ln1 𝑦2 𝑖 𝑥𝑦 1𝑦2 𝑗 a 10 Determine e esboce o domínio do campo vetorial 𝐹 Solução 1 𝑦2 0 1 𝑦 1 Dom𝐹 𝑥 𝑦 ℝ2 1 𝑦 1 b 05 Calcule o rotacional do campo vetorial 𝐹 Solução Sendo 𝑃 1 2 ln1 𝑦2 e 𝑄 𝑥𝑦 1𝑦2 temse 𝑟𝑜𝑡𝐹 𝑄 𝑥 𝑃 𝑦 𝑘 As derivadas parciais são 𝑄 𝑥 𝑦 1 𝑦2 𝑃 𝑦 1 2 1 1 𝑦2 2𝑦 𝑦 1 𝑦2 Dessa forma 𝑟𝑜𝑡𝐹 0 c 10 Calcule 𝛾1 𝐹𝑑𝑟 sendo 𝛾1 𝑥2 𝑦2 1 4 orientada no sentido horário Justifique Solução Como a curva 𝛾1 é uma circunferência de centro na origem e raio 1 2 curva fechada 𝑟𝑜𝑡𝐹 0 e Dom𝐹 é simplesmente conexo o campo 𝐹 é conservativo e portanto 𝛾1 𝐹𝑑𝑟 0 Também é possível aplicar o Teorema de Green na curva 𝛾1 𝐹𝑑𝑟 𝛾1 0 𝑑𝐴 𝐷 0 𝐹𝑑𝑟 𝛾1 0 𝐹𝑑𝑟 𝛾1 0 EFB109 Diurno Pág 2 de 4 d 15 Calcule 𝛾2 𝐹 𝑑𝑟 sendo 𝛾2 𝑥 12 𝑦2 1 16 orientada no sentido horário do ponto 𝐴 1 1 4 para 𝐵 1 1 4 Justifique Solução A curva 𝛾2 é uma semicircunferência de centro 10 e raio 1 4 que vai do ponto 𝐴 1 1 4 para o ponto 𝐵 1 1 4 como mostrado na figura abaixo É possível aplicar o Teorema de Green na curva 𝛾3 𝛾2 sendo 𝛾3 o segmento de reta que vai de A para B Dessa forma temse 𝐹 𝑑𝑟 𝛾3𝛾2 𝑄 𝑥 𝑃 𝑦 𝑑𝐴 𝐷 0 𝐹 𝑑𝑟 𝛾3 𝐹 𝑑𝑟 𝛾2 0 𝐹 𝑑𝑟 𝛾2 𝐹 𝑑𝑟 𝛾3 Calculando a integral de linha sobre a curva 𝛾3 pela definição 𝛾3 𝑥 1 𝑦 𝑡 1 4 𝑡 1 4 𝛾3 𝑥 0 𝑦 1 𝐹𝛾3𝑡 1 2 ln1 𝑡2 𝑖 𝑡 1 𝑡2 𝑗 𝐹𝛾3𝑡 𝛾 3𝑡 𝑡 1 𝑡2 𝐹 𝑑𝑟 𝛾3 𝐹𝛾3𝑡 𝛾3𝑡 𝑑𝑡 𝑏 𝑎 𝑡 1 𝑡2 𝑑𝑡 1 4 1 4 1 2 ln1 𝑡2 1 4 1 4 0 Portanto 𝛾2 𝐹 𝑑𝑟 𝛾3 𝐹 𝑑𝑟 0 Uma solução alternativa seria determinar a função potencial 𝜑𝑥 𝑦 do campo vetorial 𝐹 𝜑 𝑥 1 2 ln1 𝑦2 𝜑 𝑦 𝑥𝑦 1 𝑦2 I Integrando I em relação à y temse 𝜑𝑥 𝑦 𝑥 𝑦 1 𝑦2 𝑑𝑦 1 2 𝑥 ln1 𝑦2 𝑔𝑥 II Derivando II em relação à x temse 𝜑 𝑥 1 2 ln1 𝑦2 𝑔𝑥 1 2 ln1 𝑦2 𝑔𝑥 0 Integrando em 𝑥 𝑔𝑥 𝐶 Portanto 𝜑𝑥 𝑦 1 2 𝑥ln1 𝑦2 Dessa forma 𝛾2 𝐹 𝑑𝑟 𝜑 1 1 4 𝜑 1 1 4 0 𝛾3 𝛾2 EFB109 Diurno Pág 3 de 4 Q2 35 A população de bactérias em uma cultura cresce a uma taxa proporcional ao número de bactérias presentes no instante 𝑡 a 15 Determine a EDO que descreve a relação acima e a função explícita 𝑃𝑡 solução dessa EDO Solução A EDO que descreve a relação acima é 𝑑𝑃 𝑑𝑡 𝑘𝑃 É possível reescrevêla como 𝑑𝑃 𝑃 𝑘 𝑑𝑡 variáveis separáveis Integrando ambos os lados da igualdade temse 𝑑𝑃 𝑃 𝑘 𝑑𝑡 ln 𝑃 𝑘𝑡 𝐶1 𝑃𝑡 𝑒𝑘𝑡𝐶1 𝐶𝑒𝑘𝑡 b 20 Sabese que após três horas a população de bactérias na cultura era 400 Após 10 horas a cultura tinha 2000 bactérias Dessa forma qual era o número inicial de bactérias na cultura Obs Utilize 𝑒3ln 5 7 2 Solução As informações dadas no enunciado são 𝑃3 400 e 𝑃10 2000 É pedido o número inicial de bactérias 𝑃0 de forma que 𝑃0 𝑃0 A função 𝑃𝑡 determinada no item a é 𝑃𝑡 𝐶𝑒𝑘𝑡 Substituindo as condições temse 𝑃0 𝐶 𝑒0 𝑃0 𝐶 𝑃0 Assim 𝑃𝑡 𝑃0𝑒𝑘𝑡 𝑃3 𝑃0𝑒3𝑘 400 𝑃0 400 𝑒3𝑘 I Assim é possível escrever 𝑃𝑡 400 𝑒3𝑘 𝑒𝑘𝑡 𝑃10 400 𝑒3𝑘 𝑒10𝑘 2000 𝑒7𝑘 5 7𝑘 ln 5 𝑘 ln 5 7 Substituindo 𝑘 ln 5 7 em I temse 𝑃0 400 𝑒3ln 5 7 400 2 200 Assim a cultura possuía inicialmente 200 bactérias Q3 25 Seja a EDO 𝑥𝑦 sen 𝑥 2𝑦 cos 𝑥𝑑𝑥 2𝑥 cos 𝑥𝑑𝑦 0 a 10 Sabese que não existe um método prático para determinar o fator integrante quando este depende de duas variáveis Porém é possível verificar que 𝜙𝑥 𝑦 𝑥𝑦 é fator integrante da EDO dada Verifique e justifique sua resposta Solução EFB109 Diurno Pág 4 de 4 Se 𝜙𝑥 𝑦 𝑥𝑦 é fator integrante da EDO dada ao multiplicarmos essa por esse fato integrante devese chegar em uma EDO exata ou seja 𝑁 𝑥 𝑀 𝑦 Dessa forma temse 𝑥𝑦𝑥𝑦 sen 𝑥 2𝑦 cos 𝑥𝑑𝑥 𝑥𝑦2𝑥 cos 𝑥𝑑𝑦 0 𝑥2𝑦2 sen 𝑥 2𝑥𝑦2 cos 𝑥 𝑀𝑥𝑦 𝑑𝑥 2𝑥2𝑦 cos 𝑥 𝑁𝑥𝑦 𝑑𝑦 0 Calculando as derivadas parciais 𝑁 𝑥 4𝑥𝑦 cos 𝑥 2𝑥2𝑦 sen 𝑥 𝑀 𝑦 Verificouse assim que 𝜙𝑥 𝑦 𝑥𝑦 é fator integrante da EDO b 15 Considerando o fator integrante do item anterior resolva a EDO exata de forma que 𝑦2𝜋 1 2𝜋 Solução A EDO exata é 𝑥2𝑦2 sen 𝑥 2𝑥𝑦2 cos 𝑥𝑑𝑥 2𝑥2𝑦 cos 𝑥𝑑𝑦 0 Primeiro buscase simbolicamente a função potencial 𝜑𝑥 𝑦 de forma que 𝜑 𝑥 𝑥2𝑦2 sen 𝑥 2𝑥𝑦2 cos 𝑥 𝜑 𝑦 2𝑥2𝑦 cos 𝑥 I Integrando I em relação à y temse 𝜑𝑥 𝑦 2𝑥2𝑦 cos 𝑥𝑑𝑦 𝑥2𝑦2 cos 𝑥 ℎ𝑥 II Derivando II em relação à x temse 𝜑 𝑥 2𝑥𝑦2 cos 𝑥 𝑥2𝑦2 sen 𝑥 𝑔𝑥 𝑥2𝑦2 sen 𝑥 2𝑥𝑦2 cos 𝑥 𝑔𝑥 0 III Integrando III em relação à x temse 𝑔𝑥 𝐶 Portanto 𝜑𝑥 𝑦 𝑥2𝑦2 cos 𝑥 𝐶 e a solução geral da EDO é 𝑥2𝑦2 cos 𝑥 𝐶 0 Como 𝑦2𝜋 1 2𝜋 temse 2𝜋2 1 2𝜋 2 cos 2𝜋 𝐶 0 𝐶 1 Dessa forma a solução do PVI pedido é 𝑥2𝑦2 cos 𝑥 1 0