Linhas de Influencia - Cargas Moveis em Estruturas

LINHAS DE INFLUÊNCIA Gabriel de Sant Anna Vitor Barbieri Linhas de influência 2 1 LINHAS DE INFLUÊNCIA Os carregamentos externos ativos que agem em grandes estruturas sejam eles forças externas tensões térmicas e deformações provocadas pela variação de temperatura ou ainda deformações prévias como deformações geradas pelo próprio peso próprio dos elementos que constituem a estrutura podem ser classificados como carregamentos permanentes excepcionais e acidentais As forças permanentes que atuam constantemente nas estruturas são forças provenientes do peso próprio dos elementos revestimentos entre outros As forças acidentais atuam esporadicamente na estrutura e podem ser forças provenientes da ação do vento empuxos impactos frenagens ou acelerações sobrecargas terremotos neve aglomerações e veículos cargas móveis que se deslocam sobre estruturas como pontes rodoviárias ferroviárias e rolantes assim como em viadutos e passarelas As forças excepcionais são forças de duração extremamente curta grande intensidade e baixíssima probabilidade de ocorrência As forças excepcionais são forças provenientes de desastres naturais por exemplo atentados explosões entre outros As cargas móveis podem ser definidas como cargas cuja posição ao longo da estrutura é variante com o tempo à medida que o veículo percorre determinada trajetória Esse tipo de carga é observado em pontes viadutos passarelas pontes rolantes entre outros Essas forças móveis em estruturas de transposição deslocamento de algum elemento vão evidentemente modificar as forças de reação nos apoios Dependendo da natureza da posição e da intensidade das forças móveis as forças reativas provocadas por essas cargas podem ser ainda maiores que as forças elásticas de reação nos apoios provocadas pelo próprio peso da estrutura ou devido às ações permanentes Por essa razão se faz necessário criar uma metodologia para que possa definir quais são os efeitos devido às forças móveis em suas posições mais desfavoráveis de Linhas de influência 3 deslocamento sobre a estrutura Definindo essa posição crítica podese proceder com o dimensionamento dos elementos da estrutura de maneira que ela resista com relação à resistência e rigidez sem problemas à essas condições desfavoráveis Nesse primeiro momento a análise das estruturas sob a ação de cargas móveis vai se limitar à ação de cargas móveis que provocam forças de inércia baixas à moderadas portanto a análise da ação desse tipo de carregamento será uma análise estática Vamos considerar as cargas móveis como uma sequência de cargas estáticas em diversas posições diferentes sobre a estrutura é necessária uma análise da estrutura para cada posição da carga Para esse tipo de análise considerando os efeitos das cargas em cada posição definemse os conceitos de linha de influência e veículostipo ou trens tipo Linha de influência LI a linha de influência de um efeito elástico reações nos apoios deslocamento da seção da estrutura esforços internos entre outros em uma dada seção é a representação gráfica ou analítica do valor desse efeito produzido por uma carga concentrada unitária de cima para baixo que percorre a estrutura Veículostipo ou trenstipo são veículos ideais combinação de forças móveis estabelecidos por norma de projeto e dependentes do tipo de estrutura As linhas de influência por definição são diagramas que expressam os parâmetros estruturais em função da variação da posição de uma carga móvel Esses diagramas diferem ligeiramente dos diagramas estruturais que aprendemos a desenvolver no estudo da estática Os diagramas dos esforços internos força cortante e momento fletor de uma estrutura como vigas expressam a variação desses esforços internos em função de um conjunto de ações externas que atuam simultaneamente na estrutura Os diagramas são obtidos através da análise do elemento para cada seção onde verificamse descontinuidades no carregamento externo Já no caso dos diagramas obtidos em função das cargas móveis chamado de linha de influência LI eles expressam os parâmetros da estrutura esforços internos deslocamentos reações nos apoios em função de uma força unitária adimensional que percorre a estrutura Linhas de influência 4 DIAGRAMAS Vamos agora aprender a determinar as linhas de influência sejam elas para as reações de apoio ou para os esforços internos da estrutura Vamos considerar a viga biapoiada da Figura 1 A viga está apoiada por um pino na extremidade da esquerda e por um rolete na extremidade da direita O comprimento da viga é igual a l e a coordenada da carga móvel unitária que age na viga é igual a x Figura 1 viga biapoiada Fonte Soriano 2013 Aplicando as equações de equilíbrio estático para sistemas bidimensionais temos que 𝑀𝐵 0 𝑅𝐴 𝑙 1 𝑙 𝑥 0 1 𝐹𝑦 0 𝑅𝐴 𝑅𝐵 1 0 2 Resolvendo o sistema de equações temos que 𝑅𝐴 1 𝑥 𝑙 3 𝑅𝐵 𝑥 𝑙 4 Linhas de influência 5 Agora que já definimos a intensidade das forças reativas em função da posição da carga móvel x basta traçar essas funções com x variando de 0 a 𝑙 Esses gráficos são as linhas de influência da estrutura Figura 2 Figura 2 linhas de influência das reações de apoio Fonte Soriano 2013 As linhas de influência de uma estrutura também podem ser calculadas para expressar as forças internas dos elementos da estrutura em função da modificação da posição de aplicação da carga móvel Vamos calcular para o mesmo caso anterior os esforços internos força cortante e momento fletor em uma seção S de coordenada x a partir da extremidade da esquerda da viga Figura 3 Figura 3 representação da posição da seção S na viga Fonte Soriano 2013 Quando se faz um uma seção no elemento estrutural as forças internas na coordenada da seção acabam sendo expostas e no caso da análise via diagrama de corpo livre elas são consideradas como forças externas Então para a determinação das cargas internas basta aplicar as mesmas equações de equilíbrio estático no elemento Vale Linhas de influência 6 recordas que uma viga sob a ação de uma carga concentrada agindo de cima para baixo pode apresentar esforços internos do tipo força cortante e momento fletor Aplicando as equações de equilíbrio temos que 𝑃𝑎𝑟𝑎 0 𝑥 𝑥 𝑀𝑆 𝑥𝑙 𝑥𝑙 𝑉𝑆 𝑥𝑙 5 𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑥 𝑥 𝑙 𝑀𝑆 𝑥𝑙 𝑥𝑙 𝑉𝑆 1 𝑥𝑙 6 As linhas de influência obtidas para o momento fletor e para a força cortante do sistema em questão são representadas na Figura 4 Observase que por convenção os valores positivos das linhas de influência são representados abaixo do eixo neutro e as cotas negativas são representadas acima do eixo Figura 4 linhas de influência do momento fletor e força cortante Fonte Soriano 2013 Vamos repetir a análise agora para o caso em que temos uma viga em balanço Nesse caso aplicando o somatório de forças na direção transversal da viga a reação no engaste vai assumir a intensidade unitária independentemente da posição x da aplicação da carga P unitária O momento de reação no engaste vai variar da intensidade l quando x for igual a 0 à intensidade 0 quando x for igual a l Nas figuras 5 e 6 podemos verificar a configuração de uma viga em balanço e das linhas de influência para as reações do apoio Linhas de influência 7 Figura 5 viga em balanço Fonte Soriano 2013 Figura 6 linhas de influência das reações nos apoios Fonte Soriano 2013 Quanto aos esforços internos temos que 𝑃𝑎𝑟𝑎 0 𝑥 𝑥 𝑀𝑆 𝑥 𝑥 𝑉𝑆 1 7 𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑥 𝑥 𝑙 𝑀𝑆 0 𝑉𝑆 0 8 As linhas de influência da força cortante e do momento fletor são representadas na figura 7 Nesse caso x é a coordenada entre a extremidade da esquerda da vida e a seção transversal analisada Linhas de influência 8 Figura 7 linhas de influência do momento fletor e da força cortante Fonte Soriano 2013 No caso das vigas biapoiadas em balanços podemos proceder a análise como uma combinação dos dois casos anteriores Vamos considerar a viga da Figura 8 Figura 8 viga biapoiada em balanço Fonte Süssekind 1981 As reações de apoio da viga são dadas por 𝑉𝐴 𝐿 𝑧 𝐿 9 𝑉𝐵 𝑧 𝐿 10 Linhas de influência 9 onde L é vão entre os apoios A e B da viga e z a distância do apoio A à carga concentrada unitária Para os cálculos dos esforços internos do elemento estrutural na região do vão compreendida entre os apoios temos que 𝑄𝑠 𝑧 𝐿 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑧 𝑥 11 𝑄𝑠 𝐿 𝑧 𝐿 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑧 𝑥 12 𝑀𝑠 𝑧 𝐿 𝐿 𝑧 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑧 𝑥 13 𝑀𝑠 𝐿𝑧 𝐿 𝑥 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑧 𝑥 14 Analisando essas equações e comparando para o caso de viga biapoiada analisado anteriormente podemos verificar que as equações dos esforços internos são idênticas Analogamente se fossemos desenvolver os cálculos para as extremidades em balanço da viga teríamos equações idênticas ao caso analisado de viga em balanço Podemos concluir então que as linhas de influência para as seções localizadas entre os apoios no vão da viga são obtidas pelo prolongamento das linhas de influência de uma viga biapoiada Nas seções externas aos apoios extremidades em balanço a linha de influência obtida é idêntica ao caso de um elemento engastado em balanço Na figura 9 podemos observar as linhas de influência obtidas para o caso de uma viga biapoiada em balanço S1 é uma seção obtida no vão da viga S2 uma seção obtida na extremidade em balanço do lado esquerdo e S3 uma seção obtida na extremidade em balanço do lado direito do elemento estrutural Nessa figura V representa as reações nos apoios M os momentos fletores e Q as forças cortantes Linhas de influência 10 Figura 9 linhas de influência para uma viga biapoiada em balanço Fonte Süssekind 1981 As linhas de influência também podem ser estabelecidas em outras estruturas de barras como pórticos arcos análise em uma viga de substituição treliças entre outros desde que se defina o percurso de atuação da força unitária Acabamos de desenvolver uma das metodologias utilizadas para a obtenção das linhas de influência de uma estrutura a partir de uma carga móvel de intensidade unitária Resta agora definirmos como devemos proceder para a obtenção das linhas de influência em um caso geral ontem temos um conjunto de cargas concentradas e carregamentos distribuídos Para o caso de cargas concentradas Figura 10 de posições e valores conhecidos com a mesma direção e sentido das cargas utilizadas nas deduções das linhas de influência obtidas até agora o efeito elástico obtido pela soma da atuação dessas forças é obtido pelo somatório dos produtos da intensidade de cada força com o valor de sua ordenada eixo y do diagrama correspondente na linha de influência Linhas de influência 11 Matematicamente podemos definir os efeitos elásticos provenientes da ação conjunta de mais de uma força concentrada como 𝐸𝑠 𝑃𝑖 𝜂𝑖 𝑛 𝑖1 15 Figura 10 viga sob ação de cargas concentradas Fonte Süssekind 1981 onde 𝐸𝑠 significa o efeito elástico ou parâmetro do sistema que se deseja calcular n é igual ao número de cargas concentradas 𝑃 representa a intensidade de cada uma das forças e 𝜂 a ordenada da linha de influência correspondente a posição de cada uma das forças Com relação aos carregamentos distribuídos ao longo da estrutura com intensidades e posições conhecidas o efeito elástico a ser determinado por ser obtido via integração do produto dessas forças pelas ordenadas da linha de influência No caso específico de um carregamento distribuído uniforme Figura 11 com intensidade constante igual a q temos que o resultado da integração é igual ao produto dessa intensidade q pela área sob o diagrama de linha de influência Matematicamente isso significa que 𝐸𝑠 𝑞 𝜂 𝑑𝑧 𝑞 𝑏 𝑎 𝜂 𝑑𝑧 𝑞 𝐴 𝑏 𝑎 16 Linhas de influência 12 Figura 11 viga sob ação de carregamento distribuído uniforme Fonte Süssekind 1981 Vamos ver agora através de um exemplo como poderíamos determinar o momento fletor em uma seção S e a respectiva força cortante em uma estrutura sob ação de cargas concentradas e outra sob ação de carregamentos distribuídos Na Figura 12 temos uma viga biapoiada em balanço nas duas extremidades Esse elemento estrutural está sob a ação de duas cargas concentradas P1 e P2 que agem nas posições indicadas Figura 12 viga sob ação de duas cargas concentradas Fonte Soriano 2013 Para determinarmos o momento fletor interno na seção S devemos de acordo com a equação 15 somar os produtos das intensidades de cada força pelo momento fletor correspondente na linha de influência do elemento Dessa maneira temos que 𝑀𝑠 𝑃1 𝑀1 𝑃2 𝑀2 17 onde P indica a intensidade de cada uma das forças e M o momento fletor correspondente da posição de cada uma das forças na linha de influência do elemento O mesmo se aplica para a força cortante Nesse caso temos que Linhas de influência 13 𝑉𝑠 𝑃1 𝑉1 𝑃2 𝑉2 18 Devese tomar cuidado com o sinal correspondente de cada uma das forças cortantes De acordo com a figura 9 uma viga biapoiada em balanço apresente linha de influência de força cortante no vão entre os apoios com região negativa e positiva Esse sinal deve ser levado em consideração no somatório eq 18 Para o carregamento distribuído Figura 13 temos que o momento fletor na seção e a respectiva força cortante têm valores iguais ao produto da área obtida pelas ordenadas das linhas de influência pela intensidade p do carregamento Figura 13 viga sob ação de um carregamento distribuído uniforme Fonte Soriano 2013 Assim de acordo com a figura 9 o momento fletor e a força cortante da seção S seriam iguais a 𝑀𝑠 𝑀𝑎𝑀𝑏 2 𝑏 𝑎𝑝 19 𝑉𝑠 𝑉𝑎𝑉𝑏 2 𝑏 𝑎𝑝 20 Como o objetivo da análise estrutural é determinar os pontos aonde os esforços internos são críticos intensidades máxima e mínima e a análise de linha de influência é feita para cargas móveis podese ajustar a extensão e a posição de um carregamento uniformemente distribuído sobre a estrutura para determinar esses esforços extremos em uma seção arbitrária S Linhas de influência 14 TREMTIPO De acordo com Soriano 2013 um tremtipo consiste em um conjunto de forças móveis concentradas eou distribuídas de valores constantes e de distâncias relativas fixas entre si Esse conjunto de forças deve representar a combinação prevista mais desfavorável de veículos eou pessoas que irão atravessas a estrutura Os trenstipo são definidos por normas e o tremtipo a ser utilizado no projeto e na análise de cada estrutura depende da classe da estrutura de transposição Um tremtipo de acordo com a definição representa várias combinações de veículos e de aglomerações que irão percorrer a estrutura ao longo de sua vida útil No Brasil as normas que definem os trenstipo são NBR 7188 Carga móvel em ponte rodoviária e passarela de pedestre de acordo com essa norma em passarelas de pedestres a carga móvel é um carregamento distribuído uniforme com intensidade igual a 5 kNm² Já para o caso das pontes rodoviárias existem três combinações possíveis de acordo com a classe da estrutura NBR 7189 Cargas móveis para projeto estrutural de obras ferroviárias essa norma divide as ferrovias em quatro classes distintas de acordo com a carga transportada e de acordo com a estabilidade da estrutura Para cada uma das classes existe um tremtipo correspondente Após a determinação do tremtipo que deverá ser utilizado no projeto de cada tipo de estrutura procedese com o deslocamento dessas cargas para as posições em que os esforços internos momento fletor e força cortante são extremos de maneira que o dimensionamento da estrutura seja eficiente Devemos lembrar que todos os efeitos calculados foram obtidos a partir das cargas móveis e de suas respectivas linhas de influência Não se deve esquecer de somar os valores correspondentes de momento fletor e força cortante em uma seção S devido a ação de uma carga móvel com os valores dos esforços internos devido às cargas permanentes peso próprio reações nos apoios para a mesma seção Dessa maneira Linhas de influência 15 obtémse o que chamamos de faixa de trabalho que corresponde aos valores máximos e mínimos da força cortante e do momento fletor para cada seção S do elemento Linhas de influência 16 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ALMEIDA M C F de Estruturas isostáticas São Paulo oficina de textos 2009 HIBBELER R C Estática Mecânica para engenharia 14 ed São Paulo Pearson Prentice Hall 2017 SORIANO H L Estática das estruturas 3 ed Rio de Janeiro Editora ciência moderna LTDA 2013 SÜSSEKIND J C Curso de análise estrutural 6 ed Rio de Janeiro Globo 1981