Introdução às Variáveis Aleatórias Discretas e Distribuições de Probabilidade

DESCRIÇÃO Introdução a variáveis aleatórias discretas distribuições Bernoulli e binomial distribuições geométrica e hipergeométrica distribuição de Poisson PROPÓSITO Compreender os conceitos associados às variáveis aleatórias discretas e as principais distribuições discretas de probabilidade PREPARAÇÃO Antes de iniciar o conteúdo deste tema tenha em mãos uma calculadora científica ou use a calculadora de seu smartphonecomputador OBJETIVOS MÓDULO 1 Descrever os conceitos de variáveis aleatórias discretas unidimensionais MÓDULO 2 Descrever as distribuições de Bernoulli e binomial MÓDULO 3 Descrever as distribuições geométrica e hipergeométrica MÓDULO 4 Descrever a distribuição de Poisson VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS UNIDIMENSIONAIS Descrever os conceitos de variaveis aleatérias discretas unidimensionais Iniciaremos o estudo de um dos tdpicos mais importantes da teoria das probabilidades Aqui serao vistos todos os conceitos fundamentais que nos levarao ao bom entendimento de variaveis aleatérias discretas unidimensionais e das principais distribuigdes de probabilidades discretas Para assistir a um video sobre o assunto acesse a oO verso online deste conteudo 0 Seja E um experimento aleatério e S o espacgo amostral associado a esse experimento Uma fungao X que associa o numero real Xs a cada elemento s S chamada variavel aleatoria XSR 4 Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal Considere 0 experimento aleatério de langar 3 moedas Seja X a variavel aleatéria que conta o numero de caras nesse experimento SC C C C C K K K K X S WS onde os valores que X assume sAo 0 1 2 e 3 Por exemplo XC C C 3 XC C K 2 XK K K 0 Seja X uma variavel aleatéria que representa o numero de acidentes de transito por dia em determinado local X 0 1 2 3 4 Atengao Para visualizagado completa da equagao utilize a rolagem horizontal VARIAVEL ALEATORIA DISCRETA Seja X uma variavel aleatéria Se os possiveis valores assumidos por X forem finitos ou infinitos enumeraveis dizemos que X é uma variavel aleatéria discreta FUNCAO DE PROBABILIDADE FUNCAO DE MASSA DE PROBABILIDADE E uma funcdo que associa a cada valor assumido pela variavel aleatéria uma probabilidade dada por PX z ou simplesmente px 4 Atengao Para visualizagado completa da equagao utilize a rolagem horizontal Devendo satisfazer as seguintes condiées I pxi 0 II 33 Px1 4 Atengao Para visualizagado completa da equagao utilize a rolagem horizontal EXEMPLO 3 Considere o exemplo do langamento de 3 moedas Determine a distribuigao da probabilidade desse experimento e obtenha seu respectivo grafico a ee ee pe fm fae fe fm PXx 387 1844 O 1 2 3 x Fonte Wikipedia FUNGAO DISTRIBUIGAO ACUMULADA REPARTIGAO Seja X uma variavel aleatéria discreta Definese por fungao distribuigao acumulada a seguinte expressao Fxx PX 2 4 Atengao Para visualizagado completa da equagao utilize a rolagem horizontal PROPRIEDADES A lim Fxx Fxoo 0 rLCO B lim Fxxz Fx0oo 1 r0o C Pa X b FbFa D Se X Xy FX21 FX2x2 E Fy x é continua a direita 4 Atengao Para visualizagado completa da equagao utilize a rolagem horizontal EXEMPLO 4 Exemplo do langamento das 3 moedas Determine a fungao distribuigao acumulada 0 sex 0 PX 00 s se0al Fx0 PX 0 Fyx4 4 sela2 Fy1 PX 14 f se22 3 Fx2 PX 2 2 1 sex 3 Fx3 PX 31 4 Atengao Para visualizagado completa da equagao utilize a rolagem horizontal ESPERANGA MATEMATICA VALOR ESPERADO OU MEDIA Seja X uma variavel aleatéria O valor esperado ou média de uma variavel aleatéria é representado pela seguinte expressao px EX XO 2 PX 2 4 Atengao Para visualizagado completa da equagao utilize a rolagem horizontal EXEMPLO 5 Exemplo das 3 moedas Seja X Numero de caras no langamento de 3 moedas Entao a esperanga matematica de X é dada por EX 0 PX 01 PX 12 PX 23 PX 3 qi 3 3 1 3 EX051942333 5 4 Atengao Para visualizagado completa da equagao utilize a rolagem horizontal PROPRIEDADES Considere X e Y variaveis aleatorias e a e b constantes Entao a EaxXaEX b EaXbaEXb c EaXbYaEXbEY d EXYEXEY se X e Y forem independentes e e EXYEXEYcovX Y se X e Y nao forem independentes Em que covX YXEXYEY chamada covariancia de X e Y VARIANCIA Seja X uma variavel aleatéria discreta Entao a variancia de X é dada por 2 VX Li X wx PX a 2 2 2 2 2 VXE x x EXEX em que EX 2 Pz 4 Atengao Para visualizagado completa da equagao utilize a rolagem horizontal PROPRIEDADES Sejam X e Y variaveis aleatérias e a e b constantes entao aVa 0 b VaX b a VX cV XYVXVY se X eY forem independentes caso contrario d VaX bY a VX b VY 2ab covX Y Em que covXYEXYEXEY a covariancia MAO NA MASSA 1 CONSIDERE UMA MOEDA HONESTA JOGASE ESSA MOEDA 4 VEZES SEJA X A VARIAVEL ALEATORIA QUE REPRESENTA O NUMERO DE CARAS QUAIS OS POSSIVEIS VALORES DESSA VARIAVEL ALEATORIA A 0 1 2 3 B 1 2 3 C 0 1 2 3 4 D 1 2 3 4 E 0 1 2 3 4 5 2 CONSIDERANDO O ENUNCIADO ANTERIOR QUAL SERIA O VALOR ESPERADO DO NUMERO DE CARAS A1 B 2 C 52 D3 E 103 3 UM JOGADOR PARTICIPA DE UM JOGO DE APOSTA QUE CONSISTE EM LANCAR UM DADO SE O DADO RESULTAR EM FACE 6 ELE GANHA R1000 CASO CONTRARIO ELE PERDE R500 DEPOIS DE 2 RODADAS OU SEJA DE LANGARMOS O DADO DUAS VEZES QUAL A PROBABILIDADE DESSE JOGADOR TER GANHO POSITIVO A 136 B 16 C 518 D 1136 E 13 4 CONSIDERANDO O ENUNCIADO ANTERIOR QUAL SERIA O GANHO ESPERADO DO JOGADOR A5 B 0 C5 D 10 E 20 5 SUPONHA QUE UMA VARIAVEL ALEATORIA TENHA A SEGUINTE DISTRIBUIGAO DE PROBABILIDADE po m fm DETERMINE A FUNGAO DE DISTRIBUIGAO ACUMULADA PARA X 2 CO ATENGAO PARA VISUALIZAGAO COMPLETA DA EQUAGAO UTILIZE A ROLAGEM HORIZONTAL A 01 B 03 C 04 D 07 E 08 6 CONSIDERANDO O ENUNCIADO ANTERIOR QUAL SERIA A VARIANCIA DA VARIAVEL ALEATORIA X A 081 B 17 C 37 D 42 E 464 GABARITO 1 Considere uma moeda honesta Jogase essa moeda 4 vezes Seja X a variavel aleatoria que representa o numero de caras Quais os possiveis valores dessa variavel aleatoria A alternativa C esta correta Veja que no langamento de uma moeda 4 vezes podem ocorrer de 0 a 4 faces cara 2 Considerando o enunciado anterior qual seria o valor esperado do numero de caras A alternativa B esta correta Para determinar o valor esperado de X precisamos inicialmente apontar a distribuigao de probabilidade de X ou seja definir a probabilidade de cada um dos seus possiveis valores Para facilitar o calculo dessas probabilidades considere 0 seguinte espago amostral associado ao experimento de langar 4 moedas C C CC C CC K CC K C C KCCK C CCCC K K C K C S CKKCKCCKKCKCKKCCK KK C K K CKKCK C K K KK K KK 4 Atengao Para visualizagado completa da equagao utilize a rolagem horizontal Dai ee PX x 116 416 616 416 116 4 Atengao Para visualizagado completa da equagao utilize a rolagem horizontal Simplificando o resultado das probabilidades temos ee ee 4 Atengao Para visualizagado completa da equagao utilize a rolagem horizontal Assim 0 valor esperado de X é dado por EX 0 PX 01 PX 12 PX 23 PX 34 PX 4 g 1 i 3 i 11438 5318 EX056 1442943444 569 7g977 2 ATENGAO PARA VISUALIZAGAO COMPLETA DA EQUAGAO UTILIZE A ROLAGEM HORIZONTAL 3 Um jogador participa de um jogo de aposta que consiste em langar um dado Se o dado resultar em face 6 ele ganha R1000 caso contrario ele perde R500 Depois de 2 rodadas ou seja de langarmos o dado duas vezes qual a probabilidade desse jogador ter ganho positivo A alternativa D esta correta Para assistir a um video sobre o assunto acesse a oO versao online deste conteudo 0 4 Considerando o enunciado anterior qual seria o ganho esperado do jogador A alternativa A esta correta Para calcular o ganho esperado basta aplicar a formula da esperanga matematica EX 10 PX 105 PX 520 PX 20 10 25 10 1 250 50 20 180 EX10 36 1 0 3g 2036 3g 3g 36 3g TO 4 Atengao Para visualizagado completa da equagao utilize a rolagem horizontal 5 Suponha que uma variavel aleatoria tenha a seguinte distribuigao de probabilidade Determine a fungao de distribuigado acumulada para X 2 4 Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal A alternativa E esta correta Observe que a funao de distribuigao acumulada é dada por 0 sex0 Pz 00 seQa1 Fx0Px 0 01 Fx 04sel1 z2 Fx1 Px 1 01403 04 08se223 Fx2Px 2010304 08 1sex3 Fx3 Px 3 010340402 1 4 Atengao Para visualizagado completa da equagao utilize a rolagem horizontal Portanto F208 6 Considerando o enunciado anterior qual seria a variancia da variavel aleatoria X A alternativa A esta correta Note que a variancia de X é dada por V X EXEX 4 Atengao Para visualizagado completa da equagao utilize a rolagem horizontal Assim EX0x011x032x043 x 02 00308 06 17 4 Atengao Para visualizagado completa da equagao utilize a rolagem horizontal e EX 0 x 01 1 x 03 2 x 0443 x 02 003 16 18 37 4 Atengao Para visualizagado completa da equagao utilize a rolagem horizontal Logo VX 37 17 081 4 Atengao Para visualizagado completa da equagao utilize a rolagem horizontal GABARITO TEORIA NA PRATICA Um banco oferece seguro residencial que cobre acidentes como incéndio e catastrofe no valor de R10000000 Esse banco cobra do segurado uma taxa anual de R100000 Sabendo que a probabilidade de ocorrer incéndio ou qualquer tipo de catastrofe em um ano é de 0001 qual sera o lucro esperado por cliente do banco RESOLUGAO ESPERANGA VALOR ESPERADO Para assistir a um video sobre 0 assunto acesse a verso online deste conteudo A CS VERIFICANDO O APRENDIZADO 1 UMA FAMILIA PRETENDE TER 3 FILHOS SUPONDO QUE A CHANCE DE TER UM MENINO E A MESMA DE TER UMA MENINA E SENDO X A VARIAVEL ALEATORIA QUE REPRESENTA O NUMERO DE MENINAS DETERMINE A CHANCE DE X SER NO MINIMO IGUAL A 2 A 18 B 38 Cc 12 D 58 E 78 2 UM ESTUDANTE PODE ESCOLHER NO MiNIMO UMA E NO MAXIMO 4 DISCIPLINAS PARA FAZER NO SEMESTRE A PROBABILIDADE DE QUE O ESTUDANTE ESCOLHA 1 2 3 OU 4 DISCIPLINAS NO SEMESTRE E DE RESPECTIVAMENTE 120 14 25 E 310 SABENDO QUE PARA CADA DISCIPLINA ESCOLHIDA ELE PAGA R30000 QUAL E A DESPESA ESPERADA DESSE ESTUDANTE A 525 B 640 C 735 D 885 E 910 GABARITO 1 Uma familia pretende ter 3 filhos Supondo que a chance de ter um menino é a mesma de ter uma menina e sendo X a variavel aleatoria que representa o numero de meninas determine a chance de X ser no minimo igual a 2 A alternativa C esta correta Para resolver a questao precisamos determinar inicialmente a distribuigao de probabilidade de X Assim ee ee 4 Atengao Para visualizagado completa da equagao utilize a rolagem horizontal Dai PX PX 24PX3244 4 Atengao Para visualizagado completa da equagao utilize a rolagem horizontal 2 Um estudante pode escolher no minimo uma e no maximo 4 disciplinas para fazer no semestre A probabilidade de que o estudante escolha 1 2 3 ou 4 disciplinas no semestre é de respectivamente 120 14 25 e 310 Sabendo que para cada disciplina escolhida ele paga R30000 qual é a despesa esperada desse estudante A alternativa D esta correta Considere a variavel aleatoria D Despesa com disciplina Entéo para uma disciplina o estudante tera uma despesa de R30000 para duas disciplinas tera uma despesa de R60000 e assim por diante de forma que a distribuigao de probabilidade de X é dada por poe fom fom fm 4 Atengao Para visualizagado completa da equagao utilize a rolagem horizontal ED 300 600 900 2 1200 15 150 360 360 885 Logo a despesa esperada sera de R88500 4 Atengao Para visualizagado completa da equagao utilize a rolagem horizontal Descrever as distribuigdes de Bernoulli e binomial A ideia do estudo das distribuigdes de probabilidade é determinar uma formulagao matematica para fendmenos que ocorrem frequentemente no cotidiano ou que se deseja calcular A seguir apresentaremos duas das principais distribuigdes discretas de probabilidade que tém caracteristicas em comum e muitas aplicagées praticas Para assistir a um video sobre o assunto acesse a versdo online deste conteudo 0 Considere uma unica tentativa de um experimento que so tem dois possiveis resultados Sucesso com probabilidade p e fracasso com probabilidade q na qual pq1 Seja a variavel aleatéria X que representa 0 sucesso nessa Unica tentativa Entao podemos dizer que X pode assumir dois valores 0 fracasso e 1 sucesso ee ee ef Assim a fungao de probabilidade da variavel X pode ser dada por PX 2pq 4 Atengao Para visualizagado completa da equagao utilize a rolagem horizontal NOTAGAO XBERNOULLIP Como vimos o conceito de esperanga ou média é mais uma informagao que é interessante conhecermos sobre a distribuigao de probabilidade Assim EX0q1lpp 4 Atengao Para visualizagado completa da equagao utilize a rolagem horizontal Assim como a média a variancia é outra informagao importante sobre o comportamento da dispersao em torno da média da distribuigao de probabilidade Dessa forma 2 VX EXEX 2 2 Como EX0q 1ppe EXp 2 2 2 VX EXEX pp p1ppq 4 Atengao Para visualizagado completa da equagao utilize a rolagem horizontal ATENGAO Observe que o desenvolvimento da distribuigao de Bernoulli servira como passo inicial para a formulagao matematica de problemas que ja resolvemos na parte de probabilidade basica No entanto essa distribuigao é limitada pelo fato de termos apenas uma Unica tentativa no experimento Veremos a seguir uma generalizagao da distribuigao de Bernoulli A distribuigao binomial abrange uma quantidade significativa de aplicagées e por isso tem grande importancia dentro do estudo das probabilidades Vejamos como se caracteriza e quais informagdes podemos obter dessa distribuigao Considere agora n tentativas sucessivas e independentes de um mesmo experimento que admite apenas dois possiveis resultados Sucesso com probabilidade p e fracasso com probabilidade q na qual pq7 Seja X o numero de sucessos nas n tentativas Desejamos determinar a fungao de probabilidade de X ou seja PXx Desse modo considere inicialmente um resultado particular RP dado por RP SSSSFFFF eeeeee een ee eee k nk 4 Atengao Para visualizagado completa da equagao utilize a rolagem horizontal Como as tentativas sao sucessivas e independentes temos PRP P SSSSFFFF pqr Tl k nk 4 Atengao Para visualizagado completa da equagao utilize a rolagem horizontal Considerando todas as possiveis maneiras de combinar os sucessos temos n k p k n PX k pl1p k01 7 k 4 Atengao Para visualizagado completa da equagao utilize a rolagem horizontal NOTAGAO XBNP 1 Considere um atirador amador que tem 50 de chances de acertar um alvo Suponha que atirou 40 vezes em um alvo Qual a probabilidade do atirador ter acertado o alvo 15 vezes Solugao A0 15 25 PX 15 5 0036 15 2 2 4 Atengao Para visualizagado completa da equagao utilize a rolagem horizontal Interpretagao A chance de sucesso do atirador é de aproximadamente 4 apenas EX n n 1 nL n n 4 nL XE p Thge p pv Lie pep n n 2 n2 n n x n2 L p 1 p1 dura 5 21n2P 1 p duel z1naP 1 p FAGA Y X1 1 nn1 y1 1 n1 n2 yo Toy pr Pd p yo n 4 pp1 p 1n 1 1 4 Atengao Para visualizagado completa da equagao utilize a rolagem horizontal Do binémio de Newton temos x a S79 7 za dai por analogia 1nr 1 1 Er y va p YY p1p11 4 Atengao Para visualizagado completa da equagao utilize a rolagem horizontal Portanto EX np VARIANCIA Vimos que a variancia de uma variavel aleatdria é dada por 2 VX EXEX Como ja calculamos EX no item anterior precisamos calcular a Ex2 Assim nr nr BX 2 pla Dt y2 pra vy TL pra a nr En fale ye ra vy n n r n2z n n r n2x Eh jee1 yeaa Sh ae ora py Nt np n Vi a 1 ora py np Vian Teraji mca PL py n2 nn1p 9 yea 7 1 np xz 4 Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal Fazendo y x2 temos 2 gxnn2 U 2 0 ny2 EX nn1p y0 y p 1p np a p1p1 4 Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal Dai EX nn1p np Agora calculando a variancia de X temos VX EXBX nn 1 p np np p22 2 22 2 np np npnp np np np1 p npq 4 Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal Portanto VX npq MAO NA MASSA 1 UM DADO E LANGADO UMA UNICA VEZ SEJA A VARIAVEL ALEATORIA X QUE REPRESENTA A RETIRADA DE UM NUMERO PAR NESSE UNICO LANGAMENTO QUAL O VALOR ESPERADO DE X A 16 B 14 C 13 D 12 E 23 2 UMA MOEDA NAO VICIADA E LANGADA 10 VEZES DETERMINE A PROBABILIDADE DE SE OBTER EXATAMENTE 2 CARAS A 001 B 004 C 007 D 010 E 015 3CONSIDERANDO O ENUNCIANDO DA QUESTAO ANTERIOR A PROBABILIDADE DE OBTERMOS NO MINIMO 2 CARAS E APROXIMADAMENTE A 090 B 092 C 095 D 097 E 099 4 UM CASAL QUER TER 5 FILHOS QUAL A PROBABILIDADE DE QUE DESSES 5 FILHOS NO MÁXIMO UM SEJA MENINO ADMITA QUE A PROBABILIDADE DE NASCER MENINO SEJA IGUAL A DE NASCER MENINA A 0112 B 0157 C 0188 D 0212 E 0250 5 NUMA FÁBRICA DE DISPOSITIVOS ELETRÔNICOS 2 DA PRODUÇÃO É FORMADA POR ITENS DEFEITUOSOS UM LOTE É ACEITO PELO COMPRADOR SE TIVER NO MÁXIMO 3 DOS DISPOSITIVOS DEFEITUOSOS ADMITA QUE UM LOTE TENHA 100 DISPOSITIVOS QUAL A PROBABILIDADE QUE O COMPRADOR REJEITE O LOTE A 014 B 020 C 025 D 030 E 033 6 CONSIDERANDO O ENUNCIADO DA QUESTÃO ANTERIOR DETERMINE O NÚMERO MÉDIO DE DISPOSITIVOS ELETRÔNICOS DEFEITUOSOS EM 10 LOTES A 10 B 15 C 20 D 25 E 30 GABARITO 1 Um dado é lançado uma única vez Seja a variável aleatória X que representa a retirada de um número par nesse único lançamento Qual o valor esperado de X A alternativa D está correta Note que a variável aleatória X se caracteriza como uma distribuição de Bernoulli pois temos uma única tentativa de um experimento nesse caso o lançamento do dado com dois resultados possíveis sucesso quando o resultado do dado for par e fracasso quando o resultado for ímpar Além disso sabemos que o valor esperado da distribuição de Bernoulli é p que é a probabilidade de sucesso portanto a resposta é 12 visto que p 36 12 2 Uma moeda não viciada é lançada 10 vezes Determine a probabilidade de se obter exatamente 2 caras A alternativa B está correta Seja X Obter cara no lançamento de uma moeda Veja que esse experimento se caracteriza como uma distribuição binomial visto que temos 10 tentativas sucessivas e independentes de um experimento que nesse caso é o lançamento da moeda Além disso só temos dois resultados possiveis para a variavel aleatoria que conta o numero de caras sucesso com probabilidade p 12 e fracasso com probabilidade q 12 Assim Se XBnp PX p1p e np p p x 4 Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal Dai 10 2 8 PX 2 5 4 0044 2 2 2 4 Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal 3Considerando o enunciando da questao anterior a probabilidade de obtermos no minimo 2 caras é aproximadamente A alternativa E esta correta Considere a variavel aleatoria X que representa o resultado cara PX 21 PX 21PX 0PX 1 10 0 10 10 1 9 1 3 GG JG GG p 09893 0 1 4 Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal 4 Um casal quer ter 5 filhos Qual a probabilidade de que desses 5 filhos no maximo um seja menino Admita que a probabilidade de nascer menino seja igual a de nascer menina A alternativa C esta correta Seja a variavel aleatoria X que representa o numero de meninos Logo 5 015 5 114 PX 1 PX 0PX 1 5 4 4 0188 0 1 2 2 4 Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal 5 Numa fabrica de dispositivos eletr6nicos 2 da produgao é formada por itens defeituosos Um lote é aceito pelo comprador se tiver no maximo 3 dos dispositivos defeituosos Admita que um lote tenha 100 dispositivos Qual a probabilidade que o comprador rejeite o lote A alternativa A esta correta Para assistir a um video sobre o assunto acesse a oO versao online deste conteudo 0 6 Considerando o enunciado da questao anterior determine o numero médio de dispositivos eletr6nicos defeituosos em 10 lotes A alternativa C esta correta Sabendo que o valor esperado de uma binomial com parametros n e p é igual a np temos EX np 100 x 002 2 Como queremos a média para 10 lotes temos 10220 dispositivos 4 Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal GABARITO TEORIA NA PRÁTICA Um aluno está cursando a disciplina de Estatística na faculdade de Engenharia Nas duas primeiras avaliações ele obteve notas 10 e 9 respectivamente No entanto falta ainda a última avaliação na qual professor aplicará um teste de múltipla escolha contendo 50 questões cada uma com 5 itens Sabese que a média para passar na disciplina é 7 e que o aluno só precisa obter uma nota 2 para ser aprovado O aluno acreditando estar praticamente aprovado na disciplina decide não estudar Na aplicação do teste ele observa que não sabe nenhuma das questões e decide escolher aleatoriamente os itens de todas as perguntas Qual a probabilidade desse aluno obter exatamente um 2 nesse teste RESOLUÇÃO UMA APLICAÇÃO DA DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL VERIFICANDO O APRENDIZADO 1 UMA FÁBRICA DE MOTORES DE VENTILADORES MONTA 120 MOTORES POR MÊS E SEPARA 20 ITENS PARA INSPEÇÃO SABESE QUE DOS MOTORES MONTADOS MENSALMENTE 6 NÃO FUNCIONAM QUAL A PROBABILIDADE DE TODOS OS MOTORES INSPECIONADOS FUNCIONAREM BEM A 005 B 012 C 015 D 030 E 036 2 UMA COMPANHIA REALIZA INSPEÇÃO EM CARREGAMENTOS DE FORNECEDORES DE MODO A DETERMINAR PRODUTOS NÃO CONFORMES CONSIDERE QUE UM LOTE CONTENHA 1000 ITENS SENDO 1 DOS PRODUTOS NÃO CONFORMES QUAL É O TAMANHO NECESSÁRIO DA AMOSTRA DE MODO QUE A PROBABILIDADE DE ESCOLHER NO MÍNIMO UM ITEM NÃO CONFORME NA AMOSTRA SEJA NO MÍNIMO 090 A 200 B 212 C 220 D 229 E 241 GABARITO 1 Uma fabrica de motores de ventiladores monta 120 motores por més e separa 20 itens para inspegao Sabese que dos motores montados mensalmente 6 nao funcionam Qual a probabilidade de todos os motores inspecionados funcionarem bem Seja a variavel aleatoria X O motor funcionar Assim calcular a probabilidade que todos funcionem bem equivale a determinar a probabilidade que nenhum funcione Dai 20 0 20 PX 0 0 005 095 03585 4 Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal 2 Uma companhia realiza inspegao em carregamentos de fornecedores de modo a determinar produtos nao conformes Considere que um lote contenha 1000 itens sendo 1 dos produtos nao conformes Qual é o tamanho necessario da amostra de modo que a probabilidade de escolher no minimo um item nao conforme na amostra seja no minimo 090 Seja X a variavel aleatoria que representa a quantidade de itens nao conformes Dessa forma podemos dizer que X segue um binomial n p 001 Queremos determinar o valor de n para que a probabilidade de no minimo um item nao conforme na amostra seja de no minimo 090 PX 109 1 PX 1 090 PX 0 01 n 0 n 0 001099 01 n 099 01 4 Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal Para resolver essa desigualdade aplicaremos o logaritmo natural em ambos os lados da desigualdade Assim n In 01 In 099 In01 n 2 22911 229 In099 4 Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal Descrever as distribuigdes geométrica e hipergeométrica A seguir veremos mais duas distribuig6es de probabilidades com caracteristicas parecidas com as distribuigdes de probabilidades anteriores mas que mantém suas proprias particularidades e que também contemplam uma vasta gama de aplicagdes Neste modulo tal como fizemos no anterior vamos partir da caracterizagao das distribuig6es geométrica e hipergeométrica e em seguida trataremos das informagoes média e variancia inerentes a essas distribuigdes DISTRIBUICOES GEOMETRICA E HIPERGEOMETRICA Para assistir a um video sobre o assunto acesse a versao online deste conteudo 0 Considere tentativas sucessivas e independentes de um experimento aleatorio que so admite dois possiveis resultados Sucesso com probabilidade p e fracasso com probabilidade q em que pq7 Seja a variavel aleatoria X Numero de tentativas até a ocorréncia do 1 sucesso Assim X pode assumir os seguintes valores X13SPX1p X 2 FFS PX 2 gp X3 FFFS PX 3qp XkFFFFS PX kqp nny aeenen k1 4 Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal Logo a fungao de probabilidade de X é par1 zl PX 2qp1p p 4 Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal NOTAGAO XGP 1 Achance de encontrar o monitor de Estatistica na sala de monitoria é de 20 Qual a probabilidade de que um aluno tenha que ir a sala do monitor 4 vezes para encontralo pela primeira vez Solugao PX 4 08 02 0802 01024 X 4 08 02 0802 0 4 Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal Interpretagao A probabilidade de que o aluno va até a sala do monitor 4 vezes até encontralo pela primeira vez é de aproximadamente 10 oo z1 0 a1 oo dig d oo x EX 31 2 P dep BT PD Pdi BT Pdi GT Pe Gy Dur1 4 d 4 1qQ 4 EX p pw 4 1 4 Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal Assim Ex1p De acordo com os conceitos vistos no modulo inicial a variancia é definida por VX EX2EX Como ja conhecemos o valor da esperanga temos agora que determinar 2 2 oo 2 x1 oo 2 r1 oo z1 EX 0 2 p2 OP gp poe a g 1 py ea 1aq7 1 oo z1 oo z1 oo x2 1 Pdi U 1g pd eg pgd1 e 1q7 5 Ne 1 EX1 mgr gt 8 m7 2S gt plan 47s1 PU Ge D 5 PIs La 5 PVs ag o Ne eee a 1q 2 1 2pq 1 2qp Pq 1q p p p pe 4 Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal Dai vx 2 1 syx 4 PP p p 4 Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal Logo VX 3 P 4 Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal Considere uma populagao com N elementos dos quais r tém determinada caracteristica A retirada de um desses r elementos é definida como sucesso Retiramos dessa populagao uma amostra sem reposigao de tamanho n Seja X a variavel aleatoria que conta o numero de sucessos na amostra Do conceito de probabilidade frequentista temos PX 2 2 nS 4 Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal Em que nx é o numero de eventos favoraveis a x e nS o numero de eventos favoraveis ao espago amostral S Porém nS equivale ao numero de maneiras de selecionar uma amostra de tamanho n ou seja nS Além disso observe que n r Nr oa temos de escolher os x sucessos elementos com certa caracteristica e maneiras de escolher os outros nx individuos z n 2 sem a caracteristica Dai CG zg a PX 2 TNW 0O2an e Lr 4 Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal NOTAGAO XHIPERGEOMETRICANRN 2 Em uma populagao de 100 pegas sabese que 20 sao defeituosas Retirase uma amostra de 10 pegas Qual a probabilidade de obtermos 2 pegas defeituosas Solugdo Veja que o sucesso a retirada da pega defeituosa ou seja a caracteristica de interesse é que a pega seja defeituosa Dessa forma para determinar tal probabilidade podemos empregar a distribuigdo hipergeométrica visto que essas pegas defeituosas fazem parte de uma populagao e dessa populagao sera retirada uma amostra Assim 20 80 28 10 4 Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal Interpretagao A probabilidade de retirar uma pega defeituosa de uma amostra de tamanho 10 retirada de uma populagao de tamanho 100 é de aproximadamente 32 Gee Gee n n xz n2x n xz n2x EX dig0 PX dj N dea N 4 Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal Para desenvolver esse quociente entre combinagées precisamos usar algumas identidades conhecidas tais como r r1 x f x xz1 E N wN N1 n 1 4 Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal ASSIM 71 7 n a1 n ar n a1 n EX eet wn Nl N rel N1 n1 n1 4 Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal Fazendo y x1 temos r1 N1r1 mr n1 y n1y mr n1 EX W dey0 2 Wy Ly0 PY yN 1r1n1 n1 4 Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal Observe que ar PY yN 1r1n 11 pois é a fungao de probabilidade hipergeométrica com parametros N1 r1 e n1 Logo mr EX F 4 Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal Para o calculo da variancia vamos omitir a demonstragao pela quantidade excessiva de calculos Dessa forma a variancia da distribuigao hipergeomeétrica é dada por Nn VX np1 p N1 4 Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal 1 NO LANGAMENTO DE UM DADO QUAL A PROBABILIDADE DE TER QUE LANGALO QUATRO VEZES PARA SE OBTER FACE DOIS PELA PRIMEIRA VEZ A 01 B 015 C 02 D 025 E 03 2A PROBABILIDADE DE SE ENCONTRAR DETERMINADO PRODUTO NA PRATELEIRA DE UM SUPERMERCADO É DE 13 QUAL A PROBABILIDADE DE QUE SE TENHA QUE IR AO SUPERMERCADO NO MÁXIMO 2 VEZES PARA ENCONTRAR O PRODUTO PELA PRIMEIRA VEZ A 13 B 12 C 59 D 23 E 79 3 CONSIDERANDO OS DADOS DA QUESTÃO ANTERIOR QUAL SERIA A MÉDIA E A VARIÂNCIA RESPECTIVAMENTE DE IDAS AO SUPERMERCADO A 1 e 3 B 2 e 4 C 2 e 3 D 3 e 6 E 3 e 9 4 UMA URNA CONTÉM 10 BOLAS BRANCAS E 20 BOLAS PRETAS RETIRASE UMA AMOSTRA DE 5 BOLAS SEM REPOSIÇÃO QUAL A PROBABILIDADE DE QUE ESSA AMOSTRA TENHA 2 BOLAS BRANCAS A 005 B 0125 C 0185 D 025 E 036 5 SABESE QUE 10 DAS PEÇAS PRODUZIDAS POR DETERMINADA MÁQUINA SÃO DEFEITUOSAS RETIRASE UMA AMOSTRA DE TAMANHO 30 DE UMA POPULAÇÃO DE 150 PEÇAS PRODUZIDAS EM UM DIA QUAL A PROBABILIDADE DE QUE 5 PEÇAS SEJAM DEFEITUOSAS A 005 B 010 C 015 D 020 E 025 6 CONSIDERANDO O ENUNCIADO DA QUESTAO ANTERIOR DETERMINE A MEDIA DE PEGAS DEFEITUOSAS NA AMOSTRA A 03 B 05 C 10 D 15 E 20 GABARITO 1 No langamento de um dado qual a probabilidade de ter que langalo quatro vezes para se obter face dois pela primeira vez A alternativa A esta correta Veja que o problema trata do numero de tentativas para se obter um evento pela primeira vez Portanto possui a caracteristica da distribuigdao geométrica Seja X a variavel aleatoria que representa o numero de tentativas até a ocorréncia da primeira face dois Entao XGp16 e vimos que Se X é uma geométrica PX x q p 4 Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal Entao 3 PX 4 56 16 0096 Atengao Para visualizagado completa da equagao utilize a rolagem horizontal 2A probabilidade de se encontrar determinado produto na prateleira de um supermercado é de 13 Qual a probabilidade de que se tenha que ir ao Supermercado no maximo 2 vezes para encontrar o produto pela primeira vez A alternativa C esta correta Para assistir a um video i sobre o assunto acesse a oO versao online deste conteudo 0 3 Considerando os dados da questao anterior qual seria a média e a variancia respectivamente de idas ao supermercado A alternativa D esta correta Sabendo que a variavel aleatoria X da questao anterior tem distribuigao geométrica com parametro p 13 Temos it EX P 13 3 a VX Pp a 19 6 4 Uma urna contém 10 bolas brancas e 20 bolas pretas Retirase uma amostra de 5 bolas sem reposigao Qual a probabilidade de que essa amostra tenha 2 bolas brancas A alternativa E esta correta Observe que temos uma populagao de 30 bolas e que sera retirada uma amostra de 5 bolas na qual se quer calcular a probabilidade de termos 2 bolas brancas que é uma caracteristica que esta dentro da populagao Portanto temos que a questao se caracteriza como uma distribuigao hipergeométrica Assim zg a n 4 Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal Nessa questado temos N30 r10 n5 e x2 Dai 10 20 PX 2 23 03599 30 10 4 Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal 5 Sabese que 10 das pegas produzidas por determinada maquina sao defeituosas Retirase uma amostra de tamanho 30 de uma populagao de 150 pegas produzidas em um dia Qual a probabilidade de que 5 pegas sejam defeituosas A alternativa B esta correta Seja a variavel aleatoria X Numero de pegas defeituosas na amostra Nesse caso X segue uma distribuigao hipergeométrica em que N150 r15 n30 e x5 Assim 15 135 5 J 25 PX 5 01019 150 30 4 Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal 6 Considerando o enunciado da questao anterior determine a média de pegas defeituosas na amostra A alternativa A esta correta Sabendo que a variavel aleatoria X da questao anterior segue uma distribuigao hipergeométrica com parametros N150 r15 e n30 temos Tr EXnp em que p 7 Dai p 15150 001 EX 30 x 001 03 4 Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal GABARITO Numa populagao de 10000 habitantes temos que 05 dessa populagao sofre de certa doenga Retirase uma amostra de tamanho 80 dessa populagao Qual a probabilidade que nessa amostra tenhamos 10 pessoas com essa doenga RESOLUGAO VERIFICANDO O APRENDIZADO 1 NOS AEROPORTOS DE CERTO PAÍS A PROBABILIDADE DE UM METAL PEQUENO NÃO SER DETECTADO NO RAIOX É DE 02 UM PASSAGEIRO QUE ESTÁ VIAJANDO PELO MODAL AÉREO NESSE PAÍS VAI FAZER VÁRIAS CONEXÕES SABESE QUE ELE ESQUECEU UMA MOEDA NO BOLSO QUAL A PROBABILIDADE DE QUE O PASSAGEIRO SÓ TENHA A MOEDA DETECTADA NO TERCEIRO RAIOX A 001 B 003 C 005 D 010 E 011 2 UM ESTACIONAMENTO DE UM CENTRO COMERCIAL TEM CAPACIDADE PARA 180 CARROS SENDO 30 VAGAS PARA IDOSOS SABENDO QUE 20 VAGAS ESTÃO OCIOSAS NESSE ESTACIONAMENTO QUAL A PROBABILIDADE DE QUE 3 DESSAS VAGAS SEJAM DE IDOSOS A 010 B 015 C 025 D 035 E 050 GABARITO 1 Nos aeroportos de certo país a probabilidade de um metal pequeno não ser detectado no raioX é de 02 Um passageiro que está viajando pelo modal aéreo nesse país vai fazer várias conexões Sabese que ele esqueceu uma moeda no bolso Qual a probabilidade de que o passageiro só tenha a moeda detectada no terceiro raioX A alternativa B está correta Seja X a variável aleatória que representa o número de vezes que o passageiro terá que passar no raioX para que a moeda seja detectada pela primeira vez Então XGp080 Assim PX 3 02208 0032 4 Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal 2 Um estacionamento de um centro comercial tem capacidade para 180 carros sendo 30 vagas para idosos Sabendo que 20 vagas estao ociosas nesse estacionamento qual a probabilidade de que 3 dessas vagas sejam de idosos A alternativa C esta correta Seja X a VA que representa as vagas de idosos nesse estacionamento Portanto X é uma distribuigao hipergeométrica com parametros N180 r30 e n20 Assim 30 150 PX 3 334 ANS 995 180 20 4 Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal Descrever a distribuigao de Poisson A distribuigao que veremos agora tem relevante papel no estudo da probabilidade visto que se trata da distribuigao que calcula a probabilidade de eventos discretos que ocorrem em intervalos continuos o que agrega uma quantidade consideravel de aplicagoes Para assistir a um video sobre o assunto acesse a o versao online deste conteudo 0 Antes de definir a distribuigao de Poisson é importante conceituar o que é um processo de Poisson pois como veremos as probabilidades calculadas por essa distribuigao se referem a este tipo de processo E um processo no qual eventos discretos ocorrem em intervalos continuos tempo comprimento area volume EXEMPLO Exemplos de processos de Poisson Acidentes de transito por dia Focos de incéndio por area Numero de chamadas telefénica por minuto Numero de trocas de pneu por km Seja X a variavel aleatoria discreta que representa o numero de sucesso em um processo de Poisson Entao dizemos que X segue uma distribuigao de Poisson com a seguinte fungao de probabilidade r yz er PX 2 0 1 2 4 Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal Em que A é a taxa média de ocorréncia NOTAGAO XPA co ed2 oo e z YX CO e1 EX ee xr px reo 2 gq ewl w zg e2 ewl x1 Ne ee 4 Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal Portanto Para o calculo da variancia usaremos a mesma estratégia utilizada no calculo da média Assim 2 VX BXEX 4 Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal Como ja conhecemos o valor da esperanga de X vamos calcular inicialmente a EX Dessa forma 2 2 yrmo 22 eAA ynmw 22 eA yn erAZ BX 30 p Veo Gr Ma Ve le 1 ta Ge pA Syr MCA SRO on A pA rm e Soy a 1 te ro Tae 2 Ga X Ne r 4 Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal Fazendo y x2 temos co vA EXeAVyonw A ASeWAASNA y0 y ee eee e 4 Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal Assim 2 VX EXEX 4ANd 4 Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal Portanto Note que na distribuigao de Poisson a média é igual a variancia Essa distribuigao se aplica a eventos raros A é proporcional ao intervalo continuo considerado no problema Os eventos sao independentes 1 Sabese que o numero de acidentes em determinada via segue uma distribuigado de Poisson com média de 9 acidentes por ano Qual a probabilidade de que em determinado més nao ocorram acidentes nessa via Solugdo Observe que a média esta dada em meses mas pede a probabilidade em anos No entanto como sabemos que uma das propriedades da distribuigao de Poisson é a proporcionalidade entao se em um ano ocorrem nove acidentes em um més ocorrerao 912 34 acidentes A 075 Assim 075 0 7075 PX 0 2 047 4 Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal Interpretagao A probabilidade de que nao ocorra acidente na via em determinado més é de aproximadamente 47 COMENTARIO Essa aproximagao foi muito util durante o tempo em que os recursos computacionais eram escassos Ha alguns anos a maioria dos estudantes usavam calculadoras simples para resolver problemas que envolvessem calculos matematicos e nao tinham computadores pessoais Além disso mesmo as calculadoras mais potentes tinham limitagdes quanto ao calculo do fatorial Portanto para resolver essa limitagao aproximavase a distribuigao binomial pela distribuigao de Poisson Faga a média da Poisson igual a média da Binomial ou seja Anp e suponha que A nao é muito grande Vimos da distribuigao de Poisson que o numero de sucessos pode ser dado por 012 Considere o caso de termos zero sucessos assim utilizando a distribuigdo binomial teriamos nr PX 0 pqr q 0 4 Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal Mas como AnppAln Dai 0 4 1p1 3 PX0q1p 1 4 Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal Nota rAr lim 1 e n00 n 4 Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal Generalizando temos n z A 2 PX n x Gz x n z 2 lim 1 noo n n Az 2 lim 1 noo na n nn1na41 2 Xz lim meV tnrev y 1A noo n a n n 1 2 az1 A7 A A lim 2 2b m2 moetl Ay AY A no 7 n n xt n n 1 r A A lim 11 41 1 21 4 144 14 noo n n n n xt n n 1 r A A lim 11 1 1 21 4 14 14 n0o n n n n xt n n seston EES ENON ES SNES SEES 1 re 7z r yz lim 141 4 2 n co n n x 4 Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal Portanto podemos aproximar a distribuigao binomial pela distribuigao de Poisson Essa aproximagao é boa quando n 50 e p 010 1 UM POSTO POLICIAL RECEBE EM MÉDIA 2 CHAMADAS POR DIA QUAL A PROBABILIDADE DE RECEBER EXATAMENTE 3 CHAMADAS EM UM DIA A 010 B 015 C 018 D 020 E 025 2 CONSIDERANDO O ENUNCIADO DA QUESTÃO ANTERIOR QUAL SERIA A PROBABILIDADE DESSE POSTO RECEBER 7 CHAMADAS EM UMA SEMANA A 001 B 002 C 003 D 004 E 005 3 UM JORNAL REGISTRA EM MÉDIA 3 ERROS ORTOGRÁFICOS A CADA 5 PÁGINAS IMPRESSAS QUAL A PROBABILIDADE DE QUE UM JORNAL COM 30 PÁGINAS CONTENHA EXATAMENTE 8 ERROS A 0001 B 0002 C 0003 D 0004 E 0005 4 CONSIDERANDO O ENUNCIADO DA QUESTÃO ANTERIOR QUAL SERIA A PROBABILIDADE DESSE JORNAL REGISTRAR MENOS DE 2 ERROS EM UMA PÁGINA A 050 B 062 C 075 D 082 E 088 5 UMA OUVIDORIA RECEBE 5 RECLAMAÇÕES POR HORA QUAL A PROBABILIDADE DE QUE RECEBA APENAS UMA RECLAMAÇÃO EM 10 MINUTOS A 036 B 042 C 048 D 054 E 060 6 UMA FIRMA VISITA OS CLIENTES QUE COMPRARAM O SEU PRODUTO SE A PROBABILIDADE DE DEFEITO DO PRODUTO FOR DE 001 QUAL A PROBABILIDADE DE QUE EM 1000 VISITAS OCORRAM NO MiNIMO 3 DEFEITOS A 0956 B 0967 C 0975 D 0986 E 0997 GABARITO 1 Um posto policial recebe em média 2 chamadas por dia Qual a probabilidade de receber exatamente 3 chamadas em um dia A alternativa C esta correta Seja X a variavel aleatoria discreta que representa chamadas por dia Veja que X representa o sucesso chamadas em um processo de Poisson em que eventos discretos ocorrem em intervalos continuos dia Assim podese dizer que XPA2 ou seja Ax PX 2 x 4 Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal Dai P xX e223 X 3 018 4 Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal 2 Considerando o enunciado da questao anterior qual seria a probabilidade desse posto receber 7 chamadas em uma semana A alternativa B esta correta Observe que na questao anterior a média A era de 2 chamadas por dia Utilizando a propriedade de proporcionalidade de A temos que em uma semana A 14 2 x 7 Logo 14447 e714 PX 7 5 002 4 Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal 3 Um jornal registra em média 3 erros ortograficos a cada 5 paginas impressas Qual a probabilidade de que um jornal com 30 paginas contenha exatamente 8 erros A alternativa D esta correta Para assistir a um video sobre o assunto acesse a oO versao online deste conteudo 0 4 Considerando o enunciado da questao anterior qual seria a probabilidade desse jornal registrar menos de 2 erros em uma pagina A alternativa E esta correta Observe que se em 5 paginas a média A é igual a 3 portanto em uma pagina teremos 35 erros Entao 35 35 35 35 e e PX 2 PX 0PX 1 SC 185 9 gg 4 Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal 5 Uma ouvidoria recebe 5 reclamagoes por hora Qual a probabilidade de que receba apenas uma reclamagao em 10 minutos A alternativa A esta correta Seja a variavel aleatoria X Reclamagoes por hora Logo XPA5 No entanto o problema pede a probabilidade de que receba apenas uma reclamagao em 10 minutos Portanto em 10 minutos A 56 Assim 856 e PX 1 036 4 Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal 6 Uma firma visita os clientes que compraram o seu produto Se a probabilidade de defeito do produto for de 001 qual a probabilidade de que em 1000 visitas ocorram no minimo 3 defeitos A alternativa E esta correta Observe que a questao poderia ser resolvida por meio de uma distribuigado Binomial pois temos que a variavel aleatoria digamos X representa o numero de defeitos sucessos nas visitas isto é XBn 1000 p 001 Dessa forma a solugao poderia ser obtida por PX 31 PX 31PX 0PX 1PX 2 1000 0 tooo 1000 1 999 1000 1 999 1 0 001 099 1 001 099 2 001 099 09973 4 Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal Note que quanto maior o valor de x a calcular mais trabalhoso seria o montante dos calculos Além disso teriamos que trabalhar com os fatoriais das combinagoes Dessa forma para facilitar os calculos poderiamos usar a distribuigado de Poisson para resolver esta questao Nesse caso consideraremos a aproximagao da distribuigao Binomial pela distribuigao de Poisson bastando fazer A np 1000 x 001 10 Assim PX 3 1 PX 31 PX 0 PX 1 PX 2 10 0 10 1 10 2 e 10 e 10 e 10 1 Gor 5 Seon eye 09972 Observe que os resultados sao bem aproximados 4 Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal GABARITO O numero de mortes por febre amarela no Brasil é de 4 por ano Qual a chance de que em seis meses morra no maximo 1 pessoa RESOLUGAO UMA APLICAÇÃO DA DISTRIBUIÇÃO DE POISSON VERIFICANDO O APRENDIZADO 1 SUPONHA QUE A INCIDÊNCIA DE DETERMINADA DOENÇA NA POPULAÇÃO SEJA DE 1 CASO A CADA 100000 HABITANTES EM UMA CIDADE DE 500000 HABITANTES DETERMINE A PROBABILIDADE DE SE ENCONTRAR EXATAMENTE 2 CASOS DESSA DOENÇA NA REFERIDA CIDADE A 004 B 008 C 012 D 016 E 020 2 SABESE QUE EM MÉDIA 5 LÂMPADAS SE QUEIMAM A CADA 1000 LÂMPADAS TESTADAS QUAL A PROBABILIDADE DE QUE EM UM TESTE DE 10000 LÂMPADAS EXATAMENTE 40 LÂMPADAS SE QUEIMEM A 002 B 004 C 008 D 016 E 020 GABARITO 1 Suponha que a incidência de determinada doença na população seja de 1 caso a cada 100000 habitantes Em uma cidade de 500000 habitantes determine a probabilidade de se encontrar exatamente 2 casos dessa doença na referida cidade A alternativa B está correta Seja a variável aleatória X Incidência da doença por habitante Veja que XPλ1 Portanto em uma cidade de 500000 habitantes X será uma Poisson com λ 5 Assim PX 2 008 e5 5 2 2 4 Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal 2 Sabese que em média 5 lampadas se queimam a cada 1000 lampadas testadas Qual a probabilidade de que em um teste de 10000 lampadas exatamente 40 lampadas se queimem A alternativa A esta correta Veja a probabilidade de uma lampada queimar com probabilidade 001 e poderiamos resolver utilizando a distribuigado binomial No entanto para evitar usaremos a distribuigado de Poisson com A 100 40 PX 40 e 50 9 02 40 4 Atengao Para visualizagao completa da equagao utilize a rolagem horizontal Aqui abordamos os conceitos fundamentais associados as variaveis aleatorias discretas Além disso apresentamos as principais distribuigdes discretas de probabilidade entre as quais as de Bernoulli binomial geométrica hipergeométrica e de Poisson Cada distribuigao de probabilidade exerce um papel importante para o calculo de probabilidades de fen6menos comuns que acontecem no nosso dia a dia Todos os conceitos adquiridos neste tema sao essenciais nao apenas para a continuidade do estudo da teoria das probabilidades mas também para o bom entendimento de modelos estatisticos Fonseca J S Martins G A Curso de Estatistica 6 ed SAo Paulo Atlas 1996 Meyer P Probabilidade Aplicagées a Estatistica 2 ed Sao Paulo LTC 1987 Morettin P A Bussab W de O Estatistica Basica 9 ed Sao Paulo Saraiva 2017 Morettin P A Estatistica Basica Probabilidade e Inferéncia 6 ed Sado Paulo Pearson 2015 EXPLORE Para saber mais sobre os assuntos tratados neste tema assista Ao canal IMPA Instituto de Matematica Pura e Aplicada YouTube CONTEUDISTA Paulo H C Maranhão CURRÍCULO LATTES