Transformada de Laplace - Lista de Exercícios Resolvidos

Exercícios Calcule as TL dos funções dados a ft e3t sen 2t b ft t5 e4t c ft et cos ln 2t d ft sen t 2π se t 2π 0 se t 2π e ft t3 sen t Use a linha dada para Determinar as seguintes TL a ft 8t 2 cos 3t b ft 2t32 c ft cos2 t d ft 1 senwt LISTA 1 Calcule as Transformações de Laplace das funções dadas a ft e3t sen 2t b ft t5e4t c ft et cosh 2t d ft sen t 2π t 2π 0 t 2π e ft t3 sen t RESOLUÇÃO Vamos usar a seguinte tabela pra esse exercício ft Fs Lft Formula ft 1 Fs frac1s s0 A ft eat Fs frac1sa sa B ft tn Fs fracnsn1 s0 C ft sinat Fs fracas2a2 s0 D ft cosat Fs fracss2a2 s0 E ft sinhat Fs fracas2a2 sa F ft coshat Fs fracss2a2 sa G ft tneat Fs fracnsan1 sa H ft eat sinbt Fs fracbsa2b2 sa I ft eat cosbt Fs fracsasa2b2 sa J ft eat sinhbt Fs fracbsa2b2 sa b K ft eat coshbt Fs fracsasa2b2 sa b L a Pela tabela fórmula I temos ft eat sen bt Fs fracbsa2 b2 Então ft e3t sen 2t Fs frac2s32 22 Fs frac2s32 4 frac2s2 6s 13 b Pela tabela fórmula H temos ft tn eat Fs fracnsan1 Então ft t5 e4t Fs frac5s451 Fs frac120s46 frac120s6 24s5 240s4 1280s3 3840s2 6144s 4096 c Pela tabela fórmula L temos ft eat cosh bt Fs fracs as a2 b2 Então ft et cosh 2t Fs fracs1s12 22 Fs fracs1s12 4 fracs1s2 2s 3 d Para esse caso podemos usar a propriedade de deslocamento temporal ft gt a ut a Fs easGs O nosso caso é esse com gt sen t e a 2π veja left beginarraycc sen t 2pi t 2pi 0 t 2pi endarray right sen t2pi left beginarraycc 1 t 2pi 0 t 2pi endarray right sen t 2pi ut2pi Então Fs e2 pi sL sen t Fs frace2 pi ss2 1 e Para esse vamos usar a expressão de derivada no domínio da frequência ft tn gt Fs 1n Gns Para o nosso caso temos n 3 e gt sen t ft t3 sen t Sendo assim para Gs conforme a fórmula D da tabela temos Gs frac1s2 1 Derivando temos G1s frac2ss2 12 Derivando novamente temos G2s frac2 cdot s2 12 2s2 12s cdot 2ss2 14 frac2s2 12 8s2s2 1s2 14 frac2s2 1 8s2 s2 1s2 14 G2s frac2s2 2 8s2s2 13 frac23s2 1s2 13 E derivando pela última vez temos G3s frac26s cdot s2 13 23s2 1 cdot 3s2 12 2ss2 16 frac12ss2 1 12s 3s2 1 s2 12s2 16 G3s frac12ss2 1 3s2 1s2 14 frac24ss2 1s2 14 Para a transformada temos ft t3 sen t Fs 13 G3s frac24ss2 1s2 14 Fs frac24ss2 1s2 14 frac24s3 24ss8 4s6 6s4 4s2 1 2 Use a linearidade para determinar as seguintes Transformações de Laplace a ft 8t 2 cos 3t b ft 2t 32 c ft cos2 t d ft 1 sen ωt RESOLUÇÃO A propriedade de linearidade da Transformada de Laplace é dada por ft sum over k ak fkt implies Fs sum over k ak Fks a Fazendo a1 8 f1t t a2 2 e f2t cos 3t temos ft 8t 2 cos 3t F1t 1 s11 1 s2 F2t s s2 32 s s2 9 Substituindo na expressão vista temos ft 8t 2 cos 3t implies Fs 8 1s2 2 s s2 9 implies boxed Fs 2s s2 9 8 s2 b Podemos reescrever a função como ft 4t2 12t 9 Fazendo a1 4 f1t t2 a2 12 f2t t a3 9 e f3t 1 temos ft 4t2 12t 9 F1t 2 s21 2 s3 F2t 1 s11 1 s2 F3t 1 s Substituindo na expressão vista temos ft 2t 32 implies Fs 4 2 s3 12 1 s2 9 1 s implies boxed Fs 9 s2 12 s 8 s3 c Para resolver esse vamos reescrever em função do cosseno do arco duplo cos 2t cos2 t sen2 t 2 cos2 t 1 implies cos2 t 12 cos 2t 12 Então temos ft 12 cos 2t 12 Fazendo a1 12 f1t cos 2t a2 12 e f2t 1 temos ft 12 cos 2t 12 F1t s s2 22 s s2 4 F2t 1 s Substituindo na expressão vista temos ft cos2 t implies Fs 12 s s2 4 12 1 s implies boxed Fs s2 2 s3 4s d Fazendo a1 1 f1t 1 a2 1 e f2t sen ω t temos ft 1 sen ω t F1t 1 s F2t ω s2 ω2 Substituindo na expressão vista temos ft 1 sen ω t implies Fs 1 1 s 1 ω s2 ω2 implies boxed Fs 1 s ω s2 ω2