Estado Duplo de Tensão: Análise de Cisalhamento e Tensões Normais em Estruturas

Mecânica dos Sólidos FAENG 2021 Demétrio Elie Baracat 1 Capítulo 5 Estado Duplo de Tensão Em muitas situações num elemento da estrutura temos forças cortantes e momentos fletores atuando simultaneamente As forças cortantes provocam o efeito de cisalhamento e os momentos fletores tensões normais Neste tópico analisaremos como estudar um ponto da estrutura quando nele temos dois efeitos atuando simultaneamente a tensão de cisalhamento e a tensão normal Consideremos que conhecemos as tensões 1 e 1 que agem num plano da seção do elemento estrutural em análise Também conhecemos as tensões 2 e 2 que agem num plano perpendicular à seção anterior vide ilustração a seguir Conforme já visto em dois planos perpendiculares devemos ter 1 2 e por este motivo passaremos a representálo por 12 conforme ilustrado abaixo tomandose a projeção sobre o plano xy Demonstrase por relações trigonométricas num triângulo retângulo que a máxima e a mínima tensão normal que age no elemento é dada por 2 12 2 2 1 2 1 mín máx 2 2 Mecânica dos Sólidos FAENG 2021 Demétrio Elie Baracat 2 e a máxima tensão de cisalhamento é 2 12 2 2 1 mín máx 2 São estas tensões máximas e mínimas que nos permitirão dimensionar os elementos estruturais O plano inclinado onde elas atuam é determinado pelo ângulo dado pela expressão 12 máx 1 arctg Demonstrase que o plano de máx forma com o plano de máx um ângulo de 45 tal que 45 Exemplo Sejam as seguintes solicitações Determinar a As tensões normais principais b A tensão de cisalhamento máxima c O plano da tensão máx Solução a 9MPa 5 59 1 MPa 266 32 5 20 2 50 15 2 50 15 mín máx 2 2 mín máx b 266MPa 20 2 50 15 2 2 máx c 656 20 arctg 15 59 1 arctg 12 máx 1 conforme ilustrado abaixo Mecânica dos Sólidos FAENG 2021 Demétrio Elie Baracat 3 Exercícios 1 São conhecidas as tensões em dois planos perpendiculares entre si Plano MPa 30 20MPa MPa 30 40MPa Determinar a As tensões principais b A tensão de cisalhamento máxima c O plano da tensão de máx Respostas máx 52 MPa mín 32 MPa mín máx 42 MPa 675º 2 São conhecidas as tensões em dois planos perpendiculares entre si Plano MPa 40 50MPa MPa 40 10MPa Determinar a As tensões principais b A tensão de cisalhamento máxima c O plano da tensão de máx d O plano de tensão de máx Respostas máx 70 MPa mín 310 MPa mín máx 50 MPa 2656º e 1843 3 São conhecidas as tensões em dois planos perpendiculares entre si Plano MPa 18 40MPa MPa 18 60MPa Determinar a As tensões principais b A tensão de cisalhamento máxima c O plano da tensão de máx d O plano de tensão de máx Mecânica dos Sólidos FAENG 2021 Demétrio Elie Baracat 4 Respostas máx 706 MPa mín 294 MPa mín máx 206 MPa 3028º e 7528 Mecânica dos Sólidos FAENG 2021 Demétrio Elie Baracat 5 Capítulo 6 Dimensionamento de estruturas O dimensionamento das secções das várias partes que compõem uma estrutura é feita a partir da tensão admissível a qual é função do material que as constituem A tensão admissível é a tensão de escoamento ou a tensão de ruptura respectivamente materiais dúcteis e frágeis dividido por um coeficiente de segurança Para efetuarmos o dimensionamento devemos analisar se temos só força normal só cortante só momento fletor ou também momento torsor ou uma combinação de ambos Para cada situação teremos fórmulas distintas 61 Tensão Tensão conforme analisado no capítulo 4 é ao resultado da ação de cargas externas sobre uma unidade de área da seção analisada na peça componente mecânico ou estrutural submetido às solicitações mecânicas A direção da tensão depende do tipo de solicitação ou seja da direção das cargas atuantes As tensões provocadas por tração compressão e flexão ocorrem na direção normal perpendicular à área de seção transversal e por isso são chamadas de tensões normais representadas pela letra grega sigma σ As tensões provocadas por torção momento fletor e cisalhamento atuam na direção tangencial a área da seção transversal e assim chamadas de tensões tangenciais ou cisalhantes e representadas pela letra grega tau τ Figura 61 Representação das direções de atuação das tensões normais σ e tangenciais τ Observe que a tensão normal σ atua na direção do eixo longitudinal ou seja perpendicular à secção transversal enquanto a tensão de cisalhamento τ é tangencial à secção transversal da peça 62 A TENSÃO NORMAL σ A solicitação normal F que atua na peça origina nesta uma tensão normal σ sigma que é determinada através da relação entre a intensidade da solicitação aplicada F e a área de seção transversal da peça A Mecânica dos Sólidos FAENG 2021 Demétrio Elie Baracat 6 A F No Sistema Internacional a força é expressa em Newtons N a área em metros quadrados m2 A tensão σ será expressa então em Nm2 unidade que é denominada Pascal Pa Na prática o Pascal é uma medida muito pequena para representar a tensão e então utilizase múltiplos desta unidade que são o quilopascal kPa o megapascal MPa e o gigapascal GPa 63 O DIAGRAMA TENSÃO X DEFORMAÇÃO Em Resistência dos Materiais é necessário conhecer o comportamento dos materiais quando submetidos a carregamentos Para obtermos estas informações efetuase um ensaio mecânico numa amostra do material chamada de corpo de prova CP Neste ensaio são medidas a área de seção transversal A do CP e a distância L0 entre dois pontos marcados em sua superfície Figura 62 Corpo de prova para ensaio mecânico de tração No ensaio de tração o CP é submetido a uma solicitação normal F À medida que esta solicitação aumenta observase um aumento na distância entre os pontos marcados e uma redução na área de seção transversal até que ocorra a ruptura do material A partir da medição da variação destas grandezas efetuada pela máquina de ensaio obtémse o diagrama de tensão x deformação O diagrama tensão deformação varia muito de material para material e ainda para uma mesmo material podem ocorrer resultados diferentes devido a variação de temperatura do corpo de prova e da velocidade da carga aplicada Entre os diagramas σε de vários grupos de materiais é possível distinguir algumas características comuns que nos levam a dividir os materiais em duas importantes categorias os materiais dúcteis e os materiais frágeis Mecânica dos Sólidos FAENG 2021 Demétrio Elie Baracat 7 Figura 63 Comportamento mecânico de materiais dúcteis e frágeis Os materiais dúcteis como o aço cobre alumínio e outros são caracterizados por apresentarem escoamento a temperaturas normais O corpo de prova é submetido a carregamento crescente e com isso seu comprimento aumenta de início lenta e proporcionalmente ao carregamento Desse modo a parte inicial do diagrama é uma linha reta com grande coeficiente angular Entretanto quando se atinge um valor crítico de tensão σE o índice E significa tensão de escoamento o corpo de prova sofre uma grande deformação com pouco aumento da carga aplicada A deformação longitudinal de um material é definida como 100 o o f onde ε deformação lo comprimento inicial do CP lf comprimento final do CP Quando a solicitação atinge um certo valor máximo o diâmetro do CP começa a diminuir decorrente da perda de resistência local A esse fenômeno é dado o nome de estricção Após a estricção ter começado uma solicitação inferior é o suficiente para a deformação do corpo de prova até a sua ruptura A tensão σE correspondente ao início do escoamento é chamada de tensão de escoamento do material a tensão σR correspondente a carga máxima aplicada ao material é conhecida como tensão limite de resistência e a tensão σr correspondente ao ponto de ruptura é chamada tensão de ruptura Materiais frágeis como ferro fundido vidro e pedra são caracterizados por uma ruptura que ocorre sem nenhuma mudança sensível no modo de deformação do material Então Mecânica dos Sólidos FAENG 2021 Demétrio Elie Baracat 8 para os materiais frágeis não existe diferença entre tensão de resistência e tensão de ruptura Além disso a deformação até a ruptura é muito pequena nos materiais frágeis em relação aos materiais dúcteis Não há estricção nos materiais frágeis e a ruptura se dá em uma superfície perpendicular ao carregamento Figura 64 Diagrama σ x ε de um aço de baixo teor de carbono Estricção e ruptura dúctil Figura 65 Diagrama σ x ε de um material frágil Ruptura frágil 64LEI DE HOOKE No trecho inicial do diagrama da figura 64 a tensão σ é diretamente proporcional à deformação ε e podemos escrever E Essa relação é conhecida como Lei de Hooke O coeficiente E é chamado módulo de elasticidade ou módulo de Young o qual é determinado pela força de atração entre átomos dos materiais isto é quando maior a atração entre átomos maior o seu módulo de elasticidade Exemplos Eaço 210 GPa Ealumínio 70 GPa Sabemos que A N A F e podemos escrever a seguinte relação para o alongamento l AE N O alongamento será positivo quando a carga aplicada tracionar a peça e será negativo quando a carga aplicada comprimir a peça Mecânica dos Sólidos FAENG 2021 Demétrio Elie Baracat 9 65Pontos relevantes do diagrama TENSÃODEFORMAÇÃO σp Tensão de proporcionalidade Representa o valor máximo da tensão abaixo do qual o material obedece a lei de Hooke σE Tensão de escoamento A partir deste ponto aumentam as deformações sem que se altere praticamente o valor da tensão Quando se atinge o limite de escoamento diz se que o material passa a escoar σR Tensão limite de resistência corresponde a máxima tensão atingida no ensaio de tração σr Tensão de ruptura corresponde a ruptura do corpo de prova εe Deformação Elástica trecho da curva tensão deformação compreendido entre a origem e o limite de proporcionalidade recebendo o nome de região elástica εp Deformação Plástica trecho compreendido entre o limite de proporcionalidade e o ponto correspondente a ruptura do material 66 Tração e Compressão Podemos afirmar que uma peça está submetida a esforços de tração ou compressão quando uma carga normal F ou N tem a direção do eixo da peça e atua sobre a área de secção transversal da peça Quando a carga atua no sentido dirigido para o exterior da peça a peça estará tracionada Quando o sentido da carga estiver dirigido para o interior da peça a peça estará comprimida Como exemplo de peças tracionadas temos as correias os parafusos os cabos de aço correntes A compressão por sua vez pode ocorrer em ferramentas de estampagem em pregos durante o martelamento trilhos vigas de concreto etc O dimensionamento é feito a partir da consideração da força normal máxima dividido pela área da secção transversal mínima e pode ser determinado por Mecânica dos Sólidos FAENG 2021 Demétrio Elie Baracat 10 s e s coeficientes de segurança com s ou s com S N rup esc adm adm min máx Uma vez conhecido a tensão admissível e a solicitação aplicada podese determinar a área da secção Para se dimensionar um elemento estrutural devese considerar a a tensão máxima admissível b a máxima deformação permissível c no caso de compressão verificar à flambagem Vejamos exemplos 1 Considerando o eixo abaixo submetido a uma solicitação de 150kN pedese verificar sua adequação às seguintes características limites a tensão admissível limite adm250Nmm2 b alongamento máximo Dados E95GPa e diâmetro da barra BC30mm 2 Um tirante de telhado em madeira Eucalipto tem 10m de comprimento e deve resistir a uma força de tração de 86000N Calcular as dimensões do tirante a ser OK 060mm 56mm 0 30 x95 10 0 x025 150000 AxE FxL OK 250MPa MPa 212 30 0 150000 4 A F 9 2 2 Mecânica dos Sólidos FAENG 2021 Demétrio Elie Baracat 11 executado em conforme desenho abaixo Dimensionar o referido tirante valores de b e h Dados adm tr 1700 Ncm2 E 1360000 Ncm2 P 86000 N L 10m 91cm 2 71 2 b h 71cm b 505cm b b 86000 1700 A P 2 2 2 3 Determinar o diâmetro interno do fuso para o caso abaixo sendo que este deve ser produzido em aço ABNT 1020 laminado à quente usando um fator de segurança igual a 2 Dado para o Aço ABNT 1020 laminado a quente LQ MPa 180 E 84mm d 4 d 555mm 00000555 m A 00000555 m A A 50000 90 10 A N m N 90 10 90MPa 2 180 s 2 2 2 6 adm 2 6 E adm 2 4 Calcular as tensões máximas nos entalhes indicados nos cortes AA BB CC Mecânica dos Sólidos FAENG 2021 Demétrio Elie Baracat 12 DD e EE conforme figura a seguir Dimensões B 50 mm a 12 mm e 20 mm h 40 mm h 52 mm B 68 mm 5 Calcular as dimensões das seções AA e BB da haste de ferro fundido cinzento apresentada na figura a seguir na qual será aplicado uma carga de tração equivalente a 50 kN diâmetro do furo 20 mm Mecânica dos Sólidos FAENG 2021 Demétrio Elie Baracat 13 67 CISALHAMENTO Um corpo é submetido ao esforço de cisalhamento quando sofre a ação de um carregamento P que atua na direção transversal ao seu eixo Figura 66 Representação de força cortante 66 Tensão de cisalhamento A ação de cargas transversais num corpo provoca o aparecimento de forças internas na seção transversal denominadas esforço cortante A tensão de cisalhamento τ é obtida através da razão entre a força cortante Q e a área de seção transversal área de corte A A Q As tabelas de propriedades dos materiais no geral não indicam os valores das tensões limite de ruptura ou escoamento de cisalhamento Neste estudo seguiremos critérios práticos para a determinação destes valores a partir dos limites fornecidos pelo ensaio de tração A tensão de cisalhamento ocorre comumente em parafusos pregos rebites soldas regiões coladas e pinos que ligam diversas partes de máquinas e estruturas Figura 67 Exemplos de Atuação de Força Cortante 661 Juntas rebitadas Nas juntas rebitadas por efeito do cisalhamento além do diâmetro do rebite temos que determinar uma distância b mínima entre o centro dos rebites e a extremidade da chapa para que as tensões de cisalhamento sejam suportadas Desta forma devem ser satisfeitas as condições de que a solicitação de cisalhamento das duas áreas cisalhadas Mecânica dos Sólidos FAENG 2021 Demétrio Elie Baracat 14 da chapa e solicitação de cisalhamento da seção transversal do rebite devem ser inferiores às tensões limites ou tensões admissíveis Desta forma devemos ter chapa adm chapa rebite 2 rebite rebite 1 nº chapas unidas be mín núm reb alinhados 2 Q A Q 1 nº chapas unidas mín núm reb alinhados 4 d Q A Q onde b distância do centro do rebite a extremidade da chapa d diâmetro do rebite e espessura da chapa τrebite Tensão no rebite admissível τchapa Tensão na chapa admissível Mecânica dos Sólidos FAENG 2021 Demétrio Elie Baracat 15 662 Tensões de Esmagamento Durante o carregamento os elementos de união de chapas rebite parafuso pregos pinos etc sofrem além do cisalhamento também esmagamento pelas chapas Durante o dimensionamento destes componentes é importante verificar se a tensão de esmagamento está abaixo do limite admissível Desta forma ed Q esm σesm Tensão de esmagamento compressão Q força de esmagamento mesma de cisalhamento e espessura da chapa d diâmetro do parafuso Exercícios 1 Calcular o diâmetro do rebite para caso abaixo cisalhamento simples com uma carga F 5 kN O material usado é aço ABNT 1020 laminado Considere sg 10 MPa 180 E Calcule a tensão de esmagamento 2 Projete a junta rebitada representada abaixo Dados Material chapa Aço ABNT 1020 MPa 180 E Material rebite Aço ABNT 1020 MPa 180 E espessura 7 mm Calcular a Diâmetro do rebite Mecânica dos Sólidos FAENG 2021 Demétrio Elie Baracat 16 b Distância b do centro do rebite a extremidade da chapa c Largura wda chapa 663 Tensões na Flexão O estudo das tensões na flexão se inicia pela classificação do tipo de flexão e ela é classificada de acordo com dois critérios 6631 De acordo com a posição relativa entre o plano do momento e o par de eixos central de inércia da seção Com este critério a flexão pode ser 66311 Flexão Normal que ocorre quando o plano do momento contém um dos eixos centrais de inércia da seção Na figura 68 o par de eixos centrais de inércia é constituído pelos eixos y e z Nesta figura o plano do momento contém o eixo y Figura 68 Flexão Normal 66312 Flexão Oblíqua que ocorre quando nenhum dos eixos centrais de inércia da seção está contidos no plano do momento Na figura 69 o plano do momento está inclinado em relação ao par de eixos centrais de inércia da seção Figura 69 Flexão Obliqua Mecânica dos Sólidos FAENG 2021 Demétrio Elie Baracat 17 6632 De acordo com o esforço solicitante de tração ou de compressão que acompanha o momento fletor Com este critério a flexão pode ser 66321 Flexão Pura a qual ocorre quando o momento fletor é o único esforço solicitante que atua na seção 66322 Flexão Simples a qual ocorre quando além do momento fletor atua uma força cortante na seção 66323 Flexão Composta que ocorre quando além do momento fletor atua uma força normal na seção Notese que estes critérios são complementares Assim é possível existir uma flexão pura normal uma flexão simples oblíqua uma flexão simples ou uma flexão composta oblíqua 664 Tensões Normais na Flexão Pura Normal Seja uma seção transversal de área A de uma barra em equilíbrio onde é conhecido o par de eixos centrais de inércia yz solicitada por um momento fletor M cujo plano contém o eixo z como o mostrado na figura 610 Figura 610 Flexão Simples Normal Observase que quando a barra prismática é solicitada por um momento fletor como mostra a figura 611 a seções deixam de ser paralelas decorrentes da ação do momento fletor Mecânica dos Sólidos FAENG 2021 Demétrio Elie Baracat 18 Figura 611 Curvatura da estrutura ilustrada na figura 610 quando submetida ao momento M Sob a ação do momento estas seções sofrem uma rotação diferente para cada uma fazendo com que exista um ângulo de inclinação ϕ entre elas Desta maneira a seção da figura 610 sob a ação do momento M sofrerá uma flexão em torno do eixo y proveniente das deformações de seus pontos como a apresentada na figura 612 Figura 612 Tensões na Flexão Segundo as hipóteses de Navier a seção permanece plana e assim os pontos que estão à mesma distância do eixo y possuem a mesma deformação distanciamento horizontal com relação à seção Sendo assim é possível estudar a flexão da seção estudando a deformação dos pontos que se encontram no eixo z Mecânica dos Sólidos FAENG 2021 Demétrio Elie Baracat 19 Figura 613 Vista lateral das solicitações devido ao momento fletor M As deformações que ocorrem nos pontos são deformações longitudinais ε Este tipo de deformação está associada à presença de uma tensão normal σ Dentro do regime elástico as deformações destes pontos são proporcionais às tensões que neles atuam Assim é possível concluir que as tensões normais que atuam nos pontos da seção são proporcionais às distâncias entre os pontos e o eixo y Como a tensão é proporcional à distância entre o ponto que ela atua e o eixo y a variação desta tensão é linear com esta distância e pode ser escrita como az b onde a e b são constantes Determinemos a seguir os valores das constantes a e b Para determinar a tensão normal que atua em cada ponto da seção lembramos que se pode escrever zdA M e dA N Como não existe força normal aplicada na seção o resultado da expressão anterior deve ser nulo Logo b dA a zdA 0 b dA az dA N Na expressão acima zdA Ms com s M sendo o momento estático da área da seção em relação ao eixo y Como o eixo y contém o centro de gravidade CG da seção este momento estático é igual a zero Assim é possível escrever 0 b 0 bA e assim az e podemos escrever y 2 aI a z dA azzdA zdA M pois y 2 I z dA momento de inércia da seção em relação ao eixo y Mecânica dos Sólidos FAENG 2021 Demétrio Elie Baracat 20 Resulta então que I z M I M a y y O lugar geométrico onde 0 é denominado linha neutra e neste caso coincide com o eixo y A linha neutra divide a seção em duas partes uma parte onde os pontos são tracionados e outra onde os pontos são comprimidos conforme ilustrado pela figura 614 Figura 614 Ilustração da região tracionada e da região comprimida A eventual presença de uma força cortante não irá alterar a tensão normal desenvolvida nos pontos da seção Como neste estudo se está trabalhando apenas com o módulo do momento fletor para fornecer à tensão que atua no ponto o sinal correto positivo ocorrerá para a tração e o sinal negativo ocorrerá para a compressão A partir destas definições é usual orientarse os eixos principais para o lado tracionado assim a distância entre o ponto de estudo e o eixo em torno do qual a seção gira terá sinal positivo quando este se encontrar no mesmo lado em que o momento que traciona a barra e negativo quando ele se encontrar no lado em que o momento comprime a barra 665 Tensões Extremas Em uma seção submetida à flexão a tensão normal que ocorre em um ponto depende de sua posição na seção Na figura 615 podese observar que o ponto A é o ponto de maior distância à linha neutra e se encontra no lado tracionado da seção Neste ponto irá ocorrer a maior tensão de tração nesta seção Veja que o eixo z está orientado para o lado tracionado para cima pois as fibras superiores são tracionadas Mecânica dos Sólidos FAENG 2021 Demétrio Elie Baracat 21 Figura 615 Ponto mais tracionado e mais comprimido na seção em análise À tensão que ocorre no ponto A se dá o nome de Tensão Extrema de Tração da seção e se indica por Máx Observese que na figura 615 no lado comprimido existe um ponto mais afastado da linha neutra È o ponto B onde irá ocorrer a maior tensão de compressão A esta tensão se dá o nome de Tensão Extrema de Compressão da seção e se indica por Min 666Dimensionamento O dimensionamento de uma barra submetida à flexão com relação à intensidade do esforço aplicado é feito limitandose as tensões extremas aos valores das tensões admissíveis do material isto é adm à compressão Min adm à tração Máx 667 Flexão Composta Normal Na flexão composta além do momento fletor existe a presença de uma força normal Isto pode ser observado na figura 616 Mecânica dos Sólidos FAENG 2021 Demétrio Elie Baracat 22 Figura 616 Representação da ação conjunta da Flexão com força Normal Sabendose que a força desenvolve em cada ponto da seção uma tensão normal dada por A N a qual se sobrepõe ao efeito da flexão deduzse que podemos escrever I z M A N y A expressão acima evidencia que a resultante da tensão normal em cada ponto é a soma algébrica entre a tensão normal desenvolvida pelo momento fletor e a tensão normal desenvolvida pela força normal A Linha Neutra continua sendo o lugar geométrico onde 0 e neste caso podese facilmente demonstrar que AM NI z y com o eixo z orientado para o lado tracionado A linha neutra é paralela ao eixo y e passa pela cota z acima calculada 668 Flexão Oblíqua Como foi definida a flexão oblíqua é aquela onde o momento fletor atua em um plano cujo traço com a seção não coincide com um dos eixos centrais de inércia ou uma linha paralela a eles A figura 617 mostra uma flexão oblíqua de uma seção transversal qualquer Mecânica dos Sólidos FAENG 2021 Demétrio Elie Baracat 23 Figura 617 Flexão Simples Obliqua Nesta ilustração representamos a ação do momento M pela regra da mão direita e este momento M assim representado foi decomposto sobre os eixos y e z acarretando respectivamente os momentos My e Mz Considerando que o ângulo entre o momento M representado pela regra da mão direita e o eixo y é e segundo a superposição dos conceitos tratados na flexão normal simples podemos escrever y I Msen z I M cos y I M z I M z y z z y y Observe que os eixos y e z já se encontram orientados conforme o lado tracionado que pode ser facilmente interpretado pelo emprego da regra da mão direita a partir de Mx e My Da mesma forma definese a posição da linha neutra por cotg z I I I z M M I y y z y z y z Observese que pela expressão acima os pontos da linha neutra formam uma reta inclinada em relação ao par de eixos centrais de inércia yz Esta inclinação depende da posição relativa entre o plano do momento e o par de eixos centrais de inércia ângulo α e depende da relação existente entre os momentos de inércia da seção em relação a estes eixos 669 Flexão Composta Obliqua É a superposição do efeito de tração à flexão oblíqua simples Demonstrase facilmente que y I Msen z I cos M S N y I M z I M S N z y z z y y Mecânica dos Sólidos FAENG 2021 Demétrio Elie Baracat 24 Igualmente a linha neutra é dada por cotg z I I S N M I I z M I M S N M I M I z I M S N y y z z z y z z y z z z z y y Observase pela análise desta equação que a linha neutra além de ser inclinada com relação aos eixos centrais principais de inércia não passa pelo Centro de Gravidade da seção A Linha Neutra tornase importante pois os pontos mais solicitados quanto à tração e à compressão são aqueles onde uma reta paralela à Linha Neutra tangencia a borda da seção da figura em estudo 6610 Cisalhamento na Flexão Seja uma viga de seção retangular de largura b e altura h As tensões de cisalhamento são paralelas à força cortante V Haverá tensões de cisalhamento horizontais entre as fibras horizontais da viga bem como tensões de cisalhamento transversais nas seções transversais Considere agora o caso mais geral de um momento fletor variável representado por M e MdM respectivamente os momentos nas seções transversais mn e m1n1 A força normal que atua na área elementar dA da face esquerda do elemento será dA I My dA x x Mecânica dos Sólidos FAENG 2021 Demétrio Elie Baracat 25 A soma de todas estas forças distribuídas sobre a face pn será 2 h y x 2 h y x 1 1 dA I My dA Do mesmo modo a soma das forças normais que atuam na face direita p1n1 é 2 h y x 2 h y x x 1 1 dA I dM y M dA d A variação de solicitação pode então ser escrita como 2 h y x 2 h y x 1 1 dA I dM y dA d A força de cisalhamento horizontal que atua na face superior pp1 do elemento é bdx e então podemos escrever que no equilíbrio 2 h y x 1 dA I dM y bdx ou utilizando os conceitos de Cálculo podemos escrever x s 2 h y x bI QM I dA y bdx dM 1 com Ms o momento estático da seção retirada Ix o momento de inércia da seção toda com relação ao eixo x b a largura do corte e Q a cortante na seção do corte Exemplo 1 Para a seção transversal T de uma viga vista na figura ao lado calcule a Momento de inércia em relação ao eixo neutro da seção b a tensão máxima normal em MPa para um fletor de 555 kNm c a tensão máxima de cisalhamento para um cortante de 404 kN Solução a Centro de gravidade Mecânica dos Sólidos FAENG 2021 Demétrio Elie Baracat 26 5cm 13 16 6 16 6 16 6 19 16 8 6 S yS y i i i b Momento de Inércia da seção c 4 2 3 2 3 x cm 8144 135 16 6 19 12 16 6 8 6 16 135 12 6 16 I d Tensão Máxima Normal 92MPa cm 9200 N 5 13 8144 555 10 I z M 2 5 y e Momento estático da parte abaixo da Linha Neutra ou acima da Linha Neutra 3 i i s 5467cm 2 6 135 135 Ay M f Tensão de cisalhamento máxima 452MPa cm N 452 8144 6 5467 4 10 40 bI QM 2 3 x s 2 Determinar a maior força P nas extremidades que o elemento pode suportar supondo que a tensão de cisalhamento admissível seja adm 10000 psi ou 10000lbfin2 Os apoios em A e B exercem apenas reações verticais sobre a viga 3 a Reações de apoio Mecânica dos Sólidos FAENG 2021 Demétrio Elie Baracat 27 A B B A B A V P 600 V 0 V 6 P 9 1200 3 P 3 0 M 2P 1200 200 6 2P V V b Diagrama de força cortante Como é solicitado a tensão de cisalhamento máxima determinemos o diagrama de força cortante Plbf Q BD trecho 600lbf Q 6 x 600lbf Q 0 x 200x P P 600 Q AB trecho Plbf Q CA trecho Sem nos preocuparmos com sinal observamos que existem dois extremos com os quais devemos nos preocupar São eles o valor P e o valor 600lbf Como nas considerações feitas até aqui desconhecemos o valor P pode ser que P seja maior do que 600lbf ou pode ser que 600lbf seja maior que P Vamos analisar as duas situações a que for mais crítica c Baricentro da figura 286in 3 25 4 6 25 3 25 1 4 2 6 S yS y i i i d Momento de inércia Mecânica dos Sólidos FAENG 2021 Demétrio Elie Baracat 28 4 2 3 2 3 x in 31 49 286 5 3 25 1 12 3 25 286 6 4 4 12 6 4 I e Momento estático da parte abaixo ou acima da Linha Neutra 3 2 i i s in 11 1 2 286 3 2 35 286 075 540 4 1 Ay M f Cálculo das tensões de cisalhamento máximas Consideremos primeiramente a solicitação de 600lbf 2 x s in 225 lbf 4931 6 11 1 600 bI QM que é menor do que o limite admissível Consideremos agora a solicitação P 2665400lbf P 10000 4931 6 11 1 P bI QM x s 3 Calcule a tensão normal e a tensão cisalhante nos pontos I J e K da seção indicada São dados Iz18104m4 Façamos os diagramas de esforços solicitantes 15000Nm 5000 3 MIJK a Cálculo da tensão normal Mecânica dos Sólidos FAENG 2021 Demétrio Elie Baracat 29 125MPa 15 0 8 10 1 15000 I z M 0MPa 0 8 10 1 15000 I z M 125MPa 15 0 8 10 1 15000 I z M I z M 4 K y K 4 J y J 4 I y I y b Cálculo da tensão de cisalhamento 0MPa 8 10 08 1 0 0 5000 bI QM 0313MPa 8 10 08 1 0 15 0075 008 0 5000 bI QM 0MPa 8 10 08 1 0 0 5000 bI QM bI QM 4 x s K 4 x s J 4 x s I x s K J I 6611 Torção em Barras Seja uma barra prismática com comprimento L solicitada por um momento torsor MT como mostra a figura 616 Figura 618 Torção em barras prismáticas Assim como na flexão demonstrase que rdA MT Mecânica dos Sólidos FAENG 2021 Demétrio Elie Baracat 30 e r r r r r Máx Máx A A B B T T Máx T T Máx T T T T Máx Máx T Máx Máx Máx Máx T W M r I M r I M I M r r I r rrdA r rdA M onde WT é o módulo de resistência à torção A expressão acima mostra que a tensão de cisalhamento que ocorre num ponto é proporcional à sua distância ao centro de gravidade Sendo assim é possível concluir que a máxima tensão de cisalhamento irá ocorrer nos pontos mais afastados do CG isto é nos pontos do perímetro da seção Demonstrase que o ângulo de torção é dado por GI L M T T expresso em radianos Notese que para o dimensionamento à torção não se dá importância ao sinal da tensão de cisalhamento Para a determinação do ângulo este segue a mesma convenção de sinais efetuada para o momento de torção Quando as barras não são circulares a consideração que a tensão de cisalhamento atuante em um ponto é proporcional à sua distância ao centro de gravidade da seção não é mais válida Tomese por exemplo uma seção quadrada como a mostrada na figura abaixo Nesta seção os vértices do quadrado que são os pontos mais afastados do centro de gravidade têm tensão nula A tensão máxima ocorre nos pontos do perímetro da seção que são tangentes ao maior círculo inscrito na seção Mecânica dos Sólidos FAENG 2021 Demétrio Elie Baracat 31 O estudo da localização destes pontos e por conseqüência das tensões máximas que nelas ocorrem é feito pela teoria da elasticidade que não é objeto deste curso A tabela 1 mostra valores de WT e IT para algumas seções transversais No caso de barras com seção de parede fina utilizase uma variante de cálculo Neste caso a tensão de cisalhamento int T esp A 2 M Onde Aint é a área da seção contida dentro da linha que passa pela espessura média em se tratando de perfis fechados No caso dos perfis abertos a expressão continua válida porém o cálculo é feito utilizandose Máx 3 i i t esp 3 perim esp W e 3 perim esp I 3 i i t Mecânica dos Sólidos FAENG 2021 Demétrio Elie Baracat 32 66111Perfis Laminados ou Industrializados Para a construção de estruturas metálicas mais sofisticadas é muito comum a utilização de barras de aço carbono obtidas por laminação A estas barras se dá o nome de perfis laminados Eventualmente podese utilizar outros materiais como o alumínio O nome do perfil normalmente traduz a forma da seção transversal Os perfis mais comuns são Mecânica dos Sólidos FAENG 2021 Demétrio Elie Baracat 33 Mecânica dos Sólidos FAENG 2021 Demétrio Elie Baracat 34 Mecânica dos Sólidos FAENG 2021 Demétrio Elie Baracat 35 O eixo maciço de 30 mm de diâmetro é usado para transmitir os torques aplicados às engrenagens Determine a tensão de cisalhamento máxima absoluta no eixo Dado It795108m4 Mecânica dos Sólidos FAENG 2021 Demétrio Elie Baracat 36 Solicitações do Momento Torsor a 400Nm M DB trecho 200Nm M CD trecho 300Nm M AC trecho Momento máximo 400Nm b 755MPa 0015 95 10 7 400 r I M 8 Máx T T Máx 2 Os dois eixos maciços de aço mostrados na figura estão interligados por meio das engrenagens engrenadas Determine o ângulo de torção da extremidade A do eixo AB quando é aplicado o torque T 45 Nm Considere G 80 GPa O eixo AB é livre para girar nos mancais E e F enquanto o eixo DC é fixo em D Cada eixo tem diâmetro de 20 mm Dados 4 8 teixo 57 10 m 1 I 800 10 MPa G 8 Analisando a figura acima observamos que no eixo AB atua um momento de 45Nm e no eixo DC atua um momento T dado por 225Nm T 2 T 0075 2 150 45 0 DC então 00850rad 00134 0716 0 00716rad 20 57 10 1 10 800 45 00134 00268 0075 0015 00268rad 5 1 57 10 1 10 800 225 GI L M inic inic B B 8 8 B B B 8 8 C T T Uma situação mais complexa é quando temos o efeito da força cortante e do momento torsor Por similaridade com o que fizemos na tensão normal quando atua força normal e momento fletor podemos escrever Máx T T Máx r I M S Q Mecânica dos Sólidos FAENG 2021 Demétrio Elie Baracat 37 Deixamos claro ao leitor que uma vez determinados os valores de e num mesmo ponto podemos aplicar a técnica do Círculo de Mohr para determinarmos as tensões máximas e mínimas solicitantes Deixamos alguns exercícios para serem resolvidos pelos alunos Na viga da figura age uma força P 60 t Determine o coeficiente de segurança à flexão da estrutura Dados Rt 4500 kgfcm2 e RC 3600 kgfcm2 Resposta s392 Determinar o máximo valor de P que se pode aplicar da figura cuja seção é a indicada de modo a satisfazer as tensões normais admissíveis na flexão Dados C T 80 kgfcm2 Resposta P435kgf Mecânica dos Sólidos FAENG 2021 Demétrio Elie Baracat 38 Para a viga da figura constituída por duas peças coladas conforme indicado na figura pedese verificar a viga à flexão Dados coeficiente de segurança s20 RTRC 300 kgfcm2 Resposta T1410kgfcm21500kgfcm2 C1410kgfcm21500kgfcm2 A estrutura resiste às solicitações máximas de tração e compressão Na peça esquematizada determinar a máxima carga P de modo que na seção transversal do engastamento não sejam ultrapassadas as tensões admissíveis à tração e compressão Desprezar o peso próprio Material RT 6000kgfcm2 e RC 4000 kgfcm2 Adotar sT5 sC4 Resposta P813kgf Calcular as tensões normais extremas na seção da figura Mecânica dos Sólidos FAENG 2021 Demétrio Elie Baracat 39 Dados yG675cm xG463cm J14215cm4 e J21115cm4 S107cm2 P40tf compressão Resposta T1032kgfcm2 C2072kgfcm2 Observação Um aspecto relevante a se considerar é que ao se dimensionar elementos estruturais podemos ter limitações quanto às flechas quanto a deflexões provocadas por momento torsor e tensões admissíveis ou mesmo evitarse flambagem de colunas