Sistemas de Controle II - Exercícios Resolvidos e Diagramas de Blocos

SISTEMAS DE CONTROLE II 2023 1 Reduzir o diagrama de blocos abaixo de forma a encontrar a função de transferência s R s C s G Figura 1 Diagrama de Blocos 2 Dada a função de transferência Gs a seguir determine os valores de n Ts Tp Tr e Mp 7 2 3 7 105 10 16 10 105 10 x T s s x s x 3 Considere o sistema mostrado na Figura 2 O coeficiente de amortecimento do sistema é de 0158 e a freqüência natural não amortecida é de 316 rads Para melhorar o sistema utilizamos uma realimentação tacométrica conforme indicada na Figura 3 Determine a A FT do sistema da Figura 2 em malha fechada b Todos os parâmetros de desempenho do sistema da Figura 2 c A FT do sistema da Figura 3 em malha fechada d O valor de K de modo que o sistema tenha a curva de resposta ao degrau unitário conforme a Figura 4 e Todos os parâmetros de desempenho do sistema da Figura 4 Rs Cs 10 ss1 Figura 2 Sistema de Controle Rs Cs 10 s1 Scope 1 s Kh Figura 3 Sistema de Controle com Realimentação Tacométrica 0 010203040506070809 1 111213141516171819 2 212223242526272829 3 313233343536373839 4 414243444546474849 5 0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 11 12 13 14 Resposta ao Degrau Tempo sec Amplitude Figura 4 Resposta ao Degrau Unitário do Sistema de Controle com Realimentação Tacométrica 4 O diagrama de blocos abaixo representa um sistema de controle de nível em um reservatório onde R é o sinal de referência em volts e Lo é o nível do reservatório em metros a Determine a função de transferência LosRs b Para 1 e K 1 simule no ScilabXcos o diagrama de blocos da figura abaixo aplicando entrada degrau unitário e compare o resultado com a sua representação encontrada no item a c Para 0 determine o valor de K máximo permitido para que o sistema não apresente sobre sinal para entrada degrau Simule d Determine Para 0 para entrada degrau de 5V o valor do nível em regime permanente simule 1 K s 30 10 1 s 006 s 05 0005 100 R Lo Reservatório Válvula Controladora de vazão Controlador Amplificador Sensor de Nível 5 Um sistema que envolve um motor de passo acionado por pulsos de um microcontrolador é um sistema de controle em malha aberta O motor de passo de imã permanente tem um estator com um número de polos que são energizados por correntes que passam nas bobinas deles Podemos determinar um modelo de como o rotor gira quando há um pulso de tensão de entrada considerando para maior simplicidade um motor de passo com apenas um par de polos e tratandoo da mesma forma que um motor de corrente contínua CC Se v for a tensão de alimentação do par de bobinas do motor e vb for a Força Eletromotriz FEM reversa então b di t v v L Ri t dt onde L é a indutância do circuito R é a resistência e it é a corrente no circuito A FEM reversa será proporcional à taxa na qual o fluxo magnético varia no par de bobinas Isto dependerá do ângulo θ do rotor em relação aos polos considerados posição angular Portanto podemos escrever cos b b b d d t v k k sen dt dt Em que kb é uma constante Assim como no motor CC a corrente no par de bobinas terá um torque O torque é proporcional ao produto da densidade de fluxo nas espiras da bobina e à corrente nelas A densidade de fluxo depende da posição angular do rotor e assim podemos escrever t T k i t sen Em que kt é uma constante Este torque provoca uma aceleração angular α visto que T J em que J é o momento de inércia do rotor O rotor gira para um certo ângulo e oscila em torno deste ângulo com oscilações até se extinguirem com o tempo a Qual a Função de Transferência que relaciona a tensão de entrada e a posição angular do rotor b Considerando que precisamos de uma entrada pulsante impulso para que as bobinas sejam excitadas e que o ângulo desejado seja 130 qual o ângulo final que o motor atinge untitled1 18103 s3 26 s2 16 s 09 Scope File Tools View Simulation Help Ready Sample based T100000 untitled 711111 3010 s 1 006s 05 0005 100 Scope File Tools View Simulation Help Ready Sample based Offset0 T100000 untitled 711111 3010 s 1 006s 05 0005 100 5 Scope File Tools View Simulation Help Ready Sample based Offset0 T100000 1 Rs As Δ As Δ Δ As Δ² As 1Δ xs 1Δ Cs Cs Δ Δ xs 1Δ Cs xs Δ Cs Final do diagrama As Rs xs Δ Cs Rs 2 Δ Cs Inicio do diagrama As Δ² As 1Δ xs Δ Cs Meio do diagrama Rs 2 Δ Cs Δ² 1Δ Δ Cs Rs Δ² 1Δ² Cs Δ 1 2 Δ² 1Δ Gs Cs Rs Δ² 1Δ Δ 1 2 Δ² 2Δ Δ³ 1 Δ Δ 2 Δ² 2 Gs Δ³ 1 Δ 2 Δ² Δ 2 2 Ts 105 107 Δ² 16 10³ Δ 105 107 Segunda ordem padrão Wm² Δ² 2 ξ Wm Δ Wm² Wm² 105 107 Wm 3240 rads 2 ξ Wm 16 10³ ξ 16 10³ 2 3240 0247 Considerando entrada degrau TΔ ln ε ξ Wm sendo ε é o limite considerado normalmente ε 2 TΔ ln002 0247 3240 489 103 Δ Tp π Wm 1 ξ² π 3240 1 0247² 103 Δ Tn depende dos parâmetros do que gostaríamos A mais comum é de 0 100 Tn π arcosξ Wm 1 ξ² π arcos0247 3240 1 0247² 584 104 Δ Mp eπ ξ 1 ξ² eπ 0247 1 0247² 4489 Resultados obtidos em simulação MATLAB TΔ 436 103 Tp 979 104 Tn 5799 104 Mp 448 3 a Rs Es 10 Δ Δ1 Cs chamando Gs 10 Δ Δ1 Es Rs Cs Es Gs Cs Rs Cs Gs Cs Gfs Cs Rs Gs 1 Gs 10 Δ Δ1 1 10 Δ Δ1 10 Δ² Δ 10 b Wm 10 316 rads 2 ξ Wm 1 ξ 0158 TΔ ln002 ξ Wm 783 s 2 Tp π Wm 1 ξ² 101 s Tn 0100 π arcosξ Wm 1 ξ² 0554 s Mp eπ ξ 1 ξ² 605 Resultados obtidos em MATLAB TΔ 7315 s Tp 101 s Tn 0554 s Mp 6045 c Rs Es Vs 10 s 1 xs 1 s Cs xs 1 s Cs xs s Cs Es Rs Cs Ys 10 s 1 xs Ys Es Kn xs Ys s 1 10 xs Rs Cs Kn xs s 1 10 s Cs Rs Cs Kn s Cs Rs Css 1 10 s 1 Kn s Gfs Cs Rs 1 s 1 10 s 1 Kn s Gfs 10 s² s 10 Kn s 10 10 s² 10 Kn 1 s 10 d Pelo gráfico Mp 16 Mp e ξ π 1 ξ² 16 ξ05 ωm 10 316 rads Por Gfs 2 ξ ωm 10 Kn 1 316 1 10 Kn Kn 0216 e Ts 2476 s Tp 1148 s Tn 0765 s Mp 16 4 R E k s 1 A B 30 10 s 1 C 006 s L0 05 C 05 05 L0 0005 L0 0005 E R 05 L0 A E k s 1 R 05 L0 k s 1 B A 05 C B 30 10 s 1 C B 10 s 1 30 C 10 s 1 30 C R 12 L0 k s 1 12 C 10 s 1 30 12 C R 12 L0 k s 1 C R 12 L0 k s 1 30 10 s 16 C 006 s L0 R 12 L0 k s 1 30 10 s 16 006 s L0 L0 R G k s 1 30 10 s 16 006 s 1 12 k s 1 30 10 s 16 006 s k 30 006 s 110 s 16s 12 k 30 006 G 18 k 10 s³ 16 s 10 s² 16 s 09 k b G 18 10 s³ 26 s² 16 s 09 k 1 k 1 e 2 1 Veja imagem comparando c G 18 k 10 s² 16 s 09 k 1 s² 0 G 018 k s² 16 s 009 k ωm 009 k 2 ξm ωm 16 ξm 08 009 k Queremos que G 1 para ser criticamente amortecido 08 009k 1 009k 064 k 711 Veja a imagem da simulação d G 018k s² 16s 009k y lim s0 s 018k s² 16s 009k 5s s entrada 5V degrau y lim s0 090k s² 16s 009k 090k 009k y 10V Veja simulação 5a v₀ vb L d it dt R it Transformada de Laplace L supondo condições iniciais nulas V Vb sL Is R Is I E ângulo no qual o rotor gira em torno dele com oscilações Ângulo deslocado vb kb senθ dθtdt L Vb kb senθ Δθ s II l T kt Is senθ J s² θs III α d²θtdt² L α s² θs Ainda de III Is J s² θs kt senθ IV IV e II I V kb senθ s θs s L R J s² θs kt senθ Vs kb senθ s sL R J s² kt senθ Gs Gs θs Vs 1 kb senθ s sL R J s² kt senθ kt senθ J s² L s R kt kb senθ² s b Vs 1 Impulso e θ 130 θs kt sen 130 J s² L s R kt kb sen130² s Pelo Teorema do valor final θt lim s0 s kt 0766 J s² L s R kt kb 01587 s θt kt 0766 kt kb 0587 1305 kb rad untitled Scope 1s1 3010s1 006s 05 100 0005 Ready Sample based T100000