Integrais Duplas em Regiões Genéricas

Cálculo 3 Integrais duplas em regiões genéricas Integrais duplos em região genérica Lo pá integral de fora não pode ter um intervalo de integração com funções por exemplo yx y fx V φc gyhy fx y dx dy Considere a integral onde e D é o triângulo limitado pelas retas Esboce a região de integração e escreva essa integral de duas formas diferentes f x ydA D f x y x2 2xy y 2x y 2 e x 3 Exemplo 2 y6 v312x2 x22xy dy dx v623y2 x22xy dx dy y 2x V x1 to x3 y2 to y2x x y dy dx V x1 to x3 x22 2 x22 2 dx V 6x4 2x3 4x242 x3 x1 Example 1 x 2ydA y2x2 yx21 Determine the quantity of elements knowing that p is given by the function σxyx2y considering the region between y2x2 and yx21 Ω σxydA x1 x 2ydy dx yx21 y2x2 x1 Ω 23 Integrais duplas sobre regiões genéricas Na aula anterior vimos integrais duplas sobre retângulos Porém às vezes queremos integrar uma função não somente sobre regiões retangulares como também sobre regiões mais genéricas que chamaremos D Essas regiões podem estar contidas entre o gráfico de duas funções contínuas de x tipo I ou podem estar contidas entre o gráfico de duas funções contínuas de y tipo II Cálculo de Integrais Duplas Regiões do tipo I 𝑎 𝑏 𝑥 y 𝑔1𝑥 𝑔2𝑥 𝑥 D Se 𝑓𝑥 𝑦 é contínua em 𝐷 x y 𝑎 𝑥 𝑏 e 𝑔1x 𝑦 𝑔2𝑥 a integral dupla é igual a integral iterada Regiões desse tipo são inscritas em faixas verticais assim percorremos a região vertical mente a partir da função de baixo até a função de cima para cada valor de 𝑥 em 𝑎 𝑏 8 𝑓 𝑥 𝑦 𝑑𝐴 𝑓 𝑥 𝑦 𝑑𝑦𝑑𝑥 Cálculo de Integrais Duplas Regiões do tipo II 𝑑 x y 𝑐 ℎ1𝑦 ℎ2𝑦 y D Se 𝑓𝑥 𝑦 é contínua em 𝐷 x y 𝑐 𝑦 𝑑 e h1y 𝑥 ℎ2𝑦 a integral dupla é igual a integral iterada Regiões desse tipo são inscritas em faixas horizontais assim percorremos a região horizontal mente a partir da função da esquerda até a função da direita para cada valor de 𝑦 em 𝑐 𝑑 8 𝑓 𝑥 𝑦 𝑑𝐴 𝑓 𝑥 𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦 Integrais Duplas Cálculo de volumes 𝑉 8 𝑓 𝑥 𝑦 𝑑𝐴 𝑓 𝑥 𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥 D 𝐴 𝑥 𝑓 𝑥 𝑦 𝑑𝑦 Integrais Duplas Cálculo de volumes D 𝑉 8 𝑓 𝑥 𝑦 𝑑𝐴 𝑓 𝑥 𝑦 𝑑𝑥 𝑑𝑦 Exemplo 1 Calcule onde D é a região limitada pelas parábolas y 2x2 e y 1 x2 òò D 2ydA x Exemplo 1 resolução Primeiramente vamos desenhar os gráficos das parábolas y 2x2 e y 1 x2 x y 2x2 1 2 0 0 1 2 x y 1 x2 1 2 0 1 1 2 Exemplo 1 resolução Calculamos agora sendo D a região que esboçamos òò D 2ydA x y dydx x x ò ò x 1 1 1 2 2 2 2 dx y xy x y x y 2 2 1 2 1 1 2 ò x dx x x x ò x 1 1 4 3 2 2 2 4 2 1 1 dx x x x x ò 1 1 2 3 4 1 2 3 15 32 1 1 2 2 3 4 5 3 3 4 5 ø ö çè æ x x x x x 2 Considere a integral onde e D é o triângulo limitado pelas retas Esboce a região de integração e escreva essa integral de duas formas diferentes f x ydA D f x y x2 2xy y 2x y 2 e x 3 Exemplo 2 Começaremos representando o triângulo D limitado pelas retas y 2x y 2 e x 3 De baixo para cima começamos na reta azul y 2 e terminamos na reta vermelha y 2x para cada valor fixo de x de 1 a 3 A integral fica D D 𝑥 2𝑥𝑦 𝑑𝑦𝑑𝑥 Exemplo 2 resolução Vamos agora escrever a reta vermelha como 𝑥 e olhar esse triângulo como uma região do tipo II Da esquerda para direita começamos na reta vermelha 𝑥 e terminamos na reta verde x 3 para cada valor fixo de y de 2 a 6 A integral fica D D 𝑥 2𝑥𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦 Como exercício escolha umas das duas formas que escrevemos e calcule a integral o resultado é 2603 Exemplo 2 resolução Exemplo 3 Calcule onde D é a região limitada pela reta y x 1 e pela parábola y2 2x 6 òò D xydA Exemplo 3 resolução Abaixo encontrase a representação da região de integração como regiões dos dois tipos I y em função de x e II x em função de y Note que é mais fácil calcular a integral pela região do tipo II Vamos calcular a integral usando a região do tipo II 2 1 2 2 1 2 4 1 2 3 1 2 4 2 3 4 2 2 2 1 1 2 2 2 5 4 3 2 1 2 2 4 6 3 4 2 1 2 2 2 1 3 4 2 8 4 2 4 36 24 3 y y D x y x y xydA xy dxdy x y dy y y y dy y y y y dy y y y y é ù ê ú ë û é ù ë û æ ö ç è ø é ù ê ú ë û òò ò ò ò ò ò Exemplo 3 resolução Exemplo 3 resolução Se usássemos a região do tipo I precisaríamos calcular 2 integrais como mostra abaixo O resultado seria o mesmo 1 2 6 5 2 6 3 2 6 1 1 x x x x D xydA xy dy dx xy dy dx òò ò ò ò ò Referências httpsintegradaminhabibliotecacombrbooks 9788522126866pageid404