·
Administração ·
Matemática 1
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1 Sabemos que Tkv kv Se Tv a b c dx y e Tk k 0 0 kx y onde v x y então a b c dk 0 0 k ak bk ck dk e k 0 0 ka b c d ka kb kc kd As matrizes são idênticas logo T o Tk Tk o T o que significa que T o Tkv Tk o Tv 2 As matrizes de rotação são T1 cos θ1 sen θ1 sen θ1 cos θ1 e T2 cos θ2 sen θ2 sen θ2 cos θ2 de modo que T1 o T2 cos θ1 cos θ2 sen θ1 sen θ2 cos θ1 sen θ2 sen θ1 cos θ2 sen θ1 cos θ2 cos θ1 sen θ2 sen θ1 sen θ2 cos θ1 cos θ2 cos θ1 θ2 sen θ1 θ2 sen θ1 θ2 cos θ1 θ2 Tθ1θ2 Logo T1 o T2 Tθ1θ2 3 Usando a transformação de rotação em 90 temos T 0 1 1 0 Para o núcleo de T fazemos 0 1 1 0x y 0 0 y 0 y 0 x 0 e Ker 0 Para a inversa fazemos 0 1 1 00 1 0 1 1 0 0 1 L2 1 1 0 0 1 e T1 0 1 1 0 Então se Tv y x têmse T1v yx 4 a 414213 0382 441011 sqrt42 42 102 112 sqrt253 1593 b u v sqrt42 12 22 32 sqrt02 32 82 22 sqrt30 sqrt77 548 877 1425 c 2u 2u 2 u 2u 4u 4 sqrt30 239 d 3411213 50382 3122 1511253 sqrt152 112 22 532 sqrt225 121 4 2603 sqrt2953 5432 e 3122 sqrt32 12 22 22 3122 sqrt18 3sqrt18 1sqrt18 2sqrt18 2sqrt18 0707 0236 0471 0471 f Verificação da norma do vetor unitário do item e sqrt07072 02362 04712 04712 1 5 Se dois vetores são ortogonais vu 0 a 132 421 4 6 2 0 ortogonais b 222 111 2 2 2 6 não ortogonais c u1 u2 u3 000 0 0 0 0 ortogonais d 46101 2129 8 6 20 9 27 não ortogonais e 0321 5210 0 6 2 0 8 não ortogonais f ab ba ab ba 0 ortogonais 6 a Tx 1 2 3 43 2 3 4 9 8 1 1 ou 11 b Tx 1 2 0 3 1 51 1 3 1 2 0 3 1 5 3 13 ou 313 c Tx 2 3 4 3 5 7 6 0 1x1 x2 x3 2x1 x2 4x3 3x1 5x2 7x3 6x1 x3 d 1 1 2 4 7 8x1 x2 x1 x2 2x1 4x2 7x1 8x2 7 Dado a matriz A 12 12 12 12 temos det A 1212 1212 12 12 1 Para os vetores colunas o produto interno é 12 12 12 12 12 12 0 Se A é a rotação de ângulo θ temos A cosθ senθ senθ cosθ Portanto cosθ 12 e senθ 12 Deste modo θ 135 ou θ 3π4 8 a 2357 10 21 11 b 6240 24 0 24 c 154333 3 15 12 0 d 223374 2 14 12 0 9 Sabemos que uv u v cosθ logo cosθ uv u v a cosθ 11 1²3² 5 1² 11 13 74 03547 e θ arccos03547 11077 b θ arccos24 6² 1² 4² 0² arccos24 40 4 16157 c Como uv 0 θ 90 d Como uv 0 θ 90 10 Se V é perpendicular a w₁ e w₂ então Vw₁ 0 e Vw₂ 0 Usando as propriedades do produto escalar obtemos Vk₁w₁ k₂w₂ Vk₁w₁ Vk₂w₂ k₁ Vw₁ k₂ Vw₂ k₁ 0 k₂ 0 0 Logo V e k₁w₁ k₂w₂ são perpendiculares 11 a 011230 0 2 3 1 1 0 3 não ortogonais b 12121212 12 12 0 ortogonais c 12121212 12 12 1 não ortogonais d 0001 0 0 0 ortogonais 12 Dadas as bases B 1001 e B 2134 a Escrevendo os elementos de B como combinações lineares de B Para 10 10 a 21 b 34 2a 3b 1 a 4b 0 a411 b111 Para 01 01 c 21 d 34 2c 3d 0 c 4d 1 c311 d211 A matriz de transição de B para B é MBB 411 311 111 211 b Escrevendo os elementos de B como combinações lineares de B 21 2 10 1 01 34 3 10 4 01 A matriz de transição de B para B e MBB 2 3 1 4 c Sendo wB 35 wB MBB wB 411 311 111 211 3 5 12 1511 3 10 11 2711 711 13 Dada a base B 303 323 163 encontrar a matriz MBB a Para o vetor abc Para 660 3a 3b c 6 2b 6c 6 3a b c 0 a0 b32 c 32 Para 264 3d 3e f 2 2e 6f 6 3d e f 4 d89 e 12 f 56 Para 237 3g 3h i 2 2h 6i 3 3g h i 7 g209 h 54 i 1112 A matriz de transição será MBB 0 89 209 32 12 54 32 56 1112 b Note que W u3 u2 u3 3 3 1 0 2 6 3 1 3 5 8 2 Deja um vetor VB 1 1 1 suas coordenados em B são VB Mo B VB 0 89 209 32 12 54 32 56 1112 1 1 1 289 14 3732 1 Ja sabemos que Tuv k v Bau Tv a b c dx y u Tu 1 0 0 1x y onde v x y então a b c d k 0 0 k ak bk ck dk e k 0 0 k a b c d ka kb kc kd Os matrizes são idênticas logo T Tk Tk T o que significa que T Tkv Tk Tv 2 As matrizes de rotação são T1 cos θ1 sen θ1 sen θ1 cos θ1 u T2 cos θ2 sen θ2 sen θ2 cos θ2 de modo que T1 T2 cos θ1 cos θ2 sen θ1 sen θ2 cos θ1 sen θ2 sen θ1 cos θ2 sen θ1 cos θ2 cos θ1 sen θ2 sen θ1 sen θ2 cos θ1 cos θ2 cos θ1 θ2 sen θ1 θ2 sen θ1 θ2 cos θ1 θ2 Tθ1 θ2 Logo T1 T2 Tθ1 θ2 3 Usando a transformação de rotação em 90 temos T 0 1 1 0 Para o núcleo do T1 fazemos 0 1 1 0x y 0 0 y 0 y 0 x 0 u ker 0 Para a inversa fazemos 0 1 1 0 1 0 1 1 0 det1 1 0 0 1 u T1 0 1 1 0 Então vai Tv y x temse T1v y x 4 a 4 1 2 13 0 3 8 2 4 4 10 11 4² 4² 10² 11² 253 1591 b u1 v1 4² 1² 2² 3² 0² 3² 8² 2² 30 77 542 877 1425 c 1 2u1 12u1 1 2112u1 12u1 4u1 430 219 d 34 1 12 13 50 3 8 2 3 1 2 2 15 11 2 51 15² 11² 2² 51² 225 121 4 2601 2951 5432 e 3 1 2 2 3 1 2 2 18 318 118 218 218 0407 0236 0471 0471 f Verificação da norma do vector unitario do item e 0407² 0236² 0471² 0471² 1 5 Se dos vetores são ortogonais v u 0 a 1 3 2 1 2 1 1 6 2 0 ortogonais b 2 2 2 1 1 1 2 2 2 6 não ortogonais c u1 u2 u3 0 0 0 0 0 0 0 ortogonais d 4 6 10 1 2 1 2 9 8 6 20 9 27 não ortogonais c 0321 5210 0 6 2 0 8 não ortogonais f ab ba ab ba 0 ortogonais Ga Tx 1 23 2 3 4 1 ou 11 3 4 2 9 8 1 b Tx 1 2 01 1 2 0 3 3 1 5 1 3 1 15 13 ou 313 c Tx 2 1 4 x1 2x1 x2 4x3 3 5 7 x2 3x1 5x2 7x3 6 0 1 x3 6x1 x3 d 1 1 x1 x1 x2 2 4 x2 2x1 4x2 7 8 7x1 8x2 f Dada a matriz A 12 12 temos 12 12 det A 1212 1212 12 12 1 Para os vetores coluna o produto interno é 12 12 12 12 12 12 0 Na A é rotação de ângulo θ temos A cos θ sin θ sin θ cos θ Portanto cos θ 12 e sin θ 12 Dessa modo θ 135º ou θ 3π4 8 a 23 57 10 21 11 b 62 40 24 0 24 c 154 333 3 15 12 0 d 223 174 2 14 12 0 9 Sabemos que uv uvcos θ logo cos θ uv uv a cos θ 11 2² 3² 5² 1² 11 13 26 03547 e θ arccos03547 11074º b θ arccos24 6² 2² 4² 0² arccos24 40 4 16157º c Como uv 0 θ 90º d Como uv 0 θ 90º 10 Se V é perpendicular a w1 e w2 então V w1 0 e V w2 0 Usando as propriedades do produto escalar obtemos V k1 w1 k2 w2 V k1 w1 V k2 w2 k1 V w1 k2 V w2 k10 k20 0 Logo V e k1 w1 k2 w2 são perpendiculares 11 a 011 210 02 11 10 1 não ortogonais b 12 12 12 12 12 12 0 ortogonais c 12 12 12 12 12 12 1 não ortogonais d 00 01 0 0 0 ortogonais 12 Dadas as bases B 10 01 e B 21 34 a Escrevendo os elementos de B como combinações lineares de B Para 10 10 a 21 b 34 2a3b 1 a 411 b 111 a 4b 0 Para 01 01 c 21 d 34 2c 3d 0 c 311 d 211 c 4d 1 A matriz de transição de B para B é MBB 411 311 111 211 b Escrevendo os elementos de B como combinações lineares de B 21 2 10 1 01 34 3 10 4 01 A matriz de transição de B para B é MBB 2 3 1 4 c Tendo WB 3 5 WB M B B UB 411 311 3 111 211 5 121511 31011 311 1311 13 Dada a base B 3 0 3 3 2 1 1 6 1 encontrar a matriz MB B a Para o vetor a b c Para c 6 0 3a 3b c 6 2b 6c 6 3a b c 0 a 0 b 32 c 32 Para 2 6 4 3d 3e f 2 2e 6f 6 3d e f 4 d 89 e 12 f 56 Para 2 3 7 3g 3h i 2 2h 6i 3 3g h i 7 g 209 h 54 i 1112 A matriz de transição será MB B 0 89 209 12 12 54 32 56 1112 b Note que W u1 u2 u3 3 3 1 0 2 6 3 1 1 5 8 1 seja um vetor UB 1 1 1 suas coordenadas em B são vB M B B vB 0 89 209 32 12 54 32 56 1112 1 1 1 289 14 1712
Envie sua pergunta para a IA e receba a resposta na hora
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1 Sabemos que Tkv kv Se Tv a b c dx y e Tk k 0 0 kx y onde v x y então a b c dk 0 0 k ak bk ck dk e k 0 0 ka b c d ka kb kc kd As matrizes são idênticas logo T o Tk Tk o T o que significa que T o Tkv Tk o Tv 2 As matrizes de rotação são T1 cos θ1 sen θ1 sen θ1 cos θ1 e T2 cos θ2 sen θ2 sen θ2 cos θ2 de modo que T1 o T2 cos θ1 cos θ2 sen θ1 sen θ2 cos θ1 sen θ2 sen θ1 cos θ2 sen θ1 cos θ2 cos θ1 sen θ2 sen θ1 sen θ2 cos θ1 cos θ2 cos θ1 θ2 sen θ1 θ2 sen θ1 θ2 cos θ1 θ2 Tθ1θ2 Logo T1 o T2 Tθ1θ2 3 Usando a transformação de rotação em 90 temos T 0 1 1 0 Para o núcleo de T fazemos 0 1 1 0x y 0 0 y 0 y 0 x 0 e Ker 0 Para a inversa fazemos 0 1 1 00 1 0 1 1 0 0 1 L2 1 1 0 0 1 e T1 0 1 1 0 Então se Tv y x têmse T1v yx 4 a 414213 0382 441011 sqrt42 42 102 112 sqrt253 1593 b u v sqrt42 12 22 32 sqrt02 32 82 22 sqrt30 sqrt77 548 877 1425 c 2u 2u 2 u 2u 4u 4 sqrt30 239 d 3411213 50382 3122 1511253 sqrt152 112 22 532 sqrt225 121 4 2603 sqrt2953 5432 e 3122 sqrt32 12 22 22 3122 sqrt18 3sqrt18 1sqrt18 2sqrt18 2sqrt18 0707 0236 0471 0471 f Verificação da norma do vetor unitário do item e sqrt07072 02362 04712 04712 1 5 Se dois vetores são ortogonais vu 0 a 132 421 4 6 2 0 ortogonais b 222 111 2 2 2 6 não ortogonais c u1 u2 u3 000 0 0 0 0 ortogonais d 46101 2129 8 6 20 9 27 não ortogonais e 0321 5210 0 6 2 0 8 não ortogonais f ab ba ab ba 0 ortogonais 6 a Tx 1 2 3 43 2 3 4 9 8 1 1 ou 11 b Tx 1 2 0 3 1 51 1 3 1 2 0 3 1 5 3 13 ou 313 c Tx 2 3 4 3 5 7 6 0 1x1 x2 x3 2x1 x2 4x3 3x1 5x2 7x3 6x1 x3 d 1 1 2 4 7 8x1 x2 x1 x2 2x1 4x2 7x1 8x2 7 Dado a matriz A 12 12 12 12 temos det A 1212 1212 12 12 1 Para os vetores colunas o produto interno é 12 12 12 12 12 12 0 Se A é a rotação de ângulo θ temos A cosθ senθ senθ cosθ Portanto cosθ 12 e senθ 12 Deste modo θ 135 ou θ 3π4 8 a 2357 10 21 11 b 6240 24 0 24 c 154333 3 15 12 0 d 223374 2 14 12 0 9 Sabemos que uv u v cosθ logo cosθ uv u v a cosθ 11 1²3² 5 1² 11 13 74 03547 e θ arccos03547 11077 b θ arccos24 6² 1² 4² 0² arccos24 40 4 16157 c Como uv 0 θ 90 d Como uv 0 θ 90 10 Se V é perpendicular a w₁ e w₂ então Vw₁ 0 e Vw₂ 0 Usando as propriedades do produto escalar obtemos Vk₁w₁ k₂w₂ Vk₁w₁ Vk₂w₂ k₁ Vw₁ k₂ Vw₂ k₁ 0 k₂ 0 0 Logo V e k₁w₁ k₂w₂ são perpendiculares 11 a 011230 0 2 3 1 1 0 3 não ortogonais b 12121212 12 12 0 ortogonais c 12121212 12 12 1 não ortogonais d 0001 0 0 0 ortogonais 12 Dadas as bases B 1001 e B 2134 a Escrevendo os elementos de B como combinações lineares de B Para 10 10 a 21 b 34 2a 3b 1 a 4b 0 a411 b111 Para 01 01 c 21 d 34 2c 3d 0 c 4d 1 c311 d211 A matriz de transição de B para B é MBB 411 311 111 211 b Escrevendo os elementos de B como combinações lineares de B 21 2 10 1 01 34 3 10 4 01 A matriz de transição de B para B e MBB 2 3 1 4 c Sendo wB 35 wB MBB wB 411 311 111 211 3 5 12 1511 3 10 11 2711 711 13 Dada a base B 303 323 163 encontrar a matriz MBB a Para o vetor abc Para 660 3a 3b c 6 2b 6c 6 3a b c 0 a0 b32 c 32 Para 264 3d 3e f 2 2e 6f 6 3d e f 4 d89 e 12 f 56 Para 237 3g 3h i 2 2h 6i 3 3g h i 7 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b 62 40 24 0 24 c 154 333 3 15 12 0 d 223 174 2 14 12 0 9 Sabemos que uv uvcos θ logo cos θ uv uv a cos θ 11 2² 3² 5² 1² 11 13 26 03547 e θ arccos03547 11074º b θ arccos24 6² 2² 4² 0² arccos24 40 4 16157º c Como uv 0 θ 90º d Como uv 0 θ 90º 10 Se V é perpendicular a w1 e w2 então V w1 0 e V w2 0 Usando as propriedades do produto escalar obtemos V k1 w1 k2 w2 V k1 w1 V k2 w2 k1 V w1 k2 V w2 k10 k20 0 Logo V e k1 w1 k2 w2 são perpendiculares 11 a 011 210 02 11 10 1 não ortogonais b 12 12 12 12 12 12 0 ortogonais c 12 12 12 12 12 12 1 não ortogonais d 00 01 0 0 0 ortogonais 12 Dadas as bases B 10 01 e B 21 34 a Escrevendo os elementos de B como combinações lineares de B Para 10 10 a 21 b 34 2a3b 1 a 411 b 111 a 4b 0 Para 01 01 c 21 d 34 2c 3d 0 c 311 d 211 c 4d 1 A matriz de transição de B para B é MBB 411 311 111 211 b Escrevendo os elementos de B como combinações lineares de B 21 2 10 1 01 34 3 10 4 01 A matriz de transição de B para B é MBB 2 3 1 4 c Tendo WB 3 5 WB M B B UB 411 311 3 111 211 5 121511 31011 311 1311 13 Dada a base B 3 0 3 3 2 1 1 6 1 encontrar a matriz MB B a Para o vetor a b c Para c 6 0 3a 3b c 6 2b 6c 6 3a b c 0 a 0 b 32 c 32 Para 2 6 4 3d 3e f 2 2e 6f 6 3d e f 4 d 89 e 12 f 56 Para 2 3 7 3g 3h i 2 2h 6i 3 3g h i 7 g 209 h 54 i 1112 A matriz de transição será MB B 0 89 209 12 12 54 32 56 1112 b Note que W u1 u2 u3 3 3 1 0 2 6 3 1 1 5 8 1 seja um vetor UB 1 1 1 suas coordenadas em B são vB M B B vB 0 89 209 32 12 54 32 56 1112 1 1 1 289 14 1712