Derivadas-Conceitos-Iniciais-Funcoes-Trigonometricas-e-Implicitas

UNIASSELVI GRADUAÇÃO E PÓS Pronúncia Minúscula Maiúscula alfa α A beta β B gama γ Γ delta δ Δ épsilon ε E dzeta ζ Z eta η H teta θ Θ iota ι I capa κ K lâmbda λ Λ mi μ M Pronúncia Minúscula Maiúscula ni ν N ksi ξ Ξ omicron ο O pi π Π rho ρ P sigma σ Σ tau τ T upsilon υ Υ phi φ Φ khi χ X psi ψ Ψ ômega ω Ω pertence existe não pertence não existe está contido para todo ou qualquer que seja não está contido conjunto vazio contém N conjunto dos números naturais não contém Z conjunto dos números inteiros tal que Q conjunto dos números racionais implica que Q I conjunto dos números irracionais se e somente se R conjunto dos números reais Unidade 2 Derivadas Esta unidade está dividida em 3 tópicos Tópico 1 Conceitos iniciais de derivada de uma função real Tópico 2 Propriedades de derivação Tópico 3 Derivada de funções trigonométricas e implícitas Unidade 2 Derivadas Tópico 1 Conceitos iniciais de derivada de uma função real Surgimento do estudo do cálculo diferencial e integral é atribuída a dois matemáticos Gottfried Wilhelm Leibniz Alemão 16461716 Isaac Newton Inglês 1643 1727 Problemas físicos Ideia da reta tangente Unidade 2 Derivadas Tópico 1 Conceitos iniciais de derivada de uma função real Leibniz Reta tangente Tangenciar é tocar uma curva em apenas um ponto Precisamos saber o ponto em que a reta vai tocar a curva e o seu coeficiente angular Vamos supor a função e observar a reta tangente no ponto Unidade 2 Derivadas Tópico 1 Conceitos iniciais de derivada de uma função real Newton Problema de taxa de variação Utilizaremos o exemplo da taxa de variação do espaço em relação ou tempo conhecido como velocidade Vamos propor uma situação problema Um objeto se desloca na horizontal obedecendo à seguinte equação onde é o deslocamento em metros no tempo em segundos Determine a velocidade média desse carro no intervalo de tempo de 3 a 6 segundos Unidade 2 Derivadas Tópico 1 Conceitos iniciais de derivada de uma função real Um objeto se desloca na horizontal obedecendo à seguinte equação onde é o deslocamento em metros no tempo em segundos Determine a velocidade média desse carro no intervalo de tempo de 3 a 6 segundos Resolução Usando a função deslocamento descobrimos que Para segundos Para segundos Unidade 2 Derivadas Tópico 1 Conceitos iniciais de derivada de uma função real Um objeto se desloca na horizontal obedecendo à seguinte equação onde é o deslocamento em metros no tempo em segundos Determine a velocidade média desse carro no intervalo de tempo de 3 a 6 segundos Resolução Desta forma Entretanto isso já realizávamos no ensino médio Unidade 2 Derivadas Tópico 1 Conceitos iniciais de derivada de uma função real E se a pergunta fosse Qual a velocidade instantânea no tempo t igual a 4 segundos ou seja o intervalo de tempo deve tender a zero St 2t²5t t4 Vinsta S4 S0 t4 t0 t0 Vinst 12 0 4 0 V ints 3 ms S4 24² 54 S4 12 m S0 20² 50 S0 0 Unidade 2 Derivadas Tópico 1 Conceitos iniciais de derivada de uma função real Sejam com um intervalo aberto e uma função Dizemos que a função é derivável em se o limite existe e é finito Ainda mais a derivada da função no ponto é dada por Outra forma de definir a derivada da função no ponto é através do limite Fx 4x 1 Unidade 2 Derivadas Tópico 1 Conceitos iniciais de derivada de uma função real Exemplo Calcule a deriva da função xh² X² 2xh h² 43² 4² 243 3² 4xh 2h² h Colocar em evidência o h é tirar ele das multiplicações e colocar ele em amostra multiplicando os demais 4xh 2hxh 1h h 4x 2h 1 Fx 2x² x 2 Sempre que o numero não estiver acompanhado de uma incógnita ele é chamo constante C e vamos cortar Se estiver somente a incógnita vai cortar e ficar o multiplicador da incógnita Sempre que a incógnita for elevado a algum valor vamos tombar o numero e multiplicar Fx 4x 1 X³ 3x² 5x 12 Fx 3x² 6x 5 0 fx Unidade 2 Derivadas Tópico 2 Propriedades de derivação REGRAS DE DERIVAÇÃO Ao desenvolver por algumas vezes a derivada de algumas funções foi percebido que havia um lógica envolvida Desta forma apresentaremos agora algumas regras que podem ser utilizadas para certas funções Unidade 2 Derivadas Tópico 2 Propriedades de derivação REGRAS DE DERIVAÇÃO Derivada de uma constante A função constante é derivável e sua derivada é Exemplo Unidade 2 Derivadas Tópico 2 Propriedades de derivação REGRAS DE DERIVAÇÃO Derivada de uma potência A função é derivável e sua derivada é para todo Exemplo Determine a deriva da função Unidade 2 Derivadas Tópico 2 Propriedades de derivação REGRAS DE DERIVAÇÃO Derivada da função logarítmica natural base e A função é derivável e sua derivada é Exemplo Determine a derivada da função Cuidado Neste caso a função cosseno está apenas com o x para outras situações veremos posteriormente Derivadas Sejam u e v funções deriváveis de x e n constante 1 y un y n un1 u 2 y uv y uv vu 3 y uv y uv vuv2 4 y au y au ln a u a 0 a 1 5 y eu y eu u 6 y loga u y u u loga e 7 y ln u y 1u u 8 y uv y v uv1 u uv ln u v 9 y sen u y u cos u 10 y cos u y u sen u 11 y tg u y u sec2 u 12 y cotg u y u cosec2 u 13 y sec u y u sec u tg u 14 y cosec u y u cosec u cotg u 15 y arc sen u y u1u2 16 y arc cos u y u1u2 17 y arc tg u y u1u2 18 y arc cotg u y u1u2 19 y arc sec u u 1 y uuu21 u 1 20 y arc cosec u u 1 y uuu21 u 1 Integrais 1 du u c 2 un du un1n1 c n 1 3 duu ln u c 4 au du auln a c a 0 a 1 5 eu du eu c 6 sen u du cos u c 7 cos u du sen u c 8 tg u du ln sec u c 9 cotg u du ln sen u c 10 sec u du ln sec u tg u c 11 cosec u du ln cosec u cotg u c 12 sec u tg u du sec u c 13 cosec u cotg u du cosec u c 14 sec2 u du tg u c 15 cosec2 u du cotg u c 16 duu2a2 1a arc tg ua c 17 duu2a2 12a ln uaua c u2 a2 18 duu2a2 ln u u2 a2 c 19 duu2a2 ln u u2 a2 c 20 dua2u2 arc sen ua c u2 a2 21 duuu2a2 1a arc sec ua c Unidade 2 Derivadas Tópico 2 Propriedades de derivação REGRAS DE DERIVAÇÃO h Considere uma função que seja derivável então para qualquer constante a função e sua derivada é este já aplicamos em alguns exemplos anteriores i Regra da Soma Considere duas funções e que sejam deriváveis então a função e sua derivada é Exemplo Unidade 2 Derivadas Tópico 2 Propriedades de derivação REGRAS DE DERIVAÇÃO Regra do Produto Sejam e duas funções quaisquer consideremos h a função definida por Se e existirem então Unidade 2 Derivadas Tópico 2 Propriedades de derivação REGRAS DE DERIVAÇÃO Regra do Produto Exemplo Determine a deriva da função Resolução Usando Logo fx 5x² fx 10x gx x² gx 2x Hx Fxgx fx Gx Hx 5x²2x 10x x² Unidade 2 Derivadas Tópico 2 Propriedades de derivação REGRAS DE DERIVAÇÃO Regra do Quociente Sejam e duas funções e a função definida por com Se e existirem então A resolução por está técnica é semelhante a realizada na do produto Unidade 2 Derivadas Tópico 2 Propriedades de derivação FUNÇÃO COMPOSTA E REGRA DA CADEIA Conhecida como Regra da Cadeia a derivada da função composta parte de um pressuposto bem simples Derivar funções que são combinações de funções Por exemplo a função pode ser entendida como sendo a função composta sendo e Outro exemplo sendo e Unidade 2 Derivadas Tópico 2 Propriedades de derivação Para resolver estas derivadas utilizamos do seguinte Teorema TEOREMA 15 Regra da Cadeia Considere duas funções e deriváveis tal que é a função composta definida por então é derivável e a sua derivada é dada pelo produto Como este forte Teorema podemos apresentar as regras de derivada com mais rigor e aplicáveis em mais situações Unidade 2 Derivadas Tópico 2 Propriedades de derivação DERIVADA DE POTÊNCIAS DE X Se onde é uma função derivável e é um número inteiro não nulo então Exemplo Determine a derivada da função Resolução Sendo Logo Unidade 2 Derivadas Tópico 2 Propriedades de derivação DERIVADA DA FUNÇÃO EXPONENCIAL Se onde é um elemento maior que 0 e diferente de 1 e é uma função derivável então DERIVADA DA FUNÇÃO LOGARÍTMICA Se e é uma função derivável então Caso particular Se e é uma função derivável então Unidade 2 Derivadas Tópico 2 Propriedades de derivação FUNÇÃO INVERSA E SUAS DERIVADAS O estudo da derivada da inversa de uma função requer atenção já que nem toda função é inversível lembrese de que uma função é inversível se e somente se ela é bijetora e que uma função tem apenas uma função inversa Muitas funções podem não ser bijetoras mas através de uma mudança no domínio ou contradomínio podemos tornálas Unidade 2 Derivadas Tópico 2 Propriedades de derivação FUNÇÃO INVERSA E SUAS DERIVADAS Teorema 16 Derivada da Função Inversa Considere uma função derivável e seja a sua inversa ou seja e Então é derivável para todo tal que e sua derivada é Unidade 2 Derivada Tópico 2 Propriedades de derivação DERIVADAS SUCESSIVAS OU DE ORDEM SUPERIOR São as derivadas das derivas ou seja derivamos uma função por várias vezes Podemos denotar cada uma destas derivadas como sendo Derivada primeira Derivada segunda Unidade 2 Derivada Tópico 2 Propriedades de derivação DERIVADAS SUCESSIVAS OU DE ORDEM SUPERIOR Derivada terceira Derivada quarta e assim por diante Unidade 2 Derivada Tópico 3 Derivadas de funções trigonométricas e implícitas DERIVADAS DAS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS Derivada da função seno A função é derivável e sua derivada é Exemplo Determine a derivada da função Usando a regra da cadeia 𝑓 𝑥 6 𝑥 cos 𝑥2 Unidade 2 Derivadas Tópico 3 Derivadas de funções trigonométricas e implícitas DERIVADAS DAS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS e Derivada da função cosseno A função é derivável e sua derivada é Exemplo Determine a derivada da função Unidade 2 Derivadas Tópico 3 Derivadas de funções trigonométricas e implícitas DERIVADAS DAS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS Segue a relação das demais Unidade 2 Derivadas Tópico 3 Derivadas de funções trigonométricas e implícitas DERIVADAS DAS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS Sabemos que as funções trigonométricas não são funções bijetoras por isso não têm inversa Uma maneira de contornar essa situação é fazendo restrições nos seus domínios as funções trigonométricas são periódicas então para tornálas bijetoras vamos restringir seu domínio a um período Para calcular a derivada das funções trigonométricas inversas vamos usar o Teorema da Derivada da Função Inversa estudada no Tópico 2 Unidade 2 Derivadas Tópico 3 Derivadas de funções trigonométricas e implícitas DERIVADAS DAS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS Unidade 2 Derivada Tópico 3 Derivadas de funções trigonométricas e implícitas DERIVADA DE FUNÇÕES IMPLÍCITAS Há funções que são definidas implicitamente através de uma equação da forma envolvendo as variáveis e Um exemplo simples é a equação da circunferência de raio 1 dada como Há equações mais complicadas onde a resolução explícita de em termos de não é simples ou possível como é o caso da equação O objetivo da regra de derivação implícita é o de calcular a derivada de como função de quando é dada implicitamente Unidade 2 Derivada Tópico 3 Derivadas de funções trigonométricas e implícitas DERIVADA DE FUNÇÕES IMPLÍCITAS São quatro os passos para derivar implicitamente uma função Passo 1 Derive os dois lados da equação em relação a considerando como uma função derivável de Passo 2 Reúna os termos que contém em um lado da equação Passo 3 Fatore isolando Passo 4 Encontre Unidade 2 Derivada Tópico 3 Derivadas de funções trigonométricas e implícitas DERIVADA DE FUNÇÕES IMPLÍCITAS Exemplo Encontre a derivada da função definida implicitamente por Resolução Derivando os dois membros em relação a 2yy 2x y 2x2y Isolando o termo Unidade 2 Derivada Tópico 3 Derivadas de funções trigonométricas e implícitas DERIVADA DE FUNÇÕES IMPLÍCITAS Exemplo Determine a deriva implicitamente da função em relação a Resolução Bons estudos UNIASSIVI GRADUAÇÃO E PÓS