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Engenharia Ambiental ·
Cálculo 1
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21102023 0833 aboutblank aboutblank 11 Avaliação Final Discursiva Individual Cod883782 Código da prova 72929667 Disciplina Cálculo Diferencial e Integral I MAD101 Período para responder 19102023 03112023 Peso 400 1 Em matemática um ponto crítico também chamado de ponto estacionário é um ponto no domínio de uma função onde a primeira derivada é nula Os pontos críticos serão sempre pontos de máximos ou mínimos relativos ou pontos de inflexão podendose descobrir em que categoria o ponto cai analisando a sua segunda derivada a curvatura da função Em matemática a análise de máximos e mínimos pontos críticos possui diversas aplicações Uma delas é na área fabril Sendo assim imagine que o custo de fabricação de x unidades de um produto é dado por Cx 3x³ 441x 192 Quantas unidades deverão ser fabricadas para que o custo médio seja mínimo lembre de mostrar e provar que a quantidade encontrada é mínimo 2 Informalmente dizemos que uma função é contínua quando seu gráfico não apresenta interrupções ou seja seu gráfico pode ser traçado sem que o lápis se afaste do papel Na disciplina de Cálculo Diferencial e Integral o conceito de continuidade está ligado ao de limite de uma função em um ponto específico Desta forma verifique se a função a seguir é contínua no ponto x 1 21102023 0832 aboutblank aboutblank 15 Avaliação II Individual Cod883781 Código da prova 72929672 Disciplina Cálculo Diferencial e Integral I MAD101 Período para responder 19102023 03112023 Peso 150 1 No cálculo a derivada em um ponto de uma função yfx representa a taxa de variação instantânea de y em relação a x neste ponto Um exemplo típico é a função velocidade que representa a taxa de variação derivada da função espaço Seja a derivada do produto entre fx x² 2 e gx 4 x analise as possibilidade I 3x² 8x 2 II 3x² 8x 2 III 3x² 8x 2 IV 3x² 8x 2 Assinale a alternativa CORRETA A Somente a opção IV está correta B Somente a opção III está correta C Somente a opção I está correta D Somente a opção II está correta 2 A derivada é a medida da declividade de uma reta tangente a cada ponto da função de onde surgiu ela também é uma função que fornece valores relativos de muita utilidade O ângulo da reta tangente ao ponto da curva inicial pode ser encontrado através da derivada pois a derivada fornece o valor da tangente deste ângulo Em outros momentos é fundamental realizar a derivada de uma função mais vezes Desta forma sendo a função gx cos2x x2 assinale a alternativa que apresenta a derivada segunda desta função A gx 6x4 2cos2x B gx 6x4 2cos2x C gx 6x4 4cos2x 21102023 0832 aboutblank aboutblank 25 D gx 6x4 cos2x 3 No cálculo a derivada em um ponto de uma função yfx representa a taxa de variação instantânea de y em relação a x neste ponto Um exemplo típico é a função velocidade que representa a taxa de variação derivada da função espaço Com relação à questão a seguir assinale a alternativa CORRETA A Somente a opção IV está correta B Somente a opção I está correta C Somente a opção III está correta D Somente a opção II está correta 4 Na matemática a derivada de uma função é o conceito central do cálculo diferencial A derivada pode ser usada para determinar a taxa de variação de alguma coisa devido a mudanças sofridas em uma outra ou se uma função entre os dois objetos existe e toma valores contínuos em um dado intervalo Por exemplo a taxa de variação da posição de um objeto com relação ao tempo isto é sua velocidade é uma derivada Com relação à função fx 5x3 3x2 1 acompanhe as possibilidade para a derivada no ponto x 1 I 2 II 9 III 15 IV 21 Assinale a alternativa CORRETA A Somente a opção II está correta B Somente a opção IV está correta C Somente a opção III está correta D Somente a opção I está correta 5 A primeira condição para termos a derivada da função inversa é que ela seja bijetora Para determinar ela podemos simplesmente encontrar a função inversa e derivar ou aplicar o Teorema da Derivada da Função Inversa que em uma de suas partes diz que gy 1fx a derivada da função inversa aplicada em um ponto y equivale ao inverso da derivada da função aplicada no x correspondente ao y Este teorema pode ser aplicado de uma maneira muito interessante quando temos um ponto específico e a inversa da função é complicada de deduzir O procedimento é simples basta encontrar para um ponto y a sua correspondência na função caso não seja dada determinar a derivada da função aplicar o teorema da função inversa e obter o resultado com base no ponto dado Senso assim determine a derivada da função inversa fx 3x³ 2x² x no ponto 1 2 e assinale a alternativa CORRETA 21102023 0832 aboutblank aboutblank 35 A g4 14 B g4 16 C g4 13 D g4 15 6 A derivada de uma função em seu conceito mais teórico é dada pela razão entre a variação da função ao longo da variável dependente quando a variável independente sofre uma pequena variação Desta forma a importância da derivada de uma função reside na capacidade de fornecer informações cruciais sobre o seu comportamento local e global Assim sendo seja a função ft sen2t cost3 assinale a alternativa CORRETA que apresenta a sua derivada A ft cos2t sent3 B ft 2cos2t 3t2sent3 C ft 2cos2t 3t2sent3 D ft cos2t sent3 7 A utilização de regras para derivar é uma ferramenta fundamental no cálculo diferencial Essas regras são diretrizes que nos permitem encontrar a derivada de uma função de maneira sistemática e eficiente Elas facilitam o processo de calcular a taxa de variação instantânea de uma função em relação à sua variável independente Analise cada uma das sentenças a seguir classificando V para as opções verdadeiras e F para as falsas A regra do produto afirma que a derivada do produto de duas funções é igual ao produto da derivada da primeira função pela segunda função A regra da potência afirma que a derivada de uma função elevada a um número real é igual ao produto do número real pela função elevada a esse número menos um A regra da constante afirma que a derivada de uma constante multiplicada por uma função é igual à constante multiplicada pela derivada da função A regra da soma afirma que a derivada da soma de duas funções é igual à soma das derivadas das duas funções individuais Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA 21102023 0832 aboutblank aboutblank 45 A V F V V B F F V V C F V F F D V V F F 8 As operações inversas adição e subtração multiplicação e divisão potenciação e radiciação exponenciação e logaritmação já são bastante conhecidas A integração indefinida é basicamente a operação inversa da diferenciação Assim dada a derivada de uma função o processo que consiste em achar a função que a originou ou seja achar a sua primitiva denominase de antiderivação Baseado nisso analise as opções que apresentam fx sendo que fx x² 4x 3 para todo x e f35 e assinale a alternativa CORRETA A Apenas III B Apenas II C Apenas IV D Apenas I 9 Uma das fórmulas fundamentais para derivadas é a regra da cadeia Desenvolvida por Gottfried Leibniz a regra da cadeia é aplicável quando temos uma situação em que a função aparece como uma função composta de duas funções Sendo assim considerando o uso adequado da regra da cadeia classifique V para as opções verdadeiras e F para as falsas 21102023 0832 aboutblank aboutblank 55 y cos3x implica em y 3sin3x y ln2x² implica em y 2x y tan x² implica em y sec²x² y 2 x³ implica em y 32 x² Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA A F V F F B V F V V C V V F F D F F V V 10 O estudo de equações diferenciais é um assunto que fecha o ciclo de estudos de derivadas e integral O resultado de uma equação diferencial é uma família de funções que não contém derivadas diferenciais e que satisfaz a equação dada Então para a equação diferencial y 2y 4 ou seja a derivada primeira somada com o dobro da própria função é igual a 4 classifique V para as opções verdadeiras e F para as falsas A V V F F B V F V F C F V F V D F F V V LISTA DE EXERCÍCIOS CÁLCULO 1 Exercício 1 Em matemática um ponto crítico também chamado de ponto estacionário é um ponto no domínio de uma função onde a primeira derivada é nula Os pontos críticos serão sempre pontos de máximos ou mínimos relativos ou pontos de inflexão podendose descobrir em que categoria o ponto cai analisando a sua segunda derivada a curvatura da função Em matemática a análise de máximos e mínimos pontos críticos possui diversas aplicações Uma delas é na área fabril Sendo assim imagine que o custo de fabricação de x unidades de um produto é dado por C x 3 x ³ 441 x 192 Quantas unidades deverão ser fabricadas para que o custo médio seja mínimo Solução Seja C m x o custo médio de fabricação de x unidades de um produto Então temos que C m x C x x 3 x ³ 441 x 192 x 3 x ² 441 192 x 3 x ² 441 192 x ¹ Para que o custo médio seja mínimo é necessário que a derivada de C m x seja nula isto é C m x d d x 3 x ² 441 192 x 3 2 x 0 192 1 x ² 6 x 192 x ² C m x 0 6 x 192 x ² 0 6 x 192 x ² 6 x ³ 192 x ³ 32 x ³32 2 ³4 Além disso é necessário que a derivada segunda de C m x seja positiva no ponto x 2 ³4 isto é C m x d d x 6 x 192 x ² 6 192 2 x ³ 6 384 x ³ C m 2 ³4 6 384 2 ³4 ³ 6 384 2 ³ 4 ¹ 6 384 1 8 1 4 6 12 18 0 Portanto o custo médio será mínimo quando 2 ³4 unidades forem fabricadas 7 Exercício 2 Informalmente dizemos que uma função é contínua quando seu gráfico não apresenta interrupções ou seja seu gráfico pode ser traçado sem que o lápis se afaste do papel Na disciplina de Cálculo Diferencial e Integral o conceito de continuidade está ligado ao de limite de uma função em um ponto específico Desta forma verifique se a função a seguir é contínua no ponto x 1 f x 3 x ² se x 1 1 x ² se x 1 Solução Para que a função seja contínua no ponto x 1 é necessário que os limites laterais sejam iguais ou seja que lim x 1 f x lim x 1 f x Calculando os limites laterais temos que lim x 1 f x lim x 1 3 x ² 2 lim x 1 f x lim x 1 1 x ² 2 Além disso é necessário que a função esteja definida no ponto x 1 ou seja que f 1 3 1 ² 2 Portanto a função é contínua no ponto x 1 8 Exercício 1 No cálculo a derivada em um ponto de uma função y f x representa a taxa de variação instantânea de y em relação a x neste ponto Um exemplo típico é a função velocidade que representa a taxa de variação derivada da função espaço Seja a derivada do produto entre f x x ² 2 e g x 4 x analise as possibilidades I 3 x ² 8 x 2 II 3 x ² 8 x 2 III 3 x ² 8 x 2 IV 3 x ² 8 x 2 Assinale a alternativa correta a Somente a opção IV está correta b Somente a opção III está correta c Somente a opção II está correta d Somente a opção I está correta Solução Calculemos a derivada do produto entre f x x ² 2 e g x 4 x d d x f x g x f x g x f x g x 2 x 4 x x ² 2 1 8 x 2 x ² x ² 2 3 x ² 8 x 2 Portanto a opção correta é b Somente a opção III está correta Exercício 2 A derivada é a medida da declividade de uma reta tangente a cada ponto da função de onde surgiu ela também é uma função que fornece valores relativos de muita utilidade O ângulo da reta tangente ao ponto da curva inicial pode ser encontrado através da derivada pois a derivada fornece o valor da tangente deste ângulo Em outros momentos é fundamental realizar a derivada de uma função mais vezes Desta forma sendo g x cos 2 x x ² assinale a alternativa que representa a derivada segunda desta função a gx6x⁴2cos2x b gx6x⁴2cos2x c gx6x⁴4cos2x d gx6x⁴cos2x Solução Calculemos a derivada segunda de gxcos2xx² gx ddx cos2xx² dd2x cos2x ddx 2x ddx x² sen2x 2 2 x³ 2 sen2x 2x³ gx ddx 2 sen2x 2x³ 2 dd2x sen2x ddx 2x 2 ddx x³ 2 cos2x 2 2 3 x⁴ 4 cos2x 6x⁴ Portanto a opção correta é c gx6x⁴4cos2x Exercício 3 No cálculo a derivada em um ponto de uma função yfx representa a taxa de variação instantânea de y em relação a x neste ponto Um exemplo típico é a função velocidade que representa a taxa de variação derivada da função espaço Com relação à questão a seguir assinale a alternativa correta Encontre a derivada do produto das funções fxx⁴1 e gxx1 I 5x⁴4x II 3x⁴54x³1 III x⁴15x³ IV 5x⁴4x³1 a Somente a opção IV está correta b Somente a opção I está correta c Somente a opção III está correta d Somente a opção II está correta Solução Calculemos a derivada do produto entre fxx⁴1 e gxx1 ddx fx gx fx gx fx gx 4x³ x1 x⁴1 1 4x⁴4x³ x⁴1 5x⁴4x³1 Portanto a opção correta é a Somente a opção IV está correta Exercício 4 Na matemática a derivada de uma função é o conceito central do cálculo diferencial A derivada pode ser usada para determinar a taxa de variação de alguma coisa devido a mudanças sofridas em uma outra ou se uma função entre os dois objetos existe e toma valores contínuos em um dado intervalo Por exemplo a taxa de variação da posição de um objeto com relação ao tempo isto é sua velocidade é uma derivada Com relação à função fx5x³3x²1 acompanhe as possibilidades para a derivada no ponto x1 I 2 II 9 III 15 IV 21 Assinale a alternativa correta a Somente a opção II está correta b Somente a opção IV está correta c Somente a opção III está correta d Somente a opção I está correta Solução Calculemos a derivada de 𝑓 𝑥 5𝑥3 3𝑥2 1 𝑓 𝑥 𝑑 𝑑𝑥 5𝑥3 3𝑥2 1 5 𝑑 𝑑𝑥 𝑥3 3 𝑑 𝑑𝑥 𝑥2 𝑑 𝑑𝑥 1 5 3𝑥2 3 2𝑥 0 15𝑥2 6𝑥 No ponto 𝑥 1 temos que 𝑓 1 15 12 6 1 15 6 21 Portanto a opção correta é b Somente a opção IV está correta Exercício 5 A primeira condição para termos a derivada da função inversa é que ela seja bijetora Para determinar ela podemos simplesmente encontrar a função inversa e derivar ou aplicar o Teorema da Derivada da Função Inversa que em uma de suas partes diz que 𝑔𝑦 1𝑓 𝑥 a derivada da função inversa aplicada em um ponto 𝑦 equivale ao inverso da derivada da função aplicada no 𝑥 correspondente ao 𝑦 Este teorema pode ser aplicado de uma maneira muito interessante quando temos um ponto específico e a inversa da função é complicada de deduzir O procedimento é simples basta encontrar para um ponto 𝑦 a sua correspondência na função caso não seja dada determinar a derivada da função aplicar o teorema da função inversa e obter o resultado com base no ponto dado Senso assim determine a derivada da função inversa 𝑓 𝑥 3𝑥3 2𝑥2 𝑥 no ponto 1 2 e assinale a alternativa correta a 𝑔2 14 b 𝑔2 16 c 𝑔2 13 d 𝑔2 15 Solução Calculemos a derivada de 𝑓 𝑥 3𝑥3 2𝑥2 𝑥 𝑓 𝑥 𝑑 𝑑𝑥 3𝑥3 2𝑥2 𝑥 3 𝑑 𝑑𝑥 𝑥3 2 𝑑 𝑑𝑥 𝑥2 𝑑 𝑑𝑥 𝑥 3 3𝑥2 2 2𝑥 1 9𝑥2 4𝑥 1 Pelo Teorema da Derivada da Função Inversa temos que gy 1fx 19x² 4x 1 Logo no ponto 1 2 temos que g2 1f1 19 1² 4 1 1 19 4 1 16 Portanto a opção correta é b g2 16 Exercício 6 A derivada de uma função em seu conceito mais teórico é dada pela razão entre a variação da função ao longo da variável dependente quando a variável independente sofre uma pequena variação Desta forma a importância da derivada de uma função reside na capacidade de fornecer informações cruciais sobre o seu comportamento local e global Assim sendo seja a função ftsen2tcost³ assinale a alternativa correta que apresenta a sua derivada a ftcos2tsent³ b ft 2 cos2t 3t² sent³ c ft 2 cos2t 3t² sent³ d ft 2 cos2t sent³ Solução Calculemos a derivada de ft sen2tcost³ ft ddt sen2tcost³ ddt sen2t ddt cost³ dd2t sen2t ddt 2t ddt³ cost³ ddt t³ cos2t 2 sent³ 3t² 2 cos2t 3t² sent³ Portanto a opção correta é b ft 2 cos2t 3t² sent³ Exercício 7 A utilização de regras para derivar é uma ferramenta fundamental no cálculo diferencial Essas regras são diretrizes que nos permitem encontrar a derivada de uma função de maneira sistemática e eficiente Elas facilitam o processo de calcular a taxa de variação instantânea de uma função em relação à sua variável independente Analise cada uma das sentenças a seguir classificando V para as opções verdadeiras e F para as falsas A regra do produto afirma que a derivada do produto de duas funções é igual ao produto da derivada da primeira função pela segunda função A regra da potência afirma que a derivada de uma função elevada a um número real é igual ao produto do número real pela função elevada a esse número menos um A regra da constante afirma que a derivada de uma constante multiplicada por uma função é igual à constante multiplicada pela derivada da função A regra da soma afirma que a derivada da soma de duas funções é igual à soma das derivadas das duas funções individuais Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta a VFVV b FFVV c FVFF d VVFF Solução F A regra do produto afirma que a derivada do produto de duas funções é igual ao produto da derivada da primeira função pela segunda função somado ao produto da primeira função pela derivada da segunda função 𝑑 𝑑𝑥 𝑓 𝑥 𝑔𝑥 𝑓 𝑥 𝑔𝑥 𝑓 𝑥 𝑔𝑥 F A regra da potência se aplica a funções da forma 𝑥𝑛 chamada de função potência onde 𝑛 é um número real qualquer A derivada dessa função é igual ao produto do número real pela função elevada a esse número menos um Entretanto se tivermos uma função da forma 𝑓 𝑥 𝑔𝑥𝑛 então a regra da potência não se aplica diretamente sendo necessário utilizar a regra da cadeia 𝑑 𝑑𝑥 𝑥𝑛 𝑛 𝑥𝑛1 𝑑 𝑑𝑥 𝑔𝑥𝑛 𝑛 𝑔𝑥𝑛1 𝑔𝑥 V A regra da constante afirma que a derivada de uma constante multiplicada por uma função é igual à constante multiplicada pela derivada da função 𝑑 𝑑𝑥 𝑘 𝑓 𝑥 𝑘 𝑓 𝑥 V A regra da soma afirma que a derivada da soma de duas funções é igual à soma das derivadas das duas funções individuais 𝑑 𝑑𝑥 𝑓 𝑥 𝑔𝑥 𝑓 𝑥 𝑔𝑥 Portanto a opção correta é b FFVV Exercício 8 As operações inversas adição e subtração multiplicação e divisão potenciação e radiciação exponenciação e logaritmação já são bastante conhecidas A integração indefinida é basicamente a operação inversa da diferenciação Assim dada a derivada de uma função o processo que consiste em achar a função que a originou ou seja achar a sua primitiva denominase de antiderivação Baseandose nisso analise as opções que apresentam 𝑓 𝑥 sendo 𝑓 𝑥 𝑥2 4𝑥 3 para todo 𝑥 e 𝑓 3 5 e assinale a alternativa correta I 𝑓 𝑥 𝑥3 3 4𝑥2 3𝑥 5 II 𝑓 𝑥 𝑥3 3 2𝑥2 3𝑥 5 III 𝑓 𝑥 𝑥3 3 5 IV 𝑓 𝑥 𝑥2 4𝑥 3 a Apenas III b Apenas II c Apenas IV d Apenas I Solução Calculemos a antiderivada de 𝑓 𝑥 𝑥2 4𝑥 3 𝑓 𝑥 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 𝑥2 4𝑥 3 𝑑𝑥 𝑥3 3 4𝑥2 2 3𝑥 𝐶 𝑥3 3 2𝑥2 3𝑥 𝐶 Como 𝑓 3 5 temos que 𝑓 3 5 33 3 2 32 3 3 𝐶 5 9 18 9 𝐶 5 𝐶 5 9 18 9 5 Logo 𝑓 𝑥 𝑥3 3 2𝑥2 3𝑥 5 Portanto a opção correta é b Apenas II Exercício 9 Uma das fórmulas fundamentais para derivadas é a regra da cadeia Desenvolvida por Gottfried Leibniz a regra da cadeia é aplicável quando temos uma situação em que a função aparece como uma função composta de duas funções Sendo assim considerando o uso adequado da regra da cadeia classifique V para as opções verdadeiras e F para as falsas 𝑦 cos3𝑥 implica em 𝑦 3 sen3𝑥 𝑦 ln 2𝑥2 implica em 𝑦 2𝑥 𝑦 tg 𝑥2 implica em 𝑦 sec2 𝑥2 𝑦 2 𝑥3 implica em 𝑦 3 2 𝑥2 Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta a FVFF b VFVV c VVFF d FFVV Solução V 𝑦 cos3𝑥 implica em 𝑦 3 sen3𝑥 𝑑 𝑑𝑥 cos3𝑥 𝑑 𝑑3𝑥 cos3𝑥 𝑑 𝑑𝑥 3𝑥 sen3𝑥 3 3 sen3𝑥 V y ln 2x² implica em y 2x ddx ln 2x² dd 2x² ln 2x² ddx 2x² 12x² 4x 2x F y tg x² implica em y 2x sec² x² ddx tg x² dd x² tg x² ddx x² sec² x² 2x 2x sec² x² F y 2 x³ implica em y 3 2 x² ddx 2 x³ dd2 x 2 x³ ddx 2 x 3 2 x² 1 3 2 x² Portanto a opção correta é c VVFF Exercício 10 O estudo de equações diferenciais é um assunto que fecha o ciclo de estudos de derivadas e integral O resultado de uma equação diferencial é uma família de funções que não contém derivadas diferenciais e que satisfaz a equação dada Então para a equação diferencial y 2y 4 ou seja a derivada primeira somada com o dobro da própria função é igual a 4 classifique V para as opções verdadeiras e F para as falsas y 2e²ˣ 2 y e²ˣ 2 y e²ˣ 2 y 2e²ˣ 2 Marque a opção que apresenta a sequência correta a VVFF b VFVF c FVFV d FFVV Solução y 2y 4 ddx 2e²ˣ 2 2 2e²ˣ 2 4 2 dd2x e²ˣ ddx 2x 2 2e²ˣ 2 4 2 e²ˣ 2 4e²ˣ 4 4 4e²ˣ 4e²ˣ 4 4 8e²ˣ 0 e²ˣ 0 Absurdo y 2y 4 ddx e²ˣ 2 2 e²ˣ 2 4 dd2x e²ˣ ddx 2x 2 e²ˣ 2 4 e²ˣ 2 2e²ˣ 4 4 2e²ˣ 2e²ˣ 4 4 4e²ˣ 0 e²ˣ 0 Absurdo y 2y 4 ddx e²ˣ 2 2 e²ˣ 2 4 dd2x e²ˣ ddx 2x 2 e²ˣ 2 4 e²ˣ 2 2e²ˣ 4 4 2e²ˣ 2e²ˣ 4 4 4 4 Verdadeiro y 2y 4 ddx 2e²ˣ 2 2 2e²ˣ 2 4 2 dd2x e²ˣ ddx 2x 2 2e²ˣ 2 4 2e²ˣ 2 4e²ˣ 4 4 4e²ˣ 4e²ˣ 4 4 4 4 Verdadeiro Portanto a opção correta é d FFVV
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21102023 0833 aboutblank aboutblank 11 Avaliação Final Discursiva Individual Cod883782 Código da prova 72929667 Disciplina Cálculo Diferencial e Integral I MAD101 Período para responder 19102023 03112023 Peso 400 1 Em matemática um ponto crítico também chamado de ponto estacionário é um ponto no domínio de uma função onde a primeira derivada é nula Os pontos críticos serão sempre pontos de máximos ou mínimos relativos ou pontos de inflexão podendose descobrir em que categoria o ponto cai analisando a sua segunda derivada a curvatura da função Em matemática a análise de máximos e mínimos pontos críticos possui diversas aplicações Uma delas é na área fabril Sendo assim imagine que o custo de fabricação de x unidades de um produto é dado por Cx 3x³ 441x 192 Quantas unidades deverão ser fabricadas para que o custo médio seja mínimo lembre de mostrar e provar que a quantidade encontrada é mínimo 2 Informalmente dizemos que uma função é contínua quando seu gráfico não apresenta interrupções ou seja seu gráfico pode ser traçado sem que o lápis se afaste do papel Na disciplina de Cálculo Diferencial e Integral o conceito de continuidade está ligado ao de limite de uma função em um ponto específico Desta forma verifique se a função a seguir é contínua no ponto x 1 21102023 0832 aboutblank aboutblank 15 Avaliação II Individual Cod883781 Código da prova 72929672 Disciplina Cálculo Diferencial e Integral I MAD101 Período para responder 19102023 03112023 Peso 150 1 No cálculo a derivada em um ponto de uma função yfx representa a taxa de variação instantânea de y em relação a x neste ponto Um exemplo típico é a função velocidade que representa a taxa de variação derivada da função espaço Seja a derivada do produto entre fx x² 2 e gx 4 x analise as possibilidade I 3x² 8x 2 II 3x² 8x 2 III 3x² 8x 2 IV 3x² 8x 2 Assinale a alternativa CORRETA A Somente a opção IV está correta B Somente a opção III está correta C Somente a opção I está correta D Somente a opção II está correta 2 A derivada é a medida da declividade de uma reta tangente a cada ponto da função de onde surgiu ela também é uma função que fornece valores relativos de muita utilidade O ângulo da reta tangente ao ponto da curva inicial pode ser encontrado através da derivada pois a derivada fornece o valor da tangente deste ângulo Em outros momentos é fundamental realizar a derivada de uma função mais vezes Desta forma sendo a função gx cos2x x2 assinale a alternativa que apresenta a derivada segunda desta função A gx 6x4 2cos2x B gx 6x4 2cos2x C gx 6x4 4cos2x 21102023 0832 aboutblank aboutblank 25 D gx 6x4 cos2x 3 No cálculo a derivada em um ponto de uma função yfx representa a taxa de variação instantânea de y em relação a x neste ponto Um exemplo típico é a função velocidade que representa a taxa de variação derivada da função espaço Com relação à questão a seguir assinale a alternativa CORRETA A Somente a opção IV está correta B Somente a opção I está correta C Somente a opção III está correta D Somente a opção II está correta 4 Na matemática a derivada de uma função é o conceito central do cálculo diferencial A derivada pode ser usada para determinar a taxa de variação de alguma coisa devido a mudanças sofridas em uma outra ou se uma função entre os dois objetos existe e toma valores contínuos em um dado intervalo Por exemplo a taxa de variação da posição de um objeto com relação ao tempo isto é sua velocidade é uma derivada Com relação à função fx 5x3 3x2 1 acompanhe as possibilidade para a derivada no ponto x 1 I 2 II 9 III 15 IV 21 Assinale a alternativa CORRETA A Somente a opção II está correta B Somente a opção IV está correta C Somente a opção III está correta D Somente a opção I está correta 5 A primeira condição para termos a derivada da função inversa é que ela seja bijetora Para determinar ela podemos simplesmente encontrar a função inversa e derivar ou aplicar o Teorema da Derivada da Função Inversa que em uma de suas partes diz que gy 1fx a derivada da função inversa aplicada em um ponto y equivale ao inverso da derivada da função aplicada no x correspondente ao y Este teorema pode ser aplicado de uma maneira muito interessante quando temos um ponto específico e a inversa da função é complicada de deduzir O procedimento é simples basta encontrar para um ponto y a sua correspondência na função caso não seja dada determinar a derivada da função aplicar o teorema da função inversa e obter o resultado com base no ponto dado Senso assim determine a derivada da função inversa fx 3x³ 2x² x no ponto 1 2 e assinale a alternativa CORRETA 21102023 0832 aboutblank aboutblank 35 A g4 14 B g4 16 C g4 13 D g4 15 6 A derivada de uma função em seu conceito mais teórico é dada pela razão entre a variação da função ao longo da variável dependente quando a variável independente sofre uma pequena variação Desta forma a importância da derivada de uma função reside na capacidade de fornecer informações cruciais sobre o seu comportamento local e global Assim sendo seja a função ft sen2t cost3 assinale a alternativa CORRETA que apresenta a sua derivada A ft cos2t sent3 B ft 2cos2t 3t2sent3 C ft 2cos2t 3t2sent3 D ft cos2t sent3 7 A utilização de regras para derivar é uma ferramenta fundamental no cálculo diferencial Essas regras são diretrizes que nos permitem encontrar a derivada de uma função de maneira sistemática e eficiente Elas facilitam o processo de calcular a taxa de variação instantânea de uma função em relação à sua variável independente Analise cada uma das sentenças a seguir classificando V para as opções verdadeiras e F para as falsas A regra do produto afirma que a derivada do produto de duas funções é igual ao produto da derivada da primeira função pela segunda função A regra da potência afirma que a derivada de uma função elevada a um número real é igual ao produto do número real pela função elevada a esse número menos um A regra da constante afirma que a derivada de uma constante multiplicada por uma função é igual à constante multiplicada pela derivada da função A regra da soma afirma que a derivada da soma de duas funções é igual à soma das derivadas das duas funções individuais Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA 21102023 0832 aboutblank aboutblank 45 A V F V V B F F V V C F V F F D V V F F 8 As operações inversas adição e subtração multiplicação e divisão potenciação e radiciação exponenciação e logaritmação já são bastante conhecidas A integração indefinida é basicamente a operação inversa da diferenciação Assim dada a derivada de uma função o processo que consiste em achar a função que a originou ou seja achar a sua primitiva denominase de antiderivação Baseado nisso analise as opções que apresentam fx sendo que fx x² 4x 3 para todo x e f35 e assinale a alternativa CORRETA A Apenas III B Apenas II C Apenas IV D Apenas I 9 Uma das fórmulas fundamentais para derivadas é a regra da cadeia Desenvolvida por Gottfried Leibniz a regra da cadeia é aplicável quando temos uma situação em que a função aparece como uma função composta de duas funções Sendo assim considerando o uso adequado da regra da cadeia classifique V para as opções verdadeiras e F para as falsas 21102023 0832 aboutblank aboutblank 55 y cos3x implica em y 3sin3x y ln2x² implica em y 2x y tan x² implica em y sec²x² y 2 x³ implica em y 32 x² Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA A F V F F B V F V V C V V F F D F F V V 10 O estudo de equações diferenciais é um assunto que fecha o ciclo de estudos de derivadas e integral O resultado de uma equação diferencial é uma família de funções que não contém derivadas diferenciais e que satisfaz a equação dada Então para a equação diferencial y 2y 4 ou seja a derivada primeira somada com o dobro da própria função é igual a 4 classifique V para as opções verdadeiras e F para as falsas A V V F F B V F V F C F V F V D F F V V LISTA DE EXERCÍCIOS CÁLCULO 1 Exercício 1 Em matemática um ponto crítico também chamado de ponto estacionário é um ponto no domínio de uma função onde a primeira derivada é nula Os pontos críticos serão sempre pontos de máximos ou mínimos relativos ou pontos de inflexão podendose descobrir em que categoria o ponto cai analisando a sua segunda derivada a curvatura da função Em matemática a análise de máximos e mínimos pontos críticos possui diversas aplicações Uma delas é na área fabril Sendo assim imagine que o custo de fabricação de x unidades de um produto é dado por C x 3 x ³ 441 x 192 Quantas unidades deverão ser fabricadas para que o custo médio seja mínimo Solução Seja C m x o custo médio de fabricação de x unidades de um produto Então temos que C m x C x x 3 x ³ 441 x 192 x 3 x ² 441 192 x 3 x ² 441 192 x ¹ Para que o custo médio seja mínimo é necessário que a derivada de C m x seja nula isto é C m x d d x 3 x ² 441 192 x 3 2 x 0 192 1 x ² 6 x 192 x ² C m x 0 6 x 192 x ² 0 6 x 192 x ² 6 x ³ 192 x ³ 32 x ³32 2 ³4 Além disso é necessário que a derivada segunda de C m x seja positiva no ponto x 2 ³4 isto é C m x d d x 6 x 192 x ² 6 192 2 x ³ 6 384 x ³ C m 2 ³4 6 384 2 ³4 ³ 6 384 2 ³ 4 ¹ 6 384 1 8 1 4 6 12 18 0 Portanto o custo médio será mínimo quando 2 ³4 unidades forem fabricadas 7 Exercício 2 Informalmente dizemos que uma função é contínua quando seu gráfico não apresenta interrupções ou seja seu gráfico pode ser traçado sem que o lápis se afaste do papel Na disciplina de Cálculo Diferencial e Integral o conceito de continuidade está ligado ao de limite de uma função em um ponto específico Desta forma verifique se a função a seguir é contínua no ponto x 1 f x 3 x ² se x 1 1 x ² se x 1 Solução Para que a função seja contínua no ponto x 1 é necessário que os limites laterais sejam iguais ou seja que lim x 1 f x lim x 1 f x Calculando os limites laterais temos que lim x 1 f x lim x 1 3 x ² 2 lim x 1 f x lim x 1 1 x ² 2 Além disso é necessário que a função esteja definida no ponto x 1 ou seja que f 1 3 1 ² 2 Portanto a função é contínua no ponto x 1 8 Exercício 1 No cálculo a derivada em um ponto de uma função y f x representa a taxa de variação instantânea de y em relação a x neste ponto Um exemplo típico é a função velocidade que representa a taxa de variação derivada da função espaço Seja a derivada do produto entre f x x ² 2 e g x 4 x analise as possibilidades I 3 x ² 8 x 2 II 3 x ² 8 x 2 III 3 x ² 8 x 2 IV 3 x ² 8 x 2 Assinale a alternativa correta a Somente a opção IV está correta b Somente a opção III está correta c Somente a opção II está correta d Somente a opção I está correta Solução Calculemos a derivada do produto entre f x x ² 2 e g x 4 x d d x f x g x f x g x f x g x 2 x 4 x x ² 2 1 8 x 2 x ² x ² 2 3 x ² 8 x 2 Portanto a opção correta é b Somente a opção III está correta Exercício 2 A derivada é a medida da declividade de uma reta tangente a cada ponto da função de onde surgiu ela também é uma função que fornece valores relativos de muita utilidade O ângulo da reta tangente ao ponto da curva inicial pode ser encontrado através da derivada pois a derivada fornece o valor da tangente deste ângulo Em outros momentos é fundamental realizar a derivada de uma função mais vezes Desta forma sendo g x cos 2 x x ² assinale a alternativa que representa a derivada segunda desta função a gx6x⁴2cos2x b gx6x⁴2cos2x c gx6x⁴4cos2x d gx6x⁴cos2x Solução Calculemos a derivada segunda de gxcos2xx² gx ddx cos2xx² dd2x cos2x ddx 2x ddx x² sen2x 2 2 x³ 2 sen2x 2x³ gx ddx 2 sen2x 2x³ 2 dd2x sen2x ddx 2x 2 ddx x³ 2 cos2x 2 2 3 x⁴ 4 cos2x 6x⁴ Portanto a opção correta é c gx6x⁴4cos2x Exercício 3 No cálculo a derivada em um ponto de uma função yfx representa a taxa de variação instantânea de y em relação a x neste ponto Um exemplo típico é a função velocidade que representa a taxa de variação derivada da função espaço Com relação à questão a seguir assinale a alternativa correta Encontre a derivada do produto das funções fxx⁴1 e gxx1 I 5x⁴4x II 3x⁴54x³1 III x⁴15x³ IV 5x⁴4x³1 a Somente a opção IV está correta b Somente a opção I está correta c Somente a opção III está correta d Somente a opção II está correta Solução Calculemos a derivada do produto entre fxx⁴1 e gxx1 ddx fx gx fx gx fx gx 4x³ x1 x⁴1 1 4x⁴4x³ x⁴1 5x⁴4x³1 Portanto a opção correta é a Somente a opção IV está correta Exercício 4 Na matemática a derivada de uma função é o conceito central do cálculo diferencial A derivada pode ser usada para determinar a taxa de variação de alguma coisa devido a mudanças sofridas em uma outra ou se uma função entre os dois objetos existe e toma valores contínuos em um dado intervalo Por exemplo a taxa de variação da posição de um objeto com relação ao tempo isto é sua velocidade é uma derivada Com relação à função fx5x³3x²1 acompanhe as possibilidades para a derivada no ponto x1 I 2 II 9 III 15 IV 21 Assinale a alternativa correta a Somente a opção II está correta b Somente a opção IV está correta c Somente a opção III está correta d Somente a opção I está correta Solução Calculemos a derivada de 𝑓 𝑥 5𝑥3 3𝑥2 1 𝑓 𝑥 𝑑 𝑑𝑥 5𝑥3 3𝑥2 1 5 𝑑 𝑑𝑥 𝑥3 3 𝑑 𝑑𝑥 𝑥2 𝑑 𝑑𝑥 1 5 3𝑥2 3 2𝑥 0 15𝑥2 6𝑥 No ponto 𝑥 1 temos que 𝑓 1 15 12 6 1 15 6 21 Portanto a opção correta é b Somente a opção IV está correta Exercício 5 A primeira condição para termos a derivada da função inversa é que ela seja bijetora Para determinar ela podemos simplesmente encontrar a função inversa e derivar ou aplicar o Teorema da Derivada da Função Inversa que em uma de suas partes diz que 𝑔𝑦 1𝑓 𝑥 a derivada da função inversa aplicada em um ponto 𝑦 equivale ao inverso da derivada da função aplicada no 𝑥 correspondente ao 𝑦 Este teorema pode ser aplicado de uma maneira muito interessante quando temos um ponto específico e a inversa da função é complicada de deduzir O procedimento é simples basta encontrar para um ponto 𝑦 a sua correspondência na função caso não seja dada determinar a derivada da função aplicar o teorema da função inversa e obter o resultado com base no ponto dado Senso assim determine a derivada da função inversa 𝑓 𝑥 3𝑥3 2𝑥2 𝑥 no ponto 1 2 e assinale a alternativa correta a 𝑔2 14 b 𝑔2 16 c 𝑔2 13 d 𝑔2 15 Solução Calculemos a derivada de 𝑓 𝑥 3𝑥3 2𝑥2 𝑥 𝑓 𝑥 𝑑 𝑑𝑥 3𝑥3 2𝑥2 𝑥 3 𝑑 𝑑𝑥 𝑥3 2 𝑑 𝑑𝑥 𝑥2 𝑑 𝑑𝑥 𝑥 3 3𝑥2 2 2𝑥 1 9𝑥2 4𝑥 1 Pelo Teorema da Derivada da Função Inversa temos que gy 1fx 19x² 4x 1 Logo no ponto 1 2 temos que g2 1f1 19 1² 4 1 1 19 4 1 16 Portanto a opção correta é b g2 16 Exercício 6 A derivada de uma função em seu conceito mais teórico é dada pela razão entre a variação da função ao longo da variável dependente quando a variável independente sofre uma pequena variação Desta forma a importância da derivada de uma função reside na capacidade de fornecer informações cruciais sobre o seu comportamento local e global Assim sendo seja a função ftsen2tcost³ assinale a alternativa correta que apresenta a sua derivada a ftcos2tsent³ b ft 2 cos2t 3t² sent³ c ft 2 cos2t 3t² sent³ d ft 2 cos2t sent³ Solução Calculemos a derivada de ft sen2tcost³ ft ddt sen2tcost³ ddt sen2t ddt cost³ dd2t sen2t ddt 2t ddt³ cost³ ddt t³ cos2t 2 sent³ 3t² 2 cos2t 3t² sent³ Portanto a opção correta é b ft 2 cos2t 3t² sent³ Exercício 7 A utilização de regras para derivar é uma ferramenta fundamental no cálculo diferencial Essas regras são diretrizes que nos permitem encontrar a derivada de uma função de maneira sistemática e eficiente Elas facilitam o processo de calcular a taxa de variação instantânea de uma função em relação à sua variável independente Analise cada uma das sentenças a seguir classificando V para as opções verdadeiras e F para as falsas A regra do produto afirma que a derivada do produto de duas funções é igual ao produto da derivada da primeira função pela segunda função A regra da potência afirma que a derivada de uma função elevada a um número real é igual ao produto do número real pela função elevada a esse número menos um A regra da constante afirma que a derivada de uma constante multiplicada por uma função é igual à constante multiplicada pela derivada da função A regra da soma afirma que a derivada da soma de duas funções é igual à soma das derivadas das duas funções individuais Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta a VFVV b FFVV c FVFF d VVFF Solução F A regra do produto afirma que a derivada do produto de duas funções é igual ao produto da derivada da primeira função pela segunda função somado ao produto da primeira função pela derivada da segunda função 𝑑 𝑑𝑥 𝑓 𝑥 𝑔𝑥 𝑓 𝑥 𝑔𝑥 𝑓 𝑥 𝑔𝑥 F A regra da potência se aplica a funções da forma 𝑥𝑛 chamada de função potência onde 𝑛 é um número real qualquer A derivada dessa função é igual ao produto do número real pela função elevada a esse número menos um Entretanto se tivermos uma função da forma 𝑓 𝑥 𝑔𝑥𝑛 então a regra da potência não se aplica diretamente sendo necessário utilizar a regra da cadeia 𝑑 𝑑𝑥 𝑥𝑛 𝑛 𝑥𝑛1 𝑑 𝑑𝑥 𝑔𝑥𝑛 𝑛 𝑔𝑥𝑛1 𝑔𝑥 V A regra da constante afirma que a derivada de uma constante multiplicada por uma função é igual à constante multiplicada pela derivada da função 𝑑 𝑑𝑥 𝑘 𝑓 𝑥 𝑘 𝑓 𝑥 V A regra da soma afirma que a derivada da soma de duas funções é igual à soma das derivadas das duas funções individuais 𝑑 𝑑𝑥 𝑓 𝑥 𝑔𝑥 𝑓 𝑥 𝑔𝑥 Portanto a opção correta é b FFVV Exercício 8 As operações inversas adição e subtração multiplicação e divisão potenciação e radiciação exponenciação e logaritmação já são bastante conhecidas A integração indefinida é basicamente a operação inversa da diferenciação Assim dada a derivada de uma função o processo que consiste em achar a função que a originou ou seja achar a sua primitiva denominase de antiderivação Baseandose nisso analise as opções que apresentam 𝑓 𝑥 sendo 𝑓 𝑥 𝑥2 4𝑥 3 para todo 𝑥 e 𝑓 3 5 e assinale a alternativa correta I 𝑓 𝑥 𝑥3 3 4𝑥2 3𝑥 5 II 𝑓 𝑥 𝑥3 3 2𝑥2 3𝑥 5 III 𝑓 𝑥 𝑥3 3 5 IV 𝑓 𝑥 𝑥2 4𝑥 3 a Apenas III b Apenas II c Apenas IV d Apenas I Solução Calculemos a antiderivada de 𝑓 𝑥 𝑥2 4𝑥 3 𝑓 𝑥 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 𝑥2 4𝑥 3 𝑑𝑥 𝑥3 3 4𝑥2 2 3𝑥 𝐶 𝑥3 3 2𝑥2 3𝑥 𝐶 Como 𝑓 3 5 temos que 𝑓 3 5 33 3 2 32 3 3 𝐶 5 9 18 9 𝐶 5 𝐶 5 9 18 9 5 Logo 𝑓 𝑥 𝑥3 3 2𝑥2 3𝑥 5 Portanto a opção correta é b Apenas II Exercício 9 Uma das fórmulas fundamentais para derivadas é a regra da cadeia Desenvolvida por Gottfried Leibniz a regra da cadeia é aplicável quando temos uma situação em que a função aparece como uma função composta de duas funções Sendo assim considerando o uso adequado da regra da cadeia classifique V para as opções verdadeiras e F para as falsas 𝑦 cos3𝑥 implica em 𝑦 3 sen3𝑥 𝑦 ln 2𝑥2 implica em 𝑦 2𝑥 𝑦 tg 𝑥2 implica em 𝑦 sec2 𝑥2 𝑦 2 𝑥3 implica em 𝑦 3 2 𝑥2 Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta a FVFF b VFVV c VVFF d FFVV Solução V 𝑦 cos3𝑥 implica em 𝑦 3 sen3𝑥 𝑑 𝑑𝑥 cos3𝑥 𝑑 𝑑3𝑥 cos3𝑥 𝑑 𝑑𝑥 3𝑥 sen3𝑥 3 3 sen3𝑥 V y ln 2x² implica em y 2x ddx ln 2x² dd 2x² ln 2x² ddx 2x² 12x² 4x 2x F y tg x² implica em y 2x sec² x² ddx tg x² dd x² tg x² ddx x² sec² x² 2x 2x sec² x² F y 2 x³ implica em y 3 2 x² ddx 2 x³ dd2 x 2 x³ ddx 2 x 3 2 x² 1 3 2 x² Portanto a opção correta é c VVFF Exercício 10 O estudo de equações diferenciais é um assunto que fecha o ciclo de estudos de derivadas e integral O resultado de uma equação diferencial é uma família de funções que não contém derivadas diferenciais e que satisfaz a equação dada Então para a equação diferencial y 2y 4 ou seja a derivada primeira somada com o dobro da própria função é igual a 4 classifique V para as opções verdadeiras e F para as falsas y 2e²ˣ 2 y e²ˣ 2 y e²ˣ 2 y 2e²ˣ 2 Marque a opção que apresenta a sequência correta a VVFF b VFVF c FVFV d FFVV Solução y 2y 4 ddx 2e²ˣ 2 2 2e²ˣ 2 4 2 dd2x e²ˣ ddx 2x 2 2e²ˣ 2 4 2 e²ˣ 2 4e²ˣ 4 4 4e²ˣ 4e²ˣ 4 4 8e²ˣ 0 e²ˣ 0 Absurdo y 2y 4 ddx e²ˣ 2 2 e²ˣ 2 4 dd2x e²ˣ ddx 2x 2 e²ˣ 2 4 e²ˣ 2 2e²ˣ 4 4 2e²ˣ 2e²ˣ 4 4 4e²ˣ 0 e²ˣ 0 Absurdo y 2y 4 ddx e²ˣ 2 2 e²ˣ 2 4 dd2x e²ˣ ddx 2x 2 e²ˣ 2 4 e²ˣ 2 2e²ˣ 4 4 2e²ˣ 2e²ˣ 4 4 4 4 Verdadeiro y 2y 4 ddx 2e²ˣ 2 2 2e²ˣ 2 4 2 dd2x e²ˣ ddx 2x 2 2e²ˣ 2 4 2e²ˣ 2 4e²ˣ 4 4 4e²ˣ 4e²ˣ 4 4 4 4 Verdadeiro Portanto a opção correta é d FFVV