Transformações de Tensão e Deformação: Análise e Aplicações

7 Transformações de tensão e deformação Conteúdo Introdução Transformação do Estado Plano de Tensão Tensões Principais Tensão de Cisalhamento Máxima Exemplo 701 Problema Resolvido 71 Círculo de Mohr para o Estado Plano de Tensão Exemplo 702 Problema Resolvido 72 Estado Geral de Tensão Aplicação do Círculo de Mohr na Análise Tridimensional da Tensão Critérios de Escoamento para Materiais Dúcteis em Estado Plano de Tensão Critério de Fratura para Materiais Frágeis em Estado Plano de Tensão Tensões em Vasos de Pressão de Paredes Finas Transformação do Estado Plano de Deformação Círculo de Mohr para o Estado Plano de Deformação Análise Tridimensional de Deformação Medidas de Deformação Específica e Rosetas de Deformação Introdução O estado mais geral de tensão em um ponto pode ser representado por seis componentes Note tensões cisalhantes tensões normais xz zx zy yz yx xy zx yz xy z y x O mesmo estado de tensão é representado por um conjunto diferente de componentes se os eixos são girados A primeira parte do capítulo está preocupada com a forma como as componentes de tensão são transformadas quando ocorre uma rotação dos eixos de coordenadas A segunda parte do capítulo é dedicado a uma análise semelhante da transformação das componentes de deformação Introdução Estado plano de tensão também ocorre na superfície livre de um elemento estrutural ou componente de máquina ou seja em qualquer ponto da superfície que não esteja submetido a uma força externa Plano de tensão estado de tensão em que duas faces do elemento de volume estão livres de qualquer tensão Para o exemplo ilustrado o estado de tensão é definido por 0 xy e zy zx z y x Estado plano de tensão ocorre em uma placa fina submetida a forças que atuam no plano médio da espessura da placa Transformação do Estado Plano de Tensão sen Asen Asen A sen A A F Asen sen Asen sen A A A F xy y xy x x y y xy y xy x x x cos cos cos cos 0 cos cos cos cos 0 Considerar as condições para o equilíbrio de um elemento prismático com faces perpendicular aos eixos x y e x cos2 2 2 2 cos2 2 2 2 cos2 2 2 xy y x y x xy y x y x y xy y x y x x sen sen sen As equações podem ser reescritas para produzir Tensões Principais As equações anteriores são combinadas para produzir equações paramétricas de um círculo 2 2 2 2 2 2 2 onde xy y x y x méd x y méd x R R Tensões principais ocorrem nos planos principais de tensões onde o cisalhamento é zero o 2 2 min max define dois ângulos defasados por 90 Note 2 2 tan 2 2 y x xy p xy y x y x Tensão de Cisalhamento Máxima Tensão de cisalhamento máxima ocorre para méd x 2 dos planos principais por 45 defasados define dois ângulos defasados por 90 e Note 2 2 tan 2 o o 2 2 max y x méd xy y x s xy y x R Exemplo 701 Para o estado plano de tensão mostrado determine a os planos principais bas tensões principais c a tensão de cisalhamento máxima e a tensão normal correspondente SOLUÇÃO Encontrar a orientação do elemento para as tensões principais de y x xy p 2 2 tan Determine as tensões principais 2 2 maxmin 2 2 xy y x y x Calcule a tensão de cisalhamento máxima com 2 2 max 2 xy y x 2 y x Fig 713 Exemplo 701 SOLUÇÃO Encontrar a orientação do elemento para as tensões principais de 233 1 53 1 2 1 333 10 50 40 2 2 2 tan p y x xy p 116 6 26 6 p Determine as tensões principais 2 2 2 2 min max 40 30 20 2 2 xy y x y x MPa 30 MPa 70 min max MPa 10 40MPa MPa 50 x xy x Fig 713 Fig 714 Exemplo 701 2 10 50 2 y x méd A tensão normal correspondente é 20MPa Calcule a tensão de cisalhamento máxima com 2 2 2 2 max 40 30 2 xy y x max 50MPa 45 p s 71 6 18 4 s MPa 10 40MPa MPa 50 x xy x Fig 713 Fig 716 Círculo de Mohr para o Estado Plano de Tensão Para um estado conhecido de tensão plana plotar os pontos X e Y e construir o círculo centrado em C xy y x 2 2 2 2 xy y x y x méd R Com o significado físico do círculo de Mohr para tensão plana estabelecida ele pode ser aplicado com simples considerações geométricas Valores críticos são estimados graficamente ou calculados As tensões principais são obtidas em A e B y x xy p méd R 2 2 tan min max O sentido de rotação de Ox para Oa é o mesmo que CX para CA Círculo de Mohr para o Estado Plano de Tensão Com o círculo de Mohr definido o estado de tensão em outras orientações de eixos pode ser descrita Tensões normais e de cisalhamento são obtidas a partir das coordenadas XY Para o estado de tensões em um ângulo com relação aos eixos xy construir um novo diâmetro XY em um ângulo de 2 com relação a XY Círculo de Mohr para o Estado Plano de Tensão Círculo de Mohr para carga axial centrada 0 xy y x A P A P xy y x 2 Círculo de Mohr para carga torcional J Tc xy y x 0 0 xy y x J Tc Exemplo 702 Para o estado plano de tensão mostrado a construção do círculo de Mohr b determinar os planos principais c as tensões principais d a tensão de cisalhamento máxima e a tensão normal correspondente Fig 721 SOLUÇÃO Construção do círculo de Mohr 50MPa 40 30 40MPa 30MPa 20 50 20MPa 2 10 50 2 2 2 CX R FX CF y x méd Exemplo 702 53 1 2 30 40 2 tan p p CF FX 26 6 p Planos principais e tensões principais 50 20 max CA OC OA max 70MPa 50 20 min BC OC OB 30MPa min Exemplo 702 Tensão de cisalhamento máxima 45 p s 71 6 s max R max 50 MPa ave 20 MPa Problema Resolvido 72 Para o estado plano de tensão mostrado determine a os planos principais e as tensões principais b as componentes de tensão exercida sobre o elemento obtido pela rotação do elemento dado sentido anti horário de 30º SOLUÇÃO Construir o círculo de Mohr 52MPa 48 20 80MPa 2 60 100 2 2 2 2 2 FX CF R y x méd Problema Resolvido 72 Planos e Tensões principais 67 4 2 42 20 48 2 tan p p CF XF horário 7 p 33 52 80 max CA OC OA 52 80 max BC OC OA 132MPa max 28MPa min Problema Resolvido 72 Componentes de tensão após a rotação de 30º Pontos X e Y no círculo de Mohr que correspondem às componentes de tensão no elemento girado são obtidos através da rotação antihorário através de XY 2 60 3 MPa 41 6 MPa 111 4 MPa 48 y x y x 52 6 52 52cos52 6 80 52cos52 6 80 52 6 67 4 60 180 sen X K CL OC OL KC OC OK y x y x