Caderno de Estudos sobre Sistemas Isostáticos

UniREDENTOR Centro Universitário CRÉDITOS SIS SISTEMAS ISOSTÁTICOS Carlos Eduardo Cunha Martins Sobre o autor O autor do caderno de estudos é o professor Carlos Eduardo Cunha Martins brasileiro natural de GuiricemaMG bacharel em Engenharia Civil pela Faculdade Redentor REDENTOR 2014 Pósgraduando em Engenharia de Segurança do Trabalho na Faculdade Redentor É professor da Faculdade Redentor desde 2015 nos cursos de Engenharia Civil Engenharia de Produção Engenharia Elétrica e Ar quitetura e Urbanismo Tem experiência nas disciplinas de Desenho Técnico Projeto Assistido por Computador I e II Instalações Elétricas e Instalações Prediais Siste mas Estruturais Sistemas Isostáticos Mecânica dos Solos Materiais de Construção e Infraestrutura Predial Coordenador do Escritório Escola da Faculdade Redentor Atua como Engenheiro Civil na Região Noroeste Fluminense e Zona da Mata Minei ra na parte de Projetos Planejamento Instalações e Estruturas Vivianne Rosestolato Daruich Pereira Tannus A autora deste caderno de estudos é a professora Vivianne Rosestolato Daruich Pereira Tannus brasileira natural de PorciúnculaRJ Bacharel em Enge nharia Civil pela Faculdade Redentor REDENTOR 201401 Mestre em Engenha ria e Ciência dos Materiais pela Universidade Estadual Norte Fluminense LA MAVUENF 2016 Especialista em Docência do Ensino Superior REDENTOR 2015 É professora da Faculdade Redentor nos polos Itaperuna e Campos dos Goytacazes desde 2014 nos cursos de Engenharia Civil Engenharia Mecânica En genharia de Produção Engenharia Elétrica Arquitetura e Serviço Social Tem expe riência nas disciplinas de Introdução ao Cálculo Geometria Descritiva Geometria Analítica Física I Física II Probabilidade e Estatística aplicada à Engenharia Bioes tatística Cálculo III Resistência dos Materiais Topografia Sistemas Isostáticos Mecânica Geral e Aplicada Estruturas Metálicas e Madeira Sistemas Hiperestáticos I e II Possui experiência em EaD Atua como Engenheira Civil como projetista e res ponsável técnica Sobre a autora Apresentação Olá querido aluno a seja muito bemvindo a Dando continuidade à formação em Engenharia Civil você tem um grande desafio pela frente vamos dar início aos estudas de análises de estruturas e vamos começar pela disciplina de Sistemas Isostáticos Quando findar a disciplina você será capaz de entender e analisar o comportamento das estruturas isostáticas quando existem forças atuantes sobre elas através de gráficos de esforços simples como Normal cortante e Momento Fletor além do estudo de treliças vigas e pórticos isostáticos Neste caderno nós desenvolvemos conteúdos para facilitar o seu entendimen to e servir de base para os seus estudos porém está não deve ser a única fonte de pesquisa devese também buscar a bibliografia básica e complementar do curso ver o que nossos autores estão propondo de desafios Então vamos fechar um acordo quando tiverem dúvidas entrem em contato com o professor estamos aqui para sempre que precisarem faça os exercícios do caderno das bibliografias básica e complementar assistam aos vídeos que estão na plataforma e aos vídeos sugeridos O professor e autor Carlos Eduardo Cunha Martins é responsável pela con fecção das aulas 1 2 e 9 respectivamente A professora e autora Vivianne Rosestolato Daruich Pereira Tannus é respon sável pela confecção das aulas 3 4 5 6 7 8 10 11 12 13 14 15 e 16 respecti vamente O sucesso é construído à noite durante o dia você faz o que todos fazem Para ser bemsucedido você tem que ser especial em tempo integral Não se compare à maioria pois ela não é modelo de sucesso Roberto Shinyashiki Ótimos estudos Objetivos O primeiro conhecimento de estruturas do Engenheiro Civil é dado com o es tudo da isostática nela são vistos conceitos de estática e comportamento dos corpos com as atuações de carregamentos A disciplina tem como objetivo fornecer aos alunos conhecimento técnico para análise de estruturas isostáticas Este caderno de estudos tem como objetivos Entender o conceito de Isostática Elaborar Diagramas dos esforços Simples normais e cortantes e momentos fletores Calcular esforços de Sistemas Reticulados Determinar esforços de tração e compressão em Treliças Planas Estudar o comportamento de vigas gerber Aprender sobre a influência da mobilidade das cargas nas rea ções de apoio Entender o que é um pórtico composto Separar a estrutura em pórticos isostáticos Sumário AULA 1 CONCEITOS IMPORTANTES 1 Conceitos importantes 14 11 Conceito de força 14 12 Classes de força 16 13 Vínculos 18 131 Vínculos de primeiro gênero 18 132 Vínculos de segundo gênero 19 133 Vínculos de terceiro gênero 20 14 Condição de equilíbrio de um ponto material 20 15 Exercícios resolvidos 22 AULA 2 ISOSTÁTICA 2 Estrutura 29 21 Classificação das estruturas 29 211 Estrutura hipostática 29 212 Estrutura isostática 29 213 Estrutura hiperestática 30 22 Esforços simples 30 221 Esforço normal 30 222 Esforço cortante 31 223 Momento torsor 32 224 Momento fletor 33 23 Exercícios resolvidos 36 AULA 3 DIAGRAMAS DE ESFORÇOS SOLICITANTES PARTE I 3 DIAGRAMAS DE ESFORÇOS SOLICITANTES DES 48 31 Diagrama de esforços normais DEN 48 32 Diagrama de esforços cortantes DEQ 52 33 Diagrama de momento fletor DMF 57 AULA 4 DIAGRAMAS DE ESFORÇOS SOLICITANTES PARTE II 4 DIAGRAMAS DE ESFORÇOS SOLICITANTES PARTE II 68 41 Conceitos iniciais 68 42 DEN 74 43 DEQ 78 44 DMF 86 AULA 5 DIAGRAMAS DE ESFORÇOS SOLICITANTES PARTE III 5 DESS EM VIGAS ISOSTÁTICAS 105 AULA 6 DIAGRAMAS DE ESFORÇOS SOLICITANTES PARTE IV 6 DIAGRAMAS DE ESFORÇOS SOLICITANTES PARA CARGAS VARIADAS 129 61 Carregamento distribuído não uniforme 129 AULA 7 VIGAS GERBER PARTE I 7 VIGAS GERBER 152 71 Definição 152 AULA 8 VIGAS GERBER PARTE II 8 VIGAS GERBER PARTE II 168 AULA 9 TRELIÇAS 9 TRELIÇAS ISOSTÁTICAS 200 91 Definição 200 92 Treliça simples 205 93 Determinação dos esforços internos nas barras 206 94 Exercício resolvido 208 95 Método das seções 214 AULA 10 SISTEMAS RETICULADOS PÓRTICOS PLANOS 10 SISTEMAS RETICULADOS PÓRTICOS PLANOS 231 101 Definição 231 102 Pórtico contraventado 231 103 Pórtico não contraventado 233 104 Diagrama de esforços normais 237 105 Diagrama de momento fletor 243 AULA 11 SISTEMAS RETICULADOS PÓRTICOS ISOSTÁTICOS 11 SISTEMAS RETICULADOS PÓRTICOS PLANOS 256 111 Diagrama de esforços normais 258 112 Diagrama de esforços cortantes 259 113 Diagrama de momento fletor 261 114 Diagrama de esforços normais Parte II 265 115 Diagrama de esforços cortantes Parte II 266 116 Diagrama de momento fletor Parte II 268 AULA 12 PÓRTICOS COMPOSTOS 12 PÓRTICOS COMPOSTOS 281 AULA 13 DIAGRAMAS DE ESFORÇOS SOLICITANTES 13 DIAGRAMAS DE ESFORÇOS SOLICITANTES 298 131 Diagrama de esforços normais DEN 299 132 Diagrama de esforços cortantes DEQ 305 133 Diagrama de momento fletor DMF 306 AULA 14 CARGAS MÓVEIS 14 Cargas móveis e linhas de influêNCIA 323 AULA 15 EXERCÍCIOS REVISÃO V1 15 Determinar para todos os casos 340 151 Viga simples 340 152 Vigas Gerber 348 AULA 16 EXERCÍCIOS REVISÃO V2 16 DETERMINAR PARA TODOS OS CASOS SE HOUVER 358 161 Treliças 358 162 Pórticos simples 360 163 Pórticos compostos 365 UniREDENTOR Conceitos importantes Aula 1 APRESENTAÇÃO DA AULA Nesta aula serão revistos alguns conceitos importantes de Mecânica como Força Vínculos e equilíbrio que são fundamentais para o estudo dos sistemas Isostáticos OBJETIVOS DA AULA Esperamos que após o estudo do conteúdo desta aula você seja capaz de Compreender o conceito de Força Classificar as forças de acordo com o local onde está atuando Classificar uma estrutura de acordo com os vínculos Aprender as condições de equilíbrio P á g i n a 14 1 CONCEITOS IMPORTANTES A estática é o campo da mecânica que estuda as estruturas que são com postas por um ou mais corpos ligados entre eles e a sistemas externos Este sistema forma um conjunto estático e indeslocável Um bom exemplo é a estrutura de uma edificação onde temos lajes vigas pilares e fundações todos ligados e as fundações descarregando os esforços no solo que é o sistema externo Estrutura Isostática É aquela quem o número de equações de equilíbrio é igual ao número de reações 11 Conceito de Força Para que ocorra uma força são necessários dois corpos um atuando sobre outro gerando deformação ou movimento que pode ser manifestada de duas manei ras Força por contato Quando existe contato entre os corpos como uma pessoa empurrando um carro é necessário que o homem empurre o automóvel para o mesmo deslocar Figura 11 Força por contato Fonte CALEGARI 2017 ATENÇÃO P á g i n a 15 Força a distância Quando não existe o contato entre os corpos a força gravitacional é um bom exemplo na imagem abaixo o planeta não precisou tocar nas maças para as mesmas caírem da arvore Figura 12 Força a distância Fonte KIDS 2017 A força é um vetor e para a sua representação é necessário módulo direção e sentido além do corpo de atuação Seu modulo é obtido a partir do produto da massa em quilograma pela acele ração em metros por segundo ao quadrado conforme a equação abaixo No Sistema Internacional SI a sua unidade de medida é o NEWTON que é representado pela letra N em homenagem a Isaac Newton cientista Inglês que es creveu sobre as forças em suas três leis e hoje são fundamentais para o estudo da mecânica Força N Massa kg Aceleração P á g i n a 16 12 Classes de Força As forças atuantes em um corpo ou em vários corpos podem ser classificadas de duas formas Forças internas São dadas pela influência mútua de elementos inter relacionados constituintes da estrutura Forças externas Forças que oriundas do meio externo como a carga de vento em uma estrutura As forças externas são divididas em duas classes as ativas e as reativas Ativas Forças que atuam diretamente em uma estrutura Reativas Dadas pelos vínculos ou ligações na estrutura para impedir o movimento só aparecem quando existe a atuação de forças ativas A partir do momento que uma força atua sobre a estrutura forças ativas a mesma tem que manter o equilíbrio gerando as forças reativas Figura 13 Representação das forças ativas e reativas Forças Ativas Forças Reativas P á g i n a 17 V1 P1 P2 A viga V1 está apoiada nos pilares P1 e P2 Em todos está atuante o Peso Próprio Figura 14 Representação de viga apoiadas em pilar Será feita a análise da viga 01 V1 o seu peso próprio é a Força ativa a ser considerada Figura 15 Representação força ativa As pressões que os pilares exercem sobre a viga são consideradas forças reativas essas mesmas pressões atuando sobre os pilares são forças ativas V1 P1 P2 Pv P á g i n a 18 Figura 16Representação dos esforços ativos e reativos 13 Vínculos Os vínculos são ligações que impedem o deslocamento dos elementos ge rando forças reativas nesses elementos Existem dois tipos de deslocamentos os de rotação e os de translação que podem ser a translação horizontal e a vertical Os vínculos também são chamados de 131 Vínculos de primeiro gênero Os vínculos de primeiro gênero impedem um movimento de translação seja ele horizontal ou vertical Uma reação de apoio Simbologia Forças Ati vas Forças Reativas P á g i n a 19 Figura 17 Simbologia de vínculos de primeiro gênero 132 Vínculos de segundo gênero Os vínculos de segundo gênero impedem dois movimentos de translação Duas reações de apoio Simbologia Figura 18 Simbologia de vínculos de segundo gênero Reações Ho rizontais Reações Ver ticais P á g i n a 20 133 Vínculos de terceiro gênero Os vínculos de terceiro gênero impedem dois movimentos de translação e um de Rotação Duas reações de apoio Simbologia Figura 19 Simbologia de vínculo de terceiro gênero 14 Condição de Equilíbrio de um Ponto Material De acordo com a Primeira Lei de Newton ou lei da Inércia diz que a ten dência dos corpos quando nenhuma força é exercida sobre eles é permanecer em seu estado natural ou seja repouso ou movimento retilíneo e uniforme Então se sabe que um corpo está em repouso ou em movimento retilíneo e uniforme se a resultante das forças que atuam sobre ele é igual à zero Nesse caso podese dizer que o corpo está em equilíbrio que por sua vez pode ser estático quando o corpo está em repouso ou dinâmico quando o corpo está em movimento Assim tem a seguinte equação que o somatório das forças de ve ser igual à zero P á g i n a 21 𝐹 0 O ponto P da figura abaixo está sujeito a ação de três forças Esse ponto encontrase em repouso Figura 110 Diagrama de corpo livre Portanto podemos dizer que esse ponto se encontra em equilíbrio estático pois satisfaz a equação É importante dizer que deve ser feita a soma vetorial de cada uma das forças e transformar essa equação vetorial em equação escalar Se as forças atuantes no ponto material forem coplanares estão no mesmo plano geométrico transformase a equação vetorial da soma das forças em duas equações escalares projetandose as forças sobre os eixos cartesianos ortogonais X e Y Sendo assim as condições de equilíbrio do ponto material podem ser estabe lecidas da seguinte maneira P F1 F2 F3 P á g i n a 22 Figura 111 Adições algébricas Fonte RODRIGUES 2017 Projeção será positiva se o seu sentido coincidir com o sentido do eixo Será negativa se seu sentido for contrário ao sentido do eixo A projeção será igual a zero quando a força tiver direção perpendicular ao do eixo 15 Exercícios Resolvidos 1Dadas às estruturas 1 2 e 3 Identifique os vínculos e o número de Reações a Estrutura 01 a Apoio de primeiro gênero 01 b Apoio de primeiro gênero 01 c Reações 03 b Estrutura 02 d Apoio de Terceiro Gênero 01 e Reações 03 c Estrutura 03 f Apoio de primeiro gênero 01 g Apoio de primeiro gênero 01 h Reações 03 Resumo Nesta aula abordamos Estática Conceito de uma estrutura Isostática Conceito de forças Classe das forças Vínculos Equações de Equilíbrio Complementar Assistam ao vídeo 01 da disciplina de Sistemas Isostáti cos Referências Bibliográficas Básica HIBBELER RC Estática Mecânica Para Engenharia 10 ed São Paulo Editora Pearson 2005 HIBBELER RC Estática Mecânica Para Engenharia 12 ed São Paulo Editora Pearson 2010 JUNIOR EFM Introdução à Isostática São Calos Editora de USP 1999 Complementar CALEGARI Renato Polícia é notícia Ao empurrar carro que parou no meio da rua veículo desceu desgovernado e atingiu outro carro Disponível em httpwwwuniradiocombrhtmlmodulesnewsarticlephpstoryid16887 Acesso em 10 set 2017 KIDS Smart Gravidade e Peso Disponível em httpwwwsmartkidscombrtrabalhogravidade Acesso em 05 set 2017 RODRIGUES Luiz Eduardo Miranda J Mecânica Técnica Disponível em httpwwwengbrasilengbrppmtmtcpdf Acesso em 10 set 2017 SHAMES I H Estática Mecânica Para Engenharia Volume 1 4 ed São Paulo Editora Pretecine 2003 VALLE AD ROVERE HLL PILLAR MNDP Apostila de Análise Es trutural I Florianópolis Editora de UFSC 2009 AULA 1 Exercícios 1 Diferencie força ativa de força reativa 2 Dados os blocos abaixo em todos está atuando o peso próprio Represen te as foças ativas e as forças reativas P á g i n a 27 3 Dadas às estruturas 1 2 e 3 Identifique os vínculos e o número de Rea ções Respostas Estrutura 01 04 Reações Um apoio de 3º Gênero 03 reações Um apoio de 1º Gênero 01 reação Estrutura 02 04 Reações Dois apoios de 2º Gênero 04 reações Estrutura 03 02 Reações Dois apoios de 1º Gênero 02 reações Isostática Aula 2 APRESENTAÇÃO DA AULA Nesta aula vamos aprender a Classificação das Estruturas e compreender os esforços simples OBJETIVOS DA AULA Esperamos que após o estudo do conteúdo desta aula você seja capaz de Classificar as Estruturas de acordo com o Número de Reações e equações Compreender os Esforços Simples Calcular os Esforços Simples P á g i n a 29 2 ESTRUTURA As estruturas são classificadas como hipostática a isostática e hiperestá tica Vai da relação entre o número de Reações e o Número de equação 21 Classificação das Estruturas 211 Estrutura Hipostática São as Estruturas onde o número de Reações é menor que o número de equações A estrutura a cima tem dois apoios de primeiro gênero dando um total de 02 duas reações de apoio sendo que são três equações de equilíbrio caracterizando uma estrutura hipostática 212 Estrutura Isostática São as Estruturas onde o número de Reações é igual a o número de Equa ções Reações 01 01 02 Equações 01 01 01 03 Fx 0 Fy 0 M 0 Nº De Reações Nº de Equações Estrutura Hipostática Reações 01 02 03 Equações 01 01 01 03 Fx 0 Fy 0 M 0 P á g i n a 30 A estrutura a cima um apoio de primeiro gênero e um apoio de segundo gê nero dando um total de 03 três reações de apoio sendo que são três equações de equilíbrio caracterizando uma estrutura isostática 213 Estrutura Hiperestática São as Estruturas onde o número de Reações é maior que o número de Equações A estrutura a cima um apoio de primeiro gênero e um apoio de segundo gênero dando um total de 03 três reações de apoio sendo que são três equações de equilíbrio caracterizando uma estrutura isostática 22 Esforços Simples Quando um sistema de forças atua sobre um corpo rígido ocorre o surgimen to de esforços na estrutura Esses esforços são analisados a partir do eixo e da seção perpendicular do corpo Para os esforços normais temos as seguintes classificações 221 Esforço Normal O esforço normal atua comprimindo ou tracionando a seção Nº De Reações Nº de Equações Estrutura Isostática Reações 01 03 04 Equações 01 01 01 03 Fx 0 Fy 0 M 0 Nº De Reações Nº de Equações Estrutura Hiperestática P á g i n a 31 Figura 21 Diferença entre a barra tracionada e comprimida Temos Valores positivos para tração e negativos para compressão simplifica dos na tabela a seguir Tabela 1 Valores Positivos para Tração e Negativos para compressão ESFORÇO NORMAL TIPO SINAL TRAÇÃO POSITIVO COMPRESSÃO NEGATIVO 222 Esforço Cortante O esforço cortante atua cortando ou cisalhando a seção Figura 22 Esforço cortante Dado um ponto S em qualquer local da barra temos a seguinte análise BARRA TRACIONADA BARRA COMPRIMIDA BARRA SUBMETIDA A ESFORÇO CONTANTE P á g i n a 32 Figura 23 Cortante Forças que estão à ESQUERDA do ponto S Aplicadas de cima para baixo na direção Negativa do Eixo Y represen tadas por F1 são forças NEGATIVAS Aplicadas de baixo para cima na direção positiva do Eixo Y represen tadas por F2 são forças POSITIVAS Forças que estão à DIREITA do ponto S Aplicadas de cima para baixo na direção Negativa do Eixo Y represen tadas por F3 são forças POSITIVAS Aplicadas de baixo para cima na direção positiva do Eixo Y represen tadas por F4 são forças NEGATIVAS 223 Momento Torsor O Momento Torsor atua torcendo ou girando a seção em relação ao eixo Figura 24 Momento Torsor 1 2 3 4 BARRA ESTADO NATU RAL BARRA SUBMETIDA AO MOMENTO TORSOR P á g i n a 33 Figura 25 Momento torsor Fonte WIKIWAND 2017 O momento torsor é POSITIVO quando as forças do lado esquerdo tendem a provocar neste ponto o deslocamento para a direita 224 Momento Fletor O Momento Fletor atua envergando ou flexionando a seção em relação ao eixo Figura 26 Barra submetida ao momento BARRA ESTADO NATU RAL BARRA SUBMETIDA AO MOMENTO FLETOR P á g i n a 34 Figura 27 Momento fletor Fonte RODOLFO BENITO DA SILVA 2017 Figura 28 Momento fletor Fonte MARTINEZ 2017 O momento fletor é POSITIVO quando a barra gira no sentido ANTI HORÁRIO P á g i n a 35 Figura 29 Momento positivo O momento fletor é NEGATIVO quando a barra gira no sentido HORÁRIO Figura 210 Momento negativo FORÇA ATUANDO NA BARRA MOMENTO NEGATIVO MOMENTO POSITIVO FORÇA ATUANDO NA BARRA P á g i n a 36 23 Exercícios Resolvidos Dada à viga Bi apoiada com o carregamento indicado determine os esforços simples a partir do ponto C A estrutura pode ser analisada a partir de qualquer ponto neste caso escolher o ponto C a 2 metros do apoio A e a 03 metros do apoio B Assim que o ponto for definido devemos fazer a análise da estrutura por um dos dois lados direito ou esquerdo Neste caso vou fazer a análise por ambos os lados começando pelo lado di reito Esforço Normal P á g i n a 37 𝑁 4 cos 30º 340𝑘𝑁 Esforço Cortante 𝑄 280 4 sen 30º 080𝑘𝑁 Momento Fletor 𝑀 280𝑥300 4 sen 30º 𝑥200 440 𝑘𝑁 𝑚 Agora vamos fazer a análise pelo lado esquerdo no trecho AC Apenas por motivos comparativos Esforço Normal 𝑁 4 cos 30º 340𝑘𝑁 Esforço Cortante 𝑄 520 600 080𝑘𝑁 Momento Fletor 𝑀 520𝑥200 600𝑥100 440 𝑘𝑁 𝑚 P á g i n a 38 Depois de feita a análise por ambos os lados em relação ao ponto C conclu ímos que independente do lado da análise os esforços sempre terão o mesmo resul tado Podese utilizar esse conceito até mesmo para conferência dos cálculos feitos ou seja se você fez a análise pelo lado esquerdo logo fez pelo direito e encontrou o mesmo resultado em ambos os lados à resolução está PERFEITA mas caso algum valor foi desigual confira os seus cálculos Momento fletor e Força de cisalhamento tendo por fonte R C Hibbeler Mechanics of Materials 8th Edition A figura acima mostra uma viga isostática biapoiada Determine a força de ci salhamento e o momento fletor no ponto C O primeiro passo será fazer o diagrama de corpo livre e encontrar a intensi dade da reação no apoio A Vamos tomar como referência o ponta B e aplicar as equações do equilíbrio estático Somatória dos momentos com sentido horário positivo P á g i n a 39 𝑀𝐵 0 60 𝑅𝐴𝑦 1 1 10 2 0 𝑅𝐴𝑦 20𝑘𝑁 Agora vamos cortar a viga ao meio no ponto C e utilizar apenas o lado es querdo Nele colocaremos as cargas internas Observe na figura acima que no ponto C surge um momento que chamamos de momento fletor e também surge uma força para cima que chamamos de força cortante Esses são os as cargas internas e devemos aplicar as equações do equilí brio para encontrar suas intensidades Somatória das forças verticais no ponto C igual à zero sentido positivo pa ra cima 𝐹𝑉𝐶 0 20 𝑉𝐶 0 𝑉𝐶 20𝑘𝑁 Observe que o valor da força cortante deu negativo isso significa que para manter a estrutura em equilíbrio o sentido desta força deve ser para baixo Somatória dos momentos no ponto C igual à zero sentido horário positivo 𝑀𝐶 0 P á g i n a 40 60 20 1 𝑀𝐶 0 𝑀𝐶 40𝑘𝑁𝑚 Determine a força cortante e o momento fletor no ponto C da viga acima Fonte RC HibbelerMechanics of Materials 8th Edition Primeiro passo Desenhar o diagrama de corpo livre do sistema Segundo passo Encontrar a intensidade das forças resultantes 𝐹𝑟1 𝑒 𝐹𝑟2 Pa ra isso faremos 𝐹𝑟1 100 150 150𝑁 𝐹𝑟2 200 150 300𝑁 Terceiro passo encontrar a reação do apoio A Para solucionar es te exercício não é necessário encontrar a reação do apoio B Vamos fazer a somatória dos momentos no ponto B Considerar sentido de giro horário positivo P á g i n a 41 𝑀𝐵 0 𝑅𝐴𝑦 3 150 225 300 075 0 𝑅𝐴𝑦 18750𝑁 Quarto Passo Fazer o diagrama de corpo livre do ponto C Observe nesta imagem acima que o ponto C possui três esforços internos O Vc que é a força cortante o Nc que é a força normal e o Mc que é o momento fle tor Quinto passo Calcular o Vc força cortante e o Mc momento fletor Faremos primeiramente a somatória das forças verticais igual a zero Sentido positivo para cima 𝐹𝐶 0 𝑅𝐴𝑦 𝐹𝑟1 𝑉𝐶 0 1875 150 𝑉𝐶 0 𝑉𝐶 3750𝑁 Vamos fazer a somatória dos momentos no ponto C para encontrar o mo mento fletor Adotaremos o sentido de giro antihorário como positivo 𝑀𝐶 0 𝑀 1875 150 150 075 0 𝑀 16875𝑁𝑚 Resumo Nesta aula abordamos Classificação das Estruturas Esforços Simples Complementar Assistam ao vídeo 02 da disciplina de Sistemas Isostáticos Referências Bibliográficas Básica GORFIN BERNARDO OLIVEIRA MYRIAN MARQUES DE Estruturas Isostáticas Rio de Janeiro Livros Técnicos e Científicos Editora SA 1975 HIBBELER Russell C Mechanics of Materials 8 ed Aurora Pearson Prentice Hall 2004 MARTINEZ Daniel de Leon Momento Fletor Disponível em httpwwwecivilnetcomdicionariooqueemomentofletorhtml Acesso em 10 set 2017 RODOLFO BENEDITO DA SILVA Faculdade Anhanguera de Rondonópolis Aula VIEsforço Cortante e Momento Fletor Complementar HIBBELER RC Estática Mecânica Para Engenharia 10 ed São Paulo Editora Pearson 2005 HIBBELER RC Estática Mecânica Para Engenharia 12 ed São Paulo Editora Pearson 2010 SHAMES I H Estática Mecânica Para Engenharia Volume 1 4 ed São Paulo Editora Pretecine 2003 AULA 2 Exercícios 1 Calcule os Esforços Simples das Estruturas Isostáticas abaixo RvA 1020kN RvB 1380kN RvA 350kN RhA 200kN RvB 050kN P á g i n a 46 RvA 420kN RhA 600kN RvB 020kN RvA 350kN RhA 200kN RvB 050kN Diagramas de Esforços Solicitantes Parte I Aula 3 APRESENTAÇÃO DA AULA A nossa terceira aula nos apresenta aos diagramas de esforços solicitantes utilizados na maioria dos cálculos estruturais da Engenharia em geral Falaremos sobre o que são para que servem e como devem ser interpretados OBJETIVOS DA AULA Esperamos que após o estudo do conteúdo desta aula você seja capaz de Entender o que são Diagramas de Esforços Solicitantes Entender o para que sirvam os Diagramas de Esforços Solicitantes Identificar esforços positivos e negativos referentes às solicitações expostas Compreender a influência de cada um dos esforços nos elementos estruturais suas causas e consequências P á g i n a 48 3 DIAGRAMAS DE ESFORÇOS SOLICITANTES DES Na última aula tivemos uma revisão sobre os esforços simples Nesta aula vamos aprender a analisar influência desses esforços em elementos estruturais através de gráficos diagramas Estes retratam os valores dos esforços simples ao longo da estrutura nos dando uma visão bidimensional da variação desses esforços ao longo dos elementos analisados Em sistemas isostáticos aprenderemos os três primeiros tipos de DES que você vai utilizar ao longo do curso de Engenharia e certamente depois de formato em sua carreira como engenheiro Os três DES abordados aqui serão Diagrama de Esforços Normais DEN Diagrama de Esforços Cortantes DEQ e Diagrama de Momento Fletor DMF A seguir falaremos detalhadamente sobre cada um deles 31 Diagrama de Esforços Normais DEN Este diagrama faz referência aos esforços gerados por todas as cargas normais à estrutura mostrando quais as solicitações que as mesmas geram nos trechos analisados Para entendermos o DEN precisamos saber primeiramente o que são cargas normais Cargas normais são aquelas que agem na direção do eixo longitudinal da estrutura ou seja seu maior eixo mostrado na figura abaixo P á g i n a 49 Figura 31 Eixo longitudinal Cargas normais são também conhecidas como axiais e outra forma de identificalas é analisando sua posição em relação à seção transversal do elemento O eixo transversal menor e longitudinal maior são perpendiculares entre si Desta forma cargas axiais como vêm acima agem na direção do eixo longitudinal e na direção perpendicular à seção transversal Assim temos exemplos de cargas normais ou axiais Figura 32 Forças normais A partir da figura apresentada acima podemos identificar mais algumas características de cargas normais Observe que em ambos os casos temos um par de forças atuando na mesma direção e em sentidos opostos Assim podemos concluir que esforços normais serão SEMPRE originados de UM PAR DE FORÇAS RESULTANTES EM SENTIDOS OPOSTOS P á g i n a 50 Veja também que no primeiro caso as forças estão saindo na estrutura o que nos leva a conclusão do primeiro efeito causado por cargas normais a TRAÇÃO No segundo caso temos as forças entrando na estrutura o que nos leva a perceber o segundo possível efeito de cargas normais a COMPRESSÃO Assim chegamos a um dos objetivos principais desta aula saber o que é um DEN e para que ele sirva Portanto os DENs são resultados dos efeitos de cargas normais capazes de gerar tração ou compressão em elementos nos quais elas atuam Mas o que significa a nível estrutural do material ser tracionado ou comprimido Quando um DEN apresenta um trecho tracionado ele traz como informação que aquele segmento de estrutura está sob ação de forças que tendem a AFASTAR as moléculas do material o que leva o elemento analisado a um processo de alongamento Neste caso o esforço normal é considerado POSITIVO Seguindo a mesma linha de raciocínio quando um DEN apresenta um trecho comprimido ele traz como informação que aquele segmento de estrutura está sob ação de forças que tendem a APROXIMAR as moléculas do material o que leva o elemento analisado a um processo de encurtamento Neste caso o esforço normal é considerado NEGATIVO Estas informações são de extrema importância no processo de dimensionamento estrutural de peças que trabalham sob efeito de cargas normais sendo necessário o conhecimento do maior valor de solicitação para o dimensionamento correto da estrutura em questão São exemplos de peças que trabalham sob efeito de tensões normais COLUNAS OU PILARES as colunas têm como principal função estrutural suportar as cargas de elementos permanentes da edificação que se apóiam e transferem cargas externas a ela trabalhando na maioria dos casos sob compressão Você pode observar a figura abaixo e perceber que todo o tabuleiro da ponte acaba sendo descarregado nos pilares P á g i n a 51 Figura 33 Coluna sob efeito de compressão Ponte RioNiterói TRELIÇAS Uma treliça é estrutura composta de membros interligados em seus extremos formando uma estrutura rígida As cargas externas são aplicadas nos nós que fazem a distribuição dos esforços para todas as barras conectadas a eles Desta forma todos os elementos componentes de um sistema treliçado trabalham sob tração ou compressão P á g i n a 52 Figura 34 Treliças Fonte FINESTRA WEB GELINSKI 20 Agora que já sabemos o que são cargas normais quais os efeitos que elas geram em uma estrutura e quais as informações contidas em um DEN passaremos ao próximo esforço solicitante 32 Diagrama de Esforços Cortantes DEQ Este diagrama faz referência aos esforços gerados por todas as cargas cortantes à estrutura mostrando quais as solicitações que as mesmas geram nos trechos analisados Para entendermos o DEQ precisamos saber primeiramente o que são cargas cortantes Cargas cortantes são aquelas que agem perpendiculares ao eixo longitudinal da estrutura ou seja paralelo ao seu menor mostrado na figura abaixo P á g i n a 53 Figura 35 Eixo longitudinal Assim temos exemplos de cargas cortantes Figura 36 Cargas cortantes Percebam que cargas cortantes não são sempre as cargas verticais A característica de um esforço cortante como dito anteriormente é ser perpendicular ao maior eixo da estrutura Assim temos a carga de 40 kN sendo cortante à barra 1 e a mesma carga é normal à barra 2 Da mesma forma a carga de 20 kN é cortante à barra 2 e normal à barra 1 Estas duas primeiras cargas também influenciam em termos de cortante e normal a barra 3 A explicação segue a mesma linha de raciocínio da carga de 15 kN P á g i n a 54 Observe que este carregamento de 15 kN não se encontra na direção de nenhum dos eixos da barra 3 sendo considerada uma força oblíqua Como vocês viram em física 1 cargas oblíquas possuem componentes nos dois eixos x e y Assim a componente x da carga de 15 kN atua como esforço normal na barra 3 e a componente y como cortante Agora falaremos novamente de um dos objetivos principais desta aula saber o que é um DEQ e para que ele sirva Os DEQs são resultados dos efeitos de cargas cortantes capazes de gerar cisalhamento em elementos nos quais elas atuam Mas o que significa a nível estrutural do material a tendência de cisalhamento Sabemos que todo corpo é formado por moléculas as quais formam planos ou camada de material Quando temos uma força cortante atuando na estrutura ela tente a deslocar estes planos fazendoos deslizar um em relação ao outro Isso é o cisalhamento Não entendeu Tente observar a figura abaixo Figura 37 Cisalhamento P á g i n a 55 Este deslizamento entre os planos tende a levar a estrutura à ruptura por corte caso não sejam devidamente contidos Por isso estas informações são de extrema importância no processo de dimensionamento estrutural de peças que trabalham sob efeito de cargas cortantes sendo necessário o conhecimento do maior valor de solicitação para o dimensionamento correto da estrutura em questão São exemplos de peças que trabalham sob efeito de tensões cisalhantes VIGAS é um elemento estrutural sujeito a cargas transversais A viga é geralmente usada no sistema lajeviga pilar para transferir os esforços verticais recebidos da laje para o pilar ou para transmitir uma carga concentrada caso sirva de apoio a um pilar As vigas podem ser feitas de diversos tipos de materiais os mais comuns são concreto aço e madeira Possuem também diversos formatos escolhidos de acordo com o tipo de desempenho requerido pelas solicitações Veja abaixo exemplos de vigas inseridas em sistemas estruturais Figura 38 Vigas Fonte Adaptado de FREEPIK REPRESENTAÇÕES PAISAGISMO 2017 P á g i n a 56 LAJES Laje é o elemento estrutural de uma edificação responsável por transmitir as ações de peso e pressão para as vigas e destas para os pilares Trabalham sob efeito de cisalhamento entre outros que serão abordados ao longo do curso de engenharia São feitas geralmente de concreto armado e podem ser maciças ou prémoldadas Existem inúmeros tipos de laje visto que a engenharia busca sempre as melhores soluções para utilização de seus elementos estruturais Veja a seguir alguns exemplos Figura 39 Lajes Fonte Adaptado de ROSSI CELPROM 2017 BARRAGENS Uma barragem açude ou represa é uma barreira artificial feita em cursos de água para a retenção de grandes quantidades de água A sua utilização é sobretudo para os abastecimentos de água zonas residenciais agrícolas industriais produção de energia elétrica energia hidráulica ou regularização de um caudal A principal solicitação atuante em uma barragem é a força da água atuando perpendicularmente à parede de contenção como mostra a figura abaixo P á g i n a 57 Figura 310 Barragens Fonte Adaptado de AZEVEDO 2017 33 Diagrama de Momento Fletor DMF Conhecidos os esforços normais e cortantes partiremos para o último mas não menos importante DMF Primeiramente como de costume vamos entender o que é o momento fletor O momento fletor é um esforço que tende a curvar uma viga por exemplo Em uma mesa qualquer em repouso quando se é colocado um peso no centro este tende a forçar uma rotação e portanto uma curvatura no centro como uma régua curvada P á g i n a 58 Veja o primeiro exemplo na figura a seguir Figura 311 Viga fletida Fonte FLETIDA 2017 O primeiro detalhe que podemos observar neste esforço é a natureza das cargas que geram momento Percebam que só temos forças cortantes aplicadas Mas por quê É fácil entender o motivo Forças normais não geram momento fletor pois são incapazes de criar esta tendência de giro na estrutura Assim o momento fletor é dependente diretamente do cortante e esta dependência será abordada de maneira matemática na próxima aula Observem também que ao fletir um elemento este momento provoca esforços de tração nas fibras externas e compressão nas internas como podemos observar na figura abaixo P á g i n a 59 Figura 312 Trecho sob efeitos de tração e compressão Fonte MOTA 2017 Podemos observar que o trecho AB foi comprimido e AB foi tracionado Ocorrem também tensões intermediárias de cisalhamento ao longo da seção transversal da peça Vocês verão mais sobre essas tensões em outra disciplina resistência dos materiais Por enquanto vamos nos ater somente ao momento fletor e qual a importância dele no dimensionamento estrutural Resumindo o momento fletor mostra qual é a tendência de deformação da estrutura É importante não confundir deformação com giro Pensem assim a deformação e o giro não correrão simultaneamente Se houver liberdade de movimento uma força cortante irá provocar um giro e se houver impedimento ao movimento esta mesma força irá gerar deformação ou seja momento O DMF é de extrema importância na engenharia estrutural e sua análise correta permite que os elementos sejam dimensionados de acordo com as solicitações de flexão evitando desperdício de material e colapso da estrutura Os elementos que são solicitados por esforços cortantes por consequência são contemplados com momento fletor também Assim veremos mais alguns exemplos práticos nas figuras a seguir relacionados a momento fletor mostrando a deformação causada por esse esforço e até mesmo ruptura em elementos mal dimensionados P á g i n a 60 Figura 313 Esforço cortante Fonte GIL 2017 Carga cortante gerando momento na estrutura Figura 314 Carregamento transversal Fonte PILASTRO 2017 Fissuras geradas na parte tracionada por atuação de momento fletor P á g i n a 61 Figura 315 Fissuras geradas Fonte CIVIL 2017 Resumo Nesta aula abordamos O que são diagramas de esforços solicitantes Para que serva cada um dos DESs Quais as cargas responsáveis por cada tipo de esforço Complementar Veja no material complementar a resolução de exercício no papel milimetrado Referências Bibliográficas Básica AZEVEDO D et al Geologia de Barragens Universidade Politécnica de Pernambuco Recife 2011 GORFIN BERNARDO OLIVEIRA MYRIAN MARQUES DE Estruturas Isostáticas Rio de Janeiro Livros Técnicos e Científicos Editora SA 1975 MACHADO JÚNIOR E F Introdução à Isostática EESCUSP Projeto REENGE São Carlos 1999 Complementar BOLONHA Rafael de Oliveira Estrutura de concreto x estrutura metálica vantagens e desvantagens Disponível em httpblogconstruirarqbrestrutura concretoxestruturametalicavantagensdesvantagens Acesso em 10 set 2017 CELPROM Steel deck Polydeck Disponível em httpwwwcelpromcombrobrassteeldeckpolydeck Acesso em 10 set 2017 CIVIL Blog da Engenharia Trincas e fissuras Disponível em httpsblogdaengenhariacivilwordpresscom20150126trincasefissuras Aces so em 10 set 2017 FINESTRA WEB Arco GELINSKI Gilmara Proteção acústica em zona ae roportuária Disponível emhttpsarcowebcombrfinestraarquiteturafarkasvolgyi arquiteturaconcessionariatorkbrasilia Acesso em 10 set 2017 FLETIDA Viga Viga fletida Disponível em httpsqphecquoracdnnetmainqimg dd5429ae896558b07fdda2b791a828b6webp Acesso em 10 set 2017 FREEPIK Vigas Disponível em httpsbrfreepikcomfotosvetores gratisvigas Acesso em 10 set 2017 GIL Sophia Câmara Tensões e deformações em peças mecânicas Dis ponível em httpslideplayercombrslide11423327 Acesso em 10 set 2017 MOTA Lauro Deformações na Flexão e Torção PAISAGISMO Decoração de Interiores e Colunas e vigas aparentes Dis ponível em httpdecoracaodeinterioresepaisagismoblogspotcombr201601colunasevigas aparenteshtml Acesso em 10 set 2017 PILASTRO Concreto préfabricado Disponível em httppilastroweeblycomblog Acesso em 10 set 2017 REPRESENTAÇÕES Gerez Madeira Maçaranduba Vigas Disponível em httpsprodutomercadolivrecombrMLB717772849madeiramacaranduba vigasdeckcolunasescorasetabuasJM Acesso em 10 set 2017 ROSSI Fabrício Alguns Tipos de Lajes Passo a Passo Disponível em httppedreiraocombralgunstiposdelajespassoapasso Acesso em 10 set 2017 SÜSSEKIND J C Curso de Análise Estrutural vol 1 Estruturas Isostáti cas Editora Globo Porto Alegre 1984 AULA 3 Exercícios Faça uma pesquisa sobre os tipos de forças que atuam em elementos estruturais identificando quais geram esforços normais cortantes e momento fletor Siga o exemplo a seguir Figura 316 Forças que atuam em elementos estruturais Fonte BOLONHA 2017 Analisando a edificação acima podemos perceber que as colunas representadas pelo número 2 estão apoiadas nas colunas numeradas de 3 gerando uma compressão nesses elementos Portanto as colunas 2 são cargas normais em relação às colunas 3 No entanto estes elementos atuam de maneira perpendicular à viga 1 gerando uma tendência de corte na mesma Assim em relação ao elemento 1 as forças representadas pelo número 2 são esforços cortantes Diagramas de Esforços Solicitantes Parte II Aula 4 APRESENTAÇÃO DA AULA Agora que você já sabe o que são os diagramas de esforços solicitantes e para que eles servem vamos aprender como traçar estes diagramas OBJETIVOS DA AULA Esperamos que após o estudo do conteúdo desta aula você seja capaz de Determinar as ações que influenciam em cada DESs Determinar as reações que influenciam os DESs Calcular os DESs Traçar os DESs P á g i n a 68 4 DIAGRAMAS DE ESFORÇOS SOLICITANTES PARTE II 41 Conceitos Iniciais Observe a figura abaixo Figura 41 Viga biengastada Vamos refletir sobre uma situação Se o valor da carga aplicada nesta viga sofresse um aumento contínuo onde você acha que a estrutura irá se romper ou seja aonde a viga irá se quebrar Para refletir P á g i n a 69 Pela lógica imaginando a situação você deve ter pensado Bem perto do apoio de terceiro gênero ou seja do engaste Esta resposta parece correta mas volto a questionar Porque você acha que a ruptura se dará próxima ao apoio Porque não em outro ponto da viga como por exemplo a extremidade onde a carga está sendo aplicada Pode ser que você tenha pensado na seguinte resposta provavelmente porque os maiores esforços da viga estão atuando no ponto mais próximo ao engaste Provavelmente sim Mas tudo deve ser muito bem explicado para que possa me convencer Então me responda mais uma questão Por que você acha que os maiores esforços nesta viga se darão junto ao engastamento Provavelmente esteja ficando difícil de explicar melhor um fato que a princípio por intuição lhe pareceu muito claro que a viga deverá se romper junto ao engastamento porque é nesta região que ela estará sujeita aos maiores esforços Posso lhe afirmas que todas as respostas anteriores estão corretas No entanto nesta aula vamos entender o porquê As propriedades de resistência dos materiais afirmam que se aumentarmos continuamente a carga aplicada na viga da Figura apresentada no início desta aula ela deverá se romper junto ao engastamento pois NESTE PONTO OCORRE O MAIOR VALOR DE MOMENTO FLETOR NA VIGA o que garante que este é o ponto com a maior intensidade de esforços Quando temos estruturas formadas por barras o ponto mais crítico de tensões que podem levar a estrutura ao colapso é onde ocorre a combinação mais desfavorável de esforços solicitantes ATENÇÃO P á g i n a 70 Neste ponto se encontram as maiores tensões do elemento Assim um dos objetivos do engenheiro civil é saber se se uma estrutura que se pretende projetar resistirá ou não ao carregamento ao qual será exposta Para isso devemos determinar sua seção mais solicitada pela combinação mencionada acima bem como as tensões que irão atuar nos pontos desta seção e comparálas com as tensões limites do material que a constitui Desta forma com esta comparação podemos verificar se a estrutura proposta será ou não capaz de resistir às cargas previstas Estes fatos revelam a importância de sabermos analisar e executar corretamente os DESs pois a determinação da seção crítica de uma estrutura formada por barras se faz por meio destes Para executar os DESs existem várias técnicas no entanto veremos nesta aula as duas mais utilizadas e mais práticas Faremos assim serão apresentadas as formas de se desenhar e calcular os três principais DESs primeiramente pelo método intuitivo e posteriormente pelo método das seções Vamos começar Tomemos uma viga isostática biapoiada para ilustrar nossa explicação ATENÇÃO P á g i n a 71 Figura 42 Viga isostática biapoiada Para determinar as solicitações devemos inicialmente aplicar as equações de equilíbrio para calcular as reações de apoio Assim temos Figura 43 Reações de apoio Lembrese de que as reações de apoio são responsáveis por equilibrar a estrutura elas deverão ser capazes de suportar todas as cargas que atuam na direção de seus vínculos Assim neste exemplo onde temos somente uma reação horizontal o HA deve ter exatamente o valor de todas as solicitações horizontais da estrutura atuando em sentido contrário a estas forças para garantir o equilíbrio estático Desta forma tudo que está agindo da horizontal pra direita deve ser equilibrado pelas forças que agem na mesma direção porém para a esquerda 𝐹𝑥 0 HA 15 kN P á g i n a 72 Este valor de 15 kN encontrado na equação de equilíbrio horizontal garante que a estrutura não irá sofrer um translado visto que temos um vínculo de 2º gênero que garante esta estabilidade O mesmo ocorre quando aplicamos a equação de equilíbrio vertical temos duas reações que são responsáveis por suportar todas as cargas verticais ou seja tudo que está agindo na vertical para baixo será combatido pelo que age na mesma direção para cima 𝐹𝑦 0 VA VB 20 kN No entanto temos duas incógnitas nesta segunda equação nos mostrando que as duas reações irão em conjunto suportar a carga externa de 20 kN Porém não sabemos com qual valor de suporte cada uma das duas vai colaborar para gerar este equilíbrio Sendo assim necessitamos de mais uma equação de equilíbrio para descobrir os valores independentes das reações verticais a equação do momento fletor Esta equação faz a combinação de todos os esforços capazes de gerar momento fletor na estrutura e pondera os valores das reações necessárias para combatêlo fazendo com que o SOMATÓRIO DO MOMENTO FLETOR EM TODOS OS PONTOS DA ESTRUTURA SEJA SEMPRE NULO Mas não se engane O que as reações fazem é trabalhar de forma que todo momento existente em um ponto da estrutura seja igual quando analisado em relação às cargas atuantes antes do ponto e depois do ponto Isso garante que O VALOR DO MOMENTO EM TODOS OS PONTOS DA ESTRUTURA NÃO É NECESSARIAMENTE NULO analisando antes ou depois do ponto somente o somatório dos momentos analisando a estrutura inteira antes e depois do ponto deve zerar Assim vamos buscar o valor de VA e VB pela terceira e última equação de equilíbrio Como dito acima o somatório dos momentos em qualquer ponto da estrutura deve ser nulo para garantir o equilíbrio Por isso podemos arbitrar um sentido como P á g i n a 73 positivo SOMENTE PARA APLICAÇÃO DA EQUAÇÃO DE EQUILÍBRIO horário ou antihorário sem o menor problema da forma que você se adaptar melhor Aqui usaremos o sentido horário como positivo Escolhemos o apoio A como referência para buscarmos o valor de VB Assim todo momento gerado pelas cargas à direita do ponto A deve ser igual ao momento das cargas atuantes à esquerda de A No entanto A é uma extremidade o que nos leva à conclusão óbvia que não existem cargas capazes de gerar momento antes do ponto A Por esse motivo o momento em A é igual a zero 𝑀𝐴 0 205 VB9 0 VB 1111 kN Encontrando o valor de VB voltamos na segunda equação de equilíbrio que diz que as reações verticais somadas devem valer 20 kN e descobrimos o valor de VA 𝐹𝑦 0 VA VB 20kN VA 889 kN Assim temos todas as reações necessárias e suficientes para garantir o equilíbrio da estrutura em 3 aspectos distintos As reações verticais garantem que a estrutura não sofrerá translado vertical e nem será girada em relação a qualquer ponto analisado Com as reações calculadas podemos começar a traçar os diagramas de esforços solicitantes P á g i n a 74 42 DEN Vimos que esforços normais são gerados por cargas que atuam no sentido do eixo longitudinal da estrutura Assim neste caso temos como cargas geradoras de esforços normais somente a reação de apoio HA e a solicitação externa de 15 kN Intuitivamente vamos tentar perceber os que estas cargas estão gerando na estrutura Figura 44 Esforços normais Fica fácil observar que este par de forças normais está comprimindo a viga certo Mas com qual valor Os esforços de tração e compressão só existem referentes à parcela de carga igual que atuam em sentidos contrários Assim a compressão neste caso existe e tem valor de 15 kN Por convenção a compressão é considerada uma solicitação negativa e é representada graficamente abaixo da linha da estrutura Podemos observar também que não existem esforços normais ao longo da estrutura capazes de modificar este valor de compressão o que nos leva a perceber que todo o elemento está sendo comprimido uniformemente com a carga de 15 kN Desta forma nosso DEN fica assim ATENÇÃO P á g i n a 75 Figura 45 DEN Bom esta foi à maneira lógica e intuitiva de se traçar um DEN Agora vamos fazer o mesmo diagrama pelo método das seções Para você entender o método das seções vamos conceituar este processo rapidamente Este método considera uma barra de comprimento qualquer neste caso da nossa viga analisada em equilíbrio sob ação das cargas e reações de apoio Esta barra é desmembrada por uma seção S em duas partes a da esquerda E e a da direita D A figura 40 abaixo mostra os esforços normais que surgem na seção de corte em ambos os trechos saindo da viga Este sentido tem por convenção o sinal positivo e indica a tração do elemento analisado Assim observando a figura da esquerda os esforços normais na seção S são gerados por todo carregamento atuante antes da seção ou seja à esquerda do ponto analisado Com o mesmo raciocínio do parágrafo acima uma força situada na extremidade esquerda da primeira figura para ser positiva deverá estar saindo da viga ou seja da direita para a esquerda A mesma coisa acontece na figura da direita onde as cargas que geram esforço normal da seção S se encontram depois do ponto portanto na extremidade da direita da segunda figura a força deverá estar no sentido esquerdodireita saindo da viga P á g i n a 76 Figura 46 Esforços normais que surgem na seção de corte em ambos os trechos Vejamos agora essa aplicação no nosso exemplo Primeiramente iremos fazer um corte em algum ponto no meio da viga escolhido de acordo com o trecho que desejamos analisar Figura 47 Seção A partir deste corte separamos a seção da esquerda e vamos analisar o valor do esforço normal no ponto escolhido usando a convenção mencionada anteriormente Figura 48 Trecho à esquerda da seção P á g i n a 77 Assim temos como somatório dos esforços normais analisados antes do ponto como N 15 kN ou seja compressão de 15 kN É aconselhável sempre colocar o esforço na seção no sentido positivo para que ao analisar as cargas antes ou após a seção o valor já saia com o sinal correto Analisando agora a outra metade da viga ou seja a estrutura e as cargas após a seção têm Figura 49 Trecho à direita da seção N 15 kN ou seja compressão de 15kN no ponto analisado Só para relembrar N ficou com sinal positivo em ambos os casos pois está saindo da seção da mesma forma que os 15 kN ficaram negativos por estarem entrando no elemento analisado Analisando a seção pelos dois lados obtivemos o mesmo valor e mesmo sinal Coincidência Não Todo esforço analisado pelo método das seções na mesma seção visto pela esquerda ou pela direita SEMPRE TERÁ O MESMO VALOR E SINAL Assim concluímos que a viga está sendo comprimida com um esforço normal de 15 kN chegando ao mesmo resultado de gráfico apresentado anteriormente ATENÇÃO P á g i n a 78 Figura 410 DEN 43 DEQ Seguindo o mesmo princípio faremos o DEQ utilizando o processo intuitivo e posteriormente utilizando o método das seções Vamos analisar então os esforços cortantes do nosso elemento estrutural e desconsiderar os normais já que não influenciam neste DES Figura 411 Esforços cortantes O processo intuitivo segue a ideia do objetivo do DES Neste caso a tendência de corte ou cisalhamento em cada ponto da estrutura Assim começaremos sempre da esquerda para a direita seguindo o sentido da carga cortante e marcando a influência do mesmo em termos de valor Assim com os valores das reações teremos P á g i n a 79 Figura 412 Reações de apoio Começando pela esquerda o primeiro ponto que apresenta cortante é o apoio a com uma carga concentrada pontual tendendo a cortar o ponto para cima com valor de 889 kN assim Figura 413 Determinação do DEQ Você pode perceber que o próximo esforço cortante atuante é na carga pontual de 20 kN e entre VA e a carga de 20 kN não existe nenhum carregamento capaz de modificar o valor inicial de 889 kN ou seja nada que impeça ou acrescente carga ao o cortante de 889 kN até o próximo ponto Assim entre estas duas cargas o valor do cortante se mantém constante até encontrar alguma carga capaz de modificála como você pode observar na figura 48 abaixo P á g i n a 80 Figura 414 Determinação do DEQ Ao chegar à carga de 20 kN o cortante que atuava par cima com valor de 889 kN se depara com um carregamento inverso o que reduz o cisalhamento naquele ponto Então esta carga de 20 kN retira todo corte que atuava para cima com 889 kN e ainda aplica o restante de carga para baixo com o valor da diferença entre eles Desta forma temos no ponto onde se localiza a carga de 20 kN um cortante total de 20 889 1111 kN para baixo como você pode observar na figura 49 abaixo Figura 415 Determinação do DEQ O próximo e último ponto que contém um esforço cortante se trada do segundo apoio o ponto B Perceba que como ocorreu no primeiro trecho entre VA e 20 kN o cortante se manteve constante O mesmo princípio mantém o cortante constante entre a carga de 20 kN e VB P á g i n a 81 Chegando ao ponto B com uma tendência de cisalhamento de 1111 kN para baixo temos a reação de apoio VB com o valor de 1111 kN no sentido contrário do cortante que chega o que nos leva a um valor final igual a zero Figura 416 DEQ Assim finalizamos o DEQ mostrando a tendência de cisalhamento em todos os pontos da estrutura analisada com seus valores intermediários e máximos Uma estrutura equilibrada SEMPRE FECHARÁ O GRÁFICO DE CORTANTE EM ZERO Isso garante que todas as ações estão sendo combatidas pelas reações ou seja não ocorre translado vertical no elemento Agora faremos a mesma análise utilizando o método das seções e para começar vamos aprender a convenção de cortante positivo utilizando este processo Analisando a seção após a estrutura ou seja da direita para a esquerda olhando para trás temos cortante positivo na seção quando apontado para baixo Quando observamos da seção olhando para a estrutura à frente temos cortante positivo na seção apontando para cima Em relação aos esforços atuantes que irão gerar o cortante em cada seção analisada a convenção é a seguinte Olhando do ponto escolhido para esquerda se a força estiver apontando para cima o valor é positivo Da mesma forma olhando para a direita se a força estiver apontando para baixo será considerada positiva P á g i n a 82 Figura 417 Análise utilizando o método das seções Agora podemos aplicar na nossa viga que como vimos anteriormente possui três cargas cortantes Assim faremos uma seção com comprimento x variável após cada carga e analisaremos o valor do cortante em cada uma delas Desta forma nossa estrutura apresenta duas seções a serem analisadas Você pode escolher sempre o lado mais simples para fazer a análise olhando tudo antes ou tudo após a seção Como estamos apresentando este método pela primeira vez faremos dos dois modos olhando para ambos os lados para demonstrar como é feito e provar que independente da análise que você faça o cortante em um ponto sempre vai dar igual Figura 418 Escolha das seções Começaremos pela seção 1 S1 analisando pela esquerda ou seja olhando para trás da seção P á g i n a 83 Figura 419 Seção 1 S1 Observe que temos uma carga subindo ou seja positiva de 889 kN Assim o valor do cortante na seção S1 é Q 889 kN Assim para todos os pontos entre o início da viga L 0 e a seção marcada L x o cortante tem valor positivo de 889 kN Figura 420 Trecho à esquerda da seção S1 Fazendo o cortante no mesmo ponto porém olhando para a estrutura depois da seção teremos P á g i n a 84 Figura 421 Trecho à direita da seção S1 Cargas cortantes atuantes olhando pela direita depois da seção são positivas quando voltadas para baixo e negativas quando voltadas para cima Assim Q 1111 20 889 kN Para a segunda seção S2 temos Figura 422 Trecho à esquerda da seção S2 Notem que já temos o valor de cortante do trecho L 0 a L 5 m Agora faremos o cortante no trecho L 5 a L 5 x Assim Q 889 20 1111 kN Se fizermos pelo outro lado iremos encontrar o seguinte resultado P á g i n a 85 Figura 423 Trecho à direita da seção S2 Q 1111 kN Finalizando temos o último ponto o apoio B Analisando tudo antes de B temos Figura 424 Trecho anterior ao apoio B Q 889 20 1111 0 Ou seja cortante zero no apoio significa estrutura equilibrada Com isso definimos as formas mais usuais de se traçar um DEQ P á g i n a 86 Figura 425 DEQ 44 DMF Por fim faremos o DMF DA ESTRUTURA SEGUINDO OS DOIS MÉTODOS Para o método intuitivo devemos saber que o momento é a tendência de deformação da estrutura sendo o diagrama desenhado para cima da viga quando negativo ou seja quando a deformação for para cima e positivo quando a tendência de deformação for para baixo Complementando a informação você deve perceber para facilitar a orientação do momento qual parte da estrutura está sendo tracionada e qual será comprimida sob ação do momento Figura 426 Esforços de tração e compressão Resumindo se o giro de momento estiver subindo pela esquerda p pela direita o momento será positivo P á g i n a 87 Caso esteja descendo por ambos os lados como podem observar acima será negativo O formato do gráfico vem do processo de integração que será explicado no método das seções mas aqui por intuição temos as formas definidas assim de acordo com as deformações causadas pelas cargas Se a carga for pontual o cortante é uma reta constante e o momento uma reta inclinada que é a curva de uma constante integrada Figura 427 Relação entre os esforços Se a carga for uniformemente distribuída uma reta constante o cortante será uma reta inclinada integral de uma constante e o momento uma parábola integral de uma reta inclinada P á g i n a 88 Figura 428 Relação entre os esforços Se a carga for uma carga não uniformemente distribuída reta inclinada o cortante será uma parábola integral da reta inclinada e o momento uma curva do terceiro grau integral da parábola Figura 429 Relação entre os esforços Os valores de momentos máximos de cada carregamento são tabelados e podem ser retirados da tabela que se encontram em anexo no final do caderno P á g i n a 89 Agora vamos aplicar esses conhecimentos na confecção do DMF da nossa viga exemplo Consideramos somente as cargas capazes de gerar momento na estrutura ou seja as cortantes Assim Figura 430 Viga biapoiada O próximo passo é determinar quais os pontos nos quais o momento deve ser determinado os chamados pontos críticos de diagramas Estes pontos são escolhidos pela capacidade que eles possuem de modificar a transmissão do esforço Assim temos como exemplos de pontos críticos Apoios Cargas concentradas Rótulas Início ou fim de carregamento Extremidades da estrutura Nós Encontro de barras Neste caso temos 3 pontos críticos identificados os apoios A e B e a carga concentrada de 20 kN P á g i n a 90 Figura 431 Pontos críticos Agora iremos calcular o momento em cada um dos pontos escolhidos sempre olhando para o lado mais simples antes ou depois do ponto Assim no ponto A olhando tudo que se encontra antes do ponto esquerda percebemos que não existem cargas capazes de gerar momento neste apoio o que nos garante que o momento em A 0 O próximo ponto é o C que poderá ser analisado também tanto pela esquerda quanto pela direita lembrando que se a tendência de giro subir por qualquer lado o momento é positivo Figura 432 Análise dos trechos Se analisarmos todas as cargas capazes de gerar momento antes do ponto C teremos P á g i n a 91 Figura 433 Tendência de giro da força em relação ao ponto C MCesquerda 889 5 4444 kNm Analisando o mesmo ponto pela direita teremos Figura 434 Tendência de giro da força em relação ao ponto C MCdireita 1111 4 4444 kNm Próximo ponto seria o apoio B que segue a mesma linha de raciocínio do apoio A Se analisarmos o ponto B pela direita não temos nenhuma carga gerando momento neste apoio o que nos garante momento em B 0 P á g i n a 92 Se quisermos fazer pela esquerda para conferir as reações é só utilizar todas as cargas atuantes em relação a B Assim teremos Figura 435 Análise do momento no ponto B MCesquerda 889 9 20 4 0 Assim como todos os valores calculados podemos desenhar nosso DMF Faremos da seguinte maneira primeiro marcaremos os valores encontrados e depois ligaremos os pontos de acordo com a natureza das cargas ou do DEQ Lembrando que o momento positivo é marcado abaixo da linha da estrutura e o negativo acima Figura 436 Marcação do momento Após a marcação é só ligar os pontos de acordo com as cargas cargas pontuais geram DMF em formato de reta inclinada Assim P á g i n a 93 Figura 437 DMF Notem que se aplicarmos a fórmula da tabela de momentos encontraríamos o mesmo valor de momento Figura 438 Valor de momento máximo Fonte MOLLÁ 2017 MC 20 5 4 9 4444 kNm Agora aplicando o método das seções faremos o mesmo DMF Outra informação extremamente importante que você deve ter é que o MOMENTO FLETOR É MATEMATICAMENTE A INTEGRAL DO ESFORÇO CORTANTE Ou seja você pode aplicar o método das seções diretamente pela estrutura com as cargas ou pode partir do cortante obtido em cada seção e fazer o processo de integração em função do comprimento x de cada seção P á g i n a 94 Primeiramente vamos entender qual a convenção de momento positivo na seção Figura 439 Convenção de momento Assim utilizaremos o mesmo critério do cortante para determinar os valores do momento no método das seções Pegaremos a primeira seção S1 e faremos o momento no corte escolhido Figura 440 Escolha das seções Assim temos para a seção S1 olhando para trás do ponto P á g i n a 95 Figura 441 Seção S1 M 889x para x 0 a x 5 m Ou analisando pelo cortante da seção 1 M 𝑄 𝑑𝑥 889 𝑑𝑥 889𝑥 Na seção 2 temos olhando pela esquerda para trás Figura 442 Seção S2 M 889x 20x 5 M 889x 20x 100 M 1111x 100 para x 5 a x 9 Utilizando a integral do cortante teremos P á g i n a 96 Figura 443 Seção S2 M 𝑄 𝑑𝑥 1111 𝑑𝑥 1111𝑥 para x 0 a x 4 É importante perceber que o ponto zero de cada seção e sempre o que contém a força mais distante do corte Da mesma forma o x máximo de cada seção é a distância do ponto crítico antes da seção até o próximo ponto crítico Tendo em mãos as funções podemos traçar o DMF substituindo os valores das distâncias pretendidas no diagrama Temos para a seção x 0 a x 5 m M 889x Para x 5 a x 9 M 1111x 100 Assim ATENÇÃO P á g i n a 97 Tabela 2 Valores de x e Valores de momento Valores de x Valores de momento X 0 889 0 0 X 5 m 889 5 4444 kN X 9 m 1111 9 100 0 Todas as funções que definem os trechos de momento são do primeiro grau assim todo o diagrama será composto por retas inclinadas Figura 444 DMF Agora é com você Pratique a confecção dos DESs para carregamentos simples para se preparar para a próxima aula onde veremos tipos diversos de carregamentos em vigas isostáticas Resumo Nesta aula abordamos Método das seções DEN e suas particularidades DEQ e suas particularidades DMF e suas particularidades Complementar Leitura Complementar httpredentorbv3digitalpagescombruserspublications9788576058151p ages11 Caderno De Mecânica Aplicada UniRedentor Referências Bibliográficas Básica MACHADO JÚNIOR E F Introdução à Isostática EESCUSP Projeto REENGE São Carlos 1999 MOLLÁ Universitat Politècnica de València Viga apoyada distintas hipotesis de carga Disponível em httppersonalesupvesfbardisapdfformulariovigaspdf Acesso em 10 set 2017 GORFIN BERNARDO OLIVEIRA MYRIAN MARQUES DE Estruturas Isostáticas Rio de Janeiro Livros Técnicos e Científicos Editora SA 1975 SÜSSEKIND J C Curso de Análise Estrutural vol 1 Estruturas Isostáti cas Editora Globo Porto Alegre 1984 AULA 4 Exercícios Determinar os dess para as vigas isostáticas abaixo utilizando o método das seções e o processo intuitivo P á g i n a 102 Reações de apoio Diagramas de Esforços Normais DEN P á g i n a 103 Diagrama de Esforços Cortantes DEQ Diagrama de Momento Fletor DMF Diagramas de Esforços Solicitantes Parte III Aula 5 APRESENTAÇÃO DA AULA A nossa quinta aula vai continuar trabalhando com os DESS porém com aplicação de carregamentos distribuídos Além disso aprenderemos a determinar os valores de esforços máximos em cada estrutura OBJETIVOS DA AULA Esperamos que após o estudo do conteúdo desta aula você seja capaz de Detalhar o DEN para cargas uniformemente distribuídas Detalhar o DEQ para cargas uniformemente distribuídas Detalhar o DMF para cargas uniformemente distribuídas Determinar os pontos de máximo esforço nos DESs P á g i n a 105 5 DESS EM VIGAS ISOSTÁTICAS Agora que você já sabe o processo de confecção dos DESs vamos ver algumas aplicações e regras para cargas variadas utilizando os métodos desenvolvidos na aula 4 juntamente com a tabela apresentada na mesma Assim esta aula será composta por diferentes exemplos de vigas e cargas variando tipos de apoio contendo balanço ou não e contendo diferentes cargas Começaremos com o carregamento uniformemente distribuído determinando as reações de apoio pelas equações de equilíbrio e os DESs pelo processo intuitivo e pelo método das seções Assim seja a viga na figura abaixo exemplo 1 Figura 51 Viga exemplo 1 Notem que a estrutura é simétrica assim as reações de apoio verticais terão o mesmo valor ou seja contribuirão igualmente para suportar as cargas verticais da viga O total de carga vertical é dado pela área da figura do carregamento neste caso um retângulo assim P á g i n a 106 Figura 52 Reações verticais VA VB 106 60 kN VA 30 kN VB 30 Kn O fato de a estrutura não possuir esforços horizontais faz com que HA seja nulo Estes valores podem ser encontrados também utilizando as equações de equilíbrio sendo 𝐹𝑥 0 HA 0 𝐹𝑦 0 VA VB 106 VA VB 60 𝑀𝐴 0 1063 6VB 0 VB 30 kN VA 30 kN P á g i n a 107 Figura 53 Reações verticais Como não temos esforços normais na viga o DEN é todo constante e nulo Figura 54 DEN O DEQ seguindo o método intuitivo terá um cortante de 30 para cima no ponto A sendo combatido ao longo da viga pela carga distribuída que atua por metro da estrutura portanto de maneira proporcional reta inclinada e fecha com um cortante de 30 no ponto B Se temos uma carga de 10 kNm de estrutura a cada metro ela atua com 10 kN para baixo sua ação não é pontual o que faz sua influência de cortante sofrer uma variação suave ponto a ponto com valor total referente à área da figura do carregamento 60 kN P á g i n a 108 Figura 55 DEQ Pelo método das seções aplicando um corte em qualquer ponto entre os apoios os dois únicos pontos críticos teremos Figura 56 Escolha da seção Olhando para trás da seção Q 30 10x para x 0 a x 6 m Olhando para frente da seção ou à direita Q 10x 30 para x 0 a x 6 m Notem que a carga distribuída quando analisada até a seção não tem um valor total definido por x ser um valor variável P á g i n a 109 O total de carga descarregada em um trecho depende diretamente do valor do mesmo kNm assim sempre que houver carga distribuída no método das seções indicaremos seu valor na seção pelo valor da carga multiplicado por x Assim nosso DEQ ficaria assim Tabela 3 DEQ por seções Valores de x Esforço cortante X 0 30 100 30 kN X 6 30 106 30 kN Figura 57 DEQ Nesta etapa seja pelo método das seções ou pelo intuitivo precisaremos determinar em qual ponto do vão da viga o cortante é nulo A importância desta informação será dada na confecção do DMF Neste caso para encontrar o x para Q 0 basta utilizar a função do cortante Q 30 10x 0 30 10x X 3 m Ou pode ser feito pelo método intuitivo dividindo o valor do cortante no ponto crítico anterior ao Q0 pelo valor da carga distribuída neste caso 10kNm P á g i n a 110 Figura 58 Determinação de x Assim calcularemos o valor de x como X 3010 3 m Agora faremos o DMF Primeiramente vamos analisar quais os pontos onde o momento é nulo analisando sempre à esquerda ou à direita da estrutura São exemplos de pontos onde o momento fletor sempre será nulo por ausência de cargas capazes de tender o ponto a girar desconsiderando cargas de momento aplicadas nestes pontos Apoios simples 1 ou 2 gênero em extremidade Rótulas Extremidades das vigas Neste caso temos os dois apoios simples nas extremidades o que nos garante que MA MB O Assim teremos somente o momento nos pontos intermediários da viga gerado pela carga distribuída retangular Pela tabela exposta na aula 4 temos como valor de momento para carga retangular P á g i n a 111 Figura 59 Viga apoiada Fonte MOLLÁ 2017 M Ql²8 sendo Q o valor da carga distribuída e L o comprimento do vão em que esta carga atua Assim M 106²8 45 kNm Este valor é referente ao esforço máximo de momento gerado pelo carregamento em questão medido no centro da carga distribuída sempre acompanhando o sentido da mesma neste caso para baixo A partir deste ponto máximo faremos o desenho da parábola Figura 510 DMF Utilizando o método das seções teremos M 𝑄 𝑑𝑥 30 10𝑥 𝑑𝑥 30𝑥 5𝑥2 𝑐 para x 0 a x 6 O valor de C será sempre o ponto inicial da parábola ou seja o valor do momento no ponto crítico que dá início a esta função P á g i n a 112 Neste caso o ponto A onde M 0 Assim temos M 30x 5x² Agora calcularemos os valores dos momentos nos pontos críticos Para x 0 teremos M 30x 5x² M 300 50² 0 O valor do momento máximo é dado sempre onde o valor do cortante for nulo por isso a importância de conhecer este ponto Calculando o momento máximo x 3 m teremos M 30x 5x² M 303 53² 90 45 45 kNm Obtivemos o valor de M positivo o que indica que o ponto deve ser marcado abaixo da linha da estrutura Para x 6 m teremos M 30x 5x² M 306 56² 0 Agora já podemos desenhar o DMF que obrigatoriamente tem que ser idêntico ao atingido utilizando o método intuitivo Figura 511 DMF P á g i n a 113 Vejamos agora outro exemplo ainda com uma carga uniformemente distribuída ao longo de todo o vão porém com apoio de 3 gênero e uma estrutura em balanço Figura 512 Viga em balanço Neste caso temos somente um apoio responsável por suportar todos os esforços atuantes na estrutura Desta forma cada uma das reações de apoio terá o valor total das cargas solicitantes de sua natureza Assim Figura 513 Reações de apoio 𝐹𝑥 0 HB 0 𝐹𝑦 0 VB 106 VB 60 Kn P á g i n a 114 𝑀𝐵 0 MB 1063 0 MB 180 kNm Notem que MB deu positivo Isto não é sentido gráfico Isto significa que o sentido do momento escolhido para a reação como mostrado na figura acima está correto Porém este sentido olhando pela direita é negativo Assim MB tem valor de 180kNm no sentido negativo de acordo com a convenção gráfica de momento fletor Figura 514 Tração e compressão Nossas reações ficaram assim Figura 515 Reações de apoio ATENÇÃO P á g i n a 115 Agora vamos aos DESs Como não temos esforços normais na viga o DEN é todo constante e nulo Figura 516 DEN O DEQ seguindo o método intuitivo terá um cortante de 0 para cima no ponto A por não apresentar nenhuma carga concentrada no mesmo Mas você pode se perguntar E a carga distribuída de 10 kNm Ela não atua em A A resposta é bastante lógica Se esta carga distribui 10 kN por metro de estrutura e o ponto A é o início ou seja X 0 10 kN distribuídos por 0 metros nos dá um esforço nulo neste ponto Quando a carga avança ao próximo ponto do vão seja ele 1 mm a frente do ponto A já temos atuação da carga cortante pois já se tem valores de x diferentes de zero Desta forma a carga atua aplicando um cortante distribuído de 10 kN no sentido da mesma para baixo por 6 metros de estrutura tendo uma descida total de 60 kN sendo aplicada de maneira proporcional ao longo de toda a viga Chegando ao ponto B encontramos uma carta pontual VB de 60 kN voltada para cima o que fecha nosso DEQ em 0 Figura 517 DEQ P á g i n a 116 Pelo método das seções temos Figura 518 Escolha da seção Olhando à esquerda da seção temos Q 10x para x 0 a x 6 m Olhando à direita da seção Q 60 10x para x 0 a x 6 m Caso ainda faça confusão com os valores tomados de x observe como escolhemos o ponto zero a partir da forma que olhamos para a estrutura P á g i n a 117 Figura 519 Análise do trechos Assim temos como valores de cortante nos pontos críticos escolhidos Tabela 4 Cortante por seção Valores de x Esforço cortante X 0 100 0 kN X 6 106 60 kN Marcando os valores no DEQ obrigatoriamente devemos obter o mesmo valor pelos dois métodos P á g i n a 118 Figura 520 DEQ Agora o DMF Pela análise dos pontos onde temos certeza de M 0 encontramos somente o ponto A correspondente a uma das extremidades da viga O ponto B não possui momento nulo apesar de ser outra extremidade possui um apoio engastado de 3 gênero que possui uma reação de momento Agora vamos calcular o valor do momento no ponto B o outro ponto crítico da estrutura analisando todas as cargas antes do ponto Figura 521 Análise do ponto B MB 1063 180 kNm notem que desta forma utilizando a convenção do método intuitivo o valor do momento em qualquer ponto já sai com o sinal do gráfico Além do valor do momento na extremidade B precisamos definir o quanto a parábola vai descer ou seja o tamanho do vão vertical da parábola através da fórmula de Mmáx para carga retangular ql²8 Assim Mvão 106²8 45 kNm P á g i n a 119 Este valor será feito da mesma forma do exemplo anterior no ponto médio do vão a partir de uma linha base que liga os dois valores de momento que limitam a área de influência da carga retangular neste caso pontos A e B Figura 522 Linha base A partir de a e B faremos a parábola acompanhando o sentido do carregamento para baixo tendo seu ponto mais baixo onde foi a marcação dos 45 kNm Figura 523 Aplicação do momento máximo Desta forma temos o nosso DMF observando que a área referente ao gráfico é sempre a região contida entre a curva e a viga Pelo método das seções temos P á g i n a 120 M 𝑄 𝑑𝑥 10𝑥 𝑑𝑥 5𝑥2 𝑐 para x 0 a x 6 m Com c 0 ponto inicial da curva M 5x² para x 0 a x 6m Agora calcularemos os valores dos momentos nos pontos críticos Para x 0 teremos M 5x² M 50² 0 O valor do momento máximo é dado sempre onde o valor do cortante for nulo por isso a importância de conhecer este ponto Porém neste caso não temos valores de cortantes nulos ao longo da estrutura isso se dá porque o engaste é o único apoio responsável por suportar todos os esforços sendo ele por isso o ponto onde os máximos valores estão situados Para x 6 m teremos M 5x² M 56² 180 kNm Podemos calcular por esta função o momento em qualquer ponto da estrutura Aplicaremos assim o valor do vão x 3m para obter o valor deste esforço no meio do vão onde deve ser feita a aplicação do vão máximo vertical da parábola Para x 3 m teremos M 5x² M 53² 45 kNm Aplicando o mesmo princípio do valor do vão vertical da parábola pela fórmula ql²8 já podemos desenhar o DMF que obrigatoriamente tem que ser idêntico ao atingido utilizando o método intuitivo P á g i n a 121 Figura 524 DMF Observem que o valor no meio do vão deu igual a 45 medido da linha base para baixo ou da viga para cima Isso não é uma regra Só aconteceu neste exemplo pois a altura total da linha base no meio do vão é o ponto médio dos extremos 0 e 180 ou seja no meio do vão a altura da viga até a linha base vale 90 unidades Se descermos 45 unidades a partir de 90 teremos de sobra 45 unidades contadas a partir da viga É somente por este motivo que os valores foram iguais Vamos praticar Resolvam os exercícios propostos para carregamentos distribuídos em vigas isostáticas e se preparem para a próxima aula onde trataremos de cargas triangulares em uma estrutura EXERCÍCIOS Resumo Nesta aula abordamos Diagrama de Esforços Solicitantes em vigas isostáticas Cálculo de esforços máximos em vigas isostáticas Complementar Assistam ao vídeo 05 da disciplina de Sistemas Isostáticos Leitura complementar httpredentorbv3digitalpagescombruserspublications9788576058151pages11 Caderno De Mecânica Aplicada UniRedentor Referências Bibliográficas Básica MACHADO JÚNIOR E F Introdução à Isostática EESCUSP Projeto REENGE São Carlos 1999 GORFIN BERNARDO OLIVEIRA MYRIAN MARQUES DE Estruturas Isostáticas Rio de Janeiro Livros Técnicos e Científicos Editora SA 1975 SÜSSEKIND J C Curso de Análise Estrutural vol 1 Estruturas Isostáti cas Editora Globo Porto Alegre 1984 AULA 5 Exercícios Determinar as reações de apoio e os dess para as vigas isostáticas utilizando o método intuitivo e o método das seções bem como os valores de esforços máximos P á g i n a 126 RESPOSTAS REAÇÕES DE APOIO DEN NENHUMA DAS VIGAS POSSUI DEQ P á g i n a 127 DFM Diagramas de Esforços Solicitantes Parte IV Aula 6 APRESENTAÇÃO DA AULA Nesta aula você vai aprender a calcular os DESs de cargas triangulares e de cargas variadas com o objetivo de ter a noção completa sobre vigas isostáticas OBJETIVOS DA AULA Esperamos que após o estudo do conteúdo desta aula você seja capaz de Montar os Diagramas de Esforços Solicitantes para carregamentos distribuídos não uniformes Compreender os Diagramas de Esforços Solicitantes para carregamentos distribuídos não uniformes Determinar os esforços máximos para vigas com carregamentos distribuídos não uniformes Montar os Diagramas de Esforços Solicitantes para vigas com carregamentos variados Compreender os Diagramas de Esforços Solicitantes para vigas com carregamentos variados Determinar os esforços máximos para vigas com carregamentos variados P á g i n a 129 6 DIAGRAMAS DE ESFORÇOS SOLICITANTES PARA CARGAS VARIADAS 61 Carregamento distribuído não uniforme Existem vários tipos de carregamentos distribuídos não uniformes porém o mais comum é o triangular o qual abordará nesta primeira parte da aula Um carregamento distribuído triangular pode ter dois formatos começando com a carga nula e terminando no ponto máximo ou viceversa e começando de um valor menor diferente de zero e terminando em um maior ou viceversa Veja exemplo dos casos citados acima na figura abaixo Tipos de carregamento Figura 61 Cargas triangulares Na verdade cargas triangulares ou cargas trapezoidais são tratadas da mesma forma pois o trapézio nada mais é do que um triângulo sobre um retângulo O que faz diferença no nosso cálculo é a inclinação do carregamento Vamos ver um exemplo de aplicação de carga triangular em uma viga isostática e a confecção dos DESs da mesma P á g i n a 130 Seja a viga isostática abaixo Carga triangular Figura 62 Carregamento triangular Primeiramente faremos o cálculo das reações de apoios VA e VB já que não temos esforço normal nesta situação Aplicaremos as equações de equilíbrio e seguiremos os mesmos passos já conhecidos por você reações de apoio Figura 63 Exemplo de aplicação 𝐹𝑥 0 HA 0 P á g i n a 131 𝐹𝑦 0 VA VB 3042 VA VB 60 kN 𝑀𝐴 0 304243 4VB 0 VB 20 kN VA 40 kN Como não temos esforços normais na viga o DEN é todo constante e nulo Figura 64 DEN O DEQ seguindo o método intuitivo terá um cortante de 40 para cima no ponto A sendo combatido ao longo da viga pela carga distribuída VARIADA que atua COM VALORES DISTINTOS por metro da estrutura portanto de maneira NÃO PROPORCIONAL parábola e fecha com um cortante de 20 no ponto B Se temos uma carga de 30 kNm como ponto mais alto da carga triangular e zero no ponto mais baixo ao longo de 4m de estrutura temos um cortante total referente à área da figura do carregamento 60kN Para cálculo do x onde o cortante é zero basta aplicarmos a fórmula 𝑥 𝐿 3 𝑠𝑒 𝑎 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑐𝑜𝑚𝑒ç𝑎𝑟 𝑑𝑜 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑜 𝑒 𝑐𝑟𝑒𝑠𝑐𝑒𝑟 𝑥 𝐿 𝐿 3 𝑠𝑒 𝑎 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑐𝑜𝑚𝑒ç𝑎𝑟 𝑑𝑜 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑜 𝑒 𝑑𝑒𝑐𝑟𝑒𝑠𝑐𝑒𝑟 No nosso caso utilizaremos a segunda fórmula P á g i n a 132 Assim 𝑥 4 4 3 1690 𝑚 Assim temos o nosso DEQ Figura 65 DEQ Uma coisa importante a ser abordada é para que sentido a parábola fique voltada Neste caso temos uma parábola com concavidade positiva Isto acontece sempre que a carga triangular começar do esforço máximo e acabar no mínimo ou seja a reta em declive Caso a carga comece do ponto mínimo e termine no máximo a parábola terá sua concavidade voltada para baixo negativa como você pode observar na figura abaixo P á g i n a 133 Figura 66 Tipos de DEQ Utilizando o método das seções temos Figura 67 Escolha da seção Para achála a função do cortante devemos fazer a integral da função da carga Sendo assim nosso carregamento obedece à função analise como uma reta q 30 75x este sinal negativo antes dos parênteses é devido ao sentido negativo do carregamento para baixo Q 𝑞 𝑑𝑥 75𝑥 30 𝑑𝑥 75𝑥² 2 30𝑥 𝑐 o c aqui é o valor do cortante no ponto inicial A onde x 0 portanto P á g i n a 134 Q 75𝑥² 2 30𝑥 40 para x 0 a x 4 m Assim temos os valores de cortante nos pontos críticos Tabela 5 Cortante por seção Valores de x Esforço cortante X 0 750² 2 30 0 40 40 kN X 4 754² 2 30 4 40 20 kN Para calcular o ponto onde o cortante é nulo Q 0 basta igualar a função do cortante a zero assim 75𝑥² 2 30𝑥 40 0 75𝑥² 2 30𝑥 40 𝑥 6309 𝑚 𝑥 1690 𝑚 Assim o ponto onde o cortante é zero não pode ser o primeiro valor de x encontrado pois é maior que o comprimento da viga Por isso Q 0 quando x 169 m DEQ P á g i n a 135 Figura 68 DEQ Vamos ao DMF agora que já possuímos tudo que precisamos referente ao DEQ Como nosso cortante é uma função de segundo grau o momento será uma função de terceiro grau Pelo método intuitivo sabemos que o valor do momento nas extremidades é nulo e não possuímos pontos críticos ao longo da estrutura Desta forma precisamos somente do valor do vão máximo vertical gerado pela carga triangular o qual calcularemos pela tabela da aula de diagramas de esforços solicitantes parte II Figura 69 Viga apoiadas Fonte MOLLÁ 2017 P á g i n a 136 Assim Mvão 𝑞𝑙² 93 304² 93 30792 kNm Notem que a figura triangular da tabela em anexo está invertido em relação ao nosso carregamento Isso não gera nenhum problema basta fazermos o diagrama espelhado ou seja inverter a figura e o gráfico em relação ao eixo y que os valores se mantêm idênticos aos da fórmula Figura 610 Viga apoiada Fonte MOLLÁ 2017 Assim temos o DMF assim Figura 611 DMF P á g i n a 137 Utilizando o método das seções temos 𝑀 𝑄 𝑑𝑥 75𝑥² 2 30𝑥 40 𝑑𝑥 𝑀 75𝑥3 6 15𝑥2 40𝑥 0 Para x 0 a x 4 Substituindo os valores na função temos Tabela 6 Momento por seção Valores de x Momento Fletor X 0 7503 6 15 02 40 0 0 kNm X 169 751693 6 15 1692 40 169 3079 kNm X 4 7543 6 15 42 40 4 0 kNm Nosso DMF fica assim Figura 612 DMF Vejamos agora um exemplo completo com todos os tipos de cargas estudados anteriormente em uma só viga P á g i n a 138 Figura 613 Estrutura com carregamento variado Começaremos pelo cálculo das reações de apoio reações de apoio Figura 614 Reações de apoio 𝐹𝑥 0 HB 15kN 𝐹𝑦 0 VA VB 10 2022 204 83 20 VA VB 154 kN 𝑀𝐵 0 9VA 10102022723204583322010 VA 7881 kN VB 154 7881 7519 kN DEN Uma carga de 15 kN no extremo C entrando na estrutura sendo combatida pela reação de apoio HB no extremo B gerando uma compressão em toda a estrutura no valor de 15 kN P á g i n a 139 Figura 615 DEN DEQ Seguindo os valores e os formatos dos carregamentos cortantes teremos PONTO A carga pontual em A 10 kN TRECHO AB continua a influência da carga pontual de 10 kN até o ponto B PONTO B carga pontual VA 7881 kN combatendo 10 kN gerando um cortante no valor de 10 kN 7881 kN 6881 kN TRECHO BC carga triangular distribuída com resultante igual a sua área 2022 20 kN em forma de parábola com concavidade para baixo Reduz o valor inicial do ponto B 6881 kN ao longo do trecho PONTO C contém o resultado de 6881 kN 20 kN 4881 kN PONTO D valor do cortante nulo onde x é igual ao valor do cortante do ponto crítico anterior dividido pelo valor da carga distribuída no trecho x 488120 244 m TRECHO CE influência do cortante gerado pela carga distribuída de 20kNm ao longo de 4 m ou seja 204 80 kN em forma de reta inclinada ao longo do trecho até o próximo ponto crítico PONTO E contém o resultado de 4881 kN 80 kN 3119 kN TRECHO EF influência do cortante gerado pela carga distribuída de 8kNm ao longo de 2 m ou seja 82 16 kN em forma de reta inclinada ao longo do trecho até o próximo ponto crítico PONTO F contém o resultado de 3119 kN 16 kN 4719 kN No mesmo ponto temos a ação de uma carga concentrada fazendo com que o cortante neste ponto sofra uma variação pontual de 20 kN Assim temos outro valor no mesmo ponto referente a 4719 kN 20 kN 6719kN P á g i n a 140 TRECHO FG influência do cortante gerado pela carga distribuída de 8 kNm ao longo de 1 m ou seja 81 8 kN em forma de reta inclinada ao longo do trecho até o próximo ponto crítico PONTO G contém o resultado de 6719kN 8 kN 7519 kN No mesmo ponto temos a ação de uma carga concentrada VB fazendo com que o cortante neste ponto sofra uma variação pontual de 7519 kN Assim temos outro valor no mesmo ponto referente a 7519 kN 7519kN 0 Assim temos nosso DEQ finalizado em zero o que garante o equilíbrio das forças verticais na estrutura ou seja toda ação vertical está sendo combatida pelas reações de apoio Figura 616 DEQ DMF abaixo Figura 617 Ações e reações MC MB 0 MAesquerda 101 10 kNm MDesquerda 103 78812 202223 11430 kNm MEdireita 8315 202 75193 14956 kNm MFdireita 8105 75191 7119 kNm P á g i n a 141 Momento máximo onde o cortante é nulo x 544 m analisando pela esquerda ou x 456 m se analisarmos pela direita Faremos pela direita assim Mmáxdireita 7519456 8315615 201562 201561562 17387 kNm Assim marcando os pontos e fazendo as curvas de acordo com a natureza das cargas temos Figura 618 DMF Para finalizar esta aula faremos as comparações entre o carregamento aplicado os esforços cortantes e o momento fletor P á g i n a 142 Assim temos algumas observações na figura abaixo Figura 619 Relações entre os diagramas O trecho CA é uma parte da viga em balanço portanto o momento em trechos em balanço para cargas verticais negativas é SEMPRE negativo Outra coisa a ser observada nesse trecho é a relação mencionada na aula 4 quando a carga é concentrada o cortante é uma reta constante e o momento uma reta inclinada O ponto A possui momento negativo Isso ocorre quase 100 das vezes por se tratar de um apoio um ponto com função de combater os esforços solicitados geralmente voltados para baixo Outra coisa referente ao ponto A é a presença de um valor de cortante nulo Percebam que neste ponto o cortante vai de 10 kN a 6881 kN passando pelo zero Sempre que isso acontecer uma mudança brusca no valor do cortante terá uma mudança no momento também No DMF ponto A o momento estava aumentando seu valor de C para A e quando encontra este ponto começa a perder valor ou seja muda o sentido de progressão P á g i n a 143 O ponto D tem como característica a mudança de tipo de carregamento tendo uma mudança clara no DEQ de reta para parábola e no DMF de parábola para função de 3 grau Percebam também a existência do momento máximo alinhado com o ponto de cortante nulo O ponto E apresenta mudança de carregamento porém somente o módulo mantendo a natureza Notem que o DEQ antes e depois deste ponto possui o mesmo formato uma reta inclinada porém com inclinações diferentes já que os valores são distintos A carga com maior valor possui maior inclinação quando comparada à menor O mesmo ponto E analisando o DMF apresenta mudança na curva de segundo grau também porém mais difícil de ser percebida visualmente O ponto F possui uma carga pontual que acrescenta um dente no esforço cortante dando um salto do DEQ devido a sua atuação concentrada neste local Após o ponto o carregamento distribuído continua atuando com a mesma inclinação anterior a esta carga pontual Esta carga no ponto F modifica a função da parábola antes e após o ponto também apesar de visualmente esta diferença ser suave No ponto B temos os valores de cortante e momento finalizando em zero garantindo o equilíbrio da estrutura Vamos praticar Faça os exercícios propostos e caso necessite faça uso da leitura complementar EXERCÍCIOS Resumo Nesta aula abordamos Diagramas de esforços solicitantes em vigas isostáticas com cargas mistas Complementar Assistam ao vídeo 06 da disciplina de Sistemas Isostáticos Leitura complementar httpredentorbv3digitalpagescombruserspublications9788576058151p ages11 Caderno de Mecânica Aplicada UniRedentor Referências Bibliográficas Básica GORFIN BERNARDO OLIVEIRA MYRIAN MARQUES DE Estruturas Isostáticas Rio de Janeiro Livros Técnicos e Científicos Editora SA 1975 MOLLÁ Universitat Politècnica de València Viga apoyada distintas hipotesis de carga Disponível em httppersonalesupvesfbardisapdfformulariovigaspdf Acesso em 10 set 2017 AULA 6 Exercícios Determinar as reações de apoio e os dess para as vigas isostáticas utilizando o método intuitivo e o método das seções bem como os valores de esforços máximos Respostas REAÇÕES DE APOIO P á g i n a 148 Diagrama de Esforços Normais P á g i n a 149 Diagrama de Esforços Cortantes P á g i n a 150 Diagrama de Momento Fletor Vigas Gerber Parte I Aula 7 APRESENTAÇÃO DA AULA Nesta aula veremos um tipo diferente de vigas rotuladas as chamadas vigas GERBER OBJETIVOS DA AULA Esperamos que após o estudo do conteúdo desta aula você seja capaz de Entender o método de criação de Gerber Analisar a estaticidade das vigas componentes da Gerber Entender o processo de sobreposição das vigas Entender a finalidade das rótulas P á g i n a 152 7 VIGAS GERBER 71 Definição Em estática das construções a chamada viga Gerber consis te em uma estrutura linear contendo diversos suportes como rótulas apoios simples e engastados Sua principal característica é possuir todos os trecos es taticamente determináveis ou seja possíveis de serem calculados utilizando somente as equações de equilíbrio da estática A viga é denominada em memória do engenheiro alemão Heinrich Gottfried Gerber 18321912 que a patenteou em 1866 Este tipo de construção foi executado a primeira vez em 1867 em uma ponte sobre o rio Regnitz em Bamberg e em uma ponte sobre o rio Meno em Haßfurt com três vãos de 239 379 239 metros A High Bridge 1876 sobre o rio Kentucky nos Estados Unidos é considerada a primeira ponte de grande vão construída com esta técnica Figura 71 Ponte sobre o rio Meno Fonte WIKIWAND 2017 Antes de entender as condições de suporte de uma estrutura Gerber vamos compreender o que é uma estrutura com estabilidade própria e sem estabilidade própria Trechos com estabilidade própria CEP são aqueles que possuem condições de suporte de esforços ou seja isostáticos Trechos sem estabilidade própria SEP são aqueles que não são capazes de suportar esforços e se manter em equilíbrio P á g i n a 153 Veja a diferença no esquema a seguir Figura 72 Análise de estabilidade As vigas SEP se estabilizam quando se apoiam nas vigas CEP através das rótulas presentes nas estruturas Gerber Estas rótulas são responsáveis pelo maior benefício que este tipo de estrutu ra traz para a engenharia a redução do momento fletor da estrutura Figura 73 Rótulas Fonte RICARDO JUNIOR 2017 P á g i n a 154 Mais adiante veremos como isso ocorre e o porquê Vamos continuar focados por enquanto em entender como as estruturas se sobrepõem Vamos entender o que é uma rótula Veja o esquema abaixo Figura 74 Rótula Fonte MENA 2017 A rótula permite criar trechos de vigas independentes com estruturas inde pendentes funcionando como um apoio para a viga SEP Vamos analisar a figura o trecho da esquerda sozinho não seria estável pois só teria o apoio de segundo gênero o que não garante o equilíbrio da estrutura Já o trecho na direita por ser engastado garante um vínculo capaz de reagir aos esforços normais cortantes e de momento o que faz dele um CEP Desta forma o primeiro trecho se apoia no segundo fazendo com que esta li gação rotulada se transforme em um apoio simples para o trecho SEP que descar rega seus esforços normais e cortantes neste ponto ATENÇÃO P á g i n a 155 Note que sempre iremos dividir os trechos nos pontos rotulados pois são es tes que mostram a descontinuidade estrutural NUNCA dividiremos trechos no meio das vigas em apoios diversos SOMENTE NAS RÓTULAS Figura 75 Análise de estabilidade Fonte MENA 2017 Assim temos dois trechos com estabilidade própria capazes de suportar os esforços solicitantes Vamos ver outros casos para reforçar seu entendimento Analise as vigas abaixo tentando entender quais trechos ficam apoiados e quais podem servir de suporte aos demais Exemplo 1 Figura 76 Análise de estabilidade Fonte Adaptado de MENA 2017 Neste primeiro exemplo devemos começar separando as vigas nas rótulas obtendo os seguintes trechos ATENÇÃO P á g i n a 156 Figura 77 Análise de estabilidade Fonte Adaptado de MENA 2017 Analisando os trechos podemos verificar que a viga AB possui condições su ficientes de suporte CEP por apresentar um apoio de 3 gênero engaste O trecho BC por outro lado não é capaz de se sustentar sozinho SEP pois só apresenta um apoio simples de primeiro gênero Assim para que a estrutura seja estável é necessário que o extremo B do trecho BC se apoie sobre o extremo B do trecho AB Quando isto acontece o ponto que está apoiado recebe um vínculo referente à rotula especificada e o ponto que serve de apoio recebe os esforços vindos da estrutura que está por cima Figura 78 Análise de estabilidade Fonte Adaptado de MENA 2017 Desta forma obtivemos dois trechos de vigas isostáticos e independentes em termos de estrutura P á g i n a 157 Exemplo 2 Pelo mesmo raciocínio vamos analisar o segundo exemplo Primeiramente dividimos a estrutura nas rótulas Em seguida vamos analisar a estabilidade de cada trecho Figura 79 Análise de estabilidade Fonte Adaptado de MENA 2017 Trecho AB isostático ou seja CEP Este trecho de viga pode servir de su porte para outras vigas Trecho BC não possui apoios ou seja SEP Este trecho obrigatoriamente deve ser apoiado em outras vigas em seus dois extremos pois não possui sequer um vínculo para resistir às solicitações Trecho CD isostático Segue o mesmo princípio do AB Pode servir de su porte para outros elementos estruturais Com os trechos identificados e definidos podemos organizar nossa estrutura Ficou claro que a viga dependente é a central BC Portanto ela estará acima de todas as outras Isso acontece pois ela não consegue suportar nada sozinha precisa do apoio das vigas adjacentes Assim nada pode ficar acima deste trecho P á g i n a 158 Figura 710 Análise de estabilidade Fonte Adaptado de MENA 2017 Exemplo 3 Primeiramente dividimos a estrutura nas rótulas Em seguida vamos analisar a estabilidade de cada trecho Figura 711 Análise de estabilidade Fonte Adaptado de MENA 2017 Trecho AB isostático ou seja CEP Este trecho de viga pode servir de su porte para outras vigas Trecho BD possui somente um apoio de segundo gênero o qual não é sufi ciente para equilibrar a estrutura portanto SEP Este trecho obrigatoriamente deve ser apoiado em outra viga pois necessita de somente um apoio de primeiro gênero para que se torne isostática P á g i n a 159 Trecho DE mesmo caso do trecho BD Estrutura hipostática SEP Com os trechos identificados e definidos podemos organizar nossa estrutura Quando não temos um trecho sem vínculos como o exemplo anterior fica mais fácil começar a montar a estrutura a partir da viga mais estática Assim temos o trecho AB capaz de suportar seus esforços e outros que se rão adicionados Desta forma transformaremos o ponto B deste trecho em uma extremidade de suporte para a viga ao lado Colocaremos o ponto B de BD acima do ponto B de AB Assim a que se loca liza acima ganha um vínculo correspondente à rótula Figura 712 Análise de estabilidade Fonte Adaptado de MENA 2017 Temos agora dois trechos isostáticos Assim analisando novamente podemos perceber que BD já é capaz de su portar solicitações externas o que nos permite utilizar o extremo D como um ponto de suporte para a viga DE Assim com a viga DE posicionada sobre a BD geramos um apoio de primeiro gênero em D de DE o que finaliza nossa análise de suporte para este exemplo P á g i n a 160 Figura 713 Análise de estabilidade Fonte Adaptado de MENA 2017 Agora é a sua vez Faça os exercícios propostos sobre análise de suporte entre em contato com seu tutor para possíveis dúvidas que poderão surgir EXERCÍCIOS Resumo Nesta aula você viu O que são rótulas O que é uma Viga Gerber Como os trechos são diferenciados Trechos com estababilidade própria Trechos sem estabilidade própria Como separar os trechos rotulados Complementar Assista aos vídeos da disciplina são fundamentais para a sua aprendizagem Fique atento aos horários de atendimento disponíveis na Secretaria Virtual da Blackboard Não acumule dúvidas Procure o professor da disciplina ou o tutor para esclare cer suas dúvidas AULA 7 Exercícios Exercício 1 Analise as condições de suporte das vigas Gerber a seguir P á g i n a 164 Respostas P á g i n a 165 Exercício 2 Em relação ao exercício anterior posicione os trechos de vigas de acordo com suas condições de suporte Referências Bibliográficas Básica MENA Franz Felipe Ajata Reacciones en vigas RICARDO JUNIOR Jorge Francisco Apostilas para estudo Disponível em httpmaisumaengenhariablogspotcom201504apostilasparaestudohtml Acesso em 10 set 2017 Vigas Gerber Parte II Aula 8 APRESENTAÇÃO DA AULA Nesta aula veremos um tipo diferente de vigas rotuladas as chamadas vigas GERBER e calcular suas reações de apoio e diagramas de esforços solicitantes OBJETIVOS DA AULA Esperamos que após o estudo do conteúdo desta aula você seja capaz de Calcular as reações dos trechos de vigas Determinar as reações finais Determinar os diagramas de esforços solicitantes P á g i n a 168 8 VIGAS GERBER PARTE II Nesta aula vamos calcular as reações de apoio de uma viga Gerber para posteriormente determinar os diagramas de esfor ços solicitantes Como vimos na aula anterior precisamos antes de qualquer coisa separar os trechos de vigas de acordo com as condições de estabilidade Após a separação calcularemos todos os trechos por ondem de dependência até chegamos às reações finais Vamos a um exemplo Seja a viga Gerber representada abaixo Figura 81 Viga Gerber Dividindo a estrutura na rótula e depois analisando os trechos separadamente podemos obter Figura 82 Análise de estabilidade Assim sabemos que a estrutura SEP deve ficar acima da CEP com um apoio de primeiro gênero no lugar da rótula somente na estrutura SEP P á g i n a 169 Figura 83 Análise de estabilidade Nossa análise começa da seguinte forma SEMPRE CAL CULAR O TRECHO QUE ESTÁ ACIMA pois este só possui as cargas próprias ou seja nada se apoia nele O cálculo é feito da maneira normal para estruturas isos táticas Aplicaremos as equações da estática e encontraremos as reações de apoio deste trecho Figura 84 Trecho 1 Aplicando as equações de equilíbrio 𝐹𝑥 0 HA 0 𝐹𝑦 0 VA VB 209 0 VA VB 180 𝑀𝐴 0 P á g i n a 170 20945 9VB 0 VB 90 kN VA 90 kN Observação nesta etapa de cálculo do somatório de momento o aluno pode escolher qual sentido de giro será considerado positivo sem qualquer alteração de resultados Será utilizado neste caderno o sentido horário positivo Esta escolha pode ser feita por ser tratar de um somatório de todo o momento da estrutura em relação a um ponto É importante lembrar que este somatório sempre é nulo Assim tomando um sentido como positivo tudo que for contrário será negativo e a conta será anulada independente da convenção É importante observar que a reações foram calculadas todas como positivas Isto se dá pelo fato de que o sentido dos vetores está correto Assim TODA REAÇÃO OBTIDA COM SINAL NEGATVO SIGNIFICA QUE O SENTIDO ESTÁ INVERTIDO Assim nossas reações do trecho AB ficam desta forma Figura 85 Trecho 1 Agora chegamos ao momento mais importante do cálculo de uma viga Ger ber a transmissão dos esforços nos pontos originalmente rotulados Sabemos que o ponto B na realidade é uma rótula que une os dois trechos de vigas No entanto separamos estas semivigas de maneira que o ponto B do trecho AB ficasse acima do ponto B do trecho BC P á g i n a 171 Desta forma a carga que chega no ponto B como reação do primeiro trecho entra como ação no segundo trecho no mesmo ponto Figura 86 Relação entre os trechos Com essa informação podemos calcular as reações do segundo trecho Aplicando o valor de VB no trecho BC aplicaremos novamente as equações de equilíbrio para obtermos as reações de apoio Figura 87 Trecho 2 Aplicando as equações de equilíbrio 𝐹𝑥 0 HC 0 𝐹𝑦 0 VC 90 304 0 VC 210 kN 𝑀𝐶 0 P á g i n a 172 909 30 4 4 MC 0 MC 1290 kNm Nosso trecho BC fica assim então Figura 88 Trecho 2 Então com as reações de apoio dos dois trechos calculadas é só voltar para a estrutura original e posicionar as reações Figura 89 Reações Finais Vamos fazer mais um exemplo somente com o cálculo das reações e depois iremos começar a traças os diagramas P á g i n a 173 Figura 810 Viga Gerber Vamos seguir o mesmo passo a passo utilizado anteriormente Dividindo a estrutura nas rótulas Figura 811 Análise de estabilidade Analisando o posicionamento e aplicando os apoios no lugar das rótulas P á g i n a 174 Figura 812 Divisão dos trechos Resolvendo cada uma das estruturas começando pela que se encontra acima de todas temos TRECHO EF Figura 813 Trecho EF Aplicando as equações de equilíbrio 𝐹𝑥 0 HF 0 𝐹𝑦 0 P á g i n a 175 VE VF 1011 25 0 VE VF 135 𝑀𝐸 0 101155 255 11VF 0 VF 6636 KN VE 6864 KN Figura 814 Reações de apoio TRECHO CE Aplicando a carga referente à rótula localizada no ponto E do trecho EF no mesmo ponto do trecho CE Figura 815 Trecho CE Aplicando as equações de equilíbrio P á g i n a 176 𝐹𝑥 0 HC 0 𝐹𝑦 0 VC VD 25 1013 6864 0 VC VD 22364 𝑀𝐷 0 255 1013115 18VD 686424 0 VD 18152 KN VE 4212 KN Figura 816 Reações de apoio TRECHO AC Aplicando a carga referente à rótula localizada no ponto C do trecho CE no mesmo ponto do trecho AC P á g i n a 177 Figura 817 Trecho AC Aplicando as equações de equilíbrio 𝐹𝑥 0 HA 0 𝐹𝑦 0 VA VB 25 4212 0 VA VB 6712 𝑀𝐴 0 255 12VB 421222 0 VB 8764 KN VE 2052 KN P á g i n a 178 Figura 818 Reações de apoio Então com as reações de apoio dos dois trechos calculadas é só voltar para a estrutura original e posicionar as reações Figura 819 Reações finais Agora é a sua vez Determine as reações de apoio das vigas Gerber abaixo P á g i n a 179 Figura 820 Exercícios P á g i n a 180 Respostas Agora que já sabemos como calcular as reações de apoio de uma viga Ger ber vamos aprender a traçar os diagramas de esforços solicitantes Toda estrutura possui vários diagramas que trazem informações sobre as mais variadas solicitações que ocorrem em cada ponto do elemento analisado Em sistemas isostáticos veremos os três primeiros tipos de diagramas DIAGRAMA DE ESFORÇOS NORMAIS DEN DIAGRAMA DE ESFORÇOS CORTANTES DEQ DIAGRAMA DE MOMENTO FLETOR DMF O DEN traz informações sobre todos os esforços normais que agem na estru tura São considerados nesta etapa todos os esforços axiais ou seja que agem no P á g i n a 181 sentido longitudinal do elemento São mostrados neste diagrama quais trechos são tracionados comprimidos ou nulos Esforços de tração são convencionados positivos pois tendem a alongar a o trecho gerando uma deformação positiva e são representados acima da estrutura Esforços de compressão são negativos tendem a encurtar o elemento e são representados abaixo da linha da estrutura O DEQ mostra o cortante acumulado em cada ponto do elemento São considerados nesta etapa todos os esforços perpendiculares à estrutura A ideia do gráfico é simples de ser percebida pois mostra a tendência de des lizamento das partículas componentes da estrutura A convenção de sinais é a mesma do DEN positivo acima e negativo abaixo O DEQ é extremamente importante para analisar e até mesmo obter o DMF visto que este último é matematicamente definido como a integral do cortante O DMF é o diagrama mais utilizado na engenharia civil pois mostra a tendên cia de deformação de todo o elemento Ele depende somente dos esforços cortantes e dos momentos concentrados A convenção é contrária às duas anteriores momento negativos são repre sentados acima da estrutura e os positivos abaixo Vamos a um exemplo então Dada a viga Gerber abaixo determinaremos as reações de apoio e os três di agramas de esforços solicitantes P á g i n a 182 Figura 821 Exercícios P á g i n a 183 TRECHO AB TRECHO BD TRECHO DE P á g i n a 184 Estrutura Final Figura 822 Reações finais Para o traçado dos diagramas é preciso saber que as rótu las não influenciam nos valores de cortante e de normal O único esforço modificado é o momento fletor As rótulas permitem o giro dos pontos ou seja não im pedem o momento Por isso o momento nas rótulas é sempre nulo Isso se dá pelo conceito referente a momento Momento é a tendência de giro dos pontos da estrutura que reage e não permite este movimento Assim qualquer ponto que crie uma resistência a este giro provoca um momento Faremos uma nova marcação dos pontos para facilitar a análise dos diagra mas Figura 823 Pontos Críticos P á g i n a 185 DIAGRAMA DE ESFORÇOS NORMAIS Para este diagrama vamos analisar os trechos que estão sendo comprimidos ou tracionados Lembrando que as rótulas não influenciam os esforços normais As sim estas podem ser ignoradas nesta primeira análise Temos na extremidade A uma carga axial entrando na estrutura Ao longo da mesma não temos nenhuma outra carga axial que possa aumen tar ou reduzir o valor desta ou seja nenhuma força impedindo ou aumentando a transmissão do esforço normal No extremo G temos o engaste que não permite deslocamento horizontal combatendo o esforço normal Assim temos a estrutura toda sendo comprimida com um valor de 20 kN Figura 824 DEN DIAGRAMA DE ESFORÇOS CORTANTES Para este diagrama vamos analisar os pontos que estão sendo empurrados para cima ou para baixo da estrutura Lembrando que as rótulas não influenciam os esforços cortantes Assim estas podem ser ignoradas também nesta se gunda análise A montagem do DEQ é muito simples basta seguir esta regrinha sempre Analisar a estrutura SEMPRE da esquerda para a Direita e acompanhar o sen tido das forças Vamos fazer ponto a ponto a para que você não tenha dúvidas P á g i n a 186 Figura 825 Pontos críticos PONTO A temos uma carga concentrada subindo com valor de 6143 Esta carga vai agindo ao longo da barra até encontra alguma outra carga que acrescente ou reduza seu valor Assim o valor de 6143 se mantém até o ponto B PONTO B a carga proveniente do ponto A chega em B com 6143 e encontra uma força de 60 kN descendo Assim esta carga reduz o cortante que tínhamos de 6143 em 60 unidades restando então somente 143 PONTO C entre B e C não existem carregamento capazes de modificar o va lor de 143 Quando chega exatamente em C temos uma carga de 40 Assim 143 com 40 temos um cortante total de 3857 PONTO D como se trata de uma rótula ignoramos a presença dela para cor tante Passemos ao próximo ponto PONTO E chegamos então em E com um cortante de 3857 e nos depara mos com uma carga distribuída de 10 kNm e uma reação de apoio VE Começare mos pela carga concentrada de 8821 Assim 3857 com 8821 sobram 4964 Entre E e F temos a carga distribuída de 10kNm Isto significa que a cada metro de estrutura uma carga de 10kN é aplicada O trecho em que esta carga atua possui 8 metros o que totaliza uma carga de 80 kN distribuída UNIFORMEMENTE ao longo dos 8 metros Por isso a descida não será pontual já que não é uma carga concen trada Faremos sempre para cargas uniformemente distribuídas uma variação de cortante em forma de uma reta inclinada Então chega em E 4964 e em 8m temos 80 Assim em F teremos um total de 3036 PONTO F como se trata de uma rótula ignoramos a presença dela para cor tante Passemos ao próximo ponto PONTO G chegamos em G com um cortante de 3036 e temos uma reação de apoio com o mesmo exato valor de 3036 Assim 3036 com 3036 0 P á g i n a 187 Isto significa que todas as ações feitas na estrutura foram combatidas pelas reações de apoio Nosso DEQ está finalizado e correto Figura 826 DEQ DIAGRAMA DE MOMENTO FLETOR Para este diagrama vamos analisar o momento em cada ponto da estrutura INCLUSIVE NAS RÓTULAS Como podemos perceber a rótula entra na estrutura com o único objetivo de reduzir o momento da mesma já que não influencia na normal e no cortante Para determinar o momento ponto a ponto utilizaremos uma fácil convenção Sabemos que o momento em qualquer ponto da estrutura possui o mesmo valor quando calculado à direita e à esquerda do ponto ou seja antes e depois da posição analisada Com base nisso podemos sempre escolher o lado mais fácil para determinar o momento o lado que houver menos esforços Assim se o momento gerado pela esquerda ou pela direita da estrutura subir ele é considerado positivo Caso ele desça será negativo P á g i n a 188 Figura 827 Conversão de sinais Vamos analisar os pontos um a um para não deixar dúvidas Figura 828 Pontos críticos PONTO A Um apoio rotulado não possui reação de momento assim não tem um momento concentrado neste vínculo O que poderia gerar momento em um apoio rotulado seriam as cargas aplicadas fora deste ponto O ponto A por ser um extremo não possui nenhum elemento estrutural locali zado antes dele ou seja nenhuma solicitação capaz de gerar momento naquele ponto Assim todo momento gerado pelo conjunto de forças situados depois do pon to será anulado Portanto MA 0 PONTO B calculando o momento à esquerda de B temos 6143 3 18429 kNm PONTO C à esquerda P á g i n a 189 6143 9 60 6 19286 kNm PONTO D por se tratar de uma rótula o momento é nulo PONTO E à esquerda 6143 16 60 13 40 7 7714 kNm PONTO F por se tratar de uma rótula o momento é nulo PONTO G engaste com momento aplicado de 2125 kNm Agora é só traçar o DMF seguindo a natureza das cargas Cargas pontuais geram momentos com formato de retas inclinadas Cargas distribuídas geram parábolas cujo vão máximo equivale a qL²8 Figura 829 DMF Assim temos os três diagramas de esforços solicitantes No entanto a representação gráfica padrão destes não utiliza os valores de carregamentos externos ou reações de apoio Então sem qualquer alteração de valores no que foi feito lhes apresento a configuração oficial do DEN DEQ E DMF P á g i n a 190 Figura 830 DEN DEQ e DMF Resumo Nesta aula você aprendeu Separar os trechos de uma Viga Gerber Determinar esforços por trecho Determinar esforços finais Determinar diagramas de esforços solicitantes Complementar Assista aos vídeos da disciplina são fundamentais para a sua aprendizagem Fique atento aos horários de atendimento disponíveis na Secretaria Virtual da Blackboard Não acumule dúvidas Procure o professor da disciplina ou o tutor para esclare cer suas dúvidas Referências Bibliográficas Básica MENA Franz Felipe Ajata Reacciones en vigas RICARDO JUNIOR Jorge Francisco Apostilas para estudo Disponível em httpmaisumaengenhariablogspotcom201504apostilasparaestudohtml Acesso em 10 set 2017 AULA 8 Exercícios Agora é a sua vez Resolva os exercícios propostos e tire dúvidas com os tutores ou professores caso haja necessidade Boa sorte Exercício 1 Determine as reações de apoio e os diagramas de esforços solicitantes para cada uma das estruturas abaixo P á g i n a 195 Respostas REAÇÕES DE APOIO DAS 4 VIGAS EM ORDEM P á g i n a 196 DIAGRAMAS DE ESFORÇOS NORMAIS DAS 4 VIGAS EM ORDEM P á g i n a 197 DIAGRAMAS DE ESFORÇOS CORTANTES DAS 4 VIGAS EM ORDEM P á g i n a 198 DIAGRAMAS DE MOMENTO FLETOR DAS 4 VIGAS EM ORDEM Treliças Aula 9 APRESENTAÇÃO DA AULA Nesta semana aula vamos iniciar os nossos estudos sobre treliças planas As treliças são utilizadas quando é necessário vencer grandes vãos muito utilizadas em pontes coberturas metálicas de indústrias galpões estádios espaço para eventos e também executadas em madeira nos telhados e outros fins que fo rem necessários OBJETIVOS DA AULA Esperamos que após o estudo do conteúdo desta aula você seja capaz de Definir o conceito de treliças planas Identificar a treliça simples e os seus componentes Determinar as forças nos componentes de uma treliça plana utilizando o método dos nós Analisar as forças nos componentes de uma treliça plana P á g i n a 200 9 TRELIÇAS ISOSTÁTICAS 91 Definição Treliça é um sistema reticulado indeformável cujas barras possuem todas as suas extremidades rotuladas e cujas cargas estão aplicadas nestas rótulas de acordo com Leggerini É uma estrutura com componentes finos ligados uns aos outros pelas extremidades As treliças na maioria das vezes são construídas de barras de metal ou de madeira A união entre os componentes é feita por uma placa de reforço que pode ser parafusada ou sodada podendo ser unidas por um sistema de pino ou parafu so que liga todos os elementos ou apenas soldadas Figura 91 Treliça de cobertura P á g i n a 201 Figura 92 Pórtico com treliças apoiadas em balanço Figura 93 Treliça de madeira com placa de reforço parafusada P á g i n a 202 Figura 94 Treliça metálica com placa de reforço parafusada Na disciplina de Sistemas Isostáticos vamos estudar treliças planas essas distribuem os esforços em um único plano e geralmente são utilizadas para susten tar telhados e pontes O carregamento do telhado da figura abaixo é transmitido à treliça nos pontos de ligação dos elementos por meio das terças Como o carregamento do telhado atua no mesmo plano da treliça a análise das forças é dada no plano bidimensional Figura 95 Estrutura do telhado Fonte RODRIGUES 2017 P á g i n a 203 Figura 96 Treliça do telhado Figura 97 Montagem do telhado O funcionamento da ponte os esforços do tabuleiro são transmitidos para as longarinas e logo para as vigas de piso chamadas de transversinas e finalizando para os nós das treliças P á g i n a 204 Figura 98 Estrutura de ponte Figura 99 Treliça da ponte Figura 910 Ponte com treliças P á g i n a 205 Quando as treliças vencem grandes vãos são utilizadas apoios nas extremidades como balancins ou roletes devido à dilatação do elemento pois estes apoios dão liberdade à con tração e expansão As treliças funcionam da mesma forma de uma viga de al ma cheia porém economicamente as treliças são mais atrativas pois vencem gran des vãos e suportam cargas maiores A barra da treliça tem como função transmitir uma força única na direção do seu eixo assim o esforço cortante e momento fletor na barra são iguais a zero Para que a distribuição dos esforços seja verificada os nós extremos da barra têm que ser articulações sem atrito também chamadas de articulações ideais além de todo o esforço seja concentrado ou distribuído e que está aplicado na treli ça seja por meio dos nós Assim são provocados nas barras das treliças esforços primários os de tra ção e compressão 92 Treliça Simples Para evitar a perda de estabilidade a forma de uma treliça deve ser suficien temente rígida Obviamente a geometria das quatro barras ABCD na figura 12 perderá a sua estabilidade a menos que um elemento diagonal como o elemento AC seja adicio nado à estrutura A forma geométrica rígida ou estável mais simples é a de um triângulo Consequentemente uma treliça simples é construída a partir de um elemento triangula básico tal como ABC na figura 13 e então se conectando dois elementos AD e BD para formar outra estrutura triangular Cada elemento triangular composto de dois elementos básicos e um nó é in serido na estrutura tornando assim possível a construção de uma treliça simples De acordo com Hibbeler 2006 p 222 P á g i n a 206 Figura 911 Barras ABCD Fonte HIBELLER 2006 Na figura 13 temos uma treliça esquemática onde temos indicados os seus componentes Banzo superior e inferior diagonal e montante e as suas medidas al tura e vão à espessura da treliça vai depender do tipo de perfil que ela for executa da que não é o objetivo da disciplina Figura 912 Treliça esquemática 93 Determinação dos Esforços Internos nas Barras Agora nós vamos fazer a determinação dos esforços internos da treliça 1º PASSO Condição de Treliça Isostática Antes de iniciar os cálculos devemos fazer à verificação a condição isostática da treliça P á g i n a 207 Para que atenda essa condição o dobro do número de nós tem que ser igual à soma do número de barras com o número de reações verticais e horizontais sendo descritos pela fórmula abaixo 2n br 2º PASSO Cálculo das reações nos apoios Devemos calcular as reações nos apoios utilizando as equações de equilíbrio e as forças atuantes na treliça 3º PASSO Cálculo dos esforços Utilizamos o método dos nós para calcularmos os esforços nas barras as for ças irão sair dos nós e nos próximos nós utilizamos os resultados do nó anterior porém com sinal trocado Essa troca de sinais só pode ser feita na equação dos nós as reações hori zontais e verticais devem ter seus sinais mantidos P á g i n a 208 Tabela 7 Convenção de sinais CONVENÇÃO DE SINAIS ESFORÇO SINAL TRAÇÃO POSITIVO COMPRESSÃO NEGATIVO 94 Exercício Resolvido 1 Dada a treliça abaixo calcule as reações de apoio e as forças normais nas barras através do Método dos Nós 1º PASSO Condição de Treliça Isostática P á g i n a 209 2º PASSO Cálculo das reações nos apoios P á g i n a 210 3º PASSO Cálculo dos esforços Nó A Nó B P á g i n a 211 Nó C Nó F P á g i n a 212 Nó E P á g i n a 213 Nó D P á g i n a 214 95 Método Das Seções A determinação das cargas axiais que atuam na barra de uma treliça plana deve seguir os seguintes procedimentos Cortar a treliça em duas partes Uma parte da treliça é para verificação do equilíbrio No corte são apresentadas no máximo 03 incógnitas para conseguir resol ver através das equações de equilíbrio Apenas as barras da treliça que for cortada que serão apresentadas no cor te O procedimento deve ser repetido e finalizado quando todas as barras da treliça estejam calculadas Vamos fazer um exercício comecemos pela treliça abaixo P á g i n a 215 Figura 913 Exercício treliça Fonte LIMA 2017 1º ALTURA DA TRELIÇA Conseguimos encontrar a altura h pela tangente do ângulo ℎ tan 53 𝒉 𝟏 𝟑𝟑𝒎 2º REAÇÕES DE APOIO Como tratase de uma estrutura e carregamentos simétricos temos que 𝑉𝐴 𝑉𝐵 𝑃 2 3º CÁLCULO DOS ESFORÇOS NAS BARRAS Para determinar o carregamento nas barras 1 e 2 iremos aplicar o corte AA e verificar as condições de equilíbrio pela esquerda do corte Figura 914 Fonte RODRIGUES 2017 P á g i n a 216 𝐹𝑦 0 𝐹1 sin 53 𝑃 2 0 𝐹1 𝑃 2 sin 53 𝐹1 0625𝑃 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑖𝑚𝑖𝑑𝑎 𝐹𝑥 0 𝐹2 𝐹1 cos 53 0 𝐹2 𝐹1 cos 53 𝐹2 0625𝑃 cos 53 𝐹2 0375𝑃 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎 𝑡𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑑𝑎 Agora vamos fazer um corte BB para determinar as forças nas barras 3 e 4 P á g i n a 217 Figura 915 Fonte RODRIGUES 2017 𝑀𝐸 0 133𝐹4 2 𝑃 2 0 𝐹4 𝑃 133 𝐹4 075𝑃 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑖𝑚𝑖𝑑𝑎 𝐹𝑦 0 𝐹3 sin 53 𝑃 2 𝐹1 𝑃 2 sin 53 𝐹3 0625𝑃 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎 𝑡𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑑𝑎 Como tratase de uma treliça simétrica podemos concluir que P á g i n a 218 𝐹7 𝐹1 0625𝑃 𝐹6 𝐹2 0375𝑃 𝐹5 𝐹3 0625𝑃 Figura 916 Fonte RODRIGUES 2017 Agora vamos fazer um exercício com onde temos que encontrar o ângulo e a treliça não apresenta simetria Figura 917 Fonte RODRIGUES 2017 1º DETERMINAR O VALOR DO ANGULO Conseguimos encontrar o angulo pela sua tangente P á g i n a 219 tanα 2 2 tanα 1 α 45 2º REAÇÕES DE APOIO Como tratase de uma estrutura e carregamentos simétricos temos que 𝑀𝐴 0 𝑉𝐵 600 36 400 18 200 0 𝑉𝐵 30 𝑘𝑁 𝐹𝑦 0 𝑉𝐴 𝑉𝐵 54 𝑘𝑁 𝑉𝐴 24 𝑘𝑁 3º CÁLCULO DOS ESFORÇOS NAS BARRAS Para determinar o carregamento nas barras 1 e 2 iremos aplicar o corte AA Figura 918 Exemplo Fonte RODRIGUES 2017 P á g i n a 220 𝐹𝑦 0 𝐹1 sin 45 24 0 𝐹1 24 0707 𝐹1 3395 𝑘𝑁 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑖𝑚𝑖𝑑𝑎 𝐹𝑥 0 𝐹2 𝐹1 cos 45 0 𝐹2 𝐹1 cos 45 𝐹2 3395 cos 45 𝐹2 24 𝑘𝑁𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎 𝑡𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑑𝑎 Pelo lado esquerdo do corte BB calculamos os esforços nas barras 3 e 4 Figura 919 Exemplo Fonte RODRIGUES 2017 P á g i n a 221 𝐹𝑦 0 𝐹3 24𝑘𝑁 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎 𝑡𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑑𝑎 𝑀𝐷 0 𝐹4 200 24 200 0 𝐹4 24𝑘𝑁 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑖𝑚𝑖𝑑𝑎 Para determinação das forças nas barras 5 e 6 aplicamos o corte CC e cal culamos pelo lado esquerdo 𝐹𝑦 0 𝐹5 sin 45 24 18 0 𝐹5 6 0707 𝐹5 849 𝑘𝑁 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑖𝑚𝑖𝑑𝑎 𝑀𝐸 0 𝐹6 200 24 400 18 200 0 𝐹6 30 𝑘𝑁 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎 𝑡𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑎𝑛𝑑𝑎 P á g i n a 222 Isolamos o nó F no corte DD e calculamos as barras 7 e 8 Figura 920 Exemplo Fonte RODRIGUES 2017 𝐹𝑦 0 𝐹7 36 𝑘𝑁 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎 𝑡𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑑𝑎 𝐹𝑦 0 𝐹8 𝐹6 30 𝑘𝑁 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎 𝑡𝑎𝑟𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑑𝑎 P á g i n a 223 Pelo corte EE encontramos a força na barra 9 Figura 921 Exemplo Fonte RODRIGUES 2017 𝐹𝑦 0 𝐹9 sin 45 30 0 𝐹9 30 0707 4243 𝑘𝑁𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑖𝑚𝑖𝑑𝑎 Figura 922 Exemplo Fonte RODRIGUES 2017 Resumo Nesta aula abordamos A utilização das treliças em obras Compreendemos o conceito de treliça Calculamos os esforços internos de uma treliça plana Complementar Assistam aos vídeos da aula 09 da disciplina de Sistemas Isostáticos Leia o capítulo 6 do livro HIBBELER R C Mecânica Estática Referências Bibliográficas Básica GORFIN BERNARDO OLIVEIRA MYRIAN MARQUES DE Estruturas Isostáticas Rio de Janeiro Livros Técnicos e Científicos Editora SA 1975 HIBBELER R C Mecânica Estática VIERO E H Isostática Passo a Passo Sistemas Estruturais em Arquitetu ra e Engenharia GORFIN B OLIVEIRA M M Estruturas Isostáticas FONSECA A Curso de Mecânica SUSSEKIND J C Curso de Análise Estrutural RILEY W STURGES L MORRIS D Mecânica dos Materiais AULA 9 Exercícios 1 Calcule as reações de apoio e as forças normais nas barras através do Mé todo dos Nós 228 229 2 HIBBELER Determine a força no elemento EB para a treliça mostrada na figura abaixo e Indique se o elemento está sob tração ou compressão Sistemas reticulados Pórticos planos Aula 10 APRESENTAÇÃO DA AULA Nesta aula nós vamos aprender sobre sistemas isostáticos reticulados mais conhecidos como pórticos planos Este conteúdo é extremamente importante visto que a maioria das estruturas em engenharia civil é constituída por combinação de pórticos OBJETIVOS DA AULA Esperamos que após o estudo do conteúdo desta aula você seja capaz de Definir o conceito de treliças planas Identificar a treliça simples e os seus componentes Determinar as forças nos componentes de uma treliça plana utilizando o método dos nós Analisar as forças nos componentes de uma treliça plana P á g i n a 231 10 SISTEMAS RETICULADOS PÓRTICOS PLANOS 101 Definição Segundo Leet 2009 os pórticos são estruturas compostas por vigas e colunas as quais são conectadas por ligações rígidas Existem aplicações de união com diferentes angulações dependendo do que o projeto necessita Mas o ângulo entre a viga e a coluna geralmente é de 90 Os pórticos podem ser constituídos por uma única coluna e viga ou da união de várias colunas e vigas como em um prédio de vários andares Veja na figura abaixo Figura 101 Estruturas aporticadas Fonte LEET 2009 Os pórticos se classificam em duas categorias contraventados e não contraventados 102 Pórtico Contraventado É aquele no qual os nós em cada nível giram livremente mas são impedidos de se mover lateralmente pela fixação em um elemento rígido que impede o movimento lateral Como exemplo em um prédio de vários andares os pórticos das estruturas são ligados com os pilaresparedes paredes estruturais rígidas geralmente construídas de concreto armado ou alvenaria armada P á g i n a 232 Figura 102 Pórticos Fonte LEET 2009 Em pórticos simples de um vão pode ser utilizado um contraventamento diagonal leve conectado à base das colunas para resistir ao deslocamento lateral dos nós superiores Figura 103 Pórticos simples Fonte LEET 2009 P á g i n a 233 103 Pórtico Não Contraventado É aquele no qual a resistência lateral ao deslocamento é fornecida pela rigidez à flexão das vigas e colunas Nos pórticos não contraventados os nós estão livres para girar e se deslocar lateralmente Como tendem a ser flexíveis comparados aos pórticos contraventados sob carga lateral os pórticos não contraventados podem sofrer deflexões transversais que atrapalham os elementos não estruturais ligados a eles como paredes janelas etc Figura 104 Deflexões Fonte LEET 2009 Embora a força axial força cortante e momento sejam transmitidos pelas vigas e as colunas de pórticos rígidos a força axial nas vigas geralmente é tão pequena que pode ser desconsiderada e a viga dimensionada somente para momento Já nas colunas a força axial em especial nas colunas internas inferiores de pórticos de vários pavimentos frequentemente é grande e os momentos pequenos Para colunas desse tipo as proporções são determinadas principalmente pela capacidade axial dos membros P á g i n a 234 Se os pórticos apresentam flexibilidade um momento fletor adicional é criado pelo deslocamento lateral do membro Por exemplo as partes superiores das colunas do pórtico não contraventado na acima da esquerda se deslocam uma distância para a direita Para avaliar as forças na coluna consideramos um corpo livre da coluna AB em sua posição fletida ver figura acima direita O corpo livre é cortado passandose um plano imaginário pela coluna imediatamente abaixo do nó B O plano de corte é perpendicular ao eixo longitudinal da coluna Podemos dizer que o momento interno Mi que atua no corte como reações na base da coluna e geometria da forma fletida somando os momentos sobre um eixo z pela linha central da coluna 𝑀𝑖 𝑀𝑧 𝑀𝑖 𝐴𝑥 𝐿 𝐴𝑦 Na Equação acima o primeiro termo representa o momento originado pela aplicação das cargas desprezandose a deflexão lateral do eixo da coluna É chamado momento principal e tem a ver com a análise de primeira ordem O segundo termo Ay que representa o momento adicional produzido pela excentricidade da carga axial é denominado momento secundário ou momento P delta O momento secundário será pequeno e pode ser desconsideradas sem erro significativo sob estas duas condições 1 As forças axiais são pequenas digamos menos de 10 da capacidade axial da seção transversal 2 A rigidez à flexão da coluna é grande de modo que o deslocamento lateral do eixo longitudinal da coluna produzido pela flexão é pequeno Neste caderno faremos apenas uma análise de primeira ordem isto é não consideraremos o cálculo do momento secundário um assunto normalmente abordado em cursos avançados de mecânica estrutural P á g i n a 235 Como desprezamos os momentos secundários a análise dos pórticos é semelhante à análise das vigas isto é a análise está concluída quando estabelecemos os diagramas de cortante e de momento além da força axial com base na geometria inicial do pórtico descarregado Nos exemplos desta aula supomos que todas as vigas e pórticos são estruturas bidimensionais suportando cargas no plano que produzem cortante momento e possivelmente forças axiais mas nenhuma torção Para essa condição uma das mais comuns na prática real existir as cargas no plano devem passar pelo centroide de uma seção simétrica ou pelo centro de cisalhamento de uma seção assimétrica como mostrado na figura abaixo Figura 105 a Viga carregada pelo centroide da seção simétrica b seção assimétrica carregada pelo centro de cisalhamento Fonte LEET 2009 Vamos agora a uma aplicação de pórtico plano isostático Calcularemos as reações de apoio e os diagramas de esforços solicitantes Seja o pórtico abaixo P á g i n a 236 Figura 106 Pórtico Primeiramente vamos analisar os tipos de apoio e identificar as reações Logo depois iremos aplicar as equações de equilíbrio para calcular seus valores Figura 107 Identificando as reações P á g i n a 237 𝐹𝑥 0 HA 40 15 HA 25 kN 𝐹𝑦 0 VA VB 204 VA VB 80 kN Para o cálculo do momento devemos nos ater a todas as cargas que geram tendência de giro no ponto analisado Toda carga que tiver uma distância perpendicular a ela mesma em relação ao ponto analisado é capaz de gerar momento Em análise de pórticos diferentemente de vigas cargas horizontais também podem gerar momento nos apoios desde que possuam uma altura distância perpendicular à carga em relação ao ponto analisado Assim 𝑀𝐴 0 402 2042 153 4VB 0 VB 4875 kN VA 80 4875 3125 kN Com as reações calculadas faremos os diagramas de esforços solicitantes começando pelo DEN 104 Diagrama de Esforços Normais Vamos analisar todas as barras da estrutura separadamente para ver quais estão sujeitas a esforços de tração ou compressão e os valores Começando pela barra 1 a coluna da esquerda podemos notar que existem duas cargas capazes de gerar esforços normais na mesma VA 3125 kN e uma parcela da carga distribuída na viga que descarrega nas colunas P á g i n a 238 A parcela da carga distribuída que chega na barra 1 é exatamente o valor da reação de apoio VA Assim temos na barra 1 um esforço normal constante ao longo de toda ela de compressão com valor de 3125 kN Figura 108 Análise de trecho Analisando agora a barra 2 viga devemos perceber a influência das cargas horizontais na geração de esforços normais deste elemento Apesar de as cargas de 40 kN 15 kN e até mesmo a reação horizontal HB não estarem atuando diretamente na viga tente imaginar o que elas fazem com as colunas e por consequência com as vigas Pela esquerda a carga de 40 kN empurra a coluna para frente mas sofre resistência de HA tendo assim uma tendência de deslocar esta coluna para frente com um valor de 40 25 15 kN Pela coluna da direita temos uma carga de 15 kN empurrando a coluna para trás esquerda Agora imaginem essas duas colunas sendo empurradas uma em direção à outra com a viga entre elas Ambas provocam um esforço normal de compressão nesta viga correto Assim para saber os esforços normais em uma viga componente de um pórtico P á g i n a 239 basta pegar as resultantes horizontais que atuam pela esquerda e pela direita que SEMPRE TERÃO O MESMO VALOR e aplicar na viga em questão Figura 109 Análise de trecho Agora na barra 3 coluna da direita podemos notar que existem duas cargas capazes de gerar esforços normais na mesma VB 4875 kN e uma parcela da carga distribuída na viga que descarrega nas colunas A parcela da carga distribuída que chega na barra 3 assim como ocorreu na barra 1 é exatamente o valor da reação de apoio VB Assim temos na barra 3 um esforço normal constante ao longo de toda ela de compressão com valor de 4875 kN P á g i n a 240 Figura 1010 Análise de trecho Assim podemos traçar nosso DEN Lembrando que esforços de compressão são negativos e os positivos de tração Figura 1011 DEN P á g i n a 241 O diagrama de esforços cortantes é feito seguindo o mesmo princípio das vigas da esquerda para a direita seguindo o sentido e a natureza dos carregamentos Uma atenção que você deve ter é perceber quais cargas são cortantes as quais barras Por exemplo a carga de 40 kN é cortante em relação à barra 1 e normal em relação à barra 2 Começaremos assim então Figura 1012 Reações de apoio PONTO A cortante de 25 kN para a esquerda TRECHO AC nenhuma carga atuando ao longo do trecho portanto cortante se mantém até o ponto C com valor de 25 kN para a esquerda PONTO C cortante de 40 kN para a direita a partir do valor anterior de 25kN Assim cortante em C 25 kN 40 kN 15 kN para a direita TRECHO CD cortante se mantém constante com valor de 15 kN Agora temos um ponto especial o ponto D Notem que ele pertence tanto a coluna barra 1 quanto à viga barra 2 Assim este ponto sempre terá dois valores de cortante um referente a cada uma das barras P á g i n a 242 Ele irá conter o último valor de cortante da coluna e o primeiro valor de cortante da viga PONTO D coluna nenhuma força cortante atuando assim se mantém o valor do trecho CD 15 kNpara a direita Agora passaremos ao ponto D da viga mudando os tipos de cargas analisadas Notem que as cargas capazes de gerar esforços cortantes na viga são as verticais VA carga distribuída de 20 kNm e VB PONTO D viga temos um cortante VA 3125 kN atuando no ponto D pelo princípio da transmissibilidade TRECHO DE temos a atuação cortante da carga distribuída de 20 kNm ao longo de 4m de estrutura ou seja será distribuído ao longo do trecho de maneira proporcional um total de 204 80 kN Assim temos 3125 kN 80 kN 4885 kN PONTO E o cortante resultante do trecho 4884 kN encontra uma força VB com valor de 4885 jogando o total de esforço nesse ponto para zero Assim 4884 kN 4885 0 O ponto E é o último ponto da viga portanto ele deve necessariamente fechar o cortante em zero garantindo o equilíbrio da estrutura em relação às cargas verticais No entanto ele pertence à coluna da direita também barra 3 sendo o primeiro ponto da mesma O valor de cortante da coluna da esquerda não fechou em zero ou seja ela sozinha não garante o equilíbrio da estrutura Portanto o último valor da barra 1 deve ser passado para o mesmo ponto da barra 3 Assim cortante em D coluna cortante em E coluna Alguns autores consideram os esforços cortantes da barra da direita com sinal invertido ou seja se a carga está entrando na estrutura o gráfico demonstra a mesma saindo No entanto esta é somente uma convenção existem outras que serão vistas nas próximas aulas quando tratarmos de pórticos compostos Portanto se atente ao sinal do gráfico de cortante na barra 3 PONTO E coluna mesmo valor de D coluna 15 kN TRECHO EF cortante se mantém com 15 kN por não existir influência de cargas ao longo do trecho P á g i n a 243 PONTO F cortante de 15 kN chega no ponto e sofre a influência de uma carga de 15kN zerando o valor do cortante nos elementos verticais ou seja nas colunas TRECHO FB cortante se mantém nulo por não ter nenhuma carga atuando PONTO B cortante se mantém nulo por não ter nenhuma carga atuando Assim nosso DEQ ficará assim Figura 1013 DEQ O cálculo de x ponto onde o cortante é nulo é feito da mesma maneira que vimos em vigas dividindo o valor do cortante do ponto crítico anterior pelo valor da carga distribuída Assim Q 0 se x 312520 15625 m 105 Diagrama de Momento Fletor O DMF é feito seguindo o mesmo processo adotado nas vigas na aula 4 Vamos analisar primeiro os pontos onde o momento é nulo e depois calcular o momento ponto a ponto olhando sempre as cargas atuantes antes do ponto ou após o ponto Desta forma temos os pontos críticos marcados assim PONTO A apoio ou extremidade de estrutura P á g i n a 244 PONTO B apoio ou extremidade de estrutura PONTO C carga concentrada PONTO D extremidade de colunaviga nó ou início de carregamento PONTO E extremidade de colunaviga nó ou início de carregamento PONTO F carga concentrada Nesses pontos temos certeza que o valor de momento é nulo apenas em A e B por se tratarem de apoios simples em extremidade de estrutura Sempre que analisarmos as cargas antes do ponto denominaremos de esquerda e após direita Para convenção de sinais de diagramas de momento utilizaremos um processo bastante simples quando analisarmos colunas toda carga que deslocar a coluna para dentro da estrutura será considerada como geradora de momento negativo Desta forma toda solicitação que deslocar a coluna para fora provocará um momento positivo Esta técnica pode ser utilizada em qualquer caso analisando pela direita ou pela esquerda além de garantir sempre o menor processo de cálculo possível em cada situação Analisando a coluna AD do exemplo abaixo meramente ilustrativo observamos que a única carga que gera momento em D é a de 40kN Esta carga tende a deslocar a coluna para dentro da estrutura gerando assim um momento negativo P á g i n a 245 Figura 1014 Análise de momento Assim vamos começar os cálculos de momento nos pontos Figura 1015 Ações e reações MA MB 0 P á g i n a 246 MC esq 252 50 kNm levando a coluna para fora da estrutura em relação a C por isso o sinal positivo MD esq 254 402 20 kNm ME direita 151 15 kNm levando a coluna para dentro da estrutura em relação a C por isso o sinal negativo MF direita 0 pois não existem forças após o ponto F capazes de gerar momento neste local Mvão 𝑞𝑙² 8 204² 8 40 𝑘𝑁 𝑚 Vamos analisar o momento máximo tomando as cargas após o ponto Desta forma tudo que fica antes será ignorado Observe a figura abaixo para entender quais carregamentos entrarão neste cálculo Não se esqueça das reações de apoio Figura 1016 Análise de trecho Mmáx Q 0 x 15625 m Mmáx direita 151 VB 4 15625 20 4 15625 4 156252 P á g i n a 247 Mmáx dir 4465 kNm Agora é só marcar os pontos e conectálos de acordo com a natureza das cargas cortantes Figura 1017 DMF Agora é a sua vez Resumo Nesta aula abordamos Pórticos isostáticos Reações de apoio em estruturas aporticadas Diagramas de esforços solicitantes em pórticos isostáticos Esforços máximos em pórticos isostáticos Complementar Assistam ao vídeo 07 da disciplina de Sistemas Isostáticos Resolva os exercícios propostos assista aos vídeos da disciplina e procura ajuda com o professor ou tutor caso necessite Referências Bibliográficas Básica MACHADO JÚNIOR E F Introdução à Isostática EESCUSP Projeto REENGE São Carlos 1999 GORFIN BERNARDO OLIVEIRA MYRIAN MARQUES DE Estruturas Isostáticas Rio de Janeiro Livros Técnicos e Científicos Editora SA 1975 SÜSSEKIND J C Curso de Análise Estrutural vol 1 Estruturas Isostáti cas Editora Globo Porto Alegre 1984 AULA 10 Exercícios Determinar as reações de apoio e os dess para os pórticos isostáticos bem como os valores de esforços máximos P á g i n a 252 REAÇÕES DE APOIO P á g i n a 253 DIAGRAMA DE ESFORÇOS NORMAIS P á g i n a 254 DIAGRAMA DE ESFORÇOS CORTANTES Sistemas reticulados Pórticos isostáticos Aula 11 APRESENTAÇÃO DA AULA Nesta aula nós vamos resolver mais alguns exemplos de estruturas aporticadas para que você possa conhecer todas as formas de apresentação de cargas e tirar possíveis dúvidas acerca do conteúdo OBJETIVOS DA AULA Esperamos que após o estudo do conteúdo desta aula você seja capaz de Entender o que são pórticos planos isostáticos Calcular reações de apoio em estruturas aporticadas Traçar diagramas de esforços solicitantes em pórticos isostáticos Determinar valores de esforços máximos em pórticos planos isostáticos P á g i n a 256 11 SISTEMAS RETICULADOS PÓRTICOS PLANOS ISOSTÁTICOS Exemplo 1 Figura 111 Pórtico carregado Primeiramente vamos analisar os tipos de apoio e identificar as reações Logo depois iremos aplicar as equações de equilíbrio para calcular seus valores P á g i n a 257 Figura 112 Reações de apoio 𝐹𝑥 0 HB 12 10 HB 2 kN 𝐹𝑦 0 VA VB 126 VA VB 72 kN 𝑀𝐵 0 VA6 104 1263 122 0 VA 3333 kN VA 72 3333 3867 kN Com as reações calculadas faremos os diagramas de esforços solicitantes começando pelo DEN P á g i n a 258 111 Diagrama de Esforços Normais Vamos analisar todas as barras da estrutura separadamente para ver quais estão sujeitas a esforços de tração ou compressão e os valores Começando pela barra 1 a coluna da esquerda podemos notar que existem duas cargas capazes de gerar esforços normais na mesma VA 3333 kN e uma parcela da carga distribuída na viga que descarrega nas colunas A parcela da carga distribuída que chega na barra 1 é exatamente o valor da reação de apoio VA Assim temos na barra 1 um esforço normal constante ao longo de toda ela de compressão com valor de 3333 kN Analisando agora a barra 2 viga devemos perceber a influência das cargas horizontais na geração de esforços normais deste elemento Pela esquerda a carga de 10 kN empurra a coluna para frente tendo assim uma tendência de deslocar esta coluna para frente com um valor de 10kN Pela coluna da direita temos uma carga de 12 kN empurrando a coluna para trás esquerda além da ação de HB jogando a coluna para fora com 2 kN Desta forma a resultante na barra 3 é de 12 kN para dentro 2 kN para fora gerando um esforço de 10 kN para dentro Lembrese de que as resultantes horizontais que atuam pela esquerda e pela direita que SEMPRE TERÃO O MESMO VALOR e aplicar na viga em questão Agora na barra 3 coluna da direita podemos notar que existem duas cargas capazes de gerar esforços normais na mesma VB 3867 kN e uma parcela da carga distribuída na viga que descarrega nas colunas A parcela da carga distribuída que chega na barra 3 assim como ocorreu na barra 1 é exatamente o valor da reação de apoio VB Assim temos na barra 3 um esforço normal constante ao longo de toda ela de compressão com valor de 3867 kN Assim podemos traçar nosso DEN P á g i n a 259 Lembrando que esforços de compressão são negativos e os positivos de tração Figura 113 DEN 112 Diagrama de Esforços Cortantes Figura 114 Diagrama de esforços cortantes P á g i n a 260 PONTO A não possui cortante TRECHO AC nenhuma carga atuando ao longo do trecho portanto cortante se mantém até o ponto C com valor de nulo PONTO C cortante de 10 kN para a direita TRECHO CD cortante se mantém constante com valor de 10 kN PONTO D coluna nenhuma força cortante atuando assim se mantém o valor do trecho CD 10 kNpara a direita PONTO D viga temos um cortante VA 3333 kN atuando no ponto D pelo princípio da transmissibilidade TRECHO DE temos a atuação cortante da carga distribuída de 12 kNm ao longo de 6m de estrutura ou seja será distribuído ao longo do trecho de maneira proporcional um total de 126 72 kN Assim temos 3333 kN 72 kN 3867 kN PONTO E o cortante resultante do trecho 3867 kN encontra uma força VB com valor de 3867 kN jogando o total de esforço nesse ponto para zero PONTO E coluna mesmo valor de D coluna 10 kN TRECHO EF cortante se mantém com 10kN por não existir influência de cargas ao longo do trecho PONTO F cortante de 10 kN chega no ponto e sofre a influência de uma carga de 12 kN gerando uma resultante de 10 kN 12 kN 2 kN TRECHO FB cortante se mantém constante em 2 kN por não ter nenhuma carga atuando PONTO B cortante é combatido pela reação de apoio HB que possui valor 2 kN fechando o cortante em zero Assim nosso DEQ ficará assim P á g i n a 261 Figura 115 DEQ O cálculo de x ponto onde o cortante é nulo é feito da mesma maneira que vimos em vigas dividindo o valor do cortante do ponto crítico anterior pelo valor da carga distribuída Assim Q 0 se x 333312 278 m 113 Diagrama de Momento Fletor O DMF é feito seguindo o mesmo processo adotado nas vigas na aula 4 Vamos analisar primeiro os pontos onde o momento é nulo e depois calcular o momento ponto a ponto olhando sempre as cargas atuantes antes do ponto ou após o ponto Desta forma temos os pontos críticos marcados assim PONTO A apoio ou extremidade de estrutura PONTO B apoio ou extremidade de estrutura PONTO C carga concentrada PONTO D extremidade de colunaviga nó ou início de carregamento P á g i n a 262 PONTO E extremidade de colunaviga nó ou início de carregamento PONTO F carga concentrada Assim vamos começar os cálculos de momento nos pontos Figura 116 DMF MA MB 0 MC esq 0 pois não existem forças antes do ponto C capazes de gerar momento neste local MD esq 102 20 kNm ME direita 124 48 kNm MF direita 22 4 kNm Mvão 𝑞𝑙² 8 126² 8 54 𝑘𝑁 𝑚 Vamos analisar o momento máximo tomando as cargas antes do ponto Mmáx Q 0 x 278 m Mmáx esq 3333278 102122782782 2630 kNm Agora é só marcar os pontos e conectálos de acordo com a natureza das cargas cortantes P á g i n a 263 Figura 117 DMF Exemplo 2 Figura 118 Pórtico isostático Primeiramente vamos analisar os tipos de apoio e identificar as reações P á g i n a 264 Logo depois iremos aplicar as equações de equilíbrio para calcular seus valores Figura 119 Reações de apoio 𝐹𝑥 0 HA 12 10 HB 22kN 𝐹𝑦 0 VA VB 157 VA VB 105 kN 𝑀𝐴 0 121 103 15772 7VB 0 0 VB 465 kN VA 105 465 585 kN Com as reações calculadas faremos os diagramas de esforços solicitantes começando pelo DEN P á g i n a 265 114 Diagrama de Esforços Normais Parte II Vamos analisar todas as barras da estrutura separadamente para ver quais estão sujeitas a esforços de tração ou compressão e os valores Começando pela barra 1 a coluna da esquerda podemos notar que existem duas cargas capazes de gerar esforços normais na mesma VA 585 kN e uma parcela da carga distribuída na viga que descarrega nas colunas A parcela da carga distribuída que chega na barra 1 é exatamente o valor da reação de apoio VA Assim temos na barra 1 um esforço normal constante ao longo de toda ela de compressão com valor de 585 kN Analisando agora a barra 2 viga devemos perceber a influência das cargas horizontais na geração de esforços normais deste elemento Pela esquerda as cargas de 10 kN e 12 kN que empurram a coluna para trás tendo assim uma tendência de deslocar esta coluna para frente com um valor de 22 kN Porém nesta mesma coluna temos a reação horizontal HA que impede este movimento Desta forma não temos esforços normais na viga analisando pela coluna da esquerda ou pela direita Agora na barra 3 coluna da direita podemos notar que existem duas cargas capazes de gerar esforços normais na mesma VB 4650 kN e uma parcela da carga distribuída na viga que descarrega nas colunas A parcela da carga distribuída que chega na barra 3 assim como ocorreu na barra 1 é exatamente o valor da reação de apoio VB Assim temos na barra 3 um esforço normal constante ao longo de toda ela de compressão com valor de 4650 kN Assim podemos traçar nosso DEN Lembrando que esforços de compressão são negativos e os positivos de tração P á g i n a 266 Figura 1110 DEN 115 Diagrama de Esforços Cortantes Parte II Figura 1111 Análise das ações e reações PONTO A Cortante com valor de HA 22 kN P á g i n a 267 TRECHO AC nenhuma carga atuando ao longo do trecho portanto cortante se mantém até o ponto C com valor 22 kN PONTO C cortante de 12 kN portanto 22 kN 12 kN 10 kN TRECHO CD cortante se mantém constante com valor de 10 kN PONTO D cortante de 10 kN portanto 10 kN 10 kN 0 TRECHO DE cortante se mantém com nulo por não existir influência de cargas ao longo do trecho PONTO E coluna nenhuma força cortante atuando assim se mantém PONTO E viga temos um cortante VA 5850 kN atuando no ponto E pelo princípio da transmissibilidade TRECHO EF temos a atuação cortante da carga distribuída de 15 kNm ao longo de 7 m de estrutura ou seja será distribuído ao longo do trecho de maneira proporcional um total de 157 105 kN Assim temos 5850 kN 105 kN 4650 kN PONTO F o cortante resultante do trecho 4650 kN encontra uma força VB com valor de 4650 kN jogando o total de esforço nesse ponto para zero PONTO F coluna mesmo valor de E coluna 0 kN TRECHO FB cortante se mantém NULO por não existir influência de cargas ao longo do trecho PONTO B cortante NULO Assim nosso DEQ ficará assim P á g i n a 268 Figura 1112 DEQ O cálculo de x ponto onde o cortante é nulo é feito da mesma maneira que vimos em vigas dividindo o valor do cortante do ponto crítico anterior pelo valor da carga distribuída Assim Q 0 se x 585015 39 m 116 Diagrama de Momento Fletor Parte II Vamos analisar primeiro os pontos onde o momento é nulo e depois calcular o momento ponto a ponto olhando sempre as cargas atuantes antes do ponto ou após o ponto Desta forma temos os pontos críticos marcados assim PONTO A apoio ou extremidade de estrutura PONTO B apoio ou extremidade de estrutura PONTO C carga concentrada PONTO D extremidade de colunaviga nó ou início de carregamento PONTO E extremidade de colunaviga nó ou início de carregamento P á g i n a 269 PONTO F carga concentrada Assim vamos começar os cálculos de momento nos pontos Figura 1113 Pontos críticos MA MB 0 MC esq 221 22 kNm MD esq 223 122 42 kNm ME esq 226 125 103 42 kNm MF direita 0 pois não existem forças antes do ponto C capazes de gerar momento neste local Mvão 𝑞𝑙² 8 157² 8 91875 𝑘𝑁 𝑚 Vamos analisar o momento máximo tomando as cargas depois do ponto Mmáx Q 0 x 39 m Mmáx esq 465031 1531312 72075 kNm Agora é só marcar os pontos e conectálos de acordo com a natureza das cargas cortantes P á g i n a 270 Figura 1114 DMF Agora é a sua vez Resumo Nesta aula abordamos Pórticos isostáticos Reações de apoio em estruturas aporticadas Diagramas de esforços solicitantes em pórticos isostáticos Esforços máximos em pórticos isostáticos Complementar Assistam ao vídeo 08 da disciplina de Sistemas Isostáticos Referências Bibliográficas Básica MACHADO JÚNIOR E F Introdução à Isostática EESCUSP Projeto REENGE São Carlos 1999 GORFIN BERNARDO OLIVEIRA MYRIAN MARQUES DE Estruturas Isostáticas Rio de Janeiro Livros Técnicos e Científicos Editora SA 1975 SÜSSEKIND J C Curso de Análise Estrutural vol 1 Estruturas Isostáti cas Editora Globo Porto Alegre 1984 AULA 11 Exercícios Determinar as reações de apoio e os dess para os pórticos isostáticos bem como os valores de esforços máximos P á g i n a 275 RESPOSTAS REAÇÕES DE APOIO P á g i n a 276 DIAGRAMA DE ESFORÇOS NORMAIS P á g i n a 277 DIAGRAMA DE ESFORÇOS CORTANTES P á g i n a 278 DIAGRAMA DE MOMENTO FLETOR Página 279 Pórticos compostos Aula 12 APRESENTAÇÃO DA AULA Nesta aula veremos como separar e calcular reações de apoio em pórticos compostos OBJETIVOS DA AULA Esperamos que após o estudo do conteúdo desta aula você seja capaz de Entender o que é um pórtico composto Separar a estrutura em pórticos isostáticos Calcular as reações de apoio em pórticos compostos Determinar as reações finais do conjunto P á g i n a 281 12 PÓRTICOS COMPOSTOS Nesta aula vamos aprender uma composição mais usual e mais complexa de pórticos São os chamados PÓRTICOS COMPOSTOS Assim como temos a associação de vigas através de rótu las como aprendemos em Gerber temos também para pórticos A ideia do processo é a mesma sendo a única diferença a presença de colu nas Vamos entender o que é um pórtico composto então Veja a figura abaixo Figura 121 Pórtico composto Fonte SANTA CATARINA UFSC 2017 Podemos observar a presença de apoios e rótulas na estrutura as quais se rão nossos pontos de separação como fizemos em Gerber Vamos então analisar os pórticos em SEP e CEP P á g i n a 282 Figura 122 Análise de estabilidade Fonte SANTA CATARINA UFSC 2017 Assim fica claro que o pórtico DEFGH deve ser apoiado nos demais pórticos pois este não possui nenhum tipo de apoio Aplicando os apoios referentes às rótulas teremos como resultado três pórticos isostáticos P á g i n a 283 Figura 123 Separação dos termos Fonte SANTA CATARINA UFSC 2017 Mais alguns exemplos P á g i n a 284 Figura 124 Análise e separação dos trechos Fonte SANTA CATARINA UFSC 2017 Vamos agora calcular as reações de apoio de um pórtico composto Seja o pórtico a seguir P á g i n a 285 Figura 125 Separação dos trechos Figura 126 Pórtico composto Separando na rótula percebemos que o pórtico AB não possui estabilidade própria o que nos obriga a apoiálo no ponto B de CD P á g i n a 286 Figura 127 Separação dos trechos O pórtico CD possui 4 reações de apoio por se tratar de dois apoios de segundo gênero Para que ele fique isostático devemos manter a rótula Esta é a única diferença entre pórticos compostos e vigas Gerber Quando separamos os pórticos obrigatoriamente um de ve permanecer com as rótulas Sempre deixaremos estes vínculos nos pórticos que apresentarem mais de 3 reações de apoio P á g i n a 287 Figura 128 Reações dos trechos Aplicando a equação dos esforços no pórtico AB e posteriormente no pórtico CD podemos obter Aplicando as equações de equilíbrio em AB 𝐹𝑥 0 HB 10 0 HB 10 kN 𝐹𝑦 0 VA VB 208 0 VA VB 160 kN 𝑀𝐵 0 8VA 102 2084 0 VA 825 KN VB 775 KN P á g i n a 288 Aplicando as equações de equilíbrio em CD 𝐹𝑥 0 20 10 HB HC HD 0 HC HD 20 kN 𝐹𝑦 0 VC VD VB 108 0 VC VD 1625 kN 𝑀𝐶 0 HB4 1084 106 203 8VD 0 VD 50 KN VE 1125 KN Quando temos uma rótula sabemos que o momento nela é sempre nulo Assim utilizaremos este valor para achar as reações que faltam Escolheremos o momento antes ou depois da rótula para este cálculo NUNCA OS DOIS AO MESMO TEMPO MB abaixo da rótula 0 HC4 0 HC 0 HD 20 kN P á g i n a 289 Figura 129 Reações de apoio Assim temos como estrutura final Figura 1210 Ações e reações Assim temos as reações finais em um pórtico composto Resumo Nesta aula você aprendeu Pórticos compostos Análise de estabilidade Separação dos trechos Cálculo das reações de apoio Complementar Assista aos vídeos da disciplina são fundamentais para a sua aprendizagem Fique atento aos horários de atendimento disponíveis na Secretaria Virtual da Blackboard Não acumule dúvidas Procure o professor da disciplina ou o tutor para esclare cer suas dúvidas AULA 12 Exercícios Agora é a sua vez Resolva os exercícios propostos e tire dúvidas com os tutores ou professores caso haja necessidade Boa sorte Exercício 1 determinar as reações de apoio do pór tico abaixo P á g i n a 293 Resposta Exercício 2 determinar as reações de apoio do pórtico abaixo P á g i n a 294 Resposta P á g i n a 295 Exercício 3 determinar as reações de apoio do pórtico abaixo Resposta Referências Bibliográficas Básica GORFIN BERNARDO OLIVEIRA MYRIAN MARQUES DE Estruturas Isostáticas Rio de Janeiro Livros Técnicos e Científicos Editora SA 1975 HIBBELER R C Mecânica Estática VIERO E H Isostática Passo a Passo Sistemas Estruturais em Arquitetu ra e Engenharia GORFIN B OLIVEIRA M M Estruturas Isostáticas FONSECA A Curso de Mecânica SANTA CATARINA UFSC Análise Estrutural I Disponível em httppetecvufscbrarquivosapoiodidaticoECV5219 Análise Estrutural Ipdf Acesso em 10 set 2017 SUSSEKIND J C Curso de Análise Estrutural RILEY W STURGES L MORRIS D Mecânica dos Materiais Diagramas de esforços solicitantes em Pórticos compostos Aula 13 APRESENTAÇÃO DA AULA Nesta aula veremos como montar os diagramas de esforços solicitantes em pórticos compostos OBJETIVOS DA AULA Esperamos que após o estudo do conteúdo desta aula você seja capaz de Montar o DEN Montar o DEQ Montar o DMF Determinar os valores de esforços máximos em cada estrutura P á g i n a 298 13 DIAGRAMAS DE ESFORÇOS SOLICITANTES Assim como fizemos em Gerber na aula 11 vamos dimensio nar cada um dos diagramas passo a passo separadamente pa ra que você possa perceber cada detalhe da execução Os pontos chaves para a montagem dos diagramas são os mesmos de Gerber Momento na rótula sempre nulo Momento em apoio simples em extremidade sempre nulo Momento em um ponto analisado pela direita ou pela esquerda da estrutura tem sempre o mesmo valor Somatório do momento em QUALQUER ponto da estrutura sempre nulo Convenção de sinais Figura 131 Convenção de sinais Vamos tomar um exemplo para começar Como já temos um caso resolvido na aula anterior utilizaremos seus resulta dos de reações para dar continuidade no processo de diagramação da es trutura ATENÇÃO P á g i n a 299 Figura 132 Pórtico composto 131 Diagrama de Esforços Normais DEN Como já sabemos no DEN devemos analisar quais barras estão sujeitas à tração ou compressão Vamos analisar barra por barra Barra AC Isolando este trecho podemos perceber quais são os esforços normais e qual a solicitação que os mesmos provocam no trecho P á g i n a 300 Figura 133 Análise de DEN Figura 134 Análise de DEN As cargas normais à barra AC são 7750 kN referente à VA e uma parcela da carga distribuída de 20 kNm que vale também 7750 kN Isso acontece porque a reação de apoio tem exatamente o valor da solicita ção que está sendo feita no apoio P á g i n a 301 Assim podemos simplificar as colunas para o DEN sempre desta forma con siderando o esforço no valor da reação de apoio presente no elemento Nosso trecho AC possui duas cargas de 7750 kN comprimindo a estrutura o que nos dá um DEN negativo Barra CD Neste trecho temos como cargas normais a força concen tra da de 10 kN que atua no ponto B da estrutura e a reação de apoio que entra no lugar da rótula D como vimos na resolução na aula anterior Assim com duas cargas de 10 kN saindo da estrutura podemos observar uma solicitação de tração nesta barra Figura 135 Análise de DEN Barra EJ Este trecho pode ser dividido em duas partes para o de senho do DEN mas pode ser analisado todo de uma só vez Vejamos a figura abaixo mostrando o trecho em desta que e o cálculo das suas solicitações feitas na aula anterior P á g i n a 302 Figura 136 Análise de DEN Pelo mesmo princípio utilizado na barra AC temos no trecho DJ uma normal de compressão com 11250 kN referente a 8250 kN da rótula e 30 kN provenientes da carga distribuída Note que a carga da rótula 8250 kN não atua na parte superior do trecho o que nos leva a uma normal de 11250 8250 30 kN em DE Assim temos 11250 kN de compressão em DJ 8250 30 11250 com 11250 e 30 kN de compressão em DE 11250 8250 30 com 30 Barra EF Este trecho será analisado como o CD P á g i n a 303 Figura 137 Análise de DEN Pelo mesmo princípio de CD teremos em EF uma tração de 10 kN Barra FI Mesmo método utilizado em AC Temos a reação de 50 kN combatendo a parcela da car ga distribuída atuante na coluna FI Assim nosso DEN ficaria 50 da reação de apoio com 50 da solicitação externa gerando uma compressão de 50 kN P á g i n a 304 Figura 138 Análise de DEN Por fim temos o nosso DEN do pórtico com o seguinte formato P á g i n a 305 Figura 139 DEN 132 Diagrama de Esforços Cortantes DEQ Para este diagrama basta seguir a orientação das cargas sempre analisando da esquerda para a direita utilizando os con ceitos vistos em Gerber para DEQ Temos então P á g i n a 306 Figura 1310 DEQ 133 Diagrama de Momento Fletor DMF Utilizando também os mesmos princípios vistos em Gerber montaremos o DMF ponto a ponto A diferença é que neste caso temos colunas e vigas Vamos utilizar a convenção de vigas da mesma forma analisando à esquerda e à direita Para colunas tudo que for situado ANTES DO PONTO analisado será consi derado como ESQUERDA De maneira contrária tudo que estiver DEPOIS DO PONTO analisado será considerado como DIREITA da coluna Desta forma toda carga aplicada em uma coluna que atue empurrando a co luna para fora gera um momento positivo Toda carga que tenha tendência a deslocar a coluna para dentro da estrutura gera um momento negativo Eis um esquema para que possa entender como acontece P á g i n a 307 Figura 1311 Convenção de movimentos Vamos começar a montar nosso DMF Figura 1312 Ações e reações PONTO A Um apoio rotulado não possui reação de momento assim não tem um momento concentrado neste vínculo O que poderia gerar momento em um apoio rotulado seriam as cargas aplicadas fora deste ponto P á g i n a 308 O ponto A por ser um extremo não possui nenhum elemen to estrutural localizado antes dele ou seja nenhuma solicitação capaz de gerar momento naquele ponto Assim todo momento gerado pelo conjunto de forças si tuados depois do ponto será anulado Portanto MA 0 PONTO B calculando o momento à esquerda de B verificamos a inexistência de cargas perpendiculares o que nos leva a um MB 0 PONTO C à esquerda 10 2 20 kNm empurrando para fora a barra AC PONTO D por se tratar de uma rótula o momento é nulo TRECHO CD Para cargas distribuídas aplicaremos a fórmula do momento máximo do vão qL²8 208²8 160kNm para baixo de acordo com o carregamento distribuído PONTO E à direita 508 208 205 102 1084 40 kNm PONTO F à direita 208 205 102 40 kNm TRECHO EF Para cargas distribuídas aplicaremos a fórmula do momento máximo do vão qL²8 108²8 80 kNm para baixo de acordo com o carregamento distribuído PONTO G à direita 206 203 60 kNm PONTO H à direita 203 60 kNm PONTO I por se tratar se apoio simples em extremidade MI 0 PONTO J por se tratar se apoio simples em extremidade MI 0 Agora é só traçar o DMF seguindo a natureza das cargas Cargas pontuais geram momentos com formato de retas inclinadas P á g i n a 309 Cargas distribuídas geram parábolas cujo vão máximo equivale a qL²8 Figura 1313 DMF Resumo Nesta aula você aprendeu Diagrama de esforços normais para pórticos compostos Diagrama de esforços cortantes para pórticos compostos Diagrama de momento fletor para pórticos compostos Complementar Assista aos vídeos da disciplina são fundamentais para a sua aprendizagem Fique atento aos horários de atendimento disponíveis na Secretaria Virtual da Blackboard Não acumule dúvidas Procure o professor da disciplina ou o tutor para esclare cer suas dúvidas AULA 13 Exercícios Agora é a sua vez Resolva os exercícios propostos e tire dúvidas com os tu tores ou professores caso haja necessidade Boa sorte Dê prosseguimento aos exercícios propostos na aula anterior montando para cada um deles o DEN DEQ e DMF Respostas Exercício 1 DEN P á g i n a 313 DEQ P á g i n a 314 DMF P á g i n a 315 Exercício 2 DEN P á g i n a 316 DEQ P á g i n a 317 DMF P á g i n a 318 EXERCÍCIO 3 DEN P á g i n a 319 DEQ Página 320 Referências Bibliográficas Básica GORFIN BERNARDO OLIVEIRA MYRIAN MARQUES DE Estruturas Isostáticas Rio de Janeiro Livros Técnicos e Científicos Editora SA 1975 HIBBELER R C Mecânica Estática VIERO E H Isostática Passo a Passo Sistemas Estruturais em Arquitetu ra e Engenharia GORFIN B OLIVEIRA M M Estruturas Isostáticas FONSECA A Curso de Mecânica SANTA CATARINA UFSC Análise Estrutural I Disponível em httppetecvufscbrarquivosapoiodidaticoECV5219 Análise Estrutural Ipdf Acesso em 10 set 2017 SUSSEKIND J C Curso de Análise Estrutural RILEY W STURGES L MORRIS D Mecânica dos Materiais Cargas móveis Aula 14 APRESENTAÇÃO DA AULA Nesta aula nosso objetivo é estabelecer a posição de uma carga móvel por exemplo um caminhão ou um trem para maximizar o valor de certo tipo de força cortante ou momento em uma viga ou axial em uma treliça em uma seção desig nada de uma estrutura OBJETIVOS DA AULA Esperamos que após o estudo do conteúdo desta aula você seja capaz de Entender o que é uma carga móvel Aprender sobre a influência da mobilidade das cargas nas reações de apoio Identificar as equações referentes às cargas móveis Montar as linhas de influência de vigas isostáticas P á g i n a 323 14 CARGAS MÓVEIS E LINHAS DE INFLUÊNCIA Antes de entrarmos no último conteúdo desta disciplina ve remos a classificação das ações que podem ocorrer em uma es trutura segundo a Associação Brasileira de Normas Técnicas ABNT As ações que podem atuar em elementos estruturais classificamse de acordo com a ABNT NBR 8681 em permanen tes variáveis e excepcionais Para cada tipo de construção as ações a considerar devem respeitar suas peculiaridades e as normas a ela aplicáveis Veremos aqui os conceitos de ações permanentes e variáveis Você verá detalhadamente como lidar com ações excepcio nais mais adiante em disciplinas específicas Ações permanentes são as que ocorrem com valores praticamente constantes durante toda a vida da construção Tam bém são consideradas como permanente as ações que crescem com o tempo ten dendo a um valor limite constante Chamamos assim o peso de todos os elementos construtivos fixos e instalações permanentes revestimentos pisos enchimentos concretos paredes divisórias e outras Ações acidentais eventualmente atuam sobre a estrutura Chamamse assim todas as cargas que podem atuar sobre edificações em função do seu uso Podem ou não ocorrer na estrutura e são provocadas por Ventos e empuxos da terra e água Impactos laterais e forças centrífugas Frenagens ou acelerações de veículos Sobrecargas cargas de utilização em edifícios Peso de materiais que vão preencher a estrutura e são temporários reser vatórios de água silos Efeitos do terremoto regiões sujeitas a abalos sísmicos Peso de neve acumulada regiões frias Cargas móveis devido a veículos pontes rodoviárias ou ferroviárias viadu tos pontes rolantes industriais P á g i n a 324 Com exceção das cargas móveis as cargas acidentais têm posição e valores conhecidos e os esforços são calculados como nas cargas permanentes Já as cargas móveis têm seus valores conhecidos mas as posições variam à medida que os veículos atravessam ou se movimentam Neste caso os esforços são calculados de forma diferente ao das cargas per manentes ou seja se utilizam das linhas de influência À medida que uma carga em movimento passa por uma estrutura as forças internas em cada ponto da estrutura variam Intuitivamente reconhecemos que uma carga concentrada aplicada em uma viga em meio vai produz tensões de flexão e deflexão muito maiores do que a mes ma carga aplicada perto de um apoio Por exemplo suponha que você tivesse que atravessar um pequeno curso dágua repleto de crocodilos passando por cima de uma velha tábua flexível e parci almente rachada Figura 141 Analogia de esforços Fonte LEET 2014 Você ficaria mais preocupado com a capacidade da tábua de suportar seu pe so à medida que se aproximasse do meio vão ou quando estivesse parado no apoio da extremidade da tábua Se uma estrutura deve ser projetada com segurança devemos dimensionar suas barras e nós de modo que a força máxima em cada seção produzida pela so brecarga e pela carga permanente seja menor ou igual à capacidade admissível da seção P á g i n a 325 Para estabelecer as forças de projeto máximas nas seções críticas produzi das por cargas que se movem frequentemente construímos linhas de influência Linha de influência é um diagrama cujas ordenadas que são plotadas como uma função da distância ao longo do vão fornece o valor de uma força interna uma reação ou um deslocamento em um ponto específico de uma estrutura quando uma carga unitária se move pela estrutura Uma vez construída a linha de influência podemos utilizála para dois fins Determinar onde devemos colocar carga móvel em uma estrutura para ma ximizar a força cortante momento outros para a qual a linha de influência é dese nhada e Avaliar a magnitude da força representada pela linha de influência produ zida pela carga móvel Embora represente a ação de uma única carga em movimento a linha de in fluência também pode ser usada para estabelecer a força em um ponto produzida por várias cargas concentradas ou por uma carga uniformemente distribuída Para apresentar o procedimento de construção de linhas de influência discuti remos em detalhes os passos necessários para desenhar a linha de influência da reação VA no apoio A da viga com apoios simples da figura abaixo P á g i n a 326 Figura 142 Carga unitária Fonte LEET 2014 Conforme observado anteriormente podemos estabelecer as ordenadas das linhas de influência para a reação em A calculando o valor de VA para sucessivas posições de uma carga unitária à medida que ela se move pelo vão Começamos colocando a carga unitária no apoio A Somando os momentos sobre o apoio B calculamos VA 1 kN Figura 143 Reações de apoio Fonte LEET 2014 Então movemos a carga unitária arbitrariamente para uma segunda posição localizada a uma distância L4 à direita do apoio A Novamente somando os momentos sobre B calculamos VA 075 kN P á g i n a 327 Figura 144 Reações de apoio Fonte LEET 2014 Em seguida movemos a carga para o meio vão e calculamos VA 05 kN Figura 145 Reações de apoio Fonte LEET 2014 Para o cálculo final posicionamos a carga de 1 kN diretamente sobre o apoio B e calculamos VA 0 P á g i n a 328 Figura 146 Reações de apoio Fonte LEET 2014 Para construir a linha de influência plotamos agora os valores numéricos de VA diretamente abaixo de cada posição da carga unitária associada ao valor de VA correspondente O diagrama de linha de influência resultante está mostrado na figura abaixo A linha de influência mostra que a reação em A varia linearmente de 1 kN quando a carga está em A até o valor 0 quando a carga está em B Figura 147 Linha de influência VA Fonte LEET 2014 Como a reação em A é avaliada em kN as ordenadas da linha de influência têm unidades de kN por 1 kN de carga Quando você se familiarizar com a construção de linhas de influência precisa rá colocar a carga unitária em apenas duas ou três posições ao longo do eixo da viga para estabelecer o formato correto da linha de influência Vários pontos a lembrar sobre a Figura acima estão resumidos aqui Todas as ordenadas da linha de influência representam valores de VA P á g i n a 329 Cada valor de VA está plotado diretamente abaixo da posição da carga uni tária que o produziu O valor máximo de VA ocorre quando a carga unitária atua em A Como todas as ordenadas da linha de influência são positivas uma carga atuando verticalmente para baixo em qualquer lugar do vão produz uma reação em A dirigida para cima Uma ordenada negativa indicaria que a reação em A seria diri gida para baixo A linha de influência é uma linha reta Conforme você verá as linhas de in fluência de estruturas determinadas são retas ou compostas de segmentos lineares Plotando os valores da reação de B para várias posições da carga unitária geramos a linha de influência de VB mostrada abaixo Como a soma das reações em A e B sempre deve ser igual a 1 o valor da carga aplicada para todas as posições da carga unitária a soma das ordenadas das duas linhas de influência em qualquer seção também deve ser igual a 1 kN Figura 148 Linha de influência Fonte LEET 2014 Agora iremos montar um novo exemplo Construiremos linhas de influência para as reações de uma viga com um ba lanço P á g i n a 330 O primeiro passo é identificar os apoios para que as linhas de influências se jam feitas em função das reações Assim faremos duas linhas uma para VA e outra para VC Figura 149 Viga em balanço Fonte LEET 2014 Para estabelecer uma expressão geral para os valores de VA para qualquer posição da carga unitária entre os apoios A e C colocamos a carga unitária a uma distância x1 à direita do apoio A e somamos os momentos sobre o apoio C Figura 1410 Carga unitária Fonte LEET 2014 𝑀𝐶 0 10VA 110 X1 0 VA 1 𝑋1 10 Esta é a expressão que gera os valores de VA ao longo da viga em qualquer ponto determinado que obedeça ao intervalo 0 x1 10 Avaliando VA para x1 0 m 5 m e 10 m terão P á g i n a 331 Tabela 8 Valores das reações X1 Ra 0 1 5 12 10 0 Agora teremos também uma expressão geral para VA quando a carga unitá ria está localizada entre C e D ela pode ser escrita pela soma dos momentos sobre C para o diagrama de corpo livre mostrado na figura abaixo Figura 1411 Carga unitária Fonte LEET 2014 𝑀𝐶 0 10VA 1x2 0 VA 𝑋2 10 Esta é a expressão que gera os valores de VA ao longo da viga em qualquer ponto determinado que obedeça ao intervalo 0 x2 5 O sinal negativo obtido neste passo indica que VA atua para baixo quando a carga unitária está entre os pontos C e D Para x2 0 VA 0 para x2 5 VA 05 Usando os valores anteriores de VA das duas equações obtidas através da equação do momento em C desenhamos a linha de influência mostrada a seguir P á g i n a 332 Figura 1412 Linha de influência Fonte LEET 2014 Para desenhar a linha de influência de VC podemos calcular os valores da reação em C à medida que a carga unitária se move pelo vão ou subtrair de uma unidade as ordenadas da linha de influência de VA pois a soma das reações para cada posição da carga unitária deve ser igual a 1 menos o valor da carga aplicada Figura 1413 Linha de influência Fonte LEET 2014 Resumo Nesta aula você aprendeu O que é linha de influência Traçado de linhas de influência Complementar Assista aos vídeos da disciplina são fundamentais para a sua aprendizagem Fique atento aos horários de atendimento disponíveis na Secretaria Virtual da Blackboard Não acumule dúvidas Procure o professor da disciplina ou o tutor para esclare cer suas dúvidas Referências Bibliográficas Básica TÉCNICAS ASSOCIAÇÃO BRASIELIRA DE NORMAS NBR 6118 Projeto de estruturas de concretoProcedimento Rio de Janeiro 2007 LEET Kenneth M UANG Chia M GILBERT Anne M Fundamentos da Análise Estrutural3 AMGH Editora 2014 AULA 14 Exercícios Agora é a sua vez Resolva os exercícios propostos e tire dúvidas com os tutores ou professores caso haja necessidade Boa sorte Determine as equações das reações e as linhas de in fluências referentes a cada um dos apoios das estruturas a se guir P á g i n a 337 Respostas P á g i n a 338 Exercícios revisão V1 Aula 15 APRESENTAÇÃO DA AULA Vamos praticar exemplos variados de vigas isostáticas simples ou rotulados Gerber como revisão do conteúdo da v1 OBJETIVOS DA AULA Esperamos que após o estudo do conteúdo desta aula você seja capaz de Determinar as ações que influenciam em cada DESs Determinar as reações que influenciam os DESs Calcular os DESs Traçar os DESs P á g i n a 340 15 DETERMINAR PARA TODOS OS CASOS Reações de apoio Diagramas de esforços solicitantes Valor de esforço máximo normal Valor de esforço máximo cortante Posição do momento fletor máximo Valor de momento fletor máximo 151 Viga Simples P á g i n a 341 P á g i n a 342 P á g i n a 343 7 Não tem 8 Não tem 9 Não tem 10 Não tem 11 Não tem 12 Não tem P á g i n a 344 P á g i n a 345 P á g i n a 346 P á g i n a 347 Veja mais exemplos resolvidos e mais exercícios em httpsitespoliuspbrpvalerioalmeidaimagesDiagramasIsostaticos2016pdf httpwwwfeisunespbrHomedepartamentosengenhariacivilpos graduacaofundamentosdaanaliseestruturalleet2pdf httpengenheiracoblogspotcombr EXERCÍCIOS P á g i n a 348 152 Vigas Gerber P á g i n a 349 REAÇÕES DE APOIO DIAGRAMA DE ESFORÇOS NORMAIS DIAGRAMA DE ESFORÇOS CORTANTES Resumo Nesta aula abordamos Revisão do conteúdo da v1 através de exercícios Reações de apoio DEN e suas particularidades DEQ e suas particularidades DMF e suas particularidades Complementar Leitura complementar httpredentorbv3digitalpagescombruserspublications9788576058151pages11 Caderno de Mecânica Aplicada UniRedentor Referências Bibliográficas Básica GORFIN BERNARDO OLIVEIRA MYRIAN MARQUES DE Estruturas Isostáticas Rio de Janeiro Livros Técnicos e Científicos Editora SA 1975 HIBBELER R C Mecânica Estática VIERO E H Isostática Passo a Passo Sistemas Estruturais em Arquitetu ra e Engenharia GORFIN B OLIVEIRA M M Estruturas Isostáticas FONSECA A Curso de Mecânica SUSSEKIND J C Curso de Análise Estrutural RILEY W STURGES L MORRIS D Mecânica dos Materiais Exercícios de revisão V2 Aula 16 APRESENTAÇÃO DA AULA Vamos praticar exemplos variados de treliças isostáticas pórticos isostáticos planos simples rotuladas e compostas e linhas de influência como revisão do conteúdo da v2 OBJETIVOS DA AULA Esperamos que após o estudo do conteúdo desta aula você seja capaz de Determinar as ações que influenciam em cada DESs Determinar as reações que influenciam os DESs Calcular os DESs Traçar os DESs P á g i n a 358 16 DETERMINAR PARA TODOS OS CASOS SE HOUVER Reações de apoio Diagramas de esforços solicitantes Valor de esforço máximo normal Valor de esforço máximo cortante Posição do momento fletor máximo Valor de momento fletor máximo 161 Treliças P á g i n a 359 Veja mais exemplos resolvidos e mais exercícios em httpsestudanteumafileswordpresscom201304apostiladetrelic3a7as2pdf httpwwwfeisunespbrHomedepartamentosengenhariacivilpos graduacaofundamentosdaanaliseestruturalleet2pdf httpwwweletricaufprbrufpr2professor49TE224Aula20620Analise20estrut uralpdf httpwwwceapbrmaterialMAT19102013204529pdf EXERCÍCIOS P á g i n a 360 162 Pórticos Simples P á g i n a 361 P á g i n a 362 P á g i n a 363 P á g i n a 364 P á g i n a 365 163 Pórticos Compostos P á g i n a 367 Resumo Nesta aula abordamos Reações de apoio DEN e suas particularidades DEQ e suas particularidades DMF e suas particularidades Treliças isostáticas Complementar Leitura Complementar httpredentorbv3digitalpagescombruserspublications9788576058151pages11 Caderno de Mecânica Aplicada UniRedentor Referências Bibliográficas Básica GORFIN BERNARDO OLIVEIRA MYRIAN MARQUES DE Estruturas Isostáticas Rio de Janeiro Livros Técnicos e Científicos Editora SA 1975 HIBBELER R C Mecânica Estática VIERO E H Isostática Passo a Passo Sistemas Estruturais em Arquitetu ra e Engenharia GORFIN B OLIVEIRA M M Estruturas Isostáticas FONSECA A Curso de Mecânica SUSSEKIND J C Curso de Análise Estrutural RILEY W STURGES L MORRIS D Mecânica dos Materiais VIGA APOYADA DISTINTAS HIPOTESIS DE CARGA F q y segmentos en valor absoluto VIGA APOYADA DISTINTAS HIPOTESIS DE CARGA F q y segmentos en valor absoluto VIGA APOYADA DISTINTAS HIPOTESIS DE CARGA q y segmentos en valor absoluto VIGA APOYADA DISTINTAS HIPOTESIS DE CARGA q y segmentos en valor absoluto