Fundamentos sobre Filtros Digitais

FACULDADE DE ENGENHARIA DE RESENDE ENGENHARIA ELÉTRICA Professor Luiz Fernando Ribas Monteiro email luizribasaedbbr Processamento de sinais 2 Prof Luiz Fernando Ribas Monteiro Fundamentos sobre Filtros Digitais Introdução Um Filtro Digital é um algoritmo que produz uma sequência de saída yn em resposta a uma sequência de entrada xn O algoritmo do Filtro Digital produz a saída yn em um dado instante n como uma soma ponderada dos valores presente e passados da entrada e de valores passados da saída Os Filtros Digitais tem como objetivo a separação de sinais que foram misturados ou a restauração de sinais que foram distorcidos de alguma maneira Em suma Filtros Digitais são sistemas para extração ou discriminação de informação contida em sinais 3 Prof Luiz Fernando Ribas Monteiro Fundamentos sobre Filtros Digitais Filtragem é o processo no qual alguns componentes de frequência têm a sua amplitude modificada podendo até ocorrer a eliminação de algumas destas componentes de frequência Há duas classes de filtros que podem ser destacadas a classe de filtros que moldam a frequência que são filtros que mudam a forma do espectro de frequência do sinal e os filtros de frequência seletiva que são filtros que permitem que determinadas faixas de frequência passem sem atenuação enquanto outras faixas de frequência sofrem grandes atenuações podendo até ser eliminadas A montagem de um filtro digital se resume a escolher a resposta em frequência adequada 4 Prof Luiz Fernando Ribas Monteiro Fundamentos sobre Filtros Digitais 5 Prof Luiz Fernando Ribas Monteiro Fundamentos sobre Filtros Digitais Na forma de Diagrama de Blocos Filtro Analógico e Filtro Digital 6 Prof Luiz Fernando Ribas Monteiro Fundamentos sobre Filtros Digitais As duas respostas são equivalentes pois os valores no tempo correspondentes ao domínio discreto DT e contínuo CT são os mesmos 7 Prof Luiz Fernando Ribas Monteiro Fundamentos sobre Filtros Digitais Classificação e Especificação de filtros Existem quatro classes básicas de filtros cuja denominação depende das frequências que rejeitam ou deixam passar passabaixa passaalta passabanda rejeitabanda 8 Prof Luiz Fernando Ribas Monteiro Fundamentos sobre Filtros Digitais Classificação e Especificação de filtros Filtro passabaixas 9 Prof Luiz Fernando Ribas Monteiro Fundamentos sobre Filtros Digitais Classificação e Especificação de filtros Filtro passaaltas 10 Prof Luiz Fernando Ribas Monteiro Fundamentos sobre Filtros Digitais Classificação e Especificação de filtros Filtro passabanda 11 Prof Luiz Fernando Ribas Monteiro Fundamentos sobre Filtros Digitais Classificação e Especificação de filtros Filtro rejeitabanda 12 Prof Luiz Fernando Ribas Monteiro Fundamentos sobre Filtros Digitais Resposta em frequência dos filtros típicos 13 Prof Luiz Fernando Ribas Monteiro Fundamentos sobre Filtros Digitais Problemas no projeto dos filtros 14 Prof Luiz Fernando Ribas Monteiro Fundamentos sobre Filtros Digitais Problemas no projeto dos filtros 15 Prof Luiz Fernando Ribas Monteiro Fundamentos sobre Filtros Digitais Filtros Analógicos Filtros passivos São os filtros construídos apenas com os elementos passivos dos circuitos ou seja resistores capacitores e indutores Filtros Analógicos Filtros ativos São os filtros que empregam na sua construção elementos passivos associados a algum elemento ativo amplificador como por exemplo transistores e amplificadores operacionais 16 Prof Luiz Fernando Ribas Monteiro Fundamentos sobre Filtros Digitais Filtros Analógicos Filtros passivos Filtro Passa Baixa Observe que a medida que a frequência vai aumentando a função de transferência assume valores menores 𝐻 0 Da mesma forma com a frequência em 0 temos 𝐻 0 1 17 Prof Luiz Fernando Ribas Monteiro Fundamentos sobre Filtros Digitais Filtros Analógicos Filtros passivos Filtro Passa Baixa A Frequência De Meia Potência Equivale A Frequência De Corte Dos Gráficos De Bode No Filtros Conhecidas Como Frequências De Corte 𝜔𝐶 É Obtida Ajustandose 𝐻 𝜔 Para 1 2 Um filtro passabaixas pode ser obtido também a partir de um circuito RL tomando a saída do resistor O gráfico de 𝐻𝜔 abaixo mostra a curva característica ideal e a real 18 Prof Luiz Fernando Ribas Monteiro Fundamentos sobre Filtros Digitais Filtros Analógicos Filtros passivos Filtro Passa Alta Um filtro passaaltas pode ser formado quando a saída de um circuito RC é obtida a partir do resistor conforme abaixo A função de transferência é dada por Observe que 𝐻 1 e 𝐻 0 0 O gráfico de 𝐻𝜔 abaixo mostra a curva característica ideal e a real 19 Prof Luiz Fernando Ribas Monteiro Fundamentos sobre Filtros Digitais Filtros Analógicos Filtros passivos Filtro Passa Faixa O circuito RLC em série ressonante fornece um filtro passafaixa quando a saída é extraída do resistor como mostra a figura A função de transferência é dada por Observe que 𝐻 0 E 𝐻 0 0 20 Prof Luiz Fernando Ribas Monteiro Fundamentos sobre Filtros Digitais Filtros Analógicos Filtros passivos Filtro Passa Faixa O gráfico de 𝐻𝜔 abaixo mostra a curva característica ideal e a real O filtro passafaixa deixa passar uma faixa de frequências 𝜔1e 𝜔2 centralizada em 𝜔0 a frequência central que é dada por Um filtro passafaixa é projetado para deixar passar todas as frequências dentro de uma faixa de frequências 𝜔1 𝜔 𝜔2 O filtro passafaixa anterior é um circuito ressonante em série as frequências de meia potência a largura de banda e o fator de qualidade são determinados conforme visto anteriormente 21 Prof Luiz Fernando Ribas Monteiro Fundamentos sobre Filtros Digitais Filtros Analógicos Filtros passivos Filtro Rejeita Faixa Em filtro que impede a passagem de uma faixa de frequências entre dois valores designados 𝜔1e 𝜔2 é conhecido por várias denominações como filtro cortafaixa rejeitafaixa ou filtro notch OBSERVE QUE 𝐻 1 E 𝐻 0 1 Um filtro rejeitafaixa é formado quando a saída do circuito RLC em série ressonante é obtida da associação LC em série 22 Prof Luiz Fernando Ribas Monteiro Fundamentos sobre Filtros Digitais Filtros Analógicos Filtros passivos Filtro Rejeita Faixa O gráfico de 𝐻𝜔 abaixo mostra a curva característica ideal e a real a frequência central que é dada por As frequências de meia potência a largura de banda e o fator de qualidade são calculados usandose as fórmulas da seção anterior 𝜔0 é denominada frequência de rejeição enquanto a largura de banda correspondente 𝐵 𝜔2 𝜔1 é conhecida como largura de banda de rejeição 23 Prof Luiz Fernando Ribas Monteiro Fundamentos sobre Filtros Digitais Filtros Analógicos Filtros passivos Síntese das características dos filtros ideais 24 Prof Luiz Fernando Ribas Monteiro Fundamentos sobre Filtros Digitais Filtros Analógicos Filtros ativos Filtro SallenKey 25 Prof Luiz Fernando Ribas Monteiro Fundamentos sobre Filtros Digitais Filtros Analógicos Filtros ativos Filtro SallenKey 26 Prof Luiz Fernando Ribas Monteiro Fundamentos sobre Filtros Digitais Filtros Analógicos Filtros ativos Filtro SallenKey 27 Prof Luiz Fernando Ribas Monteiro Fundamentos sobre Filtros Digitais Filtros Digitais 1 28 Prof Luiz Fernando Ribas Monteiro Fundamentos sobre Filtros Digitais Filtros Digitais 2 2 2 29 Prof Luiz Fernando Ribas Monteiro Fundamentos sobre Filtros Digitais Filtros Digitais Filtros de Resposta Finita ao Impulso FIR 3 3 30 Prof Luiz Fernando Ribas Monteiro Fundamentos sobre Filtros Digitais Filtros Digitais Filtros de Resposta Finita ao Impulso FIR Projetos de Filtro FIR Existem duas implementações eficientes adotáveis para filtros FIR 1 Implementação no domínio do tempo A implementação no domínio do tempo utiliza poucos coeficientes do filtro e efetua a filtragem através de uma convolução do sinal de entrada com estes coeficientes Esta implementação é bastante eficiente quando a ordem do filtro não é grande tipicamente abaixo de 32 31 Prof Luiz Fernando Ribas Monteiro Fundamentos sobre Filtros Digitais Filtros Digitais Filtros de Resposta Finita ao Impulso FIR Projetos de Filtro FIR 2 Implementação no domínio da frequência A implementação no domínio da frequência modela a curva de resposta em frequência desejada com o mesmo número de pontos do sinal de entrada Então é feita a FFT do sinal e o resultado é multiplicado no domínio da frequência pela curva desejada Após ser efetuada a FFT inversa do sinal resultante obtemos um sinal no domínio do tempo filtrado da melhor forma possível dentro daquele espaço amostral A desvantagem deste método é que se necessita efetuar duas FFTs uma direta e uma inversa além de que este método só pode ser utilizado em aplicações que não exijam processamento em tempo real e onde o número de amostras consideradas é fixo e limitada ao tamanho da maior matriz suportada pelos algoritmos utilizados 32 Prof Luiz Fernando Ribas Monteiro Fundamentos sobre Filtros Digitais Filtros Digitais Filtros de Resposta Finita ao Impulso FIR Projetos de Filtro FIR Exemplo Básico de um filtro digital prático Como pode ser observado na equação 3 para filtros FIR Pode ser criar um filtro passabaixas simples através da média de um determinado sinal discreto Suponha um exemplo de contagem de carros que passam por minuto em uma ponte Porém é necessário conhecer não o valor instantâneo do número de carros e sim a média dos últimos 5 minutos os valores podem ser visto na tabela 01 33 Prof Luiz Fernando Ribas Monteiro Fundamentos sobre Filtros Digitais Filtros Digitais Filtros de Resposta Finita ao Impulso FIR Projetos de Filtro FIR Exemplo Básico de um filtro digital prático Tabela 1 Nº de carros e a média que passam sobre a ponte 34 Prof Luiz Fernando Ribas Monteiro Fundamentos sobre Filtros Digitais Filtros Digitais Filtros de Resposta Finita ao Impulso FIR Projetos de Filtro FIR Exemplo Básico de um filtro digital prático Observe que a equação para cálculo de yn é dada por que é uma equação do tipo FIR como já pode ser verificado na equação 3 4 35 Prof Luiz Fernando Ribas Monteiro Fundamentos sobre Filtros Digitais Filtros Digitais Filtros de Resposta Finita ao Impulso FIR Projetos de Filtro FIR Exemplo Básico de um filtro digital prático A ação do filtro FIR como passabaixas pode ser melhor visualizado através do gráfico da figura que segue 36 Prof Luiz Fernando Ribas Monteiro Fundamentos sobre Filtros Digitais Filtros Digitais Filtros de Resposta Finita ao Impulso FIR Projetos de Filtro FIR Exemplo Básico de um filtro digital prático Agora análise o mesmo exemplo para 10 carros constante até 15 minutos e depois a ponte é fechada ou seja não passará nenhum carro O gráfico se assemelha a resposta de um pulso em um filtro passabaixas clássico 37 Prof Luiz Fernando Ribas Monteiro Fundamentos sobre Filtros Digitais Filtros Digitais Filtros de Resposta Finita ao Impulso FIR Projetos de Filtro FIR Exemplo Básico de um filtro digital prático Verifique o gráfico com a utilização do tempo de 8 minutos comparado ao de 5 minutos apresentado na figura que segue 38 Prof Luiz Fernando Ribas Monteiro Fundamentos sobre Filtros Digitais Filtros Digitais Filtros de Resposta Finita ao Impulso FIR Projetos de Filtro FIR Exemplo Básico de um filtro digital prático Observe o gráfico para a situação da ponte aberta em 10 minutos 39 Prof Luiz Fernando Ribas Monteiro Fundamentos sobre Filtros Digitais Filtros Digitais Filtros de Resposta Infinita ao Impulso IIR A resposta de um filtro de resposta infinita ao impulso é função dos sinais de entrada presentes e passados e dos sinais de saída passados A equação diferencial representa um filtro IIR porque é uma função dos elementos de excitação e resposta A dependência das saídas passadas recursividade faz com que a duração da resposta seja infinita mesmo quando cessaram os sinais de entrada Devido ao fato que nestes filtros os sinais de saída já calculados farão parte no cálculo dos sinais de saída ainda por calcular estes filtros também são chamados de filtros recursivos 40 Prof Luiz Fernando Ribas Monteiro Fundamentos sobre Filtros Digitais Filtros Digitais Filtros de Resposta Infinita ao Impulso IIR Projeto de Filtros IIR No caso dos filtros IIR o problema da aproximação para o projeto de filtros digitais não é conceitualmente diferente ao problema para projeto de filtros analógicos O problema do projeto de filtros digitais requer a determinação dos coeficientes da equação diferencial para preencher as características desejadas para o filtro como resposta em frequência Como já existem abordagens clássicas para o projeto de filtros analógicos foram desenvolvidas aproximações que mapeiam os polos e zeros analógicos do plano s para o plano z de forma a alcançar as características desejadas do filtro digital 41 Prof Luiz Fernando Ribas Monteiro Fundamentos sobre Filtros Digitais Filtros Digitais Filtros de Resposta Infinita ao Impulso IIR Projeto de Filtros IIR 42 Prof Luiz Fernando Ribas Monteiro Fundamentos sobre Filtros Digitais Filtros Digitais Filtros de Resposta Infinita ao Impulso IIR Projeto de Filtros IIR 43 Prof Luiz Fernando Ribas Monteiro Fundamentos sobre Filtros Digitais Filtros Digitais Filtros de Resposta Infinita ao Impulso IIR Projeto de Filtros IIR Neste curso será utilizada a técnica de Transformação Bilinear devido ao fato de que esta técnica é a mais utilizada em aplicações onde se deseja preservar a magnitude da resposta em frequência do filtro analógico ainda que com a inclusão de distorção de fase Ela é baseada na seguinte equação 𝒔 𝟐 𝑻 𝟏 𝒛𝟏 𝟏 𝒛𝟏 𝒔 𝟐 𝑻 𝒛 𝟏 𝒛 𝟏 44 Prof Luiz Fernando Ribas Monteiro Fundamentos sobre Filtros Digitais Filtros Digitais Filtros de Resposta Infinita ao Impulso IIR Projeto de Filtros IIR Exemplo 01 Transforme a função de transferência analógica Em sua equivalente transformada z utilizando a transformação bilinear Suponha T1 Simplificando 𝐻𝑎𝑧 2 2𝑧1 1 𝑧1 1 𝑧1 4 1 2𝑧1 𝑧2 1 𝑧1 2 10 1 𝑧1 1 𝑧1 6 3 𝑧1 1 𝑧1 4 8𝑧1 4𝑧2 10 10𝑧2 6 12𝑧1 6𝑧2 1 𝑧1 2 45 Prof Luiz Fernando Ribas Monteiro Filtros Digitais Filtros de Resposta Infinita ao Impulso IIR Projeto de Filtros IIR Solução Por fim Obs O coeficiente que acompanha o termo de maior ordem no denominador deve ser igual a um neste exemplo o denominador e numerador foram divididos por 20 𝐻𝑎𝑧 3 𝑧1 1 𝑧1 𝟒 8𝑧1 4𝑧2 𝟏𝟎 10𝑧2 𝟔 12𝑧1 6𝑧2 1 𝑧1 2 3 𝑧1 20 4𝑧1 0𝑧2 1 𝑧1 𝐻𝑎𝑧 3 3𝑧1 𝑧1 𝑧2 20 4𝑧1 3 2𝑧1 𝑧2 𝟐𝟎 4𝑧1 𝟐𝟎 𝟐𝟎 𝑯𝒂𝒛 𝟎 𝟏𝟓 𝟎 𝟏𝒛𝟏 𝟎 𝟎𝟓𝒛𝟐 𝟏 𝟎 𝟐𝒛𝟏 Exemplo 01 Fundamentos sobre Filtros Digitais 46 Prof Luiz Fernando Ribas Monteiro Este exemplo foi resolvido com a equação Utilizando a outra equação da transformação bilinear O resultado será Obs¹ O coeficiente que acompanha o termo de maior ordem no denominador deve ser igual a um neste exemplo denominador e numerador foram divididos por 20 Obs² As duas soluções são equivalentes basta multiplicar o numeradordenominador da primeira solução por z² 𝑯 𝒛 𝟎 𝟏𝟓𝒛𝟐 𝟎 𝟏𝒛 𝟎 𝟎𝟓 𝒛𝟐 𝟎 𝟐𝒛 𝒔 𝟐 𝑻 𝟏 𝒛𝟏 𝟏 𝒛𝟏 𝒔 𝟐 𝑻 𝒛 𝟏 𝒛 𝟏 Exemplo 01 Fundamentos sobre Filtros Digitais Filtros Digitais Filtros de Resposta Infinita ao Impulso IIR Projeto de Filtros IIR 47 Prof Luiz Fernando Ribas Monteiro No matlab existe um comando para cálculo dos coeficientes da transformação bilinear babilinearcdfs onde c coeficiente do numerador da função Ha d coeficiente do denominador da função Ha b coeficiente do numerador da função Hz a coeficiente do denominador da função Hz fs 1T Exemplo 01 Fundamentos sobre Filtros Digitais Filtros Digitais Filtros de Resposta Infinita ao Impulso IIR Projeto de Filtros IIR 48 Prof Luiz Fernando Ribas Monteiro A seguir é apresentada a função bilinear no Matlab utilizando o exemplo resolvido anteriormente clear all close all clc exemplo c 1 1 d 1 5 6 T1 fs1T babilinearcdfs Ao executar o algoritmo obtémse como resposta os mesmos coeficientes que foram calculados 𝑯𝒂𝒛 𝟎 𝟏𝟓 𝟎 𝟏𝒛𝟏 𝟎 𝟎𝟓𝒛𝟐 𝟏 𝟎 𝟐𝒛𝟏 𝑯 𝒛 𝟎 𝟏𝟓𝒛𝟐 𝟎 𝟏𝒛 𝟎 𝟎𝟓 𝒛𝟐 𝟎 𝟐𝒛 Exemplo 01 Fundamentos sobre Filtros Digitais Filtros Digitais Filtros de Resposta Infinita ao Impulso IIR Projeto de Filtros IIR 49 Prof Luiz Fernando Ribas Monteiro Seja o filtro analógico com diagrama de bode dado por Exemplo 02 Fundamentos sobre Filtros Digitais Filtros Digitais Filtros de Resposta Infinita ao Impulso IIR Projeto de Filtros IIR 50 Prof Luiz Fernando Ribas Monteiro Utilizando o comando bilinear com tempo de amostragem de Ts001s obtémse Exemplo 02 Fundamentos sobre Filtros Digitais Filtros Digitais Filtros de Resposta Infinita ao Impulso IIR Projeto de Filtros IIR 51 Prof Luiz Fernando Ribas Monteiro Simulando ambos os filtros no SIMULINK de acordo com o diagrama de blocos que segue Exemplo 02 Fundamentos sobre Filtros Digitais Filtros Digitais Filtros de Resposta Infinita ao Impulso IIR Projeto de Filtros IIR 52 Prof Luiz Fernando Ribas Monteiro Colocando um sinal senoidal de w 01rads ambas as saídas ficam Exemplo 02 Fundamentos sobre Filtros Digitais Filtros Digitais Filtros de Resposta Infinita ao Impulso IIR Projeto de Filtros IIR 53 Prof Luiz Fernando Ribas Monteiro Para w 1rads ambas as saídas ficam Exemplo 02 Fundamentos sobre Filtros Digitais Filtros Digitais Filtros de Resposta Infinita ao Impulso IIR Projeto de Filtros IIR 54 Prof Luiz Fernando Ribas Monteiro Para w 10rads ambas as saídas ficam Exemplo 02 Como pode ser observado o método bilinear apresenta uma resposta do filtro muito semelhante ao sistema analógico Fundamentos sobre Filtros Digitais Filtros Digitais Filtros de Resposta Infinita ao Impulso IIR Projeto de Filtros IIR 55 Prof Luiz Fernando Ribas Monteiro Projeto de filtros digitais utilizando o Matlab Para o cálculo projeto e análise de filtros digitais do tipos FIR e IIR existem algumas programas que facilitam estas ações dentre elas o MATLAB é uma delas Nesta seção serão explorados algumas dessas ferramentas do MATLAB O MATLAB possui um ferramenta que ajuda o usuário no projeto de filtros digitais chamado de FDATOOL Filter Design and Analisys Tools Ferramenta de Projeto e Análise de filtros Fundamentos sobre Filtros Digitais 56 Prof Luiz Fernando Ribas Monteiro Projeto de filtros digitais utilizando o Matlab A seguir será apresentado um procedimento para o cálculo do filtro IIR no FDATOOL 1 Digite o comando fdatool no MATLAB e será aberta a seguinte tela Fundamentos sobre Filtros Digitais Projeto de filtros IIR utilizando o FDATOOL 57 Prof Luiz Fernando Ribas Monteiro Projeto de filtros digitais utilizando o Matlab 2 Selecione o tipo de resposta do filtro Como exemplo passabaixas 3 Selecione o projeto do filtro como IIR 4 Especifique a ordem do filtro Como exemplo 3ª ordem 5 Escolha Fs48000Hz e Fc10kHz Ao final a tela do FDATOOL ficará da seguinte forma Fundamentos sobre Filtros Digitais Projeto de filtros IIR utilizando o FDATOOL 58 Prof Luiz Fernando Ribas Monteiro Projeto de filtros digitais utilizando o Matlab 6 Pressione o botão Design Filter e será apresentado a seguinte resposta do filtro Fundamentos sobre Filtros Digitais Projeto de filtros IIR utilizando o FDATOOL 59 Prof Luiz Fernando Ribas Monteiro Projeto de filtros digitais utilizando o Matlab 7 Para verificar os coeficientes do filtro na forma encontrada pelo método bilinear o filtro deverá ser colocado numa estrutura simples Logo selecione está opção conforme apresentado na figura que segue Fundamentos sobre Filtros Digitais Projeto de filtros IIR utilizando o FDATOOL 60 Prof Luiz Fernando Ribas Monteiro Projeto de filtros digitais utilizando o Matlab 8 Para verificar os coeficientes selecione a opção conforme a figura que segue Fundamentos sobre Filtros Digitais Projeto de filtros IIR utilizando o FDATOOL 61 Prof Luiz Fernando Ribas Monteiro Projeto de filtros digitais utilizando o Matlab 9 E os valores encontrados são apresentados na figura que segue Fundamentos sobre Filtros Digitais Projeto de filtros IIR utilizando o FDATOOL 62 Prof Luiz Fernando Ribas Monteiro Projeto de filtros digitais utilizando o Matlab 10 Após executado o procedimento é possível simular o SIMULINK o filtro projetado conforme apresentado na figura que segue Taxa de amostragem utilizada neste exemplo é 190000 s Fundamentos sobre Filtros Digitais Projeto de filtros IIR utilizando o FDATOOL 63 Prof Luiz Fernando Ribas Monteiro Projeto de filtros digitais utilizando o Matlab Para uma frequência de 1kHz é gerado o seguinte gráfico Fundamentos sobre Filtros Digitais Projeto de filtros IIR utilizando o FDATOOL Para uma frequência de 10kHz é gerado o seguinte gráfico 64 Prof Luiz Fernando Ribas Monteiro Projeto de filtros digitais utilizando o Matlab O projeto do filtro digital FIR no MATLAB é muito semelhante ao realizado pelo filtro IIR No caso deverá ser alterado principalmente a opção Design Filter Segue um exemplo da configuração do FDATOOL para um filtro FIR passabaixas com taxa de amostragem de 001s e frequência de corte de 1Hz Fundamentos sobre Filtros Digitais Projeto de filtros FIR utilizando o FDATOOL 65 Prof Luiz Fernando Ribas Monteiro Projeto de filtros digitais utilizando o Matlab No FDATOOL é possível transferir os coeficientes dos filtros diretamente para o SIMULINK ele deverá estar aberto para análise da resposta do filtro através da opção apresentada na figura que segue Fundamentos sobre Filtros Digitais Projeto de filtros FIR utilizando o FDATOOL 66 Prof Luiz Fernando Ribas Monteiro Projeto de filtros digitais utilizando o Matlab No SIMULINK ele aparecerá como um bloco chamado DIGITAL FILTER como pode ser observado na figura seguinte Fundamentos sobre Filtros Digitais Projeto de filtros FIR utilizando o FDATOOL 67 Prof Luiz Fernando Ribas Monteiro Projeto de filtros digitais utilizando o Matlab Clicando no DIGITAL FILTER é possível verificar os coeficientes calculados no FDATOOL Fundamentos sobre Filtros Digitais Projeto de filtros FIR utilizando o FDATOOL 68 Prof Luiz Fernando Ribas Monteiro Projeto de filtros digitais utilizando o Matlab Executando a simulação para as algumas frequências a resposta da saída ficou da seguinte forma 1 f 01Hz Fundamentos sobre Filtros Digitais Projeto de filtros FIR utilizando o FDATOOL 69 Prof Luiz Fernando Ribas Monteiro Projeto de filtros digitais utilizando o Matlab 2 f 1Hz Fundamentos sobre Filtros Digitais Projeto de filtros FIR utilizando o FDATOOL 70 Prof Luiz Fernando Ribas Monteiro Projeto de filtros digitais utilizando o Matlab 3 f 10 Hz Fundamentos sobre Filtros Digitais Projeto de filtros FIR utilizando o FDATOOL