Cadeias Cinemáticas - Aula 4 Mecanismos e Dinâmica de Máquinas

Mecanismos e Dinâmica de Máquinas Aula 4 Cadeias Cinemáticas Prof Me Émerson dos Santos Passari Instituto Federal de Educação Ciência e Tecnologia do Rio Grande do Sul Pares Cinemáticos Barra qualquer peca rígida que componha um mecanismo Então pelo conceito inicial de mecanismo barras adjacentes devem ser convenientemente ligadas para que executem o movimento desejado umas em relação as outras propiciando uma entrada e uma saída do movimento Cada uma destas ligações conexão entre duas barras é dado o nome de par cinemático e cada uma das partes que formam o par e chamada elemento cinemático Classificação PAR VANTAGENS DESVANTAGENS superior menores perdas por atrito pequena dissipação de calor não suportam cargas elevadas desgastamse mais rapidamente exigem maior refinamento de construção inferior suportam cargas elevadas são de fácil construção desgastamse uniformemente grandes perdas por atrito velocidade de trabalho moderada Pares Inferiores Na prática os mecanismos e máquinas se utilizam muito mais de pares inferiores do que de pares superiores sendo também possível na maioria dos casos substituirse um par superior por dois outros pares inferiores que executarão a mesma trajetória e síntese cinemática muito embora isto não seja de boa prática quando o projeto exige pares superiores A despeito disto e considerando a complexidade dos pares superiores para mecanismos de barras este estudo será restrito aos pares inferiores quando tratarmos de mecanismos de barras Pares Inferiores Existem seis pares cinemáticos identificados por Reuleaux como sendo inferiores Na tabela 32 apresentase uma classificação relacionando os nomes e símbolos empregados e que serão discutidos com base nos possíveis movimentos relativos entre dois corpos rígidos no espaço 3D figura 31 sendo um deles associado ao sistema global fixo e o outro associado a um sistema local inicialmente livre Pares Inferiores A análise que se segue será feita restringindose a possibilidade de alguns destes seis possíveis movimentos da barra 2 e considerandose que a barra 1 associada ao sistema de referência esteja fixa a Restringindose o movimento de translação em x y e z e de rotação em u e v temse apenas possibilidade de rotação em torno de w O movimento é então de rotação θ e o par chamase rotativo simbolizado por R b Restringindose todas as três rotações em relação a u v e w e os deslocamentos segundo x e y ficase com a possibilidade apenas de translação paralela a z O par é chamado prismático e será simbolizado pela letra P c Supondo que a barra 2 gire sobre uma hélice em volta do eixo w ela também irá se deslocar seguindo uma direção paralela a z Este par é dito helicoidal e será representado por S p onde o índice p representa o passo da hélice Note que aqui o deslocamento está associado à rotação e viceversa d Quando se permite apenas rotação em torno de w e translação em relação a z temse o chamado par cilíndrico representado por C e Sendo permitido apenas rotação em torno de qualquer dos três eixos u v e w o par é dito esférico e será representado pela letra G da palavra globular f Finalmente quando são permitidas apenas duas translações x e y e uma rotação em torno de um eixo paralelo a z temse o par plano denotado por F Tipo de Movimento Tipo de Par Símbolo Utilizado Graus de Liberdade Variáveis para Descrição linear Rotativo Prismático Helicoidal R P S 1 1 1 θ x x ou θ Superficial Cilíndrico Esférico Plano C G F 2 3 3 x θ θ ϕ ψ x y θ Vamos identificar ifrsedubr IFRSOficial Os 6 tipos Pares Superiores Pares Superiores Não seguem classificação rígida Tratados como casos separados Exemplos de Pares Superiores Contato Pontual Rolamentos de esfera Engrenagens helicoidais de eixos reversos Juntas homocinéticas Contato Linear Cames com seguidor de rolo Mancais cilíndricos Engrenagens em geral Pares Superiores Figura 33 Substituição de um par superior por um equivalente inferior Barras e Elementos Cinemáticos Como já mencionado o termo barra é aqui empregado para designar qualquer corpo material que possa transmitir movimento entre as várias partes de um mecanismo A barra deverá conter elementos cinemáticos que representam um local de contato ou conexão a uma outra barra As barras em função do número de elementos cinemáticos podem se classificar em barra binária possui dois elementos n2 barra ternária possui três elementos n3 barra quaternária possui quatro elementos n4 e assim por diante Representação Convencional e Representação Esquemática Representação Convencional e Representação Esquemática Cadeia Cinemática Cadeia Cinemática Coleção de barras ligadas por elementos cinemáticos Barra considerada um corpo rígido Características Pode incluir elementos como engrenagens e cames Não inclui elementos não rígidos correias correntes conforme classificação de Reuleaux Tipos de Cadeias Cinemáticas Fechada todos os elementos estão conectados entre si Aberta ao menos um elemento não está conectado Simples composta apenas por barras binárias independentemente de ser aberta ou fechada Critério de Grübler para Cadeias Planas Critério de Grübler para Cadeias Planas Critério de Grübler para Cadeias Planas Critério de Grübler para Cadeias Planas Critério de Grübler para Cadeias Planas Critério de Grübler para Cadeias Planas Critério de Grübler para Cadeias Planas Critério de Grübler para Cadeias Planas Critério de Grübler para Cadeias Planas Cadeias Contendo Pares Prismáticos Os pares cinemáticos do tipo prismático semelhantemente às juntas rotativas possuem um só grau de liberdade tendo por isto em alguns casos características semelhantes a estas Isto permite que se adaptem ao Critério de Grübler desde que sejam feitas três restrições indispensáveis a Nenhuma barra da cadeia deve conter somente pares prismáticos cujas direções de movimento sejam paralelas entre si como no caso da figura 39 Figura 39 À barra 3 é permitido movimento sem que haja movimento das outras barras da cadeia ifrsedubr IFRSOficial Cadeias Contendo Pares Prismáticos b Barras binárias possuindo somente pares prismáticos figura 310 não devem ser diretamente ligadas entre si Figura 310 As barras 3 e 4 podem moverse para uma segunda posição sem que haja movimento das outras barras ifrsedubr IFRSOficial Cadeias Contendo Pares Prismáticos c Nenhum polígono fechado de barras da cadeia figura 311 deve ter menos que dois pares cinemáticos do tipo rotativo Figura 311 Notar a impossibilidade de rotação do par rotativo R34 imposta pelo par prismático P25 ifrsedubr IFRSOficial Quando f 1 numa cadeia cinemática fechada com uma barra fixa é possível um movimento vinculado de tal forma que a configuração em determinado instante de uma barra qualquer da cadeia possa predizer toda a configuração do sistema naquele instante Neste caso dizse que a cadeia tem movimento imposto Este caso é de suma importância e de grande interesse na síntese de mecanismos O critério de Grübler com f 1 permite então escrever n 2j 43 35 e j 32 n 2 36 Onde como já sabemos n é o número total de barras na cadeia e j é o número total de pares cinemáticos rotativos e prismáticos desde que estes últimos satisfaçam os três critérios anteriormente descritos Observandose que j deve ser sempre um número inteiro pois não se pode ter fração de par cinemático a equação 36 obriga que n seja par A tabela 33 fornece as primeiras cadeias impostas possíveis Agora considerando que haja n₂ barras binárias n₃ barras ternárias n₄ barras quaternárias e assim por diante até que se chegue a nₖ barras com k elementos cinemáticos na cadeia onde k representa o número de elementos cinemáticos da barra de maior ordem o número total de barras n da cadeia será dado por n n₂ n₃ n₄ nₖ 37 Sendo assim é fácil verificar que o número total de elementos cinemáticos na cadeia será dado por 2n₂ 3n₃ 4n₄ knₖ Agora notando que cada par cinemático é formado por dois elementos cinemáticos percebese que o número total de pares cinemáticos na cadeia deverá ser j 122n₂ 3n₃ 4n₄ knₖ 38 Considerações geométricas na imposição da cadeia permitem que se obtenha o número de elementos cinemáticos da barra de maior ordem em função do número total de barras Denotando este número pela letra k temse então k n2 39 Cadeias Impostas Um fato interessante a ser observado é que nas cadeias impostas haverá sempre a necessidade de seter um determinado número de barras binárias envolvidas para se conseguir mobilidade Em função do número de barras restantes é possível se chegar a n₂4 i3 nᵢ i4 até i n2 310 A demonstração desta equação que poderá ser feita substituindose 37 e 38 em 36 ficará a cargo do aluno É importante notar que n₂ não é constante para um determinado n uma vez que é possível se ter qualquer dos nᵢ 2 i k n2 nulo em algumas permutações dos vários tipos de cadeias com n barras possíveis Como exemplo vamos verificar as possíveis combinações na formação de cadeias cinemáticas e mecanismos quando o número total de barras for igual a seis As equações 36 e 39 para este caso nos fornecem j7 e k3 311 itrsedubr IFRSOficial Cadeias Impostas Substituindo em 37 e 38 é possível se construir o sistema de equações lineares n₂ n₃6 2n₂ 3n₃14 312 que após resolvido fornecerá n₂4 n₃2 313 Ou seja só é possível se ter movimento imposto através de uma cadeia com seis barras se esta cadeia contiver quatro barras binárias e duas barras ternárias Como só foi possível se encontrar uma configuração envolvendo 4 barras binárias e 2 barras ternárias dizse que só há possibilidade de de uma permutação para o sistema ifrsedubr IFRSOficial Cadeias Impostas Em verdade uma segunda permutação seria possível figura 313 porém esta resultaria em uma cadeia de apenas 4 barras uma vez que duas barras binárias em conjunto com a barra quaternária formam uma estrutura Estas permutações em que há possibilidade de formação de estrutura para um conjunto de barras da cadeia não serão detectadas sempre que se use a equação 39 na obtenção das cadeias possíveis Examinando as alternativas da equação 313 é possível se montar a cadeia de duas formas diferentes figura 312a e 312b permitindo portanto duas variações A variação é entendida como sendo as diferentes formas de se conectar as barras dentro de uma permutação ifrsedubr IFRSOficial Cadeias Impostas Figura 312 Variações possíveis em a cadeia de Stephenson e em b cadeia de Watt Cadeias Impostas Figura 313 Permutação que se degenera em uma cadeia de quatro barras Cadeias Impostas A partir de uma variação é possível se conseguir os vários mecanismos cadeia fechada com uma barra fixa através das inversões Cada fixação de uma barra diferente produz uma inversão da cadeia e consequentemente um mecanismo de características diferentes Perceba que as posições relativas entre as barras quando em movimento não se alteram em cada inversão Neste exemplo são possíveis apenas duas inversões distintas para a cadeia de Watt e duas para a de Stephenson As demais são idênticas a uma destas duas