Gabarito P3 - Cálculo de Campo Vetorial Conservativo

EFB109 Diurno Pág 1 de 5 Gabarito P3 Q1 15 Sabese que o campo vetorial 𝐹 é conservativo em ℝ2 e 𝛾1 𝐹 𝑑𝑟 𝐾 com 𝛾1 𝜋 sen𝑡 𝜋 cos𝑡 𝜋 2 𝑡 3𝜋 2 Sendo assim calcule em função de 𝐾 𝛾2 𝐹 𝑑𝑟 sendo 𝛾2 𝑡 sen𝑡 𝜋 𝑡 𝜋 Solução Inicialmente como o enunciado já afirma que o campo 𝐹 é conservativo serão verificados os pontos iniciais e finais de cada curva a fim de se relacionar suas integrais de linha de campo vetorial Para 𝛾1 se 𝑡 π 2 𝐴 π sen π 2 π cos π 2 𝜋 0 se 𝑡 3π 2 𝐵 π sen 3π 2 π cos 3π 2 𝜋 0 Para 𝛾2 se 𝑡 𝜋 𝐶 𝜋 sen𝜋 𝜋 0 𝐵 se 𝑡 𝜋 𝐷 𝜋 sen𝜋 𝜋 0 𝐴 Como 𝛾1 começa em A e termina em B e 𝛾2 começa em B e termina em A 𝐹 𝑑𝑟 𝛾2 𝐹 𝑑𝑟 𝛾1 𝐾 Q2 20 Sabese que existe um único valor para a constante real 𝑘 que torna o campo vetorial 𝐹𝑥 𝑦 20𝑥 2𝑦15𝑖 40𝑥 2𝑦15 𝑘𝑥𝑗 conservativo em ℝ2 Dessa forma determine o valor de 𝑘 Solução Assumindo que 𝐹 seja conservativo em ℝ2 então necessariamente rot 𝐹 0 rot 𝐹 𝑄 𝑥 𝑃 𝑦 𝑘 Onde 𝑄 𝑥 15 40 𝑥 2𝑦14 𝑘 𝑃 𝑦 15 20 2 𝑥 2𝑦14 Dessa forma rot 𝐹 15 40 𝑥 2𝑦14 𝑘 15 20 2 𝑥 2𝑦14 𝑘 0 Assim 0 𝑘 0 𝒌 𝟎 Uma outra solução seria se 𝐹 é conservativo 𝜙 𝜙 𝐹 e Dom 𝜙 Dom 𝐹 EFB109 Diurno Pág 2 de 5 𝜙 𝑥 𝑖 𝜙 𝑦 𝑗 20𝑥 2𝑦15𝑖 40𝑥 2𝑦15 𝑘𝑥𝑗 Para os termos em 𝑖 𝜙 𝑥 20𝑥 2𝑦15 𝜙𝑥 𝑦 20𝑥 2𝑦15 𝑑𝑥 Aplicando 𝑢 𝑥 2𝑦 𝑑𝑢 𝑑𝑥 𝜙𝑥 𝑦 20 𝑢15 𝑑𝑢 20𝑢16 16 5 4 𝑥 2𝑦16 𝐶1𝑦 Para os termos em 𝑗 𝜙 𝑦 40𝑥 2𝑦15 𝑘𝑥 𝜙𝑥 𝑦 40𝑥 2𝑦15 𝑘𝑥 𝑑𝑦 Integrando o segundo termo e efetuando uma substituição simples no primeiro sendo 𝑢 𝑥 2𝑦 𝑑𝑢 2 𝑑𝑦 temse 𝜙𝑥 𝑦 𝑘𝑥𝑦 20 𝑢15 𝑑𝑢 𝑘𝑥𝑦 20𝑢16 16 𝑘𝑥𝑦 5 4 𝑥 2𝑦16 𝐶2𝑥 Para que as funções 𝜙𝑥 𝑦 sejam iguais em ambas as equações seria necessário que 𝑘𝑥𝑦 0 já que é uma função de 𝑥 e de 𝑦 simultaneamente e que não está presente em ambos os termos Para que isto ocorra necessariamente 𝒌 𝟎 Q3 35 Seja 𝐹𝑥 𝑦 𝑧 𝑒𝑥 𝑦 𝑖 cos2𝑦 1 𝑗 arcsen𝑥𝑦 𝑒𝑥𝑦 𝑘 e 𝐶 a curva dada por 𝛼𝑡 𝑡2 10 𝑖 4𝑡 𝑗 𝑘 2 𝑡 1 a 15 O campo 𝐹 é conservativo em todo seu domínio Justifique Solução Para verificar se o campo é conservativo em todo seu domínio ou não há duas maneiras Sabendo que Dom 𝐹 ℝ2 então se 𝐹 é conservativo em todo seu domínio 𝜙 𝜙 𝐹 e Dom 𝜙 Dom 𝐹 ℝ2 𝜙 𝑥 𝑖 𝜙 𝑦 𝑗 𝜙 𝑧 𝑘 𝑒𝑥 𝑦 𝑖 cos2𝑦 1 𝑗 arcsen𝑥𝑦 𝑒𝑥𝑦 𝑘 Começando pelos termos em 𝑘 𝜙 𝑧 arcsen𝑥𝑦 𝑒𝑥𝑦 𝜙𝑥 𝑦 𝑧 arcsen𝑥 𝑦 𝑧𝑒𝑥𝑦 𝐶1𝑥 𝑦 Pelos termos em 𝑖 𝜙 𝑥 𝑒𝑥 𝑦 𝜙𝑥 𝑦 𝑒𝑥 𝑥𝑦 𝐶2𝑦 𝑧 Pelos termos em 𝑗 EFB109 Diurno Pág 3 de 5 𝜙 𝑦 cos2𝑦 1 𝜙𝑥 𝑦 sen2𝑦 2 𝑦 𝐶3𝑥 𝑧 Somente pelo termo 𝑧 arcsen𝑥 𝑦 função de três variáveis que não se encontra em nenhuma outra equação é possível afirmar que o campo não é conservativo Pela segunda maneira calculase o rotacional do campo se este resultar em 0 há indícios do campo ser conservativo mas se resultar em um valor diferente de 0 então o campo não é conservativo rot 𝐹 𝑅 𝑦 𝑄 𝑧 𝑖 𝑃 𝑧 𝑅 𝑥 𝑗 𝑄 𝑥 𝑃 𝑦 𝑘 Calculando as derivadas parciais 𝑅 𝑦 𝑥 1 𝑥2𝑦2 𝑥𝑒𝑥𝑦 𝑄 𝑧 0 Já no primeiro termo do rotacional notase que este é diferente de zero Assim rot 𝐹 0 O campo 𝐹 não é conservativo b 20 Calcule 𝐶 𝐹 𝑑𝑟 Solução Como o campo 𝐹 não é conservativo resta o cálculo de sua integral de linha de campo vetorial sobre a curva 𝛼 a partir da definição 𝐹 𝑑𝑟 𝛼 𝐹𝛼𝑡 𝛼𝑡 𝑑𝑡 𝑏 𝑎 Calculando 𝛼𝑡 𝛼𝑡 2𝑡𝑖 4𝑗 0𝑘 Calculando 𝐹𝛼𝑡 𝐹𝛼𝑡 𝑒𝑡210 4𝑡𝑖 cos8𝑡 1 𝑗 𝑘 Calculando 𝐹𝛼𝑡 𝛼𝑡 𝐹𝛼𝑡 𝛼𝑡 2𝑡𝑒𝑡210 8𝑡2 4 cos8𝑡 4 0 Assim 𝐹 𝑑𝑟 𝛼 2𝑡𝑒𝑡210 8𝑡2 4 cos8𝑡 4 𝑑𝑡 1 2 Calculando as integrais indefinidas para cada termo 2𝑡𝑒𝑡210 𝑑𝑡 𝑢 𝑡2 10 𝑑𝑢 2𝑡 𝑑𝑡 EFB109 Diurno Pág 4 de 5 𝑒𝑢 𝑑𝑢 𝑒𝑡210 𝐶 8𝑡2 𝑑𝑡 8 3 𝑡3 𝐶 4 cos8𝑡 𝑑𝑡 𝑢 8𝑡 𝑑𝑢 8 𝑑𝑡 1 2 cos𝑢 𝑑𝑢 1 2 sen8𝑡 𝐶 4 𝑑𝑡 4𝑡 𝐶 Aplicando as integrais indefinidas sob os limites de integração 𝐹 𝑑𝑟 𝛼 𝑒𝑡210 8 3 𝑡3 1 2 sen8𝑡 4𝑡 2 1 𝑒11 8 3 sen8 2 4 𝑒14 64 3 sen16 2 8 𝑒14 𝑒11 36 sen8 2 sen16 2 Ou 𝑒14 𝑒11 36 sen8 2 sen16 2 Q4 30 Calcule 𝐶 𝐹𝑑𝑟 sendo 𝐹𝑥 𝑦 𝑦𝑒2𝑥 1 𝑥𝑦 𝑖 𝑒2𝑥 2 ln 𝑥 𝑦2 𝑗 o campo vetorial e a curva 𝐶 𝑥 22 𝑦 42 1 orientada no sentido horário Solução Em primeiro lugar será verificado se o campo vetorial 𝐹 é conservativo a fim de calcular a integral de linha de campo vetorial Para tal a seguinte relação deve ser verídica 𝜑𝑥 𝑦 𝐹𝑥 𝑦 Dessa forma 𝜑 𝑥 𝑥 𝑦𝑖 𝜑 𝑦 𝑥 𝑦𝑗 𝑦𝑒2𝑥 1 𝑥𝑦 𝑖 𝑒2𝑥 2 ln 𝑥 𝑦2 𝑗 𝜑 𝑥 𝑥 𝑦 𝑦𝑒2𝑥 1 𝑥𝑦 𝐼 𝜑 𝑦 𝑥 𝑦 𝑒2𝑥 2 ln 𝑥 𝑦2 𝐼𝐼 EFB109 Diurno Pág 5 de 5 Com as relações formuladas há duas maneiras de calcular a função potencial 𝑓 1ª maneira Integrando I e II e comparando as equações obtidas 𝜑𝑥 𝑦 𝑦𝑒2𝑥 2 1 𝑦 ln𝑥 𝐶1𝑦 𝜑𝑥 𝑦 𝑦𝑒2𝑥 2 ln 𝑥 𝑦 𝐶2𝑥 Para satisfazer ambas as equações é necessário que 𝐶1𝑦 𝐶2𝑥 𝐶 onde 𝐶 é uma constante numérica Portanto 𝜑𝑥 𝑦 𝑦𝑒2𝑥 2 1 𝑦 ln𝑥 𝐶 2ª maneira Integrando e derivando uma das equações e comparando o resultado Ao integrar 𝐼 em relação à 𝑥 temse 𝜑𝑥 𝑦 𝑦𝑒2𝑥 2 1 𝑦 ln𝑥 𝐶1𝑦 𝐼𝐼𝐼 Ao derivar a equação acima em relação à 𝑦 temse 𝜑 𝑦 𝑒2𝑥 2 1 𝑦2 ln𝑥 𝐶1 𝑦 𝐼𝑉 Comparando 𝐼𝑉 com 𝐼𝐼 temse 𝑒2𝑥 2 1 𝑦2 ln𝑥 𝐶1 𝑦 𝑒2𝑥 2 ln 𝑥 𝑦2 𝐶1 𝑦 0 𝑉 Integrando 𝑉 em relação à 𝑦 temse 𝐶1𝑦 𝐶 onde 𝐶 é uma constante numérica Dessa forma substituindo o valor de 𝐶1𝑦 em 𝐼𝐼𝐼 𝜑𝑥 𝑦 𝑦𝑒2𝑥 2 1 𝑦 ln𝑥 𝐶 Antes de afirmar que por conta da existência da função potencial o campo vetorial 𝐹 é conservativo devese verificar se ambos os domínios são iguais Dom𝐹 𝑥 𝑦 ℝ2𝑥 0 e 𝑦 0 Dom𝜑 Com isso agora fica evidente que o campo vetorial 𝐹 é conservativo Dessa maneira como a curva 𝐶 é fechada é válido afirmar que 𝐹 𝑑𝑟 0 𝐶