Lista de Exercícios Resolvidos - Cálculo de Limites e Continuidade - CEUNSP

Utilizando a ideia intuitiva de limite calcule b lim x0 3x1 c limx 1 2x1 e limx2 x²xx3 Esboce o gráfico de Utilizando a idéia intuitiva de limite calcule Utilizando a idéia intuitiva de limite calcule Calcule caso exista Se não existir justifique Calcule o limite se existir CENTRO UNIVERSITÁRIO NOSSA SENHORA DO PATROCÍNIO CEUNSP LISTA DE EXERCÍCIO 1 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Prof Rogério Lima 1 Utilizando a ideia intuitiva de limite calcule a lim x1 x2 b lim x0 3x1 c lim x1 2x1 d lim x1 x²1 e lim x2 x²xx3 f lim x1 x x g lim x1 ³x h lim x1 x 2 Esboce o gráfico de fx 4x²12x1 Utilizando a idéia intuitiva de limite calcule lim x12 4x²12x1 3 Utilizando a idéia intuitiva de limite calcule a lim x2 x²4x2 b lim x0 x²xx c lim x1 x1x1 d lim x1 x²1x1 e lim x2 x²4x4x2 f lim x0 sen x 4 Dada a função fx x²3x2x1 determine o limite da função quando x tende a 1 5 Calcule caso exista Se não existir justifique a lim x1 x1x1 b lim x1 x1x1 c lim x1 x1x1 d lim x1 fxf1x1 onde fx x1 se x 1 2x se x 1 e lim x1 fxf1x1 onde fx x1 se x 1 2x se x 1 f lim x2 gxg1x2 onde gx x² se x 2 x2 se x 2 6 A afirmação lim xp fx lim xp fx f contínua em p é falsa ou verdadeira Justifique 7 Dada a função fx x²3x2x1 verifique que lim x1 fx lim x1 fx Perguntase f é contínua em 1 Por quê 8 Para a função cujo gráfico é dado determine o valor de cada quantidade se ela existir Se não existir explique por quê 9 Explique com suas palavras o significado da equação lim x2 fx 5 10 Calcule o limite se existir a lim x2 x²x6x2 b lim x4 x²5x4x²3x4 c lim x2 x²x6x2 d lim x2 x²x6x2 e lim x4 x²4xx²3x4 f lim t3 t²92t²7t3 g lim x1 x²4xx²3x4 h lim h0 4h²16h i lim x1 x³1x²1 j lim h0 1h41h l lim h0 2h³8h m lim t9 9t3t 11 fx 2x se x 1 1 se x 1 é contínua em 1 Justifique 12 a Do gráfico de f estabeleça os números nos quais f é descontínua e explique por quê b Para cada um dos números estabelecidos na parte a determine se f é contínua à direita ou à esquerda ou nenhum deles 13 Do gráfico de g estabeleça os intervalos nos quais g é contínua 15 Determine os limites laterais de fx em x 2 e x 4 para a função dada na figura abaixo 1 Encontre as derivadas das funções a fx πx² b fx 3x² 6x 10 c fx 14 12 x⁴ d fx 2x 13x² 4x e fx 23 6x⁵ 94x² 3x 12 f fx 5x 74 x² g fx x a²x² a² h fx x 1x 23x² 6x 2 Determine a equação da reta tangente às curvas nos pontos indicados a fx x² 1 em x 1 b fx x3x² 5x 6 em x 12 c fx 2x² 4x 4 em x a d fx 2x em x 4 3 Dadas as funções fx 5 2x e gx 3x² 1 determine a f1 g3 b 2f0 g2 c t0 f0² 2f0g0 g0² d h1 onde hx fxgx dica hx fxgx fxgx Digite texto 14 Um estacionamento cobra R 3 pela primeira hora ou parte parte até no máximo de R 10 a Esboce o gráfico do custo do b Qual o significado da descontinuidade para alguém que use o estacionamento 15 Determine os limites laterais de fx em 16 Utilizando a função deslocamento que caiu por t segundos de uma altura de 1000 pés e sabendo que a velocidade no instante a segundos é dada por inglesa de uma altura de 1000 pés com que velocidade a chave cairá após 5 segundos Resp v 160 péss 17 Uma bola é largada do repouso no instante t 0 A distância percorrida depois de 16t2 pés a Qual a distância percorrida pela Resp Um estacionamento cobra R 3 pela primeira hora ou parte dela e R 2 por hora sucessiva até no máximo de R 10 Esboce o gráfico do custo do estacionamento como uma função do tempo decorrido Qual o significado da descontinuidade para alguém que use o estacionamento Determine os limites laterais de fx em x 2 e x 4 para a função dada na figura abaixo deslocamento st 16t21000 que fornece a altura em pés de um objeto que caiu por t segundos de uma altura de 1000 pés e sabendo que a velocidade no instante se um trabalhador de construção derruba uma chave a altura de 1000 pés com que velocidade a chave cairá após 5 segundos Uma bola é largada do repouso no instante t 0 A distância percorrida depois de Qual a distância percorrida pela bola no intervalo de tempo 225 dela e R 2 por hora sucessiva ou estacionamento como uma função do tempo decorrido Qual o significado da descontinuidade para alguém que use o estacionamento para a função dada na figura abaixo que fornece a altura em pés de um objeto que caiu por t segundos de uma altura de 1000 pés e sabendo que a velocidade no instante t se um trabalhador de construção derruba uma chave a altura de 1000 pés com que velocidade a chave cairá após 5 segundos Uma bola é largada do repouso no instante t 0 A distância percorrida depois de t segundos é st Digite texto b Calcule a velocidade média ao longo de 225 Resp c Calcule as velocidades médias ao longo dos intervalos de tempo 2 201 2 2005 2 2001 2 200001 Use isso para estimar a velocidade instan Resp 6416 6408 64016 6400016 Calcule a velocidade média ao longo de 225 Calcule as velocidades médias ao longo dos intervalos de tempo 2 201 2 2005 2 2001 2 200001 Use isso para estimar a velocidade instantânea do objeto em t 2 6416 6408 64016 6400016 Calcule as velocidades médias ao longo dos intervalos de tempo 2 201 2 2005 tânea do objeto em t 2 Se um tanque mantém 5000 litros de água que escoa pelo fundo em 40 minutos então a Lei de Torricelli dá o volume do V de água que restou no tanque depois de t minutos como V 5000 1 t402 0 t 40 Encontre a taxa segundo a qual água esta escoando do tanque a depois de 5 minutos b depois de 20 minutos c Em que instante o fluxo é maior Justifique 10 A quantidade de carga Q em Coloumbs C que passa através de um ponto em um fio até o instante t medido em segundos é dada por Qt t3 2t2 6t 2 a Encontre a corrente quando t 05 R 475 A b Encontre a corrente quando t 1 R 5 A Dado It dQdt 11 O volume de uma esfera esta sofrendo uma expansão e é dado por V 43πr3 onde o raio é medido em micrômetro 1 μm 106 m Determine a taxa de variação instantânea de V em relação a r quando r 5 μm 12 A função custo para um certo produto é dada por Cx 84 016x 00006x2 0000003x3 a Encontre e interprete C100 b Compare C100 com o custo real de produzir o 101º item o y a3 cos3 x p y xsen1x q y 1 cos2 x6 r y sec3 x tg2 x 3 Uma companhia produz chips de computador Ela quer manter o comprimento do lado da placa muito próximo de 15 mm e deseja saber como a área Ax da placa varia quando mudamos o comprimento do lado x Encontre A15 e explique seu significado nessa situação R A15 30 mm²mm isto significa a taxa segundo a qual a área cresce em relação ao comprimento do lado quando x atinge 15mm 4 Se um tanque mantém 5000 litros de água que escoa pelo fundo em 40 minutos então a lei de Torricelli dá o volume V de água que restou no tanque depois de t minutos como V 5000 1 t402 0 t 40 Dado A taxa de variação da volume é dada por limΔt0 ΔVΔt Vt a Qual o volume dágua após 10 minutos R 28125 b Encontre a taxa segundo a qual a água está escoando do tanque após 5 minutos R 21875 Lmin 5 O volume de uma esfera é dado por V 43πr³ onde r é medido em micrômetros 1μm 10⁶ m Encontre a taxa de variação instantânea de V em relação a r quando r 5μm R Se de desejar pode deixar em função de π logo v5 π10¹⁰ ou v5 31410¹⁰ 6 A quantidade de carga ΔQ em Coulombs C que passa através de uma superfície em um condutor durante um período de tempo Δt é dada por Qt 4t senπ4 t 2t cosπ4 t Determine o valor da corrente elétrica quando t 2 segundos 7 A função custo em reais para uma companhia produzir x novas peças de um certo produto é Cx 2000 3x 001x² 00002x³ a Encontre a função custo marginal R Calcular a derivada da função b Encontre C100 e explique seu resultado R C100 R 1100 é a taxa segundo a qual o custo do produto esta variando a partir da produção do centésimo produto c Compare C100 com o custo de manufaturar os 101 primeiros produtos R R 1107 por produto produzido 8 O custo de fabricação de x relógios de uma fábrica é dado por Cx 1500 30x x² d Encontre a função custo marginal R 30 2x e O custo marginal quando x 40 R R 110 f O custo real de fabricação do 41º relógio R R111 9 A função fx senx sen2x 0 x π aparece em algumas aplicações para sintetização de frequência modulada FM Determine fx R fx cosx sen 2x1 2 cos 2x 10 O Movimento de uma mola sujeita a uma força de atrito ou a uma força de amortecimento tal como amortecedor em um carro é frequentemente modelado pelo produto de uma função exponencial e uma função seno ou cosseno Suponha que a equação Suponha que a equação de movimento de um ponto sobre essa mola é St 2e¹⁵ᵗ sen 2πt onde S é medido em centímetros e t em segundos a Encontre a função velocidade R vt 2e¹⁵ᵗ 2π cos 2πt 15 sen 2πt b Encontre a velocidade após t 2 segundos 11 O deslocamento de uma partícula sobre uma corda vibrante é dada pela equação st 10 ¼ sen10πt onde s é medido em centímetros e t em segundos Encontre a velocidade da partícula após t segundos 12 Um ponto movese ao longo da elipse x² 4y² 1 A abscissa x está variando a uma velocidade dxdt sen 4t Mostre que dydt x sen 4t 4y 13 Uma equação de movimento da forma s Aect cos ωt δ representa a oscilação amortecida de um objeto Encontre a velocidade e aceleração do objeto 14 A massa de parte de uma barra de metal é m e²ˣ 5 x kg onde x é medido em metros a partir de uma extremidade do fio Encontre a densidade linear do fio quando x16 metros Dado Densidade Linear dmdx mx 15 De acordo com cada equação determine o valor do coeficiente angular em cada ponto a fx x² 2x32 no ponto x 3 b gt e⁴ˣ no ponto x 0 16 Quando uma barra de aço fundido com uma temperatura de 2400º F é colocada em um recipiente com água a uma temperatura de 80º F a temperatura da barra após t segundos é ft 601 29e⁰¹⁵ᵗ graus Faherenheit a Qual a temperatura da barra após15 segundos b Com que taxa a temperatura da barra estará variando após 6 segundos 17 Calcule a f0 fx eˣ cos x b f1 fx eˣ ln 1 x c Dado fx e²ˣ calcule f0 x f0 Bons Estudos Sucesso