Aula 6: Flexão Normal Simples em Estruturas de Concreto

UNIVERSIDADE FEDERAL DA GRANDE DOURADOS Faculdade de Engenharia Curso de Engenharia Civil Prof Me André Felipe Ap de Mello Estruturas de Concreto I Aula 6 Flexão Normal Simples Parte 1 61 Introdução 62 Posição da Linha Neutra 63 Deformação e tensão nas armaduras 64 Cálculo de verificação de seções retangulares 65 Cálculo de dimensionamento de seções retangulares 66 Exercícios propostos INTRODUÇÃO 61 Engenharia Civil Estruturas de Concreto I p 2 Flexão simples é aquela que se verifica com ausência de força normal Flexão normal é aquela em que o plano de flexão contém um dos eixos principais de inércia da seção Na flexão normal simples a linha neutra situase entre a borda comprimida da seção e a armadura tracionada 0 x d Ocorre nos domínios 2 3 e 4 de deformações INTRODUÇÃO 61 Engenharia Civil Estruturas de Concreto I p 3 Equações de equilíbrio ቊ 𝑅𝑐 𝑅𝑠 𝑅𝑠 0 𝑀𝑢 𝑅𝑐 𝑧𝑐 𝑅𝑠 𝑑 𝑑 𝑅𝑐 resultante de compressão no concreto 𝑅𝑠 resultante de tração na armadura tracionada As 𝑅𝑠 resultante de compressão na armadura comprimida As INTRODUÇÃO 61 Engenharia Civil Estruturas de Concreto I p 4 Equações de equilíbrio ቊ 𝑅𝑐 𝑅𝑠 𝑅𝑠 0 𝑀𝑢 𝑅𝑐 𝑧𝑐 𝑅𝑠 𝑑 𝑑 𝑀𝑢 valor último do momento fletor d altura útil da seção distância do CG da armadura tracionada até a borda comprimida da seção d distância do CG da armadura comprimida até a borda comprimida da seção 𝑧𝑐 distância do ponto de aplicação de Rc ao CG da armadura tracionada bw largura da alma da seção INTRODUÇÃO 61 Engenharia Civil Estruturas de Concreto I p 5 Equações de compatibilidade 𝜀𝑐 𝑥 𝜀𝑠 𝑑 𝑥 𝜀𝑠 𝑥 𝑑 𝑥 distância da Linha Neutra LN até a borda comprimida 𝜀𝑐 encurtamento do concreto na borda comprimida 𝜀𝑠 alongamento da armadura tracionada 𝜀𝑠 encurtamento da armadura comprimida POSIÇÃO DA LINHA NEUTRA 62 Engenharia Civil Estruturas de Concreto I p 6 A posição da linha neutra pode ser relacionada com as deformações na borda comprimida da seção e sua armadura tracionada Da equação de compatibilidade 𝜀𝑐 𝑥 𝜀𝑐 𝜀𝑠 𝑑 𝑥 𝜀𝑐 𝜀𝑐 𝜀𝑠 𝑑 Definindo 𝛽𝑥 posição relativa da LN na seção xd 𝛽𝑥 𝜀𝑐 𝜀𝑐 𝜀𝑠 DEFORMAÇÃO E TENSÃO NAS ARMADURAS 63 Engenharia Civil Estruturas de Concreto I p 7 Armadura As a Domínio 2 0 𝛽𝑥 𝛽𝑥23 ൞ 0 𝜀𝑐 𝜀𝑐𝑢 𝜀𝑠 𝜀𝑠𝑢 10 𝜀𝑠 𝜀𝑦𝑑 𝜎𝑠 𝑓𝑦𝑑 b Domínio 3 seções subarmadas 𝛽𝑥23 𝛽𝑥 𝛽𝑥𝑦 ൞ 𝜀𝑐 𝜀𝑐𝑢 𝜀𝑦𝑑 𝜀𝑠 10 𝜎𝑠 𝑓𝑦𝑑 𝛽𝑥23 𝜀𝑐𝑢 𝜀𝑐𝑢 𝜀𝑠𝑢 𝛽𝑥𝑦 𝜀𝑐𝑢 𝜀𝑐𝑢 𝜀𝑦𝑑 DEFORMAÇÃO E TENSÃO NAS ARMADURAS 63 Engenharia Civil Estruturas de Concreto I p 8 Armadura As c Domínio 4 seções superarmadas 𝛽𝑥𝑦 𝛽𝑥 1 ቐ 𝜀𝑐 𝜀𝑐𝑢 0 𝜀𝑠 𝜀𝑦𝑑 𝜎𝑠 𝐸𝑠 𝜀𝑠 Visualização dos domínios no diagrama tensãodeformação do aço DEFORMAÇÃO E TENSÃO NAS ARMADURAS 63 Engenharia Civil Estruturas de Concreto I p 9 Armadura As Observações No dimensionamento a situação mais recomendável é para βx βxy isto é seções subarmadas As vantagens dessa situação são Ruptura com aviso devido ao escoamento do aço e aparecimento de muitas fissuras Maior economia por aproveitar toda a capacidade resistente do aço DEFORMAÇÃO E TENSÃO NAS ARMADURAS 63 Engenharia Civil Estruturas de Concreto I p 10 Armadura As Observações A ruptura das peças superarmadas é brusca e sem aviso sendo por isso essa situação evitada na flexão simples Devese também evitar o dimensionamento com βx de valor muito baixo no domínio 2 em geral para βx 015 porque resulta uma quantidade muito pequena de armadura conduzindo a uma ruptura frágil Os valores de βx23 e βxy para concretos de resistência até 50 MPa são respectivamente 0259 e 0628 Para concretos de resistência maior que 50 MPa seus valores devem ser calculados para cada caso CÁLCULO DE VERIFICAÇÃO DE SEÇÕES RETANGULARES 64 Engenharia Civil Estruturas de Concreto I p 11 Seções com armadura simples Denominamse seções com armadura simples aquelas que possuem armadura somente do lado tracionado As Equações de equilíbrio ቊ 𝑅𝑐 𝑅𝑠 0 𝑀𝑢 𝑅𝑐 𝑧𝑐 𝑅𝑠 𝑧𝑐 𝛼𝑐 𝑓𝑐𝑑 𝑦 𝜆 𝑥 CÁLCULO DE VERIFICAÇÃO DE SEÇÕES RETANGULARES 64 Engenharia Civil Estruturas de Concreto I p 12 Seções com armadura simples Sendo 𝑅𝑐 𝑏𝑤 𝜆 𝑥 𝛼𝑐 𝑓𝑐𝑑 𝑅𝑠 𝐴𝑠 𝜎𝑠 𝑧𝑐 𝑑 𝜆 2 𝑥 Então ൞ 𝑏𝑤 𝜆 𝑥 𝛼𝑐 𝑓𝑐𝑑 𝐴𝑠 𝜎𝑠 0 𝑀𝑢 𝑏𝑤 𝜆 𝑥 𝛼𝑐 𝑓𝑐𝑑 𝑑 𝜆 𝑥 2 𝐴𝑠 𝜎𝑠 𝑑 𝜆 𝑥 2 CÁLCULO DE VERIFICAÇÃO DE SEÇÕES RETANGULARES 64 Engenharia Civil Estruturas de Concreto I p 13 Seções com armadura simples Escrevendo em função de 𝛽𝑥 𝑅𝑐 𝑏𝑤 𝑑 𝜆 𝛽𝑥 𝛼𝑐 𝑓𝑐𝑑 𝑅𝑠 𝐴𝑠 𝜎𝑠 𝑧𝑐 𝑑 1 𝜆 2 𝛽𝑥 Então ൞ 𝑏𝑤 𝑑 𝜆 𝛽𝑥 𝛼𝑐 𝑓𝑐𝑑 𝐴𝑠 𝜎𝑠 0 𝑀𝑢 𝑏𝑤 𝑑2 𝜆 𝛽𝑥 𝛼𝑐 𝑓𝑐𝑑 1 𝜆 2 𝛽𝑥 𝐴𝑠 𝜎𝑠 𝑑 1 𝜆 2 𝛽𝑥 CÁLCULO DE VERIFICAÇÃO DE SEÇÕES RETANGULARES 64 Engenharia Civil Estruturas de Concreto I p 14 Seções com armadura simples Nos casos de verificação conhecemse as dimensões da seção de concreto bw h d a área da seção transversal da armadura As e as resistências de cálculo do concreto fcd e do aço fyd Procurase o momento último Mu ou o momento máximo Mk que a seção poderá suportar em serviço Da 1ª Equação de equilíbrio 𝛽𝑥 𝐴𝑠 𝜎𝑠 𝑏𝑤 𝑑 𝜆 𝛼𝑐 𝑓𝑐𝑑 CÁLCULO DE VERIFICAÇÃO DE SEÇÕES RETANGULARES 64 Engenharia Civil Estruturas de Concreto I p 15 Seções com armadura simples Procedimento de verificação 1 Admitese 𝜎𝑠 𝑓𝑦𝑑 e calculase 𝛽𝑥 2 Se 𝛽𝑥 𝛽𝑥𝑦 a hipótese está correta 𝜎𝑠 𝑓𝑦𝑑 portanto a solução se encontra dentro dos Domínios 2 ou 3 3 Se 𝛽𝑥 𝛽𝑥𝑦 a hipótese está incorreta 𝜎𝑠 𝑓𝑦𝑑 portanto a solução se encontra dentro do Domínio 4 Devese corrigir 𝛽𝑥 corrigindose o valor adotado para 𝜎𝑠 Colocase 𝜎𝑠 em função de 𝛽𝑥 𝐸𝑠 e 𝜀𝑠 Corrigese a tensão e recalculase 𝛽𝑥 𝜎𝑠 𝐸𝑠 𝜀𝑠 𝐸𝑠 𝜀𝑐𝑢 1 𝛽𝑥 𝛽𝑥 CÁLCULO DE VERIFICAÇÃO DE SEÇÕES RETANGULARES 64 Engenharia Civil Estruturas de Concreto I p 16 Exemplo 1 Verificar o momento resistente da seção abaixo para o caso de flexão simples Considerar Aço CA50 d 4 cm e os concretos a C40 e b C65 CÁLCULO DE VERIFICAÇÃO DE SEÇÕES RETANGULARES 64 Engenharia Civil Estruturas de Concreto I p 17 Exemplo 2 Verificar o momento resistente da seção abaixo para o caso de flexão simples Considerar Aço CA50 d 4 cm e concreto C20 CÁLCULO DE DIMENSIONAMENTO DE SEÇÕES RETANGULARES 65 Engenharia Civil Estruturas de Concreto I p 18 Seções retangulares com armadura simples 𝛼𝑐 𝑓𝑐𝑑 𝑦 𝜆 𝑥 Equações de equilíbrio ൞ 𝑏𝑤 𝑑 𝜆 𝛽𝑥 𝛼𝑐 𝑓𝑐𝑑 𝐴𝑠 𝜎𝑠 0 𝑀𝑢 𝑏𝑤 𝑑2 𝜆 𝛽𝑥 𝛼𝑐 𝑓𝑐𝑑 1 𝜆 2 𝛽𝑥 𝐴𝑠 𝜎𝑠 𝑑 1 𝜆 2 𝛽𝑥 CÁLCULO DE DIMENSIONAMENTO DE SEÇÕES RETANGULARES 65 Engenharia Civil Estruturas de Concreto I p 19 Seções retangulares com armadura simples No dimensionamento fazse 𝑀𝑑 𝑀𝑢 Portanto 𝑀𝑑 𝑏𝑤 𝑑2 𝜆 𝛽𝑥 𝛼𝑐 𝑓𝑐𝑑 1 𝜆 2 𝛽𝑥 𝐴𝑠 𝜎𝑠 𝑑 1 𝜆 2 𝛽𝑥 Esta equação resulta num polinômio do 2º grau portanto existirão duas raízes A solução será a raíz que se encontra dentro do intervalo definido para a flexão simples 0 𝛽𝑥 1 CÁLCULO DE DIMENSIONAMENTO DE SEÇÕES RETANGULARES 65 Engenharia Civil Estruturas de Concreto I p 20 Seções retangulares com armadura simples Encontrando o valor de 𝛽𝑥 pelas equações de compatibilidade se encontra a deformação e consequentemente a tensão na armadura As A área de aço pode ser encontrada aplicando a primeira ou a segunda equação de equilíbrio 𝐴𝑠 𝑏𝑤 𝑑 𝜆 𝛽𝑥 𝛼𝑐 𝑓𝑐𝑑 𝜎𝑠 ou 𝐴𝑠 𝑀𝑑 𝜎𝑠 𝑑 1 𝜆 2 𝛽𝑥 Sendo 𝜎𝑠 𝐸𝑠 𝜀𝑠 se 𝜀𝑠 𝜀𝑦𝑑 𝜎𝑠 𝑓𝑦𝑑 se 𝜀𝑠 𝜀𝑦𝑑 CÁLCULO DE DIMENSIONAMENTO DE SEÇÕES RETANGULARES 65 Engenharia Civil Estruturas de Concreto I p 21 Seções retangulares com armadura simples A NBR 61182014 recomenda que o dimensionamento seja feito com valores de 𝛽𝑥 em apenas parte do Domínio 3 Desse modo é melhorada a capacidade de rotação das seções proporcionando um comportamento dúctil A posição da linha neutra deve obedecer os seguintes limites 𝛽𝑥 045 para concretos até C50 𝛽𝑥 035 para concretos de C55 a C90 CÁLCULO DE DIMENSIONAMENTO DE SEÇÕES RETANGULARES 65 Engenharia Civil Estruturas de Concreto I p 22 Exemplo 3 Dimensionar as armaduras da seção abaixo para um momento fletor Mk 30 kNm Considerar Aço CA50 d 4 cm e concreto C40 CÁLCULO DE DIMENSIONAMENTO DE SEÇÕES RETANGULARES 65 Engenharia Civil Estruturas de Concreto I p 23 Exemplo 4 Dimensionar as armaduras da seção abaixo para um momento fletor Mk 90 kNm Considerar Aço CA50 d 4 cm e concreto C80 CÁLCULO DE DIMENSIONAMENTO DE SEÇÕES RETANGULARES 65 Engenharia Civil Estruturas de Concreto I p 24 Exemplo 5 Dimensionar as armaduras e a altura da seção abaixo considerando que a peça deva estar em Domínio 3 e que 𝛽𝑥 não deve ultrapassar 045 para um momento fletor Mk 80 kNm Considerar Aço CA50 d 4 cm e concreto C50 CÁLCULO DE DIMENSIONAMENTO DE SEÇÕES RETANGULARES 65 Engenharia Civil Estruturas de Concreto I p 25 Exemplo 6 Verificar o momento resistente da seção abaixo e para este momento dimensionar as armaduras considerando que a peça deva estar em Domínio 3 e que 𝛽𝑥 não deve ultrapassar 035 Considerar Aço CA50 d 4 cm e concreto C60 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 66 Engenharia Civil Estruturas de Concreto I p 26 Exercício 1 Verificar o momento resistente da seção abaixo para o caso de flexão simples Considerar Aço CA50 d 4 cm e os concretos a C30 e b C60 Respostas a 𝛽𝑥 0349 𝑀𝑢 2892 kNm b 𝛽𝑥 0189 𝑀𝑢 3115 kNm EXERCÍCIOS PROPOSTOS 66 Engenharia Civil Estruturas de Concreto I p 27 Exercício 2 Verificar o momento resistente da seção abaixo para o caso de flexão simples Considerar Aço CA50 d 4 cm e concreto C20 Resposta 𝛽𝑥 068 𝑀𝑢 3182 kNm Engenharia Civil Estruturas de Concreto I p 28 Exercício 3 Dimensionar as armaduras da seção abaixo para os itens a seguir Considerar Aço CA50 e d 4 cm a Mk 10 kNm e concreto C25 b Mk 25 kNm e concreto C40 c Mk 65 kNm e concreto C60 d Mk 80 kNm e concreto C90 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 66 Engenharia Civil Estruturas de Concreto I p 29 Exercício 3 Respostas a 𝛽𝑥 0189 𝐴𝑆 1658 cm2 b 𝛽𝑥 0311 𝐴𝑆 4378 cm2 c 𝛽𝑥 0706 𝐴𝑆 23672 cm2 d 𝛽𝑥 075 𝐴𝑆 3982 cm2 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 66 Engenharia Civil Estruturas de Concreto I p 30 Exercício 4 Dimensionar as armaduras e a altura da seção abaixo considerando que a peça deva estar em Domínio 3 e que 𝛽𝑥 não deve ultrapassar os valores recomendados pela norma para cada resistência do concreto para um momento fletor Mk 40 kNm Considerar Aço CA50 d 4 cm a 𝛽𝑥 045 e concreto C30 b 𝛽𝑥 035 e concreto C65 Respostas a 𝑑 28 cm 𝐴𝑠 544 cm2 b 𝑑 22 cm 𝐴𝑠 665 cm2 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 66 Engenharia Civil Estruturas de Concreto I p 31 Exercício 5 Verificar o momento resistente da seção abaixo e para este momento dimensionar as armaduras considerando que a peça deva estar em Domínio 3 e que 𝛽𝑥 não deve ultrapassar os valores recomendados pela norma para cada resistência do concreto Considerar Aço CA50 e d 4 cm a 𝛽𝑥 045 e concreto C40 b 𝛽𝑥 035 e concreto C80 Respostas a 𝑀𝑢 4742 kNm 𝐴𝑠 633 cm2 b 𝑀𝑢 6051 kNm 𝐴𝑠 759 cm2 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 66 REFERÊNCIAS Engenharia Civil Estruturas de Concreto I p 32 ASSOCIAÇAO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS NBR 6118 Projeto de Estruturas de Concreto Procedimento Rio de Janeiro 2014 CARVALHO R C FIGUEIREDO FILHO J R Cálculo e detalhamento de estruturas usuais de concreto armado 4 ed EDUFSCAR São Carlos 2016 FERNANDES G B Notas de aula de Concreto Armado I Solicitações Normais Cálculo no Estado Limite Último Campinas Universidade Estadual de Campinas 2006 FUSCO P B Estruturas de Concreto Solicitações Normais 1 ed São Paulo LTC 1982 PINHEIRO L M MUZARDO C D SANTOS S P Fundamentos do concreto e projeto de edifícios São Carlos Universidade de São Paulo 2007