Cálculo I - Conceitos e Tipos de Funções

CÁLCULO I PROFA MA MIRIAM EULALINA MARTINS FROTA PROF DR RICARDO CARDOSO DE OLIVEIRA Presidente da Mantenedora Ricardo Benedito Oliveira Reitor Dr Roberto Cezar de Oliveira PróReitoria Acadêmica Gisele Colombari Gomes Diretora de Ensino Profa Dra Gisele Caroline Novakowski PRODUÇÃO DE MATERIAIS Diagramação Alan Michel Bariani Edson Dias Vieira Thiago Bruno Peraro Revisão Textual Camila Cristiane Moreschi Danielly de Oliveira Nascimento Fernando Sachetti Bomfim Luana Luciano de Oliveira Patrícia Garcia Costa Produção Audiovisual Adriano Vieira Marques Márcio Alexandre Júnior Lara Osmar da Conceição Calisto Gestão de Produção Cristiane Alves Direitos reservados à UNINGÁ Reprodução Proibida Rodovia PR 317 Av Morangueira n 6114 3 WWWUNINGABR U N I D A D E 01 SUMÁRIO DA UNIDADE INTRODUÇÃO 5 1 O CONCEITO DE FUNÇÃO 6 2 TIPOS DE FUNÇÕES 11 21 A FUNÇÃO CONSTANTE 11 22 FUNÇÃO AFIM 12 23 FUNÇÃO MODULAR 13 24 FUNÇÃO QUADRÁTICA 14 25 FUNÇÃO POTÊNCIA 16 26 FUNÇÕES POLINOMIAIS 19 27 FUNÇÕES RACIONAIS 19 28 FUNÇÕES ALGÉBRICAS 20 FUNÇÕES ENSINO A DISTÂNCIA DISCIPLINA CÁLCULO I 4 WWWUNINGABR EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA 29 FUNÇÕES EXPONENCIAIS 21 210 FUNÇÕES LOGARÍTMICAS 22 211 FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 24 3 OPERAÇÕES COM FUNÇÕES 26 CONSIDERAÇÕES FINAIS 31 5 WWWUNINGABR CÁLCULO I UNIDADE 1 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA INTRODUÇÃO Função é o objeto central do Cálculo Diferencial e Integral São sobre as funções que recaem os principais conceitos desta teoria isto é o conceito de derivada e de integral Definiremos a derivada de uma função e a integral de uma função Então embora não façam parte do que consideramos especificamente Cálculo Diferencial e Integral reconhecer as principais funções suas propriedades e ter ideia de seus gráficos são essenciais para que se possa compreender e ter sucesso com qualquer estudo sobre Cálculo Diferencial e Integral De modo geral quase tudo depende de algo e determinados acontecimentos ocorrem sempre em função de outros Portanto todas as Ciências Naturais como Física Química e Biologia as Engenharias Ciências Sociais e até mesmo as Ciências da Saúde podem ser modeladas por meio de funções As grandezas como posição velocidade aceleração temperatura tempo carga elétrica força magnética e etc estão sempre relacionadas umas as outras e as funções traduzem como se dão tais relações Aqui estaremos interessados num tipo especial de função que chamamos de função real de uma variável real que são aquelas que associam duas grandezas numéricas Neste módulo faremos um estudo das principais funções que comumente aparecem nas aplicações 6 WWWUNINGABR CÁLCULO I UNIDADE 1 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA 1 O CONCEITO DE FUNÇÃO Funções são leis ou regras que relacionam duas grandezas e estão presentes em diversas situações do nosso cotidiano Por exemplo numa corrida de táxi podemos dizer que o valor a ser pago depende de uma taxa préfixada chamada bandeirada mais o valor pago pelos quilômetros percorridos Assim podemos expressar essa situação pela equação Valor a ser pago bandeirada valor por quilometro percorrido x quantidade de quilômetros percorridos Eq1 Uma vez fixado o valor da bandeirada e o preço por quilometro percorrido notamos pela Eq1 que está estabelecida uma relação entre duas grandezas valor a ser pago e a quilometragem Em relação a essas duas grandezas é razoável afirmarmos que o valor a ser pago depende da quilometragem mas a quilometragem não depende do valor a ser pago Por isso dizemos que o valor a ser pago é a variável dependente enquanto a quilometragem é a variável independente Para facilitar a escrita é comum fazermos uso de variáveis Consideremos x quantidade de quilômetros percorridos e y valor a ser pago pela corrida de táxi Supondo que a bandeirada seja de R 500 e o valor por quilômetro percorrido seja de R 400 temos y 500 400 x Eq2 Para cada valor atribuído à x obtemos um único valor para y Por exemplo se x 6 km então y 5 4 x 6 2900 reais Se x 10 km então y 5 4 x 10 4500 reais Se x 132 km então y 5 4 x 312 5780 reais Observamos ainda que cada uma dessas grandezas pertence a um conjunto o conjunto formado por todas as possíveis quilometragens chamado domínio da função e o conjunto formado por todos os possíveis valores a serem pagos pela corrida de taxi é denominado a imagem Motivados por este exemplo podemos generalizar e enunciar a definição do conceito de função Definição Sendo A e B dois conjuntos não vazios Uma função f de A em B é uma lei ou uma regra que a cada elemento x A associa um único elemento y fx B Usualmente representamos uma função f de A em B por Em que f A B significa que f é o nome da função a qual leva associa elementos de um conjunto A em elementos de um conjunto B por meio da lei ou regra que a define Portanto a seta indica levar em associar a de modo que x y fx significa que a cada x A está associado um único y fx B O conjunto A é chamado domínio da função denotado por Df enquanto o conjunto B é chamado contradomínio Também se destaca um importante conjunto chamado de conjunto imagem da função denotado por Imf que consiste dos elementos do contradomínio de B que estão relacionados pela função isto é Neste estudo estamos interessados em um tipo particular de função as chamadas funções reais de uma variável real que são aquelas em que o domínio A ℝ e o contradomínio B ℝ Logo sempre consideraremos funções do tipo f A ℝ ℝ Observe que dar ou determinar uma função consiste em explicitar seu domínio A e a regra ou lei de associação 7 WWWUNINGABR CÁLCULO I UNIDADE 1 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Essa regra pode ser uma expressão matemática uma fórmula uma lei física ou química biológica social etc ou qualquer outra descrição que deixe claro como se dá a associação de modo único Pelo exposto dada uma função f A ℝ ℝ é fundamental conhecer o domínio A a regra de associação e também determinar a imagem de f Outro conceito extremamente útil para o estudo das funções é o que chamamos de gráfico da função O gráfico de uma função nos permite visualizar as propriedades e o comportamento da função é como se fosse a foto da função O gráfico de uma função f A ℝ ℝ é o conjunto do plano cartesiano definido por Voltando ao exemplo do táxi podemos representar a função preço da corrida por Em que ℝ é o conjunto dos números reais não negativos já que se trata de quilometragem Veja ainda que a imagem de f é o intervalo 5 pois se trata dos valores a serem pagos pelas corridas de táxi e o gráfico de f é dado por Figura 1 Gráfico da função preço da corrida de táxi Fonte Os autores Exemplo 1 A propagação de uma epidemia com epicentro em uma localidade P foi estudada e os dados coletados em pesquisa de campo possibilitaram concluir que a densidade y habitanteskm2 de contaminados em um círculo com centro em P e raio km x pode ser expressa de acordo com a função fx 2400x840 em que 0 x 52 e x 0 corresponde à localidade P epicentro da epidemia Com base nessas informações resolva os itens a seguir A Determine a densidade de contaminados no epicentro da pandemia B Determine o número de habitantes contaminados em um círculo de 2 km de raio Solução Desprende do enunciado que o domínio da função é o conjunto x ℝ 0 x 52 que corresponde na verdade os valores de x que validam o modelo A No epicentro a pandemia temos x 0 Daí a densidade de contaminados no epicentro da pandemia é 8 WWWUNINGABR CÁLCULO I UNIDADE 1 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA B O número habitantes de contaminados em um círculo de 2 km de raio é determinado multiplicando a densidade no círculo pela área desse Assim quando x 2 km segue que A área de um círculo de raio 2 km é A πR2 4π km2 Daí o número de contaminados é Exemplo 2 Dado que encontre o domínio de f e determine o valor Solução Temos que e f está bem definida quando x10 pois não existe divisão por zero Assim o domínio de f é tal que x 1 isto é x ℝ x 1 Agora vamos determinar o valor do quociente das diferenças como segue desde que x 1 Exemplo 3 Dado que fx 4 3x x2 determine o valor de f1 e e faça um esboço do gráfico de f Solução Temos que a função é fx 4 3x x2 e está definida para número real ou seja o domínio de f é ℝ Assim fx 4 31 12 0 O valor de x que faz fx0 é denominado zero ou raiz da função Geometricamente representa o intercepto do gráfico da função com o eixo x eixo das abcissas Agora vamos determinar o valor do quociente das diferenças desde que h 0 O gráfico de f é uma parábola com concavidade para baixo como apresentado na Figura 2 Figura 2 Gráfico da função fx 4 3x x2 Fonte Os autores 9 WWWUNINGABR CÁLCULO I UNIDADE 1 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Exemplo 4 Encontre o domínio da função gt 4 3t t2 e faça um esboço do seu gráfico Solução Temos que a função é gt 4 3t t2 e está definida quando 4 3t t2 0 isso porque não existe raiz quadrada de número real negativo Assim vamos estudar a inequação 4 3t t2 0 4 3t t2 t 1t 4 0 Note na inequação anterior que t 1t 4 0 quando 1 t 4 Logo o domínio de g é o conjunto t ℝ 1 t 4 O esboço do gráfico de g é o apresentado na Figura 3 Observe no gráfico de g que o conjunto imagem é y ℝ 0 y ⁵₂ Figura 3 Gráfico da função gt 4 3t t2 Fonte Os autores Para Stewart 2016 o gráfico de uma função f nos fornece uma imagem útil do comportamento ou histórico da função Uma vez que a coordenada y de qualquer ponto x y sobre o gráfico é y fx podemos ler o valor fx como a altura do ponto no gráfico apresentado anteiormente de x analise as Figuras de 1 a 3 O gráfico de f também nos permite visualizar o domínio de f sobre o eixo x e a imagem sobre o eixo y como na Figura 4 Figura 4 Gráfico de uma função Fonte Stewart 2016 10 WWWUNINGABR CÁLCULO I UNIDADE 1 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Exemplo 5 Encontre o domínio da função e faça um esboço do seu gráfico Solução Temos que a função é e ela está definida quando x2 9 0 isso porque não existe divisão por zero Assim o domínio de h é o conjunto x ℝ x 3 O esboço do gráfico de h é o apresentado na Figura 5 Observe no gráfico de h que o conjunto imagem é ℝ Figura 5 Gráfico da função Fonte Os autores No que segue vamos apresentar algumas funções que por suas aplicabilidades merecem ser destacadas e estudadas 11 WWWUNINGABR CÁLCULO I UNIDADE 1 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA 2 TIPOS DE FUNÇÕES 21 A Função Constante Função constante é toda função do tipo fx a para todo x em ℝ onde a é um número real fixado Podemos representar essa função da seguinte forma f ℝ ℝ com fx a O conjunto imagem da função constante é o conjunto formado apenas pelo elemento a isto é Imf a O gráfico da função constante é uma reta horizontal que pode ser paralela ao eixo x ou coincidir com o eixo x no caso em que a 0 Exemplo 6 A Seja f ℝ ℝ com fx 1 Pela regra que define a função vemos que para qualquer x Df y 1 Logo Imf 1 e o gráfico é uma reta horizontal abaixo do eixo x como ilustrado pela Figura 6 Figura 6 Gráfico da função fx 1 Fonte Os autores b Seja f ℝ ℝ com fx 0 Essa é a função nula que para todo x Df y 0 Logo Imf 0 e o gráfico está sobre o eixo x como ilustra a Figura 7 Figura 7 Gráfico da função fx 0 Fonte Os autores 12 WWWUNINGABR CÁLCULO I UNIDADE 1 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA 22 Função Afim Chamase função Afim toda função definida por fx ax b com a e b constantes sendo a 0 isto é f ℝ ℝ tal que fx ax b A menos que se faça alguma restrição o domínio de qualquer função afim é o conjunto dos números reais da mesma forma a imagem também é o conjunto dos números reais O gráfico da função afim é uma reta A constante a é o coeficiente angular e a constante b é o coeficiente linear da reta Dizer que uma função cresce significa que a medida que aumentamos os elementos do domínio os respectivos valores da imagem também aumentam ou seja uma função é considerada crescente em um intervalo I se para todos x1 x2 em I tivermos que fx1 fx2 Analogamente se x1 x2 em I implicar que fx1 fx2 dizemos que a função é decrescente em I Assim no caso da função afim se o coeficiente angular a 0 a função é crescente e se a 0 a função é decrescente em ℝ O coeficiente linear b indica o ponto onde a reta intercepta o eixo y Quando a constante b 0 a função afim é também chamada de função linear O gráfico de toda função linear é uma reta que passa pela origem do plano cartesiano Observe que para esboçar o gráfico da reta no plano cartesiano basta determinar dois pontos dela Exemplo 7 Esboce o gráfico da função fx 2x 1 Solução Nessa função a 2 logo a função é crescente A Tabela 1 mostra as escolhas de dois elementos do domínio e para cada x escolhido a obtenção do valor de y pela regra que define a função O esboço do gráfico de f é apresentado na Figura 8 Fonte Os autores Figura 8 Gráfico da função fx 2x 1 Fonte Os autores Observação Poderíamos ter escolhido quaisquer valores para x já que Df ℝ Entretanto propositadamente escolhemos os pontos onde a reta intercepta os eixos chamados pontos de intersecções com os eixos 13 WWWUNINGABR CÁLCULO I UNIDADE 1 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Uma propriedade interessante das funções afins é que cada um dos elementos da imagem é imagem de um único elemento do domínio ou seja a seguinte implicação é satisfeita se fx1 fx2 x1 x2 Em outras palavras elementos distintos no domínio possuem imagens também distintas isto é sempre que x1 x2 no Df temos fx1 ax1 b ax2 b fx2 Quando uma função tem esta propriedade dizemos que ela é uma função injetora ou injetiva Resumindo nossa argumentação podemos afirmar que toda função afim é injetora Note que a função constante não é injetora Ainda sobre propriedades interessantes das funções há o conceito de função sobrejetora ou sobrejetiva Uma função é sobrejetora quando sua imagem coincide com o contradomínio Como dito anteriormente todas as funções consideradas neste estudo têm o mesmo contradomínio o conjunto dos números reais Logo desde que a imagem de qualquer função afim é o conjunto dos números reais concluímos que toda função afim é sobrejetora Por fim uma função é bijetora quando for simultaneamente injetora e sobrejetora Portanto toda função afim é bijetora 23 Função Modular Por definição o valor absoluto ou módulo de um número real x é o próprio número x quando este é um número não negativo e é igual a x quando x é negativo Portanto se x denota o módulo do número x temos por exemplo que 2 2 0 0 3 3 e ¾ ¾ O valor absoluto define uma função dada por e cujo domínio é o conjunto dos números reais e a imagem o conjunto dos números reais não negativos Note que a função módulo não é sobrejetora e nem injetora Essa função é definida por partes sendo uma parte para os números não negativos e a outra para os números negativos Observamos pela regra que define a função que cada uma das partes é uma função linear Logo o gráfico de f apresentado na Figura 9 mostra a junção das duas semirretas fx x se x 0 e fx x se x 0 Figura 9 Gráfico da função fx x Fonte Os autores Essa ideia de função injetora sobrejetora e bijetora estendese a todas as funções com o mesmo conceito 14 WWWUNINGABR CÁLCULO I UNIDADE 1 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA 24 Função Quadrática Uma função quadrática é toda função definida por fx ax2 bx c em que a b e c são constantes reais e a 0 isto é O gráfico de qualquer função quadrática é uma parábola Quando a 0 a parábola é côncava para cima e quando a 0 a parábola é côncava para baixo Além da concavidade para esboçarmos o gráfico de uma função quadrática precisamos investigar seus interceptos com os eixos coordenados e determinar o vértice da parábola O conjunto imagem da função quadrática é o intervalo Imf yv se a 0 e Imf yv se a 0 em que yv é o intercepto do gráfico da função com o eixo y eixo das ordenadas Toda função quadrática não é injetora e nem sobrejetora Quanto aos intervalos de crescimento e decrescimento podemos afirmar que se a 0 a função é decrescente no intervalo xv e crescente no intervalo xv Por outro lado se a 0 a função é crescente no intervalo xv e decrescente no intervalo xv em que xv é o intercepto do gráfico da função com o eixo x eixo das abcissas Exemplo 8 Esboce o gráfico da função fx x2 4x 3 Solução Já sabemos que o domínio de f é ℝ Para esboçar o gráfico de f seguiremos o roteiro descrito a seguir 1º passo Interceptos com o eixo x Para determinarmos em qualais pontos a parábola intercepta o eixo x fazemos y 0 na função que desejamos esboçar no gráfico Assim obtemos a equação do segundo grau x2 4x 3 0 cujas raízes podem ser obtidas pela fórmula de Báskara Logo os pontos onde a parábola intercepta o eixo x são 10 e 30 2º passo Intercepto com o eixo y Para determinarmos em qual ponto a parábola intercepta o eixo y fazemos x 0 Assim y 02 40 3 3 Logo o ponto onde a parábola intercepta o eixo y é 03 3º passo Vértice da parábola O vértice da parábola é o ponto V xvyv do gráfico da função onde e Assim encontramos e Logo o vértice é o ponto V 21 Em seguida marcamos todos os pontos obtidos pelos três passos no plano cartesiano e traçamos a parábola observando que ela é côncava para cima pois a 1 Aprecie a Figura 10 e note que Imf 1 15 WWWUNINGABR CÁLCULO I UNIDADE 1 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Figura 10 Gráfico da função quadrática fx x2 4x 3 Fonte Os autores Exemplo 9 Esboce o gráfico da função gx x2 4x 3 e determine sua imagem Solução No exemplo 8 fizemos o esboço do gráfico de f Agora faremos o esboço de gráfico de gx x2 4x 3 que terá a parte da imagem do gráfico de f refletida sobre o eixo da abcissa como mostra a Figura 11 Figura 11 Gráfico de gx x2 4x 3 Fonte Os autores 16 WWWUNINGABR CÁLCULO I UNIDADE 1 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA 25 Função Potência A função potência é aquela que a cada número real associa sua nésima potência ou seja função potência é toda função da forma fx xn em que n é uma constante fixada e x ℝ O comportamento de uma função potência depende da natureza do expoente n Vejamos alguns casos n é um número natural Para n 1 e n 2 temos uma função linear e quadrática respectivamente já estudadas anteriormente Nesses casos os gráficos veja Figura12 são respectivamente uma reta que passa pela origem do plano cartesiano e uma parábola cujos interceptos com os eixos e o vértice ocorrem na origem do plano Se n 3 temos a função cúbica que também passa pela origem e é crescente em todo o seu domínio portanto injetora O domínio e a imagem da função cúbica são o conjunto dos números reais Em particular a função cúbica é sobrejetora Logo uma bijeção uma função bijetora a b c Figura 12 Gráficos das funções afx x bfx x2 cfx x3 Fonte Os autores Para os demais expoentes naturais n 4 5 6 os gráficos das funções dependem se o expoente é par ou ímpar Se o expoente for par o gráfico de f é similar ao gráfico da parábola Se o expoente for ímpar o gráfico de f é similar ao gráfico da função cúbica como apresentado na Figura 13 a b Figura 13 a Gráficos das funções fx x2 fx x4 e fx x6 b Gráficos das funções fx x3 fx x5 e fx x7 Fonte Os autores 17 WWWUNINGABR CÁLCULO I UNIDADE 1 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Exemplo 10 CESGRANRIO Adaptado Sabese que g é uma função par e está definida em todo domínio da função f e a função f pode ser expressa por fx x2 kxgx Se f1 7 qual o valor de f1 Solução Sabemos que g é par isto é gx gx para todo x Assim como Agora Portanto f1 5 n ¹a onde a é um número inteiro positivo Se n ¹a então Se a 2 temos a função raiz quadrada que uma função crescente em todo seu domínio portanto também injetora O domínio e a imagem da função raiz quadrada é o intervalo 0 enquanto o gráfico é a parte superior da parábola x y2 como mostra na Figura 14 Figura 14 Gráfico da função Fonte Os autores Motivados pelos comportamentos das funções potências quando o expoente é par ou ímpar surgem os conceitos de função par e função ímpar Uma função f ℝ ℝ é dita par se fx fx x ℝ que é satisfeita pelas funções potências com expoentes pares Por outro lado dizemos que f é uma função ímpar quando verifica a igualdade fx fx x ℝ exatamente como ocorrem com as funções potências com expoentes ímpares 18 WWWUNINGABR CÁLCULO I UNIDADE 1 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Se a 3 temos a função raiz cúbica onde Df R e Imf ℝ como mostra na Figura 15 Figura 15 Gráfico da função Fonte Os autores Para os demais índices os gráficos das funções dependem se o índice é par ou ímpar Se o índice for par o gráfico de f é similar ao gráfico da função raiz quadrada Se o índice for ímpar o gráfico de f é similar ao gráfico da função raiz cúbica n 1 Se n 1 então fx x1 ¹x e neste caso a função f é chamada de função recíproca O domínio e a imagem da função recíproca são iguais Df Imf ℝ 0 O gráfico da função recíproca é uma curva plana chamada de hipérbole equilátera representada na Figura 16 Figura 16 Gráfico da função recíproca fx ¹x Fonte Os autores Observe que a função recíproca é decrescente nos intervalos 0 e 0 entretanto não é decrescente em todo seu domínio Df ℝ 0 0 U 0 Além disso note que a função recíproca é injetora 19 WWWUNINGABR CÁLCULO I UNIDADE 1 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA 26 Funções Polinomiais Chamase função polinomial de grau n toda função da forma Em que n é um número inteiro positivo de modo que an an1 a2 a1 a0 são constantes reais e an 0 O domínio de qualquer função polinomial é o conjunto dos números reais isto é DP ℝ Para caracterizarmos a imagem e o gráfico de uma função polinomial de grau maior ou igual a três é necessário conhecer ferramentas mais avançadas especificamente os conceitos de limites continuidade e derivada os quais serão objetos de estudo mais adiante 27 Funções Racionais Função racional é toda função expressa pelo quociente de duas funções polinomiais isto é tem a forma em que Px e Qx são funções polinomiais Como não existe divisão por zero o domínio da função racional é o conjunto Df x ℝ Qx 0 Exemplo 11 Determine o domínio da função Solução Para determinarmos o domínio de f devemos excluir os valores do domínio que zeram o denominador Assim Usar um software para construção de gráficos de funções é indispensável para a disciplina de cálculo No canal no YouTube do professor Isaque de Souza Rodrigues há diversos vídeos explicando o uso do software Geogebra Sugerimos o vídeo no qual é discutido o gráfico de funções O vídeo está disponível em httpswwwyoutubecomwatchvjBKfJyQonY 20 WWWUNINGABR CÁLCULO I UNIDADE 1 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA 28 Funções Algébricas Uma função é dita algébrica se for construída por meio de operações algébricas tais como adição subtração multiplicação divisão potenciação e radiciação a partir de funções polinomiais Assim como dissemos para as funções polinomiais a compreensão adequada do gráfico deste tipo de função depende de ferramentas mais avançadas às quais serão objetos de estudo nos módulos seguintes São exemplos de funções algébricas e Exemplo 12 O domínio da função real Solução Observe que a função está bem definida quando Agora vamos estudar a inequação e buscar pelos valores de x para os quais Note que o denominador não pode ser zero Assim devemos impor que x 0 e x 1 Agora vamos buscar pelos valores de x para os quais seja positivo note que temos um quociente Analise com atenção a Tabela 2 Fonte Os autores A análise da Tabela 2 permite concluir que o domínio da função é o conjunto Df x ℝ 2 x 1 ou x 0 O gráfico da função f é apresentado na Figura 17 Note que a imagem de f é Imf y ℝ y 0 Figura 17 Gráfico da função Fonte Os autores 21 WWWUNINGABR CÁLCULO I UNIDADE 1 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA 29 Funções Exponenciais Por função exponencial denominamos toda função da forma fx ax Com a 0 uma constante fixada e x ℝ A constante a é denominada base da função exponencial Existem três possibilidades interessantes para a base a a saber Se 0 a 1 a função f é decrescente Df ℝ Imf ℝ 0 e um esboço do gráfico desse tipo de função é apresentado na Figura 18 Figura 18 Gráfico da função exponencial Fonte Os autores Se a 1 a função f é constante Df ℝ Imf 1 e o esboço do gráfico é visto na Figura 19 Figura 19 Gráfico da função exponencial fx 1x Fonte Os autores Se a 1 a função f é crescente Df ℝ Imf ℝ 0 e um esboço do gráfico desse tipo de função é apresentado na Figura 20 Figura 20 Gráfico da função exponencial fx 2x Fonte Os autores 22 WWWUNINGABR CÁLCULO I UNIDADE 1 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Exemplo 13 Sejam f e g duas funções definidas por x ℝ Determine o quociente do valor mínimo de f com o valor mínimo de g Solução Note que e o valor mínimo de f ocorre quando o valor de 3senx 1 for o menor possível Isso acontece quando e 3senx 1 assume valor 4 Dessa forma o valor mínimo de f será Por outro lado note que o valor mínimo de g ocorre quando o valor de e 1 3sen2x assume valor 2 Dessa forma o valor mínimo de g será Portanto quociente do valor mínimo de f com o valor mínimo de g é Exemplo 14 Após o início de um experimento o número de bactérias de uma cultura é dado pela função Nt 1200 204t em que N é o número de bactérias no instante t em hora Quanto tempo após o início do experimento a cultura terá 19200 bactérias Solução Segue que desejamos determinar o tempo para o qual Nt 19200 Assim Nt 1200 204t 19200 204t 16 24 Assim 04t 4 t 10 horas 210 Funções Logarítmicas Quando a base b 1 temos que a função exponencial é injetora e sua imagem é o intervalo 0 Logo para cada y 0 vemos que existe um único x ℝ tal que fx bx y Assim está definida uma função g 0 ℝ dada por É claro que neste caso as funções satisfazem Por conta das propriedades supracitadas dizemos que a função g é a inversa da função f neste caso particular chamada de função logarítmica de base b denotada por gx logb x Então Se a base b 1 então a função logarítmica de base b fx logb x é crescente em todo seu domínio Df 0 e a imagem é o conjunto dos números reais 23 WWWUNINGABR CÁLCULO I UNIDADE 1 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Ilustramos na Figura 21 o gráfico da função logarítmica de base 2 Figura 21 Gráfico da função fx log2 x Fonte Os autores Se a base 0 b 1 então a função logarítmica de base b fx logb x é decrescente em todo seu domínio Df 0 e a imagem é o conjunto dos números reais Ilustramos na Figura 22 o gráfico da função logarítmica de base ½ Figura 22 Gráfico da função fx log½ x Fonte Os autores Os logaritmos possuem três propriedades muito úteis na resolução de problemas a saber 1 logb x y logb x logb y 2 logb x y logb x logb y 3 logb xy y logb x Saber aplicar as três propriedades de logaritmos e efetuar seu cálculo é muito importante No canal do YouTube Matemática sem Enrolação indicamos o vídeo no qual o professor apresenta o cálculo e aplica as propriedades dos logaritmos O vídeo está disponível em httpswwwyoutubecomwatchv0IcecunVzpY 24 WWWUNINGABR CÁLCULO I UNIDADE 1 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Dentre todas as possíveis bases para as funções logarítmicas existe uma em que as fórmulas do cálculo tomam a forma mais simples possível Esta base é conhecida como base e O número e é um número irracional cujo valor aproximado é 2718 281 828 459 045 235 360 287 caracterizado pela propriedade de ser a única base segundo a qual a inclinação da reta tangente ao gráfico da função y ax em qualquer ponto da curva é igual à ordenada y Devido a isto a função logarítmica fx ln x é chamada de função logaritmo natural e sua inversa y ex é a função exponencial natural cujo gráficos são apresentados na Figura 23 Figura 23 Gráficos das funções fx ln x e gx ex Fonte Os autores 211 Funções Trigonométricas Dado um número real a consideremos o ponto Pa xy sobre a circunferência trigonométrica ponto final do arco de medida a radianos como indicado na Figura 23 Figura 24 Círculo Trigonométrico Fonte Os autores Definimos o seno cosseno e tangente do número real a por 25 WWWUNINGABR CÁLCULO I UNIDADE 1 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Desde que Pa xy está na circunferência de raio unitário temos que Observe que as funções seno e o cosseno são periódicas de período 2π estão definidas para todo número real domínio é ℝ e seus valores variam de 1 a 1 isto é a imagem é o intervalo 11 Por outro lado o domínio da função tangente são os números reais menos os pontos que anulam o cosseno isto é D x ℝ x π₂ kπ k ℤ A seguir nas Figuras de 25 a 27 apresentamos o esboço dos gráficos das funções trigonométricas seno cosseno e tangente Figura 25 Gráfico da função fx senx Fonte Os autores Figura 26 Gráfico da função fx cos x Fonte Os autores Figura 27 Gráfico da função fx tgx Fonte Os autores 26 WWWUNINGABR CÁLCULO I UNIDADE 1 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Além das funções seno cosseno e tangente existem as funções cossecante cossec x secante sec x e cotangente cotg x em que estas funções são definidas por As funções trigonométricas inversas são dadas por Observação e isso vale para as demais funções trigonométricas 3 OPERAÇÕES COM FUNÇÕES As quatro operações básicas de adição subtração multiplicação e divisão podem ser aplicadas para as funções e com isso obtermos novas funções Dadas duas funções f e g tais que Df A e Dg B definimos as funções f g f g f x g f g e seus respectivos domínios da seguinte forma Exemplo 15 Se fx x 1 e gx 2x 3 determine as funções f g e f g e seus respectivos domínios Solução Inicialmente é necessário determinar os domínios das funções Notamos que Df Dg ℝ Logo Df g Df g Df Dg ℝ Além disso para todo x ℝ temos fgxfxgxx12x3x12x33x2 e fgxfxgxx12x3x12x3x4 27 WWWUNINGABR CÁLCULO I UNIDADE 1 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Exemplo 16 Se fx x2 1 e e determine as funções f x g Solução Para determinarmos o domínio da função produto f x g devemos fazer a intersecção dos domínios de f e g Como f é uma função polinomial do segundo grau temos que Df ℝ Desde que g é uma função raiz com índice par temos que Dg x ℝ x 2 0 x ℝ x 2 2 Assim Df g Df Dg ℝ 22 Além disso segue que Agora vamos determinar o domínio da função quociente Devemos determinar o conjunto de todos os elementos que pertencem à intersecção dos domínios de f e g que não anulam o denominador g Como já determinamos a intersecção dos domínios de f e g temos que e os valores são calculados por Exemplo 17 Um fabricante de canetas verificou que irá gastar mil reais para produzir x mil unidades de canetas Cada caneta será vendida por P 600 reais Sabendo que a função receita é dada por Rx Px e representa a venda de x mil unidades de caneta a um preço P e que a função lucro é expressa por Lx Rx Cx revolva os itens a seguir A determine o custo para produção de 10 mil canetas B determine o lucro caso a empresa venda 1000 canetas Solução Segue que A O custo para a produção de 10 mil canetas é calculado como segue Assim o custo para a produção de 10 mil canetas é de R 3500000 B A função lucro é Assim o lucro para produção de 1000 canetas é calculado para x 1 igual a Logo para a produção de 1000 canetas o fabricante terá prejuízo de R 110000 28 WWWUNINGABR CÁLCULO I UNIDADE 1 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Além das quatro operações básicas existe ainda uma importante operação entre funções chamada composição de funções definida a seguir Definição Dadas duas funções f e g a função composta de f por g representada por f g é a função definida por f gx fgx cujo domínio é o conjunto formado por todos os x Dg tais que gx Df Isto é Uma forma de visualizar a composição é mostrada no diagrama a seguir Figura 27 Ilustração da composição de duas funções f e g Fonte Os autores Exemplo 18 Sendo fx x 2 e gx x2 5 Calcule f g e g f Solução Claramente temos que Df Dg ℝ portanto Df g Dg f ℝ Pela definição temos e A composição de funções não é comutativa isto é podemos ter f g g f 29 WWWUNINGABR CÁLCULO I UNIDADE 1 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Exemplo 19 Sendo e Calcule Solução Segue que a Vejamos inicialmente o cálculo do domínio Temos que Df 0 e Dg 1 então Df g x Dg gx Df x 1 0 1 Agora para x 1 calculamos b Dg f x Df fx Dg x 0 1 1 e c Df f x Df fx Df x 0 x 0 0 e d Dg g x Dg gx Dg x 1 1 2 e Exemplo 20 Podemos estender o conceito de função composta para três ou mais funções Se fx sen x gxx2 e hxx1 calcule f g h Solução Como sempre iniciamos pelos domínios Temos que Df Dg Dh ℝ portanto Df g h x Dh hx Dg e ghx Df ℝ e f g hx fghx fgx1 fx12 senx12 Exemplo 21 Se determine funções f g e h tais que Gx fghx Solução Fixamos a variável x e observamos quais operações ocorrem A cada operação podemos definir uma função Ou seja Assim Finalizamos esta seção sobre operações com funções discutindo o conceito de função inversa Já vimos este conceito numa situação particular quando introduzimos as funções logarítmicas que são inversas das funções exponenciais Agora em termos gerais dada uma função real de uma variável real f A ℝ ℝ se f é uma função injetora então para cada elemento y Imf existe um e somente um elemento x Df A tal que fx y 30 WWWUNINGABR CÁLCULO I UNIDADE 1 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Portanto está definida uma função g Imf Df A de modo que gy x onde x é tal que fxy É fácil ver que A função g é denominada a inversa da função f e denotada por f1 g Observe que a condição necessária e suficiente para a existência da inversa de uma função é que esta seja injetora Além disso o domínio da inversa é a imagem da função e f1 está caracterizada pela expressão Exemplo 22 Determine a inversa da função fx 2x 1 Solução Observamos que f é uma função afim Portanto Df Imf ℝ e f é injetora Logo existe a inversa de f1 ℝ ℝ Para obter a expressão de f1 na prática seguimos os seguintes passos 1o Trocamos y por x na expressão que define a função que neste caso é x 2y 1 2o Isolamos y obtendo Logo Cálculo foi escrito por James Stewart originalmente na forma de um curso Sempre dando ênfase à compreensão dos conceitos O autor inicia a obra oferecendo uma visão geral do assunto para em seguida apresentálo em detalhes por meio da formulação de problemas exercícios tabelas e gráficos A obra está dividida em dois volumes Vol 1 capítulos 1 a 8 e Vol 2 capítulos 9 a 17 A obra apresenta exercícios graduados com progressão cuidadosamente planejada dos conceitos básicos até problemas complexos e desafiadores Neste primeiro volume você poderá se aprofundar nos seguintes temas Funções e Modelos Limites e Derivadas Regras de Derivação Aplicações de Derivação Integrais Aplicações de Integração Técnicas de Integração e Mais Aplicações de Integração 31 WWWUNINGABR CÁLCULO I UNIDADE 1 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA CONSIDERAÇÕES FINAIS O objeto fundamental do cálculo diferencial e integral são as funções Este capítulo abriu o caminho para o estudo do cálculo discutindo as ideias básicas concernentes às funções e seus gráficos bem como as formas de combinálos e transformálos Finalizamos aqui a primeira etapa dos nossos estudos e os convidamos para a próxima unidade onde estudaremos a ideia de limite que é a base dos vários ramos do cálculo Até lá 32 32 WWWUNINGABR U N I D A D E 02 SUMÁRIO DA UNIDADE INTRODUÇÃO 33 1 LIMITE DE UMA FUNÇÃO 34 2 CÁLCULO DE LIMITE DE FUNÇÃO USANDO PROPRIEDADES 38 3 LIMITES INFINITOS E ASSÍNTOTAS VERTICAIS 45 4 LIMITES NO INFINITO E ASSÍNTOTAS HORIZONTAIS 49 5 CONTINUIDADE 53 CONSIDERAÇÕES FINAIS 56 LIMITES ENSINO A DISTÂNCIA DISCIPLINA CÁLCULO I 33 WWWUNINGABR CÁLCULO I UNIDADE 2 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA INTRODUÇÃO O Cálculo Diferencial e Integral foi construído a partir de dois problemas básicos o problema de se definir taxas de variações instantâneas e equivalentemente determinar a reta tangente a uma curva num ponto e também o problema de se calcular área de regiões planas não regulares como a área abaixo de uma curva gráfico de uma função A solução destes problemas levou aos conceitos de derivada e integral Isto consistiu em fazer aproximações e verificar que tais aproximações de fato ficam arbitrariamente próximas daquilo que se imagina ser a solução para os problemas Aproximações estão relacionadas ao conceito de limite de uma função que é o objetivo principal deste módulo 34 WWWUNINGABR CÁLCULO I UNIDADE 2 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA 1 LIMITE DE UMA FUNÇÃO Vamos analisar o comportamento da função f definida por fx x2 1 quando x se aproxima de 1 A tabela a seguir fornece informações acerca do comportamento de f quando x se aproxima de 1 mas não iguais a 1 Analogamente o gráfico da função f apresentado na Figura 1 Tabela 1 Comportamento da função fx x2 1 nas proximidades de x 1 x fx x fx 0 1 2 5 05 125 15 325 08 164 13 269 09 181 11 221 099 19801 101 20201 0999 1998001 1001 2002001 Fonte Os autores Observe na Tabela 1 que quanto mais próximo x estiver de 1 pela esquerda mais próximo fx estará de 2 Assim escrevemos que e dizemos que o limite à esquerda de fx quando x tende a 1 ou o limite de fx quando x tende a 1 pela esquerda é igual a 2 se pudermos tornar os valores de fx arbitrariamente próximos de 2 para x suficientemente próximo de 1 e x menor que 1 Da mesma forma observe que quanto mais próximo x estiver de 1 agora pela direita mais próximo fx estará de 2 Assim escrevemos que e dizemos que o limite à direita de fx quando x tende a 1 ou o limite de fx quando x tende a 1 pela direita é igual a 2 se pudermos tornar os valores de fx arbitrariamente próximos de 2 para x suficientemente próximo de 1 e x maior que 1 O gráfico da função f é apresentado na Figura 1 Confirme as observações dos dois últimos parágrafos nessa figura Observe na Figura 1 que quanto mais próximo x estiver de 1 de qualquer lado mais próximo fx estará de 2 Assim podemos escrever que se f estiver definida nas proximidades do número 1 isto é fx está definida em um intervalo aberto que contenha 1 exceto possivelmente o próprio a então escrevemos e dizemos o limite de fx quando x tende a 1 é igual a 2 se pudermos tornar os valores de fx arbitrariamente próximos de 2 tão próximos de 2 quanto desejarmos ao fazer x suficientemente próximo de 1 à direita e à esquerda mas não igual a 1 35 WWWUNINGABR CÁLCULO I UNIDADE 2 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Figura 1 Gráfico da função fx x2 1 Fonte Os autores Teorema Exemplo 1 Determine o valor de Solução Note que a função não está definida para x 2 isto é 2 Df Mesmo assim observamos alguns valores de fx com precisão de 5 casas decimais dados na Tabela 2 Tabela 2 Comportamento da função nas proximidades de x 2 Fonte Os autores 36 WWWUNINGABR CÁLCULO I UNIDADE 2 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Figura 2 Tabela contendo valores de para alguns valores de x próximos do número 2 à esquerda do 2 e à direita do 2 Fonte Os autores É fácil ver que os valores da imagem da função estão se aproximando do número 025 à medida que os valores de x se aproximam do número 2 por ambos os lados de 2 Logo com base na tabela podemos afirmar que No exemplo 1 destacamos que para o limite de uma função existir não importa o que acontece com a função no ponto e sim nas proximidades do ponto ou seja o número a não precisa se quer pertencer ao domínio da função para que o limite exista quando x a 37 WWWUNINGABR CÁLCULO I UNIDADE 2 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Exemplo 2 O gráfico da função h é apresentado na Figura 3 Useo para estabelecer os valores caso existam dos seguintes limites Figura 3 Gráfico da função h Fonte Os autores Solução A partir do gráfico observamos que os valores de hx tendem a 3 à medida que os de x tendem a 1 pela esquerda e pela direita ie Como os limites laterais existem e são idênticos podemos escrever que apesar do gráfico de h mostrar que h4 1 Note agora no gráfico que os valores de hx tendem a 3 à medida que os de x tendem a 4 pela esquerda mas tendem a 3 quando x tende a 4 pela direita ie Como os limites à esquerda e à direita de 4 são distintos afirmamos que não existe A definição formal de limite não foi apresenta escrita ao longo desse texto Deixamos o vídeo do canal Ferretto Matemática no YouTube para você aprenda sobre O vídeo está disponível em httpswwwyoutubecomwatchvzPqqLgtpblUt5s 38 WWWUNINGABR CÁLCULO I UNIDADE 2 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA 2 CÁLCULO DE LIMITE DE FUNÇÃO USANDO PROPRIEDADES O cálculo de limites por tabelas e gráficos é algo tedioso e demorado A seguir apresentamos algumas propriedades sobre cálculo de limites que são úteis para o no nosso dia a dia Vejamos Teorema Sejam a c ℝ n ℤ e que os limites então Exemplo 3 Determine caso exista o valor de Solução Observe que o procedimento descrito a seguir só estará justificado na última etapa quando virmos que os limites do numerado e denominador existem e o limite do denominador é diferente de zero pela propriedade 10 pela propriedade 7 pelas propriedades 4 e 5 39 WWWUNINGABR CÁLCULO I UNIDADE 2 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA pelas propriedades 1 2 e 3 Portanto Nem todos os limites podem ser determinados pelas substituições diretas como feitas anteriormente como mostram os exemplos que seguem Exemplo 4 Determine caso exista o valor de Solução Façamos Observe que não podemos determinar o valor de substituindo x 4 pois f4 não está definido Vamos fatorar o numerador e o denominador Assim Note que o numerador e o denominador apresentar em comum o fator x4 Ao tomarmos o limite quando x tende a 4 temos x 4 e x4 0 e portanto podemos cancelar o fator comum e calcular o limite por substituição direta 40 WWWUNINGABR CÁLCULO I UNIDADE 2 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Exemplo 5 Determine caso exista o valor de Solução Façamos Observe que não podemos determinar o valor de substituindo x 2 pois f2 não está definido Vamos fatorar o numerador e o denominador Assim Note que o numerador e o denominador apresentar em comum o fator x2 Ao tomarmos o limite quando x tende a 2 temos x 2 e x2 0 e portanto podemos cancelar o fator comum e calcular o limite por substituição direta Exemplo 6 Determine caso exista o valor de Solução Façamos Observe que não podemos determinar valor de substituindo x 2 pois f2 não está definido Vamos fatorar a expressão tomando nota que 8x3 2xx22x4 Assim Note que o numerador e o denominador apresentar em comum o fator x2 Ao tomarmos o limite quando x tende a 2 temos x 2 e x2 0 e portanto podemos cancelar o fator comum e calcular o limite por substituição direta 41 WWWUNINGABR CÁLCULO I UNIDADE 2 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Exemplo 7 Determine caso exista o valor de Solução Façamos Observe que não podemos determinar valor de substituindo x 3 pois f3 não está definido Vamos fatorar o numerador e o denominador Assim Note que o numerador e o denominador apresentar em comum o fator x3 Ao tomarmos o limite quando x tende a 3 temos x 3 e x3 0 e portanto podemos cancelar o fator comum e calcular o limite por substituição direta Exemplo 8 Determine caso exista o valor de Solução Façamos Observe que não podemos determinar o valor de substituindo x 4 pois f4 não está definido Vamos fatorar o denominador Assim Note que o numerador e o denominador apresentar em comum o fator Ao tomarmos o limite quando x tende a 4 temos x 4 e e portanto podemos cancelar o fator comum e calcular o limite por substituição direta 42 WWWUNINGABR CÁLCULO I UNIDADE 2 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Exemplo 9 Determine caso exista o valor de Solução Façamos Observe que não podemos determinar o valor de substituindo x 1 pois f1 não está definido Vamos racionalizar o numerador e o denominador Assim Note que o numerador e o denominador apresentar em comum o fator x1 Ao tomarmos o limite quando x tende a 1 temos x 1 e x1 0 e portanto podemos cancelar o fator comum e calcular o limite por substituição direta Exemplo 10 Determine caso exista o valor de dado que Solução Para x 1 temos que fx 2x 3 e Por outro lado para x 1 temos que fx x2 2 e Observe que os limites laterais à esquerda e à direita existem mas não são iguais Portanto não existe 43 WWWUNINGABR CÁLCULO I UNIDADE 2 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Exemplo 11 Determine caso exista o valor de dado que fx 2x3 4 Solução Para x a função f é fx 2x34 2x7 e para x a função f é fx 2x 34 2x1 Dessa maneira temos a função definida por partes Assim quando x temos que fx 2x7 e Por outro lado quando x temos que fx 2x1 e Observe que os limites laterais à esquerda e à direita existem e são iguais Portanto O teorema do sanduiche ou teorema do confronto afirma que se a função g ficar limitada entre as funções f e h nas proximidades do ponto x a e se f e h apresentarem mesmo limite L em a então o limite de g será forçado a apresentar o mesmo valor L em x a Teorema do confronto Sejam f g e h funções reais tais que fx gx hx quando x está próximo do ponto x a exceto possivelmente em x a e então Exemplo 12 Prove que Solução Observe que não podemos fazer pois o valor de não existe Sabemos que e x2 0 para todo x Daí escrevemos que Multiplicamos as inequações por x2 o fato de x2 0 não altera os sinais das inequações Assim o que nos permite afirmar que Do teorema do confronto obtemos 44 WWWUNINGABR CÁLCULO I UNIDADE 2 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA O teorema a seguir diz respeito a alguns limites fundamentais e amplamente empregados em Cálculo Teorema Os limites a seguir são válidos Exemplo 13 Determine caso exista o valor de Solução Façamos Observe que não podemos determinar o valor de substituindo x 0 pois f0 não está definido Vamos efetuar algumas manipulações algébricas no numerador e no denominador Assim Note que o e Assim Exemplo 14 Determine caso exista o valor de Solução Façamos Observe que não podemos determinar o valor de substituindo x 0 pois f0 não está definido Vamos efetuar a mudança de variável t 5 sin2x observamos que quando x 0 t 0 Assim 45 WWWUNINGABR CÁLCULO I UNIDADE 2 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA 3 LIMITES INFINITOS E ASSÍNTOTAS VERTICAIS Algumas situações de não existência do limite chamadas de limites infinitos e merecem destaque Vejamos consideremos a função f ℝ ℝ definida por cujo gráfico é semelhante ao da função recíproca dado pela Figura 4 Figura 4 Gráfico da função Fonte Os autores Observamos que na medida em que os valores de x se aproximam de zero tanto pela direita como pela esquerda os valores fx da função se tornam e permanecem arbitrariamente grandes tão grande quanto desejarmos Neste caso dizemos que o limite de f quando x tende a zero é infinito e escrevemos Note que os valores da função não se aproximam de um número real L e consequentemente a rigor o limite de f quando x tende a zero não existe Acontece que por um abuso de notação usamos a escrita apresentada anteriormente e dizemos que f diverge para o infinito quando x tende a zero Motivados por esta discussão definimos os limites infinitos como segue Definição Seja f uma função definida numa vizinhança de um número a não necessariamente definida em a isto é seja f definida em algum intervalo aberto contendo a exceto possivelmente no próprio a Quando os valores de fx se tornam e permanecem arbitrariamente grandes à medida que x se aproxima de a mas x a dizemos que o limite de fx quando x tende a a é infinito e escrevemos Analogamente Se os valores de fx se tornam e permanecem arbitrariamente grandes porém negativos à medida que x se aproxima de a mas x a Ainda de modo análogo temos limites laterais infinitos cujas definições deixamos a cargo do leitor 46 WWWUNINGABR CÁLCULO I UNIDADE 2 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Exemplo 15 Determine se existir o Solução Na Tabela 3 observamos o comportamento de f quando x se aproxima de 0 pela esquerda e pela direita Já na Figura 5 observamos o comportamento gráfico da função Tabela 3 Comportamento de f para alguns valores de x próximos do número 0 Fonte Os autores Figura 5 Gráfico da função recíproca Fonte Os autores Por inspeção observamos que quando os valores de x se aproximam do zero pela esquerda do zero x 0 os respectivos valores das imagens se tornam arbitrariamente grandes mas negativos Além disso quando x tende a zero pela direita x 0 os valores das imagens se tornam arbitrariamente grandes Assim Neste caso como os limites laterais são diferentes concluímos que não existe o Definição A reta vertical x a é chamada de assíntota vertical da função f se pelo menos um dos limites a seguir estiver satisfeito 47 WWWUNINGABR CÁLCULO I UNIDADE 2 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Exemplo 16 A reta x 0 que corresponde ao eixo y é uma assíntota vertical da função fx 1x pois vimos no exemplo 15 que essa função satisfaz dois dos quatro limites da definição de assíntota vertical Note que x 0 Df ou seja os candidatos a serem assíntotas verticais de uma função são os pontos que não pertencem ao domínio dela Exemplo 17 Determine a assíntota vertical da função Solução Começamos investigando o domínio da função f Como f é uma função racional sabemos que Df x ℝ x10 x R x1 Logo o candidato a ser uma assíntota vertical de f é a reta x 1 Para verificarmos se de fato a reta x 1 é uma assíntota devemos estudar os limites laterais da função quando x 1 isto é devemos determinar os limites Quando x 1 o denominador tende a zero por valores negativos isto é x1 0 Por outro lado o numerador tende a 1 isto é x 1 Logo intuitivamente temos que Isto já basta para concluir que a reta x 1 é uma assíntota vertical da função f Entretanto vamos ainda analisar o limite lateral à direita do ponto x 1 Quando x 1 o denominador tende a zero por valores positivos isto é x1 0 e o numerador tende a 1 isto é x 1 Logo intuitivamente temos que Portanto a reta x 1 é uma assíntota vertical da função e não existe fx Na Figura 6 apresentamos o esboço do gráfico da função Figura 6 Gráfico da função Fonte Os autores 48 WWWUNINGABR CÁLCULO I UNIDADE 2 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Exemplo 18 A reta x 0 o eixo y é uma assíntota vertical da função fx ln x De fato observando o gráfico da função logaritmo natural na Figura 7 concluímos que Figura 7 Gráfico da função fx ln x Fonte Os autores O exemplo 22 que acabamos de estudar trata de uma indeterminação do tipo Ou seja é dada uma função definida numa vizinhança de um ponto a tal que fx k0 e gx 0 Então o sinal de k e a forma como g tende a zero se por valores positivos ou negativos é que vão determinar se o limite de h quando x tende a a é ou Precisamente temos 49 WWWUNINGABR CÁLCULO I UNIDADE 2 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA 4 LIMITES NO INFINITO E ASSÍNTOTAS HORIZONTAIS Observe na Figura 8 o comportamento da função quando x cresce e decresce ilimitadamente Figura 8 Gráfico da função Fonte Os autores A análise da Figura 8 nos permite afirmar que quanto maior o valor de x mais próximos de 1 ficam os valores de fx De fato temos a impressão de que podemos tornar os valores de f x tão próximos de 1 quanto quisermos se tonarmos um x suficientemente grande Essa situação é expressa simbolicamente escrevendo Analogamente quanto menor o valor de x mais próximos de 1 ficam os valores de f x isto é fazendo x decrescer ilimitadamente para valores negativos podemos tornar fx tão próximo de 1 quanto quisermos e essa situação é expressa simbolicamente escrevendo Definição A reta horizontal y a é chamada de assíntota horizontal da função f se pelo menos um dos limites a seguir estiver satisfeito 50 WWWUNINGABR CÁLCULO I UNIDADE 2 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Exemplo 19 Determine caso exista o valor de Solução Observe que a medida em que x cresce tanto o numerador e o denominador crescem e não fica claro o que acontece com a razão entre eles Para eliminar essa indeterminação dividiremos o numerador e o denominador pela maior potência de x Assim Como x 0 podemos escrever que Nesse caso a reta y 1₂ é a assíntota horizontal da função como mostrado na Figura 9 Figura 9 Gráfico de e a assíntota horizontal Fonte Os autores 51 WWWUNINGABR CÁLCULO I UNIDADE 2 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Exemplo 20 Determine caso exista o valor de Solução Observe que a medida em que x cresce sem limite tanto o numerador e o denominador crescem e não fica claro o que acontece com a razão entre eles Para eliminar essa indeterminação dividiremos o numerador e o denominador por x3 Assim Como x 0 temos que podemos escrever que Note que e Dessa forma temos que o numerador é limitado enquanto o denominado cresce sem limite Daí Exemplo 21 Determine caso exista o valor de Solução Observe que a medida em que x decresce tanto o numerador decresce sem limites e o denominador cresce sem limites e não fica claro o que acontece com a razão entre eles Para eliminar essa indeterminação dividiremos o numerador e o denominador por x3 Assim Como x 0 temos que e podemos escrever que Note que Dessa forma temos que o numerador que decresce sem limites enquanto o denominado é limitado Daí 52 WWWUNINGABR CÁLCULO I UNIDADE 2 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Exemplo 22 Determine caso exista o valor de Solução Observe que a medida em que x cresce sem limites tanto quanto crescem sem limites e não fica claro o que acontece com a diferença entre eles Para eliminar essa indeterminação multiplicaremos a expressão por Assim Note que e Dessa forma temos que o denominador cresce sem limites enquanto o numerador é limitado Daí Exemplo 23 Determine caso exista o valor de Solução Observe que a medida em que x cresce sem limite que o numerador decresce sem limite e o denominador cresce sem limite e não fica claro o que acontece com a razão entre eles Para eliminar essa indeterminação dividiremos o numerador e o denominador por ex Assim Note que Assim Teorema O limite a seguir é válido 53 WWWUNINGABR CÁLCULO I UNIDADE 2 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Exemplo 24 Determine caso exista o valor de Solução Observe que Para calcular esses limites vamos aplicar o teorema anterior fazendo a mudança de variável t ⁷x Daí quando x temos que t 0 e 5 CONTINUIDADE Admita que f D ℝ seja a função definida na vizinhança de x a então a função f é contínua em x a se Basicamente a definição de continuidade afirma que a função e o limite dessa função em um ponto existem e são iguais Dizemos que uma função é descontínua em x a se não é contínua em x a A função f D ℝ é contínua à direita em um número a se e contínua à esquerda em um número a se Uma função é contínua em toda parte se for contínua em todo conjunto ℝ e é contínua em um intervalo se for contínua em todos os números desse intervalo Intuitivamente vemos que se f é uma função contínua em um intervalo então seu gráfico é uma curva sem furos e sem saltos é uma curva que podemos desenhála sem tirar o lápis do papel Pela regra da substituição direta vemos que toda função polinomial é contínua em toda reta real e que toda função racional é contínua em todo seu domínio As funções trigonométricas seno cosseno e tangente são contínuas em todo ponto a dos seus domínios ou seja Exemplo 25 Determine os pontos onde a função é contínua Solução Vemos que a função está definida por partes sendo ambas as partes funções polinomiais Logo é claro que para todo ponto x 2 a função é contínua nesse ponto Analogamente a função é contínua em todo ponto x 2 O ponto crucial onde se deve analisar cuidadosamente a continuidade é no ponto x 2 que separa as duas expressões que definem a função Temos que Portanto não existe o limite fx o que mostra que a função é descontínua no ponto x 2 54 WWWUNINGABR CÁLCULO I UNIDADE 2 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Teorema Se f e g forem funções contínuas em x a e se c for uma constante então as seguintes funções também são contínuas em x a Teorema a Um polinômio é contínuo em todo número b Uma função racional é contínua em todo número em que o denominador não se anula e tem descontinuidades nos pontos em que o denominador é zero c Se n for um inteiro positivo e então i se n for ímpar f será contínua em qualquer número ii se n for par f será contínua em todo número positivo Exemplo 26 Determine se possível os valores de a e b para que a função seja contínua em toda parte Solução Nessa situação necessitamos verificar a continuidade em x 1 e x 2 uma vez que quando x 1 temos uma função polinomial que é contínua em toda parte quando 1 x 2 temos uma função algébrica que é contínua nesse intervalo em toda parte e quando x 2 temos uma função polinomial que é contínua em toda parte Assim para ser contínua em x 1 devemos ter que Daí note que f1 a b 1 e Segue que existirá se e somente se ie Agora para ser contínua em x 2 devemos ter que Daí note que f2 1 e Segue que existirá se e somente se ie Daí temos o sistema de equações cuja solução é e Logo com esses valores de a e b observe que e e a função f é contínua em toda parte 55 WWWUNINGABR CÁLCULO I UNIDADE 2 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Teorema do Valor Intermediário Suponha que f seja contínua em um intervalo fechado ab e seja N um número qualquer entre fa e fb em que fa fb Então existe um número c em tal que fc N O Teorema do Valor Intermediário afirma que uma função contínua assume todos os valores intermediários entre os valores da função fa e fb Isso está ilustrado na Figura 10 Observe que o valor N pode ser assumido uma vez como na parte a ou mais como na parte b Figura 10 Gráfico de f e o teorema do valor intermediário Fonte Stewart 2016 É importante que a função f do teorema do valor intermediário seja contínua O Teorema do Valor Intermediário não é verdadeiro em geral para as funções descontínuas Nesse vídeo do canal Ferretto Matemática do YouTube o professor discute o teorema do valor intermediário e apresenta uma aplicação O vídeo está disponível em httpswwwyoutubecomwatchvibXf6AAIuQM Cálculo Howard A IrlC B Stephen L D 10 São Paulo Ed Bookman 2014 A nova edição de um dos livros de cálculo mais utilizados no mundo A tradução qualificada e a bela edição gráfica fizeram deste livro um sucesso também em nosso mercado A 10º edição mantém os pontos fortes das edições anteriores como a clareza na exposição marca registrada de Anton a pedagogia eficaz representações visuais e o estabelecimento da relação com o mundo real e com a própria experiência do aluno nos exemplos e exercícios buscando a compreensão sem sacrificar a precisão matemática Foram introduzidos novos conjuntos de exercícios que ajudarão os alunos a melhorar a sua resolução de problemas pela prática 56 WWWUNINGABR CÁLCULO I UNIDADE 2 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA CONSIDERAÇÕES FINAIS Ao longo dessa unidade vimos como a ideia de limite é a base dos vários ramos do cálculo Por isso foi apropriado começar nosso estudo de cálculo examinando os limites e suas propriedades O tipo especial de limite usado para encontrar as tangentes e as velocidades dá origem à ideia central do cálculo diferencial a derivada que abordaremos na Unidade III Assim chegamos ao fim dessa unidade e aguardamos você na próxima etapa Bons estudos 57 57 WWWUNINGABR U N I D A D E 03 SUMÁRIO DA UNIDADE INTRODUÇÃO 59 1 RETA TANGENTE A UMA CURVA 60 2 TAXA DE VARIAÇÃO INSTANTÂNEA 63 3 A DERIVADA DE UMA FUNÇÃO 64 4 REGRAS DE DERIVAÇÃO 65 5 DERIVAÇÃO IMPLÍCITA 76 6 DERIVADAS DAS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS 78 7 DERIVAÇÃO LOGARÍTMICA 79 8 APLICAÇÕES DAS DERIVADAS 80 81 TAXAS RELACIONADAS 80 82 A REGRA DE LHÔSPITAL 82 DERIVADAS ENSINO A DISTÂNCIA DISCIPLINA CÁLCULO I 58 58 WWWUNINGABR EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA 83 ESBOÇOS DOS GRÁFICOS DE FUNÇÕES 84 84 PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÕES 90 CONSIDERAÇÕES FINAIS 94 59 WWWUNINGABR CÁLCULO I UNIDADE 3 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA INTRODUÇÃO Conforme já afirmamos anteriormente o conceito de derivada de uma função é juntamente com o conceito de integral que será estudado na próxima unidade essencial para o Cálculo Diferencial e Integral e suas aplicações Este conceito está relacionado com dois problemas clássicos aparentemente distintos mas que possuem a mesma solução O primeiro problema é como definir a reta tangente a uma curva num determinado ponto isto é como definir o coeficiente angular desta reta Note que a priori temos somente um ponto o ponto de tangência e usualmente para se obter o coeficiente angular são necessários pelo menos dois pontos da reta O segundo problema trata de como é possível definir taxas de variações instantâneas Taxas de variações médias como velocidade média dão informação global sobre o movimento e o problema é como caracterizar o movimento num instante num momento e não num intervalo O primeiro problema citado é de natureza geométrica e o segundo é de natureza analítica taxas de variações Ambos têm a mesma solução que é o conceito de derivada de uma função num ponto de seu domínio Nessa unidade veremos como definir a derivada estudaremos suas propriedades veremos como calcular a derivada das principais funções e algumas aplicações 60 WWWUNINGABR CÁLCULO I UNIDADE 3 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA 1 RETA TANGENTE A UMA CURVA Considere uma curva c gráfico de uma função y fx Queremos determinar a equação da reta tangente a essa curva num ponto Px0fx0 como ilustrado na Figura 1 Figura 1 Construção geométrica da inclinação da reta tangente a uma curva c num ponto Px0fx0 Fonte Evy e Salcedo 2017 Para isso consideramos outro ponto Qxfx próximo a Px0fx0 de modo que x x0 como mostra a figura a seguir e calculamos a inclinação da reta secante s Eq 1 Observamos que à medida que o ponto Q tende à P isto é x x0 a reta secante s tende à reta tangente t Com isso é razoável definir a inclinação da reta tangente como sendo o limite das inclinações das retas secantes quando x x0 isto é a inclinação da reta tangente m a uma curva c num ponto Px0fx0 é dada por Eq 2 61 WWWUNINGABR CÁLCULO I UNIDADE 3 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Exemplo 1 Determine a equação da reta tangente à curva y x2 no ponto P24 Solução Primeiro calculamos a inclinação da reta tangente As informações iniciais são fx x2 x0 2 e fx0 4 Assim usando a equação 2 temos Tendo a inclinação da reta m 4 e o ponto de tangencia P24 utilizamos a fórmula ponto inclinação dada por y y0 mx x0 para determinar a equação da reta tangente Daí como ilustrado na Figura 2 Portanto y 4x 4 é a equação da reta tangente à parábola y x2 no ponto P24 Figura 2 Gráfico da reta tangente y 4x 4 à parábola y x2 no ponto P24 Fonte Os autores Existe outra forma de escrevermos a inclinação da reta tangente fazendo uma mudança de variável Sendo h x x0 Então x x0 h como mostra a Figura 3 Figura 3 Construção geométrica da inclinação da reta tangente a uma curva c num ponto Px0fx0 Fonte Evy e Salcedo 2017 62 WWWUNINGABR CÁLCULO I UNIDADE 3 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Observamos que o ponto x x0 h x0 se e somente se h 0 Assim a equação 2 pode ser reescrita da seguinte forma Eq 3 Exemplo 2 Determine a equação da reta tangente à hipérbole no ponto 12 Solução Os dados iniciais são x0 1 e fx0 2 Assim usando a equação 3 temos que Daí a equação da reta tangente é e a Figura 4 ilustra a situação Figura 4 Gráfico da reta tangente y 2x4 à hipérbole no ponto 12 Fonte Os autores Portanto y 2x4 é a equação da reta tangente à hipérbole no ponto 12 63 WWWUNINGABR CÁLCULO I UNIDADE 3 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA 2 TAXA DE VARIAÇÃO INSTANTÂNEA Uma das aplicações de grande importância dentro do estudo dos limites e que tem a mesma definição da inclinação da reta tangente é a definição de taxa de variação instantânea de uma determinada grandeza em relação à outra num determinado ponto Para sermos mais concretos e facilitar a compreensão vamos nos ater à taxa de variação da posição em relação ao tempo isto é velocidade a velocidade instantânea de um objeto Suponhamos que um objeto se mova em linha reta e a sua posição em cada instante de tempo t seja dada pela função y ft Se considerarmos um intervalo de tempo entre t t0 e t t0 h a variação da posição do objeto será ft0 h ft0 Assim a velocidade média do objeto dentro desse intervalo é definida por Eq 4 que é exatamente a definição da inclinação da reta secante dada pela equação 1 Se desejarmos saber a velocidade do objeto num instante de tempo t t0 fazemos h 0 conforme vimos na figura 3 e obtemos o mesmo limite definido na equação 3 isto é a velocidade instantânea é o limite das velocidades médias assim como a inclinação da reta tangente é o limite das inclinações das retas secantes Assim Eq 5 Exemplo 3 Suponhamos que o deslocamento em centímetros de uma partícula ao longo de uma reta seja dado pela função posição ft 20t 38t2 de modo que t é medido em segundos Calcule a velocidade instantânea da partícula no instante de tempo t 2 Solução Usando a equação 5 calcularemos a velocidade instantânea para qualquer instante de tempo t t0 e em seguida substituiremos para o instante t0 2 Como ft 20t 38t2 temos que Logo Assim a velocidade instantânea da partícula no instante de tempo t 2 é dada por 64 WWWUNINGABR CÁLCULO I UNIDADE 3 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA 3 A DERIVADA DE UMA FUNÇÃO Com o exposto até agora vimos que o mesmo tipo de limite ocorre quando definimos a inclinação da reta tangente ou a velocidade instantânea de um objeto isto é Mas esse limite sempre ocorre no cálculo de uma taxa de variação instantânea e por esse motivo recebe um nome e notações especiais definidos a seguir Definição Seja f uma função definida numa vizinhança de um ponto x0 A derivada de f no ponto x0 representada pelo símbolo fx0 é por definição o número real Eq 6 desde que o limite exista Se para cada x Df o limite da equação 6 existir está definida a derivada como uma nova função cujo domínio é o conjunto Df x Df fx existe e está contido no domínio de f Assim substituindo x0 por x na equação 6 temos a função derivada descrita da seguinte forma Eq 7 Quando existe a derivada da função f num ponto x0 a função é dita derivável ou diferenciável em x0 Exemplo 4 Calcule a derivada da função e determine o domínio de f Solução Usando a equação 7 temos Logo a derivada da função é a função e Df x ℝ x 0 0 Observe que Df Df 65 WWWUNINGABR CÁLCULO I UNIDADE 3 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Existem outros símbolos que representam a derivada de uma função Se y fx a derivada de f pode ser representada das seguintes formas de modo que os símbolos e D são chamados de operadores diferenciais pois indicam a operação de derivada sobre uma função Ao calcularmos a derivada de uma função f obtemos uma nova função f Com isso podemos calcular a derivada da função f e obtermos a função f f que é chamada de derivada de segunda ordem ou derivada de ordem dois da função f Para inúmeras funções esse processo pode ser aplicado uma infinidade de vezes Os principais símbolos para as representações das derivadas de ordens maiores do que um são e assim sucessivamente até a derivada de ordem n 4 REGRAS DE DERIVAÇÃO Vimos que a derivada de uma função num ponto é obtida pelo cálculo de um limite Conforme estudamos na unidade anterior sobre limites várias propriedades podem ser usadas para simplificar seus cálculos Ou seja o cálculo de derivadas por meio de sua definição é algo tecnicamente complicado e muitas vezes um trabalho muito extenso Por esse motivo nesse tópico apresentamos algumas regras de derivação que permitem que os cálculos sejam mais rápidos e simplificados Algumas dessas regras estão apresentadas na Tabela 1 Podese provar a validade de todas as regras de derivação mas não as faremos aqui portanto o leitor interessado pode consultar nas indicações de leitura que deixamos ao longo do material Tabela 1 Regras de diferenciação 1 Regra da Constante Sendo fx c então 2 Regra da Potência Sendo fx xn em que n ℝ então 66 WWWUNINGABR CÁLCULO I UNIDADE 3 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA 3 Regra do múltiplo por constante Sendo fx uma função derivável e c ℝ então 4 Regra da adição ou subtração Sejam f e g funções deriváveis então 5 Derivada da função exponencial Sendo fx exentão 6 Regra do produto Sendo f e g funções deriváveis então 7 Regra do quociente Sendo f e g funções deriváveis então 8 Derivada da função exponencial de base a Sendo fx ax com a 0 e a 1 então 9 Derivada da função logaritmo natural Sendo fx lnx então 10 Derivada da função logaritmo e base b Sendo fx logbx com b 0 e b 1 então Fonte Os autores Exemplo 5 Use as regras de diferenciação da Tabela 1 e determine resolva os itens a seguir a Calcule a derivada de Solução Segue que b Calcule a derivada de fx x2 Solução Segue que 67 WWWUNINGABR CÁLCULO I UNIDADE 3 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA c Calcule a derivada de Solução Segue que d Calcule a derivada de fx 4x3 Solução Segue que e Calcule a derivada de segunda ordem de fx x5x Solução Segue que Logo Fx 5x41 Para determinarmos a derivada de segunda ordem da função F iremos calcular a derivada de F f Calcule a derivada de Gt t2 et ln t Solução Segue que g Calcule a derivada de Gx x1ex A função G é dada por um produto de funções onde fx x1 e gx ex Assim fx x1 fx 10 1 e gx ex gx ex Usando a regra do produto temos h Calcule a derivada de Solução Segue que a função y é dada por um quociente de funções onde fx x6x10 e gx x43 Assim fx x6x10 fx 6x51 e gx x43 gx 4x3 Usando a regra do quociente temos 68 WWWUNINGABR CÁLCULO I UNIDADE 3 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Exemplo 6 Calcule a derivada primeira da função Solução Note nesse caso que podemos calcular essa derivada de duas maneiras usando a regra do produto e efetuando primeiro a multiplicação Faremos das duas formas para lhe mostrar algo importante i usando a regra do produto segue que ii efetuando primeiro a multiplicação segue que Note agora que devemos aplicar a regra do produto duas vezes Assim Agora compare os dois resultado Note que são idênticos e assim podemos afirmar que você pode escolher a maneira que lhe for conveniente para efetuar a operação de derivada Exemplo 7 A curva é chamada de bruxa de Maria Agnesi Encontre a reta tangente a essa curva no ponto Solução Nesse caso vamos aplicar a regra do quociente para determinar a inclinação da reta tangente a curva bruxa de Agnesi como segue Daí a inclinação da reta tangente à curva é Assim a equação da reta tangente é 69 WWWUNINGABR CÁLCULO I UNIDADE 3 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Veja a representação na Figura 5 Figura 5 Curva de Agnesi e a reta tangente Fonte Os autores Em matemática a curva de Agnesi atribuída a Maria Gaetana Agnesi é uma curva estudada pela mesma em 1748 e apresentada em seu livro Instituzioni analitiche ad uso della gioventù italiana A curva tem a seguinte descrição fixada uma circunferência tomase um ponto O nela De qualquer outro ponto A da circunferência traçase a secante OA Seja M o ponto diametralmente oposto a O A intersecção entre a reta OA e a reta tangente à circunferência no ponto M é o ponto N Por A traçase uma reta paralela a MN e por N uma reta paralela a OM Seja P a interseção entre essas duas retas O caminho que P faz ao variarmos A é a chamada curva de Agnesi A área entre a curva de Agnesi e sua assíntota y 0 é quatro vezes a área do círculo fixado ou seja4πR2 em que R é o raio da circunferência O volume de revolução da curva em torno de sua assíntota é de 4π2R3 A curva de Agnesi foi estudada por Fermat em 1666 Guido Grandi em 1701 e por Maria Agnesi em1748 Em diversas línguas a curva de Agnesi é chamada Bruxa de Agnesi devido a um erro de tradução John Colson professor de matemática em Cambridge que havia aprendido italiano apenas para traduzir a obra de Agnesi para o inglês ao invés de ler la versiera di Agnesi que significa curva de Agnesi leu lavversiera di Agnesi onde lavversiera significa bruxa Desde então em muitas línguas a curva recebeu esse nome O canal no YouTube Matemática Rio do professor Rafael Procópio traz informações interessantes sobre essa curva O vídeo está disponível em httpswwwyoutubecomwatchvMLC49K5MlIc 70 WWWUNINGABR CÁLCULO I UNIDADE 3 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Exemplo 8 CESGRANRIO Adaptado Sabese que a função velocidade de um móvel é a derivada da função posição desse móvel em relação ao tempo A função posição em relação ao tempo de um determinado móvel é xt 12t2 t1 Qual a expressão da função velocidade e aceleração desse móvel Solução Segue que Logo a expressão para a velocidade é vt t1 Agora a função aceleração é Logo a expressão para a aceleração é at 1 o que indica que a aceleração é constante isto é o móvel está em movimento uniformemente variado Exemplo 9 A Figura 6 ilustra um escoamento de água em um tubo de secção transversal circular de diâmetro igual a 01 m Figura 6 Perfil de escoamento de água numa tubulação Fonte Os autores O perfil de velocidade é dado pela seguinte equação Em que r é o raio do tubo De acordo com a lei de Newton da viscosidade a relação entre a tensão de cisalhamento τ e o gradiente local de velocidade é definida através da equação Sendo μ a viscosidade do fluido Com base nessas informações e considerando a viscosidade igual a 0001 Pas determine a tensão de cisalhamento na parede da tubulação Solução Temos que a tensão de cisalhamento τ é calculada a partir da lei de Newton da viscosidade Assim Assim na parede da tubulação temos que r 01 m e 71 WWWUNINGABR CÁLCULO I UNIDADE 3 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Exemplo 10 Se h2 4 e h2 5 encontre o valor de Solução O exercício deseja que calculemos o valor da derivada da função no ponto x 2 Observe que f é um quociente e nesse caso aplicaremos a regra do quociente de diferenciação Assim supondo que h seja diferencial em x Daí A derivada das funções trigonométricas é apresentada na Tabela 2 Tabela 2 Derivadas das funções trigonométricas Fonte Os autores Exemplo 11 Um objeto preso a uma mola quando deslocado 12cm abaixo de sua posição de equilíbrio e solto no instante de tempo t 0 tem sua função posição em função do tempo t dada por ft 12 cost Calcule a velocidade instantânea e a aceleração do objeto em qualquer instante de tempo t Solução Sabemos que a velocidade instantânea é a derivada de primeira ordem da função posição do objeto e a aceleração é a derivada da velocidade instantânea Assim Agora a aceleração 72 WWWUNINGABR CÁLCULO I UNIDADE 3 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Exemplo 12 Derive Para quais valores de x o gráfico de f tem reta tangente horizontal Solução Aplicando a regra do quociente segue que Uma vez que secx nunca é 0 vemos que fx 0 quando tgx1 0 e isso ocorre quando x π4 nπ em que n é um número inteiro As regras de derivadas vistas até agora não nos permitem calcular por exemplo a derivada da função pois essa função não pode ser reescrita como uma função potência Mas o fundamental é observarmos que a função G é dada pela composição de duas funções as quais sabemos derivar isto é Gx fogx onde e gx x35 A regra da cadeia é a regra que trata sobre a derivada de composta de funções Teorema Regra da Cadeia Sendo Fx fogx em que f e g são funções deriváveis então Outra forma de enunciar a regra da cadeia é Se y fu e u gx são funções deriváveis então 73 WWWUNINGABR CÁLCULO I UNIDADE 3 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Exemplo 13 Calcule a derivada da função Solução Analise as duas maneira em resolver esse exercício 1a forma Sabemos que Gx fogx onde e gx x35 Assim calculamos f e g e utilizamos a fórmula Fx fgxgx para determinarmos G temos que 2a forma Sendo e u x35 então Logo utilizando a fórmula temos Observação Uma forma prática de aplicarmos a regra da cadeia é observamos quem é a função de fora e quem é a função de dentro da composta Visto isso podemos dizer que a derivada da função composta é obtida por derivar a função de fora aplicar na função de dentro e fazer vezes a derivada da função de dentro Exemplo 14 Determine a derivada primeira da função Solução Segue da regra da cadeia que Assim sejam y u3 e Daí segue que Logo 74 WWWUNINGABR CÁLCULO I UNIDADE 3 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Exemplo 15 Determine a derivada primeira da função Fx tg3x22x Solução Segue da regra da cadeia que Fx fgx gx Assim sejam gx 3x22x fx tgx e Fx fgx Daí segue que Logo Exemplo 16 Calcule a derivada primeira da função Gx sencosx Solução Segue da regra da cadeia que Gx fgx gx Assim sejam gx cosx fx senx e Gx fgx Daí segue que Logo Exemplo 17 Encontre a derivada primeira da função Hx 32x Solução Segue da regra da cadeia que Hx fgx gx Assim sejam gx 2x fx 3x e Hx fgx Daí segue que Logo 75 WWWUNINGABR CÁLCULO I UNIDADE 3 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Exemplo 18 Encontre a derivada primeira da função Hx ln2x1 Solução Segue da regra da cadeia que Hx fgx gx Assim sejam gx 2x1 fx lnx e Hx fgx Daí segue que Logo Exemplo 19 Encontre a derivada primeira da função Hx lnsenx Solução Segue da regra da cadeia que Hx fgx gx Assim sejam gx senx fx lnx e Hx fgx Daí segue que Logo Exemplo 20 Encontre a derivada primeira da função gx log35sen x Solução Para derivar a função g usamos a regra de cadeia Exemplo 21 Calcule a derivada primeira de fx lnx24 Solução Segue da regra da cadeia que 76 WWWUNINGABR CÁLCULO I UNIDADE 3 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA 5 DERIVAÇÃO IMPLÍCITA Podemos ter uma equação do tipo x2 y2 16 que a princípio não define função pois o gráfico dessa equação é uma circunferência de centro na origem e raio quatro como ilustrado na Figura 7 Figura 7 Gráfico de x2 y2 16 Fonte Os autores No entanto podemos isolar a variável y na equação x2 y2 16 e observar que por trás dessa equação estão definidas duas funções e cujos gráficos são a semicircunferência superior e a semicircunferência inferior respectivamente Já que estão definidas funções nessa equação devemos saber como derivála e é isso que consiste no método da derivação implícita derivar funções definidas de forma implícitas Para aplicar o método não precisamos encontrar as funções definidas implicitamente mesmo porque só conseguimos explicitálas em casos muito particulares Por isso calculamos a derivada da equação que relaciona as variáveis x e y onde nessa equação sabemos que y fx O método consiste basicamente em duas etapas 1 Derivar ambos os membros da equação em relação à x 2 Isolar o y na equação resultante 77 WWWUNINGABR CÁLCULO I UNIDADE 3 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Exemplo 22 Determine a derivada primeira da função y fx definida implicitamente pela equação x2 y2 16 Solução Primeiro derivamos ambos os membros da equação em relação à x Observe que ao calcular usamos a regra da cadeia pois y é uma função que depende de x isto é y fx Em seguida isolamos y na equação resultante Portanto se y fx é dada implicitamente pela equação x2 y2 16 sua derivada é Exemplo 23 Calcule y se xycosxy y Solução Derivando ambos os membros da equação em relação à x temos Para calcular usaremos a regra do produto como apresentado a seguir Para calcular usaremos a regra da cadeia pois cosxy é uma função composta Isolando y 78 WWWUNINGABR CÁLCULO I UNIDADE 3 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA 6 DERIVADAS DAS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS A Tabela 3 apresenta a derivada das funções trigonométricas inversas Tabela 3 Derivada de funções trigonométricas inversas Fonte Os autores Exemplo 24 Determine a derivada primeira da função Solução Escolhemos reescrever a função quociente como uma função potência Assim usando a regra da cadeia e a regra das derivadas das funções trigonométricas inversas temos Exemplo 25 Encontre a derivada primeira de Solução Para derivar a função y usamos a regra do produto Para o cálculo de usamos a regra da cadeia Assim 79 WWWUNINGABR CÁLCULO I UNIDADE 3 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA 7 DERIVAÇÃO LOGARÍTMICA A derivação logarítmica é utilizada para calcular derivadas de funções do tipo Fx fxgx e para aplicar o método procedemos da seguinte forma Etapa 1 Aplicamos o logaritmo natural em ambos os membros da equação e usamos as propriedades dos logaritmos para simplificar Etapa 2 Derivamos implicitamente ambos os membros Exemplo 26 Calcule a derivada primeira da função fx xx2 Solução Aplicamos o logaritmo natural em ambos os membros da equação e usamos as propriedades dos logaritmos para simplificar segue que ln y ln xx2 ln y x2 lnx Agora derivamos implicitamente ambos os membros temos que Como y é uma função de x Para o cálculo de usamos a regra do produto Daí 80 WWWUNINGABR CÁLCULO I UNIDADE 3 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA 8 APLICAÇÕES DAS DERIVADAS O conceito de derivada é muito útil para as mais variadas aplicações e neste estudo vamos discutir como a derivada pode ser usada para o trabalho com taxas relacionadas esboço do gráfico de funções e em problemas de otimizações isto é cálculos de mínimos e máximos de funções 81 Taxas Relacionadas De acordo com Stewart 2016 em problemas de taxas relacionadas a ideia é calcular a taxa de variação de uma grandeza em termos da taxa de variação da outra que pode ser medida mais facilmente O procedimento é achar uma equação que relacione as duas grandezas e então usar a regra da cadeia para derivar ambos os lados em relação ao tempo Exemplo 27 FUVEST Adaptado Um cubo está se dilatando de modo que em cada instante mantém sua forma cúbica No instante t0 seu volume é de 8 cm3 e cresce a uma taxa de 12 cm3s Nessas condições determine a taxa de variação da sua aresta no instante t0 em cms Solução Sabemos que para um cubo cuja aresta de medida l o volume é calculado pela equação Vll3 Assim diferenciando ambos os lados da equação anterior em relação ao tempo t e empregando a regra da cadeia segue que Desprende do enunciado que quando t t0 o volume do cubo é 8 cm3 ou seja sua aresta é igual a l 2 cm e Assim queremos calcular O primeiro passo para resolver um problema de taxas relacionadas é entender o problema Isso inclui lêlo cuidadosamente identificando o que foi dado e as incógnitas e introduzir uma notação adequada O segundo passo da resolução do problema é idealizar um esquema que vincule o que foi dado à incógnita 81 WWWUNINGABR CÁLCULO I UNIDADE 3 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Exemplo 28 FUVEST Adaptado Qual é a taxa de variação em cms da diagonal de um retângulo num instante em que um dos lados mede 4 cm e está crescendo a taxa de 2 cms e o outro lado mede 3 cm e está crescendo a taxa de 4 cms Solução Considere um retângulo cujos lados medem x e y A diagonal do retângulo é calculada segundo a equação Diferenciando implicitamente em relação ao tempo segue que Desprende do enunciado que num dado instante um dos lados mede x 4 cm e o outro lado mede y 3 cm e e a diagonal mede 5 cm calculado a partir do teorema de Pitágoras Assim queremos calcular Daí O problema de taxas relacionadas é bastante comum em engenharia No canal do YouTube Canal Usp há um vídeo mostrando outras aplicações de taxas relacionadas O vídeo está disponível em httpswwwyoutubecomwatchveHs5EbGwShY 82 WWWUNINGABR CÁLCULO I UNIDADE 3 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA 82 A Regra de LHôspital A Regra de LHôspital é utilizada para calcular limites de funções que apresentem indeterminações do tipo 00 ou e no contexto das aplicações das derivadas para o esboço do gráfico de uma função essa regra pode ser usada para determinação das assíntotas horizontais Regra de LHôspital Sejam f e g funções deriváveis e gx 0 Se fx 0 e gx 0 ou fx e gx então Exemplo 29 Calcule Solução Ao aplicarmos a propriedade da substituição direta vista na unidade II observamos que tanto o numerador quanto o denominador zeram Logo temos uma indeterminação do tipo e podemos aplicar a Regra de LHôspital Assim Lembrese de que quando usamos a regra de LHôspital derivamos o numerador e o denominador separadamente Nós não usamos a regra do quociente 83 WWWUNINGABR CÁLCULO I UNIDADE 3 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Exemplo 30 Calcule Solução Vemos que tanto o numerador quanto o denominador crescem quando x cresce Logo temos uma indeterminação do tipo e podemos aplicar a Regra de LHôspital Assim Observamos que ex e 2x quando x isto é ainda temos uma indeterminação do tipo e por isso aplicamos a Regra de LHôspital novamente Portanto Exemplo 31 Calcule Solução O limite é um caso indeterminado pois como x 0 o primeiro fator x tende a 0 enquanto o segundo fator ln x tende a Escrevendo temos quando x 0 logo a regra de LHôspital fornece que Exemplo 32 Calcule Solução O limite é um caso indeterminado pois como x o primeiro fator ex tende a enquanto o segundo fator x tende a Assim fatoramos E observamos que quando x logo a regra de LHôspital fornece 84 WWWUNINGABR CÁLCULO I UNIDADE 3 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA 83 Esboços dos Gráficos de Funções Além das informações que já conhecemos das unidades anteriores como domínio simetrias e assíntotas para esboçar o gráfico de uma função y fx precisamos determinar intervalos de crescimento e decrescimento pontos de máximos e mínimos locais bem como a concavidade e os pontos de inflexões do gráfico da função Acompanhe as definições que seguem Definição Sendo f uma função definida num intervalo I Df Um ponto c Df é chamado de ponto crítico ou número crítico de f se f se fc 0 ou fc não existe Teste do crescimento decrescimento de uma função Teste CD Sendo f uma função derivável num intervalo I então i se f 0 em I f é crescente nesse intervalo ii se f 0 em I f é decrescente nesse intervalo Teste da derivada primeira Sendo f uma função contínua num intervalo I contendo um ponto crítico c de f no interior de I Então i se o sinal de f mudar de negativo para positivo em relação ao ponto crítico c então f possui um ponto de mínimo local em c ii se o sinal de f mudar de positivo para negativo em relação ao ponto crítico c então f possui um ponto de máximo local em c iii se f não mudar de sinal em relação ao ponto crítico c então f não possui nem máximo nem mínimo local em c Sobre a concavidade afirmamos que o gráfico de uma função é côncavo para cima em um intervalo I quando este está acima de todas as suas tangentes em I Por outro lado se o gráfico está sempre abaixo de todas as tangentes afirmamos que ele é côncavo para baixo A derivada de segunda ordem é útil para determinar a concavidade do gráfico da função conforme o teste da derivada segunda Teste da Concavidade Sendo f uma função duas vezes derivável em um intervalo I Então i Se f 0 em I o gráfico de f é côncavo para cima nesse intervalo ii Se f 0 em I o gráfico de f é côncavo para baixo nesse intervalo Um ponto do gráfico de uma função contínua onde ocorre mudança de concavidade recebe um nome especial é chamado ponto de inflexão 85 WWWUNINGABR CÁLCULO I UNIDADE 3 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Exemplo 33 Dado que fx x55x45x31 identifique os subintervalos onde f seja crescente e decrescente Solução Note que f é uma função polinomial e seu domínio é todo conjunto dos números reais Para determinar onde f cresce eou decresce primeiro precisamos determinar os pontos críticos de f que nesse caso ocorrem quando fx 0 Assim Daí temos que os números críticos são obtidos quando 5x2 0 e x24x3 0 ou seja os pontos críticos são x 0 x 1 e x 3 Agora vamos aplicar o teste do crescimentodecrescimento de uma função Para isso analise a Tabela 4 Tabela 4 Teste de crescimento e decrescimento da função Fonte Os autores Logo concluise que f é crescente nos intervalos 1 e 3 e decrescente no intervalo 13 Exemplo 34 Determine os intervalos de crescimento e decrescimento os pontos de máximos e mínimos locais as concavidades e os pontos de inflexão do gráfico da função Solução Primeiramente calculamos a derivada da função f e determinamos seus pontos críticos A derivada é fx x2x2 Como f é uma função polinomial seus pontos críticos ocorrem somente onde a derivada é igual a zero isto é Logo os números críticos de f são x1 1 e x2 2 Em seguida estudamos o sinal de f para determinar onde f é crescente e decrescente Para fazer esse estudo precisamos subdividir o domínio da função derivada em intervalos e fatorá la para que possamos estudar o sinal de cada fator dentro de cada intervalo 86 WWWUNINGABR CÁLCULO I UNIDADE 3 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Assim usamos os números críticos para dividir o domínio da função derivada que é o conjunto dos números reais em intervalos de análises como mostra a Figura 8 Figura 8 Intervalos de análises Fonte Os autores Como foram obtidos dois números críticos o domínio da função derivada fica dividido em três intervalos e como a derivada é um polinômio de grau dois podemos fatorála ou seja reescrevêla como produto das suas raízes isto é x2x2 x1x2 Logo temos três intervalos e dois fatores Resumimos os estudos dos sinais de f na Tabela 5 e aplicamos o teste CD Tabela 5 Estudo dos sinais de f e a aplicação do teste CD Fonte Os autores Na Tabela 5 o sinal negativo indica que a derivada é negativa no intervalo analisado e o sinal positivo indica que a derivada é positiva Os sinais são determinados escolhendose um número dentro de cada intervalo e substituindo no fator Por exemplo o sinal de x1 é negativo dentro do intervalo 2 pois x 2 x1 0 Como f mudou de positivo para negativo em relação ao número crítico x 2 pelo teste da derivada primeira f possui um ponto de máximo local nesse valor O ponto de máximo é obtido calculando a função f em x 2 Como f mudou de negativo para positivo em relação ao número crítico x 1 pelo teste da derivada primeira f possui um ponto de mínimo local nesse valor O ponto de mínimo é obtido calculando a função f em x 1 Para determinarmos os intervalos de concavidade do gráfico de f estudamos o sinal de f e aplicamos o teste da concavidade Calculando a derivada segunda temos e Assim pelo teste da concavidade como f 0 no intervalo o gráfico de f é côncavo para cima dentro desse intervalo E como f 0 no intervalo o gráfico de f é côncavo para baixo dentro desse intervalo 87 WWWUNINGABR CÁLCULO I UNIDADE 3 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Ainda o gráfico de f troca de concavidade em relação à Logo f possui ponto de inflexão nesse valor e o ponto é obtido calculandose a função f em Um esboço do gráfico de f é apresentado na Figura 9 Figura 9 Gráfico da função Fonte Os autores Exemplo 35 Esboce o gráfico de Solução Como f é uma função racional devemos excluir do seu domínio os números que zeram o denominador ou seja Df x ℝ x216 x ℝ x 4 Além do domínio determinamos se o gráfico de f intercepta os eixos Sabemos que uma curva intercepta um eixo quando a coordenada do outro eixo vale zero Assim para o intercepto com o eixo x fazemos y 0 isto é Logo o gráfico de f intercepta o eixo x nos pontos 20 e 20 Para o intercepto com o eixo y fazemos x 0 e Logo o gráfico def intercepta o eixo y no ponto 01₂ Determinamos também se o gráfico de f possui simetria 88 WWWUNINGABR CÁLCULO I UNIDADE 3 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Portanto f é par e seu gráfico é simétrico em relação ao eixo y Outras informações que precisamos determinar são as assíntotas do gráfico de f a saber as assíntotas verticais e horizontais Para as assíntotas verticais estudamos o limite da função quando x tende a 4 e quando x tende a 4 já que x 4 Df Assim pois quando x 4 o denominador tende a zero por valores positivos isto é x216 0 e o numerador tende a 24 Analogamente determinamos os demais limites Portanto as retas x 4 e x 4 são as assíntotas verticais de f Para as assíntotas horizontais estudamos o limite Observamos que tanto o numerador quanto o denominador crescem quando x Logo temos uma indeterminação do tipo e podemos usar a Regra de LHôspital para resolvêlo Portanto a reta y 2 é a assíntota horizontal do gráfico de f Como f é par não precisamos estudar o limite quando x pois seu gráfico é simétrico em relação ao eixo y Determinamos agora os intervalos de crescimento e decrescimento e os pontos de máximo e mínimo locais de f A derivada primeira é dada por Sabemos que os números críticos ocorrem onde fx 0 ou fx não existe Assim fx 0 48x 0 x 0 e fx não existe x216 0 x 4 Mas x 4 Df Logo o único número crítico de f é x 0 Como o denominador da função derivada é sempre positivo isto é x2162 0 x o sinal de f depende do sinal do numerador Na Figura 10 representamos o sinal de f em todo o seu domínio Figura 10 Intervalos de crescimento de decrescimento de f Fonte Os autores 89 WWWUNINGABR CÁLCULO I UNIDADE 3 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Pelo teste CD e a análise da Figura 10 notase que f é crescente em 4 40 e é decrescente em 04 4 Aplicando o teste da primeira derivada f possui um ponto de máximo local em x 0 Calculando f0 temos Por último estudamos o sinal de f para determinar a concavidade e em seguida o ponto de inflexão Como os termos 144x2768 e x2164 são sempre positivos o sinal de f depende do sinal de x216 Na Figura 11 representamos o sinal de f em todo o seu domínio Figura 11 Análise da concavidade de f Fonte Os autores Logo pelo teste da concavidade f é côncava para cima em 4 côncava para baixo em 44 e novamente côncava para cima em 4 Mesmo que tenha ocorrido mudança de concavidade em relação aos valores x 4 e x 4 f não possui ponto de inflexão pois já sabemos que x 4 Df O esboço do gráfico é visto na Figura 12 Figura 12 Gráfico da função Fonte Os autores 90 WWWUNINGABR CÁLCULO I UNIDADE 3 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA 84 Problemas de Otimizações Em diversas situações do cotidiano estamos interessados em buscar uma situação ótima Em termos matemáticos este processo se dá por meio da modelagem dos problemas encontrando uma função que quantifica uma determinada grandeza de interesse que pode ser uma área um volume o valor de uma corrente elétrica o custo de fabricação de um produto o lucro de empresa etc chamada função objetivo De posse da função objetivo a questão é determinar os valores máximos ou mínimos de acordo com o interesse do problema De modo geral sempre buscamos minimizar custos esforços e maximizar lucro rendimento Neste contexto uso da derivada é fundamental e decisivo para a solução de vários problemas Na resolução de problemas de otimização devemos considerar os três passos seguintes Passo 1 Escolher as variáveis Determinar quais grandezas quantidades são relevantes esboçando um diagrama se necessário e associar nomes apropriados para as variáveis Passo 2 Encontrar uma função f que relacione as variáveis e o intervalo de definição domínio Se a função depender de mais de uma variável usar outra equação de vínculo para escrever f como função de uma só variável Passo 3 Otimizar a função Se o intervalo de definição for aberto não necessariamente existirá um valor máximo e mínimo Se existir esses valores devem ocorrer em pontos críticos serão máximos e mínimos relativos no interior do intervalo Exemplo 36 Dentre todas as caixas de base quadrada e sem tampa que possuem área superficial de 1200 cm2 determine as dimensões daquela que possui maior volume Solução Sendo x a medida do lado da base da caixa que tem formato quadrangular e y a medida da altura da caixa O volume da caixa em função destas medidas é V x2y Essa função é a função objetiva do problema ou seja queremos determinar o valor máximo de V mas não para qualquer x e y Queremos determinar o máximo de V quando x e y são tais que a área da superfície da caixa sem tampa é de 1200 cm2 isto é x24xy 1200 Isolando y nesta equação encontramos Substituindo este valor na expressão que determina o volume ficamos com uma função de uma única variável Derivando a expressão do volume em relação a x obtemos Igualando esta derivada a zero encontramos x 20 Desde que x é a medida do lado da base da caixa este deve ser um valor positivo Assim descartamos a raiz negativa e ficamos somente com x 20 Ao final notamos que o sinal da derivada troca de positivo para negativo ao passar pelo ponto crítico x 20 Portanto este ponto crítico é um ponto de máximo Agora fazendo x 20 na equação x24xy 1200 temos que y 10 Logo a caixa de maior volume tem o lado da base quadrada igual a 20 cm e altura igual a 10 cm cujo volume é 4000 cm3 91 WWWUNINGABR CÁLCULO I UNIDADE 3 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Exemplo 37 Uma lata no formato de um cilindro circular reto sem tampa deverá ter a capacidade de armazenar 25 litros Quais devem ser as dimensões da lata que minimiza a quantidade de material usado para confeccionála Solução Como a lata deve ter o formato de um cilindro circular reto suas dimensões devem ser o raio da base e a altura que vamos considerar em centímetros Representando estas grandezas respectivamente por r e h temos que o volume da lata é dado por enquanto a área da superfície da lata sem tampa é dada por Observe que a área A que neste problema é a função objetivo a qual deve ser minimizada depende de duas variáveis o raio r e a altura h Para exibila em função de uma única variável vamos eliminar h Segundo os dados do problema a lata deve ter um volume de 25 litros Então devemos converter a unidade de volume litros em cm3 Como 1 l 1000 cm3 vemos que 251 2500 cm3 Assim nosso objetivo é minimizar a área A com r e h sujeitos a condição Substituindo o valor de h na expressão que calcula a área A encontramos Como A Ar é uma função contínua vamos buscar o valor mínimo de A em algum r 0 Vamos determinar em relação à r para determinar os pontos críticos Para isso igualamos a zero o resultado da derivada primeira Esse é o único ponto crítico e consequentemente o ponto que minimiza a área Para encontrarmos o respectivo valor de h substituímos o valor de r em e obtemos Portanto essa lata tem as medida do raio da base e da altura iguais a E esse cilindro é denominado cilindro equilátero 92 WWWUNINGABR CÁLCULO I UNIDADE 3 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Exemplo 38 Pretendese estender um cabo de uma usina de força à margem de um rio de 900 m de largura até uma fábrica situada do outro lado do rio 3000 m rio abaixo O custo para estender um cabo pelo rio é de R 500 o metro enquanto para estendêlo por terra custa R 400 o metro Qual é o percurso mais econômico para o cabo Solução Inicialmente vejamos a ilustração gráfica do problema na Figura 13 a fim de facilitar a construção da função custo Figura 13 Esboço do problema Fonte Os autores O objetivo é minimizar o custo de instalação do cabo Logo precisamos construir a função custo a qual baseada na figura anteriormente apresentada é dada por Como x e 3000 x não podem ser negativos a região de interesse domínio do problema é o intervalo 0 3000 onde devemos encontrar o mínimo absoluto de C Para isso iniciamos derivando C para encontrar seus pontos críticos Como o radicando e x são positivos elevando os dois lados da equação ao quadrado obtemos Assim x 1200 Como x deve ser positivo e 1200 0 3000 segue que é o único ponto crítico de C no domínio de interesse Vejamos se é ponto de mínimo relativo para todo x Logo o ponto crítico x 1200 é ponto de mínimo relativo de C Para saber se é mínimo absoluto precisamos comparar o valor de C neste ponto com os valores nos extremos do domínio Assim temos C0 R1650000 C1200 R1470000 e C3000 R 1566000 Concluímos portanto que o custo mínimo para a instalação do cabo será de R 1470000 e para obtêlo o cabo deverá percorrer 1800 metros por terra a partir da fábrica e depois ir por água até a usina 93 WWWUNINGABR CÁLCULO I UNIDADE 3 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA A obra O cálculo com Geometria Analítica apresenta um caráter didático e abrangente bem como uma linguagem clara e compreensível tornandoo um texto clássico em sua área Este livro mudou globalmente a maneira de ensinar cálculo em universidades O cálculo com Geometria Analítica Louis Leithold 3 Ed São Paulo Harbra 1994 94 WWWUNINGABR CÁLCULO I UNIDADE 3 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA CONSIDERAÇÕES FINAIS Ao longo dessa unidade vimos que as derivadas podem ser interpretadas como inclinações e taxas de variação Aprendemos a fazer gráfico de funções usando derivadas Aprendemos ainda a usar regras de diferenciação para o cálculo de derivada de funções reais e vimos que essas regras nos permitem calcular com relativa facilidade a derivada de funções Assim finalizamos a unidade 3 e os esperamos na próxima unidade Bons estudos 95 95 WWWUNINGABR U N I D A D E 04 SUMÁRIO DA UNIDADE INTRODUÇÃO 97 1 A INTEGRAL INDEFINIDA 98 2 REGRAS BÁSICAS DE INTEGRAÇÃO 99 3 A REGRA DA SUBSTITUIÇÃO 101 4 INTEGRAÇÃO POR PARTES 103 5 ESTRATÉGIAS PARA INTEGRAIS TRIGONOMÉTRICAS 107 6 INTEGRAÇÃO POR FRAÇÕES PARCIAIS 110 7 INTEGRAL DEFINIDA 114 8 ÁREAS ENTRE CURVAS 117 9 INTEGRAIS IMPRÓPRIAS 120 10 VOLUMES DE SÓLIDOS DE REVOLUÇÃO 121 A INTEGRAL ENSINO A DISTÂNCIA DISCIPLINA CÁLCULO I 96 96 WWWUNINGABR EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA 11 VOLUME DE UM SÓLIDO CUJA SEÇÃO PLANA TEM ÁREA DADA 124 CONSIDERAÇÕES FINAIS 126 97 WWWUNINGABR CÁLCULO I UNIDADE 4 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA INTRODUÇÃO Nessa unidade estudaremos o conceito de integral Iniciamos tratando da integral indefinida e numa segunda etapa consideramos a integral definida Na unidade anterior vimos que a derivação é uma operação sobre as funções e desenvolvemos regras para o cálculo da derivada de diversos tipos de funções Nesta unidade de maneira análoga vamos ver que a integração é também uma operação sobre as funções e desenvolveremos regras de integração de acordo com o tipo de função A integral indefinida é de certa forma a operação inversa da derivada e do ponto de vista das aplicações possui um papel fundamental Por exemplo se tivermos a velocidade instantânea de um objeto e desejarmos determinar sua posição calculamos a integral indefinida da velocidade Da mesma forma se conhecemos a vazão de um determinado fluído podemos saber seu volume para isto calculamos a integral indefinida da função que modela a vazão Ou ainda se nos é dada a função aceleração de um objeto e desejarmos encontrar a velocidade instantânea desse objeto basta calculamos a integral indefinida da função aceleração Por outro lado veremos que a integral definida de uma função sobre um intervalo é um número real diferentemente da integral indefinida que nos fornece uma função como resposta Do ponto de vista das aplicações este número valor da integral definida está diretamente relacionado com o cálculo de áreas de regiões planas Neste contexto surge o principal resultado denominado Teorema Fundamental do Cálculo o qual estabelece uma ligação entre os conceitos de derivada e integral e sobretudo permite de modo muito simples calcular o valor das integrais definidas de uma classe de funções 98 WWWUNINGABR CÁLCULO I UNIDADE 4 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA 1 A INTEGRAL INDEFINIDA Iniciamos esta seção com o conceito de primitiva Definição Dizemos que uma função F é uma primitiva ou antiderivada de f num intervalo I se satisfaz Fx fx para todo x em I Exemplo 1 a se fx 2 então uma primitiva de f em toda reta é a função Fx 2x b Se fx 3x2 então uma primitiva de f em toda reta é a função Fx x3 c Se fx 4x então uma primitiva de f em toda reta é a função Fx 2x2 Analisando os exemplos já apresentados podemos ver que a função Gx 2x1 também é uma primitiva de fx 2 Do mesmo modo é fácil ver que Hx x3 é outra primitiva para fx 3x2 e Vx 2x2 05 e define outra primitiva para a função fx 4x Assim desde que a derivada de constante seja sempre zero concluímos que se F é uma primitiva de f em um intervalo I ℝ então Gx Fx C é também uma primitiva de f em um intervalo I Reciprocamente se F e G são primitivas de f num intervalo I ℝ então para todo x I temse que Gx Fx C para alguma constante C De fato consideremos Hx Fx Gx então Hx Fx Gx fx fx 0 o que implica em Hx C para alguma constante C ou seja Gx Fx C Portanto obtida uma primitiva toda e qualquer outra pode ser obtida a partir desta pela soma de alguma constante conveniente Isto motiva a definição que segue Definição Dada uma função f fx definida num intervalo I ℝ o conjunto de todas as primitivas de f em I é denominado a integral indefinida de f denotada por fx dx ou seja De modo que F é uma primitiva de f e C é uma constante arbitrária Observamos que a rigor a integral indefinida é um conjunto de funções que reúne todas as primitivas de f O nome integral indefinida dáse porque a constante C é indeterminada Por conta disto a integral indefinida é também chamada de a primitiva mais geral f ou ainda a antiderivada de f Assim a operação de antidiferenciação também chamada de integral indefinida é a operação inversa da derivada Deste fato decorrem as regras básicas da integração indefinida 99 WWWUNINGABR CÁLCULO I UNIDADE 4 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA 2 REGRAS BÁSICAS DE INTEGRAÇÃO A seguir apresentamos algumas regras básicas de integração São elas Exemplo 2 Usando as regras básicas das integrais indefinidas calcule as seguintes integrais Considerando as regras de derivação obtemos a integral indefinida das funções exponenciais e logarítmicas É fácil ver que 100 WWWUNINGABR CÁLCULO I UNIDADE 4 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Exemplo 3 Calcule Solução Usando as regras básicas e as regras das funções exponenciais e logarítmicas temos A seguir apresentamos as integrais indefinidas das funções trigonométricas as quais são facilmente verificadas por simples derivação Exemplo 4 Calcule Solução 101 WWWUNINGABR CÁLCULO I UNIDADE 4 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA 3 A REGRA DA SUBSTITUIÇÃO As regras de integração vistas anteriormente não permitem cálculos de integrais do tipo pois não é possível reescrever a função como somas de funções potências A fim de resolver esse problema faremos uma mudança de variável na função para que essa integral recaia numa integral onde possamos usar as regras básicas para resolvêla Para fazer essa mudança de variáveis enunciamos a regra da substituição Regra da Substituição Exemplo 5 Calcule as integrais a seguir Solução Primeiramente observamos que a função é uma função composta isto é Hx fgx de modo que e gx 2x3 Além disso observamos também que a função Hx fgx está multiplicada pela função gx 3x2 na integral Assim de acordo com a regra da substituição fazemos a mudança de variável u 2x3 e calculamos sua derivada Logo Solução Seja u 3x4 Então ou Assim Solução Seja u 2x Então ou Assim Solução Seja u x53 Então ou Assim 102 WWWUNINGABR CÁLCULO I UNIDADE 4 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Exemplo 6 Calcule Solução Sabemos que Logo Sendo u cos x Então ou Assim Usando a propriedade do logaritmo podemos escrever Portanto Exemplo 7 Calcule Solução Seja u 13x2 Então ou Assim Exemplo 8 Calcule Solução Seja u x21 Então ou Assim 103 WWWUNINGABR CÁLCULO I UNIDADE 4 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Exemplo 9 Calcule Solução Seja u x2 Então ou Assim Exemplo 10 Determine uma primitiva de Solução Seja F uma primitiva de f Assim segue que Daí Vamos resolver a integral anterior usando a regra da substituição Daí seja u x2 Então ou Assim 4 INTEGRAÇÃO POR PARTES Usando a regra da derivada de um produto fxgx fxgx fxgx podemos obter uma importante fórmula conhecida como fórmula de integração por partes a qual pode ser útil para o cálculo de determinadas integrais Aplicando a operação de integração em ambos os lados da equação anterior temos Como a derivada e a integral indefinida são operações inversas segue que ou ainda que é a chamada fórmula de integração por partes 104 WWWUNINGABR CÁLCULO I UNIDADE 4 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Exemplo 11 Calcule x cosx dx Sendo fx x e gx cos x dx Então fx 1 e gx gx dx cosx dx sen x Assim usando a integração por partes Por meio de uma mudança de variáveis podemos reescrever a fórmula de integração por partes numa forma mais fácil de ser memorizada e por isso mais comumente usada Fazendo obtemos que Então substituindo estes valores na fórmula de integração por partes obtemos que é a fórmula de integração por partes em termos das variáveis u e v Para a aplicação da fórmula anterior a dificuldade principal está na escolha conveniente dos termos u e dv Para certos tipos de funções há uma estratégia apropriada para esta escolha conhecida como regra do LIATE A regra do LIATE consiste em primeiramente associar a cada uma das letras da palavra LIATE uma determinada classe de funções a saber L Funções Logarítmicas I Funções Trigonométricas Inversas A Funções Algébricas T Funções Trigonométricas E Funções Exponenciais Assim dada uma integral do tipo u dv a escolha conveniente para chamamos de u é a função que ocorrer primeiro nas classes de funções do LIATE e chamamos de dv a função restante do integrando Exemplo 12 Calcule ln x dx Solução Como temos uma única função na integral ela será a função u Assim u ln x e dv dx Segue que Assim 105 WWWUNINGABR CÁLCULO I UNIDADE 4 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Exemplo 13 Calcule x2 ex dx Solução Nesta integral temos um produto de duas funções em que x2 é uma função algébrica ex que é uma função exponencial Como a função algébrica acorre antes da exponencial no LIATE chamamos u x2 e dv ex dx Assim Assim A integral x ex dx obtida pela aplicação do método de integração por partes possui a mesma característica da integral original ou seja um produto de função exponencial por algébrica Por isso podemos aplicar novamente o método para resolvêla Seguindo o LIATE temos Com isso Portanto Exemplo 14 Calcule ex sen x dx Solução Nessa integral temos um produto de uma função exponencial ex por uma trigonométrica sen x Seguindo a ordem do LIATE denominamos Assim A integral obtida no segundo membro ex cosx dx ainda exige a aplicação da integração por partes pois novamente temos um produto de exponencial por trigonométrica Usando o LIATE temos Então 1 2 106 WWWUNINGABR CÁLCULO I UNIDADE 4 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Novamente a integral obtida em 2 é um produto de exponencial por trigonométrica Entretanto não aplicamos novamente a integração por partes pois essa integral é exatamente a integral original Com isso substituindo o resultado obtido em 2 na integral 1 para obtemos a solução desejada ou seja No exemplo 14 mantivemos a ordem do LIATE para as escolhas das funções u e dv Entretanto vale ressaltar que estas escolhas poderiam ter sido invertidas e teríamos obtido o mesmo resultado ou seja o LIATE nos permite uma inversão de escolhas entre as duas últimas classes de funções 107 WWWUNINGABR CÁLCULO I UNIDADE 4 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA 5 ESTRATÉGIAS PARA INTEGRAIS TRIGONOMÉTRICAS Neste tópico estamos interessados no cálculo de integrais envolvendo produtos de funções trigonométricas Mais especificamente produtos do tipo senmx cosnx e tgmx secnx Vamos começar com as integrais do tipo senmx cosnx dx Os desenvolvimentos das estratégias dependem da natureza dos expoentes isto é se são pares ou ímpares Assim i se m e n são pares então utilizamos as identidades trigonométricas Exemplo 15 Calcule cos2 x dx Solução Pela identidade trigonométrica temos Assim Para calcular a integral cos2x dx usamos a regra da substituição ou seja denotamos Daí Substituindo segue que Portanto ii se o expoente do seno for ímpar separamos um fator do seno e os fatores restantes são reescritos em termos de cosseno utilizando a identidade trigonométrica sen2 x 1 cos2 x A integral obtida é resolvida pela regra da substituição onde u cos x 108 WWWUNINGABR CÁLCULO I UNIDADE 4 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Exemplo 16 Calcule sen3 x cos2 x dx Solução Como o expoente da função seno é ímpar separamos um fator do seno e os demais fatores reescreveremos em termos do cosseno Assim Utilizamos a regra da substituição vista anteriormente para resolver a integral temos que Então Portanto iii Se o expoente do cosseno for ímpar separamos um fator do cosseno e os fatores restantes são reescritos em termos de seno utilizando a identidade trigonométrica cos2 x 1 sen2 x A integral obtida é resolvida pela regra da substituição onde u senx Exemplo 17 Calcule sen2 x cos3 x dx Solução Como o expoente da função seno é ímpar separamos um fator do seno e os demais fatores reescreveremos em termos do cosseno Assim Agora utilizamos a regra da substituição para resolver a integral obtida em 1 Seja Então Portanto 109 WWWUNINGABR CÁLCULO I UNIDADE 4 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Agora vamos estudar as integrais do tipo tgmx secnx dx De modo semelhante ao anterior o desenvolvimento de estratégias para o cálculo de integrais envolvendo produtos de funções do tipo tgmx secnx também dependem da natureza dos expoentes isto é se são pares ou ímpares Assim i Se o expoente da função secante for par separamos um fator sec2 x e os fatores restantes são reescritos em termos da tangente utilizando a identidade trigonométrica sec2 x 1 tg2 x A integral obtida é resolvida pela regra da substituição em que u tgx Exemplo 18 Calcule tg2x sec4x dx Solução Como o expoente da função secante é par separamos um fator sec2 x e os demais fatores reescrevemos como Então Para calcular a integral do segundo membro fazemos a substituição Assim Portanto ii Se o expoente da função tangente for ímpar separamos um fator tgxsecx e os fatores restantes são reescritos em termos da função secante utilizando a identidade trigonométrica tg2x sec2x 1 A integral obtida é resolvida pela regra da substituição u sec x Se ambos os expoentes das funções seno e cosseno são ímpares podemos usar a estratégia ii ou a estratégia iii 110 WWWUNINGABR CÁLCULO I UNIDADE 4 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Exemplo 19 Calcule tg3x sec5x dx Solução Como o expoente da função tangente é ímpar separaremos um fator tgxsecx e os demais fatores reescreveremos em termos da função secante como segue Então Agora fazemos a substituição e teremos que Portanto 6 INTEGRAÇÃO POR FRAÇÕES PARCIAIS O objetivo do método de integração por frações parciais é calcular integrais de funções racionais isto é funções do tipo em que Px e Qx são funções polinomiais Vamos apresentar o método em situações particulares que poderão ser empregadas em casos gerais Suponhamos que o polinômio Qx pode ser decomposto como produto de n fatores lineares e distintos ou seja a Se o expoente da função secante for par e o expoente da função tangente for ímpar podemos usar qualquer uma das duas estratégias b Se o expoente da função secante for ímpar e o expoente da função tangente for par podemos expressar a integral dada em termos da função secante e utilizarmos as integrais por partes para resolvêlas 111 WWWUNINGABR CÁLCULO I UNIDADE 4 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Então seguimos três etapas 1a ETAPA quando o grau do polinômio Px é maior ou igual do que o grau do polinômio Qx efetuamos a divisão dos polinômios e escrevemos em que Qx é o divisor Sx é o quociente e Rx é o resto da divisão Caso o grau de Px seja menor do que o grau de Qx não há como fazer a divisão e já avançamos para a etapa seguinte 2a ETAPA Fatoramos o denominador Qx em produto de fatores lineares e distintos 3a ETAPA Decompomos a função racional em frações parciais que neste caso tem a forma Exemplo 20 Calcule Solução Como o grau de Px x2 x é maior que o grau de Qx x 2 devemos efetuar a divisão e escrever Assim O exemplo 20 mostra que em alguns casos a aplicação da primeira etapa já é suficiente para que possamos calcular a integral 112 WWWUNINGABR CÁLCULO I UNIDADE 4 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Exemplo 21 Calcule Solução Como o grau de Px x 3 é menor que o grau de Qx x2 6x 8 não precisamos efetuar a divisão de polinômios Passando à segunda etapa decompomos Qx em produto de fatores lineares Logo Em seguida aplicamos a terceira etapa ou seja decompomos o quociente em frações parciais 1 em que as constantes A1 e A2 devem ser determinadas Multiplicando ambos os membros de 1 pelo polinômio Qx temos Usando a igualdade de polinômios temos o seguinte sistema de equações lineares Resolvendo o sistema anterior obtemos A1 A2 1₂ Substituindo os valores das constantes A1 e A2 em 1 segue que Assim 113 WWWUNINGABR CÁLCULO I UNIDADE 4 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Existem outros três casos para a decomposição em frações parciais a saber a Qx é um produto de fatores lineares em que alguns dos fatores são repetidos b Qx é dado por um produto de fatores quadráticos irredutíveis e nenhum dos fatores se repetem c Qx é dado por um produto de fatores quadráticos irredutíveis repetidos Para esses casos deixamos cinco vídeos do canal no YouTube do prof Bruno Glasses Matemática Faça uma pipoca e divirtase Os vídeos estão disponíveis em Vídeo 1 httpswwwyoutubecomwatchvsQrw8b9AQk Vídeo 2 httpswwwyoutubecomwatchviT3WLSlN46o Vídeo 3 httpswwwyoutubecomwatchv2DKLyBIQtv8 Vídeo 4 httpswwwyoutubecomwatchvR6qnrFKngzY Vídeo 5 httpswwwyoutubecomwatchvmKpWzYFeXww 114 WWWUNINGABR CÁLCULO I UNIDADE 4 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA 7 INTEGRAL DEFINIDA O conceito de integral definida está relacionado com a definição de área de uma região plana não regular Na geometria elementar é desenvolvido o conceito de área de figuras regulares como quadrado retângulo triângulo e mais frequentemente a área de qualquer polígono por meio de decomposição deste em triângulos Entretanto como proceder para definir a área de uma região plana de fronteira curvilínea Arquimedes matemático grego da antiguidade por volta dos 250 a c resolveu este problema para o caso do círculo e algumas outras figuras bem simples definindo a área como sendo o valor numérico resultado da aproximação limite das somas das áreas de uma infinidade de polígonos convenientemente escolhidos Nesta ideia de Arquimedes encontrase o cerne para a definição da integral definida Suponhamos que seja dada uma função f fx contínua e positiva num intervalo fechado e limitado I ab Como definir a área A da região delimitada pelo gráfico de f o eixo x e as retas x a e x b conforme mostra Figura 1 Figura 1 Gráfico da região delimitada pela função f o eixo x e as retas x a e x b Fonte Os autores Seguindo o raciocínio de Arquimedes vemos que a área da região é aproximadamente a soma das áreas dos n retângulos de base e altura fλi em que cada λi é um ponto arbitrariamente escolhido no subintervalo xi1 xi i 12n Note que a divisão do intervalo ab em n partes determinam os pontos x0 a x1 xn b denotando uma partição do intervalo ab Também vemos que a aproximação da área é tanto melhor quanto maior for o número n de subdivisões do intervalo Portanto é razoável definir a área A como sendo o limite destas somas quando n tende ao infinito isto é A definição da área discutida no parágrafo anterior motiva a definição da integral de uma função contínua definida num intervalo ab não necessariamente positiva Temos 115 WWWUNINGABR CÁLCULO I UNIDADE 4 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Definição Sendo fab ℝ uma função contínua Definimos a integral definida de f sobre o intervalo ab denotada por como sendo o número real obtido pelo limite da Eq 01 Isto é Observação Enfatizamos que a integral definida independe da noção de área Entretanto se f é não negativa isto é fx 0 então onde A é a área da região delimitada pelo gráfico de f o eixo x e as retas x a e x b Por outro lado se f é negativa em ab então a integral definida como apresentado na Figura 2 Figura 2 Gráfico da região delimitada pela função f o eixo x e as retas x a e x b Fonte Os autores Simplificamos a escrita mencionando simplesmente a integral ao invés de a integral definida isto obviamente quando não houver qualquer possibilidade de confusão Para que a definição da integral esteja bem formulada é necessário mostrar que o limite ali considerado existe sempre que fab ℝ é uma função contínua Durante séculos calculouse a integral por meio deste limite Entretanto esta não é uma tarefa muito fácil do ponto de vista prático A dificuldade técnica no cálculo da integral por meio de limites só foi superada no século XVIII com a descoberta do resultado hoje conhecido como Teorema Fundamental do Cálculo Teorema Fundamental do Cálculo Sendo fab ℝ uma função contínua e F uma primitiva qualquer de f Então Propriedades da Integral Definida Dadas duas funções f e g contínuas num intervalo ab e uma constante k ℝ temos 116 WWWUNINGABR CÁLCULO I UNIDADE 4 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Exemplo 22 Calcule a área da região delimitada pelo gráfico da função y x2 o eixo x e as retas x2 e x6 Solução A Figura 3 mostra a região de interesse Figura 3 Gráfico da região delimitada pela função y x2 o eixo x e as retas x2 e x6 Fonte Quinteiro 2016 Como a função é positiva no intervalo 26 segue que Exemplo 23 Calcule a área da região delimitada pelo gráfico da função y ex pelo eixo x e as retas x0 e x2 Solução A Figura 4 mostra a região de interesse Figura 4 Gráfico da região delimitada pela função y ex o eixo x e as retas x0 e x2 Fonte Os autores Desde que a função é positiva no intervalo 02 segue que 117 WWWUNINGABR CÁLCULO I UNIDADE 4 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA 8 ÁREAS ENTRE CURVAS Suponhamos que sejam dadas duas funções contínuas num intervalo ab tais que gx fx x ab Então podemos ver que a área A da região delimitada pelos gráficos das funções f e g e as retas x a e x b é como ilustra a Figura 5 Figura 5 Gráfico da região delimitada pelas funções f e g e pelas retas xa e xb Fonte Os autores Exemplo 24 Calcule a área da região delimitada anteriormente pela função y x a seguir pela função y x3 e nos lados pelas retas x 0 e x 1 Solução Denotando que A é a área da região mencionada no enunciado temos que a Figura 6 ilustra a região Figura 6 Região da área entra curvas Fonte Os autores 118 WWWUNINGABR CÁLCULO I UNIDADE 4 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Exemplo 25 Calcule a área da região hachurada na Figura 7 Figura 7 Gráfico da região delimitada pelas funções y 9x2 e y x1 e pelas retas x1 e x2 Fonte Os autores Solução A região limitada anteriormente pelo gráfico da função y 9x2 chamaremos de fx e a região limitada a seguir pelo gráfico da função y x1 chamaremos de gx e a região limitada nos lados pelas retas x1 e x2 Assim Exemplo 26 Esboce o gráfico da região delimitada pelas curvas y x2 e y 6xx2 e calcule sua área Solução As curvas são duas parábolas uma com concavidade para cima e a outra concavidade para baixo A parábola y gx x2 é bem conhecida e está na posição canônica Vejamos a interseção destas duas parábolas Para isto devemos resolver a equação As raízes são x10 e x23 Logo as parábolas se interceptam nos pontos 00 e 39 Para encontramos os pontos onde a parábola y fx 6xx2 corta o eixo x devemos encontrar as raízes da equação O vértice desta parábola é o ponto 39 Assim podemos esboçar a região desmatada pela figura 119 WWWUNINGABR CÁLCULO I UNIDADE 4 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Figura 8 Gráfico da região delimitada pelas parábolas y x2 e y 6xx2 Fonte Os autores A área da região é 120 WWWUNINGABR CÁLCULO I UNIDADE 4 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA 9 INTEGRAIS IMPRÓPRIAS Em todas as unidades anteriores ao discutirmos a definição de área a seguir do gráfico de uma função o conceito da Integral Definida e o Teorema Fundamental do Cálculo nós sempre consideramos uma função fab ℝ contínua num intervalo fechado e limitado Consequentemente sempre tratamos da integral de funções limitadas em intervalos limitados Todavia em determinadas circunstâncias é possível estender o conceito de integral para funções ilimitadas e para funções definidas em intervalos ilimitados Estas extensões são chamadas integrais impróprias Vejamos inicialmente um exemplo Exemplo 27 Considere a função f01 ℝ definida por Observamos que se trata de uma função contínua positiva que possui uma assíntota vertical em x0veja o gráfico de f na Figura 9 Notamos que fx quando x 0 consequentemente f não é limitada Como definir a área da região plana compreendida entre o gráfico de f o eixo x e as retas x0 e x1 Em outras palavras como dar um sentido para a integral Figura 9 Gráfico da função com 0 x 10 Fonte Os autores Um fato importante para a solução da questão é observar que para todo 0 t 1 fixado à função é contínuo no intervalo fechado e limitado t1 consequentemente existe a integral de f em t1 Além disso um simples cálculo nos dá que cujo valor tende a 2 quando t tende a zero t 0 isto é Portanto é razoável definir a integral neste caso chamada de integral imprópria da função f sobre o intervalo 01 como sendo o valor deste limite Escrevemos 121 WWWUNINGABR CÁLCULO I UNIDADE 4 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Baseado nesse exemplo temos a seguinte definição Definição Sendo fab ℝ uma função contínua e ilimitada Definimos a integral imprópria de f no intervalo ab como sendo o limite desde que tal limite exista Ou seja Quando o limite existe dizemos que a integral imprópria converge Caso contrário quando o limite não existe dizemos que a integral imprópria diverge Obviamente adaptandose a cada caso de modo análogo outras integrais impróprias podem ser definidas como seguem 10 VOLUMES DE SÓLIDOS DE REVOLUÇÃO Muitos dos sólidos com que trabalhamos podem ser obtidos através da rotação de uma região plana em torno de um eixo denominado eixo de rotação A esfera por exemplo pode ser obtida girando um semicírculo em torno de um eixo que contenha o diâmetro do semicírculo Sólidos obtidos dessa forma são chamados sólidos de revolução Dada certa região plana podese gerar uma infinidade de sólidos de revolução cada um deles obtido em função de um determinado eixo de rotação Consideraremos somente as situações em que o eixo de rotação é paralelo a um dos eixos coordenados e região plana limitada por gráficos de funções contínuas Para tanto seja y fx contínua em ab e tomemos a região limitada pelo gráfico da função pelo eixo x e pelas verticais x a e x b veja a Figura 10 A Figura 11 apresenta o sólido de revolução gerado pela rotação da região descrita em torno do eixo x Figura 10 Gráfico de f no intervalo ab Fonte Os autores 122 WWWUNINGABR CÁLCULO I UNIDADE 4 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Figura 11 Sólido de revolução Fonte Os autores O volume do sólido de revolução quando a revolução é em torno do eixo x é calculado por meio da equação Exemplo 28 Calcule o volume do sólido de revolução obtido pela rotação em torno do eixo x da região limitada pela parábola y x21 x 2 e pelo eixo x Solução A Figura 12 ilustra o sólido de revolução Figura 12 Sólido de revolução Fonte Os autores Assim segue que 123 WWWUNINGABR CÁLCULO I UNIDADE 4 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Outra aplicação é obtida quando giramos em torno do eixo y uma região limitada pelo gráfico de uma função y fx a x b pelas retas verticais x a e y b e pelo eixo x Vamos considerar como na Figura 13 a 0 e fx 0 Figura 13 Sólido de revolução Fonte Os autores O volume do sólido de revolução quando a revolução é em torno do eixo y é calculado por meio da equação Exemplo 29 Calcular o volume obtido ao girar em torno do eixo y a região limitada pela parábola y 4xx2 e o eixo x Solução A Figura 14 ilustra a curva Figura 14 Curva y 4xx2 Fonte Os autores Assim segue que 124 WWWUNINGABR CÁLCULO I UNIDADE 4 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA 11 VOLUME DE UM SÓLIDO CUJA SEÇÃO PLANA TEM ÁREA DADA Dado um sólido tal que suas seções transversais em relação a um determinado eixo tenham áreas conhecidas é possível calcular o seu volume através de uma integral Para facilitar tomaremos o eixo transversal às seções planas como sendo o eixo x Vamos considerar o sólido compreendido por dois planos perpendiculares ao eixo horizontal contendo respectivamente as retas verticais x a e x b conforme ilustrado na Figura 14 Figura 15 Sólido de área de secção transversal conhecida Fonte Os autores O volume do sólido é calculado por meio da equação Exemplo 30 Calcular o volume do sólido cuja base é o círculo x2 y2 9 e as seções perpendiculares ao eixo x são retângulos de altura 3 Solução Para cada x 3 3 teremos a área da seção expressa por Portanto o volume do sólido é dado por Fazendo a substituição x 3senu temos que dx 3cosu du e Assim 125 WWWUNINGABR CÁLCULO I UNIDADE 4 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Outra aplicação das integrais é a determinação do comprimento do gráfico de uma função A fórmula é deduzida aproximando o gráfico da função por uma curva poligonal isto é uma curva formada por segmentos de reta O comprimento desta curva poligonal nada mais é que a soma de Riemann de uma certa função Quando a norma da partição tende a zero obtemos a fórmula exata do comprimento do gráfico O vídeo a seguir do canal eaulas da USP no YouTube O vídeo está disponível em h t t p e a u l a s u s p b r p o r t a l v i d e o a c t i o n j s e s s i o n i d 1BE2ABBAA888D7158F49B6F6E364A054idItem2866idVideoVersion 14660 Um Curso de Cálculo de Hamilton Luiz Guidorizzi apresenta recursos pedagógicos digitais que aprofundam e fixam a aprendizagem dos estudantes de Cálculo e auxiliam aulas de professores da disciplina Publicado em 2013 pela editora LTC este primeiro volume aborda temas como limite derivada integral de funções entre outros É indicado para alunos de graduação de Matemática Engenharia e Ciências Exatas que cursam Cálculo Diferencial e Integral e disciplinas de Cálculo relacionadas 126 WWWUNINGABR CÁLCULO I UNIDADE 4 EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA CONSIDERAÇÕES FINAIS Caros alunos chegamos ao fim do curso de Cálculo O Cálculo é uma matéria fascinante e com justiça é considerada uma das maiores realizações da inteligência humana Nós os autores esperamos que você tenha descoberto o quanto esta disciplina é útil mas também o quão intrinsecamente bela ela é Fazemos votos de bons estudos e tenha um excelente curso Grande abraço 127 WWWUNINGABR ENSINO A DISTÂNCIA REFERÊNCIAS FLEMMING D M GONÇALVES M B Cálculo 6 ed São Paulo Pearson 2011 GUIDORIZZI HL Um Curso de Cálculo Vol 1 5 ed Rio de Janeiro LTC 2011 HOWARD A et al Cálculo 10 ed São Paulo Bookman 2014 LEITHOLD L Cálculo com Geometria Analítica Trad Universidade Estadual de São Paulo São Paulo Harbra 1994 SIMMONS G F Cálculo com Geometria Analítica Vol 1 São Paulo Pearson 2016 STEWART J Cálculo 8 ed São Paulo Cengage Learning 2017 THOMAS G B Cálculo Vol 1 11 ed São Paulo Pearson 2011