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Cursos Gerais ·
Cálculo 4
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01042022 0943 Unidade 3 Cálculo avançado com números complexos httpsstudentulifecombrContentPlayerIndexlcNp7GPqZ843aMw5i2bpEa8XQ3d3dllicrid40d9kbSkJp6Dm2bcQ3d3dcdJ7 144 01042022 0943 Unidade 3 Cálculo avançado com números complexos httpsstudentulifecombrContentPlayerIndexlcNp7GPqZ843aMw5i2bpEa8XQ3d3dllicrid40d9kbSkJp6Dm2bcQ3d3dcdJ7 244 01042022 0943 Unidade 3 Cálculo avançado com números complexos httpsstudentulifecombrContentPlayerIndexlcNp7GPqZ843aMw5i2bpEa8XQ3d3dllicrid40d9kbSkJp6Dm2bcQ3d3dcdJ7 344 CÁLCULO AVANÇADO CÁLCULO AVANÇADO COM NÚMEROS COM NÚMEROS COMPLEXOS COMPLEXOS UNIDADE 3 CÁLCULO UNIDADE 3 CÁLCULO AVANÇADO COM NÚMEROS AVANÇADO COM NÚMEROS COMPLEXOS COMPLEXOS Autora Érica Regina de Santana Autora Érica Regina de Santana Revisor Heitor Oliveira Revisor Heitor Oliveira INICIAR 01042022 0943 Unidade 3 Cálculo avançado com números complexos httpsstudentulifecombrContentPlayerIndexlcNp7GPqZ843aMw5i2bpEa8XQ3d3dllicrid40d9kbSkJp6Dm2bcQ3d3dcdJ7 444 Introdução Prezadoa estudante Olhe agora ao seu redor e observe que estamos constantemente rodeados por fenômenos da natureza e sendo um pouco mais minuciosos nos surpreenderemos com os padrões e regularidades que nos cercam Essas regularidades possuem padrões que poderão ser expressos por representações numéricas e algébricas Também podemos pensar na soma de dois números ou mais porém como proceder com a soma de infinitos números Nesta unidade responderemos a algumas questões que integram a teoria das sequências e séries infinitas E não podemos deixar de mencionar Isaac Newton que com sua ideia de representação de funções como uma soma de séries infinitas demonstrou a importância das sequências e séries em Cálculo Uma boa parte das funções que trabalhamos em Física Química e Matemática são definidas como soma de séries Então vamos começar Bons estudos 31 Sequências e séries O estudo das sequências é fundamental para o estudo das séries infinitas e suas aplicações pois de maneira simplificada podemos definir uma série infinita como a soma de uma sequência infinita de números E em áreas de estudo diversas como óptica relatividade especial e eletromagnetismo há a análise de fenômenos que trocam uma função pelos primeiros termos da série que a representa A teoria de sequências e séries infinitas segundo Thomas 2012 tem uma importante 01042022 0943 Unidade 3 Cálculo avançado com números complexos httpsstudentulifecombrContentPlayerIndexlcNp7GPqZ843aMw5i2bpEa8XQ3d3dllicrid40d9kbSkJp6Dm2bcQ3d3dcdJ7 544 q g p aplicação no método para representar uma função derivável conhecida f x como uma soma infinita de potências de x de forma que se pareça com um polinômio com infinitos termos Além disso o método estende nosso conhecimento de como avaliar derivar e integrar polinômios de forma que possamos trabalhar com funções ainda mais gerais do que aquelas encontradas até aqui Essas novas funções são frequentes soluções para importantes problemas na ciência e na engenharia Conheça a seguir um pouco sobre dois grandes personagens que cooperaram nesses estudos O período moderno Clique nas abas para saber mais sobre o assunto Fonte THIEL MODESTI 2016 p 117 Como podemos observar o período moderno apresentou grandes momentos e movimentos para o desenvolvimento das teorias de cálculo Ao final do século XVI e a partir do século XVII deuse início de forma mais intensa aos estudos e pensamentos o que contribuiu para a evolução da noção de função e consequentemente para o estudo das sequências e séries Fourier Bernard Placidus 32 Sequências Uma sequência é representada como uma lista de números escritos em uma ordem determinada Veja o exemplo a seguir Sendo n índice um número inteiro que indica a posição a PraCegoVer a n de um número na sequência n 01042022 0943 Unidade 3 Cálculo avançado com números complexos httpsstudentulifecombrContentPlayerIndexlcNp7GPqZ843aMw5i2bpEa8XQ3d3dllicrid40d9kbSkJp6Dm2bcQ3d3dcdJ7 644 ɑ PraCegoVer a um o primeiro termo ɑ PraCegoVer a dois o segundo termo ɑ PraCegoVer a n o enésimotermo ɑ PraCegoVer a n menos um o sucessor de ɑ PraCegoVer a n e como estamos abordando sequências infinitas ɑ PraCegoVer a n maisum é o sucessor de ɑ PraCegoVer a n Assim temos que para cada número inteiro positivo representado por n teremos um número a PraCegoVer a n correspondente Nesse sentido podemos afirmar que uma sequência é uma função cujo domínio é o conjunto dos números inteiros positivos cuja representação usual é dada por a PraCegoVer a n e não por f n PraCegoVer f de n Exemplo 1 A lista de números da sequência a 2 PraCegoVer a n igual a dois elevado à n será a 2 a 2 a 2 PraCegoVer a zero igual a dois elevado a zero a um igual a dois elevado a um a dois igual a dois elevado a dois reticências então Exemplo 2 Determine a sequência dada por Resolução podemos representar a por 1 2 n n1 n n1 n n n n n 0 0 1 1 2 2 n 01042022 0943 Unidade 3 Cálculo avançado com números complexos httpsstudentulifecombrContentPlayerIndexlcNp7GPqZ843aMw5i2bpEa8XQ3d3dllicrid40d9kbSkJp6Dm2bcQ3d3dcdJ7 744 Uma sequência muito conhecida é a sequência de Fibonacci Podemos definila com alguns recursos como o apresentado a seguir De uma maneira mais simples podemos definir cada termo da sequência de Fibonacci como a soma dos dois termos precedentes sendo assim temos Então VOCÊ SABIA Leonardo Fibonacci 1170 1250 foi um matemático italiano de grande influência na Idade Média O seu problema mais famoso foi o problema dos coelhos suponha que coelhos vivam para sempre e que a cada mês cada par produza um novo par que se torna reprodutivo com dois meses de idade Se começarmos com um par recémnascido quantos pares de coelhos teremos no nésimo mês O problema assuma uma sequência infinita dada por Que representando numericamente é 01042022 0943 Unidade 3 Cálculo avançado com números complexos httpsstudentulifecombrContentPlayerIndexlcNp7GPqZ843aMw5i2bpEa8XQ3d3dllicrid40d9kbSkJp6Dm2bcQ3d3dcdJ7 844 Também podemos representar uma sequência por meio de um gráfico Como a sequência é uma função cujo domínio é o conjunto dos números inteiros positivos teremos a representação em pontos isolados com coordenadas Temos como exemplo Considerando as coordenadas Portanto quanto maior for o valor de n mais os termos da sequência se aproximarão de 1 A análise facilita a visualização e a progressão desses valores e a comparação dos valores de n e a verifica a sua tendência a um limite Que nesse caso podemos representar como Segundo Stewart 2013 podemos definir que uma sequência a tem limite L Assim escrevemos Se pudermos tornar os termos a tão próximos de L quanto quisermos ao fazer n n n n 01042022 0943 Unidade 3 Cálculo avançado com números complexos httpsstudentulifecombrContentPlayerIndexlcNp7GPqZ843aMw5i2bpEa8XQ3d3dllicrid40d9kbSkJp6Dm2bcQ3d3dcdJ7 944 suficientemente grande e se lim a PraCegoVer limite de a n com n tendendo ao infinito existir dizemos que a sequência converge ou é convergente caso contrário dizemos que a sequência diverge ou é divergente Também devemos citar que se quando n é um inteiro então 321 Convergência e divergência Analisando algumas sequências podemos verificar que às vezes seus números se aproximam de um valor comum à medida que o índice aumenta Assim como vimos nos exemplos anteriores dizemos que a sequência está convergindo a um valor limite Dessa forma se explorarmos melhor essa sequência até que o índice n seja maior que um número N a diferença entre a e o limite da sequência será menor que qualquer número préselecionado ϵ 0 PraCegoVer épsilon maior que zero Segundo Thomas 2012 a sequência a converge para um número L se para todo número positivo ϵ existir um número inteiro N correspondente de modo que para todo n Se nenhum número L existir dizemos que a diverge Se a converge para L escrevemos a L PraCegoVer limite de a n com n tendendo ao infinito igual a l ou simplesmente a L PraCegoVer a n tendendo a l Chamamos L de limite da sequência A sequência a diverge ao infinito se para cada número M houver um número inteiro N tal que para todo n maior do que N a M PraCegoVer a n maior que M Se essa condição for verdadeira escrevemos n n n n n n n n n n n 01042022 0943 Unidade 3 Cálculo avançado com números complexos httpsstudentulifecombrContentPlayerIndexlcNp7GPqZ843aMw5i2bpEa8XQ3d3dllicrid40d9kbSkJp6Dm2bcQ3d3dcdJ 1044 De maneira semelhante se para cada número m existir um número inteiro N de forma que para todo n N PraCegoVer n minúsculo maior que N maiúsculo tenhamos a m PraCegoVer a n menor que m então dizemos que a diverge ao menos infinito e escrevemos É também importante lembrarmos que essas são funções com domínio restrito aos números inteiros positivos assim os teoremas sobre limites de funções são apresentados em versões para as sequências como o que apresentaremos a seguir observe a interação Sejam a e b sequências de números reais e sejam A e B números reais As seguintes regras aplicamse Calculando limites de sequências Clique nas setas ou arraste para visualizar as imagens n n n n 2 REGRA DA DIFERENÇA 01042022 0943 Unidade 3 Cálculo avançado com números complexos httpsstudentulifecombrContentPlayerIndexlcNp7GPqZ843aMw5i2bpEa8XQ3d3dllicrid40d9kbSkJp6Dm2bcQ3d3dcdJ 1144 Exemplo 3 Prove que Resolução sendo ϵ 0 PraCegoVer épsilon maior que zero provaremos que há um número N inteiro de modo que para todo n Essa condição será válida somente se Se N for um inteiro e maior que 2 REGRA DA DIFERENÇA 3 REGRA DA MULTIPLICAÇÃO POR CONSTANTE 4 REGRA DO PRODUTO 5 REGRA DO QUOCIENTE 01042022 0943 Unidade 3 Cálculo avançado com números complexos httpsstudentulifecombrContentPlayerIndexlcNp7GPqZ843aMw5i2bpEa8XQ3d3dllicrid40d9kbSkJp6Dm2bcQ3d3dcdJ 1244 a condição será válida para todo n maior que N nos provando assim que Exemplo 4 Prove que a é uma sequência divergente Resolução supondo que seja convergente para um número L escolheremos como definição do limite assim todos os termos a da sequência com índice n maior que um N devem se localizar a menos de de L Uma vez que o número 1 aparece repetidamente como termo sim termo não da sequência devemos ter o número 1 localizado a uma distância a menos que de L n 01042022 0943 Unidade 3 Cálculo avançado com números complexos httpsstudentulifecombrContentPlayerIndexlcNp7GPqZ843aMw5i2bpEa8XQ3d3dllicrid40d9kbSkJp6Dm2bcQ3d3dcdJ 1344 Sendo que Da mesma forma o número 1 aparece repetidamente na sequência com índice arbitrariamente alto Assim devemos ainda ter que Entretanto o número L não pode estar em ambos os intervalos uma vez que ele não possui uma superposição Dessa forma não existe tal limite L e portanto a sequência diverge Observe que o mesmo argumento funciona para qualquer número positivo e menor que 1 não somente 01042022 0943 Unidade 3 Cálculo avançado com números complexos httpsstudentulifecombrContentPlayerIndexlcNp7GPqZ843aMw5i2bpEa8XQ3d3dllicrid40d9kbSkJp6Dm2bcQ3d3dcdJ 1444 VAMOS PRATICAR Mostre que k k PraCegoVer limite de k com n tendendo ao infinito igual a k Identificar uma sequência convergente é importante e poderá auxiliar na resolução de problemas e aplicação de propriedades Considerando a e b sequências convergentes e c uma constante podemos citar que Assim se a b c PraCegoVer a n menor ou igual a b n menor ou igual a c n para n n PraCegoVer n maior ou igual a n de índice zero e então que indica o teorema do confronto n n n n n 0 01042022 0943 Unidade 3 Cálculo avançado com números complexos httpsstudentulifecombrContentPlayerIndexlcNp7GPqZ843aMw5i2bpEa8XQ3d3dllicrid40d9kbSkJp6Dm2bcQ3d3dcdJ 1544 Exemplo 5 Determine Resolução Exemplo 6 Cerifique se é convergente ou divergente Resolução dividiremos o numerador e o denominador por n Como o numerador é constante e o denominador se aproxima de 0 podemos afirmar que a é divergente n 33 Séries de números complexos De um modo simples podemos dizer que uma série infinita é a soma de uma sequência infinita de números 01042022 0943 Unidade 3 Cálculo avançado com números complexos httpsstudentulifecombrContentPlayerIndexlcNp7GPqZ843aMw5i2bpEa8XQ3d3dllicrid40d9kbSkJp6Dm2bcQ3d3dcdJ 1644 CASO O que queremos dizer quando expressamos um número com um decimal infinito Por exemplo o que significa escrever A convenção por trás de nossa notação decimal é que qualquer número pode ser escrito como uma soma infinita Aqui isso significa que Onde os três pontos indicam que a soma continua para sempre e quanto mais termos adicionarmos mais nos aproximaremos do valor real de π Fonte STEWART 2013 p 636 Um exemplo simples que podemos pensar é em um número decimal infinito que possamos representar por um número inteiro aproximado por meio do arredondamento Quanto mais casas decimais esse número tiver mais próximo estará do valor exato Duas séries importantes que devemos abordar são a série geométrica e a série de números complexos A série geométrica é dada pela soma dos termos de uma sequência ou progressão geométrica em que cada termo é obtido a partir do anterior sendo multiplicado por uma razão r Já a série de números complexos é dada pela soma dos termos de uma sequência de números complexos Uma sequência de números complexos é uma função cujo domínio é o conjunto de números naturais N e o contradomínio o conjunto dos números complexos C Podemos comparar uma série com uma dada série geométrica a fim de verificar se há ou não a soma da série As séries numéricas que possuem termos positivos e negativos exigem certos cuidados e critérios em sua abordagem além disso as séries de números complexos podem ser reduzidas a séries de números reais 01042022 0943 Unidade 3 Cálculo avançado com números complexos httpsstudentulifecombrContentPlayerIndexlcNp7GPqZ843aMw5i2bpEa8XQ3d3dllicrid40d9kbSkJp6Dm2bcQ3d3dcdJ 1744 Como estamos falando da soma de infinitos termos precisamos verificar um método para encontrar o que queremos Podemos resolver por meio da soma dos primeiros termos da sequência que será uma soma finita ordinária que poderá ser calculada pelos métodos usuais A chamaremos de n ésima soma parcial já que estamos somando os n primeiros termos da sequência Esperase que à medida que n aumente essa soma parcial chegue cada vez mais próxima de um limite assim como os termos de uma sequência infinita se aproximam de um limite sempre buscando um padrão dessas somas Observe Ao somarmos os termos determinando a soma parcial tentaremos achar um padrão que justifique o seu crescimento Vamos expressar essa análise na tabela abaixo Tabela 1 Soma parcial de uma série infinita SOMA PARCIAL VALOR EXPRESSÃO SUGERIDA PARA SOMA PARCIAL Primeira S 1 1 2 1 Segunda S 1 ½ 32 2n 12 1 2 n 1 01042022 0943 Unidade 3 Cálculo avançado com números complexos httpsstudentulifecombrContentPlayerIndexlcNp7GPqZ843aMw5i2bpEa8XQ3d3dllicrid40d9kbSkJp6Dm2bcQ3d3dcdJ 1844 Terceira S 1 ½ ¼ 74 2 ¼ n ésima S 1 ½ ¼ 12 2n 12 2 12 Fonte THOMAS 2012 Adaptado Assim é perceptível que há um padrão e com isso podemos estabelecer um termo geral dado por que converge para 2 sendo expresso por 3 n n 1 n 1 n 1 PraCegoVer A tabela apresenta os termos de uma soma parcial de uma série infinita Na primeira coluna aparece a classificação ordinal dos termos primeira segunda terceira três pontinhos n ésima na segunda coluna as somas parciais s um igual a um s dois igual a um mais meio s três igual a um mais meio mais um quarto e assim sucessivamente na terceira coluna é apresentado o valor encontrado da soma parcial um três meios sete quartos três pontinhos e dois elevado a nésima potência menos um sobre dois elevado a n menos 1 e na última coluna são apresentadas as expressões sugeridas para as somas parciais sendo dada a expressão geral dois menos um sobre dois elevado à n menos 1 01042022 0943 Unidade 3 Cálculo avançado com números complexos httpsstudentulifecombrContentPlayerIndexlcNp7GPqZ843aMw5i2bpEa8XQ3d3dllicrid40d9kbSkJp6Dm2bcQ3d3dcdJ 1944 Assim a soma da série infinita é Combinando séries Clique nas abas para saber mais sobre o assunto 331 Convergência e divergência Dada uma série denotase por s sua n ésima soma parcial como Se a sequência s for convergente e existir como um número real então a série Σ a PraCegoVer somatório de a n é Regra da soma Regra da diferença Regra da multiplicação por constante n n 01042022 0943 Unidade 3 Cálculo avançado com números complexos httpsstudentulifecombrContentPlayerIndexlcNp7GPqZ843aMw5i2bpEa8XQ3d3dllicrid40d9kbSkJp6Dm2bcQ3d3dcdJ 2044 existir como um número real então a série Σ a PraCegoVer somatório de a n é chamada de convergente e escrevemos O número s é chamado a soma da série Se a sequência s é divergente então a série é chamada divergente Podemos ainda afirmar que a soma de uma série é o limite da sequência de somas parciais Assim ao escrevermos expressamos que ao somarmos uma certa quantidade de termos de uma série nos aproximamos de s Então Exemplo 7 Sendo a soma dos primeiros n termos de uma série dada por determine o limite de s Resolução n n n 01042022 0943 Unidade 3 Cálculo avançado com números complexos httpsstudentulifecombrContentPlayerIndexlcNp7GPqZ843aMw5i2bpEa8XQ3d3dllicrid40d9kbSkJp6Dm2bcQ3d3dcdJ 2144 Séries geométricas Clique nas abas para saber mais sobre o assunto Exemplo 8 Verifique se a série diferente de zero A série pode ainda ser escrita como RAZÃO a razão de uma série geométrica pode ser positiva ou negativa Veja os exemplos a seguir CONVERGÊNCIA E DIVERGÊNCIA Se r1 PraCegoVer módulo de r for menor que um a série geométrica converge para dessa forma Se r 1 PraCegoVer módulo de r for maior ou igual a um a série diverge 01042022 0943 Unidade 3 Cálculo avançado com números complexos httpsstudentulifecombrContentPlayerIndexlcNp7GPqZ843aMw5i2bpEa8XQ3d3dllicrid40d9kbSkJp6Dm2bcQ3d3dcdJ 2244 é convergente ou divergente Resolução reescrevendo o n ésimo termo da série teremos Analisando percebemos que se trata de uma série geométrica sendo a 4 e razão Sendo a razão maior que 1 podemos afirmar que a série diverge por 4 Exemplo 9 Prove a convergência da série e determine a sua soma Resolução como a série não é geométrica calcularemos por meio da definição de série convergente por somas parciais Simplificando decomposição em frações parciais Assim 01042022 0943 Unidade 3 Cálculo avançado com números complexos httpsstudentulifecombrContentPlayerIndexlcNp7GPqZ843aMw5i2bpEa8XQ3d3dllicrid40d9kbSkJp6Dm2bcQ3d3dcdJ 2344 Concluímos que a série é convergente e igual a 1 Exemplo 10 Prove que a série harmônica é uma série divergente Resolução para resolvermos essa questão consideraremos as somas parciais a fim de provar que elas aumentarão Observando os resultados das expressões acima podemos verificar que há um padrão que pode ser expresso por O que prova que s ao considerarmos n PraCegoVer n tendendo ao infinito comprovando que a série 2n 01042022 0943 Unidade 3 Cálculo avançado com números complexos httpsstudentulifecombrContentPlayerIndexlcNp7GPqZ843aMw5i2bpEa8XQ3d3dllicrid40d9kbSkJp6Dm2bcQ3d3dcdJ 2444 é divergente Segundo Stewart 2013 com qualquer série associamos duas sequências A sequência s de suas somas parciais e a sequência a de seus termos Se Σa PraCegoVer somatório de a n for convergente o limite da sequência Σa PraCegoVer somatório de a n é s a soma da série e o limite da sequência a será 0 Mas se não podemos concluir que Σa PraCegoVer somatório de a n seja convergente Observe que para a série harmônica temos quando n PraCegoVer n tende ao infinito Agora apresentaremos alguns dos teoremas importantes observe a interação Transmissão de mensagens na rede Clique nas setas ou arraste para visualizar as imagens n n n n n n Teste da integral Teste da comparação 01042022 0943 Unidade 3 Cálculo avançado com números complexos httpsstudentulifecombrContentPlayerIndexlcNp7GPqZ843aMw5i2bpEa8XQ3d3dllicrid40d9kbSkJp6Dm2bcQ3d3dcdJ 2544 332 Séries de funções As definições de limite e convergência de sequências e séries de números complexos são as mesmas apresentadas no campo dos números reais Não podemos esquecer a relação entre as funções analíticas e os números complexos fato importante pois podemos desenvolver as funções analíticas em séries de potências A série de uma função é dada por sendo f PraCegoVer f de n uma função E essa série será convergente em B se a função s BR PraCegoVer s dois pontos B tendendo a R para cada xB PraCegoVer x pertencente a B sendo Chamaremos s n de soma da série de função de sendo o domínio de s sx PraCegoVer s igual a s de x o conjunto de todos os valores de x para os quais a série convergirá Teste de comparação no limite Teste da razão Teste de raiz Teste da série alternada teste de Leibniz Estimas de séries alternadas Teorema de convergência para séries de potências Teste de divergência Critério de convergência para série alternada n 01042022 0943 Unidade 3 Cálculo avançado com números complexos httpsstudentulifecombrContentPlayerIndexlcNp7GPqZ843aMw5i2bpEa8XQ3d3dllicrid40d9kbSkJp6Dm2bcQ3d3dcdJ 2644 valores de x para os quais a série convergirá Exemplo 11 É do nosso conhecimento que para todo x com x 1 PraCegoVer módulo de x menor que um Sendo assim a série converge em 1 1 PraCegoVer intervalo aberto de menos um a um à função Exemplo 12 A sequência converge para zero qualquer que seja z re PraCegoVer z igual a r elevado a i theta no setor circular mas não uniformemente Para detalharmos observe que Essa última expressão tende a zero em todo ponto z fixo embora não uniformemente Por exemplo imagine θ PraCegoVer theta fixo e ou ainda r fixo e θ PraCegoVer theta aproximandose de iθ 01042022 0943 Unidade 3 Cálculo avançado com números complexos httpsstudentulifecombrContentPlayerIndexlcNp7GPqZ843aMw5i2bpEa8XQ3d3dllicrid40d9kbSkJp6Dm2bcQ3d3dcdJ 2744 ou ainda r fixo e θ PraCegoVer theta aproximandose de de tal modo que Critério de Cauchy para convergência uniforme de uma série de funções Guidorizzi 2013 explica que a série de funções converge uniformemente em B à função sB R PraCegoVer s tendendo a B dois pontos R se para todo 0 PraCegoVer épsilon maior que zero dado existir um natural n0 tal que para todo x B PraCegoVer x pertence a B Assim VOCÊ O CONHECE Augustin Louis Cauchy nasceu em Paris em 21 de agosto de 1789 no ano em que teve início a Revolução Francesa Era o mais velho entre dois irmãos e quatro irmãs O pai era um homem gentil e de grande cultura advogado de profissão Com quatro anos mudouse para Arcueil pois devido à revolução francesa era impossível viver em Paris Como as escolas estavam fechadas na época da revolução foi o seu pai que lhe ensinou as primeiras letras Após a Revolução Francesa a família Cauchy passou por dificuldades e enquanto criança Cauchy foi mal alimentado Laplace e Lagrange amigos do pai repararam no talento matemático do pequeno Cauchy e ajudaramno no ensino da matemática principalmente na construção de círculos que são 01042022 0943 Unidade 3 Cálculo avançado com números complexos httpsstudentulifecombrContentPlayerIndexlcNp7GPqZ843aMw5i2bpEa8XQ3d3dllicrid40d9kbSkJp6Dm2bcQ3d3dcdJ 2844 matemática principalmente na construção de círculos que são tangentes a três círculos dados No critério de Cauchy para a convergência de uma série de funções entendese que série de funções converge uniformemente em B a função se e somente se para todo ϵ0 PraCegoVer épsilon maior que zero dado existir um natural n tal que quaisquer que sejam os naturais m e n e para todo x B PraCegoVer x pertencente a B Assim Critério M de Weierstrass Suponhamos que seja uma série de funções e suponhamos que exista uma série numérica tal que para todo x B PraCegoVer x pertencente a B e para todo natural k Nessas condições se a série 0 01042022 0943 Unidade 3 Cálculo avançado com números complexos httpsstudentulifecombrContentPlayerIndexlcNp7GPqZ843aMw5i2bpEa8XQ3d3dllicrid40d9kbSkJp6Dm2bcQ3d3dcdJ 2944 for convergente então a série convergirá uniformemente em B à função Exemplo 13 Mostre que a série é uniformemente convergente em R Resolução para todo k1 PraCegoVer k maior ou igual a um Assim a série é convergente Segundo o critério M de Weierstrass a série dada converge uniformemente em r à função Exemplo 14 Seja s sx PraCegoVer s igual a s de x uma função dada por 01042022 0943 Unidade 3 Cálculo avançado com números complexos httpsstudentulifecombrContentPlayerIndexlcNp7GPqZ843aMw5i2bpEa8XQ3d3dllicrid40d9kbSkJp6Dm2bcQ3d3dcdJ 3044 Resolução para todo x e todo k 1 PraCegoVer k maior ou igual a um A série converge absolutamente para todo x O domínio de s sx PraCegoVer s igual a s de x é R 333 Séries de funções Podemos expressar algumas funções como somas de séries de potências manipulando séries geométricas ou derivandointegrando essas séries A expressão dessas funções por meio de somas infinitas é uma estratégia muito útil para integrar funções que não têm antiderivadas elementares e aproximar funções por polinômios Observe a equação Ao considerarmos essa equação como uma série geométrica teremos a 1 e r x PraCegoVer a igual a um e r igual a x cujo limite é representado desta forma Mas aqui nos interessa expressar a equação como uma função e como uma soma de uma série de potências Observe a representação gráfica de algumas somas parciais da função em que 01042022 0943 Unidade 3 Cálculo avançado com números complexos httpsstudentulifecombrContentPlayerIndexlcNp7GPqZ843aMw5i2bpEa8XQ3d3dllicrid40d9kbSkJp6Dm2bcQ3d3dcdJ 3144 é a n ésima soma parcial A medida que n aumenta s x PraCegoVer s com índice n de x se torna uma aproximação cada vez melhor de fx PraCegoVer f de x para 1 x 1 PraCegoVer menos um menor que x menor que um Gráfico 1 Somas parciais Fonte STEWART 2013 p 674 Adaptado Exemplo 15 Escreva como a soma de uma série de potências e encontre o intervalo de convergência n 01042022 0943 Unidade 3 Cálculo avançado com números complexos httpsstudentulifecombrContentPlayerIndexlcNp7GPqZ843aMw5i2bpEa8XQ3d3dllicrid40d9kbSkJp6Dm2bcQ3d3dcdJ 3244 como a soma de uma série de potências e encontre o intervalo de convergência Resolução substituindo x por x em teremos Sendo a série apresentada acima uma série geométrica ela convergirá quando x 1 PraCegoVer módulo do oposto de x ao quadrado menor que um ou seja x 1 PraCegoVer x ao quadrado menor que um Assim o intervalo de convergência será 1 1 Exemplo 16 Determine uma representação em série de potências para Resolução A série converge quando isto é x 2 PraCegoVer módulo de x menor que dois Então o intervalo de convergência é 2 2 Teste seus conhecimentos Atividade não pontuada 2 2 2 2 01042022 0943 Unidade 3 Cálculo avançado com números complexos httpsstudentulifecombrContentPlayerIndexlcNp7GPqZ843aMw5i2bpEa8XQ3d3dllicrid40d9kbSkJp6Dm2bcQ3d3dcdJ 3344 34 Singularidades e resíduos A analiticidade de uma função de variáveis complexas é uma característica um pouco restritiva Assim podemos ter uma função que seja analítica em uma determinada região e não seja em outra ou ainda que deixe de ser analítica em alguns pontos de seu domínio tendo suas singularidades O estudo do teorema dos resíduos conduziu a métodos para que as singularidades fossem classificadas e o cálculo do resíduo fosse determinado sem a necessidade de sempre se se recorrer às séries de Laurent Ele é muito importante por permitir cálculos integrais de funções analíticas ao longo de caminhos fechados simples que generalizam a fórmula de Cauchy 341 Singularidade Segundo Ávila 2008 dizse que um ponto z é a singularidade isolada de uma função d se existe uma vizinhança de z na qual f é univalente e regular exceto no próprio ponto z Por exemplo a função possui singularidades isoladas nos zeros do denominador que são os pontos Já a função Atividade não pontuada 0 0 0 01042022 0943 Unidade 3 Cálculo avançado com números complexos httpsstudentulifecombrContentPlayerIndexlcNp7GPqZ843aMw5i2bpEa8XQ3d3dllicrid40d9kbSkJp6Dm2bcQ3d3dcdJ 3444 tem singularidades isoladas em cada um dos zeros do denominador que são os pontos Observe que esses pontos formam uma sequência convergente O limite z 0 é então um ponto de acumulação de singularidades isoladas que também recebe o nome de singularidade Definição Seja z uma singularidade isolada de uma função f uma função complexa representada em série de Laurent por é válida em uma vizinhança perfurada 0 zz r de z PraCegoVer zero menor que o módulo de z menos z zero menor que r de z zero Se b 0 m 1 2 PraCegoVer b m igual a zero qualquer m igual a um dois reticências dizemos que z é uma singularidade removível b 0 e b 0 m k1K2 PraCegoVer b k diferente de zero e b m igual a zero qualquer m igual a k mais um k mais dois reticências dizemos que z é um polo de ordem k m N kmb 0 PraCegoVer qualquer m pertence a N existe um k maior que m com b k diferente de zero dizemos que z é uma singularidade essencial Agora vejamos alguns exemplos de funções complexas e singularidades Exemplo 17 Sendo 0 0 0 m 0 k m 0 k 0 01042022 0943 Unidade 3 Cálculo avançado com números complexos httpsstudentulifecombrContentPlayerIndexlcNp7GPqZ843aMw5i2bpEa8XQ3d3dllicrid40d9kbSkJp6Dm2bcQ3d3dcdJ 3544 todos os pontos do eixo real negativo incluindo a origem são pontos singulares embora não existam pontos singulares isolados Exemplo 18 A função tem pontos isolados em z 0 z 2i e z 2i PraCegoVer z igual a zero z igual a a dois i e z igual a menos dois i Exemplo 19 Considere dado por Resolução Como Assim z 0 é uma singularidade removível Exemplo 20 01042022 0943 Unidade 3 Cálculo avançado com números complexos httpsstudentulifecombrContentPlayerIndexlcNp7GPqZ843aMw5i2bpEa8XQ3d3dllicrid40d9kbSkJp6Dm2bcQ3d3dcdJ 3644 Exemplo 20 Consideraremos a função primeiro em uma vizinhança de z 0 digamos z 1 PraCegoVer módulo de z menor que um Para vermos que z 0 e polo de ordem 3 basta notar que z fz PraCegoVer z ao cubo f de z tem limite finito e diferente de zero com z0 PraCegoVer z tendendo a zero Para achar a parte principal da série de Laurent na origem procedemos da seguinte maneira usando multiplicação de séries Os primeiros três termos apresentados formam a parte principal da série A mesma função tem polo simples em z 2 cuja série correspondente tem parte principal dada por Neste caso efetuamos um corte ao longo do semieixo real negativo incluindo a origem sendo que o domínio da função seja dado por arg z π PraCegoVer módulo do arg de z menor que pi 3 01042022 0943 Unidade 3 Cálculo avançado com números complexos httpsstudentulifecombrContentPlayerIndexlcNp7GPqZ843aMw5i2bpEa8XQ3d3dllicrid40d9kbSkJp6Dm2bcQ3d3dcdJ 3744 VAMOS PRATICAR Seja determine as singularidades de f 342 Resíduo Vamos expressar a relação entre singularidades e resíduos de uma maneira simples Considere z como um ponto isolado de uma dada função f Assim existirá uma série de Laurent que representará a função f dada por existindo para uma vizinhança limitada por 0 zz R PraCegoVer zero menor que módulo de z menos z zero menor que R Os termos da série que envolvem potências zz PraCegoVer z menos z zero de expoente negativo constituem a parte principal de f em z O coeficiente c PraCegoVer c índice menos um da potência zz PraCegoVer z menos z zero elevado a menos um denominado por resíduo de f em z denotase por Resf z PraCegoVer resíduo de f em z zero Exemplo 21 0 0 0 0 1 0 1 0 0 01042022 0943 Unidade 3 Cálculo avançado com números complexos httpsstudentulifecombrContentPlayerIndexlcNp7GPqZ843aMw5i2bpEa8XQ3d3dllicrid40d9kbSkJp6Dm2bcQ3d3dcdJ 3844 Exemplo 21 Sendo temos que O teorema dos resíduos é de suma importância em análise complexa por se tratar de um método de cálculo de integrais de funções analíticas ao longo de caminhos fechados simples que generalizam a fórmula de Cauchy Teorema do resíduo Considere f uma função regular e univalente em uma região simplesmente convexa R exceto em um número finito de singularidades isoladas z z PraCegoVer z um reticências z k Então em que C é um contorno fechado de R envolvendo z z PraCegoVer z um reticências z k uma vez no sentido positivo Exemplo 22 Considere a função que tem polo no ponto z 1 Estamos considerando o ramo principal do logaritmo determinado pela condição log1 0 Seu resíduo nesse ponto é 1 k 1 k 01042022 0943 Unidade 3 Cálculo avançado com números complexos httpsstudentulifecombrContentPlayerIndexlcNp7GPqZ843aMw5i2bpEa8XQ3d3dllicrid40d9kbSkJp6Dm2bcQ3d3dcdJ 3944 Calculando os limites pela regra de lHopital encontramos Exemplo 23 Mostre que Resolução O integrado possui polos simples nos pontos zi PraCegoVer z igual a mais ou menos i Seja C o semicírculo do semiplano Im z 0 PraCegoVer lm de z maior ou igual a zero de raio R e centro na origem Supondo R 1 PraCegoVer R maior que um o contorno formado pelo segmento R R seguindo de C contém o polo z i em que o resíduo de f é Pelo teorema do resíduo Por outro lado R R 01042022 0943 Unidade 3 Cálculo avançado com números complexos httpsstudentulifecombrContentPlayerIndexlcNp7GPqZ843aMw5i2bpEa8XQ3d3dllicrid40d9kbSkJp6Dm2bcQ3d3dcdJ 4044 sendo Isto mostra que Logo passando ao limite com R PraCegoVer R tendendo ao infinito obtemos que é o resultado procurado Exemplo 24 Calcule Resolução a integral é O integrando é em que 01042022 0943 Unidade 3 Cálculo avançado com números complexos httpsstudentulifecombrContentPlayerIndexlcNp7GPqZ843aMw5i2bpEa8XQ3d3dllicrid40d9kbSkJp6Dm2bcQ3d3dcdJ 4144 São polos simples sendo C o semicírculo do semiplano superior de um círculo z R PraCegoVer módulo de z igual a R em que Assim teremos Integrando f no sentido antihorário ao longo da fronteira da região semicircular temos Quando z está sobre C ou seja z R PraCegoVer módulo de z igual a R temos sendo Assim Logo passando ao limite com R PraCegoVer R tendendo ao infinito obtemos R R 01042022 0943 Unidade 3 Cálculo avançado com números complexos httpsstudentulifecombrContentPlayerIndexlcNp7GPqZ843aMw5i2bpEa8XQ3d3dllicrid40d9kbSkJp6Dm2bcQ3d3dcdJ 4244 Teste seus conhecimentos Atividade não pontuada Síntese Nesta unidade vimos que uma sequência é representada como uma lista de números escritos em uma ordem determinada Uma sequência a tem limite L e escreveremos se pudermos tornar os termos a tão próximos de L quanto quisermos ao fazer n suficientemente grande Se lim a existir dizemos que a sequência converge ou é convergente Caso contrário dizemos que a sequência diverge ou é divergente Ademais discutimos que de um modo simples podemos dizer que uma série infinita é a soma de uma sequência infinita de números e que a soma de uma série é o limite da sequência de somas parciais Estabelecemos também que as definições de limite e convergência de sequências e séries de números complexos são as mesmas apresentadas no campo dos números reais Por fim vimos o teorema do resíduo seja f uma função regular e univalente em uma região simplesmente convexa R exceto em um número finito de singularidades isoladas z z PraCegoVer z um reticências z k então em que C é um contorno fechado de R envolvendo z z PraCegoVer z um reticências z k uma vez no sentido positivo n n n n 1 k 1 k 01042022 0943 Unidade 3 Cálculo avançado com números complexos httpsstudentulifecombrContentPlayerIndexlcNp7GPqZ843aMw5i2bpEa8XQ3d3dllicrid40d9kbSkJp6Dm2bcQ3d3dcdJ 4344 reticências z k uma vez no sentido positivo Referências bibliográficas STEWART J Cálculo II Tradução da 7 ed americana São Paulo 2013 THIEL A A MODESTI M S O cálculo e a matemática superior algumas aplicações Blumenau Instituto Federal Catarinense 2016 THOMAS G B Cálculo 11 ed São Paulo Pearson Education do Brasil 2008 v 1 THOMAS G B Cálculo 12 ed São Paulo Pearson Education do Brasil 2012 v 2 SAIBA MAIS Título Um curso de cálculo Volume 4 Autor Hamilton Luiz Guidorizzi Editor LTC Ano 2018 Comentário Seu diferencial são os recursos pedagógicos digitais inéditos e exclusivos que servem tanto para aprofundar quanto para fixar a aprendizagem dos estudantes de Cálculo Onde encontrar Biblioteca Virtual da Ânima 01042022 0943 Unidade 3 Cálculo avançado com números complexos httpsstudentulifecombrContentPlayerIndexlcNp7GPqZ843aMw5i2bpEa8XQ3d3dllicrid40d9kbSkJp6Dm2bcQ3d3dcdJ 4444 GUIDORIZZI H L Um cálculo de cálculo 5 ed Rio de Janeiro LTC 2013 vol 4 ÁVILA Geraldo Variáveis complexas e aplicações 3 ed Rio de Janeiro LTC 2008
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01042022 0943 Unidade 3 Cálculo avançado com números complexos httpsstudentulifecombrContentPlayerIndexlcNp7GPqZ843aMw5i2bpEa8XQ3d3dllicrid40d9kbSkJp6Dm2bcQ3d3dcdJ7 144 01042022 0943 Unidade 3 Cálculo avançado com números complexos httpsstudentulifecombrContentPlayerIndexlcNp7GPqZ843aMw5i2bpEa8XQ3d3dllicrid40d9kbSkJp6Dm2bcQ3d3dcdJ7 244 01042022 0943 Unidade 3 Cálculo avançado com números complexos httpsstudentulifecombrContentPlayerIndexlcNp7GPqZ843aMw5i2bpEa8XQ3d3dllicrid40d9kbSkJp6Dm2bcQ3d3dcdJ7 344 CÁLCULO AVANÇADO CÁLCULO AVANÇADO COM NÚMEROS COM NÚMEROS COMPLEXOS COMPLEXOS UNIDADE 3 CÁLCULO UNIDADE 3 CÁLCULO AVANÇADO COM NÚMEROS AVANÇADO COM NÚMEROS COMPLEXOS COMPLEXOS Autora Érica Regina de Santana Autora Érica Regina de Santana Revisor Heitor Oliveira Revisor Heitor Oliveira INICIAR 01042022 0943 Unidade 3 Cálculo avançado com números complexos httpsstudentulifecombrContentPlayerIndexlcNp7GPqZ843aMw5i2bpEa8XQ3d3dllicrid40d9kbSkJp6Dm2bcQ3d3dcdJ7 444 Introdução Prezadoa estudante Olhe agora ao seu redor e observe que estamos constantemente rodeados por fenômenos da natureza e sendo um pouco mais minuciosos nos surpreenderemos com os padrões e regularidades que nos cercam Essas regularidades possuem padrões que poderão ser expressos por representações numéricas e algébricas Também podemos pensar na soma de dois números ou mais porém como proceder com a soma de infinitos números Nesta unidade responderemos a algumas questões que integram a teoria das sequências e séries infinitas E não podemos deixar de mencionar Isaac Newton que com sua ideia de representação de funções como uma soma de séries infinitas demonstrou a importância das sequências e séries em Cálculo Uma boa parte das funções que trabalhamos em Física Química e Matemática são definidas como soma de séries Então vamos começar Bons estudos 31 Sequências e séries O estudo das sequências é fundamental para o estudo das séries infinitas e suas aplicações pois de maneira simplificada podemos definir uma série infinita como a soma de uma sequência infinita de números E em áreas de estudo diversas como óptica relatividade especial e eletromagnetismo há a análise de fenômenos que trocam uma função pelos primeiros termos da série que a representa A teoria de sequências e séries infinitas segundo Thomas 2012 tem uma importante 01042022 0943 Unidade 3 Cálculo avançado com números complexos httpsstudentulifecombrContentPlayerIndexlcNp7GPqZ843aMw5i2bpEa8XQ3d3dllicrid40d9kbSkJp6Dm2bcQ3d3dcdJ7 544 q g p aplicação no método para representar uma função derivável conhecida f x como uma soma infinita de potências de x de forma que se pareça com um polinômio com infinitos termos Além disso o método estende nosso conhecimento de como avaliar derivar e integrar polinômios de forma que possamos trabalhar com funções ainda mais gerais do que aquelas encontradas até aqui Essas novas funções são frequentes soluções para importantes problemas na ciência e na engenharia Conheça a seguir um pouco sobre dois grandes personagens que cooperaram nesses estudos O período moderno Clique nas abas para saber mais sobre o assunto Fonte THIEL MODESTI 2016 p 117 Como podemos observar o período moderno apresentou grandes momentos e movimentos para o desenvolvimento das teorias de cálculo Ao final do século XVI e a partir do século XVII deuse início de forma mais intensa aos estudos e pensamentos o que contribuiu para a evolução da noção de função e consequentemente para o estudo das sequências e séries Fourier Bernard Placidus 32 Sequências Uma sequência é representada como uma lista de números escritos em uma ordem determinada Veja o exemplo a seguir Sendo n índice um número inteiro que indica a posição a PraCegoVer a n de um número na sequência n 01042022 0943 Unidade 3 Cálculo avançado com números complexos httpsstudentulifecombrContentPlayerIndexlcNp7GPqZ843aMw5i2bpEa8XQ3d3dllicrid40d9kbSkJp6Dm2bcQ3d3dcdJ7 644 ɑ PraCegoVer a um o primeiro termo ɑ PraCegoVer a dois o segundo termo ɑ PraCegoVer a n o enésimotermo ɑ PraCegoVer a n menos um o sucessor de ɑ PraCegoVer a n e como estamos abordando sequências infinitas ɑ PraCegoVer a n maisum é o sucessor de ɑ PraCegoVer a n Assim temos que para cada número inteiro positivo representado por n teremos um número a PraCegoVer a n correspondente Nesse sentido podemos afirmar que uma sequência é uma função cujo domínio é o conjunto dos números inteiros positivos cuja representação usual é dada por a PraCegoVer a n e não por f n PraCegoVer f de n Exemplo 1 A lista de números da sequência a 2 PraCegoVer a n igual a dois elevado à n será a 2 a 2 a 2 PraCegoVer a zero igual a dois elevado a zero a um igual a dois elevado a um a dois igual a dois elevado a dois reticências então Exemplo 2 Determine a sequência dada por Resolução podemos representar a por 1 2 n n1 n n1 n n n n n 0 0 1 1 2 2 n 01042022 0943 Unidade 3 Cálculo avançado com números complexos httpsstudentulifecombrContentPlayerIndexlcNp7GPqZ843aMw5i2bpEa8XQ3d3dllicrid40d9kbSkJp6Dm2bcQ3d3dcdJ7 744 Uma sequência muito conhecida é a sequência de Fibonacci Podemos definila com alguns recursos como o apresentado a seguir De uma maneira mais simples podemos definir cada termo da sequência de Fibonacci como a soma dos dois termos precedentes sendo assim temos Então VOCÊ SABIA Leonardo Fibonacci 1170 1250 foi um matemático italiano de grande influência na Idade Média O seu problema mais famoso foi o problema dos coelhos suponha que coelhos vivam para sempre e que a cada mês cada par produza um novo par que se torna reprodutivo com dois meses de idade Se começarmos com um par recémnascido quantos pares de coelhos teremos no nésimo mês O problema assuma uma sequência infinita dada por Que representando numericamente é 01042022 0943 Unidade 3 Cálculo avançado com números complexos httpsstudentulifecombrContentPlayerIndexlcNp7GPqZ843aMw5i2bpEa8XQ3d3dllicrid40d9kbSkJp6Dm2bcQ3d3dcdJ7 844 Também podemos representar uma sequência por meio de um gráfico Como a sequência é uma função cujo domínio é o conjunto dos números inteiros positivos teremos a representação em pontos isolados com coordenadas Temos como exemplo Considerando as coordenadas Portanto quanto maior for o valor de n mais os termos da sequência se aproximarão de 1 A análise facilita a visualização e a progressão desses valores e a comparação dos valores de n e a verifica a sua tendência a um limite Que nesse caso podemos representar como Segundo Stewart 2013 podemos definir que uma sequência a tem limite L Assim escrevemos Se pudermos tornar os termos a tão próximos de L quanto quisermos ao fazer n n n n 01042022 0943 Unidade 3 Cálculo avançado com números complexos httpsstudentulifecombrContentPlayerIndexlcNp7GPqZ843aMw5i2bpEa8XQ3d3dllicrid40d9kbSkJp6Dm2bcQ3d3dcdJ7 944 suficientemente grande e se lim a PraCegoVer limite de a n com n tendendo ao infinito existir dizemos que a sequência converge ou é convergente caso contrário dizemos que a sequência diverge ou é divergente Também devemos citar que se quando n é um inteiro então 321 Convergência e divergência Analisando algumas sequências podemos verificar que às vezes seus números se aproximam de um valor comum à medida que o índice aumenta Assim como vimos nos exemplos anteriores dizemos que a sequência está convergindo a um valor limite Dessa forma se explorarmos melhor essa sequência até que o índice n seja maior que um número N a diferença entre a e o limite da sequência será menor que qualquer número préselecionado ϵ 0 PraCegoVer épsilon maior que zero Segundo Thomas 2012 a sequência a converge para um número L se para todo número positivo ϵ existir um número inteiro N correspondente de modo que para todo n Se nenhum número L existir dizemos que a diverge Se a converge para L escrevemos a L PraCegoVer limite de a n com n tendendo ao infinito igual a l ou simplesmente a L PraCegoVer a n tendendo a l Chamamos L de limite da sequência A sequência a diverge ao infinito se para cada número M houver um número inteiro N tal que para todo n maior do que N a M PraCegoVer a n maior que M Se essa condição for verdadeira escrevemos n n n n n n n n n n n 01042022 0943 Unidade 3 Cálculo avançado com números complexos httpsstudentulifecombrContentPlayerIndexlcNp7GPqZ843aMw5i2bpEa8XQ3d3dllicrid40d9kbSkJp6Dm2bcQ3d3dcdJ 1044 De maneira semelhante se para cada número m existir um número inteiro N de forma que para todo n N PraCegoVer n minúsculo maior que N maiúsculo tenhamos a m PraCegoVer a n menor que m então dizemos que a diverge ao menos infinito e escrevemos É também importante lembrarmos que essas são funções com domínio restrito aos números inteiros positivos assim os teoremas sobre limites de funções são apresentados em versões para as sequências como o que apresentaremos a seguir observe a interação Sejam a e b sequências de números reais e sejam A e B números reais As seguintes regras aplicamse Calculando limites de sequências Clique nas setas ou arraste para visualizar as imagens n n n n 2 REGRA DA DIFERENÇA 01042022 0943 Unidade 3 Cálculo avançado com números complexos httpsstudentulifecombrContentPlayerIndexlcNp7GPqZ843aMw5i2bpEa8XQ3d3dllicrid40d9kbSkJp6Dm2bcQ3d3dcdJ 1144 Exemplo 3 Prove que Resolução sendo ϵ 0 PraCegoVer épsilon maior que zero provaremos que há um número N inteiro de modo que para todo n Essa condição será válida somente se Se N for um inteiro e maior que 2 REGRA DA DIFERENÇA 3 REGRA DA MULTIPLICAÇÃO POR CONSTANTE 4 REGRA DO PRODUTO 5 REGRA DO QUOCIENTE 01042022 0943 Unidade 3 Cálculo avançado com números complexos httpsstudentulifecombrContentPlayerIndexlcNp7GPqZ843aMw5i2bpEa8XQ3d3dllicrid40d9kbSkJp6Dm2bcQ3d3dcdJ 1244 a condição será válida para todo n maior que N nos provando assim que Exemplo 4 Prove que a é uma sequência divergente Resolução supondo que seja convergente para um número L escolheremos como definição do limite assim todos os termos a da sequência com índice n maior que um N devem se localizar a menos de de L Uma vez que o número 1 aparece repetidamente como termo sim termo não da sequência devemos ter o número 1 localizado a uma distância a menos que de L n 01042022 0943 Unidade 3 Cálculo avançado com números complexos httpsstudentulifecombrContentPlayerIndexlcNp7GPqZ843aMw5i2bpEa8XQ3d3dllicrid40d9kbSkJp6Dm2bcQ3d3dcdJ 1344 Sendo que Da mesma forma o número 1 aparece repetidamente na sequência com índice arbitrariamente alto Assim devemos ainda ter que Entretanto o número L não pode estar em ambos os intervalos uma vez que ele não possui uma superposição Dessa forma não existe tal limite L e portanto a sequência diverge Observe que o mesmo argumento funciona para qualquer número positivo e menor que 1 não somente 01042022 0943 Unidade 3 Cálculo avançado com números complexos httpsstudentulifecombrContentPlayerIndexlcNp7GPqZ843aMw5i2bpEa8XQ3d3dllicrid40d9kbSkJp6Dm2bcQ3d3dcdJ 1444 VAMOS PRATICAR Mostre que k k PraCegoVer limite de k com n tendendo ao infinito igual a k Identificar uma sequência convergente é importante e poderá auxiliar na resolução de problemas e aplicação de propriedades Considerando a e b sequências convergentes e c uma constante podemos citar que Assim se a b c PraCegoVer a n menor ou igual a b n menor ou igual a c n para n n PraCegoVer n maior ou igual a n de índice zero e então que indica o teorema do confronto n n n n n 0 01042022 0943 Unidade 3 Cálculo avançado com números complexos httpsstudentulifecombrContentPlayerIndexlcNp7GPqZ843aMw5i2bpEa8XQ3d3dllicrid40d9kbSkJp6Dm2bcQ3d3dcdJ 1544 Exemplo 5 Determine Resolução Exemplo 6 Cerifique se é convergente ou divergente Resolução dividiremos o numerador e o denominador por n Como o numerador é constante e o denominador se aproxima de 0 podemos afirmar que a é divergente n 33 Séries de números complexos De um modo simples podemos dizer que uma série infinita é a soma de uma sequência infinita de números 01042022 0943 Unidade 3 Cálculo avançado com números complexos httpsstudentulifecombrContentPlayerIndexlcNp7GPqZ843aMw5i2bpEa8XQ3d3dllicrid40d9kbSkJp6Dm2bcQ3d3dcdJ 1644 CASO O que queremos dizer quando expressamos um número com um decimal infinito Por exemplo o que significa escrever A convenção por trás de nossa notação decimal é que qualquer número pode ser escrito como uma soma infinita Aqui isso significa que Onde os três pontos indicam que a soma continua para sempre e quanto mais termos adicionarmos mais nos aproximaremos do valor real de π Fonte STEWART 2013 p 636 Um exemplo simples que podemos pensar é em um número decimal infinito que possamos representar por um número inteiro aproximado por meio do arredondamento Quanto mais casas decimais esse número tiver mais próximo estará do valor exato Duas séries importantes que devemos abordar são a série geométrica e a série de números complexos A série geométrica é dada pela soma dos termos de uma sequência ou progressão geométrica em que cada termo é obtido a partir do anterior sendo multiplicado por uma razão r Já a série de números complexos é dada pela soma dos termos de uma sequência de números complexos Uma sequência de números complexos é uma função cujo domínio é o conjunto de números naturais N e o contradomínio o conjunto dos números complexos C Podemos comparar uma série com uma dada série geométrica a fim de verificar se há ou não a soma da série As séries numéricas que possuem termos positivos e negativos exigem certos cuidados e critérios em sua abordagem além disso as séries de números complexos podem ser reduzidas a séries de números reais 01042022 0943 Unidade 3 Cálculo avançado com números complexos httpsstudentulifecombrContentPlayerIndexlcNp7GPqZ843aMw5i2bpEa8XQ3d3dllicrid40d9kbSkJp6Dm2bcQ3d3dcdJ 1744 Como estamos falando da soma de infinitos termos precisamos verificar um método para encontrar o que queremos Podemos resolver por meio da soma dos primeiros termos da sequência que será uma soma finita ordinária que poderá ser calculada pelos métodos usuais A chamaremos de n ésima soma parcial já que estamos somando os n primeiros termos da sequência Esperase que à medida que n aumente essa soma parcial chegue cada vez mais próxima de um limite assim como os termos de uma sequência infinita se aproximam de um limite sempre buscando um padrão dessas somas Observe Ao somarmos os termos determinando a soma parcial tentaremos achar um padrão que justifique o seu crescimento Vamos expressar essa análise na tabela abaixo Tabela 1 Soma parcial de uma série infinita SOMA PARCIAL VALOR EXPRESSÃO SUGERIDA PARA SOMA PARCIAL Primeira S 1 1 2 1 Segunda S 1 ½ 32 2n 12 1 2 n 1 01042022 0943 Unidade 3 Cálculo avançado com números complexos httpsstudentulifecombrContentPlayerIndexlcNp7GPqZ843aMw5i2bpEa8XQ3d3dllicrid40d9kbSkJp6Dm2bcQ3d3dcdJ 1844 Terceira S 1 ½ ¼ 74 2 ¼ n ésima S 1 ½ ¼ 12 2n 12 2 12 Fonte THOMAS 2012 Adaptado Assim é perceptível que há um padrão e com isso podemos estabelecer um termo geral dado por que converge para 2 sendo expresso por 3 n n 1 n 1 n 1 PraCegoVer A tabela apresenta os termos de uma soma parcial de uma série infinita Na primeira coluna aparece a classificação ordinal dos termos primeira segunda terceira três pontinhos n ésima na segunda coluna as somas parciais s um igual a um s dois igual a um mais meio s três igual a um mais meio mais um quarto e assim sucessivamente na terceira coluna é apresentado o valor encontrado da soma parcial um três meios sete quartos três pontinhos e dois elevado a nésima potência menos um sobre dois elevado a n menos 1 e na última coluna são apresentadas as expressões sugeridas para as somas parciais sendo dada a expressão geral dois menos um sobre dois elevado à n menos 1 01042022 0943 Unidade 3 Cálculo avançado com números complexos httpsstudentulifecombrContentPlayerIndexlcNp7GPqZ843aMw5i2bpEa8XQ3d3dllicrid40d9kbSkJp6Dm2bcQ3d3dcdJ 1944 Assim a soma da série infinita é Combinando séries Clique nas abas para saber mais sobre o assunto 331 Convergência e divergência Dada uma série denotase por s sua n ésima soma parcial como Se a sequência s for convergente e existir como um número real então a série Σ a PraCegoVer somatório de a n é Regra da soma Regra da diferença Regra da multiplicação por constante n n 01042022 0943 Unidade 3 Cálculo avançado com números complexos httpsstudentulifecombrContentPlayerIndexlcNp7GPqZ843aMw5i2bpEa8XQ3d3dllicrid40d9kbSkJp6Dm2bcQ3d3dcdJ 2044 existir como um número real então a série Σ a PraCegoVer somatório de a n é chamada de convergente e escrevemos O número s é chamado a soma da série Se a sequência s é divergente então a série é chamada divergente Podemos ainda afirmar que a soma de uma série é o limite da sequência de somas parciais Assim ao escrevermos expressamos que ao somarmos uma certa quantidade de termos de uma série nos aproximamos de s Então Exemplo 7 Sendo a soma dos primeiros n termos de uma série dada por determine o limite de s Resolução n n n 01042022 0943 Unidade 3 Cálculo avançado com números complexos httpsstudentulifecombrContentPlayerIndexlcNp7GPqZ843aMw5i2bpEa8XQ3d3dllicrid40d9kbSkJp6Dm2bcQ3d3dcdJ 2144 Séries geométricas Clique nas abas para saber mais sobre o assunto Exemplo 8 Verifique se a série diferente de zero A série pode ainda ser escrita como RAZÃO a razão de uma série geométrica pode ser positiva ou negativa Veja os exemplos a seguir CONVERGÊNCIA E DIVERGÊNCIA Se r1 PraCegoVer módulo de r for menor que um a série geométrica converge para dessa forma Se r 1 PraCegoVer módulo de r for maior ou igual a um a série diverge 01042022 0943 Unidade 3 Cálculo avançado com números complexos httpsstudentulifecombrContentPlayerIndexlcNp7GPqZ843aMw5i2bpEa8XQ3d3dllicrid40d9kbSkJp6Dm2bcQ3d3dcdJ 2244 é convergente ou divergente Resolução reescrevendo o n ésimo termo da série teremos Analisando percebemos que se trata de uma série geométrica sendo a 4 e razão Sendo a razão maior que 1 podemos afirmar que a série diverge por 4 Exemplo 9 Prove a convergência da série e determine a sua soma Resolução como a série não é geométrica calcularemos por meio da definição de série convergente por somas parciais Simplificando decomposição em frações parciais Assim 01042022 0943 Unidade 3 Cálculo avançado com números complexos httpsstudentulifecombrContentPlayerIndexlcNp7GPqZ843aMw5i2bpEa8XQ3d3dllicrid40d9kbSkJp6Dm2bcQ3d3dcdJ 2344 Concluímos que a série é convergente e igual a 1 Exemplo 10 Prove que a série harmônica é uma série divergente Resolução para resolvermos essa questão consideraremos as somas parciais a fim de provar que elas aumentarão Observando os resultados das expressões acima podemos verificar que há um padrão que pode ser expresso por O que prova que s ao considerarmos n PraCegoVer n tendendo ao infinito comprovando que a série 2n 01042022 0943 Unidade 3 Cálculo avançado com números complexos httpsstudentulifecombrContentPlayerIndexlcNp7GPqZ843aMw5i2bpEa8XQ3d3dllicrid40d9kbSkJp6Dm2bcQ3d3dcdJ 2444 é divergente Segundo Stewart 2013 com qualquer série associamos duas sequências A sequência s de suas somas parciais e a sequência a de seus termos Se Σa PraCegoVer somatório de a n for convergente o limite da sequência Σa PraCegoVer somatório de a n é s a soma da série e o limite da sequência a será 0 Mas se não podemos concluir que Σa PraCegoVer somatório de a n seja convergente Observe que para a série harmônica temos quando n PraCegoVer n tende ao infinito Agora apresentaremos alguns dos teoremas importantes observe a interação Transmissão de mensagens na rede Clique nas setas ou arraste para visualizar as imagens n n n n n n Teste da integral Teste da comparação 01042022 0943 Unidade 3 Cálculo avançado com números complexos httpsstudentulifecombrContentPlayerIndexlcNp7GPqZ843aMw5i2bpEa8XQ3d3dllicrid40d9kbSkJp6Dm2bcQ3d3dcdJ 2544 332 Séries de funções As definições de limite e convergência de sequências e séries de números complexos são as mesmas apresentadas no campo dos números reais Não podemos esquecer a relação entre as funções analíticas e os números complexos fato importante pois podemos desenvolver as funções analíticas em séries de potências A série de uma função é dada por sendo f PraCegoVer f de n uma função E essa série será convergente em B se a função s BR PraCegoVer s dois pontos B tendendo a R para cada xB PraCegoVer x pertencente a B sendo Chamaremos s n de soma da série de função de sendo o domínio de s sx PraCegoVer s igual a s de x o conjunto de todos os valores de x para os quais a série convergirá Teste de comparação no limite Teste da razão Teste de raiz Teste da série alternada teste de Leibniz Estimas de séries alternadas Teorema de convergência para séries de potências Teste de divergência Critério de convergência para série alternada n 01042022 0943 Unidade 3 Cálculo avançado com números complexos httpsstudentulifecombrContentPlayerIndexlcNp7GPqZ843aMw5i2bpEa8XQ3d3dllicrid40d9kbSkJp6Dm2bcQ3d3dcdJ 2644 valores de x para os quais a série convergirá Exemplo 11 É do nosso conhecimento que para todo x com x 1 PraCegoVer módulo de x menor que um Sendo assim a série converge em 1 1 PraCegoVer intervalo aberto de menos um a um à função Exemplo 12 A sequência converge para zero qualquer que seja z re PraCegoVer z igual a r elevado a i theta no setor circular mas não uniformemente Para detalharmos observe que Essa última expressão tende a zero em todo ponto z fixo embora não uniformemente Por exemplo imagine θ PraCegoVer theta fixo e ou ainda r fixo e θ PraCegoVer theta aproximandose de iθ 01042022 0943 Unidade 3 Cálculo avançado com números complexos httpsstudentulifecombrContentPlayerIndexlcNp7GPqZ843aMw5i2bpEa8XQ3d3dllicrid40d9kbSkJp6Dm2bcQ3d3dcdJ 2744 ou ainda r fixo e θ PraCegoVer theta aproximandose de de tal modo que Critério de Cauchy para convergência uniforme de uma série de funções Guidorizzi 2013 explica que a série de funções converge uniformemente em B à função sB R PraCegoVer s tendendo a B dois pontos R se para todo 0 PraCegoVer épsilon maior que zero dado existir um natural n0 tal que para todo x B PraCegoVer x pertence a B Assim VOCÊ O CONHECE Augustin Louis Cauchy nasceu em Paris em 21 de agosto de 1789 no ano em que teve início a Revolução Francesa Era o mais velho entre dois irmãos e quatro irmãs O pai era um homem gentil e de grande cultura advogado de profissão Com quatro anos mudouse para Arcueil pois devido à revolução francesa era impossível viver em Paris Como as escolas estavam fechadas na época da revolução foi o seu pai que lhe ensinou as primeiras letras Após a Revolução Francesa a família Cauchy passou por dificuldades e enquanto criança Cauchy foi mal alimentado Laplace e Lagrange amigos do pai repararam no talento matemático do pequeno Cauchy e ajudaramno no ensino da matemática principalmente na construção de círculos que são 01042022 0943 Unidade 3 Cálculo avançado com números complexos httpsstudentulifecombrContentPlayerIndexlcNp7GPqZ843aMw5i2bpEa8XQ3d3dllicrid40d9kbSkJp6Dm2bcQ3d3dcdJ 2844 matemática principalmente na construção de círculos que são tangentes a três círculos dados No critério de Cauchy para a convergência de uma série de funções entendese que série de funções converge uniformemente em B a função se e somente se para todo ϵ0 PraCegoVer épsilon maior que zero dado existir um natural n tal que quaisquer que sejam os naturais m e n e para todo x B PraCegoVer x pertencente a B Assim Critério M de Weierstrass Suponhamos que seja uma série de funções e suponhamos que exista uma série numérica tal que para todo x B PraCegoVer x pertencente a B e para todo natural k Nessas condições se a série 0 01042022 0943 Unidade 3 Cálculo avançado com números complexos httpsstudentulifecombrContentPlayerIndexlcNp7GPqZ843aMw5i2bpEa8XQ3d3dllicrid40d9kbSkJp6Dm2bcQ3d3dcdJ 2944 for convergente então a série convergirá uniformemente em B à função Exemplo 13 Mostre que a série é uniformemente convergente em R Resolução para todo k1 PraCegoVer k maior ou igual a um Assim a série é convergente Segundo o critério M de Weierstrass a série dada converge uniformemente em r à função Exemplo 14 Seja s sx PraCegoVer s igual a s de x uma função dada por 01042022 0943 Unidade 3 Cálculo avançado com números complexos httpsstudentulifecombrContentPlayerIndexlcNp7GPqZ843aMw5i2bpEa8XQ3d3dllicrid40d9kbSkJp6Dm2bcQ3d3dcdJ 3044 Resolução para todo x e todo k 1 PraCegoVer k maior ou igual a um A série converge absolutamente para todo x O domínio de s sx PraCegoVer s igual a s de x é R 333 Séries de funções Podemos expressar algumas funções como somas de séries de potências manipulando séries geométricas ou derivandointegrando essas séries A expressão dessas funções por meio de somas infinitas é uma estratégia muito útil para integrar funções que não têm antiderivadas elementares e aproximar funções por polinômios Observe a equação Ao considerarmos essa equação como uma série geométrica teremos a 1 e r x PraCegoVer a igual a um e r igual a x cujo limite é representado desta forma Mas aqui nos interessa expressar a equação como uma função e como uma soma de uma série de potências Observe a representação gráfica de algumas somas parciais da função em que 01042022 0943 Unidade 3 Cálculo avançado com números complexos httpsstudentulifecombrContentPlayerIndexlcNp7GPqZ843aMw5i2bpEa8XQ3d3dllicrid40d9kbSkJp6Dm2bcQ3d3dcdJ 3144 é a n ésima soma parcial A medida que n aumenta s x PraCegoVer s com índice n de x se torna uma aproximação cada vez melhor de fx PraCegoVer f de x para 1 x 1 PraCegoVer menos um menor que x menor que um Gráfico 1 Somas parciais Fonte STEWART 2013 p 674 Adaptado Exemplo 15 Escreva como a soma de uma série de potências e encontre o intervalo de convergência n 01042022 0943 Unidade 3 Cálculo avançado com números complexos httpsstudentulifecombrContentPlayerIndexlcNp7GPqZ843aMw5i2bpEa8XQ3d3dllicrid40d9kbSkJp6Dm2bcQ3d3dcdJ 3244 como a soma de uma série de potências e encontre o intervalo de convergência Resolução substituindo x por x em teremos Sendo a série apresentada acima uma série geométrica ela convergirá quando x 1 PraCegoVer módulo do oposto de x ao quadrado menor que um ou seja x 1 PraCegoVer x ao quadrado menor que um Assim o intervalo de convergência será 1 1 Exemplo 16 Determine uma representação em série de potências para Resolução A série converge quando isto é x 2 PraCegoVer módulo de x menor que dois Então o intervalo de convergência é 2 2 Teste seus conhecimentos Atividade não pontuada 2 2 2 2 01042022 0943 Unidade 3 Cálculo avançado com números complexos httpsstudentulifecombrContentPlayerIndexlcNp7GPqZ843aMw5i2bpEa8XQ3d3dllicrid40d9kbSkJp6Dm2bcQ3d3dcdJ 3344 34 Singularidades e resíduos A analiticidade de uma função de variáveis complexas é uma característica um pouco restritiva Assim podemos ter uma função que seja analítica em uma determinada região e não seja em outra ou ainda que deixe de ser analítica em alguns pontos de seu domínio tendo suas singularidades O estudo do teorema dos resíduos conduziu a métodos para que as singularidades fossem classificadas e o cálculo do resíduo fosse determinado sem a necessidade de sempre se se recorrer às séries de Laurent Ele é muito importante por permitir cálculos integrais de funções analíticas ao longo de caminhos fechados simples que generalizam a fórmula de Cauchy 341 Singularidade Segundo Ávila 2008 dizse que um ponto z é a singularidade isolada de uma função d se existe uma vizinhança de z na qual f é univalente e regular exceto no próprio ponto z Por exemplo a função possui singularidades isoladas nos zeros do denominador que são os pontos Já a função Atividade não pontuada 0 0 0 01042022 0943 Unidade 3 Cálculo avançado com números complexos httpsstudentulifecombrContentPlayerIndexlcNp7GPqZ843aMw5i2bpEa8XQ3d3dllicrid40d9kbSkJp6Dm2bcQ3d3dcdJ 3444 tem singularidades isoladas em cada um dos zeros do denominador que são os pontos Observe que esses pontos formam uma sequência convergente O limite z 0 é então um ponto de acumulação de singularidades isoladas que também recebe o nome de singularidade Definição Seja z uma singularidade isolada de uma função f uma função complexa representada em série de Laurent por é válida em uma vizinhança perfurada 0 zz r de z PraCegoVer zero menor que o módulo de z menos z zero menor que r de z zero Se b 0 m 1 2 PraCegoVer b m igual a zero qualquer m igual a um dois reticências dizemos que z é uma singularidade removível b 0 e b 0 m k1K2 PraCegoVer b k diferente de zero e b m igual a zero qualquer m igual a k mais um k mais dois reticências dizemos que z é um polo de ordem k m N kmb 0 PraCegoVer qualquer m pertence a N existe um k maior que m com b k diferente de zero dizemos que z é uma singularidade essencial Agora vejamos alguns exemplos de funções complexas e singularidades Exemplo 17 Sendo 0 0 0 m 0 k m 0 k 0 01042022 0943 Unidade 3 Cálculo avançado com números complexos httpsstudentulifecombrContentPlayerIndexlcNp7GPqZ843aMw5i2bpEa8XQ3d3dllicrid40d9kbSkJp6Dm2bcQ3d3dcdJ 3544 todos os pontos do eixo real negativo incluindo a origem são pontos singulares embora não existam pontos singulares isolados Exemplo 18 A função tem pontos isolados em z 0 z 2i e z 2i PraCegoVer z igual a zero z igual a a dois i e z igual a menos dois i Exemplo 19 Considere dado por Resolução Como Assim z 0 é uma singularidade removível Exemplo 20 01042022 0943 Unidade 3 Cálculo avançado com números complexos httpsstudentulifecombrContentPlayerIndexlcNp7GPqZ843aMw5i2bpEa8XQ3d3dllicrid40d9kbSkJp6Dm2bcQ3d3dcdJ 3644 Exemplo 20 Consideraremos a função primeiro em uma vizinhança de z 0 digamos z 1 PraCegoVer módulo de z menor que um Para vermos que z 0 e polo de ordem 3 basta notar que z fz PraCegoVer z ao cubo f de z tem limite finito e diferente de zero com z0 PraCegoVer z tendendo a zero Para achar a parte principal da série de Laurent na origem procedemos da seguinte maneira usando multiplicação de séries Os primeiros três termos apresentados formam a parte principal da série A mesma função tem polo simples em z 2 cuja série correspondente tem parte principal dada por Neste caso efetuamos um corte ao longo do semieixo real negativo incluindo a origem sendo que o domínio da função seja dado por arg z π PraCegoVer módulo do arg de z menor que pi 3 01042022 0943 Unidade 3 Cálculo avançado com números complexos httpsstudentulifecombrContentPlayerIndexlcNp7GPqZ843aMw5i2bpEa8XQ3d3dllicrid40d9kbSkJp6Dm2bcQ3d3dcdJ 3744 VAMOS PRATICAR Seja determine as singularidades de f 342 Resíduo Vamos expressar a relação entre singularidades e resíduos de uma maneira simples Considere z como um ponto isolado de uma dada função f Assim existirá uma série de Laurent que representará a função f dada por existindo para uma vizinhança limitada por 0 zz R PraCegoVer zero menor que módulo de z menos z zero menor que R Os termos da série que envolvem potências zz PraCegoVer z menos z zero de expoente negativo constituem a parte principal de f em z O coeficiente c PraCegoVer c índice menos um da potência zz PraCegoVer z menos z zero elevado a menos um denominado por resíduo de f em z denotase por Resf z PraCegoVer resíduo de f em z zero Exemplo 21 0 0 0 0 1 0 1 0 0 01042022 0943 Unidade 3 Cálculo avançado com números complexos httpsstudentulifecombrContentPlayerIndexlcNp7GPqZ843aMw5i2bpEa8XQ3d3dllicrid40d9kbSkJp6Dm2bcQ3d3dcdJ 3844 Exemplo 21 Sendo temos que O teorema dos resíduos é de suma importância em análise complexa por se tratar de um método de cálculo de integrais de funções analíticas ao longo de caminhos fechados simples que generalizam a fórmula de Cauchy Teorema do resíduo Considere f uma função regular e univalente em uma região simplesmente convexa R exceto em um número finito de singularidades isoladas z z PraCegoVer z um reticências z k Então em que C é um contorno fechado de R envolvendo z z PraCegoVer z um reticências z k uma vez no sentido positivo Exemplo 22 Considere a função que tem polo no ponto z 1 Estamos considerando o ramo principal do logaritmo determinado pela condição log1 0 Seu resíduo nesse ponto é 1 k 1 k 01042022 0943 Unidade 3 Cálculo avançado com números complexos httpsstudentulifecombrContentPlayerIndexlcNp7GPqZ843aMw5i2bpEa8XQ3d3dllicrid40d9kbSkJp6Dm2bcQ3d3dcdJ 3944 Calculando os limites pela regra de lHopital encontramos Exemplo 23 Mostre que Resolução O integrado possui polos simples nos pontos zi PraCegoVer z igual a mais ou menos i Seja C o semicírculo do semiplano Im z 0 PraCegoVer lm de z maior ou igual a zero de raio R e centro na origem Supondo R 1 PraCegoVer R maior que um o contorno formado pelo segmento R R seguindo de C contém o polo z i em que o resíduo de f é Pelo teorema do resíduo Por outro lado R R 01042022 0943 Unidade 3 Cálculo avançado com números complexos httpsstudentulifecombrContentPlayerIndexlcNp7GPqZ843aMw5i2bpEa8XQ3d3dllicrid40d9kbSkJp6Dm2bcQ3d3dcdJ 4044 sendo Isto mostra que Logo passando ao limite com R PraCegoVer R tendendo ao infinito obtemos que é o resultado procurado Exemplo 24 Calcule Resolução a integral é O integrando é em que 01042022 0943 Unidade 3 Cálculo avançado com números complexos httpsstudentulifecombrContentPlayerIndexlcNp7GPqZ843aMw5i2bpEa8XQ3d3dllicrid40d9kbSkJp6Dm2bcQ3d3dcdJ 4144 São polos simples sendo C o semicírculo do semiplano superior de um círculo z R PraCegoVer módulo de z igual a R em que Assim teremos Integrando f no sentido antihorário ao longo da fronteira da região semicircular temos Quando z está sobre C ou seja z R PraCegoVer módulo de z igual a R temos sendo Assim Logo passando ao limite com R PraCegoVer R tendendo ao infinito obtemos R R 01042022 0943 Unidade 3 Cálculo avançado com números complexos httpsstudentulifecombrContentPlayerIndexlcNp7GPqZ843aMw5i2bpEa8XQ3d3dllicrid40d9kbSkJp6Dm2bcQ3d3dcdJ 4244 Teste seus conhecimentos Atividade não pontuada Síntese Nesta unidade vimos que uma sequência é representada como uma lista de números escritos em uma ordem determinada Uma sequência a tem limite L e escreveremos se pudermos tornar os termos a tão próximos de L quanto quisermos ao fazer n suficientemente grande Se lim a existir dizemos que a sequência converge ou é convergente Caso contrário dizemos que a sequência diverge ou é divergente Ademais discutimos que de um modo simples podemos dizer que uma série infinita é a soma de uma sequência infinita de números e que a soma de uma série é o limite da sequência de somas parciais Estabelecemos também que as definições de limite e convergência de sequências e séries de números complexos são as mesmas apresentadas no campo dos números reais Por fim vimos o teorema do resíduo seja f uma função regular e univalente em uma região simplesmente convexa R exceto em um número finito de singularidades isoladas z z PraCegoVer z um reticências z k então em que C é um contorno fechado de R envolvendo z z PraCegoVer z um reticências z k uma vez no sentido positivo n n n n 1 k 1 k 01042022 0943 Unidade 3 Cálculo avançado com números complexos httpsstudentulifecombrContentPlayerIndexlcNp7GPqZ843aMw5i2bpEa8XQ3d3dllicrid40d9kbSkJp6Dm2bcQ3d3dcdJ 4344 reticências z k uma vez no sentido positivo Referências bibliográficas STEWART J Cálculo II Tradução da 7 ed americana São Paulo 2013 THIEL A A MODESTI M S O cálculo e a matemática superior algumas aplicações Blumenau Instituto Federal Catarinense 2016 THOMAS G B Cálculo 11 ed São Paulo Pearson Education do Brasil 2008 v 1 THOMAS G B Cálculo 12 ed São Paulo Pearson Education do Brasil 2012 v 2 SAIBA MAIS Título Um curso de cálculo Volume 4 Autor Hamilton Luiz Guidorizzi Editor LTC Ano 2018 Comentário Seu diferencial são os recursos pedagógicos digitais inéditos e exclusivos que servem tanto para aprofundar quanto para fixar a aprendizagem dos estudantes de Cálculo Onde encontrar Biblioteca Virtual da Ânima 01042022 0943 Unidade 3 Cálculo avançado com números complexos httpsstudentulifecombrContentPlayerIndexlcNp7GPqZ843aMw5i2bpEa8XQ3d3dllicrid40d9kbSkJp6Dm2bcQ3d3dcdJ 4444 GUIDORIZZI H L Um cálculo de cálculo 5 ed Rio de Janeiro LTC 2013 vol 4 ÁVILA Geraldo Variáveis complexas e aplicações 3 ed Rio de Janeiro LTC 2008