Variáveis Aleatórias Unidimensionais: Conceitos e Propriedades

DESCRIÇÃO Apresentação de variáveis aleatórias unidimensionais Função de probabilidade função densidade distribuição acumulada Propriedades de variáveis aleatórias Momentos estatísticos e suas propriedades PROPÓSITO Compreender conceitos fundamentais de variáveis aleatórias unidimensionais para a aplicação de suas propriedades em diversos problemas PREPARAÇÃO Antes de iniciar este conteúdo certifiquese de ter papel e lápis por perto para acompanhar os exemplos e demonstrações OBJETIVOS MÓDULO 1 Definir variável aleatória e suas propriedades MÓDULO 2 Identificar os principais momentos estatísticos INTRODUÇÃO Quando descrevemos o espaço amostral de um determinado experimento frequentemente um resultado individual é não numérico Por exemplo quando lançamos uma moeda para o alto o resultado pode ser cara ou coroa Quando acompanhamos dados sobre o clima podemos simplesmente registrar se choveu ou não Em situações experimentais frequentemente estamos interessados em medir alguma coisa e registrála como um número Às vezes esse registro quantitativo é intuitivo em outras precisamos pensar um pouco em como fazêlo Nos exemplos citados podemos registrar o índice pluviométrico em uma determinada região ou atribuir o número 1 se o resultado for cara e 0 se for coroa Ou seja podemos atribuir números a cada um dos resultados possíveis Veremos como fazer isso por meio de um conceito fundamental em probabilidade e estatística variável aleatória A partir da definição de variável aleatória vamos estudar as funções de probabilidade densidade e distribuição acumulada seus cálculos e utilidades No módulo seguinte vamos definir momentos de uma forma genérica e priorizar o estudo daqueles que são mais utilizados no dia a dia Usaremos ao longo do tema conceitos de probabilidade e cálculo básicos MÓDULO 1 Definir Variável Aleatória e suas propriedades INTRODUÇÃO A VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DEFINIÇÃO Variável aleatória va é uma representação numérica dos resultados possíveis de um experimento aleatório De maneira formal uma variável aleatória é uma função real definida da seguinte maneira Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Em que ω é um ponto que pertence a S o espaço amostral desse experimento A variável aleatória X associa a cada ponto ω em S um número real x Xω Assim dado um experimento aleatório com o espaço amostral S podemos pensar na variável aleatória como uma regra que associa a cada elemento de S um número real As variáveis aleatórias são fundamentais para as aplicações de probabilidade uma vez que representam características de interesse em uma população S R ω Xω VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS E CONTÍNUAS Existem dois tipos de variáveis aleatórias as discretas e as contínuas Uma função X definida no espaço amostral e com valores em um conjunto enumerável de pontos da reta é intitulada variável aleatória discreta CONJUNTO ENUMERÁVEL DE PONTOS Lembrando um conjunto enumerável também chamado contável é um conjunto finito ou infinito que admite uma bijeção para o conjunto dos números naturais Ou seja podemos associar a cada elemento do conjunto enumerável um número natural por isso dizemos que podemos enumerar seus elementos EXEMPLO O número de caras observadas após cinco lançamentos de uma moeda o número de crianças em uma região e o número de vezes que uma ação subiu de preço em um dia podem ser consideradas variáveis aleatórias discretas Por outro lado uma função X definida sobre o espaço amostral e assumindo valores em um intervalo de números reais é uma variável aleatória contínua EXEMPLO A temperatura média durante o dia e o preço de uma ação são exemplos de variáveis aleatórias contínuas FUNÇÃO DE PROBABILIDADE A função de probabilidade é uma função PXx que associa a cada valor possível x de uma variável aleatória discreta X a sua probabilidade De maneira formal chamamos de função de probabilidade da va discreta X que assume valores x1x2xn a função xipxii12 que a cada valor de Xi associa a sua probabilidade de ocorrência isto é PXIPXXIPI I12 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Por exemplo podemos pensar em uma variável aleatória que assume os valores 0 com probabilidade 04 e 1 com probabilidade 06 Toda distribuição discreta possui as seguintes propriedades PROPRIEDADE 1 Essa propriedade nos diz que uma probabilidade não pode ser negativa PROPRIEDADE 2 Essa propriedade nos diz que as probabilidades devem somar um ou seja a probabilidade de que o resultado esteja no espaço amostral é igual a um Se alguma dessas hipóteses não for atendida a função de probabilidade não estará bem definida PX x 0 x x PX x 1 FUNÇÃO DENSIDADE Uma função de densidade fx permite calcular a probabilidade de que uma va contínua pertença a um intervalo Podemos interpretar PaXb como a área sob o gráfico de fx que corresponde ao intervalo ab Uma função de densidade de probabilidade chamada frequentemente de função densidade ou simplesmente de densidade tem as seguintes propriedades PROPRIEDADE 1 Essa propriedade é análoga ao que já vimos uma probabilidade não pode ser negativa PROPRIEDADE 2 A área total sob o gráfico da função de densidade ou seja sua integral é igual a 1 Para interpretar essa propriedade no caso contínuo precisamos ser um pouco mais cuidadosos Vamos reforçar que usamos a densidade para calcular a probabilidade de intervalos mas não de pontos FUNÇÃO DE DENSIDADE A função de densidade é o equivalente à função de probabilidade para os casos contínuos Observe inicialmente que qualquer ponto particular no intervalo ab deve ter probabilidade igual a zero Afinal temos um número de pontos infinito e não enumerável Qual é a probabilidade de a temperatura média em um determinado dia ser exatamente igual a 25 graus Dizemos que é igual a zero ela pode ser 251 ou 2501 ou 25001 e assim por diante e qualquer valor específico recebe probabilidade ou massa de probabilidade igual a zero fx 0 x fxdx 1 Para variáveis aleatórias contínuas só faz sentido calcular a probabilidade de uma região por exemplo qual é a probabilidade de que a temperatura média fique entre 25 e 26 graus Não podemos portanto somar probabilidades como fizemos no caso discreto mas ainda assim podemos dizer que a massa de probabilidade total deve ser igual a um FUNÇÃO DE DISTRIBUIÇÃO ACUMULADA A função de distribuição acumulada descreve como probabilidades são associadas aos valores ou aos intervalos de valores de uma variável aleatória Ela representa a probabilidade de uma variável aleatória ser menor ou igual a um determinado valor real A função de distribuição acumulada Fx associa a cada valor a probabilidade de que X seja menor ou igual a x Ou seja A função de distribuição acumulada possui as seguintes propriedades 1 2 3 NO CASO DISCRETO FX É CONTÍNUA À DIREITA JÁ NO CASO CONTÍNUO FX É CONTÍNUA 4 NO CASO CONTÍNUO PODEMOS OBTER A FUNÇÃO DE DENSIDADE FX AO DERIVARMOS FX x R PX x lim x Fx 0 lim x Fx 1 EM RELAÇÃO A X SE ESSA DERIVADA EXISTIR Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Vamos interpretar cada uma dessas linhas A primeira propriedade nos diz que a função de distribuição assume um valor próximo a zero quando x é muito pequeno Isso é intuitivo qual é a probabilidade de que a variável aleatória tenha um valor menor que x se x já é muito pequeno Essa probabilidade deve ser baixa no limite quando x tende a menos infinito deve ser igual a zero Analogamente é provável que a variável aleatória assuma um valor menor que x se x é grande no limite quando x tende a infinito essa probabilidade é igual a 1 O que significa dizer que a variável aleatória discreta é contínua à direita Vamos avaliar o que acontece quando aumentamos o valor de x Há duas possibilidades ou passamos apenas por valores para os quais a função de probabilidade assume valor zero e portanto a função de distribuição se mantém constante ou chegamos a um primeiro valor em que a função de probabilidade assume um valor estritamente positivo e portanto a função de distribuição aumenta subitamente dá um salto e depois se mantém novamente constante até chegarmos a outro ponto em que a função de probabilidade assume um valor maior que zero Nos pontos em que a função dá um salto ela é descontínua mas como depois do salto ela fica constante ela é contínua à direita porque uma função constante é contínua COMENTÁRIO No caso contínuo não precisamos nos preocupar com saltos exatamente porque a massa de probabilidade em um ponto específico qualquer é sempre igual a zero dessa forma a função de distribuição aumenta aos poucos e é contínua E se a função de distribuição for não apenas contínua mas também diferenciável nem sempre é o caso podemos dizer exatamente qual é a sua inclinação ou seja sua derivada é exatamente a função densidade em cada ponto Ou seja a densidade mede o quanto a função de distribuição muda a cada ponto É análogo ao caso discreto quando temos alguns pontos em que a função de distribuição salta o tamanho desse salto é exatamente o valor da função de probabilidade No caso contínuo não temos grandes saltos pontuais mas uma mudança contínua ao longo do domínio Observe que isso é uma forma de usar o Teorema Fundamental fx dF x dx do Cálculo estamos relacionando a derivada a função de densidade com a integral a função de distribuição EXEMPLO Para ilustrar vamos usar novamente nosso exemplo discreto uma variável aleatória que pode assumir os valores 0 com probabilidade 04 e 1 com probabilidade 06 Como é a função de distribuição acumulada É simples vale 0 no intervalo 0 vale 04 no intervalo 01 e vale 1 no intervalo 1 Por último observe que uma função de distribuição acumulada é sempre não decrescente como nesse exemplo ou ela se mantém constante ou seu valor aumenta DISTRIBUIÇÃO DA FUNÇÃO DE UMA VARIÁVEL ALEATÓRIA Podemos definir o conceito de eventos equivalentes como dois eventos que sempre ocorrem juntos SEJAM A E B EVENTOS EQUIVALENTES Quando A ocorre B ocorre assim como quando B ocorre A ocorre Assim dois eventos são considerados equivalentes se e somente se ocorrerem conjuntamente Seja X uma variável aleatória discreta definida no espaço amostral S e yHX uma função X Então YHX é também uma variável aleatória Sejam Rx e Ry os contradomínios de X e Y respectivamente Para qualquer evento A Ry temos que PA PX RX HX A Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Pela definição de evento equivalente podemos dizer que a probabilidade de um evento A associado ao contradomínio de Y é definida como a probabilidade do evento equivalente em termos de X ou seja x Rx tal que Hx A Assim essa definição que acabamos de ver nos permite calcular a probabilidade de eventos associados a Y caso conheçamos a probabilidade de X e se pudermos determinar o evento equivalente em questão Seja X uma variável aleatória discreta e Y HX Então Y é uma função da variável aleatória discreta X e portanto segue uma distribuição discreta Podemos enumerar os possíveis valores assumidos por X como x1 x2 x3 xn e por Y como y1 y2 y3 yn Sendo x1 x2 x3 xn os valores possíveis de X temos que pxiPX xi Seja H uma função tal que cada valor de y corresponde exatamente a um valor de x Obtemos a distribuição de probabilidade de Y da seguinte maneira VALORES POSSÍVEIS DE Y yi Hxi i 123n PROBABILIDADES DE Y qyiPYyipxi Contudo na maioria dos casos a função H não possui a característica acima e vários valores de X podem levar ao mesmo valor de Y Podemos estabelecer um procedimento geral para casos como esse Sejam xi1xi2xi3xin os valores assumidos por X e que tenham a propriedade Hxij yij 1n Então QYI PY YI PXI1PXI2 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Ou seja para obtermos a probabilidade do evento Yyi encontramos os eventos equivalentes em termos de X e somamos todas as probabilidades correspondentes Além disso se X é uma variável contínua Y pode ser tanto discreta quanto contínua Vamos ver os casos em que Y é DISCRETA Esse exemplo é particularmente importante podemos ter informação sobre a temperatura média uma variável aleatória contínua mas só estamos interessados em saber o número de vezes que essa média ficou acima de 35 graus a contagem de dias é uma variável aleatória discreta Se a função de densidade de probabilidade de X for conhecida e se Yyi for equivalente a um determinado evento A no contradomínio de X temos que CONTÍNUA Se H for contínua YHX também será uma variável aleatória contínua Para obtermos a função de densidade de probabilidade de Y que denotaremos por g devemos obter G que é a função de distribuição acumulada de Y Para obtermos GyPYy devemos encontrar o evento A no contradomínio de X que é equivalente ao evento Yy Depois de obtermos Gy podemos derivar com respeito a y e teremos gy Por fim devemos determinar os valores de y no contradomínio de Y para os quais gy0 qyi PY yi A fxdx EXEMPLO FUNÇÃO DE UMA VARIÁVEL ALEATÓRIA MÃO NA MASSA 1 MARIANA APÓS ESTUDAR CONCEITOS BÁSICOS DE PROBABILIDADE DECIDIU REALIZAR O SEGUINTE EXPERIMENTO LANÇAR TRÊS MOEDAS E OBSERVAR O NÚMERO DE CARAS SEJA X O NÚMERO DE CARAS OBSERVADAS QUAL É A PROBABILIDADE DE MARIANA OBTER 3 CARAS A 14 B 12 C 38 D 58 E 18 2 SEJA X UMA VARIÁVEL ALEATÓRIA CONTÍNUA COM A SEGUINTE DISTRIBUIÇÃO FX CX2 0 X 2 ASSINALE A ALTERNATIVA QUE APRESENTA O VALOR CORRETO DA CONSTANTE C A 14 B 38 C 78 D 58 E 12 3 CONSIDERE A DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE FX 2X 0 X 1 ENCONTRE FX E ASSINALE A ALTERNATIVA INCORRETA A Fx 1 para x 1 B Fx 0 para x 1 C Fx 0 para x 0 D Fx x2 para 0 x 1 E Fx PX x para 0 x 1 4 CONSIDERE AS AFIRMATIVAS ABAIXO E ASSINALE A ALTERNATIVA FALSA A Seja X uma variável aleatória discreta e PX sua função de probabilidade Podemos escrever que B A função de distribuição de probabilidade de uma variável discreta é contínua à direita C Podemos interpretar Pa X b como a área sob o gráfico de fx que corresponde ao intervalo ab D Seja X uma variável aleatória contínua PX x0 x E Podemos obter Fx derivando fx com respeito a x x PX x 1 5 SEJA X UMA VARIÁVEL ALEATÓRIA CUJA DISTRIBUIÇÃO É PX X 14 PARA X 1123 CALCULE A DISTRIBUIÇÃO DE Y X2 E ASSINALE A ALTERNATIVA CORRETA A y 1123 B P Y y 14 C PY 1 12 D PY 2 12 E PY 9 13 6 SEJA X UMA VARIÁVEL ALEATÓRIA CONTÍNUA TAL QUE FX 1 E 0 X 1 SEJA Y LNX DETERMINE A DISTRIBUIÇÃO DE Y E ASSINALE A ALTERNATIVA CORRETA A fy 1ey B Fy 1ey C fy lnx D fy ey E fy lnxey GABARITO 1 Mariana após estudar conceitos básicos de probabilidade decidiu realizar o seguinte experimento lançar três moedas e observar o número de caras Seja X o número de caras observadas Qual é a probabilidade de Mariana obter 3 caras A alternativa E está correta Para obtermos a probabilidade de Mariana obter 3 caras vamos usar a distribuição de probabilidade de X a variável aleatória que representa o número observado de caras Essa variável aleatória pode assumir qualquer valor no conjunto 0123 Para obtermos X3 devemos ter 3 caras Cada uma tem probabilidade igual a 12 e os lançamentos são independentes Portanto PX312318 A distribuição completa de X é x PXx 0 18 1 38 2 38 3 18 Atenção Para visualizaçãocompleta da tabela utilize a rolagem horizontal 2 Seja X uma variável aleatória contínua com a seguinte distribuição fx cx2 0 x 2 Assinale a alternativa que apresenta o valor correto da constante c A alternativa B está correta Para encontramos o valor da constante precisamos utilizar a propriedade que Assim x fxdx 1 2 0 cx2dx 1 Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal 3 Considere a distribuição de probabilidade fx 2x 0 x 1 Encontre Fx e assinale a alternativa incorreta A alternativa B está correta Para x 0 temos que Fx 0 Para 0 x 1 devemos integrar a fx com respeito a x para obtermos Fx Assim Substituindo fx temos que Já para valores de x 1 Fx 1 4 Considere as afirmativas abaixo e assinale a alternativa falsa A alternativa E está correta c 2 0 x2dx 1 c x3 2 0 1 1 3 c 23 03 1 3 8c 1 3 c 3 8 Fx PX x x 0 fxdx Fx x 0 2xdx x2 As alternativas a b c e d seguem diretamente das propriedades vistas no módulo 1 A alternativa E é falsa uma vez que para obtermos fx derivamos Fx com respeito a x 5 Seja X uma variável aleatória cuja distribuição é PX x 14 para x 1123 Calcule a distribuição de Y X2 e assinale a alternativa correta A alternativa C está correta Como sabemos que Y X2 primeiro devemos calcular os valores que Y pode assumir Assim para cada valor de x teremos um valor de y Quando x 1 y x2 1 e assim por diante de forma que y 149 Agora podemos calcular a distribuição de Y da seguinte maneira Quando y 1PY1 PX1 PX1 14 14 12 o que responde à questão Além disso Quando y 4PY4 PX2 14 Quando y 9PY9 PX3 14 6 Seja X uma variável aleatória contínua tal que fx 1 e 0 x 1 Seja Y lnx Determine a distribuição de Y e assinale a alternativa correta A alternativa A está correta Sabemos que Fy PYy Sabemos também que Y lnx e portanto podemos substituir Y lnx em Fy PYy de modo que obteremos PlnXy Assim PXey 1Fx ey para y0 Para obtermos fy devemos derivar Fy com respeito a y Teremos então Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal GABARITO fy dFy dy 1 ey y 0 TEORIA NA PRÁTICA Um aplicador investiu R1000000 em um ativo Esse investimento pode render ou perder 1 de um dia para o outro A probabilidade de sofrer uma valorização é de 60 e a de uma desvalorização é de 40 Admitindo independência entre dois dias consecutivos de aplicação e sabendo que o investimento tem duração de 2 dias ao fim dos quais haverá um resgate total valor investido ganhos o investidor pode calcular qual é a probabilidade desse investimento não ser lucrativo RESOLUÇÃO Seja V o evento do ativo sofrer valorização e seja N o evento em que o ativo não sofreu valorização Podemos montar a seguinte tabela Espaço Amostral 1º dia 2º dia Ganho Probabilidade V V 201 036 V N 1 024 N V 1 024 N N 199 016 Atenção Para visualizaçãocompleta da tabela utilize a rolagem horizontal Seja G os possíveis valores que o ganho pode assumir Temos que G 1991201 Temos então PG199016 PG1048 PG201036 Portanto a probabilidade de o investimento não ser lucrativo G0 é de 016048 064 VERIFICANDO O APRENDIZADO 1 ADAPTADO DE ANPEC 2006 QUESTÃO 13 SEJA X UMA VARIÁVEL ALEATÓRIA COM FUNÇÃO DE DENSIDADE IGUAL A CALCULE 𝑃1𝑋2 E ASSINALE A ALTERNATIVA CORRETA A 13 B 16 C 12 D 14 E 112 2 SEJA X UMA VARIÁVEL ALEATÓRIA QUE ASSUME TRÊS VALORES 1 0 E 1 COM PROBABILIDADES 13 12 E 16 SEJA Y3X1 CALCULE A PROBABILIDADE DE XY SER IGUAL A 3 A 13 B 16 C 12 D 14 E 118 GABARITO 1 Adaptado de ANPEC 2006 questão 13 Seja X uma variável aleatória com função de densidade igual a fx x k com 0 x 3 6 fx x k com 0 x 3 6 Calcule 𝑃1𝑋2 e assinale a alternativa correta A alternativa A está correta Para resolvermos a questão é preciso encontrar primeiro o valor de k Para isso vamos usar a propriedade da função de densidade em que Substituindo nossa função de densidade na equação temos que Assim 2 Seja X uma variável aleatória que assume três valores 1 0 e 1 com probabilidades 13 12 e 16 Seja Y3x1 Calcule a probabilidade de XY ser igual a 3 A alternativa E está correta Para encontrarmos PXY3 precisamos primeiro encontrar os valores possíveis que Y assume Para isso devemos substituir os valores que X assume na expressão Y Assim temos que Y assume os seguintes valores 2 1 e 4 com as respectivas probabilidades 13 12 e 16 Para calcularmos a probabilidade da soma ser igual a 3 precisamos saber quais das possíveis combinações sejam igual a 3 Assim PXY3 acontece quando X assume valor 1 e Y assume valor 4 A probabilidade de que isto ocorra é 1316118 MÓDULO 2 fxdx 1 3 0 1 kdx 1 6 kx 3 0 1 x2 12 3 3k 1 4 k 1 12 P1 x 2 2 1 dx x 6 1 12 2 1 x2 12 x 12 1 3 1 6 1 12 1 3 Identificar os principais momentos estatísticos MOMENTOS E SUAS PROPRIEDADES MOMENTOS Os momentos são valores numéricos calculados a partir de uma distribuição de probabilidades São frequentemente utilizados para fornecer descrições resumidas da distribuição em questão Dentro da ampla classe dos momentos estão incluídas três importantes medidas que são frequentemente utilizadas a média a variância e o desvio padrão De forma genérica sejam X1X2Xn os n valores assumidos pela variável X Podemos definir o momento de ordem k como Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal EXEMPLO Qual é o momento de ordem k1 Usando a expressão acima temos Ou seja temos simplesmente a média da distribuição que denotaremos por ou EX lêse esperança de X Mk n i1 Xk i n M1 n i1 X1 i n X ESPERANÇA Alguns textos usam o termo Expectância Temos também os momentos centrados na média Podemos expressálos da seguinte maneira Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Aqui vamos estudar os momentos que são mais frequentemente utilizados VALOR ESPERADO O primeiro momento é o valor esperado ou esperança O valor esperado de uma variável aleatória X EX é a média dos valores que X assumiria em infinitas repetições do experimento Podemos escrever a fórmula do valor esperado para os casos discreto e contínuo da seguinte maneira DISCRETO CONTÍNUO Mr n i1 xi x k n EX x x PX x EX xfxdx A esperança de X é também chamado de média de X como registramos acima Vale notar que EX não é um valor que se espera que ocorra podendo ser e em geral é um valor que não ocorre EXEMPLO Considere uma variável aleatória discreta que tem 50 de chance de assumir o valor 0 zero e 50 de chance de assumir o valor 1 A esperança é Ou seja a média é diferente dos valores que a variável aleatória pode assumir Podemos interpretar EX como o ponto de equilíbrio da distribuição em que as probabilidades são os pesos O valor esperado ou média é uma das possíveis medidas de posição ou tendência central de uma variável aleatória A seguir temos algumas importantes propriedades do valor esperado de uma variável aleatória 1 Seja Xc em que c é uma constante real Então EXc Para vermos como chegamos a essa propriedade podemos utilizar a expressão para calcular a esperança de variáveis discretas da seguinte forma EX 0 1 1 2 1 2 1 2 EX x x PX x c x PX x c x PX x Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal 2 Seja c uma constante real e X uma variável aleatória Então EcXcEX No caso discreto temos que Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal De maneira análoga temos no caso contínuo que c 1 c EcX c x x PX x c x x PX x c EX EcX cxfxdx c fxdx Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Vamos ver juntos as próximas duas propriedades já que são um pouco mais complicadas e exigem um pouco mais de manipulação algébrica São elas 3 A esperança da soma é a soma das esperanças EXYEXEY 4 Para variáveis aleatórias independentes a esperança do produto é o produto das esperanças EXYEXEY PROPRIEDADES DA ESPERANÇA Neste vídeo vamos provar as duas últimas propriedades vistas c EX ATENÇÃO As propriedades 2 e 3 permitem escrever EaXbYaEXbEY para quaisquer números reais a e b e para quaisquer variáveis aleatórias X e Y Dizemos então que a esperança é um operador linear Você deve conhecer duas outras medidas importantes que dizem respeito à tendência central a moda e a mediana Podemos descrevêlas com o arcabouço que estamos usando MODA A moda no caso discreto é o valor que ocorre com maior probabilidade sendo no caso contínuo definida como x tal que fx seja máxima MEDIANA A mediana por sua vez é o valor que divide a distribuição em dois intervalos com probabilidades iguais 05 No caso contínuo divide fx em duas áreas iguais VARIÂNCIA Uma medida de posição não informa nada sobre a dispersão dos valores de uma variável aleatória Essa informação é importante principalmente em situações que envolvem algum risco Devemos olhar então para o segundo momento da variável aleatória O segundo momento a variância é o valor esperado de XEX2 A variância é uma medida bastante utilizada para mensurar dispersão Contudo por ser expressa no quadrado da variável original não possui interpretação direta uma vez que a unidade de medida não faz sequer sentido A variância pode ser obtida mediante a forma equivalente a partir da expressão VXEX2E2 X Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal ATENÇÃO E2 X também pode ser escrito como EX2 Ou seja primeiro calculamos a esperança e depois elevamos ao quadrado Para calcular EX2 é o contrário primeiro elevamos a variável aleatória ao quadrado e depois calculamos a esperança A partir das propriedades do valor esperado vamos chegar juntos a este resultado VXEXEX2 VXEX22XEXE2 X VXEX22EXEXE2 X VXEX22E2 XE2 X VXEX2E2 X Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal VXEX22XEXE2 X Usamos aqui um produto notável ab2a22abb2 No caso aX e bEX VXEX22EXEXE2 X Usamos o fato de que a esperança é um operador linear A variância possui algumas propriedades importantes A demonstração de cada uma delas é semelhante às da propriedade da esperança basta partir da definição SEJA C UMA CONSTANTE VC0 Para demonstrar esse resultado basta lembrar que a esperança da constante é a própria constante como vimos neste módulo A variância se torna VcEcEc2Ecc2E 020 SEJA C UMA CONSTANTE ENTÃO VCXC2 VX Vamos partir da seguinte forma de escrever a variância que vimos antes VcXEcX2 EcX2Ec2 X2cEX2c2 EX2c2 E2 X c2 EX2E2 Xc2 VX Na igualdade marcada em vermelho usamos o fato de que a esperança é um operador linear para reescrever o primeiro termo Na igualdade marcada em verde notamos apenas que o que aparece entre colchetes do lado esquerdo é exatamente a expressão para a variância de X SEJA B UMA CONSTANTE ENTÃO VX B VX Para obter esse resultado vamos partir novamente da definição de variância VXbE XbEXb2 EXbEXb2EXEX2VX Na igualdade em azul usamos novamente o fato de que a esperança é um operador linear Observe como essa propriedade é importante ela já apareceu várias vezes nas nossas demonstrações INTERPRETAÇÃO Ao longo dos seus estudos de Estatística você verá que o desvio padrão tem uma interpretação natural a partir da distribuição normal Outra medida de dispersão bastante utilizada é o desvio padrão O desvio padrão é a raiz quadrada da variância O desvio padrão possui a vantagem de ser expresso na mesma unidade de X facilitando a interpretação MOMENTOS CENTRADOS DE TERCEIRA E QUARTA ORDEM Os momentos centrados de terceira e quarta ordem são utilizados como uma medida de assimetria Essas medidas buscam caracterizar como e quanto a distribuição dos dados se afasta da condição de simetria Uma distribuição simétrica é aquela que apresenta o valor esperado igual à mediana e à moda DPX 2V X Distribuições que são alongadas para a direita são classificadas como positivamente assimétricas Já distribuições alongadas para a esquerda são chamadas de negativamente assimétricas A figura a seguir apresenta um exemplo Fonte Yduqs O momento centrado de terceira ordem pode ser utilizado como medida de assimetria Para calculálo vamos utilizar a expressão genérica para o momento centrado de ordem r Como r3 temos que Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal M3 n i1 xix 3 n 3X 2X3 n i1 X3 i n n i1 X2 i n O coeficiente de assimetria é a razão entre M3 e o cubo do desvio padrão de X Essa medida é utilizada com maior frequência pois é adimensional Podemos definir então o coeficiente de assimetria como Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal A PARTIR DO COEFICIENTE DE ASSIMETRIA CLASSIFICAMOS A DISTRIBUIÇÃO EM SIMÉTRICA Quando a30 ASSIMÉTRICA À ESQUERDA Quando a30 ASSIMÉTRICA À DIREITA Quando a30 Assim como o momento centrado de terceira ordem o momento centrado de quarta ordem é usado como uma medida de achatamento ou curtose da distribuição a3 M3 DP 3 X ATENÇÃO Vale atentar que a medida de achatamento só faz sentido para distribuições que são aproximadamente simétricas Dentre as medidas de achatamento existentes vamos destacar o coeficiente de curtose O coeficiente é obtido através da razão entre o quarto momento centrado e o quadrado da variância Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal Assim para obtermos a expressão para o momento centrado de ordem quatro substituímos r4 Assim teremos Atenção Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal MÃO NA MASSA a4 M4 V 2 X M4 n i1 XiX 4 n 4X 6X2 3X4 n i1 X4 i n n i1 X3 i n n i1 X2 i n 1 SEJA X UMA VARIÁVEL ALEATÓRIA CONTÍNUA COM A SEGUINTE DISTRIBUIÇÃO CALCULE O VALOR ESPERADO DE X A 34 B 38 C 14 D 32 E 78 2 SUPONHA QUE X SEJA UMA VARIÁVEL ALEATÓRIA DISTRIBUÍDA DE ACORDO COM A SEGUINTE FUNÇÃO DENSIDADE DE PROBABILIDADE FX21X PARA 0X1 FX0 CASO CONTRÁRIO SEJA Y6X1 OBTENHA A VARIÂNCIA DE Y A 2 B 3 C 05 D 4 E 9 3 CONSIDERE UMA VARIÁVEL ALEATÓRIA X QUE PODE ASSUMIR OS VALORES 1 E 0 ZERO CADA UM COM PROBABILIDADE 05 CALCULE A MÉDIA E A VARIÂNCIA DE X A EX05 VX025 B EX025 VX025 C EX025 VX05 fx 3 x2 0 x 2 8 D EX05 VX05 E EX0 VX025 4 CONSIDERE UMA VARIÁVEL ALEATÓRIA X QUE ASSUME O VALOR A COM PROBABILIDADE P E O VALOR B COM PROBABILIDADE 1P CALCULE A VARIÂNCIA DE X EM FUNÇÃO DE A B E P A p2 a2p2 b22apb2ap2 b B pa2pb2 C pa2pb2p2 b22apb2ap2 b D pa2pb2p2 a2p2 b22apb2ap2 b E pa2p2 a2p2 b22apb2ap2 b 5 CONSIDERE AS DISTRIBUIÇÕES ASSINALE A ALTERNATIVA CORRETA FONTE YDUQS A A distribuição com assimetria negativa e curtos e positiva é a distribuição A B A distribuição B possui assimetria positiva C A distribuição A possui assimetria positiva D A distribuição B possui assimetria negativa e curtos e negativa E A distribuição A possui assimetria negativa e curtos e negativa 6 CONSIDERE UMA VARIÁVEL ALEATÓRIA QUALQUER É CORRETO AFIRMAR A A esperança do quadrado é maior ou igual ao quadrado da esperança B Se o quadrado da esperança for maior que a esperança do quadrado a variância é negativa C Se a variável aleatória for constante a esperança do quadrado é maior que o quadrado da esperança D Se duas variáveis aleatórias têm a mesma média elas devem ter o mesmo desvio padrão E Quanto maior é a variância menor é o desvio padrão GABARITO 1 Seja X uma variável aleatória contínua com a seguinte distribuição Calcule o valor esperado de X A alternativa D está correta Para calcularmos o valor esperado de uma variável aleatória contínua temos que utilizar a seguinte fórmula Assim substituindo teremos fx 3 x2 0 x 2 8 EX x xfxdx EX 2 0 3 xx2dx 8 2 0 x3dx 3 8 x4 2 0 3 8 1 4 2 Suponha que X seja uma variável aleatória distribuída de acordo com a seguinte função densidade de probabilidade fx21x para 0x1 fx0 caso contrário Seja Y6X1 Obtenha a variância de Y A alternativa A está correta Queremos encontrar VY Sabemos que Y 6X10 assim VY V6X10 Pela propriedade da variância sabemos que V6X1062 VX Portanto precisamos calcular VX O enunciado nos fornece apenas a função de densidade de probabilidade de forma que será preciso calcular o valor esperado de X para então aplicarmos VXEX2 E2 X Como vimos neste módulo EXx xfxdx Assim substituindo nossa fx temos que Agora podemos calcular EX2 que será igual a Portanto Substituindo os valores temos que Como VY36VX VY é igual a 2 3 Considere uma variável aleatória X que pode assumir os valores 1 e 0 zero cada um com probabilidade 05 Calcule a média e a variância de X A alternativa A está correta EX10500505 EX2 1205020505 E2X052025 16 3 32 3 2 EX 2 1 0 x x2dx 2 1 0 x2 2 x3 3 1 2 3 1 3 2 1 0 x2 x3 EX2 2 1 0 x3 3 x4 4 EX2 1 6 VX 1 6 1 9 1 18 Logo VXEX2E2 X05025025 4 Considere uma variável aleatória X que assume o valor a com probabilidade p e o valor b com probabilidade 1p Calcule a variância de X em função de a b e p A alternativa D está correta Observe inicialmente que EXpa1pb Logo E2 Xpa1pb2 p2 a21p2 b22ap1pb p2 a212pp2 b22apb2ap2 b p2 a2b22pb2p2 b22apb2ap2 b Além disso EX2 pa21p b2pa2b2pb2 Temos então VXEX2 E2 X pa2b2pb2 p2 a2b22pb2 p2 b22apb2ap2 b pa2pb2p2 a2p2 b22apb2ap2 b 5 Considere as distribuições Assinale a alternativa correta Fonte Yduqs A alternativa C está correta A primeira e a última alternativas estão incorretas uma vez que pela classificação em relação à assimetria a distribuição A possui assimetria positiva De maneira semelhante a segunda e a quarta alternativas estão incorretas uma vez que a distribuição B é simétrica Assim a única correta é a letra c 6 Considere uma variável aleatória qualquer É correto afirmar A alternativa A está correta A diferença entre a esperança do quadrado e o quadrado da esperança é simplesmente a variância que é não negativa porque é a esperança de um valor elevado ao quadrado e o quadrado de qualquer número real é não negativo GABARITO TEORIA NA PRÁTICA O lucro diário L de uma corretora em milhões de R é L 2L13L22 em que L1 o lucro da área industrial é uma variável aleatória com média 5 e variância 16 e L2 o lucro da área comercial é outra variável aleatória com média e variância iguais a 4 L1 e L2 são independentes A gerente financeira da corretora quer calcular o valor esperado do lucro e seu desvio padrão RESOLUÇÃO Primeiro ela decide começar pelo valor esperado L2L13L2 ELE2L1E3L2 Pela propriedade da esperança sabemos que EAXAEX Assim EL2EL13EL2 EL253422 Portanto o lucro esperado da corretora é de 22 milhões de reais A gerente agora interessada no desvio padrão calcula a variância VLV2L1V3L2 Pelas propriedades vistas sobre variância sabemos que sendo a uma constante temos que VaXa2X Assim podemos aplicar a propriedade e obteremos VL4VL19VL2 416946436100 Portanto a variância do lucro da corretora é igual a 100 milhões de reais Por fim para obter o desvio padrão do lucro a gerente utiliza a seguinte fórmula Sendo então o desvio padrão do lucro da corretora igual a 10 milhões de reais VERIFICANDO O APRENDIZADO 1 CONSIDERE UM PRODUTO IMPORTADO CUJO PREÇO EM DÓLARES APRESENTA AO LONGO DE UM PERÍODO MÉDIA 80 E DESVIO PADRÃO 8 SE A TAXA DE CÂMBIO FOR DE DOIS REAIS POR DÓLAR O DESVIO PADRÃO DO PREÇO EM REAIS É A R800 B R1600 C R6400 D R25600 E R1000 2 CONSIDERE O MESMO PRODUTO IMPORTADO DA ATIVIDADE ANTERIOR CUJO PREÇO EM DÓLARES APRESENTA AO LONGO DE UM DPX V X DPL 100 10 PERÍODO MÉDIA 80 E DESVIO PADRÃO 8 SE O PREÇO DO PRODUTO AUMENTA EM 10 DÓLARES CALCULE A MÉDIA E A VARIÂNCIA DO PREÇO EM DÓLARES APÓS O AUMENTO A Média igual a 10 e variância igual a 16 B Média igual a 90 e variância igual a 8 C Média igual a 80 e variância igual a 256 D Média igual a 10 e variância igual a 64 E Média igual a 90 e variância igual a 64 GABARITO 1 Considere um produto importado cujo preço em dólares apresenta ao longo de um período média 80 e desvio padrão 8 Se a taxa de câmbio for de dois reais por dólar o desvio padrão do preço em reais é A alternativa B está correta Seja X o preço do produto em dólares Então EX80 DPX8 eVX64 Seja Y o preço do produto em reais Y2X Assim EY2EX160 VY22 VX464256 e DPY16 2 Considere o mesmo produto importado da atividade anterior cujo preço em dólares apresenta ao longo de um período média 80 e desvio padrão 8 Se o preço do produto aumenta em 10 dólares calcule a média e a variância do preço em dólares após o aumento A alternativa E está correta Seja Z o preço em dólares após o aumento Então ZX10 Logo EZEX1090 dólares e VZVX64 dólares CONCLUSÃO CONSIDERAÇÕES FINAIS Neste tema apresentamos um conceito fundamental da probabilidade a variável aleatória Vimos que as variáveis aleatórias podem ser discretas ou contínuas Estudamos suas principais propriedades como a função de probabilidade função de densidade de probabilidade e função de distribuição Aprendemos também sobre os momentos estatísticos e como eles podem ser utilizados para caracterizar as diferentes distribuições Os conceitos vistos são aplicados com frequência no dia a dia média da temperatura em um dia o risco de um ativo do mercado financeiro e as notas de um aluno AVALIAÇÃO DO TEMA REFERÊNCIAS BUSSAB W MORETTIN P Estatística básica 9 Ed São Paulo Saraiva 2017 SCHMIDT C A J org Estatística questões comentadas dos concursos de 2006 a 2015 5 ed Rio de Janeiro Elsevier 2015 MEYER P Aplicações à Estatística 2 Ed Rio de Janeiro Ltc 1987 EXPLORE Neste tema demos mais um passo no estudo sobre probabilidade aprendendo sobre variável aleatória Se quiser se aprofundar em outras aplicações pesquise sobre crescimento econômico e aprenda sobre variáveis aleatórias que mudam ao longo do tempo Além disso você encontrará mais aplicações em diversos bons livros de Estatística como Estatística básica de Bussab e Morettin 2017 e Aplicações à Estatística de Meyer 1987 Você ainda poderá encontrar diversos exercícios resolvidos em Estatística questões comentadas dos concursos de 2006 a 2015 de Schmidt 2015 CONTEUDISTA Maria Eduarda Barroso Perpétuo de Souza CURRÍCULO LATTES