Equação Diferencial de 1ª Ordem Linear com Fator Integrante

Equação Diferencial de 1ª Ordem linear com fator integrante Cálculo IV Facens Prof Isaías Goldschmidt EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE 1ª ORDEM COM FATOR INTEGRANTE Uma equação diferencial ordinária linear de 1ª ordem pode ser escrita de forma genérica como Sendo 𝑃𝑥 e 𝑄𝑥 funções contínuas em um dado intervalo Um exemplo de EDO linear é dado por Nesta situação a equação diferencial não é separável já que não é possível deixar 𝑦 como uma função de 𝑥 vezes uma função de 𝑦 Neste e em outros casos a EDO deve ser deixada na forma linear Com 𝑃 𝑥 e Q 𝑥 3 Equação Diferencial de 1ª Ordem linear com fator integrante Cálculo IV 𝑦 𝑃 𝑥 𝑦 𝑄𝑥 𝑥𝑦 𝑦 3𝑥 𝑦 1 𝑥 𝑦 3 EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE 1ª ORDEM COM FATOR INTEGRANTE Ou O 1º membro da igualdade da equação diferencial é o resultado da regra de derivada do produto entre 𝑢 𝑥 e 𝑣 𝑦 Então a equação diferencial linear pode ser representada como Equação Diferencial de 1ª Ordem linear com fator integrante 𝑥𝑦 𝑦 3𝑥 𝑢 𝑣 𝑢 𝑣 𝑢 𝑣 𝑥 𝑦 1 𝑦 𝑥 𝑦 1 𝑦 𝑥 𝑦 3𝑥 𝑥 𝑦 3𝑥 Cálculo IV EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE 1ª ORDEM COM FATOR INTEGRANTE Equação Diferencial de 1ª Ordem linear com fator integrante 𝑥 𝑦 3𝑥 𝑑 𝑑𝑥 𝑥 𝑦 3𝑥 A equação diferencial dada inicialmente 𝑥𝑦 𝑦 3𝑥 era uma equação não separável enquanto que a nova equação diferencial de 1ª ordem indicada acima 𝑥 𝑦 3𝑥 se tornou uma equação separável 𝑑 𝑑𝑥 𝑥 𝑦 3𝑥 𝑑 𝑥 𝑦 3𝑥𝑑𝑥 Cálculo IV EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE 1ª ORDEM COM FATOR INTEGRANTE Equação Diferencial de 1ª Ordem linear com fator integrante 𝑑 𝑥 𝑦 3𝑥𝑑𝑥 Integrando ambos os lados temse que A 1𝑑 𝑥 𝑦 A 3𝑥𝑑𝑥 𝑥 𝑦 3𝑥 2 𝐶 Então a solução geral é 𝒚 𝟑𝒙 𝟐 𝑪 𝒙 Observação 1𝑑𝑥 𝑥 𝐶 1𝑑𝑦 𝑦 𝐶 1𝑑 𝑥 𝑦 𝑥 𝑦 𝐶 Cálculo IV EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE 1ª ORDEM COM FATOR INTEGRANTE Se a equação diferencial inicial fosse dada na forma 𝑦 𝑦 3 então teria que multiplicar ambos os lados pela variável 𝑥 e em seguida usar a regra do produto no primeiro membro Na verdade esse termo 𝑥 que foi multiplicado em ambos os lados é denominado de fator integrante e denotado matematicamente por 𝜇𝑥 sendo 𝑢 uma letra grega lêse mi Equação Diferencial de 1ª Ordem linear com fator integrante Cálculo IV EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE 1ª ORDEM COM FATOR INTEGRANTE Percebese que uma equação diferencial linear de 1ª ordem se torna uma EDO de 1ª separável se multiplicar ambos os lados da igualdade pelo fator integrante 𝜇 𝑥 É importante neste momento determinar uma fórmula genérica do fator integrante 𝜇𝑥 para resolver qualquer exercício que envolve uma equação diferencial linear de 1ª ordem Nos próximos slides é apresentado o raciocínio para se deduzir as fórmulas de cálculo do fator integrante e da solução geral Posteriormente para resolver uma EDO linear de 1ª ordem com fator integrante basta usar essas fórmulas para resolver os exercícios de forma direta e prática Equação Diferencial de 1ª Ordem linear com fator integrante Cálculo IV EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE 1ª ORDEM COM FATOR INTEGRANTE Equação Diferencial de 1ª Ordem linear com fator integrante Dada a EDO linear de 1ª ordem 𝑦 𝑃𝑥𝑦 𝑄𝑥 Multiplicando ambos os lados da igualdade pelo fator integrante 𝑢 𝑥 𝜇𝑥 𝑦 𝑃𝑥𝑦 𝜇𝑥𝑄𝑥 𝜇𝑥𝑦 𝜇 𝑥 𝑃 𝑥 𝑦 𝜇𝑥𝑄𝑥 Ou 𝜇 𝑥 𝑃 𝑥 𝑦 𝜇𝑥𝑦 𝜇𝑥𝑄𝑥 O 1º membro é a derivada do produto da função 𝝁 𝒙 𝒚 se 𝜇 𝑥 𝜇 𝑥 𝑃 𝑥 então 𝑑 𝑑𝑥 𝝁 𝒙 𝒚 𝜇𝑥𝑄𝑥 𝑑 𝝁 𝒙 𝒚 𝜇 𝑥 𝑄 𝑥 𝑑𝑥 Integrando ambos os lados 6 𝑑 𝝁 𝒙 𝒚 6 𝜇𝑥𝑄𝑥dx Cálculo IV EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE 1ª ORDEM COM FATOR INTEGRANTE A solução geral de uma EDO linear de 1º ordem com fator integrante 𝜇𝑥 é 𝑦 1 𝜇𝑥 𝜇𝑥𝑄𝑥dx Equação Diferencial de 1ª Ordem linear com fator integrante 6 1𝑑 𝜇 𝑥 𝑦 6 𝜇𝑥𝑄𝑥dx 𝜇 𝑥 𝑦 6 𝜇𝑥𝑄𝑥dx Então 𝑦 1 𝜇𝑥 6 𝜇𝑥𝑄𝑥dx Cálculo IV EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE 1ª ORDEM COM FATOR INTEGRANTE O fator integrante 𝜇𝑥 é obtido da relação 𝜇 𝑥 𝑃 𝑥 𝜇 𝑥 do passo seguinte A partir da igualdade 𝜇 𝑥 𝑃 𝑥 𝜇 𝑥 é possível obter o fator integrante 𝜇 𝑥 Equação Diferencial de 1ª Ordem linear com fator integrante 𝝁 𝒙 𝑷 𝒙 𝑦 𝜇𝑥𝑦 𝜇𝑥𝑄𝑥 𝑑 𝑑𝑥 𝝁 𝒙 𝑦 𝜇𝑥𝑄𝑥 𝜇 𝑥 𝑃 𝑥 𝜇 𝑥 𝜇 𝑥 𝑃 𝑥 𝑑 𝑑𝑥 𝜇 𝑥 𝜇 𝑥 𝑃 𝑥 dx 𝑑𝜇 𝑥 Cálculo IV EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE 1ª ORDEM COM FATOR INTEGRANTE Equação Diferencial de 1ª Ordem linear com fator integrante 𝜇 𝑥 𝑃 𝑥 dx 𝑑𝜇 𝑥 𝑃 𝑥 dx 1 𝜇 𝑥 𝑑𝜇 𝑥 1 𝜇 𝑥 𝑑𝜇 𝑥 𝑃 𝑥 dx 6 1 𝜇 𝑥 𝑑𝜇 𝑥 6 𝑃 𝑥 dx ln 𝜇 𝑥 6 𝑃 𝑥 dx log 𝜇 𝑥 6 𝑃 𝑥 dx 𝜇 𝑥 𝑒 Cálculo IV EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE 1ª ORDEM COM FATOR INTEGRANTE Assim o fator integrante 𝜇 𝑥 é dado por Equação Diferencial de 1ª Ordem linear com fator integrante 𝜇 𝑥 𝑒 𝜇 𝑥 𝑒 5 67 Cálculo IV EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE 1ª ORDEM COM FATOR INTEGRANTE Por fim a resolução de uma EDO linear de 1ª ordem é muito simples basta em um primeiro momento determinar o fator integrante 𝜇 𝑥 a partir da fórmula seguinte E em um segundo momento usar a fórmula da solução geral Equação Diferencial de 1ª Ordem linear com fator integrante 𝜇 𝑥 𝑒 5 67 𝑦 1 𝜇𝑥 𝜇𝑥𝑄𝑥dx Cálculo IV EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE 1ª ORDEM COM FATOR INTEGRANTE Exemplo 1 Identifique a solução geral da EDO linear de 1ª ordem Equação Diferencial de 1ª Ordem linear com fator integrante 𝑦 3𝑥𝑦 6𝑥 𝑦0 0 Cálculo IV EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE 1ª ORDEM COM FATOR INTEGRANTE Equação Diferencial de 1ª Ordem linear com fator integrante Cálculo IV 𝑦 3𝑥𝑦 6𝑥 𝑦0 0 EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE 1ª ORDEM COM FATOR INTEGRANTE Equação Diferencial de 1ª Ordem linear com fator integrante Cálculo IV EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE 1ª ORDEM COM FATOR INTEGRANTE Equação Diferencial de 1ª Ordem linear com fator integrante Cálculo IV EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE 1ª ORDEM COM FATOR INTEGRANTE Equação Diferencial de 1ª Ordem linear com fator integrante Cálculo IV EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE 1ª ORDEM COM FATOR INTEGRANTE Equação Diferencial de 1ª Ordem linear com fator integrante Cálculo IV EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE 1ª ORDEM COM FATOR INTEGRANTE Equação Diferencial de 1ª Ordem linear com fator integrante 𝑦 3𝑥𝑦 6𝑥 Essa equação diferencial é linear então é possível identificar os termos 𝑃𝑥 e 𝑄𝑥 𝑦 3𝑥𝑦 6𝑥 𝑦 𝑃𝑥𝑦 𝑄𝑥 O fator integrante 𝜇𝑥 é dado por 𝜇 𝑥 𝑒 𝜇 𝑥 𝑒 𝑒 𝑒 𝑒 então 𝝁 𝒙 𝒆𝒙𝟑 A solução geral é dada por 𝑦 1 𝜇 𝑥 6 𝜇 𝑥 𝑄 𝑥 𝑑𝑥 𝑦 1 𝒆𝒙𝟑 6 𝒆𝒙𝟑 6𝑥𝑑𝑥 Cálculo IV EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE 1ª ORDEM COM FATOR INTEGRANTE Equação Diferencial de 1ª Ordem linear com fator integrante 𝑦 1 𝒆𝒙𝟑 6 𝒆𝒙𝟑 6𝑥𝑑𝑥 Usando a regra da cadeia aplicada a integrais chamase 𝑢 𝑥 e deriva u em relação a variável x 𝑥 3𝑥 então 𝑑𝑢 3𝑥dx e por fim 𝑑𝑢 𝑑x Substituindo 𝑢 3𝑥 e 𝑑𝑢 𝑑x na integral 𝒆𝒙𝟑 6𝑥𝑑𝑥 então 𝑦 1 𝒆𝒙𝟑 6 𝒆𝒙𝟑 6𝑥𝑑𝑥 𝑦 1 𝒆𝒙𝟑 6 𝒆𝒖 6𝑥 1 3𝑥 𝑑𝑢 𝑦 1 𝒆𝒙𝟑 6 𝒆𝒖 2𝑑𝑢 Cálculo IV EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE 1ª ORDEM COM FATOR INTEGRANTE Equação Diferencial de 1ª Ordem linear com fator integrante 𝑦 1 𝒆𝒙𝟑 2 6 𝒆𝒖 𝑑𝑢 Não se esquecer de adicionar a constante arbitrária C sempre dentro do parênteses quando resolver esta integral no 2º membro da igualdade 𝑦 1 𝒆𝒙𝟑 2 𝒆𝒖 𝐶 𝑦 2 𝒆𝒙𝟑 𝒆𝒙𝟑 𝐶 Aplicando a distributiva temse que 𝑦 2 𝒆𝒙𝟑 𝒆𝒙𝟑 2 𝒆𝒙𝟑 𝐶 A solução geral é 𝒚 𝟐 𝟐 𝒆𝒙𝟑 𝑪 ou 𝒚 𝟐 𝑲 𝒆𝒙𝟑 Cálculo IV EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE 1ª ORDEM COM FATOR INTEGRANTE Equação Diferencial de 1ª Ordem linear com fator integrante A solução geral é 𝒚 𝟐 𝟐 𝒆𝒙𝟑 𝑪 ou 𝒚 𝟐 𝑲 𝒆𝒙𝟑 Para a condição inicial 𝑦 0 0 𝑦 2 0 2 0 2 𝑲 𝟐 Então a solução particular é 𝒚 𝟐 𝟐 𝒆𝒙𝟑 Cálculo IV EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE 1ª ORDEM COM FATOR INTEGRANTE Exemplo 1 O mesmo exemplo anterior mas feito de uma forma diferente que não deve ser adotada na resolução de exercícios que envolvem EDO de 1ª ordem com fator integrante Identifique a solução geral da EDO linear de 1ª ordem Equação Diferencial de 1ª Ordem linear com fator integrante 𝑦 3𝑥𝑦 6𝑥 𝑦0 0 Cálculo IV EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE 1ª ORDEM COM FATOR INTEGRANTE Equação Diferencial de 1ª Ordem linear com fator integrante Cálculo IV EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE 1ª ORDEM COM FATOR INTEGRANTE Equação Diferencial de 1ª Ordem linear com fator integrante Cálculo IV EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE 1ª ORDEM COM FATOR INTEGRANTE Equação Diferencial de 1ª Ordem linear com fator integrante Cálculo IV EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE 1ª ORDEM COM FATOR INTEGRANTE Equação Diferencial de 1ª Ordem linear com fator integrante Cálculo IV EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE 1ª ORDEM COM FATOR INTEGRANTE Equação Diferencial de 1ª Ordem linear com fator integrante Cálculo IV EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE 1ª ORDEM COM FATOR INTEGRANTE Equação Diferencial de 1ª Ordem linear com fator integrante Cálculo IV EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE 1ª ORDEM COM FATOR INTEGRANTE Equação Diferencial de 1ª Ordem linear com fator integrante Cálculo IV EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE 1ª ORDEM COM FATOR INTEGRANTE Equação Diferencial de 1ª Ordem linear com fator integrante Cálculo IV EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE 1ª ORDEM COM FATOR INTEGRANTE Equação Diferencial de 1ª Ordem linear com fator integrante E se não fosse usada a fórmula pronta da solução geral O exercício seria resolvido no braço 𝑦 3𝑥𝑦 6𝑥 𝑦 𝑃𝑥𝑦 𝑄𝑥 Em um primeiro momento é necessário determinar o fator integrante usando a seguinte fórmula 𝜇 𝑥 𝑒 𝜇 𝑥 𝑒 𝑒 𝑒 𝑒 então 𝝁 𝒙 𝒆𝒙𝟑 Multiplicando o fator integrante em ambos os lados da igualdade 𝒆𝒙𝟑 𝑦 3𝑥𝑦 𝒆𝒙𝟑 6𝑥 Cálculo IV EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE 1ª ORDEM COM FATOR INTEGRANTE Equação Diferencial de 1ª Ordem linear com fator integrante 𝒆𝒙𝟑 𝑦 3𝑥𝑦 𝒆𝒙𝟑 6𝑥 𝒆𝒙𝟑𝑦 𝒆𝒙𝟑3𝑥𝑦 6𝑥𝒆𝒙𝟑 𝒆𝒙𝟑3𝑥𝑦 𝒆𝒙𝟑𝑦 6𝑥𝒆𝒙𝟑 𝒆𝒙𝟑3𝑥𝑦 𝒆𝒙𝟑𝑦 6𝑥𝒆𝒙𝟑 𝒖 𝑦 𝒖 𝑦 6𝑥𝒆𝒙𝟑 𝒖 𝒚 6𝑥𝒆𝒙𝟑 𝒅 𝒅𝒙 𝒖 𝒚 6𝑥𝒆𝒙𝟑 𝒅 𝒖 𝒚 6𝑥𝒆𝒙𝟑𝒅𝒙 Cálculo IV EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE 1ª ORDEM COM FATOR INTEGRANTE Equação Diferencial de 1ª Ordem linear com fator integrante 𝒅 𝒖 𝒚 6𝑥𝒆𝒙𝟑𝒅𝒙 6 𝟏𝒅 𝒖 𝒚 6 6𝑥𝒆𝒙𝟑𝒅𝒙 Usando a regra da cadeia aplicada a integrais chamase 𝑢 𝑥 e deriva u em relação a variável x 𝑥 3𝑥 então 𝑑𝑢 3𝑥dx e por fim 𝑑𝑢 𝑑x Substituindo 𝑢 3𝑥 e 𝑑𝑢 𝑑x na integral 𝒆𝒙𝟑 6𝑥𝑑𝑥 então 6 𝟏𝒅 𝒖 𝒚 6 6𝑥𝒆𝒖 1 3𝑥 𝑑𝑢 𝒖 y 2 6 𝑒𝑑𝑢 Cálculo IV EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE 1ª ORDEM COM FATOR INTEGRANTE Equação Diferencial de 1ª Ordem linear com fator integrante 𝒖 y 2 6 𝑒𝑑𝑢 O termo 𝑢 é justamente o fator integrante 𝝁 𝒙 𝒆𝒙𝟑 𝒆𝒙𝟑 y 2 𝑒 𝐶 𝒆𝒙𝟑 y 2 𝑒 𝐶 y 2 𝒆𝒙𝟑 𝑒 𝐶 y 2 𝒆𝒙𝟑 𝑒 2 𝒆𝒙𝟑 𝐶 A solução geral é 𝒚 𝟐 𝟐 𝒆𝒙𝟑 𝑪 ou 𝒚 𝟐 𝑲 𝒆𝒙𝟑 Cálculo IV EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE 1ª ORDEM COM FATOR INTEGRANTE Equação Diferencial de 1ª Ordem linear com fator integrante A solução geral é 𝒚 𝟐 𝑲 𝒆𝒙𝟑 Para a condição inicial 𝑦 0 0 𝑦 2 0 2 0 2 𝑲 𝟐 Então a solução particular é 𝒚 𝟐 𝟐 𝒆𝒙𝟑 Cálculo IV EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE 1ª ORDEM COM FATOR INTEGRANTE Exemplo 1 O mesmo exemplo anterior mas feito de uma terceira forma diferente Agora o exemplo é resolvido como uma EDO de 1ª ordem SEPARÁVEL Identifique a solução geral da EDO linear de 1ª ordem Equação Diferencial de 1ª Ordem linear com fator integrante 𝑦 3𝑥𝑦 6𝑥 𝑦0 0 Cálculo IV EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE 1ª ORDEM COM FATOR INTEGRANTE Equação Diferencial de 1ª Ordem linear com fator integrante 𝑦 3𝑥𝑦 6𝑥 𝑦0 0 Essa EDO também pode ser resolvida como separável 𝑦 6𝑥 3𝑥𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥 3𝑥2 𝑦 𝑑𝑦 3𝑥 2 𝑦 𝑑𝑥 1 2 𝑦 𝑑𝑦 3𝑥𝑑𝑥 6 1 2 𝑦 𝑑𝑦 6 3𝑥𝑑𝑥 Cálculo IV EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE 1ª ORDEM COM FATOR INTEGRANTE Equação Diferencial de 1ª Ordem linear com fator integrante 6 1 2 𝑦 𝑑𝑦 6 3𝑥𝑑𝑥 Usando a regra da cadeia aplicada a integrais chamase 𝑢 2 𝑦 e deriva u em relação a variável x 2 𝑦 1 então 𝑑𝑢 1dx e por fim 1𝑑𝑢 𝑑x Substituindo 𝑢 2 𝑦 e 1𝑑𝑢 𝑑x na integral 01 𝑑𝑦 então 6 1 𝑢 1𝑑𝑢 6 3𝑥𝑑𝑥 ln 𝑢 3 𝑥 3 𝐶 ln 𝑦 2 𝑥 𝐶 ln 𝑦 2 𝑥 𝐶 Cálculo IV EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE 1ª ORDEM COM FATOR INTEGRANTE Equação Diferencial de 1ª Ordem linear com fator integrante ln 𝑦 2 𝑥 𝐶 𝑦 2 𝑒002 𝑦 2 𝑒0𝑒02 𝑦 2 𝑒0𝐾 A solução geral é 𝒚 𝟐 𝑲 𝒆0𝒙𝟑 Para a condição inicial 𝑦 0 0 temse que 0 2 𝐾𝑒3 𝑲 𝟐 A solução particular é 𝒚 𝟐 2 𝒆0𝒙𝟑 ou 𝒚 𝟐 𝟐 𝒆𝒙𝟑 Cálculo IV EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE 1ª ORDEM SEPARÁVEL Exemplo 2 Esse exemplo é resolvido em um primeiro momento como uma EDO de 1ª ordem separável Considere um circuito elétrico resistivo indutivo 𝑅𝐿 que contém uma força eletromotriz dado por uma pilha ou um gerador que produz uma tensão 𝐸𝑡 volts 𝑉 e uma corrente elétrica 𝐼𝑡 amperes 𝐴 em um instante 𝑡 O circuito também possui um resistor com resistência de 𝑅 ohms Ω e um indutor com indutância de 𝐿 henrys 𝐻 Considere que a resistência seja 12 Ω a indutância 4 𝐻 e a pilha forneça uma tensão constante de 60 𝑉 Equação Diferencial de 1ª Ordem Cálculo IV EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE 1ª ORDEM SEPARÁVEL Equação Diferencial de 1ª Ordem 𝑳 𝒅𝑰𝒕 𝒅𝒕 𝑹 𝑰 𝒕 𝑬𝒕 Sendo 𝐿 4 𝐻 𝑅 12 Ω e 𝐸 𝑡 60 𝑉 então temse uma equação diferencial de 1ª ordem 4 𝑑𝐼𝑡 𝑑𝑡 12 𝐼 𝑡 60 𝑑𝐼𝑡 𝑑𝑡 3 𝐼 𝑡 15 Essa EDO pode ser deixada na forma separável 𝑑𝐼𝑡 𝑑𝑡 15 3 𝐼 𝑡 Para simplificar a função corrente que varia com o tempo 𝐼𝑡 pode ser representada simplesmente como 𝐼 Cálculo IV EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE 1ª ORDEM SEPARÁVEL Equação Diferencial de 1ª Ordem 𝑑𝐼 𝑑𝑡 15 3𝐼 𝑑𝐼 15 3𝐼 𝑑𝑡 1 15 3𝐼 𝑑𝐼 𝑑𝑡 6 1 15 3𝐼 𝑑𝐼 6 𝑑𝑡 Usando a regra da cadeia aplicada a integrais chamase 𝑢 15 3𝐼 e deriva u em relação a variável I 4 4 15 3𝐼 3 então 𝑑𝑢 3𝑑𝐼 e por fim 0 𝑑𝑢 𝑑𝐼 Substituindo 𝑢 15 3𝐼 e 0 𝑑𝑢 𝑑𝐼 na integral 504 𝑑𝐼 𝑑𝑡 então Cálculo IV EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE 1ª ORDEM SEPARÁVEL Equação Diferencial de 1ª Ordem Substituindo 𝑢 15 3𝐼 e 0 𝑑𝑢 𝑑𝐼 na integral 504 𝑑𝐼 𝑑𝑡 então 6 1 𝑢 1 3 𝑑𝑢 6 𝑑𝑡 1 3 6 1 𝑢 𝑑𝑢 6 𝑑𝑡 1 3 ln 𝑢 𝑡 𝐶 Como 𝑢 15 3𝐼 então 1 3 ln 15 3𝐼 𝑡 𝐶 1 3 ln 15 3𝐼 𝑡 𝐶 Cálculo IV EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE 1ª ORDEM SEPARÁVEL Equação Diferencial de 1ª Ordem 1 3 ln 15 3𝐼 𝑡 𝐶 ln 15 3𝐼 3𝑡 3𝐶 15 3𝐼 𝑒0602 15 3𝐼 𝑒06𝑒02 Substituindo a constante 𝑒02 por outra constante mais simples 𝐾 15 3𝐼 𝑒06𝐾 3𝐼 15 𝐾𝑒06 3𝐼 15 𝐾𝑒06 𝐼 5 𝐾 3 𝑒06 Cálculo IV EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE 1ª ORDEM SEPARÁVEL Equação Diferencial de 1ª Ordem 𝐼 5 𝐾 3 𝑒06 Podese chamar a constante de outra constante 𝐴 e obtémse a solução geral da EDO isto é a corrente elétrica no circuito segue a função 𝐼 5 𝐴𝑒06 Ou 𝑰𝒕 𝟓 𝑨𝒆0𝟑𝒕 Cálculo IV EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE 1ª ORDEM SEPARÁVEL Equação Diferencial de 1ª Ordem 𝑰𝒕 𝟓 𝑨𝒆0𝟑𝒕 A corrente em função do tempo no circuito admite uma solução particular dado a condição inicial 𝐼 𝑡 0 𝑠 0 𝐴 ou simplesmente 𝐼 0 0 𝐼𝑡 5 𝐴𝑒06 𝐼 𝑡 0 5 𝐴𝑒03 0 5 𝐴 0 𝐴 5 Assim a corrente elétrica no instante inicial é dado pela função 𝑰𝒕 𝟓 𝟓𝒆0𝟑𝒕 Cálculo IV EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE 1ª ORDEM SEPARÁVEL Exemplo 2 O mesmo exemplo anterior mas feito como EDO de 1ª ordem com fator integrante Considere um circuito elétrico resistivo indutivo 𝑅𝐿 que contém uma força eletromotriz dado por uma pilha ou um gerador que produz uma tensão 𝐸𝑡 volts 𝑉 e uma corrente elétrica 𝐼𝑡 amperes 𝐴 em um instante 𝑡 O circuito também possui um resistor com resistência de 𝑅 ohms Ω e um indutor com indutância de 𝐿 henrys 𝐻 Considere que a resistência seja 12 Ω a indutância 4 𝐻 e a pilha forneça uma tensão constante de 60 𝑉 Equação Diferencial de 1ª Ordem Cálculo IV EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE 1ª ORDEM COM FATOR INTEGRANTE Equação Diferencial de 1ª Ordem linear com fator integrante Outra forma de resolver a EDO de 1ª ordem é usando fator integrante 𝜇𝑥 𝑳 𝒅𝑰𝒕 𝒅𝒕 𝑹 𝑰 𝒕 𝑬𝒕 Sendo 𝐿 4 𝐻 𝑅 12 Ω e 𝐸 𝑡 60 𝑉 então temse uma equação diferencial de 1ª ordem 4 𝑑𝐼𝑡 𝑑𝑡 12 𝐼 𝑡 60 𝑑𝐼𝑡 𝑑𝑡 3 𝐼 𝑡 15 𝑑𝐼𝑡 𝑑𝑡 𝑃𝑡 𝐼 𝑡 𝑄𝑡 Fator integrante 𝜇𝑡 𝜇 𝑡 𝑒 6 6 𝑒 6 𝑒 6 𝑒6 então 𝝁 𝒕 𝒆𝟑𝒕 Cálculo IV EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE 1ª ORDEM COM FATOR INTEGRANTE Equação Diferencial de 1ª Ordem linear com fator integrante 𝝁 𝒕 𝒆𝟑𝒕 Solução geral 𝐼𝑡 1 𝝁 𝒕 A 𝝁 𝒕 𝑄 𝑡 𝑑𝑡 𝐼𝑡 1 𝒆𝟑𝒕 A 𝒆𝟑𝒕15𝑑𝑡 Usando a regra da cadeia aplicada a integrais chamase 𝑢 3𝑡 e deriva u em relação a variável t 3𝑡 3 então 𝑑𝑢 3𝑑𝑡 e por fim 𝑑𝑢 𝑑𝑡 Substituindo 𝑢 3𝑡 e 𝑑𝑢 𝑑𝑡 na integral então 𝐼𝑡 1 𝒆𝟑𝒕 15 A 𝒆𝒖𝑑𝑡 Cálculo IV EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE 1ª ORDEM COM FATOR INTEGRANTE Equação Diferencial de 1ª Ordem linear com fator integrante 𝐼𝑡 1 𝒆𝟑𝒕 15 A 𝒆𝒖 1 3 𝑑𝑡 𝐼𝑡 1 𝒆𝟑𝒕 15 1 3 𝒆𝒖 𝐶 𝐼𝑡 5 𝒆𝟑𝒕 𝒆𝟑𝒕 𝐶 𝐼𝑡 5 5 𝒆𝟑𝒕 𝐶 Para a condição inicial I 0 0 0 5 5 𝒆𝟎 𝐶 então 𝐶 1 A solução geral é 𝒚 𝟓 𝟓 𝒆𝟑𝒕 Cálculo IV EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE 1ª ORDEM SEPARÁVEL Exemplo 3 Este exemplo envolve a técnica de integração por partes Então faça esse exercício apenas se tiver tempo para revisar essa técnica de integração Considere um circuito elétrico resistivo indutivo 𝑅𝐿 que contém uma força eletromotriz dado por uma pilha ou um gerador que produz uma tensão 𝐸𝑡 volts 𝑉 e uma corrente elétrica 𝐼𝑡 amperes 𝐴 em um instante 𝑡 O circuito também possui um resistor com resistência de 𝑅 ohms Ω e um indutor com indutância de 𝐿 henrys 𝐻 Considere que a resistência seja 12 Ω a indutância 4 𝐻 e a pilha forneça uma tensão variável 60sen30t 𝑉 Equação Diferencial de 1ª Ordem Cálculo IV EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE 1ª ORDEM COM FATOR INTEGRANTE Equação Diferencial de 1ª Ordem linear com fator integrante Outra forma de resolver a EDO de 1ª ordem é usando fator integrante 𝜇𝑥 𝑳 𝒅𝑰𝒕 𝒅𝒕 𝑹 𝑰 𝒕 𝑬𝒕 Sendo 𝐿 4 𝐻 𝑅 12 Ω e 𝐸 𝑡 60 𝑉 então temse uma equação diferencial de 1ª ordem 4 𝑑𝐼𝑡 𝑑𝑡 12 𝐼 𝑡 60𝑠𝑒𝑛30𝑡 𝑑𝐼𝑡 𝑑𝑡 3 𝐼 𝑡 15𝑠𝑒𝑛30𝑡 𝑑𝐼𝑡 𝑑𝑡 𝑃𝑡 𝐼 𝑡 𝑄𝑡 Fator integrante 𝜇𝑡 𝜇 𝑡 𝑒 6 6 𝑒 6 𝑒 6 𝑒6 então 𝝁 𝒕 𝒆𝟑𝒕 Cálculo IV EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE 1ª ORDEM COM FATOR INTEGRANTE Equação Diferencial de 1ª Ordem linear com fator integrante Solução geral 𝐼𝑡 1 𝝁 𝒕 A 𝝁 𝒕 𝑄 𝑡 𝑑𝑡 𝐼𝑡 1 𝒆𝟑𝒕 A 𝒆𝟑𝒕15𝑠𝑒𝑛30𝑡𝑑𝑡 𝑰𝒕 𝟏𝟓 𝒆𝟑𝒕 A 𝒆𝟑𝒕𝒔𝒆𝒏𝟑𝟎𝒕𝒅𝒕 Para resolver esta integral é necessário aplicar o método de integração por partes estudado em Cálculo II A 𝑢𝑑𝑣 𝑢 𝑣 A 𝑣𝑑𝑢 Para identificar as funções u e dv podese usar o mnemônico LIATE O termo u está mais à direita isto é mais próximo da função Logarítmica e a função dv por sua vez está mais à esquerda mais próxima da função Exponencial Cálculo IV EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE 1ª ORDEM COM FATOR INTEGRANTE Equação Diferencial de 1ª Ordem linear com fator integrante L função Logarítmica I f Inversa trigonométrica por exemplo A f Algébrica T f Trigonométrica E f Exponencial Na situação proposta a função 𝑠𝑒𝑛30𝑡 é uma função Trigonométrica e 𝑒6 uma Exponencial O termo 𝑢 é a função Trigonométrica 𝑢 𝑠𝑒𝑛30𝑡 enquanto o termo 𝑑𝑣 é a função Exponencial 𝑑𝑣 𝑒6𝑑𝑡 Para obter 𝑑𝑢 da fórmula de integração por partes derivase o termo 𝑢 Para determinar 𝑣 então integrase o termo 𝑑𝑣 𝒖 𝒔𝒆𝒏𝟑𝟎𝒕 então 𝒅𝒖 𝟑𝟎𝒄𝒐𝒔𝟑𝟎𝒕𝒅𝒕 𝒅𝒗 𝒆𝟑𝒕𝒅𝒕 então 𝑣 𝑒6𝑑𝑡 𝑒 𝑑𝑢 𝑒6 Assim 𝒗 𝟏 𝟑 𝒆𝟑𝒕 6 𝑢𝑑𝑣 𝑢 𝑣 6 𝑣𝑑𝑢 6 𝑒6𝑠𝑒𝑛30𝑡𝑑𝑡 6 𝑠𝑒𝑛30𝑡 𝑒6 𝑑𝑡 𝑠𝑒𝑛30𝑡 1 3 𝑒6 6 1 3 𝑒6 𝟑𝟎𝒄𝒐𝒔𝟑𝟎𝒕𝒅𝒕 Cálculo IV EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE 1ª ORDEM COM FATOR INTEGRANTE Equação Diferencial de 1ª Ordem linear com fator integrante 6 𝑒6𝑠𝑒𝑛30𝑡𝑑𝑡 6 𝑠𝑒𝑛30𝑡 𝑒6 𝑑𝑡 𝑠𝑒𝑛30𝑡 1 3 𝑒6 6 1 3 𝑒6 30𝑐𝑜𝑠30𝑡𝑑𝑡 6 𝑠𝑒𝑛30𝑡 𝑒6 𝑑𝑡 𝑠𝑒𝑛30𝑡 1 3 𝑒6 30 3 6 𝑒6 𝑐𝑜𝑠30𝑡𝑑𝑡 6 𝑠𝑒𝑛30𝑡 𝑒6 𝑑𝑡 1 3 𝑒6 𝑠𝑒𝑛30𝑡 10 6 𝑐𝑜𝑠 30𝑡 𝑒6𝑑𝑡 Agora tem que fazer uma nova integração por partes na integral 𝑐𝑜𝑠 30𝑡 𝑒6𝑑𝑡 𝒖 𝒄𝒐𝒔𝟑𝟎𝒕 então 𝒅𝒖 𝟑𝟎𝒔𝒆𝒏𝟑𝟎𝒕𝒅𝒕 𝒅𝒗 𝒆𝟑𝒕𝒅𝒕 então 𝑣 𝑒6𝑑𝑡 𝑒 𝑑𝑢 𝑒6 Assim 𝒗 𝟏 𝟑 𝒆𝟑𝒕 6 𝑢𝑑𝑣 𝑢 𝑣 6 𝑣𝑑𝑢 6 𝑠𝑒𝑛30𝑡 𝑒6 𝑑𝑡 1 3 𝑒6 𝑠𝑒𝑛 30𝑡 10 𝑢 𝑣 6 𝑣𝑑𝑢 Cálculo IV EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE 1ª ORDEM COM FATOR INTEGRANTE Equação Diferencial de 1ª Ordem linear com fator integrante 𝒖 𝒄𝒐𝒔𝟑𝟎𝒕 então 𝒅𝒖 𝟑𝟎𝒔𝒆𝒏𝟑𝟎𝒕𝒅𝒕 𝒅𝒗 𝒆𝟑𝒕𝒅𝒕 então 𝑣 𝑒6𝑑𝑡 𝑒 𝑑𝑢 𝑒6 Assim 𝒗 𝟏 𝟑 𝒆𝟑𝒕 6 𝑢𝑑𝑣 𝑢 𝑣 6 𝑣𝑑𝑢 6 𝑠𝑒𝑛30𝑡 𝑒6 𝑑𝑡 1 3 𝑒6 𝑠𝑒𝑛 30𝑡 10 𝑢 𝑣 6 𝑣𝑑𝑢 6 𝑠𝑒𝑛30𝑡 𝑒6 𝑑𝑡 1 3 𝑒6 𝑠𝑒𝑛 30𝑡 10 𝑐𝑜𝑠30𝑡 1 3 𝑒6 6 1 3 𝑒6 30 𝑠𝑒𝑛30𝑡𝑑𝑡 6 𝑠𝑒𝑛30𝑡 𝑒6 𝑑𝑡 1 3 𝑒6 𝑠𝑒𝑛 30𝑡 10 𝑐𝑜𝑠 30𝑡 1 3 𝑒6 10 1 3 30 6 𝑒6 𝑠𝑒𝑛30𝑡𝑑𝑡 Cálculo IV EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE 1ª ORDEM COM FATOR INTEGRANTE Equação Diferencial de 1ª Ordem linear com fator integrante 6 𝑠𝑒𝑛30𝑡 𝑒6 𝑑𝑡 1 3 𝑒6 𝑠𝑒𝑛 30𝑡 10 𝑐𝑜𝑠 30𝑡 1 3 𝑒6 10 1 3 30 6 𝑒6 𝑠𝑒𝑛30𝑡𝑑𝑡 6 𝑠𝑒𝑛30𝑡 𝑒6 𝑑𝑡 1 3 𝑒6 𝑠𝑒𝑛 30𝑡 10 3 𝑒6 𝑐𝑜𝑠 30𝑡 100 6 𝑒6 𝑠𝑒𝑛30𝑡𝑑𝑡 6 𝑠𝑒𝑛30𝑡 𝑒6 𝑑𝑡 100 6 𝑒6 𝑠𝑒𝑛30𝑡𝑑𝑡 1 3 𝑒6 𝑠𝑒𝑛 30𝑡 10 3 𝑒6 𝑐𝑜𝑠 30𝑡 6 𝑠𝑒𝑛30𝑡 𝑒6 𝑑𝑡 100 6 𝑠𝑒𝑛 30𝑡 𝑒6𝑑𝑡 1 3 𝑒6 𝑠𝑒𝑛 30𝑡 10 3 𝑒6 𝑐𝑜𝑠 30𝑡 101 6 𝑠𝑒𝑛30𝑡 𝑒6 𝑑𝑡 1 3 𝑒6 𝑠𝑒𝑛 30𝑡 10 3 𝑒6 𝑐𝑜𝑠 30𝑡 Assim 6 𝒔𝒆𝒏𝟑𝟎𝒕 𝒆𝟑𝒕 𝒅𝒕 𝟏 𝟑𝟎𝟑 𝒆𝟑𝒕 𝒔𝒆𝒏 𝟑𝟎𝒕 𝟏𝟎 𝟑𝟎𝟑 𝒆𝟑𝒕 𝒄𝒐𝒔 𝟑𝟎𝒕 Cálculo IV EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE 1ª ORDEM COM FATOR INTEGRANTE Equação Diferencial de 1ª Ordem linear com fator integrante Voltando para a corrente em função do tempo 𝐼𝑡 15 𝒆𝟑𝒕 A 𝒆𝟑𝒕 𝑠𝑒𝑛30𝑡𝑑𝑡 Substituindo a integral 𝒆𝟑𝒕 𝑠𝑒𝑛30𝑡𝑑𝑡 pela integral determinada por integração por partes duas vezes obtémse que 𝐼𝑡 15 𝒆𝟑𝒕 A 𝒆𝟑𝒕𝑠𝑒𝑛30𝑡𝑑𝑡 𝐼𝑡 15 𝒆𝟑𝒕 𝟏 𝟑𝟎𝟑 𝒆𝟑𝒕 𝒔𝒆𝒏 𝟑𝟎𝒕 𝟏𝟎 𝟑𝟎𝟑 𝒆𝟑𝒕 𝒄𝒐𝒔 𝟑𝟎𝒕 𝐶 𝐼𝑡 1 𝑒 15 303 𝑒 𝑠𝑒𝑛 30𝑡 150 303 𝑒 𝑐𝑜𝑠 30𝑡 15𝐶 𝐼𝑡 1 𝑒 5 101 𝑒 𝑠𝑒𝑛 30𝑡 50 101 𝑒 𝑐𝑜𝑠 30𝑡 𝐾 Cálculo IV EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE 1ª ORDEM COM FATOR INTEGRANTE Equação Diferencial de 1ª Ordem linear com fator integrante 𝐼𝑡 1 𝑒 5 101 𝑒 𝑠𝑒𝑛 30𝑡 50 101 𝑒 𝑐𝑜𝑠 30𝑡 𝐾 𝐼𝑡 1 𝑒 5 101 𝑒 𝑠𝑒𝑛 30𝑡 1 𝑒 50 101 𝑒 𝑐𝑜𝑠 30𝑡 1 𝑒 𝐾 𝐼𝑡 5 101 𝑠𝑒𝑛 30𝑡 50 101 𝑐𝑜𝑠 30𝑡 𝐾 𝑒 A solução geral é 𝑰𝒕 𝟓 𝟏𝟎𝟏 𝒔𝒆𝒏 𝟑𝟎𝒕 𝟓𝟎 𝟏𝟎𝟏 𝒄𝒐𝒔 𝟑𝟎𝒕 𝑲 𝒆𝟑𝒕 Para a condição inicial dada 𝐼 0 0 𝐴 𝐼𝑡 0 5 101 𝑠𝑒𝑛 0 50 101 𝑐𝑜𝑠 0 𝐾 𝑒 Cálculo IV EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE 1ª ORDEM COM FATOR INTEGRANTE Equação Diferencial de 1ª Ordem linear com fator integrante A solução geral é 𝑰𝒕 𝟓 𝟏𝟎𝟏 𝒔𝒆𝒏 𝟑𝟎𝒕 𝟓𝟎 𝟏𝟎𝟏 𝒄𝒐𝒔 𝟑𝟎𝒕 𝑲 𝒆𝟑𝒕 Para a condição inicial dada 𝐼 0 0 𝐴 𝐼𝑡 0 5 101 𝑠𝑒𝑛 0 50 101 𝑐𝑜𝑠 0 𝐾 𝑒 0 5 101 0 50 101 1 𝐾 1 𝐾 50 101 A solução particular para a condição inicial 𝐼 0 0 𝐴 é 𝑰𝒕 𝟓 𝟏𝟎𝟏 𝒔𝒆𝒏 𝟑𝟎𝒕 𝟓𝟎 𝟏𝟎𝟏 𝒄𝒐𝒔 𝟑𝟎𝒕 𝟓𝟎 𝟏𝟎𝟏 𝒆𝟑𝒕 Cálculo IV