Análise Estrutural Método das Forças e dos Deslocamentos

Análise de Estruturas\nMétodo das Forças e Método dos Deslocamentos\nHumberto Lima Soriano\nSilvio de Souza Lima\n2ª Edição Atualizada\nEDITORA CIÊNCIA MODERNA Humberto Lima Soriano, D.Sc.\nProfessor titular da Faculdade de Engenharia da Universidade do Estado do Rio de Janeiro.\nSilvio de Souza Lima, D.Sc.\nProfessor adjunto da Escola Politécnica da Universidade Federal do Rio de Janeiro\nAnálise de Estruturas\nMétodo das Forças e Método dos Deslocamentos\n2ª Edição Atualizada\nEDITORA CIÊNCIA MODERNA Prefácio da segunda edição ......................................................................... XI\nPrefácio da primeira edição ....................................................................... XII\n\nCapítulo 1 – Fundamentos ............................................................................ 1\n1.1 – Introdução ............................................................................................ 1\n1.2 – Conceitos básicos ................................................................................ 2\n1.3 – Trabalho das forças externas e energia de deformação ............... 10\n1.4 – Teorema dos deslocamentos virtuais ................................................ 15\n1.5 – Teorema das forças virtuais ............................................................... 27\n1.6 – Método da força unitária .................................................................... 28\n1.6.1 – Efeito de forças externas ............................................................ 28\n1.6.2 – Efeito de temperatura ................................................................ 44\n1.6.3 – Efeito de deslocamento prescrito .............................................. 47\n1.6.4 – Efeito de apoio elástico ................................................................. 49\n1.7 – Teoremas de reciprocidade ................................................................. 52\n1.8 – Estruturas simétricas ......................................................................... 57\n1.8.1 – Carregamento simétrico ............................................................ 58\n1.8.2 – Carregamento anti-simétrico ................................................... 63\n1.9 – Exercícios propostos ............................................................................ 66\n\nCapítulo 2 – Método das forças ................................................................... 75\n2.1 – Introdução ............................................................................................ 75\n2.2 – Sistemática do método das forças .................................................. 76\n2.3 – Exemplos de sistemas principais .................................................... 84\n2.4 – Variação de temperatura ................................................................... 86 2.5 – Deslocamento prescrito ...................................................... 91\n2.6 – Apoio elástico ................................................................. 97\n2.7 – Estruturas simétricas ..................................................... 104\n2.8 – Forças nodais equivalentes ............................................. 118\n2.9 – Coeficientes de rigidez de barra ..................................... 125\n2.9.1 – Barra biengastada ................................................... 126\n2.9.2 – Barra engastada e rotulada ................................. 127\n2.9.3 – Barra engastada e liberada ao esforço cortante ..... 129\n2.10 – Exercícios propostos ................................................... 130\n\nCapítulo 3 – Método dos deslocamentos ................................. 137\n3.1 – Introdução ................................................................... 137\n3.2 – Sistematização do método dos deslocamentos ............ 138\n3.3 – Exemplos de sistemas principais ................................. 169\n3.4 – Variação de temperatura .............................................. 171\n3.5 – Deslocamento prescrito ............................................... 173\n3.6 – Apoio elástico ........................................................... 187\n3.7 – Estruturas simétricas .................................................. 192\n3.8 – Deformação de esforço normal ................................... 201\n3.9 – Estrutura com barra inclinada ..................................... 209\n3.10 – Exercícios propostos ................................................ 213\n\nCapítulo 4 – Tópicos complementares .................................... 219\n4.1 – Introdução ................................................................... 219\n4.2 – Linhas de influência ...................................................... 219\n4.2.1 – Linhas de influência de deslocamentos .................. 221\n4.2.2 – Processo cinemático ............................................ 225\n4.2.3 – Método das forças ................................................ 231\n4.2.4 – Método dos deslocamentos ................................... 235\n4.3 – Processo de Cross ...................................................... 240\n4.4 – Exercícios propostos .................................................. 254\n\nCapítulo 5 – Análise automática de estruturas ......................... 257\n5.1 – Introdução .................................................................... 257\n5.2 – Estrutura dos sistemas de análise ............................... 258\n5.3 – Dados de estruturas em barras ................................... 258 5.4 – Sistema SALT ...................................................................... 263\n5.4.1 – Apresentação do Sistema ............................................. 263\n5.4.2 – Análise estática .............................................................. 268\n5.4.3 – Linhas de influência e valores extremos ....................... 281\n5.5 – Exercícios propostos ......................................................... 287\n\nRespostas dos exercícios propostos selecionados .................... 289\n\nGlossário .................................................................................... 299\n\nBibliografia ................................................................................ 303\n\nNotas .......................................................................................... 305\n\nÍndice .......................................................................................... 307 Capítulo 1\n\nFundamentos\n\n1.1 – Introdução\n\nAs estruturas são sistemas físicos capazes de receber e transmitir esforços como em pontes, edifícios, torres, antenas etc. Um dos principais objetivos da análise de estruturas é relacionar, em idealizações simplificadoras desses sistemas e utilizando propriedades de material determinadas experimentalmente, as ações externas atuantes com os deslocamentos, reações de apoio e tensões (ou suas resultantes), de maneira a poder identificar eventual deficiência de comportamento do material constituinte e/ou comportamento da estrutura como um todo e de suas partes. Isso, para elaborar o projeto de uma nova estrutura a ser construída ou estudar o comportamento de uma estrutura já existente. A idealização de uma estrutura conduz a um modelo de análise, regido por equações matemáticas, cujos resultados devem expressar comportamento próximo ao da estrutura. Cabe ao engenheiro a responsabilidade de conhecer esse modelo, sob as externas estabelecidas a partir de códigos de projeto e com as aproximações julgadas cabíveis, e, após a determinação de seu comportamento, fazer análise crítica de sua pertinência. Neste livro, a análise se restringe ao estudo das estruturas em barras, desenvolvendo métodos e processos de determinação de resultantes de tensão (esforços seccionais), deslocamentos e reações de apoio, com ênfase nas denominadas estruturas hiperstáticas. Para simplicidade de expressão, o modelo de análise é também denominado estrutura, assim como sua representação gráfica.\n\nEficientes sistemas computacionais para a análise automática de estruturas são atualmente disponíveis e indispensáveis nos escritórios de projeto. Contudo, não é recomendável a sua utilização por usuário que não tenha capacidade de avaliação crítica dos resultados obtidos. Para isso, é necessário o conhecimento das potencialidades e limitações dos métodos implementados, e que se tenha “sentimento de comportamento das estruturas”. Como objetivo de proporciar ao leitor esse conhecimento e iniciá-lo no desenvolvimento deste sentimento, este livro apresenta a formulação clássica dos métodos Análise de Estruturas\n\nDe forma simplificada, as estruturas podem ser classificadas como constituídas de barras (retas ou curvas) e como contínuas. A barra é um elemento estrutural que tem uma dimensão preponderante em relação às demais. São as vigas, colunas, pilares, escoras, tirantes, eixos, nervuras etc., ditos elementos unidimensionais. As estruturas contínuas são constituídas de elemento(s) em que não se caracterize uma dimensão preponderante, como as chapas, placas, cascas, membranas e blocos, ditos elementos de superfície e de volume, conforme se possam caracterizar duas ou três dimensões preponderantes. Utilizando computador, essas últimas estruturas são geralmente analisadas pelo método de elementos finitos.\n\nCom a hipótese de seções transversais de barra permanecerem planas após a sua rotação geométrica dos centros de suas seções transversais. Esse é o eixo geométrico representado por um segmento de reta ou de curva, dito elemento unidimensional. Considera-se que as seções transversais sejam perpendiculares a esse eixo. Além disso, como os apoios são idealizados como pontuais, a estrutura fixa modelada como um conjunto de elementos unidimensionais ligados entre si em pontos e em apoios discretos. Por simplicidade, a representação unidimensional de barra é também denominada barra e qualquer de seus pontos, seção transversal.\n\n2 Capítulo 1 – Fundamentos\n\nNa Mecânica do Contínuo, em idealização tridimensional e proximidade infinitesimal de \"ponto material\", o efeito do material de um lado de uma seção infinitesimal sobre o material do outro lado desta seção é considerado por meio do vetor normal de componentes normal e cisalhante. De forma mais simples, em idealização tridimensional de barra, esse efeito é considerado em cada seção transversal através de resultantes de componentes de tensão denominadas esforços seccionais ou esforços solicitantes (internos), aplicadas ao ponto representativo da seção. A Figura 1.1 ilustra esses esforços em barra utilizando o referencial xyz, em que x coincide com o eixo geométrico, e y e z, com os eixos principais de inércia da seção transversal em questão. Na parte (a) dessa figura, os esforços seccionais N, V e M, que ocorrem no caso plano, representam o efeito da parte em traçado da barra sobre a parte em traço contínuo da barra. Inversamente, o efeito da parte em traço contínuo sobre a parte em traço se faz através desses esforços em sentidos contrários. O esforço N, de vetor representativo da mesma direção que o eixo x, é denominado esforço por força normal, de tração ou compressão. O esforço V, de vetor representativo da mesma direção que o eixo y, é denominado esforço por força cortante, e o esforço M, de vetor de seta polar representativo da mesma direção que o eixo z, é denominado momento fletor. A Figura 1.1b ilustra a decomposição tridimensional de esforços seccionais, onde N continua sendo o esforço normal, V, V y e V z são os esforços cortantes segundo os eixos y e z, e M, M x e M z são os momentos fletores segundo esses mesmos eixos, e T o momento de torção.\n\nSeção transversal\n\n(a) Caso plano\n\n(b) Caso tridimensional\n\nFigura 1.1 – Esforços seccionais.\n\n3 Uma vez obtidos os esforços seccionais, os componentes de tensão em um ponto qualquer da seção transversal podem ser determinados com os conhecimentos da disciplina Resistência dos Materiais. Também podem ser determinados deslocamentos e rotações de uma seção em relação à barra através de presente análise de estruturas. A rotação de uma seção em torno do eixo y (ou z) é igual à projeção da tangente ao eixo geométrico da barra, deformada no ponto representativo da seção, no plano xx (ou xy).\n\nO termo deslocamento é usado em sentido generalizado, incluindo deslocamento linear e deslocamento de rotação. Força tem também sentido generalizado, abrangendo força no sentido estrito da palavra e momento de força.\n\nSerão consideradas apenas ações (extremas) estáticas sob as formas de forças aplicadas (concentradas ou distribuídas), de variação de temperatura, de deslocamento prescrito (por vezes, denominado recalque de apoio) e de deformação imposta, também denominada deformação prévia. Diz-se que ações estáticas por terem aplicação gradual lenta et valores finais constantes, de maneira a poderem ser desprezadas as forças de inércia e de amortecimento. Em edificaçães, essas ações são estabelecidas pelos códigos normativos da estrutura NBR-6120, NBR-6123 e NBR 8681. A menos de efeito de instabilidade elástica, que não é objeto de estudo neste livro, a estrutura estará em equilíbrio quando a resultante força e reacção momento em relação a um eixo qualquer) das ações de apoio são nulas. Decompondo essas reações em um referencial cartesiano XYZ, esse equilíbrio e expresso pela nulidade de suas componentes, o que é matematicamente representado pelas equações de equilíbrio da estática que se escrevem:\n\n∑F x = 0, ∑F y = 0, ∑F z = 0\n∑M x = 0, ∑M y = 0, ∑M z = 0\n\n(1.1)\n\nEssas equações são suficientes para determinar as reações de apoio e os esforços seccionais em todas as seções da barra constituintes da estrutura, desde que esta seja estrutura isostática. A habilidade em determinar esses esforços neste tipo de estrutura é pré-requisito neste livro. Apoio 6 é dito vínculo externo por ser imposto pelo a estrutura.\n\n4 Capítulo 1 – Fundamentos\ndeslocamentos de corpo rígido, quando então as equações de equilíbrio da estática são também suficientes para o cálculo dessas reações. Além disso, os vínculos internos são suficientes para impedir mecanismos da estrutura e de suas diversas partes. O pórtico da Figura 1.2 é hiperestático externamente, com grau de indeterminação estática igual a 1, porque existe uma reação superabundante para impedir os deslocamentos de corpo rígido do pórtico como um todo, quando, então, as equações de equilíbrio da estática não são suficientes para o cálculo das reações de apoio. O pórtico da Figura 1.2d é isostático externamente e hiperestático internamente, com grau de indeterminação estática igual a 3, porque, mesmo após o cálculo das reações de apoio (utilizando as equações de equilíbrio da estática), os três esforços seccionais da seção S indicada não são possíveis de serem calculados com equações da estática. É natural que se possa ter também estrutura hiperestática interna e externamente, quando, então, as equações da estática não são suficientes para o cálculo das reações de apoio e dos esforços seccionais em partes fechadas da estrutura.\n\n(d) Hiperestática internamente\n\nFigura 1.2 – Classificação quanto ao equilíbrio estático.\n\nAs estruturas podem ter comportamento físico linear ou não linear e comportamento geométrico linear ou não linear. Diz-se comportamento físico linear quando os materiais constituintes das barras da estrutura têm diagrama tensão-deformação linear (vide item 1.3), além de independente do tempo. Comportamento físico não linear, em caso contrário. Diz-se comportamento geométrico linear quando as equações de equilíbrio podem ser escritas, com aproximações julgadas aceitáveis, na configuração não deformada da estrutura (anterior à aplicação das ações externas embora se suponha que essas ações estejam atuando). Trata-se de análise com pequenos deslocamentos em que a tangente do ângulo de rotação é tomada igual ao próprio ângulo em radiano. Diz-se comportamento geométrico não linear, em caso contrário. Em comportamento linear (físico e geométrico) é válido o princípio da superposição dos efeitos, ilustrado na Figura 1.3 com uma viga biapoiada sob duas forças externas concentradas.