Oscilações e suas Aplicações na Natureza

OSCILAÇÕES ONDAS E MECÂNICA DOS FLUIDOS Midilane Sena Medina o balanço de uma criança as cordas de instrumentos musicais e mais importante as ondas sonoras e alguns circuitos elétricos 1 Definição Movimentos que se repetem regularmente no tempo são chamados de movi mentos oscilatórios executados por aquilo que damos o nome de oscilador Na natureza é possível encontrar dezenas de exemplos de movimentos os cilatórios como visto na Figura 1a já que muitas ações e movimentos são repetitivos uma cadeira de balanço um satélite que orbita a terra um peso preso a uma mola o movimento de um pêndulo assim como as vibrações de um diapasão as batidas do coração as oscilações neurais e os movimentos financeiros Um sistema como o pêndulo representado na Figura 1b em repouso está em posição de equilíbrio o que implica que neste ponto nenhuma força ex terna está agindo sobre ele Portanto nessa condição a força líquida atuando sobre o sistema é nula Agora se uma força externa agir fazendo com que o sistema sofra um pequeno deslocamento da sua posição de equilíbrio uma força atuará para tentar trazêlo de volta ao seu ponto fixo Figura 1b A força que atua para trazer o sistema de volta ao seu equilíbrio recebe o nome de força restauradora responsável pelo surgimento do movimento oscilatório Uma das maneiras mais fáceis de identificar um movimento oscilatório se dá a partir de um gráfico que identifique seu estado físico por exemplo sua posição em função do tempo Na Figura 2a podemos observar um gráfico de uma função que descreve uma oscilação simples no qual a variável indepen dente no eixo horizontal caracteriza o sistema Desse modo esse gráfico mostra que à medida que o tempo avança a quantidade que varia no eixo vertical circula pelos mesmos valores em um padrão previsível e repetitivo veja a área destacada na Figura 2a Assim ao olhar o gráfico podemos identificar que ele apresenta um padrão repetitivo caracterizando um movimento periódico e consequentemente um oscilador Osciladores e o movimento harmônico simples 2 Figura 1 a Exemplo de entes que realizam movimentos periódicos b Esquema simplificado do movimento do pêndulo periódico de um pêndulo deslocado de sua posição de equilíbrio e da força restauradora que atua para trazer o pêndulo de volta à posição de equilíbrio dando origem ao movimento oscilatório Fonte a Irik BikShutterstockcom ktsdesignShutterstock 3DsculptorShutterstock Fouad A SaadShutterstock Direção da força restauradora Posição de equilíbrio a b 3 Osciladores e o movimento harmônico simples Nem todas as oscilações são simples como a representada na Figura 1a já que de fato a maioria daquelas que ocorrem no mundo real é mais com plexa No gráfico da Figura 1b há a exemplificação do movimento periódico de um ente que descreve um tipo mais complexo de oscilação Apesar de sua complexidade e de não conhecermos o ente que realiza o movimento a partir da análise gráfica é possível inferir que o ente realiza um movimento oscilatório visto que a oscilação da variável dependente ao longo do tempo se repete após um período previsível veja a área destacada na Figura 1b Assim podemos claramente identificar uma oscilação a partir da observa ção de padrões repetitivos em gráficos que descrevem uma variável física do sistema como função do tempo Como você verá adiante existe uma classe de funções cujos gráficos exibem padrões de repetição conhecidas como funções periódicas e que são as mais adequadas para descrever movimentos oscilatórios em termos de sua posição velocidade e aceleração em função do tempo Ainda possibilitará determinar grandezas físicas inerentes ao movimento oscilatório como amplitude frequência e período Aqui definimos o movimento oscilatório como qualquer movimento periódico que se repete em torno de uma posição de equilíbrio TIPLER MOSCA 2006 Apesar da complexidade apresentada por alguns movimentos periódicos todos podem ser analisados em termos de oscilações simples como visto na Figura 2a Esse tipo de movimento periódico é denominado movimento harmônico simples MHS e um sistema que oscila com o MHS denominase oscilador harmônico O MHS é definido como o movimento realizado por um ente físico cuja aceleração e por consequência a força resultante atuante são proporcionais e atuam na direção oposta ao deslocamento sofrido pelo sistema Como já citado esse sistema pode ser um pêndulo uma massa presa a uma mola ou qualquer objeto que sob ação de uma força externa consiga oscilar em torno de um ponto fixo tendendo sempre a voltar ao seu ponto de equilíbrio Além disso outros fenômenos mais complexos podem ser aproximados e estudados em termos do MHS Osciladores e o movimento harmônico simples 4 Figura 2 Exemplos de gráficos de funções que des crevem o movimento periódico simples a e complexo b Nas duas figuras a área pontilhada destaca ciclos completos que se repetem ao longo do tempo A partir do que apresentamos é possível identificar qualitativamente o movimento periódico realizado por um oscilador e o MHS tanto em termos de definições quanto pela análise gráfica de uma função que descreva uma variável do sistema oscilante como função do tempo Agora é importante estudar esses sistemas em termos das funções periódicas que os descrevem as quais possibilitarão descrever as grandezas físicas que caracterizam os movimentos periódicos em particular o MHS Assim poderemos realizar não apenas uma análise qualitativa mas também quantificar os sistemas a partir das grandezas físicas que os caracterizam 5 Osciladores e o movimento harmônico simples 2 Grandezas físicas relacionadas ao MHS Segundo a primeira lei de Newton um objeto que se move para a frente e para trás está experimentando a ação de uma força na ausência dessa força o objeto se moverá para a frente em linha reta a uma velocidade constante A quantidade de vezes que o objeto oscila em determinado período define uma grandeza física denominada frequência f de oscilação Já a repetição completa desse movimento é chamada de ciclo e a duração de cada ciclo denominase período T Ainda o deslocamento máximo a partir da sua posição de equilíbrio é chamado de amplitude A Como mencionado os sistemas oscilatórios podem ser entendidos a partir do estudo do oscilador harmônico simples e um objeto exibe um MHS quando a força resultante que atua sobre ele é proporcional ao seu deslocamento a partir de um ponto de equilíbrio Considere agora um oscilador que pode ser uma partícula presa a uma mola perturbada da sua posição de equilíbrio e que está sujeita a uma força restauradora diretamente proporcional ao seu deslocamento Tendo em conta que essa mola obedece à lei de Hooke que prediz que para deslocamentos suficientemente pequenos a força restau radora é proporcional ao deslocamento alongamento ou compressão da posição de equilíbrio Figura 3 inferese que esse sistema realiza um MHS BAUER WESTFALL DIAS 2012 Assim podemos iniciar a descrição matemática do MHS a partir do conhecimento da relação matemática entre força e deslocamento como visto a seguir Matematicamente a lei de Hooke descreve a relação entre a força F e o deslocamento x como F kx Nessa equação a constante de força k é uma medida da rigidez da mola A variável x é escolhida igual a zero na posição de equilíbrio positiva para o alongamento e negativa para a compressão O sinal negativo reflete a natureza restauradora da força uma vez que ela sempre atua no sentido oposto ao do deslocamento Osciladores e o movimento harmônico simples 6 Agora observe a configuração apresentada na Figura 3 em que um bloco de massa m é preso a uma mola verticalmente suspenso na direção x Nessa configuração quando o bloco está em repouso há um equilíbrio entre a força da gravidade que aponta na direção negativa de x e a força da mola que aponta na direção positiva de x Figura 3 Mola não carregada e seu movimento oscilatório para cima e para baixo após ser carregada com uma massa e liberada para se movimentar Ao ser perturbado da sua posição de equilíbrio a equação do movimento pode ser encontrada aplicandose a segunda lei de Newton F ma para a força restauradora atuante sobre o sistema F kx Assim encontramos que F ma kx onde a é a aceleração do corpo em movimento Nesse ponto é importante relembrar que a aceleração de um corpo qualquer é escrita em termos da derivada de segunda ordem da posição em função em tempo como segue 7 Osciladores e o movimento harmônico simples Lembrese de que a quantidade de vezes que o ente oscila determina a frequência f das oscilações e que a duração de cada ciclo determina o período T Para o caso da frequência angular temse a seguinte relação A unidade no sistema internacional SI para a frequência é o inverso do segundo s1 e para a frequência angular o radiano por segundo rads Como a amplitude do movimento descreve os deslocamentos que o ente realiza a partir de sua posição de equilíbrio fica fácil inferir que a sua unidade de medida no SI é dada em metros m No MHS frequência e período são independentes da amplitude Por exem plo ao tocar uma corda de um instrumento musical independentemente da força aplicada na geração do movimento ela oscilará com a mesma frequência Ainda o período sofre influência da rigidez do sistema ou seja para uma mola com alta constante por exemplo o oscilará com menor período O período depende também da massa do sistema oscilante no sentido de que quanto maior a massa maior será o período de oscilação Velocidade e aceleração no MHS No MHS a velocidade muda constantemente oscilando da mesma maneira que o deslocamento Quando o deslocamento é máximo a velocidade é zero do mesmo modo quando a velocidade é máxima o deslocamento é zero A velocidade do MHS é dada por Assim vt Aωsenωt φ Nesta equação a grandeza Aω é a amplitude da velocidade ou seja o ente oscilará entre Aω 9 Osciladores e o movimento harmônico simples Já a aceleração do MHS será dada por Assim at Aω2cosωt φ ω2xt Nesta equação a grandeza Aω2 corresponde à amplitude da aceleração ou seja a aceleração do movimento oscilatório deverá oscilar entre Aω A aceleração também oscila no MHS se você considerar o movimento da massa suspensa em mola Figura 3 quando o deslocamento for zero a aceleração também será zero em virtude da ausência da força restauradora Quando o deslocamento é máximo a aceleração também é máxima já que a mola aplica força máxima a força aplicada pela mola está na direção oposta ao movimento Um bloco de 600 kg é colocado em uma superfície sem atrito e fixado em uma mola com uma constante k 350 Nm presa a uma parede Em determinado instante o bloco é afetado por uma força externa que faz com que ele oscile a partir da sua posição de equilíbrio x 000 entre 002 m Determine as equações que descrevem o deslocamento do bloco sabendo que seu período de oscilação é de 157 s Solução Sabendo que a equação para posição do MHS como função do tempo é dada por xt Acosωt φ E que velocidade e aceleração são dadas pela sua derivada de primeira e segunda ordem respectivamente para encontrar essas equações é preciso utilizar os valores das grandezas físicas dadas no enunciado e a partir delas determinar as demais grandezas faltantes Foi dado que a amplitude do movimento é x A 002m A partir do enunciado é possível inferir também que o ângulo de fase é φ 0 rad uma vez que partiu da sua posição de equilíbrio Osciladores e o movimento harmônico simples 10 Para completar a equação é necessário determinar a frequência angular dada por Assim a equação do deslocamento do bloco será dada por xt 002cos4t Derivando essa equação obtemos vt 008sen4t E at 032cos4t A partir dessas equações é possível descrever o deslocamento a velocidade e a aceleração para o movimento em qualquer instante de tempo Osciladores acoplados Movimentos acoplados ocorrem quando um ou mais sistemas oscilantes estão unidos de maneira a permitir a troca de movimento entre eles Considere o caso mais simples o acoplamento de osciladores duas massas idênticas conectadas por uma mola conforme a Figura 4 Figura 4 Esquema que mostra dois osciladores idênticos acoplados Nele x1 e x2 representam os deslocamentos que as massas realizam a partir da posição de equilíbrio 11 Osciladores e o movimento harmônico simples Começaremos escrevendo as expressões para as forças em cada massa em termos das duas massas de modo que F1 k1x1 k2x1 x2 k1 k2x1 k2x2 e F2 k1x2 k2x2 x1 k1 k2x1 k1x1 Assim é possível obter a expressão que descreve o movimento de cada massa Como acontece para o MHS aqui a expressão resultante será uma equação diferencial de segunda ordem e Tais equações mostram que o movimento de uma das massas depende da posição do outro indicando que as equações que descrevem o movimento do sistema estão acopladas Nesse momento também não serão resolvidas expli citamente mas é importante que saiba que as expressões para o movimento obtidas a partir dessas equações são e Osciladores e o movimento harmônico simples 12 Contudo explicitase que um resultado importante que pode ser obtido a partir dessas equações é a frequência angular dos osciladores acoplados dada por e Abordagem similar à utilizada para o MHS permite encontrar velocidade e aceleração para o movimento harmônico de osciladores acoplados Todas as equações apresentadas para deslocamento velocidade e aceleração em função do tempo aplicamse a qualquer MHS O que distingue um sistema do outro é magnitude das grandezas físicas que os caracterizam A seguir você saberá analisar o MHS a partir da análise das funções e grandezas físicas que descrevem as variáveis desse movimento como função do tempo Sistemas acoplados estão presentes em diversas áreas da natureza Em física química e biologia há muitos casos em que o acoplamento entre sistemas oscilantes que apresentam consequências que é importante O conteúdo estudado até aqui permite analisar os osciladores e o MHS tanto do ponto de vista qualitativo quanto quantitativo por meio de expres sões matemáticas que relacionam as grandezas físicas que os caracterizam A partir desse ponto serão apresentadas as descrições gráficas Os gráficos do movimento oscilatório são importantes pois como o gráfico de qualquer função permitem a obtenção de muitas informações de maneira rápida e fácil A partir de um gráfico do MHS podemos escrever as equações que regem o movimento e as grandezas físicas nele envolvidas bem como comparar movimentos e a verificação do efeito que a variação de uma grandeza produz em parâmetros de movimentos que dela dependem 13 Osciladores e o movimento harmônico simples 3 Análise de gráficos de MHS Gráficos do MHS seguem o padrão seno ou cosseno na Figura 5 são apresentados gráficos que descrevem o movimento da posição velocidade e aceleração em função do tempo para o MHS nos quais se destacam como é possível obter a amplitude e o período grandezas físicas que caracterizam graficamente o MHS Como vimos a velocidade e a aceleração foram obtidas a partir de derivadas da posição e da velocidade como função do tempo respectivamente Para analisar os gráficos do MHS imaginemos a situação representada na Figura 5 que apresenta gráficos de deslocamento velocidade e aceleração de uma partícula vibrando Figura 5 Comparação entre as curvas da posição xt veloci dade vt e aceleração at de um oscilador em função do tempo Osciladores e o movimento harmônico simples 14 Na Figura 6 podemos observar gráficos de xt em que se verifica em maior detalhe as grandezas físicas que foram obtidas a partir da equação do movimento Na Figura 6a estão representadas curvas do MHS com diferentes amplitudes Note que A representa o valor máximo de xt e A o seu valor mínimo Assim a partir apenas da análise do gráfico mesmo sem conhecer os objetos que realizam esses movimentos podese concluir que embora com os mesmos períodos oscilatórios o movimento realizado pelo ente representado na curva azul promove deslocamentos maiores Ainda na Figura 6b são representadas as variações observadas em fun ção da diferença entre a frequência de oscilação do MHS Nesse caso ainda que os sistemas trabalhem na mesma amplitude são observadas diferenças nas curvas da posição em função pela diferença de frequência entre os dois movimentos Embora essa análise tenha sido realizada para os gráficos da posição como função do tempo pode ser estendida para as funções da velo cidade e da aceleração No MHS a constante de fase é determinada a partir da condição inicial do movimento Por exemplo se em t 0 o objeto estiver no seu deslocamento máximo na direção positiva de x então temos φ 0 já se o deslocamento estiver no seu deslocamento máximo na direção negativa de x temos que φ π2 Na Figura 6c encontrase a representação gráfica da defasagem entre a posição e a velocidade do um objeto em MHS defasados em π4 a partir de sua análise observase que velocidade é igual a zero quando o deslocamento é máximo e a velocidade é máxima quando o deslocamento é zero LALIC 2011 Análise similar pode ser realizada para a aceleração do movimento 15 Osciladores e o movimento harmônico simples Figura 6 Gráficos que indicam mudanças na a amplitude na b frequência e na c defasagem de um objeto em movimento harmônico simples Para um melhor entendimento veja a seguir a construção de um gráfico do MHS obtido a partir da equação do deslocamento como função do tempo Osciladores e o movimento harmônico simples 16 Imagine que um objeto realiza um MHS descrito pela equação Sabendo que o período é ω 2π φ e a amplitude do movimento é A 800 m como ficaria o gráfico que descreve esse movimento É possível obter o gráfico calculando o valor de x para alguns pontos A ideia central consiste em encontrar os valores de máximo e mínimo e os locais onde a função vale zero o que pode ser feito a partir da substituição de valores para t na equação dada Sabendo que os pontos de máximo e mínimo estão localizados entre os pontos 800 m e o gráfico corta o eixo dos x é possível agora construir o gráfico 17 Osciladores e o movimento harmônico simples Neste capítulo foram apresentados o movimento oscilatório e o MHS de modo qualitativo passando para seu entendimento matemático e finalmente à abordagem gráfica Esse desenvolvimento possibilita não apenas compreen der mas também descrever movimentos oscilatórios a partir das expressões matemáticas que os definem uma vez que essas equações permitem obter as grandezas físicas que caracterizam o movimento passíveis por sua vez de ser obtidas também a partir da representação gráfica Finalmente se o único conhecimento existente for as grandezas físicas que descrevam deter minado movimento oscilatório vimos que é possível utilizálas para escrever a expressão matemática e para traçar o gráfico do movimento tornando sua descrição assim completa BAUER W WESTFALL G D DIAS H Física para universitários relatividade oscilações ondas e calor Porto Alegre AMGH 2012 HALLIDAY D RESNICK R WALKER J Fundamentos de física 10 ed Rio de Janeiro LTC 2016 Gravitações ondas e termodinâmica v 2 HEWITT PG Fundamentos de física conceitual São Paulo ABDR 2009 LALIC M Física C Sergipe CESAD 2011 TIPLER P A MOSCA G Física para cientistas e engenheiros 5 ed Rio de Janeiro LTC 2006 Mecânica Oscilações e Ondas Termodinâmica v 1 Leituras recomendadas KNIGHT R Física uma abordagem estratégica 2 ed Porto Alegre Bookman 2009 Termodinâmica Óptica v 2 NUSSENZVEIG H M Curso de física básica 5 ed São Paulo Blucher 2013 Mecânica v 1 YOUNG H D FREEDMAN R A ZEMANSKKY S E Física II termodinâmica e ondas 14 ed São Paulo Pearson 2016 Osciladores e o movimento harmônico simples 18