Derivadas Parciais da Função f(x, y)

A derivada parcial da função 𝒇 𝒙 𝒚 em relação a 𝒙 no ponto 𝒙𝟎 𝒚𝟎 Mês Zero Aula 01 Conjuntos numéricos operações básicas e frações Mês Zero Aula 01 Conjuntos numéricos operações básicas e frações A derivada parcial da função 𝒇 𝒙 𝒚 em relação a 𝒚 no ponto 𝒙𝟎 𝒚𝟎 DERIVADA PARCIAL DE 𝒇 𝒙 𝒚 EM RELAÇÃO À VARIÁVEL X NO PONTO 𝒙𝟎 𝒚𝟎 v Coeficiente Angular da reta tangente à curva 𝑧 𝑓 𝑥 𝑦 em 𝑃 𝑥 𝑦 𝑓𝑥 𝑦 quando y é mantido fixo em 𝑦 v Taxa de variação de f x y na direção 𝑖 em 𝑥 𝑦 quando y é mantido fixo em 𝑦 DERIVADA PARCIAL DE 𝒇 𝒙 𝒚 EM RELAÇÃO À VARIÁVEL Y NO PONTO 𝒙𝟎 𝒚𝟎 v Coeficiente Angular da reta tangente à curva 𝑧 𝑓 𝑥 𝑦 em 𝑃 𝑥 𝑦 𝑓𝑥 𝑦 quando x é mantido fixo em 𝑥 v Taxa de variação de f x y na direção 𝑗 em 𝑥 𝑦 quando x é mantido fixo em 𝑥 EXEMPLO 1 Seja 𝒇 𝒙 𝒚 𝟐𝒙𝟑 𝒙𝒚𝟒 𝒚 Seu gráfico pode ser observado abaixo O que podemos dizer do sinal das derivadas parciais dessa função no ponto 2 2 em destaque apenas observando o gráfico Só após sua resposta calcule 0 2 2 e 1 2 2 para conferir se acertou EXEMPLO 1 Seja 𝒇 𝒙 𝒚 𝟐𝒙𝟑 𝒙𝒚𝟒 𝒚 Seu gráfico pode ser observado abaixo O que podemos dizer do sinal das derivadas parciais dessa função no ponto 2 2 em destaque apenas observando o gráfico Só após sua resposta calcule 0 2 2 e 1 2 2 para conferir se acertou Mês Zero Aula 01 Conjuntos numéricos operações básicas e frações Mês Zero Aula 01 Conjuntos numéricos operações básicas e frações EXEMPLO 1 Seja 𝒇 𝒙 𝒚 𝟐𝒙𝟑 𝒙𝒚𝟒 𝒚 Seu gráfico pode ser observado abaixo O que podemos dizer do sinal das derivadas parciais dessa função no ponto 2 2 em destaque apenas observando o gráfico Só após sua resposta calcule 0 2 2 e 1 2 2 para conferir se acertou EXEMPLO 1 Seja 𝒇 𝒙 𝒚 𝟐𝒙𝟑 𝒙𝒚𝟒 𝒚 Seu gráfico pode ser observado abaixo O que podemos dizer do sinal das derivadas parciais dessa função no ponto 2 2 em destaque apenas observando o gráfico Só após sua resposta calcule 0 2 2 e 1 2 2 para conferir se acertou EXEMPLO 1 ANÁLISE DA DERIVADA 2 2 OBSERVE A FIGURA ABAIXO NELA PODEMOS OBSERVAR UMA CURVA ROXA QUE FOI OBTIDA QUANDO CONSIDERAMOS Y CONSTANTE E IGUAL A 2 Podemos notar que ao caminharmos ao longo desta curva no sentido de crescimento da variável x a partir do ponto 2 2 há um decréscimo no valor da função Sendo assim 2 2 deve ser negativa Vamos conferir EXEMPLO 1 ANÁLISE DA DERIVADA 2 2 CONFERINDO COMO 𝑓 𝑥 𝑦 2𝑥 𝑥𝑦 𝑦 TEMOS 6𝑥 𝑦 E PORTANTO 2 2 62 2 8 O SINAL DO RESULTADO É NEGATIVO CONFORME ESPERÁVAMOS EXEMPLO 1 ANÁLISE DA DERIVADA 2 2 AGORA VAMOS ANALISAR A DERIVADA PARCIAL EM RELAÇÃO A X OU SEJA VAMOS CONSIDERAR X CONSTANTE OBSERVE A CURVA AZUL NA FIGURA OBTIDA CONSIDERADOSE X CONSTANTE E IGUAL A 2 Caminhemos agora partir do ponto 2 2 no sentido de crescimento do eixo y Note que novamente há um decréscimo no valor da função Dessa vez ainda mais acentuado Sendo assim 2 2 deve ser negativa também EXEMPLO 1 ANÁLISE DA DERIVADA 2 2 CONFERINDO COMO 𝑓 𝑥 𝑦 2𝑥 𝑥𝑦 𝑦 TEMOS 4𝑥𝑦 1 E PORTANTO 2 2 4 2 2 1 65 O SINAL DO RESULTADO É NEGATIVO CONFORME ESPERÁVAMOS NOTE QUE O RESULTADO É AINDA MENOR QUE O ANTERIOR ISSO JÁ ERA PREVISTO POIS PODEMOS NOTAR QUE A FUNÇÃO DECRESCE MUITO MAIS RAPIDAMENTE AO NOS MOVIMENTARMOS NESTA DIREÇÃO E SENTIDO A PARTIR DO PONTO 2 2 EXEMPLO 2 SEJA 𝑓 𝑥 𝑦 4 𝑥 2𝑦 DETERMINE 𝑓 1 1 E 𝑓 1 1 COMO INCLINAÇÕES EXEMPLO 2 RESOLUÇÃO SE 𝑓 𝑥 𝑦 4 𝑥 2𝑦 TEMOS 𝑓 2𝑥 E 𝑓 4𝑦 ASSIM 𝑓 1 1 2 E 𝑓 1 1 4 DERIVADAS DE ORDEM SUPERIOR NOTAÇÕES EXEMPLO 3 SE 𝒇 𝒙 𝒚 𝒙𝟑 𝒙𝟐𝒚𝟑 𝟐𝒚𝟐 DETERMINE AS DERIVADAS PARCIAIS DE 2ª ORDEM DESSA FUNÇÃO EXEMPLO 3 RESOLUÇÃO SE 𝑓 𝑥 𝑦 𝑥 𝑥𝑦 2𝑦 TEMOS 𝑓 3𝑥 2𝑥𝑦 E 𝑓 3𝑥𝑦 4𝑦 CADA UMA DESSAS DERIVADAS PODEM SER DERIVADAS MAIS UMA VEZ EM RELAÇÃO A CADA UMA DAS VARIÁVEIS PORTANTO DÃO ORIGEM A OUTRAS DUAS DERIVADAS CHAMADAS DERIVADAS DE 2ª ORDEM OS RESULTADOS SÃO MOSTRADOS NA TABELA ABAIXO Derivadas de 1a ordem Derivadas de 2a ordem 𝑓 3𝑥 2𝑥𝑦 𝑓 6𝑥 2𝑦 𝑓 6𝑥𝑦 𝑓 3𝑥𝑦 4𝑦 𝑓 6𝑥𝑦 𝑓 6𝑥𝑦 4 DERIVADAS DE ORDEM SUPERIOR Observe que fxy fyx no exemplo anterior Isso não é só uma coincidência As derivadas parciais mistas fxy e fyx são iguais para a maioria das funções que encontramos na prática O próximo teorema do matemático francês Alexis Clairaut 1713 1765 fornece condições sob as quais podemos afirmar que fxy fyx Teorema de Clairaut Suponha que f seja definida em uma aberta D que contenha o ponto a b Se as funções fxy e fyx forem ambas contínuas em D então fxy a b fyx a b EXEMPLO 4 Consideremos novamente a função 𝑓 𝑥 𝑦 2𝑥9 𝑥𝑦 𝑦 O que podemos dizer do sinal das derivadas parciais de segunda ordem fxx e fyy dessa função no ponto 2 2 em destaque apenas observando o gráfico EXEMPLO 4 RESOLUÇÃO MANTENDOSE Y CONSTANTE IGUAL A 2 OBTEMOS A CURVA ROXA ABAIXO REPRESENTADA Essa curva pode ser interpretada como uma função apenas de x Note que no ponto 2 2 ela tem concavidade voltada para cima Assim conforme aprendemos em Cálculo 1 o sinal da segunda derivada será positivo Sendo assim 𝑓𝑥𝑥2 2 deve ser positiva Conferindo Se 𝑓 𝑥 𝑦 2𝑥9 𝑥𝑦 𝑦 temos 𝑓𝑥 6𝑥 𝑦 𝑓𝑥𝑥12x Assim 𝑓𝑥𝑥2 212224 EXEMPLO 4 RESOLUÇÃO MANTENDOSE AGORA X CONSTANTE IGUAL A 2 OBTEMOS A CURVA AZUL ABAIXO REPRESENTADA Essa curva pode ser interpretada como uma função apenas de y Note que no ponto 2 2 ela tem concavidade voltada para baixo Assim conforme aprendemos em Cálculo 1 o sinal da segunda derivada será negativo Sendo assim 𝑓𝑦𝑦2 2 deve ser negativa Conferindo Se 𝑓 𝑥 𝑦 2𝑥9 𝑥𝑦 𝑦 temos 𝑓𝑦 4𝑥𝑦9 1 𝑓𝑦𝑦12xy2 Assim 𝑓𝑦𝑦2 212222 96 REGRAS DE DERIVAÇÃO AGORA QUE JÁ FALAMOS SOBRE A INTERPRETAÇÃO DAS DERIVADAS PARCIAIS VAMOS CALCULAR DERIVADAS DE FUNÇÕES UM POUCO MAIS COMPLICADAS CALCULE AS DERIVADAS PARCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM DAS FUNÇÕES QUE SE SEGUEM EXEMPLO 5 ℎ 𝑥 𝑦 COS 𝑥9𝑦 EXEMPLO 5 ℎ 𝑥 𝑦 COS 𝑥9𝑦 CÁLCULO DE ℎ0 ℎ0 SEN 𝑥9𝑦 3𝑥𝑦 ℎ0 3𝑥𝑦SEN 𝑥9𝑦 CÁLCULO DE ℎ1 ℎ1 SEN 𝑥9𝑦 𝑥9 ℎ1 𝑥9SEN 𝑥9𝑦 EXEMPLO 6 𝑓 𝑥 𝑦 2𝑥 𝑙𝑛 𝑥4𝑦 𝑦5 EXEMPLO 6 𝑓 𝑥 𝑦 2𝑥 𝑙𝑛 𝑥𝑦 𝑦 CÁLCULO DE 𝑓 NOTE QUE É UM PRODUTO DE FUNÇÕES DE 𝑥 𝑓 2LN 𝑥𝑦 𝑦 2𝑥 REGRA DO PRODUTO 𝑓 2LN 𝑥𝑦 𝑦 𝑓 2LN 𝑥𝑦 𝑦 EXEMPLO 6 CONTINUAÇÃO 𝑓 𝑥 𝑦 2𝑥LN 𝑥𝑦 𝑦 CÁLCULO DE 𝑓 NOTE QUE EM RELAÇÃO A Y NÃO PRECISAMOS USAR A REGRA DO PRODUTO 𝑓 2𝑥 𝑓 2𝑥 6𝑥𝑦 𝑥𝑦 𝑦 EXEMPLO 7 𝑔 𝑥 𝑦 𝑥𝑦 𝑦 9 EXEMPLO 7 𝑔 𝑥 𝑦 𝑥𝑦 𝑦 CÁLCULO DE 𝑔 𝑔 3 𝑥𝑦 𝑦 2𝑥𝑦 𝑔 6𝑥𝑦 𝑥𝑦 𝑦 CÁLCULO DE 𝑔 𝑔 3 𝑥𝑦 𝑦 𝑥 4𝑦 𝑔 3𝑥 12𝑦 𝑥𝑦 𝑦 EXEMPLO 8 𝑓 𝑥 𝑦 𝑒 𝑥4 EXEMPLO 8 𝑓 𝑥 𝑦 𝑒 𝑥 CÁLCULO DE 𝑓 VAMOS PRECISAR USAR A REGRA DO QUOCIENTE NA DERIVADA EM RELAÇÃO À 𝑥 𝑓 𝑦𝑒𝑥 𝑒2𝑥 𝑥 𝑓 𝑥𝑦𝑒 2𝑥𝑒 𝑥 𝑓 𝑥𝑒𝑥𝑦 2 𝑥 𝑓 𝑒𝑥𝑦 2 𝑥 EXEMPLO 8 𝑓 𝑥 𝑦 𝑒 𝑥 CÁLCULO DE 𝑓 REESCREVA A FUNÇÃO 𝑓𝑥 𝑦 𝑒 PERCEBA QUE EM RELAÇÃO A 𝑦 NÃO HÁ NECESSIDADE DE USAR REGRA DO QUOCIENTE E NEM DO PRODUTO POIS O PRIMEIRO TERMO É CONSTANTE 𝑓 𝑒𝑥 SIMPLIFICANDO 𝑓 𝑒𝑥 𝑓 REFERÊNCIAS HTTPSINTEGRADAMINHABIBLIOTECACOMBRBOOKS9788522126866PAGEID329