Avaliação Final discursiva - Individual 2 mad103

É fundamental compreender a decomposição do polinômio presente no denominador ao resolver integrais que envolvem frações parciais Essa técnica permite simplificar a integração de funções racionais complexas dividindoas em partes menores que podem ser integradas mais facilmente Ao identificar e decompor o denominador em frações parciais podemos aplicar métodos eficazes para encontrar a integral total da função simplificando o processo de cálculo e obtendo resultados mais precisos Desta forma seja a integral a seguir determine a 2 pontos Como o denominador já está fatorado escreva a função racional como uma soma de frações parciais onde cada fração tem um denominador que é um dos fatores irredutíveis do denominador original b 4 pontos Determine as constantes desconhecidas em cada fração parcial determinada no item a c 4 pontos Depois de determinar as constantes no item b integre cada fração parcial e determine o resultado para a integral completa Obs como esta questão é dissertativa é imprescindível apresentar uma justificativa sólida e desenvolver completamente o raciocínio ao longo de todo o processo Os heatsinks são componentes projetados para dissipar o calor gerado por componentes eletrônicos como processadores transistores e outros semicondutores ajudando a manter uma temperatura operacional segura e eficiente Eles são geralmente feitos de materiais com alta condutividade térmica como alumínio ou cobre e possuem uma estrutura com aletas ou superfícies aumentadas para maximizar a dissipação de calor para o ambiente Em testes realizados com um heatsinks notouse que a temperatura média medida em graus Celsius é definida pela função onde as variáveis x e y definem de forma plana um local específico do componente Diante dessas informações responda as perguntas a seguir a 3 pontos Determine a temperatura do heatsinks para as seguintes coordenadas A11 3 B4 8 C14 8 e D17 15 b 2 pontos Determine o domínio da função t c 2 pontos Represente geometricamente o domínio da função t d 3 pontos Determine as derivadas parciais da função t Obs apresente todo o desenvolvimento e raciocínio aplicado na resolução de cada item 2ª Questão 3x2x2²x1 dx determine a Como o denominador já está fatorado escreva a função racional como uma soma de frações parciais onde cada fração tem um denominador que é um dos fatores irredutíveis do denominador original Utilizando o método de frações parciais temos 3x2x2²x1 Ax1 Bx2 Cx2² b Determine as constantes desconhecidas em cada fração parcial determinada no item a R 3x 2 Ax2² Bx1x2 Cx1 3x 2 Ax² 4x 4 Bx² x 2 Cx C 3x 2 Ax² 4Ax 4A Bx² Bx 2B Cx C 3x 2 A Bx² 4A B Cx 4A 2B C I A B 0 A B II 4A B C 3 4B B C 3 III 4A 2B C 2 3B C 3 C 3 3B 1 Digitalizado com CamScanner Substituindo A B e C 3 3B em III temos 4B 2B 3 3B 2 9B 1 B 19 A 19 C 249 ou C 83 c Integre cada fração parcial e determine o resultado para a integral completa 3x 2 dx x 22 x 1 19 dx x 1 19 dx x 2 249 dx x 22 19 dx x 1 19 dx x 2 249 dx x 22 19 dx x 1 19 dx x 2 249 x 22 dx du u ln u C du u ln u C up du up1 p1 u x 1 du 1 u x 2 du 1 u x 2 du 1 19 ln x 1 19 ln x 2 249 x 221 21 2 Digitalizado com CamScanner 19 ln x 1 19 ln x 2 249 x 21 1 19 ln x 1 19 ln x 2 249 1 x 2 C 19 ln x 2 ln x 1 8 3x 2 C ou ainda simplificando ainda mais 19 ln x 2 x 1 8 3x 2 C 3 Digitalizado com CamScanner 1º Questão Introdução à Engenharia tx y y 2x 18 y 1 a Determine a temperatura dos hastesinks para as seguintes coordenadas A113 B48 C148 D1715 t113 3 211 18 3 1 t113 25 9 t113 14 A113 14C t48 8 24 18 8 1 t48 8 8 18 9 t48 16 18 3 t48 4 6 10 B48 10C t148 8 214 18 8 1 t148 36 18 9 t148 6 6 12 C148 12C t1715 15 217 18 15 1 49 18 16 7 18 4 D1715 115C 1 Digitalizado com CamScanner b Determine o domínio da função t R O domínio da função t x y é dado pelas condições para que a função seja definida A expressão sob a raiz quadrada deve ser não negativa assim y 2x 0 Além disso o denominador não pode ser zero então y 1 0 ou seja y 1 Portanto o domínio de t x y é x y R² y 2x 0 y 1 c Represente geometricamente o domínio da função t y y 2x y 1 O domínio seria a área acima da reta y 2x e acima da linha y 1 d Determine as derivadas parciais da função t t x y y 2x 18 y 1 Calculamos tx e ty tx x y 2x 18 y 1 Traçar y como constante x y 2x y 2x y 2x12 x y 2x x y 2x12 12 y 2x12 2 utilizando regra da cadeia x 22 y 2x 12 x y 2x12 x 1 y 2x Agora calcular y y y 2x 18 y 1 Vamos separar em duas y y 2x y 18 y 1 y y 2x y 18 y 1 12 y y 2x12 18 y y 112 12 y 2x12 1 18 12 y 132 1 12 1 y 2x 9 1 y 132 y 1 2 y 2x 9 y 13