Anotações sobre Conjuntos Numéricos e Números Racionais

1º Aula Précálculo Objetivos de aprendizagem Ao término desta aula vocês serão capazes de identificar os conjuntos numéricos conhecer os intervalos reais aprender números racionais e seus métodos entender sobre os números decimais utilizar as notações científicas O homem durante sua evolução foi cada vez mais se aprimorando a fim de perpetuar sua existência Ele criou utensílios para caça inventou a roda descobriu o fogo e com o passar do tempo ainda inventou símbolos para representar os números Mas e os números como nasceram Bom esse nascimento deuse de forma natural como não poderia ser diferente Aquele que tem certo conhecimento de história já deve ter percebido que desde o início da civilização a principal ocupação do homem era cuidar de seu rebanho para seu sustento Mas como esse pastor iria saber se alguma ovelha tinha fugido ou sido raptada se não havia números par que ele contasse quantas ovelhas tinha Como iria comparar com a quantidade de ovelhas do dia anterior O homem criou uma forma curiosa de contar suas ovelhas para cada ovelha em seu rebanho ele adicionava uma pedra em um saco tendo certeza de que a quantidade de pedras no saco era a mesma de ovelhas em seu rebanho podendo ainda conferir essa quantidade no dia seguinte pois se sobrassem pedras no seu saco após a conferência ele saberia que teria prejuízo Bons estudos 231 Calculo Diferencial e Integral 6 a Secées de estudo O5 os Todo numero natural é racional 1 Conjuntos Numéricos F6 Exemplo 3 2 Numeros Racionais 13 3 Numeros Decimais Loe 4 Notacio Cientifica Todo numero inteiro é racional Exemplo 4 4 a 2 Co nyu ntos Numericos Toda dizima periddica é racional Exemplo 0333 2 Primeiramente devemos ter a real nocgdo de conjunto 3 Podese dizer que um conjunto é como qualquer colecao de Todo mameto decimal exato é racional objetos apresentados ou caracterizados pela enumeracao ou Exemplo 05 2 por uma propriedade que apresentem Cada um desses objetos 2 2 c chamado elemento do conjunto bem determinado Portanto os conjuntos dos nimeros naturais e dos distinto dos outros satisfaz as condicdes do conjunto inteiros sao subconjuntos dos numeros racionais Tratamos dos conjuntos dos numeros naturais inteitos racionais reais com destaque para suas operagdes CONJUNTO DOS NUMEROS IRRACIONAIS 1 propriedades principais Toda raiz nao exata bem como todo ntimero decimal nao CONJUNTO DOS NUMEROS NATURAIS N exato nao periddico é um ntimero irracional Observamos que Co tais nuimeros nao podem ser representados em forma de fraao Os numeros naturais sio uma sequéncia numérica que inicia no numero zero e segue até o infinito ou seja todo 1 numero inteiro e positivo N 0 1 2 3 4 5 6 Do conjunto N obtemos o subconjunto N 1 1 N 1 2 3 4 5 6 De modo geral 0 asterisco indica que 0 zero foi excluido do conjunto mencionado CONJUNTO DOS NUMEROS INTEIROS Z 1 Os numeros inteiros contém o conjunto N dos numeros Consideremos um quadtado cujo lado mede 1 e naturais e ainda o oposto desses numeros naturais mais o calcularemos sua diagonal Usando o teorema de Pitagoras numero zero temos Z 3 2 1 0 1 2 3 1 Pod25d1414213 Sao os numeros decimais nao exatos e nao periddicos Do conjunto Z obtemos dois subconjuntos Z e Z Conjunto inteiro nao nulo CONJUNTO DOS NUMEROS REAIS R Z 3 21 1 2 3 Chamamos numero real todo numero Racional ou Conjunto dos inteiros nao negativos Itracional ou seja o conjunto dos nimeros reais R é a Z 10 1 2 3 reuniao do conjunto dos numeros racionais Q com o Le conjunto dos numeros irracionais I Conjunto dos inteitos nao positivos Z 4 3 2 1 bey A 3 2 1 OF NEZEQER e IER Conjunto dos inteitos positivos Ou seja 0 conjunto dos nimeros naturais pertence ao 12345 conjunto dos numeros inteiros este que por sua vez pertence Z Conjunto dos inteitos negativos a0 conjunto dos numeros racionais que pertence ao conjunto dos nuimeros reais Vale ainda ressaltar que o conjunto dos Z 43 2 1 numeros itracionais pertence ao conjunto dos numeros reais 14 Intervalos Reais r CONJUNTO DOS NUMEROS RACIONAIS Q Alguns subconjuntos de R podem ser representados de uma maneira bastante simplificada Sao os chamados Sao os nuimeros que podem ser expressos em forma de cae ee ca intervalos reais fracio em que a e b sao nimeros inteitos e b 0 Geometticamente correspondem a segmentos de reta 7 233 sobre um eixo coordenado Por exemplo se a b entao o a intervalo aberto de aa b denotado por a b é o segmento de a reta que se estende de a até b excluindose os extremos e 0 intervalo fechado de a até b denotado por a é 0 segmento Nos colchetes a de reta que se estende de a até b incluindose os extremos Desigualdade x R x a Os intervalos que se estendem entre dois numeros reais sao chamados de intervalos finitos enquanto que os que se wrcrval fechado em b estendem indefinidamente em uma ou em ambas as diregdes sao chamados de intervalos infinitos b Intervalos Limitados os dois extremos do intervalo sao finitos Nos colchetes b Desigualdade x R x b Intervalo aberto nas duas extremidades Na teta Intervalo aberto em b Na reta a b a b SE Nos colchetes ab Desigualdade x Raxb Nos colchetes b Desigualdade x R x b servile fechado nas duas extremidades 12O perac des com Intervalos Nesta parte do nosso estudo de conjuntos aprenderemos a b que eles também podem operar entre si As operagdes basicas entre os conjuntos sao Uniao Intersecao Diferenga e Nos colchetes ab Complementacao Desigualdade x Ra x b Unido Dados dois conjuntos A e B chamamos conjunto Intervalo fechado em a e aberto em b uniao ou reuniao de A e B ao conjunto C dos elementos que Na teta pettencem ao conjunto A ou ao conjunto B a b sal Nos colchetes ab Desigualdade x R a x b Intervalo aberto em a e fechado em b Na reta os Simbolizamos a uniao de A com B assim C A U B a b Por exemplo A Se A 1 5 6 7 8 15 e B 2 4 6 7 10 Entao A U B 1 2 4 5 6 7 8 10 15 Nos colchetes Jab Intersecg4o Dados dois conjuntos A e B quaisquer o Desigualdade x R a x b conjunto interseccao é o conjunto Formado pelos clernentos Intervalos Ilimitados quando pelo menos um dos comuns de A e B ou seja e 0 conjunto C cujos elementos extremos nao é finito pettencem tanto ao conjunto A quanto ao conjunto B Intervalo fechado em a Na reta 2 Fil Lf a Nos colchetes a Desigualdade x R x a Intervalo aberto em a Simbolizamos a interseccao de A com B assim C A Na reta OB Calculo Diferencial e Integral 8 Se A 1 5 6 7 8 15 e B 2 4 6 7 10 do todo referéncia Elas sao equivalentes e podemos escrever Entio ANB 67 a 2 4 6 8 Pata obtermos uma fracdo equivalente a fragao dada Diferenga Dados dois conjuntos A e B chamamos multiplicamos ou dividimos o numerador e denominador por conjunto diferenca A B 0 conjunto dos elementos de A que um mesmo numero Por exemplo nao pertencem a B Da mesma forma é chamado conjunto Zz 2 4 diferenga de B A 0 conjunto dos elementos de B que nao x pertencem a A 4 2 8 Analogamente podemos entender a diferenca entre dois conjuntos da mesma forma que a diferenca entre dois 22 O inverso de um numero numeros Por exemplo 5 3 2 pode ser compreendido da Racional seguinte forma de cinco unidades retirase trés unidades e A divisio de dois a oo a restam duas unidades Em conjuntos no exemplo A B de acd vee he no don one a a um conjunto A retirase os elementos que também sao de Be ope agao ce Mm Plrcagao GO NUMCFO P Peo InVEFSO Ce qh resta os elementos que pertencem apenas a A sto ee 1 qt x AB PqP4q Consideremos os nuimeros 2 5 e Seus respectivos aN inversos sao é o inverso de 2 é o inverso de 5 é0 inverso de 4 é 0 inverso de a Low BA 23 Adido e Subtragdo Para somar ou subtrair fragdes é preciso que elas possuam is o mesmo denominador Se as fragdes possuem o mesmo denominador basta somar ou subtrair os numeradores a a ate a a ac 4 onde b0 onde b0 Seja A 1 23 4 5 eB 2 46 8 pt py 7 Onde bF0E onde b B tL 3 de A foi retirado os elementos que Se as fragdes possuem denominadores diferentes B ne ot 8 A B foi retirad 1 primeiramente devemos reduzilas ao mesmo denominador eo de B fot retirado os elementos que usando para isso a regra pratica do mmc Minimo Multiplo também pertenciam a A Comum 4 j j a c adtbe a8 adobe 2 Numeros Racionais i a gpg onde bd 405 y gq onde Chamamos de numero racional todo numero que pode ser representado na forma a fragao com ae b inteiros e b Exemplo 0 Em que a numerador e b denominador 2 3 1 231 73 4 FS a Exemplos 4 S 3 4 5 60 60 3 3 100 1 Verificamos que os ntimeros naturais einteiros pertencem 24 Multi pl ica Ga o de Fra cdes ao conjunto dos numeros racionais QxxmeZneZ A multiplicagao ou produto de fragdes talvez seja a n mais simples das operagdes aritméticas que as envolvem 21 Fragoes Equivalentes Diferentemente da adicao e da subtracéo a multiplicacao nao tequer que tenhamos um denominador comum Para A possibilidade de reptesentar qualquer fraao poroutra realizarmos o produto de fracdes basta que multipliquemos equivalente permitenos facilitar os calculos necessatios os seus numerados entre si fazendose o mesmo em telacdo 1 aos seus denominadores 2 12 2 s 2 555 4 Entretanto devemos atencao as regras de sinais cco 8 OG O4 1 24 As fi te t tidade s fragGes 2 fepresentam a mesma quantidade HQ OO 9 235 25 Divisdo de Fracao 33 Propriedade fundamental Conservase a primeira fracao e multiplicase pelo inverso Propriedade dos nuimeros decimais Zero apds o ultimo da segunda fragao numero significativo um numero decimal nao se altera 1 2 15 5 quando se acrescenta ou se retira um ou mais zeros a direita e Leet do ultimo algarismo nao nulo de sua parte decimal 365 3 2 6 Exemplo A divisdo de fragdes mistas segue 0 mesmo principio 05 050 0500 no entanto devemos primeiramente convertélas em fragdes As improprias 34 Poténcias de 10 1 2 7 Te5 13 65 Para multiplicar um numero decimal por 10 por 100 por 141 5 13 1127 154 1000 basta deslocar a virgula para a direita uma duas ou trés casas decimais Por exemplo 74x 10 74 74 x 100 740 Numeros Decimais 4 1000 7400 Os numeros decimais possuem uma parte que chamamos de inteira e outta que chamamos de decimal A parte inteira é vidi decimal 10 100 1000 a que fica antes da virgula enquanto a decimal é a que fica 5 fn a viegula para comm Pe d a depois da vi basta deslocar a virgula para a esquerda uma duas trés Pe Virgula casas decimais Por exemplo ssesnimertos em cuja representacao aparece uma 947 10 2475 virgula indicam as fragdes na forma decimal Por isso eles oes sao conhecidos como nimeros decimais 2475 100 2475 Os Algatismos a esquerda da virgula constituem a parte 24175 1000 02475 inteira e os que estao a direita constituem a parte decimal 4Nota Gao Cientifica Exemplo O prego de um abacaxi R179 a unidade A notagcao cientifica serve para expressar numeros muito A extensao de um tio é 582 mil quilomettos grandes ou muito pequenos O segredo é multiplicar um 123 numero pequeno por uma poténcia de 10 Dizemos que um 3 centésimos numero esta em notac4o cientifica quando ele esta escrito na forma a10 onde a é um numero real maior ou igual a 1 menor que 10 e b um numero inteiro parte 2 décimos inteira b ordem de grandeza do nimero i 10 mantissa ou coeficiente 31 Transformagdo de Fragdo Dara Decimal Um ntmeto escrito na notacao cientifica deve ter as seguintes caracteristicas Para se esctever uma fracao decimal sob forma de Deve ser escrito como um produto de dois fatores numeragao decimal escrevese 0 seu numerador e sepata Um dos fatores deve ser um numero entre 1 e 10 se com uma virgula a partir da direita tantos algarismos O outro fator deve ser uma poténcia de 10 quantos sao os zeros do denominador Exemplo Retomando a aula 3258 3258 100 32 Transformagao de Decimal a para Fragao j Chegamos ao final da aula Vamos recordar 0 que Um numero decimal é igual 4 fracao que se obtém nenenos Y escrevendo para numerador 0 numero sem a virgula e para denominador o nimero 1 seguido de tantos zeros quantos a forem os algarismos da parte decimal Exemplo 1 Conjuntos Numéricos 19 Vocé viu que um conjunto é como qualquer colecdo de 190 10 objetos apresentados ou caracterizados pela enumeragao ou por uma propriedade que apresentem Calculo Diferencial e Integral 10 Naturais N todo numero inteiro e positivo 31 Transformacio de fragao para decimal Inteiros Z naturais e ainda o oposto desses Escrevese o seu numerador e separase com uma virgula numeros naturais mais o numero zero a partir da direita tantos alearismos quantos sao os zeros do Racionais Q os que podem ser expressos em denominador forma de fracéo de nimeros inteiros Irracionais I todos os nimeros decimais nao 32 Transformagao de decimal para fragao exatos nao periddicos Vimos que basta escrever para numerador o numero sem Reais R todo numero racional ou irracional ou seja a virgula para denominador o numero 1 seguido de tantos conjunto dos naturais pertence aos inteiros Este zeros quantos forem os algarismos da parte decimal Ex 190 por sua vez pertence aos racionais que pertence ao 1910 Conjunto dos numeros reais on disso o conjunto 33 Proptiedade fundamental Os numeros itfacionais tambem pettencem aos Um numero decimal nao muda se actescentar ou se Feals retirar um ou mais zeros a direita do ultimo algarismo nao i 11 Intervalos reais nulo de sua parte decimal Suconjuntos de R epresentaclos simp ificadaents 34 Poténcias de 10 come aes erecta ie Neda cixe enacio Po nde Deslocar a virgula o mesmo numero de casas sero ae i a In va Sta ou on conten cortespondente ao numero de zeros uma para 10 duas para as Mies R CS EX a Techado em a abetto em PD 100 etc deslocar para a direita quando estiver multiplicando ar abl x R a x by pata esquerda quando estiver dividindo 6 i os r 12 OperagGes com intetvalos 4 Notacio cientifica Uniao elementos que pettencem ao conjunto A ou ao conjunto B A U B Expressar numeros muito grandes ou muito pequenos Intersecdo conjunto formado pelos elementos comuns utilizando poténcias de 10 sendo o expoente denominado de Ac B ANB otdem de grandeza Diferenga elementos de A que nao pertencem a B A B Complementagao Vale a pena 2 Numertos racionais Todo numero que pode ser representado na forma al fragao com a b inteiros e b F 0 e 1 4 21 Fragdes equivalentes Vale a pena ler Permitenos facilitar os cdlculos Para obtermos uma 10 Wade Aloe aloébricas bési fracao equivalente a fragdo dada multiplicamos ou dividimos fa ke LAlO Fa One Ry I rICAS TTC o numerador e denominador por um mesmo numero Or a teoria dos numeros Rio de Janeiro 22 O inverso de um ntimerto irracional SANTOS J P de O Teoria dos Numeros Rio de A divisao de dois nimeros racionais p e q é a propria JaneitoIMPA 1998 operagao de multiplicagao do numero p pelo inverso de q p MILIES C P COELHO S P Numeros uma qpxXqi introdugao a matematica 3ed Sao Paulo Edusp 2006 23 Adicao e subtracao Se as fragdes possuem o mesmo denominador somat ou subtrair os numeradores Para denominadores diferentes Minhas anota GO eS devemos reduzilas ao mesmo denominador usando 0 mmc 24 Multiplicacao de fragdes Nao requer denominador comum basta multiplicar os numerados entte si fazendose o mesmo em relacao aos seus denominadotes 25 Divisao de fracao Conservase a primeira fragao e multiplicase pelo inverso da segunda fragao 3 Numetos decimais Os algarismos a esquerda da virgula constituem a parte inteira e os que estao a direita constituem a parte decimal