Introdução à Teoria dos Limites

3º Aula Introdução à teoria dos limites Objetivos de aprendizagem Ao término desta aula vocês serão capazes de conhecer os limites de uma função encontrar os limites de uma função estudar as propriedades dos limites É possível calcular o limite de uma função pois nem toda função é definida em cada valor de x As funções racionais por exemplo são indefinidas se o denominador da função for 0 Esse é na verdade um exemplo perfeito de como você pode usar um limite para observar uma função e ver o que ela faria se pudesse Observe o comportamento de uma função próxima aos valores indefinidos Literalmente você estará observando a função quando ela se aproxima Se uma função for indefinida em x 3 você pode observar x 2 x 29 x 299 x 2999 e assim por diante Agora faça isso de novo do outro lado x 4 x 31 x 301 e assim por diante Todos esses valores são definidos exceto x 3 Bons estudos 245 Calculo Diferencial e Integral 20 Para x cada vez mais proximo de 1 fx 4 Secdées de estudo aproximase de 5 e escrevese a seguinte expressao lim f lim 3x2 5 1 Nogao de limite 2 Encontrando o limite da funao Observe o grafico da funcao fx 1 2 3 Propriedades do limite 4 Limites laterais y 5 Limites infinitos yi 7 Nogdo de limite Dada uma fungao f vocé quer saber 0 que ocorre com I os valores fx quando a variavel x se aproxima de um ponto a Para vocé entender melhor considere a funcao f 10 definida pela expressao a seguir 8x4 2x1 fe WH 1 A funcio festa definida para todo x real excetox 1 Assim se x 1 0 numerador e 0 denominador de fpodem ser divididos por x 1 e vocé obtém fr 3x 2 Fx 3x 2 para x 1 COSTA GUERRA 2009 ae P 4 Primeiro vamos considerar valores de x cada vez mais proximo de 1 com x 1 e observamos o que est Quando x aproximase cada vez mais de 0 pela direita acontecendo com fx conforme a tabela a seguir ou seja para valores de x 0 a funcao fcresce cada vez z1 0 02 o5 0 09 mais com valores positivos ou seja podese dizer que a funcaio ftende para 9 Quando x tende a 0 pela direita x 0 fx e escrevese 0999 09999 099999 497 4997 49997 4999997 1 497 4997 49997 4999997 Jim fx Jim 4 2 00 Agora vamos considerar que a variavel x aproxima se cada vez mais de 1 com x 1 observar o que esta Quando x aproximase cada vez mais de 0 pela acontecendo com fx esquerda ou seja com valores de x 0 os valores absolutos da fungao fcrescem cada vez mais e sio negativos ou seja fx 3x42 3s 7a 55 podese dizer que a funcao ftende para Quando x x 3 tende a0 pela esquerda x 0 fx e escrevese soos sm im 2 tim 1 4 x0 x0 Observamos em ambas as tabelas que quando x se aptoxima cada vez mais de 1 a funcio fx se aproxima cada vez mais de 5 Em outras palavras é possivel obter 0 2 Encontrando o limite da fungdo valor de fx tao proximo de 5 quando desejarmos desde que tomemos x suficientemente proximo de 1 Examine o E possivel procurar o limite de uma fungdo de trés grafico de fx a seguir maneitas para um determinado valor de x graficamente y analiticamente e algebricamente Se for solicitado que vocé wg wee oS encontre o limite de uma funcao insita diretamente o valor ok 4 de x para obter um resultado sem nenhuma indeterminagao 4 vocé tera encontrado o limite desta fungao para x tendendo 3 ao valor especificado E literalmente facil assim Considere a funcio fx 3x 1 Quando nds dizemos que o limite de fx quando x se aproxima de 2 é 4 oe a i 2 3 7 escrito como lim fx 7 nds queremos dizer que a medida que x se aproxima de 2 pela esquerda ou pela lo COSTA GUERRA 2009 direita oc se aproxima de uma altura igual a 7 21 MARK RYAN 2009 Valores de entrada e saída de à medida que x se aproxima de 2 A partir da tabela você pode ver que y está cada vez mais perto de 7 em ambos os lados Aliás se todas as funções fossem contínuas sem descontinuidade sem quebras como a da figura você poderia apenas colocar o número x para ter a resposta e não haveria necessidade desse tipo de problema sobre o limite Precisamos de limites em cálculo por causa das importantes funções que têm buracos A função da próxima figura é idêntica à função da figura anterior exceto pelo buraco no ponto 27 e o ponto em 25 MARK RYAN 2009 As funções importantes são as funções como as da figura que aparecem com frequência no estudo das derivadas A terceira função hx é idêntica fx exceto pelo fato de o ponto 27 ter sido arrancado deixando um buraco em 27 e nenhum outro ponto onde x seja igual a 2 MARK RYAN 2009 Para todas as três funções o limite à medida que x se aproxima de 2 é 7 Isso nos leva a um ponto crítico quando determinamos o limite de uma função à medida que x se aproxima digamos que de 2 o valor de f2 é totalmente irrelevante MARK RYAN 2009 Em um problema sobre limite a variável se aproxima cada vez mais do número x mas nunca é igual a ele O que acontece com a função quando a variável é exatamente igual ao número x não tem efeito na resposta do problema sobre limite Recomendamos usar o método de gráfico somente quando o gráfico for dado e for solicitado que você encontre um limite O método analítico sempre funciona para qualquer função mas ele é lento Se puder usar o método algébrico você economizará tempo 3 Propriedades do limite Propriedades básicas dos limites Consideremos sempre que f e g são funções em um intervalo aberto contendo o ponto x a exceto possivelmente no ponto x a 247 Calculo Diferencial e Integral 22 onumero x esta se aproximando e fica cada vez mais proximo do a era x70 numero que x esta tentando se aproximar e fica cada vez mais perto pt Lda ita 3 lim fF 90 lim f x lim gx Se e somente se 0 limite esquerdo for igual ao limite ee diteito vocé podera dizer que a funcdo possui um limite para lim fx aquele valor especifico de x lim 22 xau Tente obter suas solugdes sem olhar as solugdesdadas 4 giz imate levando cuidadosamente em consideragao as formas e Po ie a durante seus calculos Inicialmente alguns estudantes lim VFCO im fx incorretamente concluem que igual a 1 ou que o limite 5 ave nao existe ou é 2 ou 2 Muitos concluem que é igual a 0 De fato as formas se 02 sio exemplos or de formas indeterminadas Isto significa que vocé ainda nao Limites Laterais determinou uma resposta Calcular os limites laterais significa calcular o limite em um determinado ponto a aproximandose por ambos 0s lados Retomando a aula ou seja pela direita valores maiores do que e pela esquerda valores menores que do a Simbolicamente expresso da seguinte forma Pela direita jim fx Pela esquerda lim fx Chegamos ao final da aula entdo vamos relembrar o xa que estudamos Limite a direita Se fx tende L quando x a por meio de valores baaa aaa ap maiotes que a dizse que L 0 limite de fx quando x tende 1 Nocio de limite para a pela direita e indicase por jim fh Vocé analisou o limite de uma fungéo quando ela Limite a esquerda apresenta alguma indeterminagao Dessa forma quanto mais proximos os valores da variavel da indefinigao os Se fx tende L quando x a por meio de valores rae valores da fungao tendem a um numero especifico menores que a dizse que L é o limite de f quando x tende para a pela esquerda indicase por 2Encontrando o limite da fungao lim fx Lz xa7 Ha trés maneiras possiveis de obter o limite de uma funcao grtaficamente analiticamente e algebricamente Existéncia do Limite Graficamente o limite é obtido analisando 0 comportamento no grafico Analiticamente o limite é obtido atribuindo O limite de fx quando x a existe se e somente se os valores para a variavel cada vez mais proximos ao ponto limites laterais forem iguais ou seja em que se esteja analisando pela esquerda e pela direita Se observando o comportamento da fungao para estes dois lim Fx lim fx c casos E por fim algebricamente o limite pode ser obtido eve ave por meio de manipulagdes matematicas utilizando algebra Entio e teoremas lim fx C 3 Propriedades do limite Onde C é uma constante Vocé aprendeu que dadas duas fungodes fx 2 sendo a um ponto aberto de um intervalo do dominio das 5 Limites infinitos duas fung6es temse que Em simbolos escrevese lim f x L que se 1 lim Fx gx limf x limgx lé como o limite conforme x se aproxima de fx é L Lé xa xa o limite que vocé vai procurar Para que o limite de uma funao exista limite esquerdo e o limite direito devem 2 lim fx gx limf x limgx existit e set equivalentes xa xa 23 249 3 lim Lfx g limf x limgx xo xo re ins 4 Tim 0 ES img 5 lim VF ims 4 Limites laterais Vocé viu que calcular os limites laterais consiste em calcular 0 limite em um determinado ponto a aproximando se pot ambos os lados ou seja pela direita e pela esquerda E utilizada a notacio Jim fx para o limite pela direita e jim Fx pela esquerda E importante lembrar que o limite de uma fungao sd existe se os dois limites laterais forem iguais 5 Limites infinitos Vocé deve ficar atento a indeterminag6es do tipo oat 5 ou ainda oe que erroneamente pode levar a conclusdes como 1 ou No entanto indeterminacdes como essas nao geram nenhuma conclusao indicando que vocé ainda nado determinou uma resposta valida Sh Vale a pena Zo ig eS We s Vale a pena ler SWOKOWSKI Ealr W FARIA Alfredo Alves de Calculo com geometria analitica 2 ed Sao Paulo Makron Books do Brasil Sao Paulo McGrawHill 1995 GUIDORIZZI Hamilton Luiz Um curso de calculo Vol1 Rio de Janeiro Livros Técnicos e Cientificos 1985 i Minhas anotacdes