Aula 11: Cálculo Avançado com Números Complexos

AULA 11 CÁLCULO AVANÇADO COM NÚMEROS COMPLEXOS UNIRITTER Campus Zona Sul Profª Msc Aline Brum Seibel Data 23052023 Objetivos de nossa aula Parametrização de curvas Integral de Linha Curvas Definidas por Equações Paramétricas Imagine que uma partícula se mova ao longo de uma curva C como mostrado na Figura 1 É impossível descrever C com uma equação do tipo 𝑦 𝑓 𝑥 porque C não passa no Teste da Reta Vertical Mas as coordenadas 𝑥 e 𝑦 da partícula são funções do tempo e assim podemos escrever 𝑥 𝑓 𝑡 e 𝑦 𝑔𝑡 Esse par de equações é muitas vezes uma maneira conveniente de descrever uma curva e faz surgir a definição a seguir Suponha que x e y sejam ambas dadas como funções de uma terceira variável t denominada parâmetro pelas equações 𝑥 𝑓 𝑡 e 𝑦 𝑔𝑡 chamadas equações paramétricas Cada valor de t determina um ponto 𝑥 𝑦 que podemos marcar em um plano coordenado Quando t varia o ponto 𝑥 𝑦 𝑓 𝑡 𝑔𝑡 varia e traça a curva C que chamamos curva parametrizada O parâmetro t não representa o tempo necessariamente e de fato poderíamos usar outra letra em vez de t para o parâmetro Porém em muitas aplicações das curvas parametrizadas t denota tempo e portanto podemos interpretar 𝑥 𝑦 𝑓 𝑡 𝑔𝑡 como a posição de uma partícula no instante t Nenhuma restrição foi colocada no parâmetro t no Exemplo 1 de modo que assumimos que t poderia ser qualquer número real No entanto algumas vezes restringimos t a um intervalo finito Por exemplo a curva parametrizada Uma partícula cuja posição é dada por equações paramétricas se move ao longo da curva na direção das setas quando t aumenta Observe que os pontos consecutivos marcados na curva aparecem em intervalos de tempo iguais mas não a distâncias iguais Isso ocorre porque a partícula desacelera e então acelera à medida que t aumenta Parece a partir da Figura 2 que a curva traçada pela partícula poderia ser uma parábola Isso pode ser confirmado pela eliminação do parâmetro t como a seguir Obtemos t y 1 a partir da segunda equação e substituímos na primeira equação Isso fornece x t² 2t y t 1 0 t 4 mostrada na Figura 3 é a parte da parábola do Exemplo 1 que começa no ponto 0 1 e termina no ponto 8 5 A seta indica a direção na qual a curva é traçada quando aumenta de 0 até 4 EXEMPLO 2 Que curva é representada pelas seguintes equações paramétricas FIGURA 4 Ferramentas Gráficas A maioria das calculadoras gráficas e dos programas gráficos computacionais pode ser usada para traçar curvas definidas por equações paramétricas De fato é instrutivo olhar uma curva parametrizada sendo desenhada por uma calculadora gráfica porque os pontos são marcados em ordem à medida que os valores correspondentes do parâmetro aumentam 14 Esboce a curva usando as equações paramétricas para marcar os pontos Indique com uma seta a direção na qual a curva é traçada quando t aumenta f y x 14 4 x 12 14 Esboce a curva usando as equações paramétricas para marcar os pontos Indique com uma seta a direção na qual a curva é traçada quando t aumenta 1 x 1 sqrtt y t2 4t 0 leq t leq 5 2 x 2 cos t y t cos t 0 leq t leq 2pi 510 a Esboce a curva usando as equações paramétricas para marcar os pontos Indique com uma seta a direção na qual a curva é traçada quando t aumenta b Elimine o parâmetro para encontrar uma equação cartesiana da curva 5 x 3 4t y 2 3t 6 x 1 2t y frac12t 1 2 leq t leq 4 7 x 1 t2 y t 2 2 leq t leq 2 8 x t 1 y t3 1 2 leq t leq 2 9 x sqrtt y 1 t 10 x t2 y t3 Objetivos de nossa aula Integral de Linha Prova 1306 Números Complexos Transformada de Lapace Integral de Linha Integral de Linha Temos como objetivo definir uma integral que é semelhante a uma integral simples exceto que ao invés de integrarmos sobre um intervalo ab integramos sobre uma curva C Tais integrais são chamadas integrais de linha apesar de integrais curvas ser uma expressão mais adequada Elas foram inventadas no começo do século XIX para resolver problemas envolvendo escoamento de líquidos forças eletricidade e magnetismo Vamos iniciar nosso estudo com as integrais de linha de uma função de duas variáveis Denominamos de integral de linha escalar a integral de uma função𝑓𝑥 𝑦 ao longo de uma curva 𝐶 e a denotamos por 𝑪 𝒇 𝒙 𝒚 𝒅𝒔 onde 𝑑𝑠 é uma quantidade infinitesimal muito pequena da curva 𝐶 A curva 𝐶 é chamada o caminho da integração Vamos entender melhor o conceito de integral de linha Iremos utilizar a notação 𝑷 𝒕 𝒙 𝒕 𝒚 𝒕 para denotar um caminho uma curva no plano cartesiano 𝑅2 Podemos pensar em 𝑃𝑡 como sendo um ponto em movimento como função do tempo 𝑡 descrevendo uma curva 𝐶 no plano para 𝒂 𝒕 𝒃 Para calcular uma integral de linha é necessário conhecer a equação da curva 𝐶 a qual pode ser dada na forma cartesiana ou paramétrica A forma cartesiana é mais utilizada quando a curva 𝐶 é o gráfico de uma função𝑦 𝑔𝑥 Já a forma paramétrica abrange o caso geral tanto para gráficos de função ou não Em ambos os casos uma integral de linha escalar 𝑪 𝒇 𝒙 𝒚 𝒅𝒔 pode ser transformada em uma integral simples de uma função de uma variável Para isso basta restringirmos os valores de 𝑓𝑥 𝑦 aos pontos da curva 𝐶 e encontrarmos uma expressão adequada para 𝑑𝑠 Para acharmos 𝑑𝑠 devemos observar que sendo 𝑑𝑠 uma quantidade infinitesimal muito pequena do comprimento da curva 𝐶 podemos supor que ela é a hipotenusa do triângulo retângulo cujos catetos são 𝑑𝑥 e 𝑑𝑦 ver figura fx yds fxt ytdxdt² dydt²dt α t β Calcule 2 x²yds onde C é a metade superior do círculo unitário x² y² 1 2 cos²tsintdt 2 dt cos²tsint dt 2t₀π cos³t3₀π 2π 23 fxy ds fxy ds fxy ds fxy ds onde C é a união de um número fino de curvas C1 C2 Cn Calcule a integral 2x ds onde C é a união do arco de parábola C1 dada por y x² de 0 0 a 1 1 seguido pelo segmento de reta vertical C2 de 1 1 a 1 2 Observe as parametrizações C1 x t y t² 0 t 1 C2 x 1 y t 1 t 2 2x ds 2x ds 2x ds 0¹ 2t 1 4t² dt 1² 2t dt Calcule a integral C y² dx C x dy C y² dx x dy onde a C C₁ é o segmento de reta de 53 a 02 b C C₂ é o arco de parábola x 4 y² de 53 a 02 a Segmento de reta Vetor direção v 02 53 55 Equações paramétricas x 5 5t e y 3 5t 0 t 1 b Arco de parábola x 4 t² e y t 3 t 2 EXEMPLO Calcule a integral C 2 x²y ds onde C é a parte da circunferência unitária x² y² 1 x 0 percorrida no sentido antihorário A curva C pode ser representada pelas equações paramétricas xt cos t yt sen t π2 t π2 Assim fxt yt 2 cos² t sen t ds x t² y t² dt sen t² cos t² dt 1 dt Portanto 2x²y ds π2 to π2 2cos² t sent dt π2 to π2 2 dt π2 to π2 cos² t sent 2tπ2 to π2 cos³ t3π2 to π2 ππ0 2π O Cálculo de integrais de funções sobre curvas no espaço é feito de modo totalmente análogo às curvas planas lembrando que as curvas no espaço são mais facilmente descritas por equações paramétricas EXEMPLO Calcule x²y²z ds onde C é a hélice circular dada através das equações paramétricas por xt cost yt sent zt t do ponto P100 até o ponto Q102π ds xt² yt² zt² dt sent² cost² 1 sen² t cos² t 1 2 Ainda observe que do ponto P ao ponto Q t varia de 0 a 2π Portanto x²y²z ds 2π to 0 1t 2 dt 22π to 0 1t dt 2t²2t0 to t2π 22π2π²2 22π1π Calcule a integral C xy dx 2yx dy onde C consiste no menor arco de círculo x² y² 1 de 10 a 01 e o segmento de reta de 01 a 43 OBRIGADA PELA PRESENÇA E ATÉ A PRÓXIMA AULA Profº Aline Seibel