Superposicao de Ondas Marinhas Analise Grafica e Polinomial

Preparadoa Vamos começar Vários processos físicos ocorrem com um campo de ondas no mar quando este se propaga de águas profundas para águas rasas As ondas geradas em águas profundas e se propagando de direção à costa se dirigem para águas com profundidades mais rasas Conforme estas ondas vão movendose para águas rasas a onda começa a sentir o fundo e em um determinado ponto as ondas sofrem alguns processos Refração difração empinamento e arrebentação Fonte httpsacervodigitalufprbrbitstreamhandle188426339Cleversondissertacaopdfsequence1isAllowedy De maneira mais simplificada as funções que governam as ondas podem ser descritas por funções cossenoides e polinomiais E o fenômeno chamado de superposição é o fenômeno que ocorre quando duas ou mais ondas se encontram gerando uma onda resultante igual à soma algébrica das perturbações de cada onda Considerando duas ondas que foram analisadas nos pontos de referência x 10m até o ponto x 10m em um intervalo de tempo tem suas amplitudes em cm definidas pelos polinômios px 3x2 4x 2 e qx 3x2 2x 7 onde x representa a posição em metros então quando a onda descrita por polinômios px encontra com uma onda descrita pelo polinômio qx temos uma super posição de ondas dada por uma onda hx Proposta de Atividade Para resolver esse problema solicitamos que você apresente um texto com a investigação sobre os seguintes itens I O gráfico que representa a função px II O gráfico que representa a função qx III O polinômio hx que representa a soma de px e qx IV O gráfico que representa a soma de px e qx V Gráfico comparativo com as três funções px qx e hx Obs esse texto deve estar em formato doc ou PDF e deve conter 1 Parágrafos explicativos das etapas da resolução do problema que antecedem os cálculos 2 Cálculos desenvolvidos para a determinação das expressões e valores numéricos 3 Analise sobre os gráficos de cada função e da função resultante Envio Você pode adicionar texto imagens e arquivos aqui Preparadoa Vamos começar Vários processos físicos ocorrem com um campo de ondas no mar quando este se propaga de águas profundas para águas rasas As ondas geradas em águas profundas e se propagando de direção à costa se dirigem para águas com profundidades mais rasas Conforme estas ondas vão movendose para águas rasas a onda começa a sentir o fundo e em um determinado ponto as ondas sofrem alguns processos Refração difração empinamento e arrebentação Fonte httpsacervodigitalufprbrbitstreamhandle188426339Cleversondissertacaopdfsequence1isAllowedy De maneira mais simplificada as funções que governam as ondas podem ser descritas por funções cossenoides e polinomiais E o fenômeno chamado de superposição é o fenômeno que ocorre quando duas ou mais ondas se encontram gerando uma onda resultante igual à soma algébrica das perturbações de cada onda Considerando duas ondas que foram analisadas nos pontos de referência x 10m até o ponto x 10m em um intervalo de tempo tem suas amplitudes em cm definidas pelos polinômios px 3x2 4x 2 e qx 3x2 2x 7 onde x representa a posição em metros então quando a onda descrita por polinômios px encontra com uma onda descrita pelo polinômio qx temos uma super posição de ondas dada por uma onda hx Proposta de Atividade Para resolver esse problema solicitamos que você apresente um texto com a investigação sobre os seguintes itens I O gráfico que representa a função px II O gráfico que representa a função qx III O polinômio hx que representa a soma de px e qx IV O gráfico que representa a soma de px e qx V Gráfico comparativo com as três funções px qx e hx Critério de Avaliação Item avaliado com um Critério de Avaliação Tentativas 1 tentativa restante Relatório de Originalidade SafeAssign ativado Avaliação Pontos máximos undefined pontos Enunciado Considerando duas ondas que foram analisadas nos pontos de referência x 10 m até o ponto x 10m em um intervalo de tempo tem suas amplitudes em cm definidas pelos polinômios px 3x2 4x 2 e qx 3x2 2x 7 onde x representa a posição em metros então quando a onda descrita por polinômios px encontra com uma onda descrita pelo polinômio qx temos uma super posição de ondas dada por uma onda hx Proposta de Atividade Para resolver esse problema solicitamos que você apresente um texto com a investigação sobre os seguintes itens I O gráfico que representa a função px II O gráfico que representa a função qx III O polinômio hx que representa a soma de px e qx IV O gráfico que representa a soma de px e qx V Gráfico comparativo com as três funções px qx e hx Solução Primeiro de tudo para começarmos a resolver o problema vamos analisar o comportamentos das funções px e qx dadas De início veja que ambas as funções são ambas quadráticas e portanto seus gráficos serão parábolas com concavidades para cima visto que os coeficientes quadráticos dessas funções são números maiores que zero De posse disso para podermos construir os gráficos dessas funções alguns pontos devem ser analisados como suas raízes e o ponto de mínimo Tendo isso em vista vamos primeiro avaliar as raízes de ambas as funções isto é os pontos do eixo x tais que pxqx0 Então começaremos pela função px com efeito teremos que px 0 3x2 4x 2 0 x12 4 42 432 6 x12 4 1624 6 x12 4 8 6 x12 2 2i 3 onde o i que aparece acima é a unidade imaginária Logo as raízes da função px são números complexos e portanto a curva px não toca o eixo x real Agora prosseguiremos de forma análoga para a função qx com efeito teremos que qx 0 3x2 2x 7 0 x12 2 22 437 6 x12 2 4 84 6 x12 2 80i 6 novamente obtemos raízes imaginárias e portanto segue que a função qx não toca o eixo x real Feita a primeira análise podemos prosseguir buscando identificar os pontos de mínimo das funções Para isso vamos calcular os vértices das parábolas que são dados por xv b 2a yv b2 4ac 4a onde a é o coeficiente do termo quadrático b o coeficiente do termo linear e c o termo indepen dente Então podemos prosseguir para a função px da seguinte forma xv b 2a 4 6 4 6 2 3 0667 yv b2 4ac 4a 16 432 43 8 4 3 2 3 0667 De posse disso já podemos plotar o gráfico da função px com efeito essa a será a seguinte Figura 1 Gráfico da função px Já para a função qx prosseguimos do seguinte modo xv b 2a 2 6 1 3 0333 yv b2 4ac 4a 4 437 43 80 4 3 20 3 66667 Com isso já podemos construir o gráfico da função qx Com efeito esse será os seguinte 2 Figura 2 Gráfico da função qx Agora com as funções px e qx já estudadas vamos avaliar o polinômio hx que é essencialmente a soma de px com qx Ou seja hx px qx 3x² 4x 2 3x² 2x 7 6x² 2x 9 ou seja temos que hx 6x² 2x 9 Novamente para entendermos o comportamento gráfico da função hx teremos que prosseguir avaliando as raízes da função e ainda os pontos de mínimo da mesma visto que ela também é uma função do segundo grau cujo coeficiente quadrático é estritamente positivo Então com isso posto teremos que as raízes de hx serão os pontos x tais que hx 0 ou seja hx 0 6x² 2x 9 0 x₁₂ 2 4 469 12 x₁₂ 2 212 12 x₁₂ 2 212i 12 novamente obtemos raízes complexas o que mostra que hx assim como px e qx não tocará o eixo x em nenhum ponto Ademais devemos calcular seu ponto de mínimo com efeito esse será o feito da seguinte forma xᵥ b2a 212 16 yᵥ b² 4ac4a 4 46943 21246 536 17666667 E com isso podemos plotar o gráfico da função hx analogamente ao feito com as outras funções Nesse caso teremos o seguinte gráfico Ademais podemos ainda comparar os gráficos das funções qx px e hx Para isso basta plotarmos os gráficos todos num mesmo plano cartesiano Com efeito isso nos dará o seguinte gráfico Figura 3 Gráfico da função hx Figura 4 Gráfico das funçõs px qx e hx 4 Primeiro de tudo para começarmos a resolver o problema vamos analisar o comportamento das funções px e qx dadas De início veja que ambas as funções são ambas quadráticas e portanto seus gráficos serão parábolas com concavidades para cima visto que os coeficientes quadráticos dessas funções são números maiores que zero De posse disso para podermos construir os gráficos dessas funções alguns pontos devem ser analisados como suas raízes e o ponto de mínimo Tendo isso em vista vamos primeiro avaliar as raízes de ambas as funções isto é os pontos do eixo x tais que pxqx0 Então começaremos pela função px com efeito teremos que onde o i que aparece acima é a unidade imaginária Logo as raízes da função px são números complexos e portanto a curva px não toca o eixo x real Agora prosseguiremos de forma análoga para a função qx com efeito teremos que novamente obtemos raízes imaginárias e portanto segue que a função qx não toca o eixo x real Feita a primeira análise podemos prosseguir buscando identificar os pontos de mínimo das funções Para isso vamos calcular os vértices das parábolas que são dados por onde a é o coeficiente do termo quadrático b o coeficiente do termo linear e c o termo independente Então podemos prosseguir para a função px da seguinte forma De posse disso já podemos plotar o gráfico da função px com efeito essa a será a seguinte Já para a função qx prosseguimos do seguinte modo Com isso já podemos construir o gráfico da função qx Com efeito esse será o seguinte Agora com as funções px e qx já estudadas vamos avaliar o polinômio hx que é essencialmente a soma de px com qx Ou seja Novamente para entendermos o comportamento gráfico da função hx teremos que prosseguir avaliando as raízes da função e ainda os pontos de mínimo da mesma visto que ela também é uma função do segundo grau cujo coeficiente quadrático é estritamente positivo Então com isso posto teremos que as raízes de hx serão os pontos x tais que hx 0 ou seja novamente obtemos raízes complexas o que mostra que hx assim como px e qx não tocará o eixo x em nenhum ponto Ademais devemos calcular seu ponto de mínimo com efeito esse será o feito da seguinte forma E com isso podemos plotar o gráfico da função hx analogamente ao feito com as outras funções Nesse caso teremos o seguinte gráfico Ademais podemos ainda comparar os gráficos das funções qx px e hx Para isso basta plotarmos os gráficos todos num mesmo plano cartesiano Com efeito isso nos dará o seguinte gráfico