Torliças Isostáticas-Classificação e Método de Cremona-Hennelburg

Torliças aoestaticas Classificação das torliças Quanto a vetaticidade I Hipostática II Isostática III Hiperstática Quanto a lui de formação I simples II composta III complexa Ex do Método do Cremona Reações Σ Fx 0 ΣFy 0 F xC 3 0 F yC 11 15 0 F xC 3 KN F yC 4 KN Σ M C 0 15x6 3x3 F yF x 9 0 9FyF 90 9 FyF 11 KN Jandaia Notação de Bow dar nomes aos espacços da torliça b d e a t g h i c e d 3KN 3KN 4KN 5KN 11KN nAB 4 KN NCB 7 KN NDE 11 KN NEF 11 KN NAD 4 KN NGB 15 KN NCA 10 distância inclinada NDBF 30 NBF 42 força de tração ou compressão compressão compressão tração Jandaia Q4 Leiosta de Cremona 16KN 6KN 6KN 9KN 3KN 16KN ΣFy 0 F yA 9KN ΣMCA 0 Fxc 09 6 12 3 24 0 09 Fxc 144 Fxc 16 KN Jandaia NAB 24KN horizontais NCD 16 KN c NDE 4 KN NBD 9 KN Vinteiro NAD 15 KN r inclinado NBE 5KN t t Tuliçes complexas método de resolução Método de Hennelburg tem como idea básica a transfomação de uma tulição complexa em tulições simples Os esforços finais em todas as barras são obtidos por superposião dos efeitos N No N1 X1 Exemplo 1 Método de Hennelburg 10KN 20KN 10KN 3m 3m 3m 3m B C Reação Σ Fy 0 Fx60 Σ Mce 0 20x3 10x6 Fy6x6 0 6 Fy6 120 Fy6 20KN Substituição nó F NDF NFG ΣFx0 NFG0 ΣFy0 NDF0 nó G NBG NGE Σ Fx0 NBG cosα0 NBG0 Σ Fy0 NCG 200 NCG 20KN nó C Nó B NBC 10KN 20KN NAB 10KN Σ Fy0 20 NBE senθ 0 NBE 20 2309 KN 45 Σ Fy0 10 20 NCD sen 45 0 NCD 10 1414 KN Σ Fx0 NBC NCD cos45 0 NBC 10 KN 20KN 9 Σ Fx0 NAB 10 2309cos60 0 NAB 4 55 KN nó A nó E 10KN 155KN 2309KN 10KN NAD NAE NDE 45 30 945 KN 2309 sen 30 NPE cos 45 0 Σ Fx0 NAD cos 45 155 0 NAD 219 KN Σ Fy0 10 NAE C919 sen 45 0 NAE 845 KN NDE 169 KN Caso 1 Par de cargas Substituição Reações FX 0 X X FXG 0 FXG 0 Nó F Nó G Nó C Nó B Nó A Nó E FX 0 NFG 4KN Fy 0 NDF 0 FX 0 NBG cos 60 14 0 NBG 2 KN Fy 0 NCG 2 sen 60 0 NCG 173 KN Fy 0 NCD sen 45 173 0 NCD 173 245 KN Fy 0 NBE 2 KN FX 0 NBC 245 sen 45 0 NBC 173 KN FX 0 NAB 173 2 cos 60 2 cos 60 0 NAB 373 KN FX 0 NAE 528 sen 45 0 NAE 373 KN NDE 4 KN Palavra que não existe não pode ter esforço Superposição dos esforços N No N1 XL calcular com a barra nova NDE NDE0 NDE1 XL 0 169 4 XL 0 XL 402 Calculando os esforços finais das barras NAB NAB0 NAB1 XL 155 373 402 1419 KN NBC NBC0 NBC1 XL 10 173 402 1730 KN NAD NAD0 NAD1 XL 219 528 402 2009 KN NCD NCD0 NCD1 XL 1414 245 402 2448 KN NAE NAE0 NAE1 XL 825 373 402 2419 KN NCG NCG0 NCG1 XL 20 173 402 2730 KN NBE NBE0 NBE1 XL 2309 2 402 1465 KN NBG NBG0 NBG1 XL 0 2 402 844 KN NDF NDF0 NDF1 XL 0 0 402 0 NEF NEF0 NEF1 XL 0 1 402 402 KN NFG NFG0 NFG1 XL 0 1 402 402 KN Principio de trabalhos virtuais Trabalho Produto da força por seu deslocamento na direção em que a força está atuando Princípio da conservação de energia W externo W interno cargas N V T M WN N ds WM M dθ WV V dz WT T dθ tipo de deslocamento carregando externo variações de temperatura recalque diferencial Ex1 Calculo deslocamento vertical no ponto vB1 25KNm 4m fCK 25 MPA 20cm x 40cm fd 12 E 28 GPA 5600fCK Caso 0 carga real Caso 1 carga virtual P 1kN Caso 0 100kN Reações ΣFx0 FXA0 ΣFy0 25x4 Fya 0 Fya100kN ΣMCA0 25x4 x 0 MA 0 MA 200 kNm Vx100 25x Mx 100x 25 x x2 Vx 100 25 x Mx 200 100x 125 x2 Caso 1 4kkm P 1kN Vx 1 Mx 4 x 1 Cálculo de deslocamento um estruturas isostaticas com princípio dos trabalhos virtuais Ex1 calcular deslocamento virtual em B 25kNm 4m fck 25 MPa seção 200m x 40cm fb 12 E 28 GPa G 5 GPa 5106 Caso 0 real Caso 1 virtual Caso 0 xF W 200kNm 25 kNm 100kN ΣFx 0 FXA 0 ΣFy 0 Fya 100 kN ΣMCA 0 CA 25 x 4 x r MA 0 MA 2000 km m 25 kNm Mx 100 x2 x Caso 1 carga virtual 4KNm P 1kN ΣFx 0 FXA 0 ΣFy 0 FYA 1KN ΣMA 0 MA 1 x 4 0 MA 4KNm 0 x 4 Vx 1 0 x 4 Mx 4 1x Princípio dos trabalhos virtuais W ext W int W F x do P x ΔB deslocamento P x ΔB força interna virtual V v 1 pdx Mm dx 0 CA Ei 0 deformação deformação ΔB 1 c100 25x Es dx 4x 200 100x 125 x3 E i E i ΔB 25 25 x 100 dx 1 125 x4 50 x3 600 x2 800 dx EA Ei ΔB 12 25x2 100x 14 125 x4 50 x3 300 x2 800 x 0 0 4 4 ΔB 12 2542 1004 51060204 2 1 12544 5043 30042 8004 2810602043 4 12 momento de inércia ΔB 6 x 104 00268 00274 m 274 cm B1 I B H3 12 Ex 2 calcular rotação em C aço E 205 Gpa G 75 Gpa W250 x 179 A 231 cm2 I 2291 cm fyd 115 Caso 0 carga real Σ MCA 0 30 x 3 x 15 50 x 5 Fyb x 3 0 3Fyb 385 Fyb 12833 KN ΣFy 0 90 50 12833 Fya 0 Fya 1167 KN 0 x 3 Vx 1167 30x 3 x 5 Vx 1167 90 12833 50 0 x 3 Mx 1167x 30xx2 3 x 5 1167 x 90x15 12833x3 Caso 1 carga virtual M 1KNm 0 033 KN 033 KN Σ MCA 0 Fyb x 3 1 0 Fyb 033 KN 0 x 3 Vx 033 3 x 5 Vx 033 033 0 0 x 3 Mx 033 x 3 x 5 Mx 033 x 033 x3 Princípio de trabalhos virtuais Wext Wint M x θc Vm V dx MM dx 3 0 CA EI θc 033116730x fyd dx 050 Fyd x dx 0331167 x 15 x2 dx 0 3 GA Gx EI 150x 250 dx 3 EI θc fyd GA 03 10x 385 dx 1EI 03 5x2 385 x3 dx 1EI 35 550x 250 dx θc 115 75106231104 5333 853 1 2051062291108 5344 38533 1 2051062291108 2553 2505 2532 2503 θc 222 x 104 001 002 θc 00362 rad horário Ex 3 calcular deslocamento horizontal em A madeira E 6 GPa seção 10cm x 11cm E 13 GPa todos os ângulos são iguais 45 Caso 0 lança axial MCA 0 40 x 4 30 x 2 Fyf x 4 0 4Fyf 220 Fyf 55 KN nó A 40KN Nac Nab Fx 0 40 NAC cos45º 0 NAC 56 57 KN Fy 0 NAB 56 57 sen 45º 0 Nab 40 KN nó B 40KN NBC NBD Fx 0 NBC 0 Fy 0 NBD 40 KN nó F NCF NEF 40KN 55 KN Fy 0 55 NCF sen 45º 0 NCF 77 78 KN Fx 0 NEF 77 78 cos 45º 40 0 NEF 15 KN nó E 45 KN NDE Nce 30 KN Fx 0 NDE 15 KN Fy 0 NCE 30 KN nó D 40KN NCD 15KN 25 KN Fx 0 NCD cos 45º 15 0 NCD 21 21 KN Caso 1 lança Vertical 07 03 24 P 1KN nó D 1KN NCD Fx 0 NCD 0 Fy 0 1KN 1KN MCA 0 Fyf x 4 1x4 0 Fyf 1KN nó A nó B 1KN NBC NAC Nab NBD Fx 0 1 NAC bon45º 0 NAC 141 KN Fy 0 NAB 1 41 cos45º 0 Nab 1 KN Fx 0 NBC 0 Fy 0 NBD 1 KN nó F NEF Nef 1KN nó E NCE NDE NCE Fy 0 1 NCF sen 45º 0 NCF 141 KN Fx 0 NEF 141 cos 45º 0 NEF 0 Princípio dos trabalhos Virtuais Wext Wint ΔA 1 N Nx dx EA N Nx l EAN ΔA 1 EA 1 40 2 1 40 2 1 41 56 57 2 8 1 41 77 78 2 8 ΔA 30 80 224 93 309 27 ΔA 3 71 x 103 m ou 3 71 mm 13 106 0 12 0 10 A vai andar para direita não para a esquerda onde colocamos a lança QUER AJUDA Ex Calcular deslocamento vertical no ponto C G 75 GPa E 205 GPa Aço seção w 050 x 179 Ld A 031cm² Ld I 2291 cm⁴ Caso 0 Carregamento real MCA 0 160 x 2 FybB x 3 0 FybB 300 3 10667 kN Caso 1 Carregamento virtual MCA 0 1 x d Fyb x 3 0 Fyb 033 kN Princípios dos trabalhos virtuais W ext W int Δc NEAdx VGAdx MEIdx Δc 1EA 0 067 10667 dx 1EA 0 033 0 dx 1GA 0 067 10667 dx 1EI 0 320 067 dx Δc 1EA 4 067 10667 1EA 2 033 10667 1EI 6 123 300 067 Δc 28588 7040 115 7147 115 7040 17867 453 10⁴ 710 10⁶ 0038 00375 m 375 mm deslocamento vertical que o ponto C vai sofrer como o resultado foi positivo quer dizer que determinamos a direção correta no invento para baixo como a questão Ex 5 calcular deslocamento horizontal em B Caso 0 carregamento real Caso 1 carregamento virtual Princípio dos trabalhos virtuais ΔB 126 108 20 48 5 10056 m 56 mm Ex6 calcular rotação no ponto B aproveitando o caso 0 da questão anterior Caso 1 carregamento virtual Princípio dos trabalhos virtuais W ext W int M θB 1 EI 3 0 x 1 EI 2 0 8 x 1 EI 0 5 x 1 EI 4 2 8 x 1 θB 1 EI 3 1 28 1 EI 1 8 1 28 8 1 EI 2 2 5 1 1 2 8 1 EI θB 8436 667 16 2051062291108 0027 rad o sinal negativo significa que o giro que foi atribuído é o sinal inverso Ex 7 Calcular deslocamento vertical no ponto C material concreto E 30 GPa G 5 GPa seção 20cm x 40cm fn11 caso 0 carregamento real 5 60 35 40kN 30kNm 0 0 Σ MCA 0 40x2Fyb x 4 60x5 0 4Fyb 380 Fyb 95 kN 5x4 40x2 0 0 0 10 20x10 70 Δc 028m Caso 1 carregamento virtual F x 1 P 1kN 05 Σ MCA 0 Fyb x41x6 0 Fyb 15 kN Principais dos trabalhos virtuais W ext W int P Δc V ln V dx MM dx GA EI Δc 1 GA 5 x 05 1 GA 35 x 05 1 GA x momento fletor 1 EI x 1 EI x 1 EI x Δc 1 GA 2505 1 GA 2 35 05 1 GA 1 2 60 1 EI 6 228 1 αc 10 114 1 EI 172 60 114 23 1 1 2 60 2 EI 4 Δc 11 5 35 60 8130 530448 60 55 10 5 5 x 106 x 02 x 04 30 x 106 x 02 x 043 12 0 0018 0018 m Ex 8 Calcular a rotação no meio do vão 30kN 25 kNm 1m 1m 2m madure E 13 GPa G 2 GPa seção 15 cm x 30 cm Caso 0 carregamento real 20kN 80kN ΣM A 0 MA 30 x 1 50 x 3 0 MA 180 KN m 180 80 x 2 30 x 1 50 q l2 25 2 125 KNm 8 Jandaia Caso 1 Carregamento virtual 1 kNm a M 1 kNm 082 t 02 87 010 7 56 81 1 1 1 m 00 210 DMF Princípio dos trabalhos virtuais ulet wint M θ 1 M M dx EI M θ 1 M M dx EI θ 1 180 100 EI x 1 EI 50 x 1 θ 1 1 1 1 180 100 1 1 1 100 50 EI 2 EI 2 θc 140 75 Jandaia θc 215 0049 radi Ex 9 Calcular deslocamento horizontal em C 30kNm 40KN 30kNm 10 KN 10 KN 250 KNm Caso 1 carregamento virtual P 1 kN DEN DEC DMF Jandaia Princípio dos trabalhos virtuais Wext Wint P ΔC 1 10 x 1 1 10 1 x x 1 250 10 x 1 EA GA EI 1 60 x 1 1 10 x EI EI W 250x15 A 194 cm² fb 10 I 1305 cm⁴ E 205 GPa Gnu 75 GPa Calculo de deslocamento das estruturas 1 carregamento 2 temperatura 3 calculo dos apoios Efeitos de temperatura Δt D N Δt M variação uniforme variação não uniforme Princípio dos trabalhos Virtuais Wext Wint Wint N α Δt dx M Δti Δtk α dx Ex1 Calcular deslocamento Vertical no ponto B 3C concreto armado α 10⁵ C¹ 12C B 2m 1m Caso 1 Carga Vertical 2 DMF P 1kN Mx 2 1 x 1kN Ptv Wext Wint P ΔB α ctu x b 3 03 10⁵ dx ΔB 15 10⁵ 03 x 2 dx 0 ΔB 15 10⁵ 03 x²2 2x 0² ΔB 15 10⁵ 03 a 4 ΔB 1 x 10³ m 1 mm Ex 2 Calcular deslocamento horizontal em A Consideram que as barras verticaies e horizontais tem variação constante de 6C e as barras inclinadas variam Caso 2 AC Carga Vertical p 1KN MCD 0 1x6 FyF x6 0 FyF 1KN Nó A 1KN 45º NAC Fx 0 1 NAC con 45º 0 NAC 141 KN Fy 0 NAB NAC sen 45º 0 NAB 1KN Nó B 1KN NBC NBD Fx 0 NBC 0 Fy 0 NBD 1 Nó D 1KN NCD NDE 1KN Fy 0 1 1 NCD sen45º 0 NCD 0 Fx 0 NDE 0 Nó E NCE NEF Fy 0 NCE 0 Fx 0 NEF 0 Nó F NCF 1KN 1KN Fy 0 1 NCF sen 45º 0 NCF 141 KN PTV W ext W int P Δ A N a dt dx Δ A 141 105 4 dx 1 103 6 dx AB 1 105 6 dx 141 105 4 dx BD CF Δ A 564 105 18 6 105 3 6 105 3 564 105 18 838 104 m 084 mm Recalque dos apoios W int 0 deslocamentos não se ΔL alatem PTV W ext W int R p P Δ D 0 Ex 1 Calcular deslocamento vertical em c sabendo que o apoio A deslocou 14 mm para baixo e o apoio B deslocou 08 mm para esquerda P 1KN caso 1 3m MCB 0 F y A x 2 1 x 1 0 Fy A 05 KN 1m 1m Recalque dos apoios Wint 0 esforços não se deformam PTV Wext Wint 0 Rp P ΔD 0 Ex 1 Calcular deslocamento vertical em c sabendo que o apoio A deslocou 14 mm para baixo e o apoio B deslocou 08 mm para esquerda P 1kN caso 1 ΣMB 0 Fya x 2 1 x 1 0 Fya 05 kN 1m 1m PTV Wext Wint 0 ΣRp Pd Δc 0 Δc 05 x 14 0 08 05 x 0 Δc 07 x 103 m 07 mm P2 Grau de hiperestaticidade Dos estruturais estaticamente indeterminados ou hiperestáticos não têm seus esforços internos e externos reações de apoio definidos com a simples utilização das condições de equilíbrio gh gext gint grau de h interno gint Nusf Nlig grau de hiperestaticidade externa gext NR Nlig Método das Forças notação matricial Ex1 Resolver a viga hiperestática 25 kNm g1 25 kNm caso 0 carregamento real 200 kNm 25 kNm 100 kN 200 50 DMF Caso 1 Hiperestático X1 1 KN 4 KN DMF Eq de compatibilidade Dual vertical de B S10 S11 XL 0 tabla de Kurt S10 1 1 4 400 4 EI 4 S10 800 EI S11 1 1 444 EI 3 S11 64 3EI 800 64 XL 0 EI 3EI 2400 64 XL 0 XL 2400 375 64 Esforcos finais FFo1 EL xl FyA 100 1 375 FyA 625 KN FyB 0 1 x 375 375 KN FXA 0 0375 0 MA 200 4 375 MA 50 KNm 40 Ex 1 Resolver a viga hiperestatica A 20KN g2 Caso 0 carregamento real 20KN Caso 1 hiperestático X1 Caso 2 hiperestático X2 1KN 1KN 05 KN 05 KN Eq de compatibilidade duol hor de A S10 S11 XL S12 X2 0 sist A S00 S21 XL S22 X2 0 S10 0 S11 0 S120 S210 S20 1 1 1 5 11 EI 6 1 1 1 05 10 30 30 EI 6 6EI 5 EI S22 1 1 2 C 1 1 EI 3 S22 2 3EI nulo 41 5 2 X2 0 X1 0 EI 3EI 152 x2 0 X2 75 Esforcos finais F Fo Fl X1 F2 X2 FyA 5 051 75 875 KN FyB 55 05 75 5875 KN MA 0 00 1 75 75 KNm FXA 0 FXB 0 nulo Ex 2 Resolver o pórtico hiperestático abaixo g 5 20 kNm D 3 pode eliminar rotação de E Caso 0 carregamento axial MB p a 2 6 12 8la 3 a 2 202 6 3 832 32 2 1481 kNm 12 1 2 123 2 Mc p 03 41 3a 20 3 3 43 32 889 kNm 12 1 2 123 2 somatorio de momentos Σ Σ MCB 0 1481 889 20 x 2 x 1 Vc x 3 0 Vc 1136 kN VB 2864 kN Caso 1 Rotação em B VA 6EI 6EI VB 6EI 6EI Ma 2EI Mb 1 4EI 4EI VB2 6EI 6EI 2EI VC 6EI 2EI MB2 4EI 4EI MC 2EI 3 3 HB 6EI 6EI 3EI HD 3EI MB3 4EI EI MD 2EI EI Caso 2 Rotação em C MB 2EI Mc1 4EI 3 3 VB 6EI 2EI VC 2EI 3 3 Mo2 36EI MC 3EI HE 3EI Equação de compatibilidade B10 K11 Dl K12 D2 0 1481 19EI Dl 2EI D2 0 3 3 B20 K21 Dl K22 D2 0 889 0EI Dl 17 EI D2 0 3 6 4EI 3EI 8 9 3 2 6 19EI Dl 2EI D2 4443 D2 4443 19EI Dl 4EI Dl 17EI D2 5334 2EI0 4EI Dl 17EI 4443 19 EI Dl 5334 2EI 4EI Dl 37765 1615EI Dl 5334 1575EI Dl 43099 Dl 273 D2 4443 19 EI 271 EI Dl D2 0 372 EI Esforços finais MA MAB MA1 Dl MA2 D2 0 2EI 273 0 556 kNm EI MD 0 EI 136 kNm ME 0 0 6 372 0 VA 0 6EI 273 0 1631 kN HA 0 6 4 273 3EI 3 7 0 177 kN EI momento de inercia elasticidade VD 2864 6EI 2EI 273 EI 6 EI 3² 372 EI 50012 HD 0 2EI 4 273 EI 0 136 KN VE 1136 2 EI 3 273 EI 6 EI 3² 372 EI 107 KN HE 0 0 3EI 4 372 EI 219 KN Ex 3 Resolva a viga hiperestática 25 KNm 40 kN A B C D 2m 2m 2m Caso 0 carregamento real 25 kNm 40 kN MB 0 p l² 8 25 ² 8 125 KNm MCB0 125 50x1 VA x 20 VA1875 KN VB3125 KN MC p a l 2 l 2 b MC 40 1 1 2 1 2 MC 15 KN m Σ M CO 0 15 40 1 VD 2 0 VD 125 KN Caso 1 Rotação em B MBL 3EI 2 MB2 4EI 2 2EI VA VB 3EI 4 MC 2EI 2 EI VB2 VC 6EI 4 3EI 2 Caso 2 Rotação em C MB 10 EI 2 5EI MC1 4EI 2 2EI MC2 3EI 2 VB VC 6EI 4 VC VD 3EI 4 Equações de compatibilidade B10 K11 D1 K12 D2 0 125 7EI 2 D1 EI D2 0 B20 K21 D1 K22 D2 0 15 EI D1 7EI 2 D2 0 7EI D1 2EI D2 25 D2 25 7EI D1 2EI 2EI D1 7EI 25 7EI D1 2EI 30 2EI D1 875 245 EI D1 30 225 EI D1 117 51 D1 522 EI D2 25 7EI 522 EI 2EI Esforços finais VA 1875 3EI 4 522 EI 0 2266 KN VB 3125 3EI 4 3EI 2 522 EI 3EI 2 577 EI 7 2652 KN VC 275 3EI 2 522 EI 3EI 4 3EI 2 577 EI 24 KN VD 125 0 3EI 4 577 EI 1682 KN Método de Cross ou método da distribuição de momentos Ex 1 tirar diagrama de momento 20 kNm 2m 3m 1º calcular o fator de distribuição e descobrir a rigidez das duas barras KAB 4EI2 2EI KBC 3EI3 EI 2º coeficientes de distribuição dB esquerda KABKABKBC 2EI2EIEI 067 abama 1 dB direita KBCKABKBC EI2EIEI 033 3º momentos C usar tabela MA 20kNm MB1 MB2 20 kNm tabela MA 202212 666 KNm MB2 20338 225 KNm MB1 202212 666 KNm 4º Distribuição dos momentos 1584 225 666 1584 x 067 1584 x 033 530 1061 523 0 t05 i10 666 666 225 0 530 1061 523 0 136 1727 1727 0 5º traçar diagrama de momento 727 136 Ex 2 Traçar diagrama de momento 40 kNm 1m 2m 2m 1º Rigidez das barras KAB 3EI1 3EI KBC 4EI2 2EI KCD 4EI2 2EI 2º coeficientes de distribuição cada nó vai ter dois dB esq KABKABKBC 3EI5EI 06 dB dir KBCKABKBC 2EI5EI 04 dC esq dC dir 2EI4EI 050 3º Distribuição dos momentos 40128 5 KNm 1333 KNm 402212 1333 KNm 833 5 1333 1333 1333 x 05 1333 x 05 666 666 333 t05 t05 1166 x 06 1166 x 04 699 466 233 t0 t05 233 x 05 233 x 05 058 116 116 058 t05 t05 058 x 06 058 x 04 034 024 012 012 x 05 012 x 05 003 006 006 003 D S T Q Q S S D I M M J V S 003 x 06 002 x 04 0 002 001 t05 21 como para encontrar esforços finais apoio não tem momento 0 Δ 15 1333 1335 666 333 0 6331 333 6661 116 058 034 466 233 006 003 002 058 1161 788 394 12357 024 012 003 006 701 790 1236 Jandaia