Questões sobre Variáveis Aleatórias e Distribuições

Uma variável aleatória X é uniformemente distribuída no intervalo 1 5 A média e a variância correspondentes são respectivamente 2 e 23 3 e 34 1 e 13 3 e 43 Resposta correta 3 e 43 A variável aleatória contínua X tem a seguinte função de densidade de probabilidade fx k x 1 x 3 0 para todas os outros valores de x Sendo k uma constante seu valor é igual a 112 23 34 524 Resposta correta 524 O tempo necessário para um medicamento contra dor fazer efeito segue um modelo com densidade uniforme no intervalo de 5 a 15 em minutos Um paciente é selecionado ao acaso entre os que tomaram o remédio A probabilidade do medicamento fazer efeito em até 10 minutos neste paciente 04 03 08 07 Resposta correta 05 Seja N o número de clientes que entram em uma loja em um dado dia Suponha que sabemos EN λ e VarN λ Seja X a quantidade de clientes que estão numa fila para serem atendidos na loja Assumindo que as filas são independentes entre si e têm tamanhos independentes em N Também assumimos que EX EN EY onde Y é a totalização da fila no dia dado para N Encontre os valores de EY e VarY 25 1 15 43 Resposta correta 25 7 Se T é o tempo necessário para conduzir uma tarefa Para extrema a média e a variância de T observamos uma amostra aleatória T1 T2 Tn de tamanho n Assim estimaremos o desconhecido da distribuição de T de maneira distributiva Os dois primeiros valores da amostra estão dados 1 0 e 1 4 para 0 n 4 a partir de 1 e 00 Você descobre os extremos da média amostral e a variância amostral e o desvio padrão para essa amostra e indica que a estimativa é enorme ou valores corretos A média amostral é 1 33 87 1 81 2 71 A variância amostral é 1 51 85 3 94 A média é 1 43 37 1 50 8 2 06 Todos os extremos amostrais são menores Explicável A resposta correta é T 1 33 87 1 51 85 3 94 Seja fxy ex fy para x 0 e y 0 a zero no conjunto complementar Encontre as valores para as funções de densidade kx ex fy kx ex fy kx ex fy 1 1 Resposta correta kx ex fy 8 Seja X1 Xn independentes e identicamente distribuídas com uma função de densidade de probabilidade de seguinte forma fx 0 X 0 e 0 x 2 A soma dos momentos de ordem n deu por isso ½ a resposta correta é Y XD A resposta correta é T 1 n c P2 9 Deixe X1 Xn independentes e identicamente distribuídas com distribuição normal Nμ σ² onde μ é conhecido com função de densidade de probabilidade e variância do estimador não viés de dados por 1 Chen M 0 caso por a Seja N o número de clientes que entram em uma loja em um dado dia Suponha que sabemos EN e VarN seja X1 a quantidade de dinheiro que o cliente número i gasta em média na loja Assumimos que as variáveis Xi são independentes entre si e também independentes de N Também assumimos que EoverlineX EXiVarX VarX a receita total do dia no dia dado por sumi1NXi Encontre os valores de EY e VarY e assinale o alternativo com as expressões corretas Seja fXYxy xey para x in 0infty e y in 0infty e zero no conjunto complementar Encontre os valores para as funções de densidade marginais fXx e fYy Sejam X e Y duas variáveis aleatórias discretas independentes com as mesmas funções de distribuição acumulada FX e FY Defina Z maxXY W minXY Encontre as expressões para FZW em função de FX e FY Duas variáveis aleatórias X e Y são conjuntamente atribuídas de acordo com a função de densidade Considere duas variáveis aleatórias X e Y com função de probabilidade conjunta dada pela tabela abaixo A variância de uma variável aleatória unidimensional é dada por VarZ EZ² EZ² Encontre VarEXY e assinale a opção correta Sejam X₁ Xn uma amostra aleatória de uma distribuição Nµσ² que Xn 1n ᵢ1ⁿ Xi e S² 1n1 ᵢ1ⁿ Xi Xn² Assinale o alternativo incorreta Y1 Yn Bernoullip 05 FXμ PX EX δ 0 α VarX θ² Pela Lei Fraca dos Grandes Números lim n PXn p ε 1 Seja T o tempo necessário para concluir uma tarefa Para estimar a média e a variância de T observamos uma amostra aleatória T1 T2 T3 T4 Assim se T1 T2 T3 T4 são independentes e identicamente distribuídos e têm uma média distribuída de T Os dois primeiros valores são iguais a 10 9 e 5 o terceiro é 18 e o quarto é 50 Encontre os valores para a média amostral a variância amostral e o desviopadrão amostral para essa amostra observada e assinale a alternativa com os valores corretos A T 1376 S² 811 S 271 B T 2144 S² 707 S 266 C T 1432 S² 501 S 236 D T 1325 S² 1558 S 394 E Todas as alternativas estão incorretas Resposta incorreta Resposta correta D Seja X1 Xn independentes e identicamente distribuídos com distribuição normal Nμσ² onde μ é desconhecido com função de densidade de probabilidade e variância ao estimador não viciado σ² Assinale a alternativa incorreta A O coeficiente de informação de Fisher Iσ² é dado por B Inσ² Eln fαμσ² 12 ln2πσ² σ²2 C Iα² Eθσ²μσ² Elnσfαμσ²² D O limite inferior de CramérRao é dado por E Varασ² 1Iσ² Resposta correta A Sejam X1 Xn independentes e identicamente distribuídos por uma distribuição exponencial com densidade fx λeλx onde x 0 e λ 0 Encontro o EQM para cada um dos estimadores abaixo Assinale a alternativa correta A EQMθ1 EQMθ2 n 1θ² B EQMθ1 Varθ1 EQMθ2 Varθ2 C EQMθ1 EQMθ1 EQMθ2 Varθ2 D EQMθ1 Varθ1 E Varθ1 Eθ1 Resposta correta A Assinale a alternativa incorreta Estimadores viesados podem ser mais eficientes ie ter menor variância que estimadores não viesados Quatro melhor a nossa amostra menor será o limite inferior de CramerRao O limite inferior de CramerRao para variáveis aleatórias são mesmo que a amostra não seja independente e identicamente distribuída A informação de Fisher nos dá a quantidade de informação a respeito de um parâmetro que é possível extrair de uma amostra Se VarŜ² menor que Varŷ² então θ² é mais eficiente que θ1 ou seja está mais próximo do seu limite inferior de CramerRao Sejam X₁ Xₙ independentes e identicamente distribuídos com uma função de densidade da probabilidade da seguinte forma fxα a α²2x² onde α 0 e α 0 Encontre o estimador de momentos da α dado por âₘₒ Sejam X₁ Xₙ independentes e identicamente distribuídos com uma função de densidade da probabilidade da seguinte forma fxθ 12θx² onde α θ Encontre o estimador de máxima verossimilhança de θ dado por θₘₐₓ Dica Para obter este estimador obtenha o primeiro momento populacional ao primeiro momento amostral Verifique quais afirmações são verdadeiras e assinale o alternativo correta I Se um intervalo de confiança de 95 para a média amostral calculado a partir de uma amostra aleatória excluir o valor 0 podese rejeitar a hipótese nula de que a média populacional seja igual a 0 ao nível de significância de 5 II Erro Tipo I é definido como o probabilidade de rejeitar a hipótese nula quando ela é verdadeira A Apenas o alternativo I é correta B Apenas as alternativas I e II são corretas C Apenas as alternativas I e III são corretas D Apenas as alternativas I e II são corretas Se quisermos fazer um teste de hipóteses para H0 μ μ0 e H1 μ μ0 onde a distribuição de nossa amostra não é conhecida utilizamos a estatística A e a região de aceitação B em nosso teste Sabendo que nossa amostra é grande assinale a alternativa que corresponde ao par correto para A e B A W 𝑋 𝜇0𝑠𝑛 W 𝑧𝛼 B W 𝑋 𝜇0𝑠𝑛 W 𝑡𝑛1 C W 𝑋 𝜇0𝑠𝑛 W 𝑡𝛼1 D W 𝑋 𝜇0𝑠𝑛 W 𝑧𝛼 E W 𝑋 𝜇0𝑠𝑛 W 𝑧𝛼 Se quisermos fazer um teste de hipóteses para H1 μ μ0 e H1 μ μ0 onde a distribuição de nossa amostra é uma normal Nμ0σ2 com variância desconhecida utilizamos a estatística A e a região de aceitação B em nosso teste Sabendo que nossa amostra é pequena assinale a alternativa que corresponde ao par correto para A e B A W 𝑋 𝜇0𝑠𝑛 W 𝑧𝛼 B W 𝑋 𝜇0𝑠𝑛 W 𝑧𝛼 C W 𝑋 𝜇0𝑠𝑛 W 𝑡𝛼 D W 𝑋 𝜇0𝑠𝑛 W 𝑡𝛼1 E W 𝑋 𝜇0𝑠𝑛 W 𝑧𝛼 Verifique qual afirmações são verdadeiras e assinale a alternativa correta I Em um teste do Hipóteses cometese um Erro Tipo I quando se rejeita uma hipótese nula verdadeira II O poder de um teste de hipóteses é medido pela probabilidade de se cometer o Erro Tipo 2 III A soma das probabilidades dos Erros Tipo 1 e Erro Tipo 2 é igual a 1 IV Quanto maior for o nível de significância de um teste de hipóteses maior será o poder do teste A Apenas a alternativa I é correta B Apenas as alternativas I e II são corretas C Apenas as alternativas I II e III são corretas D Apenas as alternativas II e IV são corretas E Apenas as alternativas I e IV são corretas Uma amostra aleatória X₁ X₁₈ é obtida de uma distribuição com média desconhecida μ EX e variância desconhecida dada por VarX σ² Para a amostra observada temos X 167 e a variância amostral S² 75 Encontre um intervalo de confiança de 95 para μ Saiba também que α 196 tₙ₁ 213 e X 196Sn 2749 e X 196Sn 2660 Anote somente a parte inteira antes do vírgula dos valores mínimos e máximos do intervalo de confiança por exemplo se o intervalo for 157 371 marque 15 37 Assinale a alternativa correta Uma variável aleatória K é uniformemente distribuída no intervalo 1 5 A média e a variância correspondentes são respectivamente a 2 e 23 b 3 e 13 c 3 e 34 d 4 e 23 Resposta correta 3 e 43 Seja X₁ X₂ X₂₅ uma sequência de 25 variáveis aleatórias independentes e de distribuição normal com Média igual a 40 e desvio padrão igual a 20 A variável aleatória Y é definida como Y X₁ X₂ X₂₅ Assinale a opção que corresponde à aproximação do Teorema Central do Limite para a probabilidade de que Y seja maior que 1100 a 8413 b 4267 c 1228 d 5793 e 1587 A variável aleatória contínua X tem a seguinte função de densidade de probabilidade fx x k12 0 x 3 0 para todos os outros valores de x Sendo k uma constante seu valor é igual a Duas variáveis aleatórias X e Y são conjuntamente distribuídas de acordo com a função de densidade fxy 24xy seja x 01 e y 1x caso contrário Calcule PX 12 X Y 1 e multiplique o resultado por 100 e descreça os decimais Sobre a desigualdade de Chebyshev assinale a alternativa correta PX EX δ a δ²VarX PX EX δ a δVarX PX EX δ 0 e δ VarX 23 A resposta correta é fracnn1