Demonstrações e Métodos de Prova em Matemática

Lembrese O fato de a conclusão desta sentença condicional 0 2 ser falsa é irrelevante para o valorverdade da sentença condicional pois uma condicional com uma hipótese falsa é diretamente verdadeira EXEMPLO 9 Demonstre que ao menos 4 de 22 dados escolhidos devem cair no mesmo dia da semana Portanto 2b² a² DEMONSTRAÇÕES DE EQUIVALÊNCIAS Para demonstrar um teorema que é uma sentença bicondicional ou seja que é da forma p q mostramos que p q e p q são ambas verdadeiras A validade desse método baseiase na tautologia p q p q q p CONTRAEXEMPLOS Na Seção 13 dissemos que para demonstrar que uma sentença da forma x Px é falsa precisamos apenas encontrar um contraexemplo que é um exemplo de x para o qual Px é falsa Quando recebemos uma sentença da forma x Px a qual acreditamos ser falsa ou não conseguimos demonstrar por nenhum método procuramos por contraexemplos Vamos ilustrar o uso de contraexemplos no Exemplo 14 Demonstrarção Suponha que n² é positivo Como a sentença condicional Se n é positivo então n² é positivo é verdadeira podemos concluir que n é positivo Solução Seja Pn a proposição n é positivo e Qn n² é positivo Então nossa hipótese é Qn A sentença Se n é positivo então n² é positivo é a sentença Qn Pn Do hipótese Qn podemos concluir que n Pn é verdadeira como regra válida de inferência Pelo contrário este é um exemplo da falácia de afirmação da conclusão matemática que pode ser usada para demonstrar resultados que valem para todos os inteiros positivos No Capítulo 5 vamos introduzir a noção de demonstrações combinatórias Nesta seção introduzimos muitos métodos para demonstrar teoremas da forma xPx Qx incluindo demonstrações diretas e demonstrações por contraprova Existem muitos teoremas desse tipo que têm suas demonstrações facilmente construídas pelo método direto através de hipóteses e definições do teorema No entanto é frequentemente difícil encontrar um teorema e usar uma demonstração por contraprova ou uma demonstração por contradição ou alguma outra técnica de demonstração Na Seção 17 vamos descrever várias possibilidades que podem ser usadas para encontrar demonstrações Mostre que as proposições P1 P2 P3 P4 e P5 podem ser equivalentes demonstrando que as proposições condições são verdadeiras Encontre um contraexemplo para a proposição todo número inteiro positivo pode ser escrito como a soma dos quadrados de três números inteiros Compare o que você mesmo dos números reais isto é comparando dentro de outra maneira P1 P2 Pn q pode ser usado como regra de inferência Isso mostra que o condicional original com a hipótese formado por uma disjunção das proposições P1 P2 Pn deve ser comprovado verificandose cada uma das n condicionais p1 q i 1 2 n individualmente Esse argumento é chamado de demonstração por casos EXEMPLO 7 Mostre que x y² x² y² qualquer que sejam x e y reais positivos e é um número real com 0 r 1 EXEMPLO 8 É verdade que todo número inteiro positivo n pode ser escrito como a soma de 18 quartas potências de inteiros EXEMPLO 9 O que está errado com esta demonstração Demonstrações de Existência Muitos teoremas são afirmações de que determinados objetos de certo tipo existem Um teorema desse tipo é uma proposição da forma x Px em que P é um predicado Uma demonstração de uma proposição da forma x Px é chamada de demonstração de existência Existem muitos meios de demonstrar um teorema desse tipo Às vezes uma demonstração de existência de x Px pode ser dada encontrandose um elemento a tal que Pa é verdadeira Essas demonstrações de existência são chamadas de construtivas Também é possível dar uma demonstração de existência que seja não construtiva ou seja não encontramos um elemento a tal que Pa é verdadeira mas podemos provar que x Px é verdadeira de alguma outra maneira Um método comum de fornecer uma demonstração de existência não construtiva é usar a demonstração por contradição o mostrar que a negação da quantificação existencial implica um contradizer FIGURA 1 a Chomp o Biscoito na Ponta Superior Esquerda é Envenenado b Três Movimentos Possíveis que a grade original é m n Agora suponha que o primeiro jogador comece o jogo começando exatamente o biscoito no canto direito inferior Existem duas possibilidades esse é o primeiro movimento de uma estratégia vencedora para o primeiro jogador ou o segundo jogador pode fazer uma jogada que seja o primeiro movimento de uma estratégia vencedora para o segundo jogador Nesse segundo caso em vez de comer o biscoito no canto inferior direito o primeiro jogador poderia ter feito o mesmo movimento que o segundo jogador fez como seu primeiro movimento de uma estratégia vencedora e então continuar seguindo aquela estratégia vencedora Isso garantiria uma vitória para o primeiro jogador EXEMPLO 13 Mostre que se a e b são números reais e a 0 então existe um único número real r tal que ar b 0 Solução Primeiro note que o número real r ba é uma solução para ar b 0 pois ba b 0 Consequentemente um número real r existe para o qual ar b 0 Esta é a parte de existência da demonstração Segundo suponha que s é um número real tal que as b 0 Então ar b 0 implica que r ba Subtraindo de ambos os lados encontramos rs 0 par assim como se s 0 o que par qualquer dos dois pares isso não funciona Raciocínio direto e para trás Qualquer que seja o método escolhido você precisa de um ponto de partida para sua demonstração Para começar uma demonstração direta de um seu axioma e conhecendo teoremas você pode construir uma demonstração usando uma sequência de passos que nos leva à conclusão Esse tipo mais comum de raciocínio usado para demonstrar resultados relativamente simples Similarmente com raciocínios indiretos você pode chegar com a negação da conclusão e usando uma sequência de passos obter a negação das premissas Exemplo 16 No Exemplo 10 da Seção 16 demonstramos que 2 é irracional Agora conjecturamos que 3 é irracional Podemos adaptar a demonstração do Exemplo 10 da Seção 16 para mostrar que 3 é irracional Exemplo 17 No Exemplo 14 da Seção 16 mostramos que a sentença Todo número inteiro positivo pode ser escrito como a soma de dois quadrados de inteiros é falsa contradizendo um contraexemplo Podemos usar triomínos retos para cobrir um tabuleiro standard Lembrese A equação x² y² z² tem infinitas soluções inteiras x y e z essas soluções são chamadas de tripletas pitagóricas e correspondem aos comprimentos dos três lados de triângulos retos com comprimentos inteiros Veja o Exercício 30 A conjectura 3x 1 tem uma história interessante e tem atraído a atenção dos matemáticos desde a década de 1950 Suponha que cinco números ímpares e quatro pares estão organizados em volta de um círculo Entre dos números ímpares você insere um 0 entre dos números diferentes ímpares e insira por último pares novos bons Então apague os números originais Mostre que quando apaga esse movimento não consegue produzir zeros Formule uma conjectura sobre os dígitos decimais que aparecem como dígito final da quarta potência de um número Formule uma conjectura sobre os dígitos decimais finais do quadrado de um número inteiro 106 1 Os Fundamentos Lógica e Demonstrações 1106 107 Exercícios Complementares 108 1 Os Fundamentos Lógica e Demonstrações 1108 teoremas Discuta os objetivos e as aplicações da demonstração automatizada de teoremas e o progresso feito no desenvolvimento de provedores automáticos Grande parte da matemática discreta é voltada para o estudo das estruturas discretas usadas para representar objetos discretos Muitas estruturas discretas importantes foram construídas usando conjuntos que são coleções de objetos Entre as estruturas discretas construídas com conjuntos temos a combinação coleção não ordenada de objetos extremamente utilizada em contagem relações conjuntos de pares ordenados que representam as relações entre objetos gráficos conjuntos de vértices e arcos que concentram esses vértices e as máquinas de estado finito usadas como modelo de máquinas computacionais Esses são aspectos clássicos que se estendem a outros campos Os objetos no conjunto são chamados de elementos ou membros do conjunto Dizse que os elementos pertencem ao conjunto Introduziremos agora a notação usada para descrever pertinência em conjuntos Escrevemos a A para indicar que a é um elemento do conjunto A Note que as letras minúsculas são geralmente usadas para indicar elementos e as maiúsculas para indicar conjuntos N 0 1 2 3 o conjunto dos números naturais FIGURA 1 Diagrama de Venn para o Conjunto de Vogais FIGURA 2 Diagrama de Venn que mostra que A é um Subconjunto de B Uma maneira de mostrar que dois conjuntos têm os mesmos elementos é mostrar que cada conjunto é um subconjunto do outro Em outras palavras podemos mostrar que se A B e B A então A B Isto se torna uma maneira útil de mostrar que dois conjuntos são iguais Ou seja A B em que A e B são conjuntos e se somente se x x A x B Os conjuntos podem ter outros conjuntos como elementos Por exemplo todos os conjuntos A a b a b B x x é um subconjunto do a b Note que esses dois conjuntos são iguais ou seja A B Note também que a A mas a A Usamos conjuntos em muitos problemas de contagem e para tais aplicações precisamos discutir o tamanho dos conjuntos EXEMPLO 14 Qual o conjunto das partes do conjunto vazio Qual o conjunto das partes do conjunto Solução O conjunto vazio tem exatamente um subconjunto ou seja ele mesmo Consequentemente P O conjunto tem exatamente dois subconjuntos ou seja e o próprio conjunto Assim P Se um conjunto tem n elementos então o seu conjunto de partes tem 2ⁿ elementos Demonstrarmos esse fato de várias maneiras em seções subsequentes do texto DEFINIÇÃO 9 Considere A e B como conjuntos O produto cartesiano de A e B indicado por A B é o conjunto de todos os pares ordenados a b em que a A e b B Assim A B a b a A b B EXEMPLO 15 Considere A como o conjunto de todos os estudantes em uma universidade e B como o conjunto de todos os cursos oferecidos por essa universidade Qual o produto cartesiano de A B Solução O produto cartesiano de A B consiste em todos os pares ordenados da forma a b em que a é um estudante da universidade b um curso oferecido por essa universidade O conjunto A B pode ser usado para representar todas as possíveis matrículas em um curso da universidade Usando Notação de Conjuntos com Quantificadores Às vezes restringimos o domínio de uma sentença determinada explicitamente fazendo uso de uma notação específica Por exemplo x SPx indica a quantificação universal de Px todos os elementos do conjunto S Em outras palavras x SPx representa x S Px Exemplo 10 Qual o significado das proposições x ℝx² 0 e x ℤx² 1 Solução A proposição x ℝx² 0 afirma que para todo número real x x² 0 Essa proposição pode ser expressa como O quadrado de todo número real é não negativo Essa é uma proposição verdadeira A proposição x ℤx² 1 afirma que existe um número inteiro x tal que x² 1 Essa proposição pode ser expressa como Há um número inteiro cujo quadrado é 1 Isto também é verdadeiro pois x 1 é tal número inteiro assim como 1 Exercícios 1 Liste todos os elementos dos conjuntos abaixo a x x um número real tal que x11 11 b x x é um número inteiro positivo menor que 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 c x x é um número inteiro x 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 d Use uma notação de construção de conjuntos para dar uma descrição de cada um dos conjuntos abaixo a 0 3 9 12 b 1 2 3 c x x é 1 ou um número inteiro maior que 2 d m n o e Determine se cada um dos pares dos conjuntos a seguir são iguais De cada um dos conjuntos abaixo determine se e é um elemento do conjunto 7 Determine se cada uma das proposições abaixo é verdadeira ou falsa a ℕ b ℝ c d e 0 f 0 g 0 0 h Determine se cada uma das proposições abaixo é verdadeira ou falsa a b x c x d 0 0 e 0 f 0 0 U A B está sombreado TABELA 1 Identidades de Conjuntos EXEMPLO 10 Demonstre que A B A B TABELA 2 Uma Tabela de Pertinência para a Propriedade Distributiva FIGURA 5 A União e a Interseção de A B e C Usamos a notação A1 cap A2 cap ldots cap An bigcapi1n Ai para indicar a interseção dos conjuntos A1 A2 ldots An Ilustramos as uniões e interseções generalizadas com o Exemplo 16 EXEMPLO 16 Considere Ai i i 1 i 2 ldots Então bigcupi4infty Ai bigcupi1infty i i 1 i 2 ldots 1 2 3 ldots e bigcapi1infty Ai n n 1 n 2 ldots Podemos estender a notação que introduzimos para uniões e interseções a outras famílias de conjuntos Em particular podemos usar a notação A1 cup A2 cup ldots cup An bigcupi1n Ai para indicar a união dos conjuntos A1 A2 ldots An Semelhantemente a interseção desses conjuntos pode ser indicada por A1 cap A2 cap ldots cap An bigcapi1n Ai Representação Computacional de Conjuntos Há várias maneiras de representar conjuntos usando um computador Um método é juntar os elementos do conjunto de forma não ordenada Entretanto se isso for feito as operações para computar a união interseção ou diferença de dois conjuntos podem demorar muito pois cada uma dessas operações exigiria uma grande busca pelos elementos Apresentamos um método para armazenar elementos usando uma ordem arbitrária dos elementos do conjunto universo Esse método de representar conjuntos torna mais fácil a combinação de conjuntos em computadores Suponha que o conjunto universo U seja finito e de tamanho razoável para que o número de elementos de U não seja maior que a memória do computador e ser usado Primeiramente escrever um conjunto A subset U como uma cadeia de bits de extensão n em que i é um bit nessa cadeia i em que ai pertence a A e ai não pertence a A O Exemplo 18 irá mostrar esta ideia EXEMPLO 10 Considere U 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 em que a ordem dos elementos de U crescente ou seja ai i Quais cadeias de bits representam o subconjunto de números inteiros ímpares em U ou subconjunto dos números inteiros não excedentes a 5 em U Para obter a cadeia de bits para a união e interseção de dois conjuntos aplicamos os operações booleanas de lógica binária nas cadeias de bits que representam os dois conjuntos O bit na i ésima posição da união A cup B é 1 sem dois bits na i ésima posição das duas cadeias for 1 ou ambos e é 0 quando ambos os bits forem 0 Assim a cadeia de bits para a união é o operador OR da cadeia de bits para os dois conjuntos O bit na i ésima posição da cadeia de bits da interseção é 1 quando os bit na posição correspondentes das duas cadeias forem 1 0 quando um dos dois bits for 0 ou ambos Assim a cadeia de bits para a interseção é o operador AND das cadeias de bits para esses dois conjuntos EXEMPLO 20 As cadeias de bits para os conjuntos 1 2 3 4 5 e 1 3 5 7 9 são 11 1100 0000 e 10 1010 1010 respectivamente Use as cadeias de bits para encontrar a união e a interseção desses conjuntos Solução A cadeia de bits para a união desses conjuntos é 11 1100 0000 cup 10 1010 1010 11 1110 1010 que corresponde ao conjunto 1 2 3 5 7 9 A cadeia de bits para a interseção desses conjuntos é 11 1100 0000 cap 10 1010 1010 11 1100 0000 que corresponde ao conjunto 1 3 5 Encontre conjuntos A e B sendo A 1 5 7 8 B A 2 10 e A B 3 6 9 Encontre UA A e N A e para todo número inteiro positivo i U i i1 i2 Figura 2 A Função Mapeia A para B Uma função f A B pode também ser definida em termos de uma relação de A para B Recorde a Seção 21 em que uma relação de A para B é apenas um subconjunto de A B Uma relação de A para B que contém um e apenas um par ordenado a b para cada elemento a A define uma função f de A para B Essa função é definida pela determinação fa b em que a b é o único par ordenado na relação que tem a como seu primeiro elemento Definição 2 Se f é uma função de A para B dizemos que A é o domínio de f e B é o contradomínio de f Se fa b dizemos que b é a imagem de a e a é a imagem inversa de b A imagem de f o conjunto junto com todas as imagens dos elementos de A Além disso se f é uma função de A para B dizemos que f mapeia A para B A Figura 2 representa uma função f de A para B Quando definimos uma função especificamos seu domínio seu contradomínio e o mapeamento dos elementos no domínio e no contradomínio Essas funções são iguais quando dois domínios contêm os mesmos elementos no seu contradomínio Note que trocamos o domínio ou o contradomínio de uma função então obtemos uma função diferente Os exemplos de 1 a 5 fornecem exemplos de funções Em cada caso descrevemos o domínio o contradomínio o conjunto imagem e as determinações de valores para os elementos do domínio Exemplo 3 Considere f como a função que determina os dois últimos bits de uma cadeia de bits de extensão 2 ou maior Por exemplo f10110 10 Então o domínio de f é o conjunto de todas as cadeias de bits de extensão 2 ou mais e o contradomínio e o conjunto imagem são o conjunto 00 01 10 11 Exemplo 4 Considere f Z Z como a função que determina o quadrado de um número inteiro para este inteiro Então fx x² em que o domínio de f é o conjunto de todos os inteiros o contradomínio de f todos os números inteiros e o conjunto imagem de f o conjunto de todos os inteiros que são quadrados perfeitos ou seja 0 1 4 9 Exemplo 5 O domínio e o contradomínio de funções são geralmente especificados em linguagem computacional Por exemplo o enunciado em Java int floorfloat real e o enunciado de Pascal function floorx real integer ambos afirmam que o domínio dessa função é o conjunto dos números reais e seu contradomínio o conjunto dos números inteiros Duas funções com valores reais com o mesmo domínio podem ser somadas e multiplicadas Definição 4 Seja uma função do conjunto A para o conjunto B e seja S um subconjunto de A A imagem de S sob a função f é o subconjunto de B que é formado pelas imagens dos elementos de S Indicamos a imagem de S por fS então fS t t S t fs Usamos também a notação abreviada fs s S para indicar tal conjunto Lembrese A notação fS para a imagem do conjunto S sob a função f potencialmente ambígua Aqui fS indica um conjunto e não o valor da função f para o conjunto S Exemplo 7 Considere A a b c e e B 1 2 3 4 com fa 2 fb 4 fd 1 e fe 1 A imagem do subconjunto S b c e do conjunto fS 1 4 Figura 3 Uma Função Injetora Figura 4 Uma Função Sobrejetiva Figura 5 Exemplos de Tipos Diferentes de Correspondências Uma bijeção é chamada inversível pois podemos definir uma função inversa Uma função é não inversível se não é uma bijeção porque não existe a função inversa A Composição das Funções f e g FIGURA 8 O Gráfico de fn 2n 1 de Z para Z FIGURA 10 Gráficos das Funções a Maior Inteiro Menor Que e b Menor Inteiro Maior Que TABELA 1 Propriedades Úteis das Funções Maior Inteiro Menor Que e Menor Inteiro Maior Que n é um inteiro EXEMPLO 29 f1 1 f2 11 2 2 f6 6 123456 720 f0 123n 1 f0 0 1 1 Por que não é uma função de R para R se a fx 1x b fx x2 c fx xx 1 14 Determine se f Z Z Z é sobrejetiva se a fm n m n b fm n n m c fm n m n 1 d fm n m e fm n m n 40 Considere como uma função de A para B Considere S e T como subconjuntos de B Mostre que a fS T fS fT b fS T fS fT Demonstre ou negue cada uma das proposições abaixo sobre funções que o teto a x x para todo número real x e y y y para todo número real x e y b fz z4 para todo número real x 70 Demonstre que x é um número real positivo então x x 71 Considere x um número real Mostre que 3x x x 72 Um programa escrito para avaliar uma função pode não produzir o valor correto de função para todos os elementos do domínio dessa função Por exemplo um programa pode não produzir um valor correto porque o cálculo dessa valor pode levar a um laço infinito ou a um overflow Em resumo matematicamente queremos frequentemente discutir funções que estão definidas apenas para um subconjunto de números reais como x x c e assim 73 Para cada uma das funções parciais a seguir determine seu domínio contradomínio domínio de definição e o conjunto 74 Mostre que uma função parcial de A para B pode ser vista como uma função de F de A para B u em que u não é um elemento de B e fa u se a não pertence a domínio de f 75 Usando a construção co encontre a função f correspondente a cada função parcial no Exercício 73 76 Mostre que seu conjunto S é um conjunto cada um com m elementos em que m é um número inteiro positivo então há uma bijeção entre S e o conjunto 1 2 m 77 Mostre que um polinomial f Z Z Z com m n m n 2m n 12 se injeta e sobrejetiva 78 Mostre que quando você substitui 3 1 por corelação de fv 3m 1 por coerção de um lado direito da fórmula para a função fm no Exercício 77 você obtém uma função não iterativa e polinomial Z Z Z uma função aberta sempre que houver uma função iterativa e polinomial Q Q Q