Aula 2: Transferência de Calor - Condução e Lei de Fourier

TRANSFERÊNCIA DE CALOR AULA 2 Prof Marcos Baroncini Proença 2 CONVERSA INICIAL Vimos na aula anterior a importância que o conhecimento sobre a transferência de calor tem para o engenheiro Além disso estudamos as formas e as leis que envolvem os processos de transferência de calor bem como algumas aplicações Com relação à condução podemos afirmar que seu conhecimento e suas aplicações são de fundamental importância tanto na construção de equipamentos e utilitários quanto na manutenção geração de energia eficiência energética e várias outras áreas que fazem parte do universo da engenharia Figura 1 Solda de manutenção de navio Fonte Shutterstock Por exemplo o controle da transferência de calor por condução em processos de soldagem é fundamental para evitar danos futuros por fragilização em tubulações ou estruturas na chamada zona térmica afetada O aproveitamento do calor de vapores ou gases de combustão para geração de energia ou para uma présecagem de material é cada vez mais importante sendo que esse calor deve ser transmitido sem que haja contato entre os vapores e o fluido que será aquecido para movimentar turbinas de geradores ou para ser usado em câmaras de aquecimento o que é possibilitado por meio da condução Do ponto de vista do conforto térmico o controle do calor transmitido por condução seja para dentro ou para fora de galpões industriais ou mesmo em construções civis é hoje um forte aliado da produção 3 Figura 2 Interior de uma usina de força Fonte Shutterstock Portanto nesta Aula 2 realizaremos um aprofundamento na compreensão da Lei de Fourier da Condução envolvendo sua origem experimental assim como da dependência da condutividade térmica com a natureza física do meio Também desenvolveremos a equação geral chamada equação do calor cuja solução nos fornecerá as ferramentas para a determinação do fluxo de calor Trabalharemos então conceitos da condução unidimensional em regime estacionário para paredes planas e em sistemas radiais Assim após esta aula você terá as ferramentas conceituais necessárias para compreender e aplicar a transferência de calor por condução em situações cotidianas de engenharia Figura 3 Funcionários da empresa chinesa de energia Huadian Group Fonte Shutterstock 4 TEMA 1 EQUAÇÃO DA TAXA DE CONDUÇÃO A Lei de Fourier é empírica isto é ela é desenvolvida a partir de observações experimentais em vez de ser deduzida com base em princípios fundamentais A correta formulação da lei de propagação do calor proposta por Fourier foi apresentada em 1807 em um trabalho intitulado Memoire sur la propagation de la chaleur Figura 4 JeanBaptiste Joseph Fourier Fonte cambridgeblogorg Contudo a publicação definitiva aconteceu em 1822 sob o título Theorie analytique de la chaleur Nesse trabalho Fourier deduziu e desenvolveu a solução da equação da condução do calor por meio de equações diferenciais parciais e séries trigonométricas partindo de observações fenomenológicas Mesmo ignorando as hipóteses da época a respeito do calor descreveu um modelo físico que retratava sua propagação Veja o detalhamento desse tema no Anexo 1 Figura 5 Condução de calor em uma barra no regime estacionário Fonte Incropera F P et al 2008 5 Para melhor compreensão da Lei de Fourier considere que uma barra cilíndrica de material conhecido tem sua superfície lateral isolada termicamente enquanto as duas faces de suas extremidades são mantidas a diferentes temperaturas com T1 T2 A diferença linear de temperaturas leva a transferência de calor por condução no sentido positivo do eixo x Podemos pela Figura 5 observar que mantendo os valores de ΔT e Δx constantes variando A qx irá variar de forma diretamente proporcional à A aumentando A qx aumentará De modo análogo mantendo A e Δx constantes qx variará de forma diretamente proporcional à ΔT quanto maior ΔT maior será qx Entretanto mantendo ΔT e A constantes qx irá variar inversamente com Δx quanto maior for Δx menor será qx Assim podemos afirmar que 𝑞𝑥 𝛼 𝐴 𝑇 𝑥 1 Em que qx quantidade de calor transferido por condução W 𝛼 relação de proporcionalidade A área da seção transversal m2 ΔT variação da temperatura entre as faces K Δx variação da distância ao longo do eixo x m Essa proporcionalidade está diretamente relacionada com a capacidade que o meio tem de conduzir calor Por exemplo metal conduz calor melhor que o cerâmico ou o plástico Dessa forma podemos reescrever a equação 1 anterior estabelecendo uma constante de proporcionalidade entre as variáveis ficando 𝑞𝑥 𝑘 𝐴 𝑇 𝑥 2 Em que k é uma constante que representa a capacidade do meio de conduzir calor chamada de condutibilidade térmica WmK Sabemos que nenhum meio é totalmente homogêneo Assim para se estabelecer a condição de variação linear da temperatura devemos ter uma distância em x extremamente pequena Δx 0 Para essa distância a variação da temperatura embora seja também extremamente pequena ΔT 0 será linear 6 Reescrevendo a equação 2 para esses limites teremos a Lei de Fourier 𝑞𝑥 𝑘 𝐴 𝑇 𝑥 3 No caso de querermos determinar a quantidade de calor conduzida por unidade de área da seção transversal do meio teremos o fluxo de calor qx cuja expressão será 𝑞𝑥 𝐴 𝑞𝑥 𝑘 𝑇 𝑥 4 A Lei de Fourier como escrita na equação 3 implica que o fluxo térmico é uma grandeza direcional Em particular a direção é normal à área da seção transversal Assim a direção do escoamento de calor será sempre normal a uma superfície de temperatura constante chamada de superfície isotérmica Veja o detalhamento da Lei de Fourier para os três vetores espaciais no Anexo 2 Figura 6 Transferência de calor no espaço Fonte INCROPERA F P et al 2008 TEMA 2 EQUAÇÃO DA DIFUSÃO TÉRMICA Vimos que a transferência de calor por condução é a energia térmica em trânsito devido à diferença de temperatura entre um sistema e sua vizinhança no espaço e está diretamente relacionada à transferência de energia em um meio devido ao gradiente térmico Além disso estudamos que o mecanismo 7 físico é o movimento atômico e molecular randômico Agora vamos trabalhar os fundamentos relacionados a como o calor difunde através do sistema Primeiro vamos determinar o perfil de distribuição vetorial da temperatura no meio Lembrese de que o gradiente da temperatura em coordenadas cartesianas tem a seguinte expressão z k T y j T x i T T 1 Assim podese escrever a lei de Fourier como kA T q 2 O gradiente de temperatura é negativo pelo fato de T2 ser menor que T1 calor é transmitido de T1 para T2 Assim o sinal na equação também é negativo Agora vamos fazer o balanço de energia A equação geral é a seguinte energia entra energia sai energia gerada energia acumulada Considerando o sistema representado na Figura 6 temos que Energia que entra no sistema qx qy qz em que x k y z T qx y k x z T qy e z k x y T qz 3 Energia que sai do sistema qxx qyy qzz em que x x q q q x x x x y y q q q y y y y e z z q q q z z z z 4 Energia gerada dentro do volume de controle devido à conversão de outra forma de energia em térmica E g q x y z 5 Energia acumulada dentro do volume de controle x y z t T c p Ea 6 8 Aplicando na equação de balanço e usando a Lei de Fourier chegase à equação da difusão de calor por condução t T c q z z k T y y k T x k T x p 7 A equação anterior pode ser escrita na forma vetorial t T c q T k p 8 Para a resolução da equação da difusão devem ser aplicadas condições de contorno que são simplificações referentes à condutibilidade térmica e ao regime de escoamento Simplificações a k é constante t T k q T 1 2 sendo kcp a difusividade térmica b regime estacionário 0 q z z k T y y k T x k T x Acompanhe no Anexo 3 a equação da difusão para coordenadas cilíndricas e coordenadas esféricas TEMA 3 CONDUTIVIDADE TÉRMICA A partir da Lei de Fourier a condutividade térmica associada à condução na direção x é definida como 𝑘𝑥 𝑞𝑥 𝑇 𝑥 9 Da equação 9 podemos observar que para um dado gradiente de temperatura o fluxo de calor por condução varia de forma diretamente proporcional à condutividade térmica Em geral a condutividade térmica de um sólido é maior do que a de um líquido que por sua vez é maior do que a de um gás Isso ocorre em virtude do espaçamento entre as moléculas em função do grau de vibração molecular para cada estado físico 9 Para os sólidos a condutividade térmica é maior em metais 20 700 Wm K devido além da vibração molecular ao fato de os elétrons poderem se movimentar livremente Os materiais sólidos não metálicos não permitem o movimento de elétrons tendo simplesmente a vibração molecular o que faz com que sua condutividade térmica esteja entre 05 e 30 Wm K Os materiais sólidos isolantes térmicos são compostos de materiais de baixa condutividade térmica 004 Wm K devido não apenas a não permitirem o movimento dos elétrons mas também à quantidade de ar incorporado na estrutura interna Condutividade térmica e outras propriedades físicas de sólidos líquidos e gases são apresentadas no Anexo 4 Figura 7 Condução de calor em parede plana Fonte labvirtualequcpt TEMA 4 CONDUÇÃO EM PAREDE PLANA Na condução de calor unidimensional em uma parede plana a temperatura é uma função somente da coordenada x sendo o calor transferido exclusivamente nessa direção Começamos analisando as condições no interior da parede Em primeiro lugar determinamos a distribuição de temperaturas a partir da qual podemos então obter a taxa de transferência de calor por condução Aplicando a Lei de Fourier temos que 𝑞 𝑘 𝐴 𝑇 𝑥 𝑥2𝑇2 𝑥1𝑇1 10 Nessa equação temos que a condução unidimensional em parede plana simples ou seja composta apenas de um material é diretamente proporcional à 10 condutividade térmica k à área da seção transversal da parede A e à variação da temperatura ao longo da espessura x 𝑇 𝑥 Resolvendo a integral definida para os limites x1 com temperatura T1 e x2 com temperatura T2 teremos que 𝑞 𝑘 𝐴 𝑇2𝑇1 𝑥2𝑥1 𝑘 𝐴 𝑇 𝑥 11 Figura 8 Corte de uma parede composta isolamento térmico 3D Fonte Shutterstock No entanto como fica a análise para paredes compostas ou seja com mais de um material compondoas Para esse caso o melhor é fazer uma analogia entre a lei de Fourier e a lei de Ohm da eletricidade U Ri substituindose o potencial elétrico pela diferença de temperatura e a intensidade de corrente pelo fluxo de calor Da mesma maneira que uma resistência elétrica está associada à condução de eletricidade uma resistência térmica pode ser associada à condução de calor Definindo resistência como a razão entre um potencial motriz e a correspondente taxa de transferência vem da equação 10 que a resistência térmica na condução em uma parede plana é 𝑅 𝑇 𝑞 𝑥 𝑘𝐴 11 11 Figura 9 Condução de calor em parede plana composta Fonte Incropera F P et al 2008 Uma vez definida a resistência térmica podemos analisar a parede plana composta Tomando como base a lei de Fourier e a definição da resistência térmica temos que 𝑞 𝑇 𝑅 𝐶 𝐴 12 𝑞 𝑇4𝑇1 𝑅𝐴𝑅𝐵𝑅𝐶 13 de onde 𝑞 𝑇4𝑇1 𝑥𝐴 𝑘𝐴𝐴 𝑥𝐵 𝑘𝐵𝐴 𝑥𝐶 𝑘𝐶𝐴 14 TEMA 5 CONDUÇÃO EM SISTEMA RADIAL Considerando uma parede cilíndrica simples de material homogêneo a condutividade térmica constante e temperaturas uniformes nas superfícies mostradas a área da seção transversal é 2rL sendo L o comprimento do cilindro Partindo da Lei de Fourier temos que dr rL dT k dr kAdT qr 2 15 Figura 10 Condução de calor em parede cilíndrica simples Fonte INCROPERA F P et al 2008 12 Integrando a equação 15 temos r r kL T T qr 1 2 1 2 ln 2 16 É possível fazer uma análise semelhante para paredes cilíndricas compostas àquela feita para paredes planas compostas Usaremos para isso o mesmo conceito de resistência térmica Figura 11 Condução de calor em parede cilíndrica composta Fonte Incropera F P et al 2008 A equação da condução de calor para paredes cilíndricas compostas será 𝑞 𝑇4𝑇1 ln 𝑟2 𝑟1 2𝜋𝐿𝑘𝐴 𝑙𝑛𝑟3 𝑟2 2𝜋𝐿𝑘𝐵 𝑙𝑛𝑟4 𝑟3 2𝜋𝐿𝑘𝐶 17 NA PRÁTICA Veja a seguir algumas aplicações práticas do que foi visto nesta aula T1 T2 X1 X2 13 Aplicação 1 Determinar a transferência de calor por unidade de área ou seja o fluxo de calor em regime permanente através de uma placa homogênea de 40 mm de espessura de aço do tipo AISI 1010 cuja face interna está a uma temperatura constante de 40ºC e cuja face externa está a uma temperatura constante de 25ºC 𝑞 𝑘 𝐴 𝑇 𝑥 𝑇2𝑥2 𝑇1𝑥1 𝑘 𝐴 𝑇2 𝑇1 𝑥2 𝑥1 𝑞 𝐴 𝑘 𝑇2 𝑇1 𝑥2 𝑥1 Para a resolução do problema é necessário primeiro converter as unidades 40 mm 40 x 103 m 40C 40 273 313K 25ºC 25 273 298K Do Anexo 4 k 639 WmK 𝑞 𝐴 639 313 298 40 103 239625 𝑊 𝑚2 Aplicação 2 Sabendo de uma parede plana composta de uma camada interna de reboco de gesso branco e areia de 5 mm seguida de tijolo comum de doze furos de 9 x 9 x 19 cm e reboco externo de cimento e areia de 20 mm determinar o fluxo de calor unidirecional que passa por essa parede sabendo que a temperatura externa média é de 30ºC e a interna é mantida a 24ºC 14 Sabendo que 𝑞 𝑇4𝑇1 𝑥𝐴 𝑘𝐴𝐴 𝑥𝐵 𝑘𝐵𝐴 𝑥𝐶 𝑘𝐶𝐴 temos que o fluxo de calor será 𝑞 𝐴 𝑇4 𝑇1 𝑥𝐴 𝑘𝐴 𝑥𝐵 𝑘𝐵 𝑥𝐶 𝑘𝐶 Sabendo também que o fluxo de calor tem unidade de medida Wm2 e que a temperatura tem unidade de medida K há a necessidade de fazer primeiro a conversão de unidades para depois aplicar os valores na equação Observe que os dados da condutividade térmica são obtidos do apêndice 4 k gesso branco e areia 022 WmK k tijolo comum 072 WmK k cimento e areia 072 WmK T1 30 273 303K T4 24 273 297K ΔxA 20 x 103m ΔxB 9 x 102m ΔxC 5 x 103m Assim aplicando na equação teremos 𝑞 𝐴 297 303 20 103 072 9 102 072 5 103 022 𝑞 𝐴 6 0175 3428 𝑊 𝑚2 Observe que o sinal negativo infere o sentido de fluxo de calor do lado externo da parede para o lado interno dela Aplicação 3 Uma tubulação de aço inoxidável do tipo AISI 304 de meia polegada de diâmetro interno e com 1 mm de espessura de parede é isolado externamente com manta de fibra de vidro para isolamento de dutos com espessura de 40 mm Sabendo que dentro desse duto circula ar aquecido a 120C e que a temperatura ambiente externa à tubulação é de 25ºC determinar a quantidade de calor perdida para o meio externo por metro de tubulação 15 Como se trata de parede composta de dois componentes a tubulação e o revestimento externo usaremos para resolver a equação 𝑞 𝑇3 𝑇1 𝑙𝑛𝑟2 𝑟1 2𝜋𝐿𝑘𝐴 𝑙𝑛𝑟3 𝑟2 2𝜋𝐿𝑘𝐵 Para usarmos a equação teremos novamente de fazer as conversões das unidades Primeiro temos que a tubulação é de ½ de diâmetro interno Como raio é a metade do diâmetro r1 será metade de ½ ou seja ¼ Como 1 254 x 102 m 𝑟1 1 4 254 102 0635 102𝑚 Como a espessura da tubulação de aço AISI 304 é de 1 mm r2 r1 1103 0635102 1103 0735102 m Como a espessura da manta é de 40 mm r3 r2 40103 0735102 40103 4735102 m Como pede a quantidade de calor perdida por metro de tubulação temos que L 1 m T1 120 273 393K e T3 25 273 298K Do Apêndice 4 k aço AISI 304 teremos valor para 200K e para 400K Podemos adotar o valor de 400K Assim k aço AISI 304 166 WmK k fibra de vidro 0038 WmK 𝑞 298 393 𝑙𝑛 0735 102 0635 102 2 𝜋 1 166 𝑙𝑛 4735 102 0735 102 2 𝜋 1 0038 95 0146 1043 186 0238 1215 𝑊 16 SÍNTESE Após esta aula você adquiriu conhecimentos gerais sobre a transferência de calor por condução Expanda seus conhecimentos lendo os anexos das rotas de aprendizagem assim como pesquisando sobre o assunto em outras literaturas REFERÊNCIAS BIRD R B STEWART W E LIGHTFOOT E N Fenômenos de transporte 2 ed Rio de Janeiro LTC 2004 INCROPERA F P et al Fundamentos da transferência de calor e massa 6 ed Rio de Janeiro LTC 2008 MORAN M J SHAPIRO H N Princípios da termodinâmica para engenharia 6 ed Rio de Janeiro LTC 2009 SISSON L E PITTS D R Fenômenos de transporte Rio de Janeiro Guanabara Dois 1996