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Pedagogia ·
Álgebra 1
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Preciso que os exercicios sejam resolvidos demonstrando todos os calculos e formulas ate o resultado final ex 224 Digitado ou manuscrito legivel Álgebra Linese 03042025 autovalores distintos 1SejaT VVmoperadalinea Porquen I Dom Dadoe autoretores anociados não Un vamos montrar Bar de Indução O caso rea é obvio pois 253 é um conjunto L I Hipe de Indução Suponha que o resultado é valido para um certo Kei into é 15 52 3 é um conjunto L I Ter de Indução Vamos prova que a hipótese de indução implica o resultado válido para K1 Seja Us o autovetor anociado a tr e considere a combinação linear Le G QU Qu Ukz 0 aplicando na igualdade temos TaY Q 0 linearidade de T GTY QTt QuT 0 Tal X V 120 X5 QXY Ynk 2 0 Vamos multiplicar a eq 1 por Tra e subtrair da eq 2 temos a XG Q m X D y Xy kyXk 2 4k k 2 Xk1 Ukt Gy xy kyXk 2 Porhipóted induI ent Qix 0 pai i não distintos então Xks 0 para i K Donde 4 Q2 Qu 0 Subritituando enes valores de Q na eq teme k 1 1 0 Porém Ou é autoveta de Te OFO Logo Ques 0 Portanto Q kks 0 Inognificaqu Patento seguporindução o e E 12 Sejam T VAV um operador linear em um espaço de dimemão finita e e p duas bases distintas de V Marke que def T detET Demonstração Sejam MJP MJ a mathing de mudange de bone de o puz p e a matriz de mudança de base de B para Q respectivamente Anim IIIMPEIMSbemque II nes Aplicando a detaminante temos def T def MJG IM D propriedade do produto detMa defT detDIMA def detitl determinante de inverno e M detI Get T Portanto def T def IT 13 Se Anem é diagonalizável montre que o detaminante de A é o produto de seus autovalores DemontençãoSe A é diagonalizável exinte nautovetos distintos pin e 2 n autoralous distintos t Xn Neto ban B temos TASI que é uma matriz diagona logo 0 In def EAD X Xn Pela 127 questão temos que defla X n para qualquer base 14Morte que umoperadoSinez que comuta com qualquer operado neste ① Na condições do item mostre que na verdade é um múltiplo escolar do operador identidade into é existe um múmerok tal que T KI onde I é a operados identidade nene espaço 15 Dizse que um operador linear T VDV é idempotente se T T 2 Seja Tidempotante Acre seus autovalores 16D Encontre uma mathing AaxzF0 tel que DIR seja idempotente C Montre que se um operador finea T e idempotente então e diagonalizável Demonstraç 16 Seja V R Sejam 5 Ya e aiya Se f0 2x X X y XY YoYa mostra que f é um produto interno Demonstração Simetria ft 2 2X X X yz Xay YoY comutatividade de IR 2x2 X XaYa X sYz YaYs fu 5 Donde fl5El fIE 5 Vo O EIR Positividade fluEl 2X X X Ye YY YoY 1 definição de potencia 2x 2Xy y 2 2x X X X X 2X ys yz Note que X y1 x 2Xyy y X X yc 30 pois qualque número a ea temos a 250 Além dino X Xtys O D X 0 e y 0 Petributividade Seja E Xz ya temos f 5 2 fX Xy ys yz a Ya definição de f 2 X Xz Xz X Xyyz Xyys yz y yz Ya distributividade dos IR CIXXYTXYYYY neagnO f 2 fu 52 Então f0t e f5 f15 52 Homogeneidade Dado XEIR temos fx e fX xys exa Ya 2XXXz xXyz Xaxy XysYa X 2XXa X Xya X2Ys XyYa X2X X2 X Ya Xayz ysya Xfg Portanto f é um produto interno 17 Demonstre a desigualde de Schwarty KIE IIIll IIll Demonstração Primeiro suporta que es são L D au seja existe QER tel que E QG Anim K WIRomogeneidadedo II 15 80 k1 V 5o a V V 0 II Wall II Ell Donde 15 E31 Ill IIell Agora suponha que Je não L I Logo U KEFO FKER Logo pela positividade OE E O a A distributividade na primeira entrada 5 5 4 k G Q distributividade na segunda entrada 5 5 a5 5 52 25 vimetria do P I 2x E 5 Note que que é uma eq do C grau em o X é o Ema equ não pomi riz real pois é maior que zero Anim o discriminante é menor que zeo 084ac 250 44E vid 445 22 4E7 8 5 45 5 41 E5 5 8 Aplicando a raiz na última desigualdade temos E5 5 VVE Fao Kl definição de norma D IIIIII511 K el Anim completamos a demonstração 187 Demonntre a desigualdade triangular In oll Hell 1011 mantaçãoPordefiniçãotemlibutiva e primeira entrada u u 0 50 u 0 distributividade nasegunda entrada a u 4 03 0 43 10 07 u m 2u 0 0 07 adIal Fat u u 2ku 01 003 desigualdade de Schwartz u u 21ull 10 0 0 Mull 21 11012 definição de normal Hull 1012 a produto notiral latd2 ataabb2 Fabei EntãoOollutol Hell 1101112 parando a ozing temos Ilu all Ilull 1011
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Preciso que os exercicios sejam resolvidos demonstrando todos os calculos e formulas ate o resultado final ex 224 Digitado ou manuscrito legivel Álgebra Linese 03042025 autovalores distintos 1SejaT VVmoperadalinea Porquen I Dom Dadoe autoretores anociados não Un vamos montrar Bar de Indução O caso rea é obvio pois 253 é um conjunto L I Hipe de Indução Suponha que o resultado é valido para um certo Kei into é 15 52 3 é um conjunto L I Ter de Indução Vamos prova que a hipótese de indução implica o resultado válido para K1 Seja Us o autovetor anociado a tr e considere a combinação linear Le G QU Qu Ukz 0 aplicando na igualdade temos TaY Q 0 linearidade de T GTY QTt QuT 0 Tal X V 120 X5 QXY Ynk 2 0 Vamos multiplicar a eq 1 por Tra e subtrair da eq 2 temos a XG Q m X D y Xy kyXk 2 4k k 2 Xk1 Ukt Gy xy kyXk 2 Porhipóted induI ent Qix 0 pai i não distintos então Xks 0 para i K Donde 4 Q2 Qu 0 Subritituando enes valores de Q na eq teme k 1 1 0 Porém Ou é autoveta de Te OFO Logo Ques 0 Portanto Q kks 0 Inognificaqu Patento seguporindução o e E 12 Sejam T VAV um operador linear em um espaço de dimemão finita e e p duas bases distintas de V Marke que def T detET Demonstração Sejam MJP MJ a mathing de mudange de bone de o puz p e a matriz de mudança de base de B para Q respectivamente Anim IIIMPEIMSbemque II nes Aplicando a detaminante temos def T def MJG IM D propriedade do produto detMa defT detDIMA def detitl determinante de inverno e M detI Get T Portanto def T def IT 13 Se Anem é diagonalizável montre que o detaminante de A é o produto de seus autovalores DemontençãoSe A é diagonalizável exinte nautovetos distintos pin e 2 n autoralous distintos t Xn Neto ban B temos TASI que é uma matriz diagona logo 0 In def EAD X Xn Pela 127 questão temos que defla X n para qualquer base 14Morte que umoperadoSinez que comuta com qualquer operado neste ① Na condições do item mostre que na verdade é um múltiplo escolar do operador identidade into é existe um múmerok tal que T KI onde I é a operados identidade nene espaço 15 Dizse que um operador linear T VDV é idempotente se T T 2 Seja Tidempotante Acre seus autovalores 16D Encontre uma mathing AaxzF0 tel que DIR seja idempotente C Montre que se um operador finea T e idempotente então e diagonalizável Demonstraç 16 Seja V R Sejam 5 Ya e aiya Se f0 2x X X y XY YoYa mostra que f é um produto interno Demonstração Simetria ft 2 2X X X yz Xay YoY comutatividade de IR 2x2 X XaYa X sYz YaYs fu 5 Donde fl5El fIE 5 Vo O EIR Positividade fluEl 2X X X Ye YY YoY 1 definição de potencia 2x 2Xy y 2 2x X X X X 2X ys yz Note que X y1 x 2Xyy y X X yc 30 pois qualque número a ea temos a 250 Além dino X Xtys O D X 0 e y 0 Petributividade Seja E Xz ya temos f 5 2 fX Xy ys yz a Ya definição de f 2 X Xz Xz X Xyyz Xyys yz y yz Ya distributividade dos IR CIXXYTXYYYY neagnO f 2 fu 52 Então f0t e f5 f15 52 Homogeneidade Dado XEIR temos fx e fX xys exa Ya 2XXXz xXyz Xaxy XysYa X 2XXa X Xya X2Ys XyYa X2X X2 X Ya Xayz ysya Xfg Portanto f é um produto interno 17 Demonstre a desigualde de Schwarty KIE IIIll IIll Demonstração Primeiro suporta que es são L D au seja existe QER tel que E QG Anim K WIRomogeneidadedo II 15 80 k1 V 5o a V V 0 II Wall II Ell Donde 15 E31 Ill IIell Agora suponha que Je não L I Logo U KEFO FKER Logo pela positividade OE E O a A distributividade na primeira entrada 5 5 4 k G Q distributividade na segunda entrada 5 5 a5 5 52 25 vimetria do P I 2x E 5 Note que que é uma eq do C grau em o X é o Ema equ não pomi riz real pois é maior que zero Anim o discriminante é menor que zeo 084ac 250 44E vid 445 22 4E7 8 5 45 5 41 E5 5 8 Aplicando a raiz na última desigualdade temos E5 5 VVE Fao Kl definição de norma D IIIIII511 K el Anim completamos a demonstração 187 Demonntre a desigualdade triangular In oll Hell 1011 mantaçãoPordefiniçãotemlibutiva e primeira entrada u u 0 50 u 0 distributividade nasegunda entrada a u 4 03 0 43 10 07 u m 2u 0 0 07 adIal Fat u u 2ku 01 003 desigualdade de Schwartz u u 21ull 10 0 0 Mull 21 11012 definição de normal Hull 1012 a produto notiral latd2 ataabb2 Fabei EntãoOollutol Hell 1101112 parando a ozing temos Ilu all Ilull 1011