Cálculo Diferencial e Integral - Caderno de Estudos

2011 CálCulo DiferenCial e integral Prof Ruy Piehowiak Copyright UNIASSELVI 2011 Elaboração Prof Ruy Piehowiak Revisão Diagramação e Produção Centro Universitário Leonardo da Vinci UNIASSELVI Ficha catalográfica elaborada na fonte pela Biblioteca Dante Alighieri UNIASSELVI Indaial 51543 P613c Piehowiak Ruy Cálculo diferencial e integral Ruy Piehowiak Indaial UNIASSELVI 2011 259 p il Inclui bibliografia ISBN 9788578304218 1 Cálculo integral diferencial I Centro Universitário Leonardo da Vinci Ensino a Distância II Título Impresso por III apresentação Seja bemvindoa à disciplina de Cálculo Diferencial e Integral Nesta disciplina você irá conhecer os métodos de Cálculo Diferencial e Integral que tem como elemento base a função pois as operações matemáticas no cálculo serão feitas sobre as funções em processos infinitos para obter aplicar e generalizar resultados Para que serve o Cálculo Diferencial e Integral Derivada Integral Calma não é tão difícil quanto parece São apenas operações matemáticas que facilitam e muito nossas vidas nos dias de hoje Portanto este Caderno de Estudos servirá de rumo para você começar a construir e organizar seus conhecimentos ao longo desse período de estudo A disciplina fornece uma série de ferramental necessário a outras disciplinas como por exemplo para a Física O cálculo é considerado um dos maiores feitos do intelecto humano Espero que além de perceber a utilidade também perceba a beleza matemática O entendimento do conteúdo e das nuances que circundam este estudo é apenas a ponta do iceberg principalmente para aqueles alunos que pretendem avançar seus estudos como em especialização mestrado etc Prof Ruy Piehowiak IV Você já me conhece das outras disciplinas Não É calouro Enfi m tanto para você que está chegando agora à UNIASSELVI quanto para você que já é veterano há novidades em nosso material Na Educação a Distância o livro impresso entregue a todos os acadêmicos desde 2005 é o material base da disciplina A partir de 2017 nossos livros estão de visual novo com um formato mais prático que cabe na bolsa e facilita a leitura O conteúdo continua na íntegra mas a estrutura interna foi aperfeiçoada com nova diagramação no texto aproveitando ao máximo o espaço da página o que também contribui para diminuir a extração de árvores para produção de folhas de papel por exemplo Assim a UNIASSELVI preocupandose com o impacto de nossas ações sobre o ambiente apresenta também este livro no formato digital Assim você acadêmico tem a possibilidade de estudálo com versatilidade nas telas do celular tablet ou computador Eu mesmo UNI ganhei um novo layout você me verá frequentemente e surgirei para apresentar dicas de vídeos e outras fontes de conhecimento que complementam o assunto em questão Todos esses ajustes foram pensados a partir de relatos que recebemos nas pesquisas institucionais sobre os materiais impressos para que você nossa maior prioridade possa continuar seus estudos com um material de qualidade Aproveito o momento para convidálo para um batepapo sobre o Exame Nacional de Desempenho de Estudantes ENADE Bons estudos UNI Olá acadêmico Para melhorar a qualidade dos materiais ofertados a você e dinamizar ainda mais os seus estudos a Uniasselvi disponibiliza materiais que possuem o código QR Code que é um código que permite que você acesse um conteúdo interativo relacionado ao tema que você está estudando Para utilizar essa ferramenta acesse as lojas de aplicativos e baixe um leitor de QR Code Depois é só aproveitar mais essa facilidade para aprimorar seus estudos UNI Olá acadêmico Você já ouviu falar sobre o ENADE Se ainda não ouviu falar nada sobre o ENADE agora você receberá algumas informações sobre o tema Ouviu falar Ótimo este informativo reforçará o que você já sabe e poderá te trazer novidades Vamos lá Qual é o significado da expressão ENADE EXAME NACIONAL DE DESEMPENHO DOS ESTUDANTES Em algum momento de sua vida acadêmica você precisará fazer a prova ENADE Que prova é essa É obrigatória organizada pelo INEP Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais Anísio Teixeira Quem determina que esta prova é obrigatória O MEC Ministério da Educação O objetivo do MEC com esta prova é o de avaliar seu desempenho acadêmico assim como a qualidade do seu curso Fique atento Quem não participa da prova fica impedido de se formar e não pode retirar o diploma de conclusão do curso até regularizar sua situação junto ao MEC Não se preocupe porque a partir de hoje nós estaremos auxiliando você nesta caminhada Você receberá outros informativos como este complementando as orientações e esclarecendo suas dúvidas Você tem uma trilha de aprendizado do ENADE receberá emails SMS seu tutor e os profissionais do polo também estarão orientados Participará de webconferências entre outras tantas atividades para que esteja preparado para mandar bem na prova ENADE Nós aqui no NEAD e também a equipe no polo estamos com você para vencermos este desafio Conte sempre com a gente para juntos mandarmos bem no ENADE VII sumário UNIDADE 1 LIMITE E CONTINUIDADE DE UMA FUNÇÃO 1 TÓPICO 1 LIMITE DE UMA FUNÇÃO 3 1 INTRODUÇÃO 3 2 CONCEITO DE LIMITE 3 3 DEFINIÇÃO DO LIMITE DE UMA FUNÇÃO 9 4 PROPRIEDADES DO LIMITE 13 41 OPERAÇÕES COM LIMITE 14 RESUMO DO TÓPICO 1 17 AUTOATIVIDADE 18 TÓPICO 2 LIMITES INDETERMINADOS E LATERAIS 19 1 INTRODUÇÃO 19 2 INDETERMINAÇÃO 19 3 LIMITES LATERAIS 26 RESUMO DO TÓPICO 2 34 AUTOATIVIDADE 35 TÓPICO 3 MAIS UM POUCO DE LIMITES 37 1 INTRODUÇÃO 37 2 LIMITES NO INFINITO 37 3 CÁLCULO DE LIMITES NO INFINITO 38 4 LIMITES INFINITOS 44 5 LIMITES FUNDAMENTAIS 51 RESUMO DO TÓPICO 3 58 AUTOATIVIDADE 60 TÓPICO 4 CONTINUIDADE 63 1 INTRODUÇÃO 63 2 DEFINIÇÃO DE CONTINUIDADE 63 3 CONTINUIDADE EM UM INTERVALO 69 4 CONTINUIDADE DOS POLINÔNIOS E DAS FUNÇÕES RACIONAIS 70 5 TEOREMA DO VALOR INTERMEDIÁRIO 71 LEITURA COMPLEMENTAR 74 RESUMO DO TÓPICO 4 77 AUTOATIVIDADE 78 UNIDADE 2 DERIVADA 81 TÓPICO 1 DERIVADA DE UMA FUNÇÃO 83 1 INTRODUÇÃO 83 2 CONCEITO DE DERIVADA 83 3 INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DA DERIVADA 88 4 DERIVADAS LATERAIS 91 VIII 5 CÁLCULO DAS DERIVADAS REGRAS DE DERIVAÇÃO 95 RESUMO DO TÓPICO 1 100 AUTOATIVIDADE 101 TÓPICO 2 DERIVADA DA FUNÇÃO COMPOSTA 103 1 INTRODUÇÃO 103 2 DERIVADA DA FUNÇÃO COMPOSTA REGRA DA CADEIA 103 21 DERIVADA DE POTÊNCIAS DE x 105 22 DERIVADA DA FUNÇÃO EXPONENCIAL 106 23 DERIVADA DA FUNÇÃO LOGARÍTMICA 107 24 DERIVADA DA FUNÇÃO EXPONENCIAL COMPOSTA 108 25 DERIVADA DAS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 108 3 DERIVADA DA FUNÇÃO INVERSA 110 RESUMO DO TÓPICO 2 113 AUTOATIVIDADE 114 TÓPICO 3 DERIVADA DE FUNÇÕES IMPLÍCITAS E ALGUMAS APLICAÇÕES 115 1 INTRODUÇÃO 115 2 DERIVADAS IMPLÍCITAS 115 3 DERIVADAS SUCESSIVAS OU DE ORDEM SUPERIOR 119 4 TAXA DE VARIAÇÃO 121 5 TAXAS RELACIONADAS 124 RESUMO DO TÓPICO 3 127 AUTOATIVIDADE 128 TÓPICO 4 ANÁLISE DO COMPORTAMENTO DAS FUNÇÕES I 129 1 INTRODUÇÃO 129 2 FUNÇÕES CRESCENTES E DECRESCENTES 129 3 MÁXIMOS E MÍNIMOS 131 4 CONCAVIDADE 133 5 PONTOS DE INFLEXÃO 134 RESUMO DO TÓPICO 4 137 AUTOATIVIDADE 138 TÓPICO 5 ANÁLISE DO COMPORTAMENTO DAS FUNÇÕES II 139 1 INTRODUÇÃO 139 2 TESTE DA DERIVADA PRIMEIRA 139 3 TESTE DA DERIVADA SEGUNDA 141 4 ASSÍNTOTAS HORIZONTAIS E VERTICAIS 142 5 ESBOÇO DO GRÁFICO 144 RESUMO DO TÓPICO 5 149 AUTOATIVIDADE 150 TÓPICO 6 APLICAÇÕES DA DERIVADA 151 1 INTRODUÇÃO 151 2 TEOREMAS 151 21 TEOREMA DE ROLLE 151 22 TEOREMA DO VALOR MÉDIO 152 3 PROBLEMAS DE MAXIMIZAÇÃO E MINIMIZAÇÃO 154 4 REGRAS DE LHOSPITAL 159 LEITURA COMPLEMENTAR 162 RESUMO DO TÓPICO 6 166 AUTOATIVIDADE 167 IX UNIDADE 3 INTEGRAÇÃO 169 TÓPICO 1 INTRODUÇÃO À INTEGRAL 171 1 INTRODUÇÃO 171 2 INTRODUÇÃO À INTEGRAL 171 3 INTEGRAL INDEFINIDA 171 4 PROPRIEDADES DA INTEGRAL INDEFINIDA 174 5 INTEGRAIS IMEDIATAS 175 6 INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO 177 RESUMO DO TÓPICO 1 186 AUTOATIVIDADE 187 TÓPICO 2 DEFININDO ÁREA COMO UM LIMITE 189 1 INTRODUÇÃO 189 2 O CONCEITO DE ÁREA 189 3 INTEGRAL DEFINIDA 190 31 SOMA DE RIEMANN 190 32 ÁREA SOB UMA CURVA 192 4 PROPRIEDADES DA INTEGRAL DEFINIDA 193 5 TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO 194 RESUMO DO TÓPICO 2 200 AUTOATIVIDADE 201 TÓPICO 3 APLICAÇÕES DA INTEGRAL DEFINIDA 203 1 INTRODUÇÃO 203 2 ÁREA ENTRE CURVAS 203 3 VOLUMES DE SÓLIDOS DE REVOLUÇÃO 210 31 VOLUME POR DISCOS PERPENDICULARES AO EIXO X 210 32 VOLUME POR DISCOS PERPENDICULARES AO EIXO Y 213 4 VALOR MÉDIO DE UMA FUNÇÃO 215 RESUMO DO TÓPICO 3 218 AUTOATIVIDADE 219 TÓPICO 4 MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO I 221 1 INTRODUÇÃO 221 2 INTEGRAÇÃO POR PARTES 222 3 INTEGRAIS ENVOLVENDO POTÊNCIAS DE SENO E COSSENO 228 31 M ÍMPAR 229 32 N ÍMPAR 230 33 M N PAR 231 4 INTEGRAIS DE REDUÇÃO OU RECORRÊNCIA 233 RESUMO DO TÓPICO 4 237 AUTOATIVIDADE 239 TÓPICO 5 MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO II 241 1 INTRODUÇÃO 241 2 INTEGRAÇÃO DAS FUNÇÕES RACIONAIS POR FRAÇÕES PARCIAIS 241 3 INTEGRAIS IMPRÓPRIAS 247 LEITURA COMPLEMENTAR 252 RESUMO DO TÓPICO 5 255 AUTOATIVIDADE 256 REFERÊNCIAS 257 1 UNIDADE 1 LIMITE E CONTINUIDADE DE UMA FUNÇÃO OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM PLANO DE ESTUDOS A partir desta unidade você será capaz de expressar algebricamente a definição de função intuitivamente aplicar os conceitos que envolvem limites de funções calcular limites de funções através dos teoremas estudados resolver limites quando ocorrer um tipo de indeterminação analisar a continuidade de uma função no ponto x a aplicar o Teorema do Valor Intermediário saber aplicar a definição de limite que serve de base para os demais conceitos de cálculo Esta unidade está dividida em quatro tópicos apresentando os conceitos e os principais teoremas sobre limites de função O primeiro tópico inicia mostrando intuitivamente o conceito de limite a ser estudado nos Tópicos 1 2 e 3 Em cada tópico são apresentados conceitos e teoremas seguidos de diversos exemplos para auxiliáloa na compreensão e resolução dos exercícios propostos no final de cada tópico E ainda é apresentado um resumo do tópico e um texto complementar contendo um teorema e sua demonstração TÓPICO 1 LIMITE DE UMA FUNÇÃO TÓPICO 2 LIMITES INDETERMINADOS E LATERAIS TÓPICO 3 MAIS UM POUCO DE LIMITES TÓPICO 4 CONTINUIDADE Assista ao vídeo desta unidade 3 TÓPICO 1 UNIDADE 1 LIMITE DE UMA FUNÇÃO 1 INTRODUÇÃO O século XVII foi extremamente produtivo para o desenvolvimento da matemática graças em grande parte à invenção do cálculo realizada por Isaac Newton e Gottfried Wilhelm Leibniz O estudo do problema da reta tangente motivou o desenvolvimento do cálculo diferencial que se baseia no conceito de derivada de uma função Por outro lado o estudo do problema da área levou à criação do cálculo integral que se baseia no conceito de antiderivada de uma função 2 CONCEITO DE LIMITE É com base nisso que pretendemos apresentar uma noção intuitiva de limite para que você possa observar o que ocorre com a função fx intuitivamente quando x tende para mais ou menos infinito por exemplo Usaremos limites para definir retas tangentes a gráficos de função Com o limite de uma função também é possível descobrir o que ocorre com a função num determinado ponto Vamos considerar a função fx definida pela expressão fx 1 1 x para x 0 Queremos saber o que ocorre com fx quando x assume valores positivos ou negativos arbitrariamente grandes ou seja x tende para x 0 e x tende para x 0 Observamos no quadro a seguir quando x cresce o que está acontecendo com a função fx UNIDADE 1 LIMITE E CONTINUIDADE DE UMA FUNÇÃO 4 x fx 1 1 x 1 2 2 15 3 1333 500 1002 1000 1001 10000 10001 Quando x cresce ou seja x tende para a função fx aproximase cada vez mais do número 1 Observe no quadro a seguir o que está acontecendo com a função fx quando o valor absoluto de x decresce para valores negativos de x X fx 1 1 x 1 0 2 05 3 0666 100 099 1000 0998 10000 09998 Quando o valor absoluto de x decresce para valores negativos de x ou seja quando x tende para a função fx aproximase do número 1 Assim concluímos dos dois quadros que quando x tende para e quando x tende para a função fx tende para 1 e escrevemos e TÓPICO 1 LIMITE DE UMA FUNÇÃO 5 Lêse o limite da função fx quando x tende para é 1 assim como o limite da função fx quando x tende para Ou ainda quando x fx 1 e quando x fx 1 Agora veja na figura a seguir como é o gráfico da função fx 1 1 x x 0 FIGURA 1 GRÁFICO 11 FONTE O autor Agora consideramos a função fx definida pela expressão para x 3 Queremos verificar o que ocorre com fx quando x assume valores próximos de 3 Observemos no quadro a seguir o que acontece com a função fx quando x aproximase de 3 com valores maiores que 3 x fx 5 025 4 1 35 4 31 100 301 10000 3001 1000000 UNI 1 2 3 4 5 1 1 2 3 5 4 2 3 4 5 1 2 3 4 5 UNIDADE 1 LIMITE E CONTINUIDADE DE UMA FUNÇÃO 6 Então quando x tende a 3 com valores maiores que 3 a função fx assume valores arbitrariamente grandes em módulo Simbolicamente x 3 com x 3 enquanto que fx Observemos no quadro a seguir o que está acontecendo com a função fx quando x aproximase de 3 com valores menores que 3 x fx 1 025 2 1 25 4 29 100 299 10000 2999 1000000 Então quando x tende 3 com valores menores que 3 a função fx assume valores arbitrariamente grandes em módulo Simbolicamente x 3 com x 3 enquanto que fx Assim verificando os dois quadros e também a figura 2 concluímos que quando x tende para 3 a função fx tende para e escrevemos FIGURA 2 GRÁFICO 12 FONTE O autor TÓPICO 1 LIMITE DE UMA FUNÇÃO 7 Vamos analisar outra situação a função fx definida por Queremos analisar o que ocorre com fx quando x assume valores próximos de 2 Observamos no quadro a seguir o que está acontecendo com a função fx quando x aproximase de 2 com valores maiores que 2 Para a construção da tabela temos que ver qual sentença pegar já que a função é dada por três sentenças Neste caso para x 2 usaremos fx 3 x x fx 3 x 4 1 3 0 25 05 21 09 201 099 2001 0999 Então quando x vai aproximandose de 2 com valores maiores que 2 a função fx assume valores cada vez mais próximos do número 1 Simbolicamente x 2 com x 2 enquanto que fx 1 Observamos no quadro a seguir o que está acontecendo com a função fx quando x aproximase de 2 com valores menores que 2 e maiores ou igual a zero Aqui usaremos a sentença fx x2 x fx x2 0 0 1 1 15 225 19 361 199 39601 1999 3996001 Então quando x vai aproximandose de 2 com valores menores que 2 ou igual a zero a função fx assume valores cada vez mais próximos do número 4 Simbolicamente x 2 UNIDADE 1 LIMITE E CONTINUIDADE DE UMA FUNÇÃO 8 com x 2 enquanto que fx 4 Assim verificando os dois quadros e também a figura 3 concluímos que quando x tende para 3 a função fx tende para valores diferentes e escrevemos FIGURA 3 GRÁFICO 13 FONTE O autor Vamos examinar o limite de uma função numa outra situação Como a função se comporta próximo de x 3 Observando a função vemos que se trata de uma função do tipo racional na qual seu conjunto domínio é formado por todos os números reais exceto em x 3 pois para x 3 a função não é definida Com isso para qualquer x 3 podemos simplificar a função fatorando o numerador e cancelando os fatores comuns x 3 para x 3 x fx x 3 25 55 29 59 299 599 2999 5999 Agora atribuindo a x valores próximos de 3 porém maiores que 3 temos e TÓPICO 1 LIMITE DE UMA FUNÇÃO 9 Observamos em ambos os quadros que quando x se aproxima cada vez mais de 3 fx aproximase cada vez mais de 6 Matematicamente dizemos que fx fica arbitrariamente próximo de 6 conforme x se aproxima de 3 ou simplesmente que fx se aproxima do limite 6 quando x se aproxima de 3 Portanto x fx x 3 35 65 31 61 301 601 3001 6001 3 DEFINIÇÃO DO LIMITE DE UMA FUNÇÃO Definição 111 Seja fx definida em um intervalo aberto em torno de a exceto possivelmente em a Dizemos que fx tem limite L quando x tende para a e escrevemos se para cada número ε 0 existir um número correspondente δ 0 tal que para todos os valores de x com 0 x a δ f x L ε Esta definição é uma maneira técnica de expressar a ideia de limite que mostramos nas duas funções anteriormente Vamos entender alguns elementos na definição Assim f x L ε quer dizer que podemos tornar o módulo da diferença tão pequeno quanto desejarmos desde que tomemos o módulo 0 x a δ para um δ suficientemente pequeno de tal modo que a δ x a δ L ε fx L ε Voltamos à função analisada anteriormente próximo de x 3 Com base nos dois quadros calculados verificamos que x 29 fx 59 isto é x 3 29 3 01 fx 6 59 6 01 x 299 fx 599 isto é x 3 299 3 001 fx 6 599 6 001 x 2999 fx 5999 isto é x 3 2999 3 0001 fx 6 5999 6 0001 e também x 31 fx 61 isto é x 3 31 3 01 fx 6 61 6 01 x 301 fx 601 isto é x 3 301 3 001 fx 6 601 6 001 x 3001 fx 6001 isto é x 3 3001 3 0001 fx 6 6001 6 0001 6 3 9 lim 2 3 x x x UNIDADE 1 LIMITE E CONTINUIDADE DE UMA FUNÇÃO 10 Portanto podemos reescrever da seguinte forma x 3 01 fx 6 01 x 3 001 fx 6 001 x 3 0001 fx 6 0001 Então se for dado ε 01 tomamos δ 01 e afirmamos que 0 x 3 01 fx 6 01 Vamos ver como é o gráfico da função FONTE O autor Exemplo 1 Considere a função fx 5 2x Encontre δ 0 tal que fx 3 002 sempre que Mostre usando a Definição 111 que o limite Resolução a Temos que determinar um δ 0 que sirva para ε 002 Conforme a Definição 111 isso vale para todo x x 4 FIGURA 4 GRÁFICO DA FUNÇÃO 1 1 2 2 2 3 4 4 6 8 y 5 x TÓPICO 1 LIMITE DE UMA FUNÇÃO 11 Então fx 3 002 5 2x 3 002 5 2x 3 002 2x 8 002 2 x 4 002 2x 4 002 x 4 001 Assim 0 x 4 001 fx 3 002 Portanto δ 001 b Dado ε 0 devemos encontrar δ 0 tal que sempre que Tomando x 4 temos Portanto quando Assim basta tomar para qualquer que seja ε 0 Logo FIGURA 5 FUNÇÃO DO EXEMPLO 1 FONTE O autor 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 1 1 2 2 3 4 5 UNIDADE 1 LIMITE E CONTINUIDADE DE UMA FUNÇÃO 12 Exemplo 2 Para o limite 3 2 lim 7 x x determine um δ 0 que sirva para ε 01 Resolução Caros acadêmicos percebam o que a questão pede um δ 0 tal que para todo x 10 3 2 7 0 x x δ Para obter o δ vamos fazer duas etapas Primeiramente desenvolveremos a inequação ε a fim de encontrar um intervalo em torno de a 7 no qual a desigualdade valha para todo x a Então encontraremos um valor de δ 0 que coloca o intervalo dentro do intervalo obtido pela primeira inequação A desigualdade vale para todo x no intervalo aberto 641 761 portanto ela vale para todo x 7 nesse intervalo Segunda etapa determinar δ 0 para colocar o intervalo centrado dentro do intervalo 641 x 761 A distância de 7 até o ponto final mais próximo de 641 761 é 059 figura 6 Se tomarmos δ 059 ou qualquer outro número positivo menor então a desigualdade colocará x automaticamente entre 641 e 761 fazendo ou seja 29² x 2² 31² TÓPICO 1 LIMITE DE UMA FUNÇÃO 13 FIGURA 6 FUNÇÃO E INTERVALO DO EXEMPLO 2 FONTE O autor AUTOATIVIDADE Caroa acadêmicoa sugerimos que você determine valores para delta δ como mostramos acima tendo como valores para épsilon ε 1 ε 05 ε 0001 Observe que ainda não calculamos o limite de uma função apenas fizemos análises e verificamos o limite intuitivamente As duas proposições acima e as propriedades listadas a seguir serão essenciais para calcular o limite 4 PROPRIEDADES DO LIMITE Teorema 111 Unicidade do limite Se e então L M Caroa acadêmicoa é importante que você perceba o significado deste Teorema ele quer dizer que se existe então ele é único ATENCAO UNI UNIDADE 1 LIMITE E CONTINUIDADE DE UMA FUNÇÃO 14 Proposição 111 Se a m e n são números reais então 41 OPERAÇÕES COM LIMITE Principais propriedades dos limites Se L M a c são números reais e e então Exemplo 3 Calcule o limite usando as propriedades a b c d e f para todo n inteiro g desde que L 0 e n for par h i j k TÓPICO 1 LIMITE DE UMA FUNÇÃO 15 Resolução Exemplo 4 Calcule o limite usando as propriedades Resolução Exemplo 5 Calcule o limite usando as propriedades Regras da soma e da diferença Regra do produto por uma constante Regra da potência Proposição 111 Regra do quociente Regra da soma e da diferença Regra da potência Portanto Proposição 111 Portanto 2 3 x 1 x 7x 6 lim 5 4 x 2 3 1 7 1 4 1 6 5 UNIDADE 1 LIMITE E CONTINUIDADE DE UMA FUNÇÃO 16 Resolução Exemplo 6 Calcule o limite usando as propriedades Resolução O conceito e o cálculo do limite como mostrado acima é de fundamental importância para a sequência do estudo Assim procure esclarecer todas as dúvidas que surgirem com o tutor para a compreensão do conteúdo IMPORTANTE Regras da soma e da diferença Regra do produto por uma constante Regras da exponencial e seno Proposição 111 Regras da soma e da diferença Regra do produto por uma constante Regras da potência Proposição 111 Regra da raiz Portanto Portanto 17 Neste tópico você viu inicialmente o limite de forma intuitiva Em seguida estudou a definição de limite as proposições e as propriedades Vamos recordar as propriedades do limite Se L M a c são números reais e e então RESUMO DO TÓPICO 1 para todo n inteiro desde que L 0 e n for par 18 AUTOATIVIDADE Agora chegou a sua vez de colocar em prática o que foi estudado Lembrese das orientações dadas para o cálculo dos limites Nos exercícios de 1 a 3 calcule intuitivamente o limite fazendo um quadro de valores 4 Seja fx 2x 2 e os números L 6 a 2 e ε 002 Encontre um intervalo aberto em torno de a no qual a desigualdade f x L ε valha Dê então um valor para δ 0 tal que para todo x satisfazendo 0 x a δ a desigualdade f x L ε seja verdadeira 5 Seja fx x e os números L 2 a 4 e ε 025 Encontre um intervalo aberto em torno de a no qual a desigualdade f x L ε valha Dê então uma valor para δ 0 tal que para todo x satisfazendo 0 x a δ a desigualdade f x L ε seja verdadeira Nos exercícios de 6 a 12 calcule os limites usando as propriedades de limites 1 em a 7 2 em a 4 3 em a 2 6 7 8 9 10 11 12 Assista ao vídeo de resolução da questão 12 Assista ao vídeo de resolução da questão 2 19 TÓPICO 2 LIMITES INDETERMINADOS E LATERAIS UNIDADE 1 1 INTRODUÇÃO Neste tópico vamos entender o que vem a ser indeterminação Por exemplo se considerarmos os limites e e calcularmos estes limites usando a propriedade do limite do quociente e chegaremos à expressão 0 0 que não possui significado pois 0 0 não é número algum Por outro lado que a resolução destes limites é possível 2 INDETERMINAÇÃO Observe que os dois limites têm resultados diferentes Assim fica evidente que a expressão 0 0 não pode ter um valor determinado Vamos supor quetenha um valor ou seja Então A segunda igualdade apenas não é verdadeira se k 0 Ou seja o que estamos querendo dizer é que por exemplo ou ou ou é por este motivo que esta expressão é dita uma indeterminação ou um símbolo de indeterminação UNI e UNIDADE 1 LIMITE E CONTINUIDADE DE UMA FUNÇÃO 20 Até agora calculamos limites do quociente entre duas funções aplicando o item e das propriedades de limites Mas vimos que podem ocorrer situações em que você usando as propriedades encontre 0 0 Cuidado quando isto ocorrer o limite nunca é 0 0 Neste caso o que fazer É o que veremos a seguir neste processo utilizaremos alguns artifícios algébricos Calculando limites de funções podemos também chegar a outras expressões cujo significado ou valor não é determinado Ao todo são sete os símbolos de indeterminação 0 0 0 00 1 e 0 Sempre que no cálculo de um limite você chegar a um destes símbolos deve buscar alguma alternativa para obter o valor do limite usando artifícios algébricos A este trabalho dáse o nome de levantamento de uma indeterminação Nosso objetivo aqui é levantar uma indeterminação que é uma expressão sem sentido que se obtém ao tentar calcular um limite Vamos então calcular os limites Exemplo 1 Calcular Resolução Se no cálculo deste limite você tentar utilizar o item e das propriedades que não pode ser aplicado aqui pois o denominador tem limite zero você chegará à indeterminação 0 0 Neste caso o artifício algébrico usado para levantar a indeterminação obtida é a FATORAÇÃO Para fatorar o denominador x2 9 vamos utilizar o produto notável da forma a2 b2 a ba b Assim você tem x2 9 x2 32 x 3x 3 Desta forma o limite dado será igual a UNI TÓPICO 2 LIMITES INDETERMINADOS E LATERAIS 21 Portanto FIGURA 7 GRÁFICO 21 FONTE O autor Observe que no gráfico figura 7 fica evidente a não existência da imagem para x 3 representada por uma bolinha aberta sobre a curva Caroa acadêmicoa na resolução do exemplo 1 necessitamos fatorar o polinômio Caso não se recorde deste procedimento é importante consultar algum livro do Ensino Fundamental que aborde este tema Exemplo 2 Calcular Resolução Se no cálculo deste limite você tentar utilizar o item e das propriedades que não pode ser aplicado aqui pois o denominador tem limite zero você chegará à indeterminação 0 0 Neste caso o artifício algébrico usado para levantar a indeterminação obtida é a FATORAÇÃO Existem algumas formas de obter os binômios a fim de que eles multiplicados resultem no polinômio de 2º grau Isto é ESTUDOS FUTUROS UNIDADE 1 LIMITE E CONTINUIDADE DE UMA FUNÇÃO 22 Para fatorar os polinômios vamos recordar o estudo sobre as raízes de um polinômio Quando é uma função racional para a qual pα qα 0 o numerador e o denominador necessariamente possuem um ou mais fatores comuns de x α Nesse caso o limite de quando x α pode ser simplificado os fatores comuns e calculado o limite da função simplificada Na decomposição de um polinômio podese usar o método de Briot Ruffini já que uma das raízes do polinômio é conhecida Primeiramente aplicaremos o método de BriotRuffini em x2 6x 5 sabendo que x 1 é raiz do polinômio Assim temos que encontrar o outro binômio usando o método 1º Colocamse os coeficientes do polinômio na primeira linha a partir da segunda coluna Neste caso 1 6 5 2º Na primeira linha primeira coluna colocase a raiz do polinômio Raiz 1 3º Na segunda linha segunda coluna repetese o primeiro coeficiente do polinômio Neste caso 1 4º Para encontrar o próximo coeficiente na segunda linha calculase fazendo 11 6 5 5º Repetese este cálculo para os próximos coeficientes 15 5 0 6º Se o número obtido na segunda linha abaixo do último coeficiente do polinômio for zero então o número que foi colocado na primeira linha primeira coluna é raiz do polinômio E consequentemente os números obtidos na segunda linha são os coeficientes do binômio procurado Logo o binômio procurado é x 5 e assim x2 6x 5 x 1x 5 Repetimos este procedimento para x2 3x 4 x 1x 4 TÓPICO 2 LIMITES INDETERMINADOS E LATERAIS 23 Desta forma o limite dado será igual a Portanto Caroa acadêmicoa na resolução do exemplo 2 necessitamos fatorar o polinômio Foi mostrado o processo pelo método de BriotRuffini mas existem outros modos de obter esta fatoração por exemplo a divisão por chaves Se ainda tem dúvidas não passe ao próximo exemplo Sugiro que consulte algum livro do Ensino Médio que aborde o assunto polinômios para encontrar maiores detalhes do método Exemplo 3 Calcular Resolução Para calcular este limite acontece a mesma situação do anterior chegamos à indeterminação 0 0 Vamos levantar esta indeterminação e para isto você usa o artifício algébrico do produto notável a2 b2 a ba b Você multiplica o numerador da função pelo seu conjugado para eliminar a raiz quadrada do numerador Para não alterar a função você multiplica também o denominador por ESTUDOS FUTUROS UNIDADE 1 LIMITE E CONTINUIDADE DE UMA FUNÇÃO 24 Como temos Portanto Caros acadêmicos este limite resolvido acima pode ser resolvido de outra forma Podemos fazer uma substituição do tipo x t2 t 0 já que a expressão do numerador é formada por uma raiz quadrada Então fazendo a substituição da variável x por t2 a função ficará assim que simplificando temos Observe que o valor que a variável tende também deve ser alterado pois quando t2 16 então x 4 Fique atento esta substituição de variável não elimina a indeterminação apenas faz com que a raiz saia e as expressões virem polinômios onde é possível a simplificação Sugerimos que refaça o exemplo 3 utilizando esta substituição Exemplo 4 Calcular Resolução Calculando este limite pela propriedade e chegaremos à indeterminação 0 0 Desta vez para levantar a indeterminação faremos a substituição da variável x por t3 Aí a função fica da seguinte forma que simplificando fica Observe que quando t3 1 então t 1 Assim UNI TÓPICO 2 LIMITES INDETERMINADOS E LATERAIS 25 este limite é novamente uma situação em que se fatora o numerador e o denominador Portanto Exemplo 5 Calcular Resolução Novamente tentamos calcular o limite pelo item e das propriedades de limites e chegamos à indeterminação 0 0 Usaremos o artifício algébrico da racionalização do numerador da função para levantar a indeterminação como foi feito no exemplo 3 Multiplicase o numerador da função pelo seu conjugado Para não alterar a função você multiplica também o denominador por Já sabemos que a2 b2 a ba b Assim Conforme o que foi discutido acima temos o limite UNIDADE 1 LIMITE E CONTINUIDADE DE UMA FUNÇÃO 26 Portanto 3 LIMITES LATERAIS Ao considerarmos o cálculo do estamos interessados no comportamento da função nos valores próximos de a Vimos no tópico anterior que para calcular o limite é preciso analisar o comportamento da função por valores menores do que a e por valores maiores do que a isto é nos valores de x pertencentes a um intervalo aberto contendo a porém diferentes de a Ainda nos valores desse intervalo que são maiores ou menores que a Definição 121 Seja fx uma função definida em um intervalo aberto d a Dizemos que um número L é o limite à esquerda da função fx quando x tende para a e indicase por se tal que sempre que Perceba que no limite lateral à esquerda temos Este símbolo indica que devemos considerar apenas os valores de x menores do que a TÓPICO 2 LIMITES INDETERMINADOS E LATERAIS 27 Definição 122 Seja fx uma função definida em um intervalo aberto ac Dizemos que um número L é o limite à direita da função fx quando x tende para a e indicase por se tal que sempre que Analogamente no limite lateral à direita temos onde este símbolo indica que devemos considerar apenas os valores de x maiores do que a Vamos ver agora alguns exemplos aplicando as definições acima Exemplo 1 Dada a função determinar Resolução a Pela Definição de limite à esquerda responderemos este item Observe que a função fx está definida por fx x2 1 se x 1 b Agora pela Definição de limite à direita responderemos este item Observe que a função fx está definida por fx 4 x se x 1 c Vamos esboçar o gráfico de fx e sugerimos que verifique os limites laterais no gráfico a b c Esboce o gráfico do fx Logo Logo Assim Assim UNIDADE 1 LIMITE E CONTINUIDADE DE UMA FUNÇÃO 28 FIGURA 8 GRÁFICO 22 FONTE O autor As setas na figura 8 gráfico 22 colocadas no eixo dos x próximos do 1 indicam a aproximação pela esquerda do 1 isto é por valores menores que 1 e a outra seta a aproximação pela direita do 1 isto é por valores maiores que 1 Já as setas na figura 8 colocadas no eixo dos y indicam as tendências dos limites laterais Exemplo 2 Considere a função Determinar se possível e Esboçar o gráfico de fx Resolução Não se pode examinar pois a função fx só está definida para x 2 0 ou seja x 2 Lembra do conceito de domínio de uma função estudado na disciplina de Introdução ao Cálculo Se x 2 então x 2 será um número negativo e Assim não existe Já o é possível calcular basta aplicarmos as propriedades e podemos escrever 1 1 2 1 1 2 2 3 3 4 4 5 x 5 y TÓPICO 2 LIMITES INDETERMINADOS E LATERAIS 29 FIGURA 9 GRÁFICO 23 FONTE O autor Observe na figura 9 gráfico 23 a seta à direita do 2 no eixo dos x indicando os valores maiores que 2 e a seta acima do 1 no eixo dos y indicando o valor do limite encontrado Exemplo 3 Considere a função Calcular Portanto x se x 0 3 se 0 x 3 x se x 3 f x 1 1 1 1 2 2 3 2 2 3 4 x y a b c d UNIDADE 1 LIMITE E CONTINUIDADE DE UMA FUNÇÃO 30 Resolução a Para x 0 temos que fx x assim b Para x 0 0 x 3 temos fx 3 assim Logo pelo Teorema 31 concluímos que não existe c Para x 3 ou seja 0 x 3 você tem fx 3 assim d Para x 3 temos que fx x assim Como e concluímos pelo Teorema 111 que FIGURA 10 GRÁFICO 24 FONTE O autor Teorema 121 Se f é definida num intervalo aberto contendo a exceto possivelmente no ponto a então se e somente se e Exemplo 4 Dada a função f definida por esboce o gráfico da função e analise os limites laterais e 1 1 2 1 1 2 2 3 3 4 4 5 x 5 y TÓPICO 2 LIMITES INDETERMINADOS E LATERAIS 31 Resolução FIGURA 11 GRÁFICO 25 FONTE O autor Quando x tende a 2 para valores menores que 2 isto é pela esquerda então Quando x tende a 2 para valores maiores que 2 isto é pela direita então Neste caso existe limite de fx quando x tende a 2 mesmo que a função não esteja definida para x 2 Pelo Teorema 121 concluise que Para que exista um limite devem existir e ser iguais os limites laterais à esquerda e à direita isto é Quando então este L é um número real Portanto quando dizemos que existe o limite é porque existe um número real L tal que não é um número real é um símbolo Portanto quando dizemos que não existe o limite O símbolo indica o que ocorre com fx quando x se aproxima cada vez mais de a UNI 1 1 2 1 1 2 2 3 3 4 4 5 x y UNIDADE 1 LIMITE E CONTINUIDADE DE UMA FUNÇÃO 32 Exemplo 5 Seja Determine e Resolução Em primeiro lugar devemos escrever hx sem usar valor absoluto Lembramos que Definição de módulo Logo FIGURA 12 GRÁFICO 26 FONTE O autor Observação Veja que pelo Teorema 121 não existe pois nos limites laterais calculados acima eles são diferentes E como temos enfim Agora é fácil e Portanto e 2 2 2 4 4 6 6 2 4 4 6 6 8 y x TÓPICO 2 LIMITES INDETERMINADOS E LATERAIS 33 Exemplo 6 Seja Determine e Resolução Logo 34 RESUMO DO TÓPICO 2 Neste tópico você viu que No cálculo de limites envolvendo indeterminação do tipo 0 0 vimos que precisamos utilizar artifícios algébricos a fim de levantar a indeterminação Lembrese de que se px é um polinômio e pa 0 então significa que x a é uma raiz do polinômio e podese escrever px x aqx No cálculo dos limites laterais podemos usar as propriedades dos limites ou então utilizar o gráfico para determinar o valor do limite O símbolo significa que x se aproxima de a por seu lado negativo ou seja com valores menores do que a O símbolo significa que x se aproxima de a por seu lado positivo ou seja com valores maiores do que a Para que exista o limite devem existir e serem iguais os limites laterais à esquerda e à direita isto é 35 AUTOATIVIDADE Agora chegou a sua vez de colocar em prática o que foi estudado Lembrese das orientações dadas para o cálculo dos limites Nos exercícios de 1 a 8 calcule os limites 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Seja Calcular 10 Seja Calcular 11 Seja Calcular 36 12 Na figura 27 está esboçado o gráfico de uma função y fx Observando o gráfico é possível estimar os seguintes limites 13 Seja fx uma função definida para todo o número real por Determinar o valor da constante k para que exista 1 0 2 1 y x 12 a b c d e f 14 Seja Calcular Assista ao vídeo de resolução da questão 13 Assista ao vídeo de resolução da questão 8 Assista ao vídeo de resolução da questão 9 Assista ao vídeo de resolução da questão 5 37 x 0 1 2 231 5 267 10 282 100 298 1000 2998 TÓPICO 3 MAIS UM POUCO DE LIMITES UNIDADE 1 1 INTRODUÇÃO No tópico anterior estudamos o comportamento de uma função fx quando x aproximase de um número real a Vimos ainda como levantar uma indeterminação do tipo 0 0 Nesta seção iremos analisar o comportamento de uma função fx quando x assume valores positivos arbitrariamente grandes quando x tende para ou valores negativos com valores absolutos arbitrariamente grandes quando x tende para 2 LIMITES NO INFINITO Para início do nosso estudo vamos analisar intuitivamente a função para x 1 Para valores de x por exemplo 0 2 5 10 100 e 1000 e assim por diante de tal forma que x cresça ilimitadamente construímos o seguinte quadro para os correspondentes valores da função fx À medida que x cresce através de valores positivos observamos que os valores da função fx se aproximam cada vez mais de 3 Logo podese dizer que Calcular 38 UNIDADE 1 LIMITE E CONTINUIDADE DE UMA FUNÇÃO Em geral o símbolo infinito não representa nenhum número real e não pode ser empregado na aritmética na maneira usual Definição 131 Seja fx uma função definida em um intervalo a O limite de fx quando x cresce ilimitadamente é L e escrevese se para qualquer ε 0 existir um número A 0 tal que sempre que x A Sugerimos que faça uma análise intuitiva da função acima de tal forma que x decresça ilimitadamente E conclua o que acontece com Definição 132 Seja fx uma função definida em um intervalo a O limite de fx quando x decresce ilimitadamente é L e escrevese se para qualquer ε 0 existir um número B 0 tal que sempre que x B As propriedades dos limites dadas no Tópico 1 permanecem válidas quando substituímos x a por x ou x 3 CÁLCULO DE LIMITES NO INFINITO Teorema 131 Se n é um número natural positivo então UNI ESTUDOS FUTUROS UNI i TÓPICO 3 MAIS UM POUCO DE LIMITES 39 Vamos agora aplicar o Teorema 131 na resolução de exemplos Exemplo 1 Calcular o valor de Resolução Se no cálculo deste limite tentarmos utilizar o item e das propriedades dos limites você chegará à indeterminação Para levantar esta indeterminação vamos dividir o numerador e o denominador de fx por x lembrando que x precisa ser considerado positivo Assim Regra do quociente Regra da raiz ii 40 UNIDADE 1 LIMITE E CONTINUIDADE DE UMA FUNÇÃO Pelo Teorema 131 e Calculando o limite quando x a expressão do lado direito da igualdade acima fica Portanto Exemplo 2 Calcule Resolução Aqui surge uma indeterminação do tipo A fim de usar o Teorema 131 vamos dividir o numerador e o denominador da fração por x3 Isto é possível para x 0 Então Exemplo 3 Calcule Regra da soma Regra do produto por uma constante Propriedade dos limites Teorema 131 Portanto TÓPICO 3 MAIS UM POUCO DE LIMITES 41 Resolução Dividindo o numerador e o denominador por x2 por ser a maior potência de x e aplicando as propriedades de limites e o Teorema 131 obtemos Exemplo 4 Calcule Resolução Neste caso para que possamos usar o Teorema 31 dividimos os dois termos da fração por x Como x podemos supor x 0 e assim Lembremos que se a e b são positivos então Logo Propriedade dos limites Teorema 131 Portanto 42 UNIDADE 1 LIMITE E CONTINUIDADE DE UMA FUNÇÃO Também é possível resolver este tipo de indeterminação onde supondo que x 0 nas divisões que faremos Assim dividimos o numerador e o denominador por x e depois aplicamos as propriedades de limites juntamente com o Teorema 131 Exemplo 5 Calcule Resolução Faremos o mesmo procedimento que no exemplo anterior só que desta vez x é negativo x e assim podemos supor x 0 de modo que Logo UNI Portanto TÓPICO 3 MAIS UM POUCO DE LIMITES 43 Exemplo 6 Calcule Resolução Neste exemplo nos deparamos com uma indeterminação do tipo Vamos multiplicar e dividir a expressão por seguindo a racionalização pelo conjugado Então para x 0 temos Observem que o limite continua indeterminado porém a indeterminação é do tipo Aí faremos do mesmo modo como acima dividimos os termos da fração por x2 e x Portanto Assim 3 4 44 UNIDADE 1 LIMITE E CONTINUIDADE DE UMA FUNÇÃO podemos supor x 0 e assim chegase a 4 LIMITES INFINITOS Vamos estudar limites infinitos isto é limites onde o x se aproxima de um número real a pela esquerda ou pela direita e queremos saber o comportamento da função fx nestas condições Podemos ter o caso em que o limite da função não existe pois seu valor não se aproxima de número algum Assim o limite poderá ser ou já sabemos que estes símbolos são usados para indicar o que acontece com os valores assumidos pela função E ainda podemos encontrar indeterminações do tipo ou Iniciaremos este estudo analisando intuitivamente a função para x 2 Tomando valores para x por exemplo 0 2 5 10 100 e 1000 e assim por diante de tal forma que x cresce ilimitadamente construímos o seguinte quadro para os correspondentes valores da função fx Portanto TÓPICO 3 MAIS UM POUCO DE LIMITES 45 x 0 05 1 1 3 05 5 03 10 0125 100 0010 1000 00010 À medida que x cresce através de valores positivos observamos que os valores da função fx se aproximam cada vez mais de 0 Logo podese dizer que 8 1 0 2 x x lim f x lim x FIGURA 13 GRÁFICO DA FUNÇÃO FONTE O autor Em geral o símbolo infinito não representa nenhum número real e não pode ser empregado na aritmética na maneira usual UNI 2 2 2 2 4 4 4 4 6 6 y x 46 UNIDADE 1 LIMITE E CONTINUIDADE DE UMA FUNÇÃO Definição 132 Seja fx uma função definida num intervalo aberto que contém o ponto a exceto eventualmente em a Dizemos que se para todo A 0 existe um δ 0 tal que fx A sempre que 0 x a δ Definição 133 Seja fx uma função definida num intervalo aberto que contém o ponto a exceto eventualmente em a Dizemos que se para todo B 0 existe um δ 0 tal que fx B sempre que 0 x a δ Além dos limites definidos acima podemos considerar ainda os limites laterais infinitos e os limites infinitos no infinito Teorema 132 Se n é um número natural então Exemplo 1 Calcular Resolução Ao limite aplicamos a propriedade de limites e obtemos Assim aplicamos o Teorema 132 item i no caso n 6 e teremos Portanto UNI i ii se n é par se n é impar TÓPICO 3 MAIS UM POUCO DE LIMITES 47 Exemplo 2 Calcular Resolução Ao limite aplicamos a propriedade de limites e obtemos Assim aplicamos o Teorema 132 item ii no caso n 5 ímpar e teremos Portanto Teorema 133 Seja a um número real qualquer e fx gx funções tais que e sendo k 0 Então Este Teorema nos permite calcular alguns limites infinitos Destacamos que ele também é valido se substituirmos x a por x a x a x ou x Exemplo 3 Calcular Resolução Usando as propriedades de limites e o Teorema 132 teremos UNI a Se k 0 e fx 0 para todo x próximo de a então b Se k 0 e fx 0 para todo x próximo de a então c Se k 0 e fx 0 para todo x próximo de a então d Se k 0 e fx 0 para todo x próximo de a então 48 UNIDADE 1 LIMITE E CONTINUIDADE DE UMA FUNÇÃO Portanto Exemplo 4 Determine e Resolução Para resolver este limite precisamos aplicar a Definição de módulo Temos então que x Considerando x 0 pela Definição de módulo temos x x Assim Considerando x 0 pela Definição de módulo temos x x Assim Exemplo 5 Calcular Portanto Portanto x x 0 x x 0 TÓPICO 3 MAIS UM POUCO DE LIMITES 49 Resolução Quando x 3 x 3 0 Logo A função polinomial é definida por com a0 0 Então Logo o limite da função polinomial quando x é igual ao limite do seu termo de maior grau Vamos justificar a situação colocada no uni no exemplo a seguir Exemplo 6 Seja o limite Resolução Exemplo 7 UNI Portanto Logo e Teorema 131 50 UNIDADE 1 LIMITE E CONTINUIDADE DE UMA FUNÇÃO Exemplo 8 Exemplo 9 Teorema 134 Limite de função racional Seja a função racional com a0 0 e b0 0 Então O que o Teorema 134 nos diz é que um limite de uma função racional pode ser dado pelo limite da razão ou quociente dos termos de maior grau dos polinômios px e qx Este Teorema vai facilitar o cálculo de limite de uma função racional quando a variável x tende para ou tende para Exemplo 10 Determinar Resolução Aplicando o Teorema 134 neste limite temos Exemplo 11 Determinar Portanto TÓPICO 3 MAIS UM POUCO DE LIMITES 51 5 LIMITES FUNDAMENTAIS Nesta seção apresentaremos três Teoremas chamados de limites fundamentais Esta denominação se deve ao fato de que através destes limites podemos calcular outros limites Os limites fundamentais também são casos de indeterminações do tipo 0 0 e 1 Teorema 135 O limite é conhecido como o limite trigonométrico fundamental Veja a demonstração deste Teorema no livro FLEMMING Diva Marília GONÇALVES Mirian Buss Cálculo A funções limite derivação integração São Paulo Pearson Prentice Hall 2007 p 121 Resolução Aplicando o Teorema 134 neste limite temos Exemplo 1 Determine Resolução Para resolver este limite precisamos fazer uma mudança de variável a fim de podermos aplicar o Teorema 135 Fazendo u 7x u 0 quando x 0 Assim ESTUDOS FUTUROS Portanto 52 UNIDADE 1 LIMITE E CONTINUIDADE DE UMA FUNÇÃO Exemplo 2 Determine Resolução Neste limite faremos primeiramente alguns artifícios de cálculo para em seguida utilizar o Teorema 441 Assim Exemplo 3 Determine Resolução Neste caso utilizaremos alguns artifícios de trigonometria para em seguida utilizar o Teorema 441 Assim Portanto Mudança de variável Teorema 135 Teorema 441 Portanto Artifício matemático Definição de secante TÓPICO 3 MAIS UM POUCO DE LIMITES 53 Voltando ao limite temos Teorema 136 Segundo limite fundamental O limite da função de base positiva quando x ou quando x é o número irracional e 2 71828 número de Euler que é a base dos logaritmos naturais Ou seja Relação fundamental da trigonometria Teorema 441 Portanto Artifício matemático e também 54 UNIDADE 1 LIMITE E CONTINUIDADE DE UMA FUNÇÃO A função definida por possui domínio é dado por com x 0 ou seja x 1 ou x 0 Relembrando é igual a 1º caso x 1 0 e x 0 x 1 e x 0 logo x 0 2º caso x 1 0 e x 0 x 1 e x 0 logo x 1 Portanto o domínio é a união do caso 1 com o caso 2 ou seja Podemos concluir também que De fato fazendo notamos que x 0 quando u e assim Exemplo 4 Calcular Resolução Exemplo 5 Determine Resolução Faremos a substituição ou x ku Então x u e temos Portanto TÓPICO 3 MAIS UM POUCO DE LIMITES 55 Exemplo 6 Calcular Resolução Faremos a substituição 3x u Então x u e temos Teorema 137 Terceiro limite fundamental Seja a 0 e a 1 Então Demonstração Consideremos primeiramente a 1 Assim e como In1 0 Suponhamos que a 0 e a 1 Fazendo u ax 1 vamos isolar o x ax 1 u ax u 1 Definição de logaritmo neperiano ln ax lnu 1 xln a lnu 1 Propriedade de logaritmo Substituindo temos Portanto 56 UNIDADE 1 LIMITE E CONTINUIDADE DE UMA FUNÇÃO Concluímos que Caso particular do Teorema 137 pois ln e 1 Exemplo 7 Calcular Resolução Faremos uma substituição u 4x Assim Exemplo 8 Calcular TÓPICO 3 MAIS UM POUCO DE LIMITES 57 Resolução Este limite é uma indeterminação do tipo 0 0 então vamos levantar esta indeterminação Pelas propriedades de potência temos Colocaremos em evidência o fator 25 Assim Exemplo 9 Calcular Resolução Podemos fatorar o denominador como Assim Portanto Teorema 443 Teorema 443 Portanto 58 RESUMO DO TÓPICO 3 Neste tópico estudamos os limites no infinito limites infinitos e os limites fundamentais Nos limites no infinito é importante destacar O Teorema 132 que diz que o para n um número natural qualquer Vimos como levantar indeterminação do tipo utilizando algum artifício algébrico Já nos limites infinitos vimos o comportamento destes limites de forma intuitiva e também pelos gráficos Teorema 131 Se n é um número natural então i ii O Teorema 133 e outros limites importantes podem ser revistos no quadro a seguir Se n é par Se n é impar lim fx lim gx hx lim hx Simbolicamente k 0 k 0 k 0 k 0 k 0 59 Teorema 134 Limite de função racional Seja a função racional com a0 0 e b0 0 Então Também estudamos os limites fundamentais que foram três Teorema 135 Limite trigonométrico fundamental Teorema 136 Segundo limite fundamental Teorema 137 Terceiro limite fundamental Seja a 0 e a 1 Então 60 Agora chegou a sua vez de colocar em prática o que foi estudado Lembrese das orientações dadas para o cálculo dos limites Nos exercícios 1 a 20 calcule os limites AUTOATIVIDADE 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Assista ao vídeo de resolução da questão 11 Assista ao vídeo de resolução da questão 6 61 13 14 15 16 17 18 19 20 Assista ao vídeo de resolução da questão 14 63 TÓPICO 4 CONTINUIDADE UNIDADE 1 1 INTRODUÇÃO No Tópico 2 nesta unidade nos deparamos com cálculos de limites onde o limite não existia Isto é os limites laterais eram diferentes Então aqui iremos estudar estas situações e outras que envolvem a continuidade ou a descontinuidade de funções Intuitivamente gostaríamos de dizer que uma função definida num intervalo é contínua quando seu gráfico é constituído por um traço isto é quando seu gráfico pode ser traçado sem levantar o lápis do papel Essa ideia intuitiva apesar de não ser precisa poderá ser útil em muitas situações Também veremos um Teorema fundamental para o Cálculo o Teorema do Valor Intermediário 2 DEFINIÇÃO DE CONTINUIDADE Definição 141 Uma função fx é contínua no ponto x a se as seguintes condições forem satisfeitas i fa está definida no ponto x a ii existe iii Quando uma ou mais destas condições não é satisfeita dizemos que a função é descontínua em x a Observe os gráficos nas figuras a seguir que mostram situações de funções que não são contínuas em x a 64 UNIDADE 1 LIMITE E CONTINUIDADE DE UMA FUNÇÃO FIGURA 14 GRÁFICO 41 FONTE O autor FONTE O autor FONTE O autor FIGURA 16 GRÁFICO 43 FIGURA 15 GRÁFICO 42 y x a a x y y a x TÓPICO 4 CONTINUIDADE 65 Exemplo 1 Analise a continuidade da função no ponto x 1 Resolução Precisamos verificar se a função satisfaz as três condições da Definição 441 i f1 1 1 ou seja em x 1 a função tem imagem ii Para tratar a existência do limite no ponto precisamos calcular os limites laterais e Logo iii Esta condição é apenas para comparar se os valores no item i e ii são iguais O que comprovamos Portanto a função fx é contínua em x 1 FIGURA 17 MOSTRA A CONTINUIDADE DE FX EM X 1 FONTE O autor Exemplo 2 Analise a continuidade da função no ponto x 4 1 1 1 2 3 2 1 2 x y 2 66 UNIDADE 1 LIMITE E CONTINUIDADE DE UMA FUNÇÃO Resolução Novamente temos que verificar se a função satisfaz as três condições da Definição 441 i f4 42 44 3 3 condição satisfeita ii Verificaremos a existência do limite no ponto para isto vamos calcular os limites laterais e Logo pois os limites laterais são diferentes Assim como o item ii não foi satisfeito podemos concluir que a função fx é descontínua em x 4 conforme pode ser constato na figura a seguir FIGURA 18 MOSTRA A DESCONTINUIDADE DE fx em x 4 FONTE O autor Exemplo 3 Verificar a continuidade da função no ponto x 1 2 2 2 4 6 2 4 4 6 6 8 x y 8 10 12 14 TÓPICO 4 CONTINUIDADE 67 Resolução Precisamos verificar se a função satisfaz as três condições da Definição 441 i f1 1 condição satisfeita ii Calculemos os limites laterais e que é uma indeterminação Por outro lado Assim os limites laterais são diferentes e concluímos que a função é descontínua em x 1 FIGURA 19 FUNÇÃO DESCONTÍNUA EM x 1 FONTE O autor Teorema 141 Se as funções fx e gx forem contínuas no ponto x a então i f g é contínua em x a ii f g é contínua em x a iii f g é contínua em x a iv é contínua em x a se ga 0 e tem uma descontinuidade em x a se ga 0 1 1 1 2 2 3 3 4 1 2 3 y x 2 68 UNIDADE 1 LIMITE E CONTINUIDADE DE UMA FUNÇÃO Exemplo 4 Analisar a continuidade da função dada por em x 2 Resolução Precisamos verificar se a função satisfaz as três condições da Definição 141 i f2 4 condição satisfeita ii Calculemos os limites laterais e que é uma indeterminação Por outro lado iii Neste item temos Portanto a função é contínua no ponto x 2 FIGURA 20 FUNÇÃO CONTÍNUA EM x 2 FONTE O autor Assim 1 1 2 3 1 2 2 3 3 4 4 5 y x TÓPICO 4 CONTINUIDADE 69 Exemplo 5 Analisar a continuidade da função dada por em x 0 Resolução i f0 3 condição satisfeita ii Para calcular os limites laterais vamos primeiro aplicar a Definição de módulo Recordando Assim se x 0 então e se x 0 então Agora analisando os limites laterais temos e Portanto a função não é contínua em x 0 pois não existe Observe que o limite não existe porque os limites laterais são diferentes FIGURA 21 FUNÇÃO DESCONTÍNUA EM x 0 FONTE O autor 3 CONTINUIDADE EM UM INTERVALO Teorema 142 Sejam I um intervalo aberto c I e fx uma função com I Df Então fx é contínua em c se e somente se for contínua à direita e à esquerda no ponto c 1 1 1 1 2 2 2 3 4 2 3 3 4 x y 4 70 UNIDADE 1 LIMITE E CONTINUIDADE DE UMA FUNÇÃO Definição 142 Quando uma função fx é contínua em todo ponto a Df diremos simplesmente que fx é contínua Caso contrário diremos que fx é descontínua Definição 143 Uma função fx é dita contínua em um intervalo fechado ab se as seguintes condições são satisfeitas i fx é contínua em ab ii fx é contínua à direita em x a iii fx é contínua à esquerda em x b Exemplo 1 Analisar a continuidade da função dada por Resolução Como o domínio da função é dado pelo intervalo fechado 77 então precisamos analisar a continuidade de fx no intervalo aberto 77 Teorema 421 e nos dois extremos conforme Definição 422 i Seja c 77 Então existe f c c 77 e Assim fx é contínua em cada ponto do intervalo 77 ii Para analisar a continuidade à direita em x 7 calculamos iii Analisando a continuidade à esquerda em x 7 calculamos Portanto a função é contínua no intervalo fechado 77 4 CONTINUIDADE DOS POLINÔNIOS E DAS FUNÇÕES RACIONAIS Teorema 143 i Uma função polinomial é contínua para todo número real ii Uma função racional é contínua em todos os pontos do seu domínio e tem descontinuidade nos pontos em que o denominador é zero TÓPICO 4 CONTINUIDADE 71 Exemplo 1 Para quais valores de x há um buraco ou uma interrupção no gráfico da função Resolução A função é racional e pelo Teorema 431 ela é contínua em todo seu domínio exceto nos pontos em que o denominador é zero Assim 4 x2 0 obtêmse dois pontos de descontinuidade x 2 e x 2 FIGURA 22 FUNÇÃO DESCONTÍNUA EM x 2 e x 2 FONTE O autor 5 TEOREMA DO VALOR INTERMEDIÁRIO Teorema 144 Teorema do Valor Intermediário TVI Se fx é uma função contínua em um intervalo fechado ab e k é um número qualquer tal que fa k fb então existe no mínimo um número c a b tal que fc k 72 UNIDADE 1 LIMITE E CONTINUIDADE DE UMA FUNÇÃO FIGURA 23 GRÁFICO 410 FONTE O Autor Geometricamente o Teorema do Valor Intermediário diz que qualquer reta horizontal y k interceptando o eixo y entre os números fa e fb interceptará a curva y fx pelo menos uma vez no intervalo ab Observem uma consequência do Teorema 144 se fx é contínua em ab e se fa e fb têm sinais opostos então existe pelo menos um número c entre a e b tal que fc 0 Vejam esta situação representada nas figuras a seguir UNI fb fa a c b x fc k y TÓPICO 4 CONTINUIDADE 73 FIGURA 24 GRÁFICO 411 FONTE O autor Exemplo 1 Verifique que a função fx x4 3x2 5x 3 tem pelo menos uma raiz real no intervalo 01 Resolução A função fx x4 3x2 5x 3 é contínua em 01 conforme o Teorema 143 Calculando os extremos do intervalo temos f0 3 e f1 6 então como consequência do Teorema 144 TVI existe c 01 tal que fc 0 Portanto mostramos que fx possui uma raiz real no intervalo 01 Exemplo 2 Use o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que a função fx x4 x 3 possui uma raiz no intervalo 12 Resolução y fb fa a b c x 74 UNIDADE 1 LIMITE E CONTINUIDADE DE UMA FUNÇÃO LEITURA COMPLEMENTAR 291 TEOREMA Se a for qualquer número exceto 0 e então f será contínua em a Prova O domínio de f é o conjunto de todos os números reais exceto 0 Logo a está nesse domínio A prova estará completa se pudermos mostrar que Para provar isso dois casos devem ser considerados a 0 e a 0 Provaremos o caso em que a 0 e deixaremos a demonstração do caso a 0 como exercício veja Exercício 18 Como está definido para todo x exceto 0 o intervalo aberto requerido pela Definição 211 pode ser qualquer intervalo aberto contendo a mas não contendo 0 Considerando a 0 precisamos mostrar que para todo ε 0 existe um δ 0 tal que se então 6 A função fx x4 x 3 é contínua em 12 conforme o Teorema 143 Calculamos a função nos extremos do intervalo temos f1 1 e f2 15 Assim f1 0 e f2 0 e conforme o Teorema 144 TVI existe c 12 tal que fc 0 Ou seja a equação x4 x 3 tem pelo menos uma raiz c no intervalo 12 Portanto mostramos que fx possui uma raiz real no intervalo 12 pois a 0 Como TÓPICO 4 CONTINUIDADE 75 A afirmativa 6 é equivalente a se então 7 Na parte final de 7 além de x a temos outro fator o quociente Logo para provar 7 precisamos restringir δ para obtermos uma desigualdade envolvendo Escolhendo o intervalo aberto exigido pela Definição 211 como sendo que contém a mas não 0 estamos exigindo Então Agora e 9 Como nossa meta é ter a afirmativa 9 indica que devemos exigir isto é Assim com essas duas restrições em δ escolhemos Com esse δ usamos o seguinte argumento pois a 0 8 e 76 UNIDADE 1 LIMITE E CONTINUIDADE DE UMA FUNÇÃO Mostramos em 8 se e então isto é Continuando a partir de 10 temos Assim mostramos que para todos ε 0 com a seguinte afirmativa será verdadeira se 0 x a δ então Isso prova que se a 0 Logo f é contínua em a se a 0 FONTE LEITHOLD Louis O Cálculo com Geometria Analítica 3 ed São Paulo Harbra 1994 p 123125 v 1 pois a 0 10 e pois 77 RESUMO DO TÓPICO 4 Neste tópico você viu que Uma função fx é contínua no ponto x a se as seguintes condições forem satisfeitas i fa está definida no ponto x a ii existe iii Se a função não satisfizer uma das condições acima será dita uma função descontínua em x a Também vimos que uma função pode ser contínua em um intervalo Uma função polinomial é contínua para todo número real Uma função racional é contínua em todos os pontos do seu domínio e tem descontinuidade nos pontos em que o denominador é zero Teorema do Valor Intermediário Se fx é uma função contínua em um intervalo fechado ab e k é um número qualquer entre fa e fb inclusive então existe no mínimo um número c a b tal que fc k 78 AUTOATIVIDADE Agora chegou a sua vez de colocar em prática o que foi estudado Lembrese das orientações dadas para o cálculo dos limites Nos exercícios de 1 a 6 verifique se cada função a seguir é contínua nos pontos indicados e esboce os gráficos Nos exercícios de 7 a 9 determine se existirem os pontos onde as seguintes funções não são contínuas 1 em x 1 2 em x 3 3 em x 0 4 em x 1 5 em x 1 6 em x 2 7 8 9 79 10 Use o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que a função fx x4 2x3 4x2 8x possui pelo menos uma raiz no intervalo 13 11 Use o Teorema do Valor Intermediário para mostrar que a função fx x3 7x2 3x 2 possui três raízes reais distintas no intervalo 17 Assista ao vídeo de resolução da questão 2 81 UNIDADE 2 DERIVADA OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM PLANO DE ESTUDOS A partir desta unidade você será capaz de entender e compreender o conceito de derivada de uma função e seu significado geométrico calcular a derivada de funções elementares calcular a derivada de funções composta através da regra da cadeia determinar a taxa de variação de uma função encontrar os pontos extremos de uma função resolver problemas que envolvem derivada Iniciamos a unidade apresentando vários conceitos dos elementos que en volvem as equações diferenciais É preciso se apropriar da terminologia e das notações A partir daí estudaremos as equações diferenciais lineares de primeira ordem e também de segunda ordem TÓPICO 1 DERIVADA DE UMA FUNÇÃO TÓPICO 2 DERIVADA DA FUNÇÃO COMPOSTA TÓPICO 3 DERIVADA DE FUNÇÕES IMPLÍCITAS E ALGUMAS APLICAÇÕES TÓPICO 4 ANÁLISE DO COMPORTAMENTO DAS FUNÇÕES I TÓPICO 5 ANÁLISE DO COMPORTAMENTO DAS FUNÇÕES II TÓPICO 6 APLICAÇÕES DA DERIVADA Assista ao vídeo desta unidade 83 TÓPICO 1 DERIVADA DE UMA FUNÇÃO UNIDADE 2 1 INTRODUÇÃO Nesta seção vamos estudar o conceito de uma derivada que é a principal ferramenta matemática utilizada para calcular as taxas de variação e compreender o significado geométrico da derivada 2 CONCEITO DE DERIVADA Definição 211 A derivada de uma função y fx em relação à variável x é uma função denotada por f x cujo valor em x é desde que esse limite exista A notação de Leibniz empregada para derivada de uma função fx também pode ser indicada por ou df dx Caroa acadêmicoa o matemático alemão Gottfried Wilhelm Leibniz contribuiu muito para o desenvolvimento da matemática principalmente para o cálculo Sugiro que pesquise a biografia de Leibniz ESTUDOS FUTUROS UNIDADE 2 DERIVADA 84 Exemplo 1 Calcule a derivada de fx para fx 5x² 7 Resolução Se x for qualquer número do domínio de fx então da Definição 211 temos Portanto a derivada de uma função fx é dada por f x 10x Apresentamos agora um esquema para facilitar o cálculo da derivada Simmons 2005 p 80 através da definição O processo de calcular realmente a derivada fx chamase derivação ou diferenciação da função dada fx Esta é a operação fundamental do Cálculo da qual tudo o mais depende Em princípio seguiremos simplesmente as instruções computacionais especificadas em 1 Essas instruções podem ser arranjadas num procedimento sistemático denominado regra dos três passos ou etapas Passo 1 Escreva a diferença fx x fx para a particular função em consideração e se possível simplifiquea até o ponto em que x seja um fator Passo 2 Divida por x para formar o quociente das diferenças fx x fx x e manipuleo de modo a preparar o caminho para o cálculo de seu limite quando x 0 Na maioria dos exemplos e problemas deste capítulo essa manipulação envolve nada mais que cancelar x do numerador e do denominador TÓPICO 1 DERIVADA DE UMA FUNÇÃO 85 Passo 3 Calcule o limite do quociente das diferenças quando x 0 Se o Passo 2 atingiu seu propósito só uma simples inspeção é necessária aqui Exemplo 2 Dada a função calcule fx Resolução Se x for um número qualquer do domínio de fx ou seja for tal que x 4 então da Definição 211 temos Portanto A partir da derivada da função y fx podemos definir a derivada de uma função no ponto x0 Para isto basta substituir x por x0 na Definição 211 Definição 212 Dizemos que uma função y fx é diferenciável ou derivável em x0 se existe o limite UNIDADE 2 DERIVADA 86 Também é possível representar fx0 por Exemplo 3 Calcule a derivada da função fx 2x³ 5 no ponto x0 3 Resolução Se fx 2x³ 5 então fx 23³ 5 49 Assim utilizando a Definição 112 temos Logo a função fx 2x³ 5 é derivável no ponto x0 3 sendo f 3 54 Exemplo 4 Calcule a derivada da função no ponto x0 1 Resolução Se calculamos TÓPICO 1 DERIVADA DE UMA FUNÇÃO 87 Agora utilizando a Definição 112 temos Portanto Teorema 211 Se uma função fx é derivável num ponto x0 do seu domínio então fx é contínua em x0 ou seja A partir do Teorema 211 verificamos que se uma função é descontínua em um ponto nesse ponto ela não é derivável Portanto a continuidade da função num determinado ponto é condição necessária para que ela seja derivável nesse ponto Porém esta não é uma condição suficiente uma função pode ser contínua sem ser derivável num ponto Para ilustrar sobre o que foi comentado no ícone acima vamos ver através dos dois gráficos a seguir Figura 25a e Figura 25b que mostram duas situações comuns nas quais uma função que é contínua em x0 pode deixar de ser derivável em x0 UNI Indeterminação Usamos o artifício algébrico a² b² a b a b UNIDADE 2 DERIVADA 88 FIGURA 25a GRÁFICO 11a FONTE O autor FIGURA 25b GRÁFICO 11b FONTE O autor 3 INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DA DERIVADA Veremos que derivada de uma função num dado ponto quando existe tem um significado geométrico importante Vamos definir a inclinação de uma curva y fx para em seguida encontrar a equação da reta tangente Seja y fx uma curva definida no intervalo a b na figura a seguir Sejam Px1 y1 e Qx2 y2 dois pontos distintos da curva Seja s a reta secante que passa pelos pontos P e Q Considerando o triângulo retângulo PMQ na figura a seguir temos que a inclinação da reta s ou coeficiente angular de s é 1 1 1 2 2 1 2 2 3 4 1 1 1 1 2 2 3 3 4 4 5 6 TÓPICO 1 DERIVADA DE UMA FUNÇÃO 89 FIGURA 26 A INCLINAÇÃO DA RETA S OU COEFICIENTE ANGULAR DE S É FONTE O autor FIGURA 27 INCLINAÇÃO DA RETA TANGENTE À CURVA NO PONTO P FONTE O autor Suponhamos agora que mantendo P fixo Q se mova sobre a curva em direção a P Diante disto a inclinação da reta secante s variará À medida que Q vai se aproximando cada vez mais de P a inclinação da secante s varia cada vez menos tendendo para o valor limite constante como mostra a figura a seguir Esse valor limite é chamado inclinação da reta tangente à curva no ponto P Definição 213 Dada uma curva y fx seja Px1 y1 um ponto sobre esta curva a inclinação da reta tangente à curva no ponto P é dada por quando o limite existe UNIDADE 2 DERIVADA 90 Portanto x 2y 1 0 é a equação da reta tangente à curva no ponto 1 f1 como pode ser observado no gráfico figura a seguir Fazendo x2 x1 x podemos reescrever o limite acima na forma Com isso podemos concluir que a derivada de uma função fx em um ponto x0 quando existe coincide com o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função no ponto de abscissa x0 Você já estudou em Geometria Analítica como calcular a equação da reta tangente à curva no ponto x0 dado Então vejamos como fazer isso A equação de uma reta não vertical passando em um ponto x0 y0 é y y0 mx x0 onde a é o coeficiente angular da reta Se fx é uma função derivável em x x0 segue da interpretação geométrica da derivada que a reta tangente ao gráfico de fx no ponto x0 fx0 tem coeficiente angular m f x0 Assim a equação da reta é dada por y fx0 fx0 x x0 Exemplo 1 Encontre a inclinação da reta tangente à curva no ponto 1 f1 Resolução No exemplo 4 já calculamos que conforme a Definição 211 corresponde à inclinação da reta no ponto 1 f1 Então m Agora calculase Usando a equação temos ou ainda TÓPICO 1 DERIVADA DE UMA FUNÇÃO 91 FIGURA 28 GRÁFICO 14 FONTE O autor 4 DERIVADAS LATERAIS Definição 214 Seja fx uma função definida no intervalo aberto I e seja a um elemento de I i Se existe e é finito dizemos que fx possui derivada à esquerda em a representada por ii Se existe e é finito dizemos que fx possui derivada à direita em a representada por Uma função é derivável em um ponto quando as derivadas à direita e à esquerda nesse ponto existem e são iguais Quando as derivadas laterais esquerda e direita existem e são diferentes em um ponto a dizemos que este é um ponto anguloso do gráfico da função Exemplo 1 Seja Verifique se fx é derivada no ponto x0 0 Caso seja calcule f 00 UNIDADE 2 DERIVADA 92 Resolução Observe pelo gráfico figura a seguir que fx é contínua em x0 0 Estudamos no Tópico 4 da Unidade 1 a continuidade das funções vista na Definição 241 Assim a verificação da continuidade fica a seu cargo Para verificar se fx é derivada no ponto x0 0 é necessário calcular as derivadas de f neste ponto pois a expressão que define f à esquerda não é a mesma que define f à direita de 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 lim lim lim lim 0 x x x x x f x x x f x x x x 2 0 0 0 0 0 0 0 0 lim lim lim lim 0 x x x x x x x f x f x x x x Como 0 0 f f concluímos que f é derivada no ponto x0 0 FIGURA 29 FX É CONTÍNUA EM X0 0 FONTE O autor Exemplo 2 Seja Verifique se fx tem derivada no ponto x0 2 Caso tenha calcule f1 Resolução Observe inicialmente que fx é contínua em x0 2 Para verificar se fx tem derivada no ponto x0 2 é necessário calcular as derivadas de fx neste ponto pois a expressão que define fx à esquerda não é a mesma que define fx à direita de 2 2 2 4 5 6 3 3 1 1 1 1 2 2 3 3 4 5 6 TÓPICO 1 DERIVADA DE UMA FUNÇÃO 93 Se x 0 então x é negativo e portanto 2 x 2 Como fx x² se x 2 segue que f2 x 2 x2 Como concluímos que f não é derivável em x0 2 FIGURA 30 GRÁFICO 16 FONTE O autor Exemplo 3 Calcule as derivadas laterais da função nos pontos x0 3 e x0 6 Resolução Temos que Como então fx não é derivável em x 3 isto é não existe f 3 Em x0 6 temos 1 1 1 2 1 2 2 3 3 4 4 5 5 y x 6 UNIDADE 2 DERIVADA 94 Discutiremos a diferenciabilidade de uma função num ponto segundo Finney 2002 p 151152 Quando uma Função Não Apresenta Derivada em um Ponto Uma função terá derivada em um ponto x0 se os coeficientes angulares das retas secantes que passam por Pxo fxo e um ponto Q próximo no gráfico tenderem a um limite à medida que Q se aproxima de P Quando as secantes não têm uma única posiçãolimite ou se tornam verticais à medida que Q tende a P a derivada não existe Uma função não terá derivada em um ponto se o gráfico apresentar 1 um bico onde as derivadas laterais são diferentes FIGURA 31 2 UM PONTO CUSPIDAL ONDE O COEFICIENTE ANGULAR DE PQ TENDE A PARA UM LADO E A PARA O OUTRO FONTE O autor FIGURA 32 3 UMA TANGENTE VERTICAL ONDE O COEFICIENTE ANGULAR DE PQ TENDE A OU A PARA AMBOS OS LADOS AQUI FONTE O autor TÓPICO 1 DERIVADA DE UMA FUNÇÃO 95 FIGURA 33 4 UMA DESCONTINUIDADE FONTE O autor FIGURA 34 GRÁFICO 36 FONTE O autor 5 CÁLCULO DAS DERIVADAS REGRAS DE DERIVAÇÃO Na resolução de problemas que envolvem derivadas aplicamse algumas regras que nos permitem calcular a derivada sem usar diretamente os limites Pois todas as regras que veremos decorrem dos limites a Derivada de uma constante Se c é uma constante e fx 0 para todo x então fx 0 UNIDADE 2 DERIVADA 96 Exemplo 1 Se fx 5 então e fx 0 Exemplo 2 Se então fx 0 b Derivada da função identidade Se fx x então fx 1 c Derivada de uma função afim Considerando a função fx ax b sendo a e b números reais e a não nulo Temos fx a Exemplo 3 Se fx 6x 4 então fx 6 Exemplo 4 Se fx 3 7x então fx 7 Se fx 2x 9 então fx 2 d Derivada de uma potência Seja fx xn então fx nxn1 Exemplo 5 Se fx x4 então fx 4x3 Exemplo 6 Se então e Derivada da função cosseno Se fx cos x então f x sen x f Derivada da função seno TÓPICO 1 DERIVADA DE UMA FUNÇÃO 97 Se fx sen x então f x cos x g Derivada da função logarítmica natural base e Se fx ln x então loge x ln x também chamado de logaritmo neperiano h Derivada do produto de uma constante por uma função Sejam f uma função c uma constante e g uma função definida por gx cfx Se f x existe então gx cf x Exemplo 7 Se fx 2senx então f x 2cosx Exemplo 8 Se então Exemplo 9 Se então Exemplo 10 Se então i Derivada de uma soma Sejam f e g duas funções e h a função definida por hx fx gx Se fx e gx existirem então hx f x gx Exemplo 11 Seja então Seja gx 3x4 5x³ 7x² 4 Então gx 34x³ 53x² 72x 0 12x³ 15x² UNI UNIDADE 2 DERIVADA 98 14x Assim hx fx gx 12x5 4x² 12x³ 15x² 14x 12x5 12x³ 11x² 14x j Derivada de um produto Sejam f e g duas funções quaisquer consideremos h a função definida por hx fxgx Se f x e gx existirem então hx fxgx f xgx Exemplo 12 Calcule a derivada da função hx 7x³ 4x5 3x² Resolução Conforme foi a definição acima da derivada do produto vamos identificar como f e g duas funções envolvidas no cálculo e deriválos em seguida Assim fx 7x³ 4x e gx 5 3x² f x 21x² 4 e gx 6x Aplicando a regra da derivada de um produto temos hx fxgx f xgx hx 7x³ 4x6x 21x² 45 3x² hx 42x4 24x² 105x² 63x4 20 12x² hx 105x4 69x² 20 l Derivada de um quociente Sejam f e g duas funções e h a função definida por hx fx gx com gx 0 Se f x e gx existirem então Exemplo 13 Calcule a derivada da função Resolução Conforme foi definido acima a derivada do quociente vamos identificar como f e g duas funções envolvidas no cálculo e derivar em seguida Assim fx 4x² 3x e gx 5x x³ e agora derivamos as funções f x 8x 3 e gx 5 3x² Aplicando a regra da derivada de um quociente temos TÓPICO 1 DERIVADA DE UMA FUNÇÃO 99 100 RESUMO DO TÓPICO 1 Caroa acadêmicoa neste tópico você viu que Iniciamos o tópico definindo a derivada dada por O importante aqui é saber que a derivada é dada por um limite Como interpretação geométrica desta definição temos que a derivada corresponde à inclinação da reta tangente à curva num ponto dado Vimos também que assim como temos os limites laterais calculamos as derivadas laterais Calculamos as derivadas a partir de algumas regras básicas 101 AUTOATIVIDADE Agora chegou a sua vez de colocar em prática o que foi estudado Lembrese das orientações dadas para o cálculo dos limites Nas questões de 1 a 5 calcule a derivada da função fx no ponto x0 Nas questões de 6 a 13 encontre as derivadas das funções dadas 1 fx x² 1 no ponto x₀ 5 2 fx 2x³ no ponto x₀ 2 3 fx x4 3x no ponto x₀ 2 4 fx x no ponto x₀ 1 5 fx 4 ex no ponto x₀ 2 6 7 8 9 10 11 12 13 Assista ao vídeo de resolução da questão 9 Assista ao vídeo de resolução da questão 4 102 Nas questões de 14 a 16 calcule as derivadas laterais se existirem e determine se f é derivável em x0 14 no ponto x₀ 0 15 no ponto x₀ 2 16 no ponto x₀ 3 Assista ao vídeo de resolução da questão 14 103 TÓPICO 2 DERIVADA DA FUNÇÃO COMPOSTA UNIDADE 2 1 INTRODUÇÃO Para derivar uma função como y 2x³ 57 será que é preciso desenvolver o binômio Com o auxílio da regra da cadeia que será estabelecida no próximo teorema não é necessário perder tanto tempo Note que y f g sendo fx x7 e gx 2x³ 5 2 DERIVADA DA FUNÇÃO COMPOSTA REGRA DA CADEIA Então a estratégia é escrever a função como uma composta de funções mais simples como podemos ver as funções acima que sabemos derivar facilmente Assim fx 7x6 e gx 6x² Basta encontrar uma maneira de expressar hx em termos dessas duas derivadas conhecidas Vamos juntar as duas funções derivadas e considerar a função composta y f g y fgx 72x³ 56 6x² 42x² 2x³ 56 O fato de fornecer uma fórmula que permite derivar qualquer função composta com auxílio de outras regras de derivação faz com que este seja um dos teoremas mais importantes do Cálculo TEOREMA 221 Regra da Cadeia Se g for diferenciável no ponto x e f for diferenciável no ponto gx então a composição f g é diferenciável no ponto x Além disso se y fgx e u gx então y fu e UNIDADE 2 DERIVADA 104 O nome regra da cadeia é apropriado porque a derivada procurada é obtida como dois elos de uma cadeia de derivadas mais simples Vamos retomar o cálculo da derivada feito acima e escrevêlo nos moldes do Teorema 221 Introduziremos uma outra variável u que substituirá gx Então y u7 onde u gx 2x³ 5 Assim derivando as funções y em termos da variável u e também u em termos da variável x temos dy 7u6 du e du 6x2 dx Logo obtemos a derivada procurada com a regra da cadeia UNI Observe que esse processo é mais eficiente e mais rápido para calcular a derivada do que recorrer à enfadonha expansão binomial 6 dy 7u 6x2 dx 6 3 2 2x 5 6x dy 7 dx 6 2 2x3 5 dy 42x dx TÓPICO 2 DERIVADA DA FUNÇÃO COMPOSTA 105 21 DERIVADA DE POTÊNCIAS DE x Se y un onde u gx é uma função derivável e n é um número inteiro não nulo então y n un1 u Exemplo 1 Calcule dy gx se Resolução Tomamos e y u7 obtemos que y fux Aplicando o Teorema 211 temos Exemplo 2 Calcule se Resolução Primeiro é preciso escrever a função na forma de potência Tomando u 4x³ x e obtemos y fux Aplicando o Teorema 221 temos 6 3 2 6x 3x 2 dy 7u dx 6 4 3 3 2 3 x x 2x 42x 21x 14 2 dy dx UNIDADE 2 DERIVADA 106 Exemplo 3 Calcular a derivada de y 2x³ 4x 15 onde x é um número real qualquer Resolução Fazendo u 2x³ 4x 1 e fu u5 obtemos y fux Aplicando a regra da cadeia 22 DERIVADA DA FUNÇÃO EXPONENCIAL Se y au onde a é um elemento maior que 0 e diferente de 1 e u gx é uma função derivável então y au ln a u a 0 e a 1 Exemplo 4 Calcular a derivada de Resolução Fazendo u 2x4 2x3 6x 5 e fu 4u obtemos que y fux Aplicando a regra da cadeia y 4u ln 4 u Caso particular Se y en então y ex ln e ex onde e é o número neperiano ou de Euler Exemplo 5 Calcular a derivada de Resolução UNI TÓPICO 2 DERIVADA DA FUNÇÃO COMPOSTA 107 Fazendo u x5 4x3 7x2 2 e fu eu obtemos y fux Aplicando a regra da cadeia y eu u 23 DERIVADA DA FUNÇÃO LOGARÍTMICA Se y loga u a 0 e a 1 e u gx é uma função derivável então Exemplo 6 Calcular a derivada de y log3 x3 7x 4 Resolução Fazendo u x³ 7x 4 e fu log3 u obtemos y fux Aplicando a regra da cadeia Caso particular Se y ln u e u gx é uma função derivável então Exemplo 7 Calcular a derivada de y ln 2x5 3x3 2x2 1 Resolução ATENCAO UNIDADE 2 DERIVADA 108 Fazendo u 2x5 3x3 2x2 1 e fu ln u obtemos y fux Aplicando a regra da cadeia 24 DERIVADA DA FUNÇÃO EXPONENCIAL COMPOSTA Se y uv onde u fx e v gx são funções deriváveis então y vuv1u uv lnuv Exemplo 8 Calcular a derivada de Resolução Fazendo u x2 4 e v x3 4x2 6 obtemos y uv Aplicando a regra da cadeia y vuv1u uv lnuv 25 DERIVADA DAS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS i Se y sen u então y cos u u ii Se y cos u então y sen u u iii Se y tg u então y sec2 u u iv Se y cotg u então y cossec2 u u v Se y sec u então y sec utg uu vi Se y cos sec u então y cos sec utg uu Exemplo 9 Calcular a derivada de y sen x5 3x3 4x2 7x TÓPICO 2 DERIVADA DA FUNÇÃO COMPOSTA 109 Resolução Fazendo u x5 3x3 4x2 7x e fu sen u obtemos y fux Aplicando a regra da cadeia y cos uu y cosx5 3x3 4x2 7x 5x4 9x2 8x 7 y 5x4 9x2 8x 7 cosx5 3x3 4x2 7x Exemplo 10 Calcular a derivada de Resolução Fazendo e fu cos u obtemos y fux Aplicando a regra da cadeia y sen uu Observe que para derivar u utilizamos a regra do quociente Exemplo 11 Calcular a derivada de y tg 3x2 8x 3 Resolução Fazendo u 3x2 8x 3 e fu tg u obtemos y fux Aplicando a regra da cadeia y sec2 u u y sec2 3x2 8x 3 6x 8 y 6x 8 sec2 3x2 8x 3 UNIDADE 2 DERIVADA 110 Exemplo 12 Calcular a derivada de y sec5 4x3 Resolução Fazendo u 5 4x3 e fu sec u obtemos y fux Aplicando a regra da cadeia y sec utg u u y sec5 4x3 tg5 4x3 12x2 y 12x2sec5 4x3 tg5 4x3 À medida que o leitor fica mais à vontade com a regra da cadeia pode querer dispensar o uso das variáveis dependentes intermediárias expressando a derivada na forma fgx fgx gx Uma maneira conveniente de lembrar essa fórmula consiste em chamar f de função de fora e g de função de dentro na composição fgx Veja no esquema a seguir fgx fgx gx Derivada da função de fora calculada na função de dentro Derivada da f u n ç ã o d e dentro 3 DERIVADA DA FUNÇÃO INVERSA TEOREMA 222 Derivada da função inversa Seja fx uma função definida em um intervalo aberto a b Suponhamos que fx admite uma função inversa x gy contínua Se fx existe e é diferente de zero para qualquer x a b então g f 1 é derivável e vale A derivada de f 1 no ponto y é o inverso da derivada de f no ponto f 1y UNI ou seja TÓPICO 2 DERIVADA DA FUNÇÃO COMPOSTA 111 Caroa acadêmicoa caso não se recorde como encontrar a inversa de uma função pesquise no caderno de Introdução ao Cálculo Exemplo 1 Calcule a derivada da função inversa de fx 2 5x Resolução Conforme o Teorema 222 basta encontrar fx e inverter o resultado calculado Assim fx 5 e g f 1 Portanto Também é possível obter a derivada da função inversa de outro modo Neste caso encontramos primeiro a função inversa e em seguida derivamos a função encontrada Veja como fica a resolução do exemplo 1 através deste outro procedimento Sendo fx 2 5x a sua função inversa é dada por Agora temos que derivar a função inversa obtida Assim Exemplo 2 Seja fx 2x5 3 calcule a derivada da função inversa da fx Resolução Pelo Teorema 221 basta encontrar fx e inverter o resultado calculado Assim fx 10x4 e g f 1 Então Agora é preciso escrever x em função de y pois lembrese de que x gy Mas y fx 2x5 3 Então UNI UNI 112 Substituindo em temos Portanto 113 RESUMO DO TÓPICO 2 Neste tópico estudamos como derivar funções compostas A seguir uma lista das principais regras de derivação Sejam u e v funções deriváveis de x e n uma constante 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 114 AUTOATIVIDADE Agora chegou a sua vez de colocar em prática o que foi estudado Lembrese das orientações dadas para o cálculo das derivadas Nos exercícios 1 a 8 encontre a função derivada das seguintes funções Nos exercícios 9 e 10 determine a derivada da função inversa 1 2 3 4 5 7 8 6 9 10 Assista ao vídeo de resolução da questão 8 Assista ao vídeo de resolução da questão 6 115 TÓPICO 3 DERIVADA DE FUNÇÕES IMPLÍCITAS E ALGUMAS APLICAÇÕES UNIDADE 2 1 INTRODUÇÃO Até aqui estudamos as funções em que a variável dependente y é dada explicitamente em termos da variável independente x através de uma relação y fx 2 DERIVADAS IMPLÍCITAS Há funções contudo que são definidas implicitamente através de uma equação da forma Fxy 0 envolvendo as variáveis x e y Um exemplo simples é a equação da circunferência de raio 1 dada como x2 y2 1 0 Nesse caso é possível resolver a equação em y obtendose as funções e Há equações mais complicadas onde a resolução explícita de y em termos de x não é simples ou possível como é o caso da equação 2xy2 cosxy 1 0 O objetivo da regra de derivação implícita é o de calcular a derivada de y como função de x quando y é dada implicitamente Como proceder A regra consiste em derivar os dois membros da equação em relação a x usando a regra da cadeia quando preciso e em seguida isolar o termo y Na verdade queremos conhecer y fx sem mesmo conhecer fx Exemplo 1 Encontre a derivada da função definida implicitamente por 2x2 y3 1 0 116 UNIDADE 2 DERIVADA Resolução Vamos derivar ambos os lados da equação em relação a x Como y é uma função de x y é a função implícita devemos usar a regra da cadeia para derivar y3 Temos 4x 3y2y 0 0 Portanto Neste exemplo é fácil explicitar y como função de Se calcularmos y através das regras de derivação apenas para confirmar o resultado obtemos Mas isso pode ser mais complicado em outras funções Exemplo 2 Encontre a derivada da função definida implicitamente por x2 y2 1 0 Resolução Derivamos os dois membros da equação a em relação a x obtemos 2x 2yy 0 Isolando o termo y obtémse que 2yy 2x Suponha que existe um intervalo onde y é derivável e onde y 0 Segue que Exemplo 3 Encontre a derivada da função definida implicitamente por 2xy2 cosxy 1 0 Resolução Derivando os dois membros da equação b em relação a x obtemos 2y2 2x2yy senxyy xy 0 Isolando o termo Também nesse caso pressupõese a existência de um intervalo onde y é derivável x 0 e 4y senxy 0 UNI TÓPICO 3 DERIVADA DE FUNÇÕES IMPLÍCITAS E ALGUMAS APLICAÇÕES 117 São quatro os passos para derivar implicitamente uma função Passo 1 Derive os dois lados da equação em relação a x considerando y como uma função derivável de x Passo 2 Reúna os termos que contém y em um lado da equação Passo 3 Fatore isolando y Passo 4 Encontre y Exemplo 4 Determine os coeficientes angulares das retas tangentes à circunferência cujo centro é o ponto 35 e cujo raio é 2 em cada um dos pontos de abscissa 4 Resolução A equação reduzida da circunferência é x 32 y 52 4 ou desenvolvendo as potências temos a equação geral x2 y2 6x 10y 30 0 Para x 4 temse Portanto os pontos de tangência são e A equação da circunferência define duas funções deriváveis no intervalo 15 f1x cujo gráfico é a semicircunferência acima da reta y 5 que contém o ponto A e f2x cujo gráfico é semicircunferência inferior que contém o ponto B Veja a figura a seguir O coeficiente angular das retas tangentes s e t é f14 e f24 respectivamente UNI 118 UNIDADE 2 DERIVADA FIGURA 35 GRÁFICO 31 FONTE O autor Derivando implicitamente a equação x2 y2 6x 10y 30 0 temos 2x 2yy 6 10 0 que é a expressão da derivada tanto de f1 como de f2 Logo 1 2 6 24 2 3 6 24 2 3 4 4 3 3 2 3 2 3 2 5 3 10 2 5 3 10 f f Portanto os coeficientes angulares das retas s e t são e respectivamente 0 1 0 1 1 2 2 3 3 4 4 5 6 5 6 7 A B TÓPICO 3 DERIVADA DE FUNÇÕES IMPLÍCITAS E ALGUMAS APLICAÇÕES 119 3 DERIVADAS SUCESSIVAS OU DE ORDEM SUPERIOR Seja f uma função derivável num subconjunto A do seu domínio A função f A R é também chamada de derivada primeira ou de derivada de primeira ordem de f Definição 231 Seja f uma função derivável Se f também for derivável então a sua derivada é chamada derivada segunda de f e é representada por fx lêse fduas linhas de x ou lêse derivada segunda de f em relação a x Exemplo 1 Determine a segunda derivada da função fx 4x3 7x2 5x 6 Resolução Se fx 4x3 7x2 5x 6 então fx 12x2 14x 5 fx 24x 14 Seguindo o procedimento da definição 231 sucessivamente e supondo que para algum n N esteja definida a função derivada de ordem n 1 de f indicada como f n 1 Chamamos as funções fx fx fx de derivadas sucessivas de f Exemplo 2 Seja a função fx x4 3x2 1 Obtenha fx fx fx fIVx e fnx para n qualquer Resolução Sendo fx x4 3x2 1 temos fx 4x3 6x fx 12x2 6 fx 24x fIVx 24 Repare que a partir da derivada de quinta ordem todas serão iguais a zero ou seja Exemplo 3 Determine a derivada de ordem n da função 120 UNIDADE 2 DERIVADA Resolução Se então Exemplo 4 Seja gt sen t cos t Calcule a derivada de ordem 35 da função g Resolução Se gt sen t cos t então gt cos t sen t gt sen t cos t gt cos t sen t g4 sen t cos t g5 cos t sen t Note que g4 g Consequentemente g5 g g6 g e assim por diante ou seja as derivadas se repetem após quatro derivações Para obter g35t basta dividir 35 por 4 e tomar o resto da divisão que é 3 Logo g35t gt cos t sen t TÓPICO 3 DERIVADA DE FUNÇÕES IMPLÍCITAS E ALGUMAS APLICAÇÕES 121 4 TAXA DE VARIAÇÃO Quase sempre ouvimos falar que a taxa de desemprego variou x de um período para o outro Assim como os índices de desemprego variam a uma certa taxa encontramos diversos problemas que envolvem uma taxa de variação por exemplo um automóvel realiza um determinado percurso em certo tempo Sabemos que a velocidade do automóvel não é constante devido às curvas tráfego intenso portanto intuitivamente percebemos uma variação na velocidade do automóvel Em economia quando queremos saber a variação dos lucros ou custos de uma empresa Na biologia para calcular como varia a quantidade de bactérias de uma colônia com o tempo Na engenharia como varia o comprimento de um cano de metal conforme muda a temperatura Definição 232 Taxa Média de Variação A taxa média de variação de y fx em relação a x no intervalo x0 x1 é A taxa de variação média indica quanto em média variou a função por unidade de variação no intervalo considerado Exemplo 1 Suponha que no intervalo de sete anos uma árvore cresceu de 30 cm para 121 cm Calcule a taxa de variação média de crescimento desta árvore neste período de tempo Resolução Para calcular a taxa de variação média utilizaremos a Definição 232 Assim Portanto isso significa que a árvore cresceu 13 cm a cada ano em média 122 UNIDADE 2 DERIVADA Podemos reescrever o quociente y x definido acima como taxa média de variação da seguinte forma onde foi substituído x1 por x0 x e x1 x0 por x Vamos definir o que se entende por taxa de variação de y em relação a x quando y é uma função de x Definição 233 A derivada é a taxa instantânea de variação ou simplesmente taxa de variação de y em relação a x Toda derivada pode ser interpretada como uma taxa de variação Exemplo 2 Supondo que esteja caindo areia sobre uma base plana e horizontal a uma razão de 12 m3 por hora e que o monte mantém sempre a forma de um cone cuja geratriz forma um ângulo de 60 com a base Calcule a velocidade com que a altura do monte aumenta no instante em que ela é de 6 metros Resolução Representando por h a altura do cone e por r o raio de sua base o seu volume é dado por UNI ATENCAO TÓPICO 3 DERIVADA DE FUNÇÕES IMPLÍCITAS E ALGUMAS APLICAÇÕES 123 FIGURA 36 A ALTURA DO CONE E POR R O RAIO DE SUA BASE O SEU VOLUME É DADO POR FONTE O autor Como temos ou seja Assim o volume é uma função de h dada por Como a areia cai a uma razão de 12 m3hora a taxa de variação do volume do cone de areia é A velocidade de aumento da altura que queremos determinar é a taxa de variação de h em relação ao tempo dh dt Como o volume é uma função de h e h é uma função de t temos Vt V ht Pela regra da cadeia temos então Como temos e Logo e a velocidade desejada é mhora Exemplo 3 Supondo que a massa de uma árvore destinada à produção de papel aos dois anos seja aproximadamente 40kg aos quatro anos 128kg e aos oito anos 30º 60º h 124 UNIDADE 2 DERIVADA 256kg Então o polinômio pt 12t2 t3 fornece o valor aproximado da massa da árvore em qualquer momento t entre dois e oito anos Determine a taxa de variação instantânea aproximada de sua massa num instante t qualquer entre dois e oito anos Resolução Sendo pt 12t2 t3 a função que representa a massa em função do tempo A taxa de variação desejada é então pt 24t 3t2 Assim por exemplo no momento em que a árvore completa quatro anos a taxa de variação da sua massa é aproximadamente 48 kgano pois p4 48 e quando completa seis anos esta taxa é aproximadamente 36 kgano pois p6 36 5 TAXAS RELACIONADAS Em muitos problemas surgem uma ou mais variáveis que são funções de uma outra variável que geralmente é o tempo Digamos F depende de x e y que por sua vez são ambas funções do tempo t Ocorre que normalmente não conhecemos a expressão destas funções de t As principais ferramentas usadas para resolver problemas que apresentam estas características são a regra da cadeia e a derivação implícita Lembrese de que se F é uma função derivável de x e x é uma função derivável de t então a regra da cadeia diz que F é uma função derivável de t e Nos problemas a seguir tentaremos encontrar a taxa segundo a qual certa quantidade está variando em relação a outras cujas taxas de variação são conhecidas Exemplo 1 Um balão esférico é enchido de modo que o seu volume aumenta à razão de 2 cm3s Com que taxa aumenta o raio do balão no instante em que este mede 5 cm Resolução Enquanto o balão é enchido seu volume V é uma função de raio R e o raio é uma função do tempo t a qual não conhecemos Então V é também função de t Para resolver o problema devemos escrever os dados e o que é pedido em notação de derivadas TÓPICO 3 DERIVADA DE FUNÇÕES IMPLÍCITAS E ALGUMAS APLICAÇÕES 125 Dado dV dt 2 cm³ s pedese dR dt quando R 5 Para estabelecer a relação entre dV dt e dR dt devemos derivar V em relação a t usando a regra da cadeia Como V representa o volume de uma esfera de raio R temos Como temos Pelo enunciado Logo Para R 5 temos Isto significa que o raio aumenta à taxa de cms quando ele vale 5 cm Note que a taxa de variação do raio é inversamente proporcional ao quadrado do raio Exemplo 2 Em uma serraria a serragem cai formando um monte em forma de cone circular reto a uma taxa de 025m3 por hora A geratriz do cone faz um ângulo de 45 com o solo que é plano Com que velocidade sobe o topo do monte no momento em que este se encontra a quatro metros do solo Resolução Seja t o tempo em horas contado a partir do momento em que a serragem começa a cair Seja V o volume de serragem que caiu em t horas FIGURA 37 33 FONTE O autor ATENCAO 126 UNIDADE 2 DERIVADA Sejam h e R a altura e o raio da base respectivamente do cone formado pela serragem Os dados do problema são e outro é ilustrado através da figura a seguir FIGURA 38 34 FONTE O autor Pedese dh dt quando h 4 m A relação entre as variáveis V R e h é estabelecida pela fórmula do volume do cone Mas é possível escrever V como função de uma das variáveis R ou h Observando a Figura 34 temos que e como tg45º 1 segue que R h Logo Note que V é função de h e h é função de t Conforme a regra da cadeia ou seja Para h 4 temos Isto significa que no momento em que o topo do monte está a quatro metros do solo ele sobe com velocidade de 127 RESUMO DO TÓPICO 3 Neste tópico você viu que Começamos vendo que é possível derivar uma função mesmo que a variável dependente não esteja isolada ou seja que a função não apresente y fx na sua forma mais usual Nas derivadas sucessivas vimos que podemos derivar por várias vezes uma função desde que a função resultante seja também derivável Resolvemos problemas envolvendo taxa de variação e taxas relacionadas que nada mais são do que derivadas de funções de uma ou mais variáveis 128 Agora chegou a sua vez de colocar em prática o que foi estudado Lembrese das orientações dadas para o cálculo dos limites Nos exercícios 1 a 3 encontre a derivada da função definida implicitamente por 1 x 2 y 2 1 y 3 2 xe 2y x 2 y 2 x 1 0 3 x 4 4x 3 y y 4 1 Nos exercícios 4 a 6 encontre as derivadas sucessivas das funções a seguir 4 fx 2x3 x2 5 obtenha a derivada de 2ª ordem 5 fx 3x5 2x4 5x2 2x 8 obtenha as derivadas de 3ª e 7ª ordem 6 fx 3t 23 obtenha a derivada de 2ª ordem 7 Seja st 2t 3t2 para t 0 a equação do movimento de uma partícula P com s em metros e t em segundos Determine a velocidade e a aceleração da partícula quando t 5 segundos 8 O IPC da economia é descrito pela função gt 02t3 3t2 100 0 t 9 onde t 0 corresponde ao início em 1998 Calcule as derivadas de primeira e segunda ordem da função IPC no tempo 6 9 Uma certa espécie de tartaruga está ameaçada de extinção em virtude de comerciantes estarem vendendo supercarregamentos de ovos como afrodisíaco Depois que várias medidas de preservação forem implementadas esperase que a população de tartarugas cresça de acordo com a regra Nt 2t3 3t2 4t 1000 0 t 10 onde Nt denota o tamanho da população ao fim do ano t Calcule N2 e N8 interpretando os resultados 10 Suponhamos que o óleo derramado através da ruptura de um naviotanque se espalhe em uma forma circular cujo raio cresce a uma taxa constante de 2 péss Com que velocidade a área do derramamento está crescendo quando seu raio for de 60 pés AUTOATIVIDADE Assista ao vídeo de resolução da questão 10 Assista ao vídeo de resolução da questão 7 Assista ao vídeo de resolução da questão 3 129 TÓPICO 4 ANÁLISE DO COMPORTAMENTO DAS FUNÇÕES I UNIDADE 2 1 INTRODUÇÃO O objetivo desse tópico é dar condições para usarmos a derivada como ferramenta para descobrir rapidamente os aspectos mais importantes de uma função e esboçar seu gráfico 2 FUNÇÕES CRESCENTES E DECRESCENTES Nesta seção discutiremos sobre os termos crescente decrescente e constante que são usados para descrever o comportamento de uma função em um intervalo à medida que percorremos seu gráfico da esquerda para a direita Na figura a seguir mostramos dois gráficos de funções crescente e decrescente FIGURA 39 FUNÇÕES CRESCENTE E DECRESCENTE FONTE O autor x₁ x₂ x₁ x₂ 130 UNIDADE 2 DERIVADA Definição 241 Seja fx definida em um intervalo e sejam x1 e x2 pontos deste intervalo i f é crescente no intervalo se fx1 fx2 para x1 x2 ii f é decrescente no intervalo se fx1 fx2 para x1 x2 iii f é constante no intervalo se fx1 fx2 para todos os pontos x1 e x2 Teorema 241 Seja fx uma função contínua em um intervalo fechado ab e diferenciável no intervalo aberto ab i Se fx 0 para todo valor de x em ab então f é crescente em ab ii Se fx 0 para todo valor de x em ab então f é decrescente em ab iii Se fx 0 para todo valor de x em ab então f é constante em ab Exemplo 1 Encontre os intervalos nos quais fx 2x3 9x2 2 é crescente e os intervalos nos quais é decrescente Resolução A figura a seguir mostra o gráfico da função f que sugere que f seja decrescente para 0 x 3 e crescente nos demais intervalos Para confirmar o que vimos no gráfico de f vamos analisar o sinal das derivadas de f Seja fx 2x3 9x2 2 então fx 6x2 18x Aplicando o Teorema 411 temse que fx 0 se x 0 pois f 1 612 181 0 fx 0 se 0 x 3 pois f1 612 181 0 fx 0 se x 3 pois f4 642 184 0 Logo concluímos que f é crescente em 0 f é decrescente em 0 3 f é crescente em 3 FIGURA 40 GRÁFICO 42 FONTE O autor TÓPICO 4 ANÁLISE DO COMPORTAMENTO DAS FUNÇÕES I 131 3 MÁXIMOS E MÍNIMOS A figura a seguir nos mostra o gráfico de uma função y fx onde assinalamos pontos de abscissas x1 x2 x3 e x4 FIGURA 41 GRÁFICO 43 FONTE O autor Esses pontos são chamados pontos extremos da função fx1 e fx3 são chamados máximos relativos e fx2 fx4 são chamados mínimos relativos Definição 242 Dizemos que uma função f tem um máximo relativo em x0 se houver um intervalo aberto contendo x0 no qual fx0 é o maior valor isto é fx0 fx para todo x no intervalo Definição 243 Dizemos que uma função f tem um mínimo relativo em x0 se houver um intervalo aberto contendo x0 no qual fx0 é o menor valor isto é fx0 fx para todo x no intervalo Teorema 242 Suponha que f seja definida em um intervalo aberto contendo o ponto x0 Se f tem um extremo relativo em x x0 então x x0 é um ponto crítico de f assim ou fx0 0 ou f não é diferenciável em x0 Exemplo 1 Encontre todos os pontos críticos de fx x4 4x3 Resolução A função f por ser polinomial é diferenciável em todo o domínio Para encontrarmos os pontos críticos devemos resolver a equação fx 0 Então 132 UNIDADE 2 DERIVADA fx 4x3 12x2 0 4x2 x 3 0 Logo x 3 e x 0 são pontos críticos de f Exemplo 2 Encontre os pontos extremos relativos de fx x4 4x3 4x2 Resolução A função f por ser polinomial é diferenciável em todo o domínio Para encontrarmos os pontos críticos devemos resolver a equação fx 0 Então fx 4x3 12x2 8x 0 4xx2 3x 2 0 Logo x 0 x 1 e x 2 são pontos críticos de f A partir dos três valores obtidos acima ficam determinados quatro intervalos x 0 0 x 1 1 x 2 e x 2 dos quais analisaremos o comportamento para concluirmos que extremos são estes Observação Para preencher a segunda e terceira colunas da tabela a seguir temos que definir o sinal das derivadas nos intervalos A fim de facilitar os cálculos escrevemos fx 4x3 12x2 8x de maneira decomposta fx xx 1x 2 e aí em cada intervalo escolhese um valor para x Por exemplo para x 0 tome x 1 e aí o cálculo f1 111 12 123 fica facilitado Intervalo xx1 x2 fx Conclusão x 0 f é decrescente x 0 0 0 f tem um mínimo relativo em 00 0 x 1 f é crescente x 1 0 0 f tem um máximo relativo em 11 1 x 2 f é decrescente x 2 0 0 f tem um mínimo relativo em 20 x 2 f é crescente TÓPICO 4 ANÁLISE DO COMPORTAMENTO DAS FUNÇÕES I 133 4 CONCAVIDADE Na figura a seguir observamos que dado um ponto qualquer c entre a e b em pontos próximos de c o gráfico de f está acima da tangente à curva no ponto Pc fc Dizemos que a curva tem concavidade voltada para cima no intervalo ab FIGURA 42 GRÁFICO 44 a FONTE O autor GRÁFICO 43 FUNÇÃO 45 FONTE O autor Da mesma forma a figura a seguir descreve uma função que tem concavidade voltada para baixo no intervalo a b Definição 244 Se f é diferenciável em um intervalo aberto então dizemos que f tem concavidade voltada para cima no intervalo aberto se fx é crescente neste intervalo 134 UNIDADE 2 DERIVADA Definição 245 Se f é diferenciável em um intervalo aberto então dizemos que f tem concavidade voltada para baixo no intervalo aberto se fx é decrescente neste intervalo Teorema 243 Seja f duas vezes diferenciável em um intervalo aberto ab i Se fx 0 para todo valor de x em ab então f tem concavidade voltada para cima em ab ii Se fx 0 para todo valor de x em ab então f tem concavidade voltada para baixo em ab Exemplo 1 Identifique o comportamento da concavidade da função fx x3 3x2 4x 12 nos intervalos 1 e 1 Resolução Calculando as derivadas de primeira e segunda ordem de f obtemos fx 3x2 6x 4 fx 6x 6 Pelo Teorema 243 devemos fazer a análise do sinal da segunda derivada Escolhemos um valor de x no intervalo 1 por exemplo x 1 para obtermos a concavidade deste intervalo Assim f1 61 6 12 0 então f tem a concavidade voltada para baixo E escolhemos um valor de x no intervalo 1 por exemplo x 4 para obtermos a concavidade deste intervalo Assim f4 64 6 18 0 então f tem a concavidade voltada para cima Portanto f tem a concavidade voltada para baixo em 1 e a concavidade voltada para cima em 1 5 PONTOS DE INFLEXÃO Vimos no Exemplo 1 acima que a concavidade da função fx x3 3x2 4x 12 que é inicialmente côncava para baixo muda para côncava para cima em x 1 Os pontos em que uma curva muda a concavidade são chamados de pontos de inflexão TÓPICO 4 ANÁLISE DO COMPORTAMENTO DAS FUNÇÕES I 135 Definição 246 Se f é contínua em um intervalo aberto contendo o ponto x0 e muda de concavidade no ponto x0fx0 então dizemos que o ponto x0 do domínio ou o ponto x0fx0 do gráfico é um ponto de inflexão de f figura a seguir FIGURA 44 GRÁFICO 46 FONTE O autor Exemplo 1 Determinar as coordenadas do ponto de inflexão da função fx x4 2x3 1 e analise a concavidade da função nos intervalos 1 0 1 e 1 Resolução Calculando as derivadas de primeira e segunda ordem de f obtemos fx 4x3 6x2 fx 12x2 12x A análise de sinais da segunda derivada é mostrada na tabela a seguir Intervalo fx 12x² 12x Conclusão x 0 f tem concavidade voltada para cima em 0 0 x 1 f tem concavidade voltada para baixo em 0 1 x 1 f tem concavidade voltada para cima em 1 136 UNIDADE 2 DERIVADA Pelas conclusões obtidas na tabela anterior há dois pontos de inflexão em x 0 e x 1 pois f muda a concavidade nestes pontos Os pontos de inflexão são 0f0 01 e 1f1 10 Estas conclusões podem ser observadas no gráfico de f figura a seguir FIGURA 45 GRÁFICO 47 FONTE O autor 1 1 1 1 2 2 3 3 137 RESUMO DO TÓPICO 4 Neste tópico estudamos formas de definir função crescente ou decrescente pontos de máximo ou mínimo definir quanto à concavidade das funções e também pontos de inflexão A seguir é apresentado um quadroresumo destes itens Sinal de f e f Propriedades do gráfico f Forma geral do gráfico fx 0 fx 0 f crescente f côncava para cima fx 0 fx 0 f crescente f côncava para baixo fx 0 fx 0 f decrescente f côncava para cima fx 0 fx 0 f decrescente f côncava para baixo 138 Agora chegou a sua vez de colocar em prática o que foi estudado Lembrese das orientações dadas para o cálculo dos limites Nos exercícios de 1 a 3 identifique o comportamento das funções em crescente e decrescente nos intervalos indicados 1 fx 2x3 12x2 18x 2 em 1 e 23 2 fx x3 8 em 35 3 fx x2 x 5 em 30 e 26 Nos exercícios de 4 a 6 identifique o comportamento das funções quanto à concavidade nos intervalos indicados 4 fx x3 6x2 9x 1 em 51 e 2 5 fx 3x4 2x3 12x2 18x 15 em 2 e 4 6 em 1 e 07 Nos exercícios de 7 e 8 encontre os extremos relativos e os pontos de inflexão das funções a seguir 7 8 AUTOATIVIDADE 139 TÓPICO 5 ANÁLISE DO COMPORTAMENTO DAS FUNÇÕES II UNIDADE 2 1 INTRODUÇÃO Dada uma curva y fx usaremos a derivada para obter alguns dados acerca da curva Nesta seção discutiremos critérios para o uso de derivadas e as retas assíntotas que auxiliaram nestes procedimentos Esses dados nos levam a um método geral para construir esboços de gráficos de funções 2 TESTE DA DERIVADA PRIMEIRA Teorema 251 Teste da derivada primeira Suponha f contínua em um ponto crítico x0 i Se fx 0 em um intervalo aberto imediatamente à esquerda de x0 e fx 0 em um intervalo aberto imediatamente à direita de x0 então f tem um máximo relativo em x0 ii Se fx 0 em um intervalo aberto imediatamente à esquerda de x0 e fx 0 em um intervalo aberto imediatamente à direita de x0 então f tem um mínimo relativo em x0 iii Se fx tiver o mesmo sinal tanto em um intervalo aberto imediatamente à esquerda de x0 quanto em um intervalo aberto imediatamente à direita de x0 então f não tem um extremo relativo em x0 140 UNIDADE 2 DERIVADA FIGURA 46 OS GRÁFICOS ILUSTRAM AS DIVERSAS POSSIBILIDADES DO TEOREMA 511 FONTE O autor Exemplo 1 Encontre os extremos relativos de fx x3 2x2 4x 2 Resolução Para encontrarmos os pontos críticos devemos resolver a equação fx 0 Então fx 3x2 4x 4 0 x 23x 2 0 Assim x 2 e são pontos críticos de f Como mostramos na tabela a seguir podemos concluir pelo teste da derivada primeira que f tem um máximo relativo em x 2 e um mínimo relativo em Para definir os sinais na segunda e terceira coluna foram utilizados valores para x de acordo com seus respectivos intervalos No intervalo x 2 tome x 4 e calculamos f 4 4 23 8 2 2 22 44 0 Intervalo x 23x 2 f x Conclusão x 2 f é crescente x 2 0 0 f tem um máximo relativo em 2 10 f é decrescente 0 0 f tem um mínimo relativo em f é crescente TÓPICO 5 ANÁLISE DO COMPORTAMENTO DAS FUNÇÕES II 141 3 TESTE DA DERIVADA SEGUNDA Teorema 252 Teste da derivada segunda Suponha que f seja duas vezes diferenciável em um ponto crítico x0 i Se f x0 0 e f x0 0 então f tem um mínimo relativo em x0 ii Se f x0 0 e f x0 0 então f tem um máximo relativo em x0 iii Se f x0 0 e f x0 0 então o teste é inconclusivo isto é f pode ter um máximo ou mínimo relativo ou nenhum dos dois em x0 Exemplo 1 Encontre os máximos e os mínimos relativos de aplicando o critério da derivada segunda Resolução Para encontrarmos os pontos críticos devemos resolver a equação fx 0 Então fx x4 5x2 4 0 x2 1x2 4 0 x 1x 1x 2x 2 0 Assim x 1 e x 2 são pontos críticos de f Aplicamos o Teorema 252 para verificar se f tem um extremo relativo nestes pontos críticos Temos fx 4x3 10x Como f2 423 102 12 0 f tem um máximo relativo em x 2 Como f1 413 101 6 0 f tem um mínimo relativo em x x 1 Como f1 413 101 6 0 f tem um máximo relativo em x 1 Como f2 423 102 12 0 f tem um mínimo relativo em x 2 No gráfico da função figura a seguir podemos observar os pontos extremos da função 142 UNIDADE 2 DERIVADA FIGURA 47 GRÁFICO DA FUNÇÃO 52 FONTE O autor 4 ASSÍNTOTAS HORIZONTAIS E VERTICAIS Considere uma função do tipo O gráfico de uma função desta se aproxima de uma reta à medida que x cresce ou decresce ver figura a seguir Estas retas são chamadas assíntotas FIGURA 48 GRÁFICO 53 FONTE O autor Definição 251 A reta x a é uma assíntota vertical do gráfico de y fx se pelo menos uma das seguintes afirmações for verdadeira 1 1 1 2 2 3 3 4 5 6 1 2 2 3 3 4 5 6 TÓPICO 5 ANÁLISE DO COMPORTAMENTO DAS FUNÇÕES II 143 Exemplo 1 Verifique que a reta x 1 é uma assíntota vertical do gráfico de Resolução Para verificar esta assíntota aplicamos a Definição 251 Assim e também Portanto está verificado que a reta x 1 é uma assíntota vertical do gráfico de Definição 252 A reta y b é uma assíntota horizontal do gráfico da função y fx se pelo menos uma das seguintes afirmações for verdadeira i ii Exemplo 2 Determinar as assíntotas horizontais e verticais do gráfico da função Resolução Para encontrar uma assíntota vertical aplicamos a Definição 251 Assim implicando na reta x 1 em uma assíntota vertical e implicando na reta x 2 em uma assíntota vertical i ii iii iv 144 UNIDADE 2 DERIVADA E agora para encontrar uma assíntota horizontal aplicamos a Definição 532 Assim implicando na reta y 0 em uma assíntota horizontal 5 ESBOÇO DO GRÁFICO Nosso objetivo nesta seção não é fazer gráficos milimetricamente exatos plotando inúmeros pontos mas sim aplicarmos os critérios estudados nas seções anteriores para determinar os extremos de uma função os intervalos de crescimento e decrescimento os intervalos de concavidade os pontos de inflexão e outros elementos que constituem ferramentas importantes que auxiliam no esboço do gráfico como veremos nos exemplos a seguir A figura a seguir apresenta alguns pontos de destaque no gráfico de funções FIGURA 49 MOSTRA OS PONTOS EXTREMOS DE UMA FUNÇÃO FONTE O autor Exemplo 1 Esboce a curva da função fx x3 6x2 9x 3 Resolução Vamos fazer um estudo detalhado sobre o que foi estudado Iniciamos com o estudo do domínio da função Como f é uma função polinomial seu domínio é o conjunto dos reais Df IR O intercepto y ponto de interseção da curva com o eixo y é 3 ou seja 0 3 TÓPICO 5 ANÁLISE DO COMPORTAMENTO DAS FUNÇÕES II 145 f x 3x² 12x 9 f x 6x 12 Aplicando o Teorema 252 e equacionando f x 0 temos 3x² 4x 3 0 3x 1x 3 0 obtendose x 1 e x 3 Fazendo f x 0 temos 6x 12 0 e daí x 2 Faremos uma tabela com base nestes três valores x 1 x 2 x 3 bem como nos intervalos entre esses valores Aplicaremos os vários teoremas vistos para tirar as conclusões na tabela Como f é uma função polinomial não existem assíntotas Logo temos na figura a seguir o esboço do gráfico FIGURA 50 GRÁFICO 55 FONTE O autor Intervalo fx fx Conclusão x 1 f é decrescente e o gráfico é côncavo para cima x 1 0 f tem um mínimo relativo em 1 1 1 x 2 f é crescente e o gráfico é côncavo para cima x 2 0 0 f tem um ponto de inflexão em 2 1 2 x 3 f é crescente e o gráfico é côncavo para baixo x 3 0 f tem um máximo relativo em 3 3 x 3 f é decrescente e o gráfico é côncavo para baixo 1 1 1 2 3 1 2 2 3 3 4 4 5 5 y 6 146 UNIDADE 2 DERIVADA Exemplo 2 Esboce a curva da função Resolução Iniciamos com o estudo do domínio da função f Esta é uma função racional e seu denominador é um polinômio que é positivo para qualquer valor de x Assim o domínio é o conjunto dos reais Df IR O fato da função ser formada por expressões em x dadas por x² sugere que o gráfico seja simétrico em relação ao eixo y situação que é confirmada fazendo f x f x x Aplicando o Teorema 252 e equacionando f x 0 temos x 0 como ponto crítico e fazendo f x 0 temos Faremos uma tabela com base nestes três valores x 0 Aplicaremos vários teoremas para tirar as conclusões na tabela Intervalo fx fx Conclusão f é decrescente e o gráfico é côncavo para baixo 0 0 f tem um ponto de inflexão em f é decrescente e o gráfico é côncavo para cima x 0 0 f tem um mínimo relativo em 0 0 f é crescente e o gráfico é côncavo para cima 0 0 f tem um ponto de inflexão em f é crescente e o gráfico é côncavo para baixo TÓPICO 5 ANÁLISE DO COMPORTAMENTO DAS FUNÇÕES II 147 Como o domínio são todos os reais não existem assíntotas verticais Por outro lado como segue que y 1 é uma assíntota horizontal do gráfico Assim com todas estas informações traçamos o gráfico da função figura a seguir FIGURA 51 GRÁFICO DA FUNÇÃO 56 FONTE O autor Exemplo 3 Esboce a curva da função Resolução O domínio da função é Df IR pois f é uma função polinomial O intercepto y é 1 ou seja 0 1 f x 4x³ 6x² 2 f x 12x² 12x Aplicando o Teorema 242 e equacionando fx 0 temos e x 1 pontos críticos fazendo agora f x 0 temos x 0 e x 1 Faremos uma tabela com base nestes três valores x 0 e x 1 Aplicaremos vários teoremas para tirar as conclusões na tabela 148 UNIDADE 2 DERIVADA As assíntotas não existem pois f é uma função polinomial Logo temos na figura a seguir o esboço do gráfico FIGURA 52 GRÁFICO 57 FONTE O autor Intervalo fx fx Conclusão f é decrescente e o gráfico tem concavidade voltada para cima 0 f tem um mínimo relativo em f é crescente e o gráfico tem concavidade voltada para cima x 0 0 0 f tem um ponto de inflexão em 0 1 0 x 1 f é crescente e o gráfico tem concavidade voltada para baixo x 1 0 0 f tem um ponto de inflexão em 1 0 x 1 f é crescente e o gráfico tem concavidade voltada para cima 149 RESUMO DO TÓPICO 5 Neste tópico vimos testes envolvendo as derivadas assíntotas e o esboço do gráfico Os testes da primeira e segunda derivada são usados para classificar os pontos críticos de f em máximo relativo ou mínimo relativo Ainda vimos que uma função pode ter assíntotas horizontais eou verticais e para isto calculamos os limites infinitos e no infinito já estudados no Tópico 3 da Unidade 1 O esboço do gráfico reúne tudo o que estudamos nestes dois últimos tópicos 150 AUTOATIVIDADE Agora chegou a sua vez de colocar em prática o que foi estudado Lembrese das orientações dadas para o cálculo dos limites Nos exercícios 1 e 2 identifique os pontos extremos das funções Nos exercícios 3 e 4 dê as equações das assíntotas verticais e horizontais das funções Nos exercícios de 5 a 7 esboce o gráfico das funções 1 2 3 4 5 6 7 151 TÓPICO 6 APLICAÇÕES DA DERIVADA UNIDADE 2 1 INTRODUÇÃO Nesta seção vamos discutir um resultado chamado Teorema do Valor Médio Enunciado pela primeira vez pelo matemático francês JosephLouis Lagrange 17361813 este teorema tem muitas consequências importantes tanto que é considerado um dos grandes princípios do Cálculo Para entendêlo melhor precisamos primeiro enunciar o seguinte teorema 2 TEOREMAS 21 TEOREMA DE ROLLE Teorema 261 Seja f uma função definida e contínua em a b e derivável em a b Se fa fb 0 então existe pelo menos um ponto c entre a e b tal que fc 0 O Teorema de Rolle tem uma interpretação geométrica simples Como já foi estudado no Tópico 1 desta unidade a derivada de uma função num ponto x0 é igual ao coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função no ponto x0 fx0 Se fx0 0 isso significa que a reta tangente no ponto x0 fx0 é paralela ao eixo x O Teorema 261 de Rolle diz que uma curva derivável tem ao menos uma tangente horizontal entre dois pontos quaisquer onde a curva intercepta o eixo x Em particular na figura a seguir essa curva tem três retas horizontais NOTA 152 UNIDADE 2 DERIVADA FIGURA 53 CURVA TEM TRÊS RETAS HORIZONTAIS FONTE O autor O matemático francês Michel Rolle 16521719 foi um autodidata em Matemática Em 1691 apresentou o teorema que leva seu nome Para complementar a leitura sobre este matemático sugerimos a leitura em ANTON H BIVENS I DAVIS S Cálculo v 1 Porto Alegre Bookman 2007 p 329 22 TEOREMA DO VALOR MÉDIO Teorema 262 Seja f uma função contínua em a b e derivável em a b Então existe pelo menos um número real c no intervalo a b tal que O Teorema 262 Teorema do Valor Médio TVM afirma que existe pelo menos um ponto onde a tangente à curva é paralela à corda que une os pontos Pa fa e Qb fb conforme a figura a seguir FIGURA 54 TANGENTE PARALELA À CORDA FONTE O autor ESTUDOS FUTUROS TÓPICO 6 APLICAÇÕES DA DERIVADA 153 O Teorema do Valor Médio tem uma interpretação física que é a seguinte quando x ft é a curva posição em relação ao tempo para um carro movendose ao longo de uma estrada reta é a velocidade média do carro no intervalo de tempo a t b enquanto que fc é a velocidade instantânea em t c Assim o Teorema do Valor Médio estabelece que pelo menos uma vez durante o intervalo de tempo a velocidade instantânea será igual à velocidade média Por exemplo se a velocidade média de um automóvel em um dado percurso for de 95 kmh então em algum momento o velocímetro marcou 95 kmh Exemplo 1 Determinar o ponto c através do Teorema do Valor Médio para o caso de fx x² 5x com 1 x 3 Resolução Temos a 1 e b 3 Fa f1 1 5 6 fb f3 9 15 24 fx 2x 5 fc 2c 5 então 2c 5 9 Portanto c 2 Exemplo 2 Um automóvel percorre 4 km de uma estrada reta em 5 minutos Prove que o velocímetro mostra pelo menos uma vez durante o percurso exatamente 48 kmh Resolução O automóvel percorreu 4 km em 5 minutos Vamos calcular a sua velocidade média 154 UNIDADE 2 DERIVADA Vm kmh O Teorema do Valor Médio garante que pelo menos uma vez ao longo dos 4 km o automóvel esteve a 48 kmh 3 PROBLEMAS DE MAXIMIZAÇÃO E MINIMIZAÇÃO Para resolver problemas que envolvem máximos ou mínimos vamos ter que lidar com mais de uma variável e o primeiro passo será identificar qual destas variáveis deve ser maximizada ou minimizada Tal variável deverá ser expressa como função de uma única variável independente para que possamos aplicar o que estudamos sobre máximos e mínimos O procedimento descrito acima é chamado de otimização Otimizar alguma coisa significa maximizar ou minimizar alguns de seus aspectos Exemplo 1 Desejase construir uma caixa de forma retangular A caixa que será construída tem 80 cm de perímetro Calcule as dimensões dessa caixa para que ela tenha a maior área possível Resolução Vamos definir as variáveis do problema x comprimento do retângulo cm y largura do retângulo cm A área do retângulo cm2 Assim a área do retângulo é dada por A xy Como o perímetro do retângulo é de 80 cm temos 2x 2y 80 y 40 x x y Fazendo substituição nas sentenças da área com a do perímetro obtemos Ax x40 x Ax 40x x² Como representa um comprimento x não pode ser negativo como com o perímetro de 80 cm segue que 0 x 40 Para encontrar a área máxima temos que encontrar o ponto de máximo relativo da função área Para isso temos que fazer A 0 e ter Ax 0 Ax 40 2x 40 2x 0 X 20 Ax 2 Assim A20 2 TÓPICO 6 APLICAÇÕES DA DERIVADA 155 Então a partir de x 20 encontamos o valor de y largura substituindo em y 40 x Daí y 20 Portanto para que a caixa tenha área máxima devemos ter x 20 e y 20 Resulta um quadrado é um caso particular do retângulo Apresentamos agora de acordo com Finney Weir e Giordano 2002 p 275 uma estratégia para facilitar a resolução dos problemas Estratégia para Resolver Problemas de Máximo e Mínimo Passo 1 Compreendendo o Problema Leia o problema atentamente Identifique as informações necessárias para resolvêlo O que é desconhecido O que é dado O que é pedido Passo 2 Desenvolva um Modelo Matemático para o Problema Desenhe figuras e indique as partes que são importantes para o problema Introduza uma variável para representar a quantidade a ser maximizada ou minimizada Utilizando essa variável escreva uma função cujo valor extremo forneça a informação pedida Passo 3 Determine o Domínio da Função Determine quais valores da variável têm sentido no problema Se possível esboce o gráfico da função Passo 4 Identifique os Pontos Críticos e as Extremidades Determine onde a derivada é zero ou não existe Utilize aquilo que você sabe sobre a forma do gráfico de uma função e sobre a física do problema Use a primeira e a segunda derivada para identificar e classificar os pontos críticos onde f 0 ou não existe Passo 5 Resolva o Modelo Matemático Se não estiver seguro sobre o resultado utilize outro método para embasar ou confirmar sua solução Passo 6 Interprete a Solução Traduza seu resultado matemático de volta para a linguagem original do problema e decida se o resultado tem sentido ou não Exemplo 2 Um fabricante de latas cilíndricas de conservas recebe um pedido muito grande de latas com volume de 600 ml Quais as dimensões que minimizarão a área total da superfície de uma lata como esta e portanto a quantidade de metal necessário para fabricála Resolução Vamos resolver este problema identificando os passos da estratégia sugerida acima Passo 1 Compreendendo o Problema Sendo r e h o raio da base e a altura de uma lata cilíndrica figura a seguir seu volume é e a área da superfície total é 156 UNIDADE 2 DERIVADA FIGURA 55 O RAIO DA BASE E A ALTURA DE UMA LATA CILÍNDRICA FONTE O autor Interpretemos a sentença quais as dimensões que minimizarão a área total da superfície Procuramos as dimensões r e h que permitem que a área da superfície total seja a menor possível e ainda assim satisfaça a exigência de que o volume seja de 600 ml Passo 2 Desenvolva um Modelo Matemático para o Problema Devemos minimizar A que é uma função de duas variáveis notando que a equação do volume relaciona essas variáveis Logo isolamos a altura h obtendo e substituímos na fórmula da área total para expressar A como função só de r Ar Ar Passo 3 Determine o Domínio da Função O gráfico dessa função figura a seguir mostra que A é grande quando r é pequeno ou grande com um mínimo em algum ponto intermediário sendo r 0 TÓPICO 6 APLICAÇÕES DA DERIVADA 157 FIGURA 56 GRÁFICO DA FUNÇÃO 64 FONTE O autor Passo 4 Identifique os Pontos Críticos e as Extremidades Como sabemos para descobrir a localização precisa desse mínimo derivamos a função da área igualamos a derivada a zero e resolvemos Passo 5 Resolva o Modelo Matemático As dimensões reais da lata em questão podem ser obtidas ao resolvermos a última equação Assim ou Utilizemos esse valor para calcular h r dA dr 0 158 UNIDADE 2 DERIVADA ou Note que h 2r Passo 6 Interprete a Solução Do ponto de vista de diminuir os custos da matériaprima esse resultado revela que para uma lata cilíndrica de 600 ml a altura deve ser igual ao diâmetro da base com r 457 cm e r 914 cm Exemplo 3 Considere a função custo total fx 20 2x 005x² onde fx denota o custo total e x a quantidade produzida Quantas unidades deverão ser fabricadas para que o custo médio seja o menor possível Resolução O custo médio é calculado por Para encontrar o menor custo médio possível temos que encontrar o ponto de mínimo relativo da função custo médio Cᵐ X Cᵐ X O domínio da função custo médio é x 0 já que x representa a quantidade produzida Temos que derivar f mas antes vamos reescrever a função de uma maneira apropriada para facilitar a derivação ou ou Para isso temos que fazer cᵐ x 0 e ter cᵐ x 0 x² 400 x 20 ou x 20 TÓPICO 6 APLICAÇÕES DA DERIVADA 159 Pelo domínio o único valor a ser combinado é x 20 Verificamos se então 20 é ponto de mínimo relativo pois Portanto devem ser fabricadas 20 unidades para que o custo médio seja o menor possível 4 REGRAS DE LHOSPITAL Estudaremos algumas regras para o cálculo de limites indeterminados Estas regras baseiamse no cálculo da derivada e são chamadas de regras de Lhospital em homenagem ao matemático francês Guillaume François de LHospital 1661 1707 Teorema 263 Regra de LHospital para a indeterminação 00 Sejam f e g funções deriváveis em todos os pontos de um intervalo aberto que contenha x a exceto possivelmente em x a e que e se existe com gx 0 para x a ou se esse limite é ou então Caroa acadêmicoa talvez você já tenha consultado algum material de Cálculo e observou esta regra com outro nome LHôpital Isto é uma curiosidade se consultar diversos autores alguns apresentam LHospital enquanto que outros LHôpital Sugiro que pesquise um pouco mais sobre este matemático francês e sobre esta curiosidade em seu nome ESTUDOS FUTUROS 160 UNIDADE 2 DERIVADA Exemplo 1 Calcule Resolução O numerador e o denominador têm um limite zero Portanto o limite é uma forma indeterminada do tipo 00 Aplicando o Teorema 263 obtemos Exemplo 2 Calcule Resolução O numerador e o denominador têm um limite zero Portanto o limite é uma forma indeterminada do tipo 00 Aplicando o Teorema 263 obtemos Exemplo 3 Calcule Resolução A indeterminação deste limite é do tipo Vamos transformála numa indeterminação do tipo 00 com o auxílio de logaritmos ln Seja Então daí Agora o limite está pronto para aplicarmos o Teorema 263 TÓPICO 6 APLICAÇÕES DA DERIVADA 161 Como ln L 1 temos L e e assim Teorema 264 Regra de LHospital para a indeterminação Sejam f e g funções deriváveis em todos os pontos de um intervalo aberto que contenha x a exceto possivelmente em x a e que e se existe com para x a ou se esse limite é ou então Exemplo 4 Calcule Resolução O numerador e o denominador têm um limite Portanto o limite é uma forma indeterminada do tipo Aplicando o Teorema 264 obtemos Exemplo 5 Calcule Resolução O numerador e o denominador têm um limite Portanto o limite é uma forma indeterminada do tipo Aplicando o Teorema 264 obtemos Calculando o limite acima a ideterminação do tipo continua aplicamos novamente a regra de LHospital 162 UNIDADE 2 DERIVADA Exemplo 6 Calcule Resolução Os dois termos têm limite Portanto o limite é uma forma indeterminada do tipo Vamos transformála numa indeterminação do tipo 00 fazendo Agora o limite está pronto para aplicarmos o Teorema 263 Calculando o limite acima a ideterminação do tipo 00 continua aplicamos novamente a regra de LHospital 21 O QUE É CÁLCULO O PROBLEMA DAS TANGENTES Começamos nosso estudo de CáIculo com uma breve apreciação sobre seu conteúdo e as razões de sua importância Uma vista geral do percurso que esta à frente pode ajudarnos a atingir uma clareza de propósito e senso de direção que nos serão muito úteis no meio dos muitos detalhes técnicos que constituem a parte principal de nosso trabalho O CáIculo é usualmente dividido em duas partes principais cálculo diferencial e cálculo integral sendo que cada uma tem sua própria terminologia não familiar notação enigmática e métodos computacionais especializados Acostumarse a tudo isto exige tempo e prática processo semelhante ao de aprender uma nova língua Entretanto esse fato não deve nos impedir de ver no início que os problemas centrais do assunto são realmente muito simples e claros sem nada de estranho ou misterioso acerca deles LEITURA COMPLEMENTAR TÓPICO 6 APLICAÇÕES DA DERIVADA 163 Quase todas as ideias e aplicações do Cálculo giram em tomo de dois problemas geométricos que são muito fáceis de ser entendidos Ambos se referem ao gráfico de uma função y fx Evitamos complicações assumindo que esse gráfico está inteiramente acima do eixo x como na Fig 21 Figura 21 A essência do Cálculo PROBLEMA 1 O problema básico do cálculo diferencial é o problema das tangentes calcular o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico num ponto dado P PROBLEMA 2 O problema básico do cálculo integral é o problema das áreas calcular a área debaixo do gráfico entre os pontos x a e x b O que faremos em seguida estará sempre relacionado com esses dois problemas as ideias e técnicas desenvolvidas para resolvêlos e as aplicações originadas deles Para os leitores interessados nas origens das palavras calculus na Roma Antiga era uma pequena pedra ou seixo utilizado para contagem e jogo e o verbo latino calculare passou a significar figurar computar calcular Hoje Cálculo é um método ou sistema de métodos para resolver problemas quantitativos de uma natureza particular como no cálculo de probabilidades cálculo de diferenças finitas cálculo tensorial cálculo das variações cálculo de resíduos etc Nosso Cálculo o ramo da Matemática que compreende o cálculo diferencial e integral é às vezes chamado o Cálculo para distinguilo de todos esses outros cálculos subordinados À primeira vista esses problemas parecem de alcance bem limitado Esperamos que eles lancem luz de modo significativo sobre a Geometria e eles o farão O que é muito surpreendente é constatar que eles têm também muitas aplicações profundas e de longo alcance em várias ciências O Cálculo adquire importância no grande mundo fora da Matemática por meio dessas aplicações científicas e um de nossos principais objetivos é introduzir o estudante a uma variedade delas tão grande quanto possível Ao mesmo tempo continuaremos a enfatizar a Geometria e as aplicações geométricas pois este é o contexto em que as ideias do Cálculo são mais facilmente compreendidas 164 UNIDADE 2 DERIVADA Às vezes é dito que o Cálculo foi inventado por aqueles dois grandes gênios do século XVII Newton e Leibniz Na verdade o Cálculo é o produto de um longo processo evolutivo que começou na Grécia Antiga e continuou no século XIX Newton e Leibniz foram homens verdadeiramente notáveis e suas contribuições foram de importância decisiva mas o assunto nem começou nem terminou com eles Os problemas enunciados acima estavam presentes nas mentes de muitos cientistas europeus da metade do século XVII mais notadamente em Fermat e foi feito um progresso considerável em cada um deles com engenhosos métodos especiais A grande realização de Newton e Leibniz foi reconhecer e explorar a íntima conexão entre esses problemas que ninguém tinha entendido completamente Especificamente eles foram os primeiros a entender o significado do Teorema Fundamental do Cálculo o qual diz com efeito que a solução do problema da tangente pode ser usada para resolver o problema da área Esse teorema certamente o mais importante de toda a Matemática foi descoberto por cada um deles independentemente um do outro e eles e seus sucessores usaramno para unir as duas metades do assunto numa arte de resolução de problemas de poder e versatilidade impressionantes É às vezes escrito Leibnitz pronúncia latina para sugerir a pronúncia correta Como essas observações sugerem começamos nosso trabalho fazendo um estudo bastante completo do problema da tangente Depois voltamos ao problema da área Daí prosseguimos em várias direções estendendo nossos conceitos e instrumentos básicos para classes mais amplas de funções com maior variedade de aplicações significativas Antes de tentar calcular o coeficiente angular de uma reta tangente devemos primeiro decidir o que é uma reta tangente e isto não é tão fácil quanto parece No caso de uma circunferência não há dificuldade Uma tangente a uma circunferência Fig 22 à esquerda é uma reta que intercepta a circunferência em apenas um ponto chamado o ponto de tangência as retas nãotangentes ou interceptam a circunferência em dois pontos diferentes ou não a interceptam Figura 22 TÓPICO 6 APLICAÇÕES DA DERIVADA 165 Essa situação reflete a ideia intuitiva que a maioria das pessoas tem de tangente a uma curva num dado ponto como sendo uma reta que toca a curva naquele ponto Ela sugere também a possibilidade de definir uma tangente a uma curva como uma reta que intercepta a curva em apenas um ponto Essa definição foi usada com sucesso pelos gregos ao tratarem de circunferências e algumas outras curvas especiais mas para curvas em geral ela é totalmente insatisfatória Para compreender o porquê considere a curva mostrada na Fig 22 à direita Ela tem uma tangente perfeitamente aceitável a reta debaixo que essa definição rejeitaria é uma reta obviamente nãotangente a reta de cima que seria aceita A palavra latina tangere significa tocar O conceito moderno de reta tangente originouse com Fermat em torno de 1630 Como os estudantes poderão ver esse conceito é não só um enunciado razoável acerca da natureza geométrica das tangentes mas é também a chave de um processo prático para a construção de tangentes Resumidamente a ideia é esta considere uma curva y fx e P um dado ponto fixo sobre essa curva Fig 23 Considere Q um segundo ponto próximo de P sobre a curva e desenhe a reta secante PQ A reta tangente em P pode agora ser encarada como a posiçãolimite da secante variável quando Q desliza ao longo da curva em direção a P Veremos na Seção 22 como essa ideia qualitativa leva pelo menos a um método quantitativo para o cálculo do coeficiente angular exato da tangente em termos da função fx dada Figura 23 A ideia de Fermat Que não haja má compreensão Essa maneira de pensar acerca de tangentes não é um ponto técnico de menor importância na geometria de curvas Pelo contrário é uma das três ou quatro ideias mais fecundas que qualquer matemático já tenha tido pois sem ela não haveria o conceito de velocidade ou aceleração ou força em Física nem dinâmica ou astronomia newtoniana nem ciência física de qualquer natureza exceto como mera descrição verbal de fenômenos e certamente não teríamos a idade moderna da Engenharia e tecnologia FONTE SIMMONS George F Cálculo com geometria analítica São Paulo Pearson Makron Books 1987 p 6972 v 1 166 RESUMO DO TÓPICO 6 Estudamos o Teorema de Rolle e o Teorema do Valor Médio este último muito importante no Cálculo e tendo aplicações práticas Resolvemos problemas de otimização envolvendo máximos e mínimos de funções onde aplicamos os conceitos estudados nos Tópicos 4 e 5 Finalizando este tópico resolvemos limites indeterminados aplicando a chamada Regra de LHospital Esta regra facilita o processo de levantar a indeterminação dos limites que foi estudado no Tópico 2 da Unidade 1 167 AUTOATIVIDADE Agora chegou a sua vez de colocar em prática o que foi estudado Lembrese das orientações dadas para o cálculo dos limites 1 Verifique se as condições do Teorema do Valor Médio são satisfeitas pela função fx x³ 3x² 5 em 1 2 Determine os pontos desse intervalo onde se verifica a afirmação do teorema 2 Um motorista está dirigindo em uma estrada reta com o limite de velocidade de 80 kmh Às 08 horas e 05 minutos da manhã um controlador cronometra a velocidade do carro como sendo 75 kmh e 5 minutos depois um segundo controlador 10 km adiante na estrada cronometra a velocidade do carro como sendo de 80 kmh Explique por que o motorista poderia receber uma multa por excesso de velocidade 3 Suponha que a função forneça a quantidade aproximada de sacas de milho produzidas por hectare num determinado terreno ao se aplicar x gramas de adubo por metro quadrado onde 0 x 150 Determinar a quantidade de adubo a ser aplicada por metro quadrado para obtermos a maior produção possível 4 Uma caixa dágua sem tampa deve ter o formato de um paralelepípedo reto retângulo ter altura igual à largura e que a soma das áreas de suas paredes incluindo o fundo seja 6 m2 Determinar suas dimensões para que sua capacidade seja a maior possível 5 Encontre o raio e a altura do cilindro circular reto de maior volume que pode ser inscrito em um cone circular reto com 10 cm de altura e 6 cm de raio 6 Uma forma líquida de penicilina fabricada por uma firma farmacêutica é vendida a granel a um preço de R 20000 por unidade Se o custo total de produção em reais para x unidades for cx 500000 80x 0003x² e se a capacidade de produção da firma for de no máximo 30000 unidades em um tempo especificado quantas unidades de penicilina devem ser fabricadas e vendidas naquele tempo para maximizar o lucro Nos exercícios de 7 a 13 calcule os limites utilizando a regra de LHospital 7 4 3 3 2 1 7 5 lim 2 4 6 x x x x x x x 8 2 3 lim x x x e x e x 9 3 3 2 2 2 24 32 lim 2 9 12 4 x x x x x x 10 1 lim x x x 11 lim x n x x 12 3 1 lim 4 x x e x x 13 2 0 1 cos lim x x x 169 UNIDADE 3 INTEGRAÇÃO OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM PLANO DE ESTUDOS A partir desta unidade você será capaz de reconhecer os diferentes tipos de integrais resolver as integrais através das técnicas de integração por substituição e integração por partes calcular área entre curvas utilizando as integrais calcular volume de sólidos de revolução calcular valor médio de uma função calcular integrais de funções racionais por frações parciais calcular integrais impróprias Esta unidade está dividida em cinco tópicos apresentando as principais técnicas de integração e aplicações de integrais definidas Em cada tópico é apresentado o conceito seguido de diversos exemplos para auxiliáloa na compreensão e resolução dos exercícios propostos Além disso é apresentado um resumo do tópico e um texto complementar Nes te texto é dada ênfase à personalidade matemática de Gottfrield Wiheim von Leibniz que contribuiu no desenvolvimento do cálculo diferencial e integral TÓPICO 1 INTRODUÇÃO À INTEGRAL TÓPICO 2 DEFININDO ÁREA COMO UM LIMITE TÓPICO 3 APLICAÇÕES DA INTEGRAL DEFINIDA TÓPICO 4 MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO I TÓPICO 5 MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO II Assista ao vídeo desta unidade 171 TÓPICO 1 INTRODUÇÃO À INTEGRAL UNIDADE 3 1 INTRODUÇÃO Na Unidade 2 estudamos a derivação cálculo diferencial que em termos geométricos corresponde ao coeficiente angular da reta tangente à curva A derivada também é um método de cálculo para descrever como as funções variam em um dado momento Esse fato levou os estudiosos a buscarem um método para descrever como essas variações instantâneas poderiam se acumular ao longo de um intervalo para produzir a função 2 INTRODUÇÃO À INTEGRAL Havia outro estudo eles investigavam áreas sob curvas uma pesquisa que desenvolveu o segundo ramo principal do cálculo chamado cálculo integral Newton e Leibniz sabiam intuitivamente que existia uma ligação entre coeficientes angulares de retas tangentes e áreas entre curvas A descoberta desta ligação chamada de Teorema Fundamental do Cálculo juntou o cálculo diferencial e integral tornandoos a ferramenta mais poderosa que os matemáticos já obtiveram para entender o universo 3 INTEGRAL INDEFINIDA Caros acadêmicos iniciaremos o estudo de determinar uma função fx a partir de um de seus valores conhecidos e sua derivada fx Primeiro precisamos encontrar uma fórmula que dê todas as funções que poderiam ter fx como derivada Essas funções são chamadas primitivas de fx e a fórmula que fornece todas elas é chamada integral indefinida A integral indefinida consiste no processo inverso ao da derivação chamado de antiderivação Para a derivada da função Fx 3 2 x² obtemos Fx fx 3x Como a integração é o processo inverso da derivação devese obter uma função Fx tal que Fx 3x A função UNIDADE 3 INTEGRAÇÃO 172 Fx 3 2 x² é uma solução mas existem outras como F1x 3 2 x² 4 F1x 3x fx Definição 311 Uma função Fx é uma primitiva de uma função fx se Fx fx para qualquer x no domínio de f Exemplo 1 Encontre a função primitiva de fx 3x5 Resolução Fx x6 2 é uma primitiva da função fx 3x5 Pois Fx 1 2 6x5 3x5 fx satisfaz a Definição 111 Exemplo 2 As funções gx x3 3 4 e hx 1 3 x³ 3 também são primitivas da função fx x² Resolução Verificaremos a igualdade Fx fx da Definição 111 Assim gx 1 3 3x² 0 x² fx e hx 1 3 x³ 30 3x² x² fx Teorema 311 Se Fx for qualquer primitiva de fx em um intervalo a b então para qualquer constante c a função Fx c é também uma primitiva de fx em a b A constante c é chamada de constante de integração ela é uma constante arbitrária uma vez que a ela pode ser atribuído qualquer valor real Definição 312 O conjunto de todas as primitivas de fx é a integral indefinida de f em relação a x denotada por fx dx Representamos a integral pelo símbolo A função fx é o integrando de uma integral e dx indica a variável de integração A integral indefinida de uma função fxdx Fx c é na verdade uma família de funções para cada valor atribuído à constante de integração c temos TÓPICO 1 INTRODUÇÃO À INTEGRAL 173 uma nova função que é solução da integral Um membro específico da família é determinado atribuindo um valor particular à constante de integração Exemplo 3 Calcule cos4xdx Resolução Fx 1 4 sen4x é uma primitiva da função fx cos 4x Então pelo Teorema 111 cos4xdx 1 4 sen4x c Exemplo 4 Calcule 2xdx e faça o gráfico com várias primitivas da fx Resolução Como visto anteriormente há várias primitivas para uma mesma função que diferem entre si pelo valor da constante c constante de integração Assim 2xdx x² c Na figura a seguir mostramos o gráfico das curvas y x² c FIGURA 57 O GRÁFICO DAS CURVAS y x² c FONTE O autor UNIDADE 3 INTEGRAÇÃO 174 Usamos o símbolo fxdx para designar a integral indefinida De acordo com esta notação o símbolo é chamado sinal de integração e a função fx integrando O símbolo dx que aparece no integrando serve para identificar a variável sobre a qual integraremos 4 PROPRIEDADES DA INTEGRAL INDEFINIDA Assim como os limites e as derivadas as integrais obedecem às regras algébricas conforme veremos a seguir 1 Integral de uma função dx x c 2 Integral da multiplicação por uma constante Sejam fx uma função integrável e k uma constante real qualquer Então k fxdx k fxdx Exemplo 1 5dx 5 dx 5x c 3 Integral da soma Sejam fx e gx funções integráveis Então fx gxdx fxdx gxdx Exemplo 2 x² x 4dx x²dx xdx 4dx 4x c 4 Integral da diferença Sejam fx e gx funções integráveis Então fx gxdx fxdx gxdx Exemplo 3 x4 x²dx x4dx x²dx c UNI TÓPICO 1 INTRODUÇÃO À INTEGRAL 175 5 INTEGRAIS IMEDIATAS A integração é o processo inverso da derivação Assim como na derivação temos regras de integração para funções básicas TABELA DE INTEGRAIS IMEDIATAS 1 du u c 2 undu c n 1 3 lnu c 4 audu c a 0 a 1 5 eudu eu c 6 sen u du cos u c 7 cos u du sen u c 8 sec² u du tg u c 9 cossec² u du cotg u c 10 sec utg u du sec u c 11 cossec ucontg u du cossec u c 12 sec u du lnsec u tg u c 13 cossec u du lncossec u cotg u c 14 tg u du lnsec u c 15 cotg u du lnsen u c Exemplo 1 UNIDADE 3 INTEGRAÇÃO 176 Exemplo 2 Exemplo 3 Exemplo 4 No caso da função potência fx x 1 a integral é especial porque uma primitiva da função fx x 1 é a função fx lnx Portanto lnx c Exemplo 5 Calcule Resolução UNI TÓPICO 1 INTRODUÇÃO À INTEGRAL 177 Exemplo 6 Calcule sec xtg 7cossec2 x dx Resolução sec xtg 7cossec2 x dx sec xtg x dx 7 cossec2 x dx sec x 7cotg x c Exemplo 7 Calcule Resolução 6 INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO Algumas integrais são resolvidas aplicando uma das fórmulas básicas integrais imediatas depois de ser feita uma mudança de variável substituição O método da substituição é motivado pela regra da cadeia do ponto de vista da antidiferenciação Assim sejam fx e Fx duas funções tais que Fx fx e suponhamos que g seja uma outra função diferenciável Vamos derivar a função composta F g x Aplicando a regra da cadeia escrevemos Fgx Fgx gx Integrando a igualdade temos Fgx gx dx Fgx c e como temos que Fx é uma primitiva de fx fgx gx dx Fgx c Veja como se dá a substituição na integral em que a função integrante é uma derivada de uma função composta UNIDADE 3 INTEGRAÇÃO 178 fgx gx dx fu du Substituir u gx e du gx dx Fu c Encontrar a primitiva Fu de fu Fgx c Voltar para a variável x O objetivo da técnica de integração é tornar a integral tão simples que a integral fique semelhante a uma das integrais da tabela de integrais imediatas Caroa acadêmicoa por uma questão de organização nos exemplos que seguirão nas suas resoluções a coluna da direita será reservada para mostrar as substituições feitas e as derivadas necessárias Exemplo 1 Calcule a integral x3 715 3x2 dx Resolução Perceba que a escolha da função u é fundamental para o sucesso da resolução da integral Também deve ser observado que a função u deverá ser derivada e neste caso tratandose de funções polinomiais a função u deve ser a função de maior grau Já que ao aplicar a regra de derivação da potência a função diminui o grau facilitando nossa integração Escolhendo como u x3 7 possui maior grau então du 3x2 dx Assim escrevemos a integral como UNI TÓPICO 1 INTRODUÇÃO À INTEGRAL 179 Siga os seguintes passos para calcular a integral fgxgx dx Passo 1 Faça uma escolha para u isto é u gx A escolha deve se basear no fato de que se quer facilitar a integração Passo 2 Calcule Passo 3 Faça a substituição u gx du gx dx Depois de feita a substituição de variável toda a integral deve estar em termos da variável u nenhum x deve continuar aparecendo Se isto não acontecer devese tentar uma nova escolha para u Passo 4 Calcule a integral resultante se possível Neste momento a integral resultante deve ser uma integral imediata Passo 5 Substituir u por g x assim a resposta final estará em termos de x Exemplo 2 Calcule a integral Resolução Novamente observe que temos duas funções polinomiais E como já foi destacado anteriormente devemos escolher como função u a de maior grau pois derivando o grau diminui Fazendo a substituição de 3 2x5 por u na integral dada temos u 3 2x5 Derivando u temos du 10x4 dx Assim reescrevemos a integral como UNI UNIDADE 3 INTEGRAÇÃO 180 Exemplo 3 Calcule a integral e5x dx Resolução Nesta integral o fato marcante é a presença do e número de Euler Pois na tabela das integrais imediatas temos a integral eu du eu c Assim comparando a integral com a tabela observase que o u deve ser a função 5x Fazendo a substituição de 5x por u na integral dada temos u 5x implicando em du 5 dx Assim reescrevemos a integral como AUTOATIVIDADE Resolva as seguintes integrais e tente escrever uma generalização destas integrais isto é escreva uma regra para integrais desta forma 1 e2x dx 2 e7x dx 3 e8x dx Exemplo 4 Calcule a integral Resolução Esta integral se assemelha à integral do exemplo 2 TÓPICO 1 INTRODUÇÃO À INTEGRAL 181 Precisamos recordar como se escreve um radical na forma de potência Escolhendo como u x2 5 pois a sua derivada é uma função do 1º grau conforme segue du 2x dx Assim reescrevemos a integral como Observe os quatro exemplos feitos anteriormente Em todos existe uma coluna à direita mostrando a substituição na variável na integral por u e em seguida a diferenciação das variáveis Em seu caderno quando você for resolver os exercícios procure seguir a mesma organização apresentada nos exemplos pois isso ajudará você na próxima técnica também Lembrese de que um dos objetivos da matemática é o de desenvolver no estudante a organização Portanto seja organizado Exemplo 5 Calcule a integral Resolução Podemos apontar dois motivos para escolher como u x3 primeiro pelo fato do grau ser maior um grau a mais que na outra função em x e o outro fato é a comparação com a integral eu du da tabela Fazendo a substituição u x3 temos du 3x2 dx Assim reescrevemos a integral como ATENCAO UNIDADE 3 INTEGRAÇÃO 182 No início deste item método da integração por substituição foi mostrado de onde decorre a integração por substituição Fgx Fgx gx Assim podemos fazer a verificação da integral resolvida isto é podemos verificar se a função encontrada na integral Fgx c corresponde à função primitiva da função integrante Fgx gx Fazendo a verificação No exemplo 5 resolvido anteriormente foi calculada a integral e obtevese como função primitiva a função Então vamos fazer a verificação se essa função é de fato a função primitiva que procurávamos Devemos verificar a igualdade Fgx Fgx gx Veja que a igualdade foi verificada Este é um recurso que você dispõe para comprovar que de fato você encontrou a função primitiva através da integral O objetivo da técnica de integração por substituição é substituir a função em x que tem grau maior a fim de tornar esta integral tão simples como uma das integrais imediatas da tabela Então após a substituição devemos ter uma integral semelhante a uma das integrais imediatas Exemplo 6 Calcule a integral cos4x dx Resolução Nesta integral perceba a presença da função trigonométrica cos x Pois na tabela das integrais imediatas temos a integral cos u du sen u c Assim por comparação entre as integrais fazemos a substituição de 4x por u na integral dada então u 4x Derivando u temos du 4 dx Assim escrevemos a integral como IMPORTANTE IMPORTANTE TÓPICO 1 INTRODUÇÃO À INTEGRAL 183 AUTOATIVIDADE Resolva as seguintes integrais e tente escrever uma generalização destas integrais isto é escreva uma regra para integrais desta forma 1 cos 5x dx 2 cos 7x dx 3 sen 6x dx 4 sen 3x dx Exemplo 7 Calcule a integral sen4 x cos x dx Resolução Nesta integral a princípio tanto faz a função que chamaremos de u Mas devido à potência a função u deve ser a função trigonométrica sen x Escolhendo como u sen x então du cos x dx Assim escrevemos a integral como UNIDADE 3 INTEGRAÇÃO 184 Exemplo 8 Calcule a integral Resolução Observe que tanto o numerador quanto o denominador da integral são funções polinomiais Portanto devemos escolher como função u a função 9 2x 3 do denominador pois ela tem grau maior e quando a derivamos teremos uma função de grau menor para substituir E para a resolução da integral temos que usar uma propriedade de potência Escolhendo como u 9 2x³ então du 6x² dx Assim reescrevemos a integral como Exemplo 9 Calcule a integral Resolução Agora a situação é um pouco diferente das anteriores Pois nas anteriores as funções polinomiais na integral possuíam graus diferentes e nesta as funções têm mesmo grau Escolhemos como u 5 x então du dx Mas se substituirmos na integral obtemos Isto não pode ocorrer TÓPICO 1 INTRODUÇÃO À INTEGRAL 185 Ao trocarmos a variável a integral tem que ter apenas a nova variável u Então na igualdade em que propomos a substituição devemos escrever a variável x em função de x e aí substituir na integral deixando a integral toda na variável u Assim escrevemos a integral como CUIDADO CUIDADO CUIDADO Não caia na tentação É comum o aluno cometer o seguinte erro na fração esta simplificação só ocorre com o produto Assim o correto é Exemplo 10 Calcule a integral xx 39 dx Resolução Nesta integral aplicase um procedimento semelhante ao que foi apresentado anteriormente Escolhendo como u x 3 segue que du dx Assim reescrevemos a integral como UNI 186 Neste tópico você viu que Iniciamos o tópico mostrando que a integração é o processo inverso da derivação As propriedades algébricas estudadas nos limites e nas derivadas são as mesmas empregadas nas integrais Neste estudo inicial das integrais aprendemos como calcular integrais imediatas utilizando a tabela de integração Finalizamos o tópico com a técnica de integração por substituição ou mudança de variável Esta técnica tem como finalidade tornar a integral mais simples facilitando o cálculo E ainda vimos que as integrais que são resolvidas por esta técnica têm suas primitivas como funções compostas Vamos recordar as etapas do método As integrais têm a seguinte forma fgx gx dx Passo 1 A escolha para u isto é u gx Passo 2 Calcule Passo 3 Faça a substituição u gx du gx dx Observe que toda a integral deve estar em termos da variável u nenhum x deve continuar Se isto não acontecer devese tentar uma nova escolha para u Passo 4 Calcule a integral resultante se possível Passo 5 Substituir u por g x assim a resposta final estará em termos de x RESUMO DO TÓPICO 1 187 AUTOATIVIDADE Agora chegou a sua vez de colocar em prática a técnica de substituição que foi apresentada Lembrese das orientações dadas para cada tipo de integral desenvolvida Nas questões de 1 a 8 calcule as integrais indefinidas Nos exercícios 9 a 12 calcule as integrais fazendo as substituições indicadas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 188 Nos exercícios 13 a 20 calcule as integrais fazendo as substituições apropriadas 13 14 15 16 17 18 19 20 Assista ao vídeo de resolução da questão 15 189 TÓPICO 2 DEFININDO ÁREA COMO UM LIMITE UNIDADE 3 1 INTRODUÇÃO Os gregos da Antiguidade tinham grande conhecimento acerca de áreas de triângulos círculos e configurações relacionadas mas qualquer outra figura apresentava um novo e insolúvel problema O primeiro avanço foi feito pelo matemático grego Arquimedes que aplicava uma técnica denominada método da exaustão para calcular a área de regiões limitadas por parábolas por espirais e por várias outras curvas 2 O CONCEITO DE ÁREA No século XVII vários matemáticos utilizavam limites para obter áreas de figuras com contornos curvilíneos Mas foram Newton e Leibniz que mostraram que se uma quantidade pode ser calculada por exaustão então pode também ser calculada muito mais facilmente com o uso de antiderivadas Esse importante resultado é denominado Teorema Fundamental do Cálculo O problema da área pode ser enunciado como dada uma função f contínua e nãonegativa em um intervalo a b qual a área da região entre o gráfico de f e o intervalo a b no eixo x figura a seguir FIGURA 58 GRÁFICO 21 FONTE O autor 190 UNIDADE 3 INTEGRAÇÃO 3 INTEGRAL DEFINIDA 31 SOMA DE RIEMANN Para resolver o problema da área utilizaremos a soma de Riemann Iniciamos dividindo o intervalo a b em n subintervalos e escolhendo n 1 pontos x1 x2 x3 xn1 entre a e b sujeitos apenas à condição de que a x0 x1 x2 x3 xn1 xn b O conjunto P x0 x1 x2 x3 xn1 xn é chamado partição de a b FIGURA 59 GRÁFICO 22 FONTE O autor A partição P define n subintervalos fechados x0 x1 x1 x2 x2 x3 xn1 xn onde xi1 xi é o iésimo subintervalo de P e seu comprimento é xi xi xi1 Em cada subintervalo selecionamos algum número ci Depois em cada subintervalo construímos um retângulo de base xi e altura fci figura a seguir TÓPICO 2 DEFININDO ÁREA COMO UM LIMITE 191 FIGURA 60 GRÁFICO 23 FONTE O autor Assim em cada subintervalo formamos o produto fcixi Então Sn representa a soma das áreas nos n retângulos Esta soma que depende da partição P e da escolha dos números ci é uma soma de Riemann para f no intervalo a b Definição 321 A integral definida como limite de somas de Riemann Seja f uma função definida em um intervalo fechado a b Para qualquer partição P de a b escolha os números ci arbitrariamente nos subintervalos xi1 xi Se houver um número S tal que independentemente de como P e os ci forem escolhidos então f será integrável em a b e S será a integral definida de f em a b Os resultados apresentados por Riemann acabaram sendo uma ferramenta fundamental usada por Einstein cerca de 50 anos depois para desenvolver a Teoria da Relatividade UNI 192 UNIDADE 3 INTEGRAÇÃO 32 ÁREA SOB UMA CURVA A soma de Riemann que é a soma das áreas dos retângulos figura 58 fornece uma estimativa para a área da região entre a curva e o eixo x desde a até b Como os retângulos dão uma aproximação cada vez melhor da região à medida que usamos partições com normas cada vez menores a aplicação de limite à soma de Riemann nos fornece o valor da área da região figura 57 Definição 321 Área sob uma curva Se y fx for não negativa e integrável em um intervalo fechado a b então a área sob a curva y fx desde a até b será a integral de f de a até b Exemplo 1 Calcule a área sob a função fx 2x 3 no intervalo fechado 1 5 Resolução Vamos aplicar a Definição 222 mesmo que não tenha sido mostrado como se calcula a integral definida este exemplo não tem a finalidade de mostrar as etapas com cálculo da integral mas comprovar seu resultado Então FIGURA 61 GRÁFICO 24 FONTE O autor Agora a fim de verificar o resultado acima vamos calcular a área da região sob a função utilizando nossos conhecimentos de Geometria Pelo gráfico da função figura 60 percebese que a região cinza tem a forma de um trapézio retângulo Assim pela fórmula da área do trapézio a área A 36 ua unidades de área TÓPICO 2 DEFININDO ÁREA COMO UM LIMITE 193 Com os dois cálculos é possível observar que a integral fornece de fato o valor da área não sendo mais uma aproximação Historicamente a expressão fx dx era interpretada como uma área infinitesimal de um retângulo de altura fx e base infinitesimal dx Então a área total sob a curva era obtida somando essas áreas infinitesimais O símbolo é um S espichado que era usado para indicar essa soma Para nós o símbolo de integral e o símbolo dx podem servir para lembrar que a integral definida é realmente o limite de somatório quando xi 0 Teorema 221 Se f é contínua sobre a b então f é integrável em a b 4 PROPRIEDADES DA INTEGRAL DEFINIDA Definição 323 Se f for integrável em a b definimos Teorema 321 Se f e g forem integráveis em a b e se k for uma constante então k f f g f g são integráveis em a b e Teorema 322 Se a c b e f for integrável em um intervalo fechado a b contendo três pontos a b c então UNI A 36 ua 194 UNIDADE 3 INTEGRAÇÃO não importando como os pontos estejam ordenados Teorema 323 i Se f for integrável em a b e fx 0 para todo x em a b então ii Se f e g forem integráveis em a b e fx gx para todo x em a b então 5 TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO Teorema 324 Teorema Fundamental do Cálculo Parte 1 Se f é contínua sobre a b então a função é derivável em todo ponto x em a b e Interpretando a equação diferencial ela tem uma solução para toda função contínua f e toda função contínua f é derivada de alguma outra função isto é Teorema 325 Teorema Fundamental do Cálculo Parte 2 Se f é contínua em todo ponto de a b e se F é qualquer primitiva de f em a b então TÓPICO 2 DEFININDO ÁREA COMO UM LIMITE 195 A segunda parte do Teorema Fundamental do Cálculo mostra como calcular integrais definidas a partir de primitivas Exemplo 1 Calcule a integral definida Resolução Para resolver a integral definida aplicaremos as propriedades da integral definida e o Teorema 242 Portanto A resolução apresentada acima pode ser feita sem aplicar a propriedade da integral definida linha 2 da resolução E naturalmente chegase ao mesmo resultado Exemplo 2 Calcule a integral definida UNI Desenvolvendo o produto notável Propriedades da integral difinida Primitica de f tabela de integrais imediatas 196 UNIDADE 3 INTEGRAÇÃO Resolução Exemplo 3 Calcule a integral definida Resolução Para resolver esta integral definida primeiro temos que reescrever a função integrante para usar a tabela de integrais imediatas e depois o Teorema 242 Definição 324 Área líquida com sinal Se uma função f for contínua em a b então a área líquida com sinal A entre a curva y fx e o intervalo a b é definida por Primitiva de f tabela de integrais imediatas Teorema 242 Propriedades da potência Portanto Teorema 242 Primitiva de f tabela de integrais imediatas Portanto TÓPICO 2 DEFININDO ÁREA COMO UM LIMITE 197 A expressão área líquida com sinal na definição anterior significa que é feita a soma da área que está acima do eixo x área positiva com a área que está abaixo do eixo y área negativa Então esta soma é o que chamamos de área líquida com sinal Observe no exemplo a seguir Exemplo 4 Use a Definição 241 para encontrar a área líquida com sinal entre o gráfico de y senx e o intervalo 0 2π Resolução Resolvemos a integral dada por FIGURA 62 GRÁFICO 25 FONTE O autor A área líquida com sinal é nula Isso se deve ao fato de ter duas regiões no intervalo 0 2π com mesma área sendo uma positiva acima do eixo x e outra negativa abaixo do eixo x Essa conclusão está de acordo com o gráfico de f mostrado na figura 61 Exemplo 5 Calcule a área da região mostrada no gráfico figura 61 de y sen x no intervalo 0 2π Resolução No exemplo 2 a área obtida foi zero Para ter a soma das duas áreas aplicaremos o Teorema 232 e a Definição 231 Então 198 UNIDADE 3 INTEGRAÇÃO Caroa acadêmicoa nas questões onde é para calcular a área total é importante fazer um esboço do gráfico da função para ver o posicionamento da região em relação ao eixo x Exemplo 6 Determine a área total da região entre a curva y x³ 4x e o eixo x no intervalo 2 1 Resolução Através do gráfico figura a seguir percebese que no intervalo 2 1 há duas regiões acima e abaixo do eixo x Assim vamos particionar o intervalo dado em dois subintervalos 20 e 0 1 Integramos f ao longo de cada subintervalo e somamos os valores absolutos das integrais FIGURA 63 GRÁFICO 26 FONTE O autor UNI ua 2 3 1 1 2 2 3 3 x y 1 2 3 4 TÓPICO 2 DEFININDO ÁREA COMO UM LIMITE 199 Definição 231 Primitiva de f tabela de integrais imediatas Teorema 242 ua 200 Neste tópico estudamos Fizemos um rápido resgate histórico do problema da área como definir a área de uma região plana se ela for limitada por uma curva Definimos a soma de Riemann para em seguida ter a integral definida o limite aplicado à soma de Riemann que calcula a área abaixo da curva limitada pelo eixo x Enunciamos o principal resultado do Cálculo o Teorema Fundamental do Cálculo que mostra como calcular integrais definidas a partir de primitivas RESUMO DO TÓPICO 2 201 AUTOATIVIDADE Agora chegou a sua vez de colocar em prática os conhecimentos sobre as integrais definidas Nas questões de 1 a 6 calcule as integrais definidas 7 Ache a área da região limitada pela curva y x² 4x e pelo eixo x no intervalo 1 x 3 8 Encontre a área da região limitada pela curva y x³ 2x² 5x 6 pelo eixo x e pelas retas x 1 e x 2 9 Calcule a área da região limitada pela curva pelo eixo x e pelas retas x 1 e x 2 10 Encontre a área da região limitada pela curva y 1 x² e pelo eixo x no intervalo 0 x 2 1 2 3 4 5 6 Assista ao vídeo de resolução da questão 6 203 TÓPICO 3 APLICAÇÕES DA INTEGRAL DEFINIDA UNIDADE 3 1 INTRODUÇÃO No tópico anterior aprendemos como calcular a área de uma região limitada sob uma curva através da integral definida Agora vamos aprender a calcular a área de uma região limitada entre duas curvas 2 ÁREA ENTRE CURVAS Considere a região S figura a seguir que fica entre duas curvas y fx e y gx e entre as retas verticais x a e x b Suponhamos f e g funções contínuas tais que fx g x e para todo x em a b FIGURA 64 A ÁREA DE UMA REGIÃO LIMITADA ENTRE DUAS CURVAS FONTE O autor Da mesma forma como descrito para as áreas sob as curvas dividimos S em n faixas de mesma largura e então calculamos o valor aproximado da faixa iésima através da área do retângulo de base x e altura figura a seguir Portanto utilizaremos integrais definidas para calcular a área entre as curvas conforme a definição a seguir UNIDADE 3 INTEGRAÇÃO 204 FIGURA 65 A ÁREA ENTRE AS CURVAS FONTE O autor Definição 331 Se f e g são contínuas com fx gx ao longo de a b então a área da região entre as curvas y fx e y gx de a até b é a integral de f g de a até b Exemplo 1 Calcule a área da região compreendida entre as funções e y x 1 e as retas x 1 e x 4 Resolução Primeiro fazemos um esboço do gráfico para verificar a posição das curvas no gráfico FIGURA 66 GRÁFICO 33 FONTE O autor 0 0 a a g x i g x i fx i fx i x xi b b x x y y TÓPICO 3 APLICAÇÕES DA INTEGRAL DEFINIDA 205 Através do gráfico figura 65 definimos a reta como fx x 1 limite superior a curva como limite inferior e a limitação em x de 1 a 4 Assim calcularemos a área por Exemplo 2 Calcule a área da região compreendida entre as funções y x² e y x² 4x Resolução Neste enunciado há uma diferença do anterior não são dados os limites em x Novamente recorreremos ao gráfico figura a seguir Definição 311 Teorema 242 Primitiva de f tabela de integrais imediatas UNIDADE 3 INTEGRAÇÃO 206 Para a integral definida consideremos a parábola como fx x² 4x limite superior e a outra parábola como gx x² limite inferior Os limites em x são dados pelos pontos de interseção entre as curvas Assim igualandose f e g em relação a y temos x² x² 4x 2x² 4x 0 x2x 4 0 x 0 ou 2x 4 0 x 2 Limites da integral definida Definição 311 Teorema 242 ua Primitiva de f tabela de integrais imediatas FIGURA 67 GRÁFICO 34 FONTE O autor TÓPICO 3 APLICAÇÕES DA INTEGRAL DEFINIDA 207 Existem situações em que é complicado calcular a área com os limites em x Nestes casos convém integrar em y ou seja com os limites de integração no eixo y Definição 332 Se f e g são contínuas com fy gy ao longo de c d então a área da região entre as curvas x fy e x gy de c até d é a integral de f g de c a d Exemplo 3 Calcule a área da região compreendida entre as funções x y² 1 e x y 7 Resolução Neste exemplo temos mais novidades observe o gráfico figura a seguir e veja que se quisermos integrar em x precisaremos dividir a área em três regiões e assim resolvermos três integrais Mas se resolvermos pela Definição 312 o procedimento é o mesmo do Exemplo 2 através de uma única integral FIGURA 68 GRÁFICO 35 FONTE O autor UNIDADE 3 INTEGRAÇÃO 208 Para a integral definida consideremos fy 7 y a reta limite superior e gy y² 1 a parábola limite inferior Os limites em y são dados pelos pontos de interseção entre as curvas Assim igualandose f e g em relação a y temos Caroa acadêmicoa ao ver as duas definições e os exemplos anteriores você pode estar se perguntando quando devo usar a Definição 311 ou Definição 312 Vamos lhe dar uma dica para auxiliar nesta decisão Considere uma região definida entre duas funções figura 68a Esta região está definida em um intervalo sobre o eixo x figura 68a ou sobre o eixo y figura 68b UNI y 3 ou y 2 Limites da integral definida Primitiva de f tabela de integrais imediatas Definição 312 2 2 3 3 2 3 2 3 6 2 3 3 3 2 2 6 2 6 3 2 3 2 3 8 9 12 2 18 9 3 2 125 6 y y A y A A A TÓPICO 3 APLICAÇÕES DA INTEGRAL DEFINIDA 209 FIGURA 69a UM INTERVALO SOBRE O EIXO X FIGURA 69b UM INTERVALO SOBRE O EIXO Y FONTE O autor FONTE O autor Na figura 68a consideramos o intervalo de integração no eixo x assim é preciso definir as duas funções que limitam a área Desta forma podemos utilizar setas perpendiculares ao eixo x que indicam o crescimento do valor da variável y Neste gráfico todas as setas tocam primeiro numa das funções neste caso a reta que limita a região e depois que as setas atravessam a região elas tocam a outra função neste caso a parábola que delimita a região Em contrapartida na figura 68b consideramos o intervalo de integração no eixo y assim é preciso definir as duas funções que limitam a área Utilizamos setas perpendiculares ao eixo y que indicam o crescimento do valor da variável x Neste gráfico todas as setas perpendiculares ao eixo y tocam primeiro a parábola que limita a região Depois que as setas atravessam a região algumas tocam a reta enquanto que as outras setas tocam a parábola que delimita a região E aí seria preciso dividir a região em duas por ter duas funções diferentes à direita limitando a região e consequentemente teria duas integrais para calcular Portanto diante destas situações a melhor opção é integrar em x conforme a figura 69 pois do contrário teria que montar duas integrais o que daria mais trabalho UNIDADE 3 INTEGRAÇÃO 210 De acordo com a dica dada acima retorne aos exemplos de cálculo de área entre curvas e faça uso das setas para definir o modo de calcular integrar a área 3 VOLUMES DE SÓLIDOS DE REVOLUÇÃO Um sólido de revolução é um sólido obtido pela rotação em 360º ou seja uma volta completa de uma região plana em torno de uma reta eixo de revolução que está no plano da região 31 VOLUME POR DISCOS PERPENDICULARES AO EIXO X Definição 333 Suponhamos que um sólido de revolução é obtido rotacionandose uma região R delimitada pela curva y fx em torno do eixo xsendo f uma função contínua num intervalo a b fx 0 e pelas retas verticais x a e x b como mostra a figura a seguir Então o volume V deste sólido é dado por FIGURA 70 FUNÇÃO 36 FONTE O autor Exemplo 1 Encontre o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo x da área limitada por y 2x 3 y 0 para x 0 4 Resolução Observe o gráfico figura a seguir Ele mostra a região que é rotacionada em torno do eixo x gerando o sólido sobre o qual calcularemos o seu volume TÓPICO 3 APLICAÇÕES DA INTEGRAL DEFINIDA 211 FIGURA 71 GRÁFICO 37 FONTE O autor Definição 322 Sejam fx e gx funções reais de variável real contínuas em a b com fx gx 0 O volume V do sólido de revolução gerado pela rotação da região limitada em torno do eixo x pelos gráficos de y fx de y gx de x a e de x b é dado por Definição 321 Desenvolvimento produto notável Primitiva de f tabela de integrais imediatas uv unidades de volume UNIDADE 3 INTEGRAÇÃO 212 Exemplo 2 Encontre o volume do sólido gerado quando a região delimitada pelas curvas y x y 2 x² e x 0 gira em torno do eixo x Resolução Agora observamos no gráfico figura 71 que a região a ser rotacionada em torno do eixo x está compreendida entre duas funções Então definimos a parábola como fx 2 x² limite superior a reta como gx x limite inferior e a limitação em x de 0 até 1 interseção entre as funções Igualando as funções para obter o ponto de interseção FIGURA 72 GRÁFICO 38 FONTE O autor O valor x 2 não serve pois não está compreendido entre as curvas dadas Assim x 1 Definição 334 uv Primitiva de f tabela de integrais imediatas ou TÓPICO 3 APLICAÇÕES DA INTEGRAL DEFINIDA 213 32 VOLUME POR DISCOS PERPENDICULARES AO EIXO Y Definição 335 Suponhamos que um sólido de revolução é obtido rotacionandose uma região R em torno do eixo y delimitada pela curva x fy sendo f uma função contínua num intervalo c d fy 0 e pelas retas horizontais y c e y d como mostra a figura 73 a seguir Então o volume V deste sólido é dado por Exemplo 3 Determine o volume do sólido obtido com a rotação em torno do eixo y da região limitada pela curva e o eixo y no intervalo Resolução FIGURA 73 GRÁFICO 39 FONTE O autor Definição 336 Sejam fy e gy funções reais contínuas em c d com fy gy 0 O volume V do sólido de revolução gerado pela rotação x da região limitada pelos gráficos de x fy de x gy de y c e de y d em torno do eixo é dado por Definição 335 uv UNIDADE 3 INTEGRAÇÃO 214 Exemplo 4 Determine o volume do sólido obtido pela rotação da parte da região delimitada por e ao redor do eixo y no primeiro quadrante Resolução Observamos no gráfico figura a seguir que a região a ser rotacionada em torno do eixo y está compreendida entre duas funções Então definimos a curva como fy y³ limite superior a reta como gy 4y limite inferior e a limitação em y de 0 a 2 interseção entre as funções Igualando as funções para obter o ponto de interseção y³ 4y y³ 4y 0 y y² 4 0 y 0 ou y 2 ou y 2 O valor y 2 não serve pois não está compreendido entre as curvas dadas Assim y 0 ou y 2 FIGURA 74 GRÁFICO 310 FONTE O autor Definição 324 uv TÓPICO 3 APLICAÇÕES DA INTEGRAL DEFINIDA 215 4 VALOR MÉDIO DE UMA FUNÇÃO Teorema 331 Se fx é contínua em a b então em algum ponto c em a b o valor médio de f em a b é definido por Interpretação geométrica Se fx 0 para todo x a b então a área sob o gráfico de f é igual à área do retângulo de base b a e altura fc conforme pode ser observado na figura a seguir FIGURA 75 GRÁFICO 311 FONTE O autor Exemplo 1 fx 1 x² é contínua no intervalo 1 2 O Teorema do Valor Médio para as integrais diz que existe um número c em 1 2 tal que fc é o valor médio da função neste intervalo Calcule este valor médio e encontre o valor c explicitamente Resolução Aplicamos o Teorema 331 UNIDADE 3 INTEGRAÇÃO 216 fc 2 valor médio de f Então o valor de c é tal que fc 2 Assim 1 c² 2 c² 1 c 1 Exemplo 2 Determine o valor médio de fx 4 em 0 3 e calcule qual o ponto do domínio dado que realmente assume esse valor Resolução Exemplo 3 A lei representativa da temperatura em graus Celsius em uma casa que servirá de geladeira projeto experimental durante um dia é dada por onde t é o tempo em horas com t 0 representando meianoite Para a elaboração do projeto de climatização da geladeira pedese determinar a temperatura média diária O valor médio de fx 4 x ao longo de 0 3 é A função assume esse valor quando 4 x Então x TÓPICO 3 APLICAÇÕES DA INTEGRAL DEFINIDA 217 Resolução Para calcular a temperatura média TM utilizamos o Teorema 331 fazendo Aplicamos a técnica da substituição C 218 RESUMO DO TÓPICO 3 Neste tópico vimos Calculamos área entre duas curvas integrando em x e integrando em y e Calculamos volume de sólidos de revolução por discos perpendiculares ao eixo x e Calculamos volume de sólidos de revolução por discos perpendiculares ao eixo y e Calculamos o valor médio de uma função por 219 Agora chegou a sua vez de colocar em prática os conhecimentos sobre as integrais definidas e as suas aplicações 1 Encontre a área da região limitada acima por y x 6 abaixo por y x² e nas laterais por x 0 e x 2 2 Encontre a área limitada pelas curvas y x² e y 4 3 Determine a área da região compreendida entre a parábola y 2 x² e a reta y x 4 Determine a área do primeiro quadrante que é limitada por y x 2 e y 0 5 Calcule a área da região limitada pelas curvas y 2x² 10 e y 4x 16 de modo que 2 x 5 6 Calcule a área da região limitada pelas curvas y² y 1 0 e y x 0 7 Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da área limitada por em torno do eixo x o eixo das abscissas e a reta x 4 8 Calcule o volume do sólido que se obtém pela rotação da região limitada por y x³ y 0 e x 1 em torno do eixo y 9 Calcule o volume do sólido que se obtém pela rotação da região limitada por x² y 2 2y x 2 0 x 0 e x 1 em torno do eixo x 10 A região compreendida entre a parábola y x² e a reta y 2x no primeiro quadrante gira em torno do eixo y para gerar um sólido de revolução Determine o volume do sólido Nas questões 11 e 12 determine o valor médio da função fx no intervalo dado e em que ponto do domínio f realmente assume esse valor 11 em 0 3 12 fx x² x em 12 0 AUTOATIVIDADE Assista ao vídeo de resolução da questão 9 220 13 Um pesquisador estima que t horas depois da meianoite em um período típico de 24 horas a temperatura em certa cidade é dada por 0 t 24 graus Celsius Qual é a temperatura média na cidade entre 6 da manhã e 4 da tarde 14 Um copo de limonada a uma temperatura de 40 ºF é deixado em uma sala cuja temperatura constante é de 70 ºF Usando um princípio da Física denominado Lei do Resfriamento de Newton podese mostrar que se a temperatura da limonada atingir os 52 ºF em uma hora então sua temperatura T como função do tempo decorrido pode ser modelada pela equação em que T está em graus Fahrenheit e t em horas Encontre a temperatura média Tm da limonada ao longo das primeiras 5 horas 221 TÓPICO 4 MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO I UNIDADE 3 1 INTRODUÇÃO Nesta seção estudaremos uma técnica de integração que está baseada na derivação do produto Observem o que é exposto a seguir Sabemos que e Assim Isto significa que a integral de um produto geralmente não é o produto das integrais Daí a necessidade de buscar uma técnica de integração para integrais onde temos o produto de duas funções Vamos recordar como se aplica a derivada no produto de duas funções Sejam fx x e gx sen x funções reais e consideremos na multiplicação obtendo x sen x para derivarmos utilizamos a regra da derivada do produto Pela tabela de derivadas temos uv vu uv Escrevendo a regra acima com as funções fx e gx obtemos Substituindo as funções temos 222 UNIDADE 3 INTEGRAÇÃO Usaremos esse exemplo de motivação para deduzirmos a equação da integração por partes 2 INTEGRAÇÃO POR PARTES Sejam fx e gx funções diferenciáveis em um intervalo aberto Temos Vamos isolar o termo Multiplicando a equação por 1 Integrando ambos os lados da igualdade obtemos Esta é a fórmula de integração por partes Ela propicia encontrar a integral através da escolha correta das funções para a utilização da fórmula Assim a integral inicial bastante complicada é substituída por uma integral mais simples para ser resolvida Costumamos escrever Então substituindo u e v na fórmula de integração por partes encontramos Na utilização da fórmula o principal é a escolha apropriada de u e de dv de tal maneira que calcular v du seja mais simples do que calcular u dv TÓPICO 4 MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO I 223 Exemplo 1 Calcule a integral x cox x dx Resolução Primeiramente para resolver esta integral devemos escolher convenientemente u e dv Observando que a parte da integral que escolhemos para ser o u deverá ser derivado e a outra parte restante o dv deverá ser integrada escolhemos u x e dv cos x dx Assim u x du dx dv cos x dx v cos x dx sen x Aplicando a fórmula da integração por partes temos u dv uv v du e obtemos x cos x dx x sen x senx dx Após a substituição na fórmula observe que resolver a integral senx dx é mais simples que resolver a integral inicial x cos x dx Agora calculamos a integral x cos x dx x sen x cos x c Portanto x cos x dx x sen x cos x c Exemplo 2 Calcule a integral x ex dx Resolução Na integral x ex dx escolhemos u x e dv ex dx Assim u x du dx dv ex dx v ex dx ex Aplicando na fórmula da integração por partes u dv uv v du obtemos Após a substituição na fórmula observe que a integral ex dx é mais simples que a integral inicial x ex dx Agora calculamos a segunda integral Exemplo 3 Calcule a integral In x dx 224 UNIDADE 3 INTEGRAÇÃO Resolução Na integral In x dx escolhemos u ln x e dv dx Assim Aplicando na fórmula u dv uv v du obtemos Após a substituição na fórmula observe que a integral dx é mais simples que a integral inicial dx Agora calculamos a segunda integral In x dx xIn x x c Caroa acadêmicoa observe que não há outra escolha possível para a função u pois na tabela das integrais imediatas não tem a integral In x dx UNI TÓPICO 4 MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO I 225 Exemplo 4 Calcule a integral 3x x 412 dx Resolução Na integral 3x x 412 dx escolhemos u 3x e dv x 412 dx Assim u 3x du 3 dx dv x 412 dx Para calcular a integral x 412 dx foi empregada a técnica de integração por substituição fazendo u x 4 Então du dx e Voltando para a variável x temse Aplicando agora a fórmula u dv uv v du obtemos Após a substituição na fórmula observe que a integral x 413 dx é mais simples que a integral inicial 3xx 412 dx Então calculase a x 413 dx utilizando novamente a técnica de integração por substituição 226 UNIDADE 3 INTEGRAÇÃO Observe que neste método temos que resolver pelo menos duas integrais E muitas vezes necessitaremos utilizar mais de uma técnica para calcular tais integrais precisaremos utilizar a integração por substituição ou mesmo aplicar novamente a técnica de integração por partes até chegarmos a uma integral imediata que esteja na tabela de integração Portanto na integral acima foram utilizadas duas técnicas de integração por partes e por substituição Exemplo 5 Calcule a integral x sen 6x dx ATENCAO Resolução Na integral x sen 6x dx escolhemos u x e dv sen6x dx Assim u x du dx dv sen6x dx Para calcular a integral sen 6x dx foi empregada a técnica de integração por substituição fazendo u 6x então du 6 dx Assim temos e voltando para a variável x temse Aplicando na fórmula u dv uv v du obtemos TÓPICO 4 MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO I 227 Após a substituição na fórmula observe que a integral cos 6x dx é mais simples que a integral inicial x sen 6x dx Então calculase cos 6x dx utilizando novamente a técnica de integração por substituição Portanto na integral acima foram utilizadas duas técnicas de integração por partes e por substituição Exemplo 6 Calcule a integral 4x2 sen x dx Resolução Na integral 4x2 sen x dx escolhemos u 4x² e dv sen x dx Assim u 4x² du 8x dx dv senxdx v sen x dx cos x Aplicando a fórmula u dv uv v du obtemos Após a substituição na fórmula observe que a integral 8x cos x dx é mais simples que a integral inicial 4x2 sen x dx Agora calculamos a segunda integral novamente por partes Na integral 8x cos x dx escolhemos u 8x e dv cos x dx Desta vez fazemos 228 UNIDADE 3 INTEGRAÇÃO Juntando o resultado desta integral à integral inicial temos Portanto na integral acima foram utilizadas duas técnicas de integração por partes duas vezes e por substituição 3 INTEGRAIS ENVOLVENDO POTÊNCIAS DE SENO E COSSENO Estudaremos algumas integrais trigonométricas na forma de potências e produtos de funções trigonométricas Serão apresentadas algumas fórmulas que auxiliarão na resolução das integrais do tipo senm x cosn x dx Como a resolução destas integrais difere conforme os valores de m e n vamos estudar cada caso separadamente u 8x du 8 dx dv cos x dx v cosx dx sen x Aplicando a fórmula u dv uv v du obtemos TÓPICO 4 MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO I 229 Agora faça uma substituição u cos x Exemplo 1 Calcule a integral sen3 x cos2 x dx Resolução Na integral sen3 x cos2 x dx vamos aplicar o procedimento descrito acima para m 3 e n 2 31 m ímpar Se m é ímpar a potência do seno é ímpar m 2k 1 podemos separar um fator seno e utilizar a identidade trigonométrica conhecida como relação fundamental da trigonometria sen² x cos² x 1 Assim conseguimos expressar os fatores remanescentes em termos de cosseno 230 UNIDADE 3 INTEGRAÇÃO Nas duas integrais substituímos u cos x Portanto 32 n ímpar Quando n é ímpar agora a potência do cosseno é ímpar n 2k 1 e podemos separar um fator cosseno e utilizar a identidade trigonométrica cos² x 1 sen² x assim expressamos os fatores remanescentes em termos de seno Agora faça uma substituição u sen x Exemplo 2 Calcule a integral sen2 x cos5 x dx TÓPICO 4 MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO I 231 Nas duas integrais substituímos u sen x Portanto 33 m n par Quando m e n forem pares as potências de seno e cosseno são pares e podemos utilizar as identidades trigonométricas dos arcosmetade Assim expressamos os fatores remanescentes em termos de seno Resolução Na integral sen2 x cos5 x dx vamos aplicar o procedimento descrito acima para m 2 e n 5 232 UNIDADE 3 INTEGRAÇÃO Agora desenvolva a potência 1cos2 2xk e em seguida resolva as integrais por substituição Exemplo 3 Calcule a integral sen2 x cos2 x dx Resolução Na integral sen2 x cos2 x dx vamos utilizar as identidades sugeridas acima No membro da esquerda temos três integrais para resolver A primeira é imediata a segunda sai com uma substituição u 2x e a terceira aplicamos a fórmula de redução TÓPICO 4 MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO I 233 Portanto Os procedimentos apresentados neste tópico não são a única maneira de resolver tais integrais Podem ser utilizadas outras identidades trigonométricas para tornar as integrais mais simples Aparentemente essa utilização ocasionará em primitivas aparentemente diferentes mas não é verdade as primitivas serão as mesmas e elas apenas diferenciaram na apresentação Algumas manipulações algébricas mostrarão que será possível ver que se trata da mesma função primitiva Isto pode ocorrer com os exercícios propostos isto é as respostas que você encontrar podem eventualmente estar um pouco diferentes da resposta apresentada no final da unidade Sugiro que verifique a igualdade entre a função primitiva encontrada e a fornecida como resposta Bons estudos 4 INTEGRAIS DE REDUÇÃO OU RECORRÊNCIA A integração de funções potências trigonométricas é resolvida usando a técnica de integração por partes e quando a função é seno ou cosseno existem as fórmulas de redução ou recorrência para expoentes maiores ou iguais a dois Para as integrais senn u du e cosn u du sendo n inteiro e positivo Através da integração por partes deduzemse as seguintes fórmulas UNI 234 UNIDADE 3 INTEGRAÇÃO Vamos mostrar alguns exemplos dessas integrais Exemplo 1 Calcule a integral sen2 x dx Resolução Na integral sen2 x dx vamos aplicar a fórmula de recorrência para n 2 Exemplo 2 Calcule a integral cos3 x dx Resolução Na integral cos3 x dx vamos aplicar a fórmula de recorrência para n 3 TÓPICO 4 MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO I 235 Observe que em situações onde o valor de n for maior que 3 é necessário aplicar novamente a fórmula na integral do segundo membro Nestas integrais podem ocorrer também situações em que temos uma constante multiplicando o argumento das funções trigonométricas Por exemplo sen4 5x dx Então o procedimento é primeiro fazer uma substituição u 5x e em seguida aplicar a fórmula de redução Assim podemos reescrever as fórmulas apresentadas acima para esses casos Exemplo 3 Calcule a integral sen4 5x dx Resolução Na integral sen4 5x dx vamos aplicar a fórmula de recorrência para n 4 e a 5 Conforme já comentado na integral do segundo membro teremos que aplicar novamente a fórmula de recorrência UNI 236 UNIDADE 3 INTEGRAÇÃO A integração requer bastante habilidade algébrica com as relações e identidades trigonométricas Sugiro que consultem o livro IEZZI Gelson et al Fundamentos de matemática elementar Trigonometria 8 ed São Paulo Atual 2004 v 3 DICAS 237 RESUMO DO TÓPICO 4 Neste tópico você viu A técnica de integração por partes Vamos recordar as etapas do método As integrais têm a seguinte forma Passo 1 A escolha conveniente para u e dv isto é u fx e dv gx dx Passo 2 Calcule e Passo 3 Faça a substituição na fórmula de integração por partes u dv uv v du Passo 4 Calcule a integral do segundo membro se possível Passo 5 Se a integral do segundo membro não ficou como uma integral imediata então aplique alguma técnica conveniente Estudou três procedimentos para o produto de potências de seno e cosseno senm x cosn x dx Procedimento Identidades trigonométricas m ímpar Separe um fator de sen x sen² x 1 cos² x Aplique a identidade trigonométrica Faça a substituição u cos x n ímpar Separe um fator de cos x cos² x 1 sen² x Aplique a identidade trigonométrica Faça a substituição u sen x m n par Use as identidades trigonométricas para reduzir as potências de sen x e cos x 238 Estudou a técnica de integração trigonométrica As fórmulas de redução 239 Estudou a técnica de integração trigonométrica As fórmulas de redução AUTOATIVIDADE Agora é a sua vez Resolva as integrais aplicando a técnica de integração por partes Lembrese das orientações dadas o cuidado na escolha das partes u e dv para cada tipo de integral desenvolvida Nos exercícios 1 a 4 calcule as integrais fazendo as substituições indicadas Nos exercícios 5 a 10 calcule a integral utilizando a técnica da integração por partes 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Assista ao vídeo de resolução da questão 6 240 Nos exercícios 11 a 16 calcule as integrais trigonométricas 11 12 13 14 15 16 241 TÓPICO 5 MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO II UNIDADE 3 1 INTRODUÇÃO Uma função da forma px qx onde px e qx 0 são polinômios é chamada de função racional Tecnicamente é possível escrever qualquer expressão px qx como uma soma de expressões racionais cujos denominadores envolvem potências de polinômios de grau não superior a 2 2 INTEGRAÇÃO DAS FUNÇÕES RACIONAIS POR FRAÇÕES PARCIAIS Em álgebra normalmente combinamos duas ou mais frações em uma única usando um denominador comum Por exemplo As integrais que resolveremos nesta seção se apresentarão da seguinte forma onde deveremos escrever esta integral como facilitando bastante a integração Vamos estudar um método geral para a integração de funções racionais baseado na ideia de decompor uma função racional em uma soma de funções racionais mais simples conforme mostrado acima que possam ser integradas pelos métodos estudados anteriormente Se px e qx são polinômios e se o grau de px é inferior ao de qx então podemos decompor a fração px qx na forma Sendo Fk k 1 2 3 n da forma ou para A B e C números reais e n inteiro positivo ax² bx c é irredutível Se todos os fatores de qx são lineares então a decomposição em frações parciais de px qx pode ser determinada usandose a seguinte regra REGRA DO 242 FATOR LINEAR Para cada fator da forma ax bm a decomposição em frações parciais contém a seguinte soma de m frações parciais onde A1 A2 A3 Am são constantes a serem determinadas Exemplo 1 Calcule Resolução Fatorando o polinômio x² 2x 3 temos x² 2x 3 x 1x 3 Os fatores x 1 e x 3 são lineares e aparecem na primeira potência assim sendo cada fator contribui com um fator na decomposição em frações parciais pela regra do fator linear Deste modo a decomposição tem a forma onde A e B são constantes a serem determinadas Assim aplicando o método de Descartes temos 5x 3 Ax 3 Bx 1 Multiplique os dois lados da equação por x 1 x 3 5x 3 A B 3A B Combine os termos Por comparação equacionamos os coeficientes para obter o sistema linear a seguir TÓPICO 5 MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO II 243 Portanto Exemplo 2 Calcule Resolução Fatorando o polinômio x³ x² 4x 4 temos x³ x² 4x 4 x 2x 1 x 2 Os fatores x 2 x 1 e x 2 são lineares e aparecem na primeira potência assim sendo cada fator contribui com um fator na decomposição em frações parciais pela regra do fator linear Deste modo a decomposição tem a forma onde A B C são constantes a serem determinadas Assim x 1 Ax 1x 2 Bx 2x 2 Cx 2x 1 Existe outra maneira prática para determinar os valores das constantes A B C Tomamos valores de x que anulam os diversos fatores como segue 244 UNIDADE 3 INTEGRAÇÃO Portanto Exemplo 3 Calcule Resolução Fatorando o polinômio x³ 4x² temos x³ 4x² x² x 4 A decomposição tem a forma onde A B C são constantes a serem determinadas Assim 1 Axx 4 Bx 4 Cx² 1 A Cx² 4A Bx 4B Determinando os valores das constantes A B C pela regra prática Tomamos valores de x que anulam os diversos fatores como segue TÓPICO 5 MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO II 245 Se alguns dos fatores de qx são quadráticos irredutíveis então a contribuição destes fatores para essa nova decomposição em frações parciais de px qx pode ser determinada a partir da seguinte regra REGRA DO FATOR QUADRÁTICO Para cada fator da forma ax² bx cm a decomposição em frações parciais é formada pela soma de m frações parciais Portanto onde A1 A2 A3 Am B1 B2 B3 Bm são constantes a serem determinadas Exemplo 4 Calcule Resolução Fatorando o polinômio x³ 4x temos x³ 4x x x² 4 Pela regra do fator linear o fator x introduz um só termo e pela regra do fator quadrático o fator x² 4 introduz dois termos uma vez que m 2 Deste modo a decomposição tem a forma onde A B C são constantes a serem determinadas Assim 246 UNIDADE 3 INTEGRAÇÃO Exemplo 5 Calcule Portanto Resolução O polinômio x² 2 já é irredutível Deste modo a decomposição tem a forma onde A B C são constantes a serem determinadas Assim x³ Ax Bx² 2 Cx D x³ Ax³ Bx² 2A Cx 2B D Determinando os valores das constantes A B C pelo método de Descartes temos 1 Ax² 4 Bx Cx 1 A Bx² Cx 4A Determinando os valores das constantes A B C pelo método de Descartes temos TÓPICO 5 MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO II 247 3 INTEGRAIS IMPRÓPRIAS As integrais definidas estudadas até esta seção são números reais e fx é uma função contínua no intervalo a b Pode acontecer que ao aplicarmos estes conceitos seja preciso ou conveniente considerar os casos em que a b ou f seja descontínua em um ou mais pontos do intervalo Nestas condições é preciso ampliar o conceito de integral e as técnicas de integração de modo a incluir estes casos adicionais Estas integrais em que a b ou f é descontínua em a b são chamadas Integrais Impróprias Portanto Definição 351 A integral imprópria de f no intervalo a é definida por 248 UNIDADE 3 INTEGRAÇÃO Quando este limite existir dizemos que a integral imprópria converge e o limite é definido como sendo o valor da integral Quando o limite não existir dizemos que a integral imprópria diverge e não é atribuído nenhum valor real Isto se aplica a todo tipo de integrais impróprias Exemplo 1 Calcule a integral imprópria Resolução Conforme a Definição 351 substituímos o limite superior infinito por um limite finito b e então tomamos o limite da integral resultante Assim FIGURA 76 GRÁFICO 51 FONTE O autor UNI 1 1 1 2 2 3 3 y x 4 5 TÓPICO 5 MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO II 249 Portanto e esta integral é convergente A região mostrada no gráfico figura 76 tem área Definição 352 A integral imprópria de f no intervalo b é definida por Exemplo 2 Calcule a integral imprópria Resolução Conforme a Definição 352 substituímos o limite inferior infinito por um limite finito a e então tomamos o limite da integral resultante Assim Definição 353 A integral imprópria de f no intervalo é definida por onde c é um número real qualquer Portanto e esta integral é convergente 250 UNIDADE 3 INTEGRAÇÃO Exemplo 3 Calcule a integral imprópria Resolução Definição 354 Se f for contínua no intervalo a b exceto por uma descontinuidade infinita em b então a integral imprópria de f no intervalo a b é definida por Definição 355 Se f for contínua no intervalo a b exceto por uma descontinuidade infinita em a então a integral imprópria de f no intervalo a b é definida por Exemplo 4 Calcule a integral imprópria Resolução Observemos que é descontínua em x 1 e a reta x 1 é uma assíntota vertical figura 77 Assim FIGURA 77 GRÁFICO 52 FONTE O autor Portanto e esta integral é convergente TÓPICO 5 MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO II 251 O texto a seguir foi extraído da internet em um site bastante completo Centro de Ensino e Pesquisa Aplicada da Universidade de São Paulo O texto é parte de uma bibliografia de uma grande personalidade da matemática que contribuiu muito com o desenvolvimento do Cálculo UNI Portanto não existe e esta integral é divergente 252 UNIDADE 3 INTEGRAÇÃO LEITURA COMPLEMENTAR BIOGRAFIA DE GOTTFRIED WILHELM VON LEIBNIZ 16461716 Leibniz nasceu em Leipzig Alemanha no dia 1 de julho de 1646 Ingressou na Universidade aos 15 anos de idade e aos 17 já havia adquirido o seu diploma de bacharel Estudou Teologia Direito Filosofia e Matemática na Universidade Para muitos historiadores Leibniz é tido como o último erudito que possuía conhecimento universal Aos 20 anos de idade já estava preparado para receber o título de doutor em Direito Este lhe foi recusado por ser ele muito jovem Deixou então Leipzig e foi receber o seu título de doutor na Universidade de Altdorf em Nuremberg A partir daí Leibniz entrou para a vida diplomática Como representante governamental influente ele teve a oportunidade de viajar muito durante toda a sua vida Em 1672 foi para Paris onde conheceu Huygens que lhe sugeriu a leitura dos tratados de 1658 de Blaise Pascal se quisesse tornarse um matemático Em 1673 visitou Londres onde adquiriu uma cópia do Lectiones Geometricae de Isaac Barrow e tornouse membro da Royal Society Foi devido a essa visita a Londres que apareceram rumores de que Leibniz talvez tivesse visto o trabalho de Newton que por sua vez o teria influenciado na descoberta do Cálculo colocando em dúvida a legitimidade de suas descobertas relacionadas ao assunto Sabemos hoje que isto não teria sido possível dado que Leibniz durante aquela visita a Londres não possuía conhecimentos de geometria e análise suficientes para compreender o trabalho de Newton A partir daí a Matemática estaria bastante presente nas descobertas de Leibniz Em outra posterior visita a Londres ele teria levado uma máquina de calcular de sua invenção Uma das inúmeras contribuições de Leibniz à Matemática foi o estudo da aritmética binária que segundo ele havia sido utilizada pelos chineses e estaria presente no livro I Ching TÓPICO 5 MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO II 253 Como aconteceu com Newton o estudo de séries infinitas foi muito importante no início de suas descobertas Relacionando o triângulo de Pascal e o triângulo harmônico Leibniz percebeu uma maneira de encontrar o resultado de muitas séries infinitas convergentes A essa altura ele voltouse para o trabalho de Blaise Pascal Traité des sinus du quart de cercle que lhe teria dado um importante insight a determinação da tangente a uma curva dependia das diferenças das abscissas e ordenadas na medida em que essas se tornassem infinitamente pequenas e que a quadratura isto é a área dependia da soma das ordenadas ou retângulos infinitamente finos Esse insight levaria Leibniz em 1676 a chegar às mesmas conclusões a que havia chegado Newton alguns anos antes ele tinha em mãos um método muito importante devido à sua abrangência Independente de uma função ser racional ou irracional algébrica ou transcendente termo criado por Leibniz as operações de encontrar somas integrais ou diferenças diferenciais poderiam ser sempre aplicadas O destino havia reservado a Leibniz a tarefa de elaborar uma notação apropriada para estas operações assim como as nomenclaturas Cálculo Diferencial e Cálculo Integral ambas utilizadas atualmente O primeiro trabalho sobre Cálculo Diferencial foi publicado por Leibniz em 1684 antes mesmo do que Newton sob o longo título Nova methodus pro maximis et minimis itemque tangentibus qua nec irrationales quantitates moratur Nesse trabalho apareceram as fórmulas dxy x dy y dx derivada do produto derivada do quociente dxn n xn1 Dois anos mais tarde Leibniz publicaria no periódico Acta Eruditorum um trabalho sobre o Cálculo Integral Nesse trabalho apresentase o problema da quadratura como um caso especial do método do inverso das tangentes Além do Cálculo Leibniz contribuiu para outras áreas da Matemática Foi ele quem generalizou o teorema do binômio em Teorema do Multinômio para expansões do tipo x y zn A primeira referência do método dos determinantes no mundo ocidental também foi feita por ele Leibniz reelaborou e desenvolveu o conceito de lógica simbólica Contribuiu também para a teoria de probabilidades e a análise combinatória 254 UNIDADE 3 INTEGRAÇÃO O peso das descobertas e contribuições de Leibniz para o Cálculo e para a Matemática como um todo é tão grande que outras importantes áreas de atuação frequentemente são deixadas de lado Não obstante Leibniz é considerado também um dos sete filósofos modernos mais importantes Em Física Leibniz acabou negando a teoria da gravitação de Newton pois acreditava que nenhum corpo podia entrar em movimento naturalmente a não ser através do contato com outro corpo que o impulsionaria Ele também rejeitou os conceitos newtonianos de espaço e tempo absolutos Junto com Huygens Leibniz desenvolveu o conceito de energia cinética Apesar de tudo as suas contribuições para a ciência foram de certa forma obscurecidas por aquelas de Newton Isto entretanto não o faz menos importante que Newton na descoberta do Cálculo Na realidade Leibniz e Newton foram os dois maiores protagonistas na descoberta desta poderosa ferramenta matemática o Cálculo É sabido que Leibniz era capaz de ficar sentado na mesma cadeira por vários dias pensando Era um trabalhador incansável um correspondente universal ele tinha mais de 600 correspondentes Era patriota cosmopolita e um dos gênios mais influentes da civilização ocidental Em julho de 1716 adoeceu ficou então de cama até a sua morte no dia 14 de novembro em Hannover Alemanha FONTE Disponível em httpwwwcepaifuspbr Acesso em 19 jan 2011 255 RESUMO DO TÓPICO 5 Neste tópico estudamos e vimos que Estudamos a integração de funções racionais por frações parciais e aí vimos duas regras para construir a decomposição em frações parciais Finalizando estudamos a integral imprópria onde primeiro devemos resolver a integral para depois calcular o limite Vimos duas situações das integrais impróprias Integrais impróprias com limites infinitos de integração Integrais impróprias com descontinuidades infinitas ou 1 Se fx é contínua em então 2 Se fx é contínua em então 3 Se fx é contínua em então 1 Se fx é contínua em então 2 Se fx é contínua em então 256 Agora chegou a sua vez de colocar em prática o que foi estudado Lembre se das orientações dadas para o cálculo das integrais impróprias Nos exercícios 1 a 6 calcule as integrais indefinidas por frações parciais Nos exercícios 7 a 11 calcule as integrais impróprias AUTOATIVIDADE 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 257 REFERÊNCIAS ANTON H BIVENS I DAVIS S Cálculo Porto Alegre Bookman 2007 v 1 FINNEY R WEIR M GIORDANO F Cálculo de George B Thomas Jr São Paulo Addison Wesley 2002 v 1 FLEMMING Diva Marília GONÇALVES Mirian Buss Cáuculo A funções limite derivação integração São Paulo Pearson Prentice Hall 2007 LEITHOLD Louis O cálculo com geometria analítica 3 ed São Paulo Harbra 1994 v 1 SIMMONS George F Cálculo com geometria analítica São Paulo Pearson Makron Books 1987 v 1 STEWART James Cálculo São Paulo Pioneira Thomson Learning 2006 v 1 258 ANOTAÇÕES 259