Queda de Tensão em Cargas Uniformemente Distribuídas

Muitas vezes podese supor que as cargas são distribuídas uniformemente ao longo de uma linha onde a linha pode ser uma alimentação trifásica bifásica ou monofásica Quando as cargas estão distribuídas uniformemente não é necessário modelar cada carga para determinar a queda de tensão total desde a fonte até a última carga Cargas Uniformemente Distribuídas A figura mostra 𝑛 carga uniformemente espaçadas 𝑑𝑥 km de distância As cargas são todas iguais e serão tratadas como cargas de corrente constante com um valor de 𝑑𝑖 O corrente total do alimentador é 𝐼𝑇 Desejase determine a queda de tensão total da fonte nó S ao ultimo nó do circuito nó 𝑛 Queda de Tensão para cargas uniformemente distribuídas 𝑙 𝑑𝑖 𝑑𝑖 𝑆 𝐼𝑇 𝑛 1 𝑑𝑥 𝑑𝑖 2 𝑑𝑥 𝑑𝑖 3 𝑑𝑥 𝑑𝑖 4 𝑑𝑥 𝑑𝑖 5 𝑑𝑥 𝑑𝑖 6 𝑑𝑥 Queda de Tensão para cargas uniformemente distribuídas 𝑙 𝑑𝑖 𝑑𝑖 𝑆 𝐼𝑇 𝑛 1 𝑑𝑥 𝑑𝑖 2 𝑑𝑥 𝑑𝑖 3 𝑑𝑥 𝑑𝑖 4 𝑑𝑥 𝑑𝑖 5 𝑑𝑥 𝑑𝑖 6 𝑑𝑥 𝑙 Comprimento total da linha 𝑧 Impedância da linha em Ωkm Sendo A queda de tensão no primeiro segmento da linha é 𝑉𝑞1 𝑅𝑒 𝑧 𝑑𝑥 𝑛 𝑑𝑖 A queda de tensão no segundo segmento da linha é 𝑉𝑞2 𝑅𝑒 𝑧 𝑑𝑥 𝑛 1 𝑑𝑖 Queda de Tensão para cargas uniformemente distribuídas A queda de tensão total da fonte até o último nó é 𝑉𝑞1 𝑅𝑒 𝑧 𝑑𝑥 𝑛 𝑑𝑖 𝑉𝑞2 𝑅𝑒 𝑧 𝑑𝑥 𝑛 1 𝑑𝑖 𝑉𝑞𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑉𝑞1 𝑉𝑞2 𝑉𝑞𝑛 𝑉𝑞𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑅𝑒 𝑧 𝑑𝑥 𝑑𝑖 𝑛 𝑛 1 𝑛 2 1 𝑉𝑞𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑅𝑒 𝑧 𝑑𝑥 𝑑𝑖 𝑛 𝑛 1 2 Queda de Tensão para cargas uniformemente distribuídas A distância incremental é 𝑉𝑞𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑅𝑒 𝑧 𝑑𝑥 𝑑𝑖 𝑛 𝑛 1 2 𝑑𝑥 𝑙 𝑛 𝑑𝑖 𝐼𝑇 𝑛 A corrente incremental é 𝑉𝑞𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑅𝑒 𝑧 𝑙 𝑛 𝐼𝑇 𝑛 𝑛 𝑛 1 2 𝑉𝑞𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑅𝑒 1 2 𝑧 𝑙 𝐼𝑇 𝑛 1 𝑛 𝑉𝑞𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑅𝑒 1 2 𝑍 𝐼𝑇 1 1 𝑛 Queda de Tensão para cargas uniformemente distribuídas No caso limite quando 𝑛 a queda de tensão total se torna 𝑉𝑞𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑅𝑒 1 2 𝑍 𝐼𝑇 1 1 𝑛 𝑽𝒒𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 𝑹𝒆 𝟏 𝟐 𝒁 𝑰𝑻 Queda de Tensão para cargas uniformemente distribuídas 𝑽𝒒𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 𝑹𝒆 𝟏 𝟐 𝒁 𝑰𝑻 Modelos de Carga agrupada A carga total distribuída na linha pode ser concentrada no ponto médio da linha Agrupar metade da carga total da linha no final da linha nó n De igual importância na análise de um alimentador de distribuição é a perda de potência O mesmo modelo utilizado para o calculo de queda de tensão é usado para calcular a perda total de potência trifásica na linha A perda total de energia trifásica na linha será a soma das perdas de energia em cada segmento curto da linha Perdas de Potência para cargas uniformemente distribuídas 𝑙 𝑑𝑖 𝑑𝑖 𝑆 𝐼𝑇 𝑛 1 𝑑𝑥 𝑑𝑖 2 𝑑𝑥 𝑑𝑖 3 𝑑𝑥 𝑑𝑖 4 𝑑𝑥 𝑑𝑖 5 𝑑𝑥 𝑑𝑖 6 𝑑𝑥 A perda de potência no primeiro segmento da linha é Perdas de Potência para cargas uniformemente distribuídas 𝑃1 3 𝑟 𝑑𝑥 𝑛 𝑑𝑖 2 A perda de potência no segundo segmento da linha é 𝑃2 3 𝑟 𝑑𝑥 𝑛 1 𝑑𝑖 2 A perda total de potência ao longo do comprimento da linha é então dada por 𝑃𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 3 𝑟 𝑑𝑥 𝑑𝑖 2 𝑛2 𝑛 1 2 𝑛 2 2 12 Perdas de Potência para cargas uniformemente distribuídas 𝑃𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 3 𝑟 𝑑𝑥 𝑑𝑖 2 𝑛2 𝑛 1 2 𝑛 2 2 12 𝑃𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 3 𝑟 𝑙 𝑛 𝐼𝑇 𝑛 2 𝑛 𝑛 1 2𝑛 1 6 𝑃𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 3 𝑅 𝑛 𝐼𝑇 𝑛2 2 𝑛 𝑛 1 2𝑛 1 6 𝑃𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 3 𝑅 𝐼𝑇 2 𝑛 1 2𝑛 1 6𝑛2 𝑃𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 3 𝑅 𝐼𝑇 2 1 3 1 2𝑛 1 6𝑛2 𝑷𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 𝟑 𝟏 𝟑 𝑹 𝑰𝑻 𝟐 No caso limite quando 𝑛 Perdas de Potência para cargas uniformemente distribuídas 𝑷𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 𝟑 𝟏 𝟑 𝑹 𝑰𝑻 𝟐 𝑙 𝑙3 𝐼𝑇 𝑆 𝐼𝑇 𝑛 Modelos de Carga agrupada para a perda de potência Este modelo funciona tanto para quedas de tensão quanto para perdas de potência Modelo Exato de Carga Agrupada 𝑙 𝑘𝑙 1 𝑘𝑙 𝐼𝑥 𝑐𝐼𝑇 𝑆 𝐼𝑇 𝑛 𝐼𝑇 Corrente total da linha 𝐼𝑥 Fração da corrente total da linha 𝑙 Comprimento total da linha 𝑘 É o fator do comprimento total da linha onde a primeira parte da corrente de carga é modelada 𝑐 É o fator da corrente total a ser colocada no final da linha tal que 𝐼𝑇 𝐼𝑥 𝑐𝐼𝑇 Queda de tensão Modelo Exato de Carga Agrupada 𝑙 𝑘𝑙 1 𝑘𝑙 𝐼𝑥 𝑐𝐼𝑇 𝑆 𝐼𝑇 𝑛 𝑉𝑞𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑅𝑒 𝑧 𝑘𝑙 𝐼𝑥 𝑐𝐼𝑇 𝑧 1 𝑘 𝑙 𝑐𝐼𝑇 𝑉𝑞𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑅𝑒 𝑍 𝑘 𝐼𝑇 𝑍 1 𝑘 𝑐𝐼𝑇 𝑉𝑞𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑅𝑒 𝑍 𝐼𝑇 𝑘 1 𝑘 𝑐 Queda de tensão Modelo Exato de Carga Agrupada 𝑅𝑒 1 2 𝑍 𝐼𝑇 𝑅𝑒 𝑍 𝐼𝑇 𝑘 1 𝑘 𝑐 Do modelo de queda de tensão sabemos que 𝑉𝑞𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑅𝑒 1 2 𝑍 𝐼𝑇 1 2 𝑘 1 𝑘 𝑐 𝑘 05 𝑐 1 𝑐 Perda de potência Modelo Exato de Carga Agrupada 𝑙 𝑘𝑙 1 𝑘𝑙 𝐼𝑥 𝑐𝐼𝑇 𝑆 𝐼𝑇 𝑛 𝑃𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 3 𝑟 𝑘𝑙 𝐼𝑥 𝑐𝐼𝑇 2 𝑟 1 𝑘 𝑙 𝑐𝐼𝑇 2 𝑃𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 3 𝑅 𝑘 𝐼𝑇 2 𝑅 1 𝑘 𝑐𝐼𝑇 2 𝑃𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 3 𝑅 𝐼𝑇 2 𝑘 1 𝑘 𝑐2 Perda de potência Modelo Exato de Carga Agrupada 3 1 3 𝑅 𝐼𝑇 2 3 𝑅 𝐼𝑇 2 𝑘 1 𝑘 𝑐2 Do modelo de perda de potência sabemos que 𝑃𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 3 1 3 𝑅 𝐼𝑇 2 1 3 𝑘 1 𝑘 𝑐2 1 3 𝑘1 𝑐2 𝑐2 Determinação do valor de k e c Modelo Exato de Carga Agrupada 1 3 𝑘1 𝑐2 𝑐2 𝑘 05 𝑐 1 𝑐 1 3 05 𝑐 1 𝑐 1 𝑐2 𝑐2 𝑐 1 3 𝑘 1 4 𝑙 1 4 𝑙 3 4 𝑙 2 3 𝐼𝑇 1 3 𝐼𝑇 𝑆 𝐼𝑇 𝑛 Muitas vezes as áreas de alimentação podem ser representadas por configurações geométricas como retângulos triângulos e trapézios Assumindo uma densidade de carga constante nas configurações cálculos aproximados podem ser feitos para calcular a queda de tensão e as perdas totais de energia Os cálculos aproximados podem ajudar na determinação da carga máxima que pode ser atendida em uma área específica em um determinado nível de tensão e tamanho do condutor Cargas Agrupadas em Configurações Geométricas Para todas as áreas geográficas a serem avaliadas serão aplicadas as seguintes definições Também é assumido que as cargas são modeladas como cargas de corrente constante Cargas Agrupadas em Configurações Geométricas 𝐷 Densidade de carga em kVAkm² 𝐹𝑃 Fator de Potência assumido 𝑧 Impedância da linha em Ωkm 𝑙 Comprimento da área 𝑤 Largura da área Uma área retangular de comprimento 𝑙 e largura 𝑤 deve ser atendida por um alimentador principal primário A área do alimentador é assumida como tendo uma densidade de carga constante com laterais trifásicas uniformemente retiradas da rede primária A figura representa uma área retangular de densidade de carga constante sendo servida por uma rede trifásica que vai do nó 𝑛 ao nó 𝑚 Desejase determinar a queda de tensão total e a perda total de energia trifásica na rede primária do nó 𝑛 ao nó 𝑚 Área Retangular 𝑙 𝑤 𝐼𝑇 𝑛 𝑚 𝑖 05𝑑𝑖 05𝑑𝑖 𝑑𝑥 Área Retangular 𝑙 𝑤 𝐼𝑇 𝑛 𝑚 𝑖 05𝑑𝑖 05𝑑𝑖 𝑑𝑥 Um segmento incremental está localizado a 𝑥 km do nó 𝑛 A corrente incremental que serve a carga no segmento incremental é dada por 𝑑𝑖 𝐼𝑇 𝑙 A corrente no segmento incremental é dada por 𝑖 𝐼𝑇 𝑥 𝑑𝑖 𝑖 𝐼𝑇 𝑥 𝐼𝑇 𝑙 𝑖 𝐼𝑇 1 𝑥 𝑙 A corrente total que alimenta área é 𝐼𝑇 𝐷 𝑙 𝑤 3 𝑉 cos1 𝐹𝑃 Área Retangular 𝑙 𝑤 𝐼𝑇 𝑛 𝑚 𝑖 05𝑑𝑖 05𝑑𝑖 𝑑𝑥 A queda de tensão incremental no segmento é 𝑑𝑉 𝑅𝑒𝑧 𝑖 𝑑𝑥 𝑑𝑉 𝑅𝑒 𝑧 𝐼𝑇 1 𝑥 𝑙 𝑑𝑥 A queda de tensão total no alimentador é 𝑉 න 0 𝑙 𝑑𝑉 𝑉 𝑅𝑒 න 0 𝑙 𝑧 𝐼𝑇 1 𝑥 𝑙 𝑑𝑥 𝑉 𝑅𝑒 𝑧 𝐼𝑇 𝑥 𝑥2 2𝑙 0 𝑙 𝑉 𝑅𝑒 𝑧 𝐼𝑇 1 2 𝑙 𝑽 𝑹𝒆 𝟏 𝟐 𝒁 𝑰𝑻 Área Retangular Uma derivação semelhante pode ser feita para determinar a perda total de energia trifásica no alimentador principal A perda de potência no comprimento incremental é 𝑑𝑝 3 𝑟 𝑖 2 𝑑𝑥 𝑑𝑝 3 𝑟 𝐼𝑇 2 1 𝑥 𝑙 2 𝑑𝑥 𝑑𝑝 3 𝑟 𝐼𝑇 2 1 2𝑥 𝑙 𝑥2 𝑙2 𝑑𝑥 A perda total de potência trifásica no alimentador é 𝑃𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 න 0 𝑙 3 𝑟 𝐼𝑇 2 1 2𝑥 𝑙 𝑥2 𝑙2 𝑑𝑥 𝑃𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 3 𝑟 𝐼𝑇 2 න 0 𝑙 1 2𝑥 𝑙 𝑥2 𝑙2 𝑑𝑥 𝑷𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 𝟑 𝟏 𝟑 𝑹 𝑰𝑻 𝟐 Exemplo Propõese alimentar uma área retangular de 3048 m de comprimento e 182880 m de largura A densidade da carga é de 960 kVAkm² com fator de potência de 090 em atraso A impedância do alimentador primário é de 019 𝑗039 Ω𝑘𝑚 Qual o nível mínimo de tensão nominal pode ser usado para atender a essa área sem exceder uma queda de tensão de 3 na rede primária As opções de tensão disponíveis são 416 kV e 125 kV Determine também a perda total de potência trifásica 𝐴 𝑙 𝑤 𝐴 3048 18288 𝐴 55742 𝑘𝑚² 𝑆 𝐷 𝐴 𝑆 960 55742 𝑆 535123 𝑘𝑉𝐴 Área total Carga total Impedância total da linha 𝑍 𝑧 𝑙 𝑍 019 𝑗039 Ω𝑘𝑚 3048 𝑘𝑚 𝑍 058 𝑗1188 Ω Exemplo Corrente nominal total na tensão de 416 kV 𝐼𝑇 535123 103 3 416 103 cos1 090 𝐼𝑇 𝐷 𝑙 𝑤 3 𝑉 cos1 𝐹𝑃 𝐼𝑇 74267 2584º 𝐴 Corrente nominal total na tensão de 125 kV 𝐼𝑇 535123 103 3 125 103 cos1 090 𝐼𝑇 𝐷 𝑙 𝑤 3 𝑉 cos1 𝐹𝑃 𝐼𝑇 24716 2584º 𝐴 Exemplo Queda de tensão 416 kV 𝑉 𝑅𝑒 1 2 𝑍 𝐼𝑇 𝑉 𝑅𝑒 1 2 058 𝑗1188 74267 2584º 𝑉 𝑅𝑒 1 2 13226398º 74267 2584º 𝑉 𝑅𝑒 494213814º 𝑽 𝟑𝟖𝟖 𝟕𝟎 𝑽 𝑉 𝑅𝑒 1 2 𝑍 𝐼𝑇 𝑉 𝑅𝑒 1 2 058 𝑗1188 24716 2584º 𝑉 𝑅𝑒 1 2 13226398º 24716 2584º 𝑉 𝑅𝑒 163373814º 𝑽 𝟏𝟐𝟖 𝟓 𝑽 Queda de tensão 125 kV Exemplo Queda de tensão percentual 416 kV 𝑉 416 𝑘𝑉 3 𝑉 240 𝑘𝑉 𝑉 38870 2400 𝑽 𝟏𝟔 𝟐 Queda de tensão percentual 125 kV 𝑉 125 𝑘𝑉 3 𝑉 721 𝑘𝑉 𝑉 12850 7210 𝑽 𝟏 𝟕𝟖 Exemplo Perdas Ptotal 3 1 3 R IT 2 Ptotal 3 1 3 058 24716 2 𝐏𝐭𝐨𝐭𝐚𝐥 𝟑𝟓 𝟒𝟑 𝒌𝑾 Exercício Desenvolva o modelo de queda de tensão e perda de potência trifásica para uma área triangular