Oscilações, Ondas e Mecânica dos Fluidos: Princípios de Superposição

OSCILAÇÕES ONDAS E MECÂNICA DOS FLUIDOS Everton Coelho de Medeiros y1xt e y2xt Quando as ondas se encontram temse uma onda resultante yʹxt Figura 1 HALLIDAY RESNICK WALKER 2016 Dessa forma temse que yxt y1xt y2xt 1 Figura 1 Superposição de duas ondas tracejadas curta e longa e sua onda resultante contínua Quando há ondas defasadas ie podem ter a mesma frequência e ampli tude mas há um atrasoadiantamento entre elas a superposição pode levar a uma interferência também chamada de supressão BAUER WESTFALL DIAS 2013 Considere que as ondas mencionadas em 1 sejam expressas da seguinte forma em uma corda y1xt Asenkx ωt 2 y2xt Asenkx ωt φ 3 Ambas as ondas possuem a mesma amplitude o mesmo número de onda e velocidade angular No entanto a Equação 2 possui ângulo de fase nulo ao passo que a Equação 3 possui ângulo de fase igual a φ De acordo com 1 a superposição será yxt Asenkx ωt Asenkx ωt φ 4 Princípio da superposição e ondas estacionárias 2 A soma trigonométrica de dois senos de ângulos diferentes α e β é a seguinte senα senβ 2sen α β cos α β 5 Aplicando 5 em 4 temse que yxt 2Acos φsenkx ωt φ 6 Observe que a onda resultante é diferente das originais pois a constante de fase é igual a φ2 e o módulo da onda passou a ser igual a 2Acosφ2 Se φ for nulo temse o caso exposto em 1 ou seja yxt 2Asenkx ωt 7 Nesse caso ocorre a chamada interferência totalmente construtiva pois as ondas se somam por completo Se a segunda onda tiver defasagem de 180 temse então como onda resultante o seguinte yxt 2Acos πsenkx ωt π 8 yxt 0senkx ωt π 9 yxt 0 10 Portanto há uma interferência totalmente destrutiva pois a onda resultante será nula Se o valor de ϕ tiver qualquer valor entre 0 e 180 e seus múltiplos de 2 haverá ondas nem totalmente construtivas nem totalmente destruti vas bem como ondas intermediárias TIPLER MOSCA 2009 A Figura 2 a seguir apresenta os três casos mencionados 3 Princípio da superposição e ondas estacionárias Figura 2 Interferência entre ondas ad totalmente construtiva be totalmente des trutiva cf intermediária Fonte Halliday Resnick e Walker 2016 p 131 a y1 x t y x t y x t y x t y1 x t y1 x t y2 x t y2 x t y2 x t e Ø 0 Ø π rad Ø π rad y x x x x x x y y y y y b c d e f 2 3 Exemplo 1 Duas ondas senoidais de mesma amplitude 1 m com defasagem de 60 qual é a amplitude da onda resultante e seu tipo de interferência Solução Considerando que as ondas são iguais na amplitude e velocidade angular apenas com ângulos de fase diferentes temse uma interferência intermediária com a amplitude da onda resultante sendo a seguinte Amplitude 2Acos φ 11 Amplitude 2 1 cos 2cos30 173 m 12 Princípio da superposição e ondas estacionárias 4 Exemplo 2 Qual deve ser a defasagem entre duas ondas com amplitude de 5 cm para que a onda resultante tenha amplitude de 3 cm Solução Como a amplitude resultante é igual a 3 cm e as ondas originais apresentam amplitude de 5 cm temse que 5 2 3 cos φ 13 cos φ 14 φ 6712 15 A interferência só será totalmente construtiva ou destrutiva quando seu ângulo de fase for 0 ou 180 e isso inclui as suas repetições ie 360 540 720 900 etc Qualquer valor diferente será considerado como interferência intermediária 2 Ondas estacionárias Inicialmente vimos o comportamento da superposição de ondas que se pro pagam no mesmo sentido No entanto é possível que as ondas se propaguem em sentidos opostos Caso isso aconteça haverá uma superposição com a interferência entre ondas porém com uma onda resultante estática chamada de onda estacionária Figura 3 HALLIDAY RESNICK WALKER 2016 Com base nessa denominação é possível calcular a interferência entre as ondas como na equação 1 porém com ondas em sentidos opostos TIPLER MOSCA 2009 conforme a seguir yxt Asenkx ωt Asenkx ωt 16 5 Princípio da superposição e ondas estacionárias Utilizando a relação trigonométrica 5 a onda resultante estacionária será yxt 2Asenkxcosωt 17 Figura 3 Ondas estacionárias Fonte Halliday Resnick e Walker 2016 p 136 a b c x t 0 x x x x t T 1 4 t T 1 2 t T 3 4 t T Pesquise por Superposition of Transverse Waves no seu mecanismo de busca para acessar o site do Geogebra no qual são disponibilizados testes de superposição de ondas sejam elas no mesmo sentido ou não É importante ressaltar que a superposição não afeta apenas ondas que seguem o mesmo sentido As ondas estacionárias por exemplo resultam da superposição de ondas que seguem sentidos opostos Esse tipo de superposição causa fenômenos de amplificação elevada conhecidos como ressonância A seguir é detalhado o fenômeno de ressonância e como seus modos aparecem em fenômenos oscilatórios Princípio da superposição e ondas estacionárias 6 3 Fenômenos em ondas A superposição de ondas é um dos fenômenos que ocorrem em ondas o qual pode levar à interferência construtiva destrutiva ou intermediária em ondas que seguem o mesmo sentido NUSSENZVEIG 2013 Para ondas vindas de diferentes sentidos por exemplo imagine uma fábrica que tem como principal serviço a estampagem em ligas de aço As máquinas alternativas p ex prensas geradores a diesel motores de combustão interna etc vizinhas podem gerar ondas que estão em sentidos opostos podendo sofrer interferência Se essa interferência de ondas opostas gerar ondas estacionárias a partir de uma coincidência de frequências temse então o fenômeno de ressonância Vários estudos sobre a ressonância são feitos durante o projeto de estruturas máquinas e outros equipamentos Figura 4 pois ela eleva as amplitudes das ondas de maneira significativa e destrutiva JEWET JR SERWAY 2011 Figura 4 Avaliação de ressonância entre dois motores em campo Fonte Rawi RochanavipartShutterstockcom 7 Princípio da superposição e ondas estacionárias Exemplo 3 Considere uma onda estacionária de amplitude 2 mm k igual a 5π e frequência de ressonância igual a 8062 Hz Qual é a velocidade máxima dessa onda em um com primento de 18 cm Solução Considerando a equação de onda estacionária vista anteriormente temse que yx t 2Asenkxcosωt 18 A velocidade da onda estacionária é dada pela derivada da equação de deslocamento em relação ao tempo vx t y x t 18 vx t 2Aωsenkxsenωt 19 A velocidade será máxima no instante t em que levar o valor de seno para igual a 1 vmáx x t 2Aωsenkx 20 Considerando que a velocidade angular é dada por ω 2πf 2π 8062 21 Em 18 cm a velocidade máxima será a seguinte vmáx0 18 t 2 0003 2π 8062 sen5π 018 22 vmáx0 18 t 626 ms 23 Para analisar apenas a magnitude aplicase o módulo em cima da velocidade vmáx0 18 t 626 ms 24 Princípio da superposição e ondas estacionárias 8 Na internet diversas universidades e instituições de ensino elaboram experimentos virtuais para a concretização do conteúdo teórico apresentado neste capítulo Pes quise por Air Column Resonance no seu mecanismo de busca para acessar o site do Geogebra no qual é possível ver o efeito de ressonância em ondas dentro de um tubo Portanto a interferência pode aumentar neutralizar ou criar uma onda resultante composta Além disso as ondas que estão em caminhos opostos geram devido à interferência ondas estacionárias as quais quando com frequências iguais geram o fenômeno de ressonância ondulatório BAUER W WESTFALL G D DIAS H Física para universitários relatividade oscilações onda e calor Porto Alegre AMGH 2013 HALLIDAY D RESNICK R WALKER J Fundamentos de física gravitação ondas e ter modinâmica 10 ed São Paulo LTC 2016 v 2 JEWET JR J W SERWAY R A Física para cientistas e engenheiros oscilações ondas e termodinâmica 2 ed São Paulo Cengage Learning 2011 v 2 NUSSENZVEIG H M Curso de física básica 5 ed São Paulo Blucher 2013 Fluidos Oscilações e Ondas Calor v 2 TIPLER P A MOSCA G Física para cientistas e engenheiros 6 ed Rio de Janeiro LTC 2009 v 1 9 Princípio da superposição e ondas estacionárias