Medidas da Terra: Agrimensura, Topografia e Geodesia

INTRODUÇÃO Podemos indicar três ciências que têm por objetivo a medida da terra 1 Agrimensura 2 Topografia 3 Geodesia A AGRIMENSURA cuida da medida das terras sua divisão em quinhões e levantamento da planta correspondente Três casos podem apresentarse a O terreno a medir é plano e horizontal o que significa ser a sua superfície normal à vertical do lugar vertical do lugar é a linha que une o ponto ao centro da terra b O terreno é plano mas inclinado em relação à vertical do lugar c O terreno tem a superfície mais ou menos ondulada apresentando partes planas e partes curvas de alturas diferentes É o caso mais geral comum da prática d Em todos os casos o perímetro ou contorno do terreno será uma linha qualquer Em qualquer dos casos a avaliação da superfície é feita segundo uma projeção horizontal portanto é o que se avalia o que chamamos área dessa projeção A GEODÉSIA tem por objeto estudar a forma e a dimensão da Terra permitindo os seus métodos representar graficamente grandes extensões o que se denomina carta geográfica A TOPOGRAFIA estuda em detalhes uma parte da superfície terrestre e os processos que permitirão representála graficamente em um plano fazendoà figurar tudo que for de interesse rios estradas casas serras etc se esta parte não for muito extensa este será o objeto da topografia Dessa maneira a topografia vem completar a geodesia Não sendo plana a superfície terrestre há necessidade de imaginarse um plano horizontal sobre o qual projetamos todos os detalhes de interesse a representar Para tal escolhese um plano tangente ao esferóide terrestre em um ponto interior da área à desenhar estabelecendose dessa maneira a hipótese do plano topográfico Nas limitações dos processos topográficos todas verticais da área a representar serão consideradas paralelas e normais ao plano topográfico A projeção horizontal chamaremos de planta ou carta topográfica e a relação constante escala da planta A hipótese do plano topográfico só é admissível se a área a ser levantada for razoavelmente pequena porque não se considera a curvatura terrestre caso contrário os erros decorrentes não permitirão o rigor com que se deseja obter a planta CAMPO DE AÇÃO DA TOPOGRAFIA Se cortarmos por um plano secante passando pelo centro o esferoide terrestre o traço obtido será um grande círculos superpondo dois pontos A e B desse grande círculo e os ligamos ao centro da terra O Para tirarmos a horizontal A F normal a AO e prolonguemos OB até encontrar esta horizontal nada mais fizemos do que projetar o ponto B sobre o plano que contém a horizontal A F Como resultado o segmento AB do esferoide será representado pela projeção horizontal ortogonal sobre o plano topográfico AF por AE Façamos AB l AE t AO R e o ângulo AOB O que se quer saber é se o erro cometido ao se substituir o comprimento l da superfície terrestre pelo comprimento 1 do plano topográfico é admissível Da figura podemos escrever lα πR180 l ασπR180 1 t RIgα 2 Nas figuras 1 e 2 a única variável é o ângulo α podemos pois discutir essas expressões fazendo variar este ângulo resumindo no quadro abaixo adotando para R o valor médio de 6370 Km α lm lm 5 9264789 9264796 10 18529579 18529631 15 27794378 27794545 20 37059158 37059680 25 46323948 46324764 30 55588737 55590148 Como se pode observar ao se chegar ao valor 30 para o ângulo α a diferença entre a verdadeira grandeza e sua representação no plano topográfico é da ordem 14m erro considerado comparativamente onde terse fixado o limite da ação topográfica para trabalhos normaisestradas urbanismo linhas de transmissão auditoras etc a uma área de um círculo de 50 Km de raio o que resulta uma área de 7854 Km² cπR² FUNDÃO EDUCACIONAL DE MINAS GERAIS ESCOLA DE ENGENHARIA KENNEDY AULAS DE TOPOGRAFIA PLANIMETRIA Prof Gerber Serpa Alvim e Romário Aurélio Pereira da Silva Então a nossa planta seria um rebatimento sobre um plano horizontal das projeções ortogonais sobre diversos planos horizontais de seguimentos da aludida baixa DIVISÃO DA TOPOGRAFIA Podemos fazêla em duas partes a TOPOGRAFIA SUPERFICIAL as operações se executam na superfície das terras b TOPOGRAFIA SUBTERRÂNEA as operações se executam no interior do solo Os aparelhos são os mesmos inclusive os métodos apenas dispositivos de fixação e iluminação é que diferem A parte para obtenção da planta denominaremos planimetria alguns autores dizem placometria a parte que colherá os dados para obtenção do relevo denominaremos Altimetria alguns autores dizem Hiposometria BASE PRODUTIVA OU BASE ÚTIL DO TERRENO é a projeção ortogonal desse terreno sobre o plano topográfico onde aparecerão todos os detalhes de interesse Assim sendo o que medimos é a projeção horizontal ou que vale dizer que o que se avalia é a área da base produtiva em lugar da verdadeira superfície Daí o motivo que nos obriga a esticar bem segundo a horizontal os instrumentos de medidas lineares PONTO TOPOGRÁFICO Os detalhes que figuram nas plantas são levantados por meio de pontos que os possamos representar convenientemente É o que denominamos ponto topográfico e que nada mais é do que um ponto geométrico considerado no solo Deve ser materializado no terreno e isto é feito pela ponta de um instrumento que se chama baliza peça de metal ou madeira com aproximadamente 2 a 4 cm de diâmetro e 2 m de comprimento terminando em ponta aguda e para melhor conseguirmos o ponto topográfico cravamos uma estaca de madeira no terreno com 15 cm de comprimento por 4 cm de diâmetro onde se possa marcálo A essa estaca denominamos de piquete e deve ser cravada até ficar no máximo 1 cm acima do solo A posição do ponto topográfico é assinalado por uma tachinha de cobre ou aço que se prega na cabeçã do piquete No caso de rocha o ponto é indicado abrindose uma cruz com o escopro cujo centro indicará aquela posição Para assinalar o lugar onde se acha o piquete numa distância próxima deste aproximadamente 50 cm cravase uma estaca de madeira maior aproximadamente 50 cm por 05 a 06 cm de diâmetro chamada testemunha que tem um chanfrado onde se escreve o número do piquete a giz de cera Alinhamento O plano vertical que passa por dois pontos topográficos corta o terreno segundo uma linha cuja projeção horizontal chamamos de alinhamento As balizas materializarão o plano vertical pois estas são apuradas sobre os pontos topográficos Para marcarse os pontos topográficos na planta os dados necessários serão os alinhamentos e os ângulos entre estes portanto a medida desses elementos constituirão uma parte importante da topografia MEDIÇÃO DOS ALINHAMENTOS ou grametria a Medição direta usase um gabarito cadeia ou corrente do agrimensor fita de aço trena e fio invar b Medição indireta relações matemáticas correlatas Para a obtenção da planta ou melhor como desejamos obter uma projeção horizontal dos pontos topográficos há que se medir as distâncias horizontais entre eles em outras palavras precisamos medir sempre na horizontal os alinhamentos cada um definido por esses pontos topográficos Temos dois processos para obter essas distâncias 1 Medição direta aplicando no terreno um comprimento tomado como termo de comparação gabarito 2 Medição indireta utilizando relações matemáticas que se interligam com a distância horizontal a medir ou relações matemáticas conhecidas que se relacionem com a distância horizontal Medição direta dos alinhamentos Como o nosso objetivo é obter uma projeção horizontal dos pontos topográficos para obtenção da planta precisamos medir as distâncias horizontais portanto precisamos medir a distância entre dois pontos para se obter o comprimento da caixa alinhamento definido por esses pontos Na prática topográfica empregamos os seguintes instrumentos a Cadeia ou corrente do agrimensor é um gabarito em forma de corrente feito em arame de aço no Brasil com o comprimento padrão de 20 m Seus extremos os punhos são de bronze ou latão e os seus elos medem 20 cm de centro a centro A partir de cada extremidade para o centro há de 2 em 2 m um pendente fichas que indica por meio de dentes o múltiplo de 2m até o meio da cadeia onde o pendente terá forma diferente dos demais e indica 10m Desgaste e deformações pelo uso dos elos das correntes Limite do erro provável médio a soma desses erros é maior ou menor conforme o terreno seja mais ou menos acidentado oferecendo maior ou menor dificuldade para a operação em pauta Atenuase em parte a perniciosidade desses erros medindose como mostra a figura isto é deixando a baliza entre duas trenadas face ao diâmetro desta variar em torno de aproximadamente 3 cm Para a medida com a cadeira admitese um erro de 20 a 25 cm por 100m sendo 0 1 para terrenos planos e o 2 limite para terrenos acidentados b Fita de aço ou fibra de vidro O nome define bem É uma fita de 1 a 15 cm de largura e comprimento variável podendo ser de 10 20 30 50 e até 100 metros Costuma ser graduada em centímetros e até milímetros O modo de emprego é o mesmo descrito para a cadeira inclusive os erros estes têm o limite baixado para 15 cm para terrenos planos e 18 cm para terrenos acidentados GONIOLOGIA Medida dos ângulos 31º 18 34 34642 Para avaliação dos ângulos também teve que ser escolhido um termo de comparação uma unidade e esta recaiu no ângulo reto por ser o que mais facilmente pode ser construído com um valor determinado Evidentemente nas aplicações os ângulos a medir são bem diversificados por esse motivo ao invés da unidade empregamos um múltiplo ou submúltiplo desta Os múltiplos empregados são 1 O grau que representa 190 do ângulo reto 2 O grau que representa 1100 do ângulo reto Os submúltiplos empregados são Tomando a base 60 para divisor no sistema sexagesimal encontramos 1 grau dividido por 60 é igual a 1 minuto 1 minuto dividido por 60 é igual a 1 segundo Então se 1 vale frac910 do grau 1 valera frac910 60 54 minutos sexagenais Para se construir um visor de pínulas são adaptadas na extremidade de um mesmo diâmetro de modo que sempre a uma fresta se antepõe uma janela LUNETAS A melhora constante dos instrumentos no sentido da precisão nitidez e alcance das visadas levou os fabricantes a introduzirem os visores de luneta nos goniômetros sendo estes de maior ou menor potência tal seja o tipo de instrumento Os bordos do retículo formam saliências para o interior da luneta com finalidade de absorverem os raios luminosos que não encontram a ocular e que apesar de diminuir o campo da luneta é compensado no que se ganha em nitidez da imagem O cruzamento dos fios do retículo é condicionado a se dar sobre o eixo óptico da luneta Para a avaliação de pequenos ângulos o português Pedro Nunes idealizou um processo mais tarde aperfeiçoado pelo francês Vernier Pierri que consta em adaptar um pequeno arco adicional aos limbos que se denominou nônio ou Vernier cuja teoria é a seguinte Seja O o centro de uma circunferência e AB e CD dois arcos concêntricos que subtendem ao mesmo ângulo central Dividimos AB em n partes iguais e CD em m partes também iguais com a condição de m n seja ℓ o valor angular de cada divisão de AB e x idem de CD Como os dois arcos medem o mesmo ângulo central podemos escrever ln xm x lnm Calculemos a diferença angular entre as divisões de AB e CD Da figura l x d d l lnm lmnm Na prática m n 1 d lm e como essa diferença é o menor ângulo que o instrumento pode medir é por isso chamada de aproximação do Nônio ou Vernier Vejamos alguns exemplos de tipos de graduações de limbos por exemplo 1 Limbo em meiosgraus 30 Vernier com 30 divisões d lm 3030 1 menor ângulo que o aparelho mede 2 Limbo em meios graus 30 Vernier com 60 divisões d 3060 12 30 menor ângulo que o aparelho mede 3 Limbo em terço de grau 20 Vernier com 40 divisões d 2040 12 30 menor ângulo que o aparelho mede 4 Limbo em terço de grau 20 Vernier com 60 divisões d 2060 13 20 menor ângulo que o aparelho mede A leitura do nônio que decorre da teoria isto é para se ter um ângulo acrescentase à leitura do limbo tantas vezes a aproximação quantos são os traços do nônio anteriores ao que coincide com o do limbo Exemplo 1 Limbo graduado em meio graus 30 e Vernier com 30 divisões O ângulo da figura ao lado será contado da origem 0 a d lm 3030 1 aproximação do aparelho b No limbo à esquerda da origem O 21 c No Vernier 8 aproximações por ser o traço 8 o coincidente dando 8x1 8 d Ângulo final 21 8 d l m 20º 60 1 20 aproximação do aparelho b No limbo à esquerda da origem 0 51º c No Vernier o traço 18 é o coincidente donde 18 x 20 360 360º 60 6 d Ângulo final 51º 6 Para facilitar a leitura o construtor graduou o aparelho como na figura o que faz automaticamente a conta para reduzir a leitura do Vernier nos 123456 etc na figura ESTADIMETRIA ESTÁDIA MEDIDA INDIRETA DAS DISTÂNCIAS 1 Princípio ou fundamento Suponhamos AB uma horizontal Em sua extremidade B uma vertical CD e unamos C e D respectivamente ao ponto A O triângulo ACD assim obtido é denominado triângulo estadimétrico Num ponto O qualquer de AB traçamos a vertical EF Com esse artifício construímos duas séries de triângulo semelhantes 11 AOE e ABC 12 AOF e ABD A primeira série permite que se escreva AB AO BC OE a A segunda série permite que se escreva AB AO BD OF b Uma propriedade das proporções uma igualdade duas outras aplicada às relações a e b nos permite escrever AB AO BC BD OE OF Como o interesse é conhecer a distância horizontal AB de c vem AB AO x BC BD OE OF d Fazendo AO a OE OF b BC BD l e AB D vem D a b x l e A expressão e indica que conhecida a relação ab e o valor de l obtémse a distância horizontal procurada Nos aparelhos atuais é igual a 100 l é um comprimento que se obtém com um instrumento auxiliar denominado MIRA ou MIRA FALANTE e sua unidade é o metro portanto sempre indicado como segue l 030m ou outro valor qualquer Chamase leitura estadimétrica Para se obter l o instrumento traz no reticulo mais 2 fios horizontais com o nome de fios estadimétricos e que correspondem na figura à posição dos pontos E e F também denominados fio superior e fio inferior A imagem desses fios lê o comprimento l leitura com o fio superiorleitura com o fio inferior Esse é o princípio ou fundamento da Estádia 2 Visada inclinada de α sobre a horizontal Normalmente o que acontece na prática é a linha AB ser inclinada de um certo ângulo α sobre a horizontal Vejamos como proceder Na figura ACD é o mesmo triângulo estadimétrico da figura anterior com o seu vértice A coincidido com a vertical do ponto topográfico P os instrumentos atuais têm dispositivos para realizar essa situação Com pequena tolerância vamos supor os triângulos BCI e BDJ como retângulos respectivamente em C e D podemos escrever BC IB cosα BD BJ cosα Somando membro a membro vem BC BD IB BJ cosα como BC BD ℓ caso anterior fazendo IB BJ m vem ℓ m cosα f Do triângulo ABH retângulo em H escrevemos AH ABCosα g Da dedução anterior AB fg substituindo ℓ pelo seu valor achado em f AB mgcosα levandose este valor em g e fazendo AH D vem D mgcos²α que é a expressão que dará a distância reduzida ou distância horizontal procurada Nela m leitura estadiométrica fio superior fio inferior leitura na mira cos²α coeficiente da distância reduzida e vem tabelado cada 2 doisminutos 3 Caso mais geral Generalizando mais o problema podemos encontrar também a diferença de nível entre os pontos P e Q Completamos a figura acima Por P e Q passamos horizontais QR e PT a meta do problema é encontrar o valor de QT d Da figura QT BH HT BQ BH AH tgα HT AP i altura do instrumento medese com uma pequena trena do eixo de rotação da luneta ao ponto topográfico BQ altura da mira é a leitura desta com o fio médio do retículo AH D mgcos²α já deduzimos anteriormente Substituindo esses valores em h vem d mgcos²αtgα i ℓ simplificando essa expressão mgcos²αtgα mgcos²α x sen α cosα mgcosα senα como sen2α 2senαcosα então cosα senα sen 2α 2 e daí d mg sen 2α 2 i ℓ k ORIENTAÇÃO Diz a história que os chineses 2000 anos antes de Cristo já conheciam ua maneira de se orientarem sem ser pelos astros e que a Europa só no ano 1270 aproximadamente através do famoso Marco Polo tomou conhecimento do assunto Presumese que os chineses tomavam um mineral magnético suspendiamno por um cordel e isto sob a ação das linhas de força do campo magnético terrestre indicavam sempre a mesma direção e sua referência para a orientação 1 Bússola Chegando esse conhecimento à Europa um italiano chamado Flávio Gioia aplicouo imediatamente à navegação marítimaépoca das expedições construindo um instrumento que foi denominado bússola Essa constituiuse de 2 elementos a Agulha imantada Sob a ação do campo magnético terrestre linhas de força essa agulha se coloca sempre na direção dos pólos magnéticos terrestres servindo de referência para que possamos nos orientar em outras palavras sabermos em que posição geográfica nos encontramos Essa agulha deve possuir três propriedades fundamentais 1 Mobilidade Tirada da sua posição de equilíbrio somente após um grande número de oscilações volta ao equilíbrio Conseguese essa condição fazendose uma suspensão com o menor atrito possível Usase um pivot de aço duro o o mancal da agulha em agata o mineral que tem a dureza 9 na escala das rochas porque não pode haver lubrificação visto o óleo fazer pasta com a poeira e diminuir esta mobilidade e tornar mau o funcionamento da agulha 2 Sensibilidade Pela aproximação de qualquer objeto magnético ela deve ser atraída e sair da sua posição de equilíbrio cessada a influência volta ao equilíbrio após certo número de oscilações 3 Apontar sempre a mesma direção É a mais importante Tirada de sua posição de equilíbrio a agulha volta apontando a mesma direção anterior É a que vai permitir a orientação A direção que a agulha toma repetimos é a coincidência com as linhas de força que passam pelos pólos magnéticos terrestres e será sempre esta b LIMBO É evidente que havia necessidade de se aproveitar aquela referência a3 e a partir dela alguma medida foi o que fez o inventor adaptando o limbo à agulha Exitem dois tipos de limbo na prática topográfica 1 limbos graduados de 0º a 360º num ou noutro sentido 2 limbos graduados de 0º a 90º a partir de um mesmo diâmetro Neste caso temos as leituras por quadrantes e ao número que indica a quantidade de graus acrescentase a sigla do quadrante onde é lido por ex 00 NE 25º NO 46º SE e 83º SO como se vê não há leitura superior a 90 graus e quando esta acontece a origem pode ser N ou S por exemplo 90º NE 90º SE Ao diâmetro assinalado NS no limbo da bússola atenção para esse detalhe chamase linha de fé por ser ela a origem das leituras angulares com esse instrumento MODO DE USAR A BÚSSOLA A convenção é a seguinte Apontase o N norte da linha de fé no sentido que se vai caminhar aguardase a agulha entrar em equilíbrio e lêse no limbo entre a ponta N da linha de fé e a ponta N da agulha essa em geral vem assinada por uma cor diferente ou pela letra N gravada ou outro sinal se nada disso houver usase a verificação seguinte braço direito para o nascente braço esquerdo para o poente a ponta da agulha que corresponde à nossa frente é que está apontando o Norte Magnético Terrestre Pois bem sabemos que pelos pólos geográficos terrestres passam os grandes círculos chamados meridianos geográficos evidentemente pelos pólos magnéticos terrestres que raramente vem a coincidir com os geográficos passam também grandes círculos que aqui se denominam Meridianos Magnéticos Como a agulha da bússola indica sempre a direção dos pólos magnéticos terrestres o seu eixo nada mais é que a projeção de um meridiano magnético e com isso podemos batizar aqueles ângulos lidos no limbo da bússola I Azimute magnético Pelo que ficou dito acima chamase azimute magnético ao ângulo formado pela direção do alinhamento e a direção do meridiano magnético que passa pelo eixo da agulha e a convenção para se lêlo é a que foi referida no uso da bússola Exemplo Qual o azimute do alinhamento AB Instalado a bússola no ponto A orientase a ponta N da linha de fé limbo no sentido de B e lêse o ângulo feito entre a ponta N da linha de fé e a ponta N da agulha É o azimute magnético procurado Com a bússola podese ler o ângulo entre dois alinhamentos por exemplo o ângulo ABC da seguinte maneira 1 Orientase a ponta N da linha de fé limbo no sentido de B lêse o azimute b 2 Orientase a ponta N da linha de fé limbo no sentido de C lêse o azimute c 3 A diferença entre b c a fornece o ângulo ABC que se queria conhecer evidentemente com a aproximação permitida pelo limbo da bússola em geral graduados de grau em grau ou em meios graus Como a agulha magnética acompanha a direção das linhas de força dos pólos magnéticos terrestres tem ela a propriedade de apontar sempre uma determinada direção porém os pólos magnéticos terrestres variam no correr dos tempos como consequência e o meridiano geográfico dessa variação Para estudála escolheuse como plano de comparação os meridianos geográficos são imutáveis Assim o meridiano que passa pelo eixo da agulha será o em longos períodos haverá coincidência entre os dois A essa angular α denominamos declinação magnética Para caracterizálo melhor a nomeamos de positiva ou ocidental quando contada do meridiano geográfico para oeste Negativa ou oriental quando contada do meridiano geográfico para leste Diz a história que foi Cristóvão Colombo quem primeiro observou ser variável a declinação há porém quem afirme que os chineses já a conhecia muito antes de Colombo As variações da declinação podem ser 1 Geográfica 2 Diurna 3 Mensal 4 Anual 5 Secular 6 Local 7 Acidental 1 Geográfica A declinação varia com a posição geográfica do lugar em que é observada o que significa ter valor diferente para cada lugar quer dizer em Paris é completamente diferente da do Rio de Janeiro e assim por diante 2 Diurna Por observação notase que no correr das 24 horas do dia tal seja a hora em que ela é observada podese chegar a valores diferentes e em certas épocas já se observou 11 para essa variação que não é constante porém próxima de uma linha mais ou menos senoidal como a da figura Atinge maiores valores em Dezembro e Junho por ocasião dos solstícios dia igual a noite e como mostra a figura a variação é praticamente nula quase ao ½ dia como bem próximo das 20 horas e das 2 da madrugada variando ao máximo em um sentido ou outro próximo das 14 e das 22 horas 3 Mensal Não é constante ou melhor não é igual em cada mês do ano portanto não tem uma lei de variação Ela tem de ser verificada observada constantemente Para resolver aproximadamente certos problemas algumas fórmulas empíricas têm sido propostas para o cálculo da declinação no Rio de Janeiro onde se situa o nosso Observatório Nacional na falta de dados mais precisos São conhecidas duas fórmulas empíricas de exdiretores daquele observatório o de Cruls D3 811085 sen 081 18 9 e o de Morize D 5608t 8sen0631 onde D é a declinação e t o número de anos decorridos a partir de 1850 até a época que se deseja saber a declinação porque em 1850 no Rio de Janeiro houve coincidência dos dois meridianos o geográfico e o magnético 4 Anual A característica dessa variação é a desigualdade do aumento anual pelos meses do ano Também não obedece a uma determinada lei e uma representação seria a da figura abaixo J F M AB M J N J A S O N D B 10 5 O A A diferença entre a reta AB e a curva é muito pequena daí na prática usamos os valores médios indicado pela reta chegandose a resultados satisfatórios Quando necessitá ria maior precisão calculase ou determinase a declinação na data do serviço 5 Secular Pelo nome é aquela que se dá no decorrer dos séculos Também não tem lei fixa de variação como as já citadas Ela tem sido observada no correr dos tempos pelos observatórios responsáveis de cada País Como resultado já se conseguiu concluir que o norte magnético deslocase para oeste e volta para leste novamente do norte geográfico Citraremos dois exemplos a Na França já se conseguiu observação bem completa dessa variação representada no gráfico ao lado Assim em 1580 era de 9 oriental foi diminuindo e em 1663 foi nula passando o ocidental quando em 1814 atingiu 22 30 voltando novamente para leste Comparando os períodos vemos que não obedeceu a nenhuma lei pois de 1580 a 1663 83 anos variou apenas 9 e de 1663 a 1814 151 anos variou de 22 30 No Brasil a mais antiga observação que se conhece é de 1660 próximo a Cabo Frio onde achouse 13 No Rio de Janeiro de 1670 a 1924 a variação da declinação foi de 12 10 a 12 se anulando em 1850 podendo assim ser esquematizado fig abaixo Hoje ainda variando para o Oeste e não foi atingido o ponto baixo Comparando de 1670 a 1850 180 anos variou de 12 10 a zero e de 1850 a 1924 74 anos variou também 12 portanto não há lei para essa variação 6 Local É devido a certos minerais como a magnetita certos ologistas e segundo autores a alguns vegetais ocasionam o desvio da agulha 7 Acidental É devido às chamadas tempestades magnéticas que parecem estar relacionadas com a proporção das manchas solares Quando estas aparecem pode haver sérias variações da agulha imantada Há pois necessidade de se determinar a declinação magnética toda vez que se tiver que recuperar serviços Em topografia usamos dois processos mais simples porém suficientes para o âmbito da disciplina Existem vários outros mais rigorosos e menos rigorosos PROCESSO DAS ALTURAS CORRESPONDENTES DO SOL Suponhamos o teodolito instalado num ponto A portanto nivelado e com zeros coincidentes limbo Horizontal e Vernier Visase um ponto bem nítido cuja projeção no plano horizontal representado pelo plano do limbo horizontal que passa por HH seja P Firmase a luneta de modo que a linha de colimação faça uma inclinação α sobre HH e o sol não pode ser considerado um ponto fazse a visada deixando tangenciar os dois fios do reticulo como mostra a figura Nessa ocasião lêse no limbo horizontal o ângulo φ AS onde o disco solar tangencia os fios do reticulo no quadrante indicado na figura Lêse no limbo horizontal o ângulo δ e a linha do colimação RAR cuja bissetriz CF representa a interseção do meridiano geográfico com o plano horizontal Para se ter um valor mais aproximado fazemse vários pares de observação do sol mesmo porque alguma distração quanto à hora ou alguma nuvem pode prejudicar o trabalho Tirase então a média dos ângulos RAR para obterse a direção da bissetriz CF Fazse uma tabela como ao lado onde a hora anotada tem por fim indicar a ocasião em que se deve fazer a observação correspondente do lado ocidental pois que nem sempre o sol atravessa o meridiano ao meiodia do tempo médio o que se dá apenas na época dos solstícios quando percorre arcos iguais antes e depois do meiodia portanto os dias ideais para se calcular a declinação magnética seriam os de 23 de junho e 23 de dezembro aproximadamente época dos solstícios Devemos essa situação à inclinação da elíptica que desaparece nessas épocas do ano Lado Ocidental Altura Lado Oriental Hora AH AH Hora 1700 δ α 0700 1630 δ1 β1 0730 1600 δ2 β2 0800 Porém para fins topográficos podemos calculála em qualquer época obtendose resultados satisfatórios Determinada a direção do meridiano geográfico dirigese para o Norte a linha de colimação da luneta objetiva e lêse na bússola do instrumento o ângulo da agulha e seu valor e é a declinação procurada Se o aparelho não traz bússola empregase uma declinação paralelamente ao plano vertical que passa pela linha de colimação para se ter o ângulo da declinação A declinatória é uma bússola que vem montada numa caixa retangular tendo limbos parciais a partir da linha de fé isto é o limbo traz graduação de 25 para cada lado da linha de fé Os lados maiores da caixa são paralelos à linha de fé AVIVENTAÇÃO Face a variação dos pólos magnéticos terrestres vimos que a agulha imantada sob a influência das linhas de força acompanha essa variação problema que foi ventilado quando da determinação da declinação magnética Como conclusão todos os trabalhos feitos baseados no meridiano magnético terão que ser corrigidos da influência da declinação magnética é o que conhecemos como aviventação ou segundo certos autores recuperação de um rumo antigo Então aviventar é procurar o valor do azimute magnético atual daquela direção Dados necessários período ou tempo decorrido Variação média anual da declinação no período Azimute inicial Incógnita Azimute atual Exemplos I Em 1962 houve que se aviventar um rumo corrido em 1850 no Rio na direção NORTE Admitamos que a variação média anual da declinação tenha sido 10 ocidental no período Solução a Período 1962 1850 112 anos b Variação total no período 112 X 10 1120 18 40 ocidental ou positiva Significa que a agulha se desviou para o oeste do meridiano geográfico do lugar Desta maneira c O azimute em 1962 para se encontrar o alinhamento corrido em 1850 terá por valor 18 40 NE vide figura II Um rumo de sesmaria foi corrido em 1785 com o azimute de 22 50 NE e teve de ser aviventado em 1962 sabendose que a variação média anual da declinação foi de 10 oriental Qual o valor do azimute em 1962 a Período 1962 1785 177 anos b Variação total no período 177 X 10 1770 29 30 oriental ou negativa PREPARAÇÃO DO ESTILETE OU DA SOMBRA Preparase uma mesa de aproximadamente 150 m X 150 m colando na sua parte superior uma folha de papel canson usando fita colante de modo a ficar bem esticada e para não sofrer influência da variação do tempo umedecemos bem esse papel que ao ficar seco não mais encolhe nem aumenta o seu comprimento o que permite um trabalho mais bem feito e preciso Colocase sobre o solo bem nivelada a mesa acima que pode ser uma mesa de prancha marcamos o seu centro e com um compasso traçamos 3 ou mais circunferências concêntricas Neste ponto verticalizamos um estilete de aproximadamente 30 cm por um diâmetro de 2mm máximo Vide figura AO Agora é prestar bastante atenção a Na parte da manhã quando a sombra da ponta do estilete for atingindo as circunferências vamos assinalando estes pontos para o que precisamos ter bastante atenção e agilidade porque o movimento do sol é rápido e as coincidências devem ser bem exatas Assim na figura são os pontos 1 2 e 3 b Na parte da tarde seguimos o mesmo caminho Somente que a ordem é inversa isto é teremos 3 2 e 1 Verificando a figura vemos que podemos construir uma série de ângulos horizontais como 1A1 2A2 3A3 Tomamos a média destes ângulos e desta a bissetriz CF representará a interseção do meridiano geográfico com o plano horizontal Para se ter o ângulo da declinação é suficiente repetir a operação já descrita no processo anterior usando uma declinatória Se unimos no plano horizontal mesa os pontos 1 2 3 3 2 1 teremos um arco de parábola Se unirmos o vértice dessa parábola aos pontos A e O e rebateremos sobre o plano horizontal teremos um triângulo que nos dará a inclinação com que o sol cortou o horizonte no dia da observação Vide figura separada menor o ângulo α OAB c O Azimute em 1962 do alinhamento corrido em 1785 será 2930 2890 2250 640NO 2930 2250 NE 1962 Alinhamento LEVANTAMENTOS TOPOGRÁFICOS I LEVANTAMENTOS PLANIMÉTRICOS a Básicos ou por caminhamento 1 ângulos internos 4 2 deflexões b Auxiliares A trena por ordenadas por intercessão e por irradiação A LEVANTAMENTO POR CAMINHAMENTO E ÂNGULOS INTERNOS 1 Azimute de BC Da figura a1 a 180 i1 2 Azimute de CD Da figura a2 a1 180 i2 3 Azimute de DE Da figura a3 a2 180 i3 4 Azimute de EF Da figura a4 a3 180 i4 5 Azimute de FG Da figura a5 360 a4 180 i5 180 a4 i5 180 i5 a4 a5 a4 180 i5 360 6 Azimute GH a6 a5 180 i6 vem a6 a1 180 i6 7 Azimute 2 3 Da figura a2 a1 180 i2 a2 a1 180 i2 Verificase que é interessante calcular o azimute antes de mudar o instrumento porque esse cálculo é um fiscal de operações No caso das poligonais fechadas ainda podemos aplicar uma fórmula geométrica que serve para indicar o rigor das operações quanto aos ângulos horizontais e que diz o número de lados de um polígono menos 2 multiplicado por 180º é igual à soma dos ângulos internos deste polígono S l 2 180º É evidente que devido à imperfeição humana e mesmo mecânica dos instrumentos ao se somar os ângulos horizontais obtidos temse uma diferença que será um erro cometido O erro provável na medição dos ângulos horizontais tem por limite e1 e E onde e é o erro que se comete em cada ângulo e o l o número de lados do polígono Admitse um erro máximo que é o dobro desse valor E 2e1 A expressão e1 e E é conhecida como erro provável médio e em cada medida angular e é igual a 2 a 3 vezes a aproximação do instrumento menor ângulo que pode medir E 2 e1 erro máximo repetindo no limite de aceitação do serviço não pode ser maior que esse limite Além dos erros angulares há aqueles devido às medidas das distâncias que só poderão ser equilitadas após o cálculo do desenho do caminhamen EXERCÍCIOS A LEVANTAMENTO POR ÂNGULOS INTERNOS CÁLCULO DE AZIMUTES a1 a 180º i Expressões deduzidas a1 a 180º i 360º a1 a 180º i a1 a 180º i Aviso Nesse método os limbos horizontal do teodolito e da bússola são graduados de 0º a 360º em qualquer sentido 1 Dado o azimute do lado AB e o ângulo interno entre AB e BC calcular o azimute de BC Os dados estão na figura NM a 60º a1 i 110º II Com os dados da figura procurar os azimutes dos lados BC e CD Solução da figura a1 a 180º i 360º a1 50º 180º 280º 360º 310º 1ª resposta a2 a1 180º i2 310º 180º 90º 40º 2ª resposta NM a a1 i2 280º Solução Da figura a1 a 180º i a1 120º 180º 150º 90º B LEVANTAMENTO POR CAMINHAMENTO E ÂNGULOS DE DEFLAÇÃO Adotando o mesmo critério aplicado no processo anterior façamos a operação de campo Suponhamos a figura ao lado onde a poligonal ABC será levantada pelo processo das deflexões Entendese por deflexão os ângulos assinalados por D e E siglas que significam Direita e Esquerda segundo o seguinte critério O operador instalado em B de costas para A para visar o ponto C tem que girar para sua direita O operador instalado em C de costas para B para visar o ponto seguinte tem que girar para a sua esquerda Em outras palavras deflexão é o ângulo entre o prolongamento do lado anterior e o lado seguinte Ela será à direita D ou à esquerda E quando postado num ponto de costas para o ponto anterior para se visar o ponto seguinte o operador vide figura Vamos avaliar o processo partindo da operação de campo exemplificando com uma poligonal aberta porque a mesma sistemática aplicase aos polígonos 1 Montase a estação B ou seja instalase o teodolito em B 2 Com giro de campanha visar o ponto A onde se apura uma baliza entendemos por giro de campanha a rotação de 180º da luneta em torno de seu eixo Este giro tem por finalidade prolongar o lado anterior Instalase o aparelho na posição e dáse o giro há uma inversão entre a ocular e a objetiva Lembrar que a melhor visada é aquela que se visa a ponta da baliza com o cruzamento dos fios do retículo 3 Ler o azimute com a PONTA NORTE azimute de AB 4 Desfazer o giro de campanha 5 Soltar o limbo horizontal e girar o instrumento para visar o ponto C onde se apura uma baliza 6 Ler o ângulo de deflexão à direita D no limbo Horizontal ou azimute 7 Ler novamente o azimute com a PONTA NORTE azimute de BC 8 Estadimetria ângulo vertical α leitura da mira com os 3 fios altura do instrumento i Obtémse os dados para resolver as expressões D mgcosa distâncias reduzida ao horizontal d mg senα2 i Distância vertical entre os dois pontos o mesmo que diferença de nível Antes de passar à estação seguinte faremos verificações através das relações entre azimutes e deflexões que são em número de 8 oito Vamos ver estas verificações lembrando que são deduções algébricas e sempre em função do azimute anterior I Quadrantes Norte SE Como se percebe tudo é igual segundo as diagonais quer dizer o que se passa no quadrante NE repete no SO e no quadrante NO repete no SE Isto implica guardar a aplicação da regra bastando somente decorar d i9 180º d1 i1 180º d2 i2 180º d3 i3 180º Generalizando nd ne n 180º Somando membro a membro nd me ni mi n m 180º Ora ni mi nada mais é que a soma dos ângulos internos da poligonal e pode ser substituído por n m 2 180º Simplificando nd me 360º 0 nd me 360º que nos permite generalizar dizendo Σd Σe 360º soma das deflexões à direita menos a soma das deflexões à esquerda igual à 360º se isto não acontecer a poligonal é aberta Os erros nas medidas angulares são os mesmo já ensinados no processo por ângulos internos onde temos e1 e E erro provável médio onde e erro em cada medida angular é igual a 2 a 3 vezes a aproximação do instrumento ou menor ângulo que pode medir E 2 e erro máximo O serviço pode ser aceito se o erro cometido não ultrapassar esse limite Erro de levantamento comentado no processo por ângulos internos As anotações serão feitas numa caderneta de levantamento como indicada abaixo Esta Defin Azimut Mira Altura do ângulo D Obs Lidos Calculados Fio Sup Fio Méd Fio Inf Instrumento vertical Total A seguir faremos alguns exemplos para fixar melhor o que foi dito na teoria Exercícios a LEVANTAMENTO POR ÂNGULOS INTERNOS cálculo de azimute a1 a 180º i a1 a 180º i a1 a 180º 360º a1 a 180º i Fórmulas de verificação Aviso Neste método os limboshorizontal do teodolito e da bússolasão graduados de 0º a 360º em qualquer sentido 1 Dado o azimute do lado AB e o ângulo interno entre AB e BC calcular o azimute de BC Os dados estão na figura Dada a poligonal da figura vejamos Solução Da figura a1 a 180º i1 360º a1 50º 180º 280º 360º 310º Da figura a2 a1 180º i2 a2 310 180º 90º 40º B LEVANTAMENTO POR ÂNGULOS DE DEFLEXÃO cálculo de azimute Regras deduzidas O maior valor do azimute será de 90 e a bússola traz limbo graduado em quadrante f Azimute do lado 12 igual a 88 NE dada uma deflexão de 156 D qual o azimute de lado 2 3 a1 a d a1 88 NE 156 D 244 NE 90 Nesse caso subtraímos de 180 244 64 SE ao subtrairmos de 180 mudamos a origem de N para S surgindo assim a 1ª regra Mudar a origem e manter o quadrante Como contrário onde o azimute final ser 64SE 64 SO ou 64 SW vindo a segunda regra quando o resultado da aplicação da regra resultar em azimute negativo mudase o sinal Conservese a origem e troquese o quadrante Na bússola teríamos que ler o valor achado Nesse exemplo temos dois casos particulares que acontecem na prática ii Vamos exemplificar com uma caderneta parte Estacas Deflexões Azimutes Lidos Calculados 40 NE 1 2 20 E 20 NE 2 3 80 D 80 SE 3 4 100 D 20 SW 4 5 50 E 30 SE Quando falamos na operação de campo item 3 ler o azimute com a ponta NORTE esse valor é anotado na 1ª linha da caderneta por exemplo 40 NE Em seguida virão os demais elementos por exemplo aparelho instalado em 1 na 2 linha escrevemos 12 e a seguir a deflexão lida no teodolito entre os lados 1 e 2 digamos 20 E quando o resultado da aplicação da regra resultar em azimute negativo mudase o sinal Vamos verificar a1 a e 40 NE 20 E 20 NE a1 a d 20 NE 80 D 100 NE 180 100 NE 80 SE 1ª regra a1 a d 80 SE 100 D 20 SE 20 SW 2ª regra a1 a e 20 SW 50 E 30 SW 30 SE 2ª regra Os valores achados devem conferir com os lidos na bússola LEVANTAMENTOS AUXILIARES ou complementares Não podendo o polígono ou poligonal coincidir com a forma do terreno vamos associar os processos por caminhamento os alinhados sob o título supra que permitirá determinar os pontos topográficos necessários e como consequência a forma do terreno a DECOMPOSIÇÃO EM TRIÂNGULO OU A TRENA Consiste em dividir em triângulos a área a ser levantada dos quais se mede os lados condição suficiente para determinar o triângulo podendo os vértices serem pontos topográficos b Por diretriz e ordenadas A posição do ponto topográfico é definida por duas coordenadas retangulares uma abscissa e uma ordenada baseandose numa diretriz em geral um alinhamento ao lado de uma poligonal Empregado no levantamento de um rio ordenada Diretriz c Por intersecção O ponto topográfico é determinado medindose dos ângulos e uma base que em geral é um lado da poligonal Na figura os ângulos α e β e o comprimento AB P ptoTopográfico Os ângulos α e β não devem ser muito pequeno porque a intersecção dos segmentos obtido PA PB o que vai determinar o ponto deixar muito a desejar d Por irradiação O ponto topográfico é determinado por um ângulo e em distância medidos Da figura determinados os ângulos α α1 etc em uma base e medidos os comprimentos AP AP1 etc podemos encontrar os pontos P P1 etc É o mais usado na prática DISTRIBUIÇÃO DO ERRO DE FECHAMENTO Podemos fazêlo de duas maneiras graficamente e analiticamente operaçõesalgebricamente GRAFICAMENTE Suponhamos a poligonal ABCD que após desenhadas mostrou um erro g de fechamento Para distribuílo basta dividílo em partes iguais ao número de lados de cada vértice tiramos uma paralela a AA e em cada vértice marcar um número de partes iguais ao número de lados como mostra a figura Ligar os novos pontos e está feita a distribuição e a poligonal que realmente foi levantada No caso em questão dividiremos o erro em 4 quatro partes iguais e transportamos assim 1d no ponto B 2d no ponto C 3d no ponto D e finalmente A cairá sobre A ANALITICAMENTE Cálculo do caminhamento pelos azimutes calculados no processo das deflexões Suponhamos a poligonal C D E F G H I C que por determinação do método deve ficar toda no 1º primeiro quadrante de um sistema de eixos retangulares no caso formado pelas direções NS e QE Escolhemos o ponto C apoiando no eixo dos X porque não fere a condição do problema de ter a poligonal no 1º quadrante e tratase de um caso particular De cada vértice traçamos uma vertical e uma horizontal com o que faremos uma série de triângulos retângulos cujos lados assinalados l formam a poligonal e os lados x1 y1 serão batizados com o nome de abscissas e ordenadas relativas não corridas respectivamente Os azimutes dos lados estão assinalados a1 com os respectivos quadrantes a2NÉ a3N O a4SE a5SE a6SW a7SW As abscissas do ponto C serão arbitradas para manter a poligonal no primeiro quadrante ponto C x OC arbitradas ponto D x1 l1 Sen α1 DJ y1 l1 Cos α1 CJ ponto E x2 l2 Sen α2 DK y2 l2 Cos α2 EK ponto F x3 l3 Sen α1 FL y3 l3 Cos α1 EL ponto G x4 l4 Sen α4 GM y4 l4 Cos α4 FM ponto I x6 l6 Sen α6 IP ponto C7 l7 Sen α7 CQ y6 l6 Cos α6 HP Apliquemos a regra para separar as positivas das negativas NE NE SE SE 𝑗soma ERRO Abscissas relativas não corrigidas POSITIVAS x x1 x3 x4 x5 E Sx Negativas x2 x6 x7 O Sx NE NO NE POSITIVAS y1 y2 y3 N Sy Negativas y4 y5 y7 S Sy Podemos pois calcular o valor do erro de fechamento Da figura ao lado tiramos d x² y² Esses coeficientes ainda recebem o nome de coeficientes de distribuição ou de correção ou de proporcionalidade P é o perímetro da poligonal soma dos lados Isto posto calcularremos a CORREÇÃO assim Multiplicaremos cada coeficiente de correção sucessivamente pelos lados como segue 1 Para as abscissas relativas O resultado desses produtos fornece a correção a ser aplicada para cada abscissa e ordenada não corrigida Vindo a Abscissas relativas corrigidas x1 correção x1 corrigida algebraicamente te onde b Ordenadas relativas corrigidas y1 correção y1 corrigida algebraicamente te onde Agora resta referir tudo à origem obtendose as ABCISSAS e ORDENADAS ABSOLUTAS por acumuladas sucessivas terminando o problema O melhor é fazermos um exemplo onde todas as fases do problema sejam bem demonstradas De uma cadernetinha de campo ou levantamento tiraremos os dados necessários para a solução e que constam das colunas numeradas na planilha acima de 1 a 5 CÁLCULO DO CAMINHAMENTO EXEMPLO A ABCISSAS Esta cas Azimutes calculados Seno dos lados ou Distâncias Abscissas relativas Azimut Em metros Não corrigidas Correção Corrigidas 1 57NE 0839 16200 135918 0063 135855 0000 2 45SE 0707 7000 49490 0027 49463 135855 3 75NE 0966 7000 67620 0027 67593 185318 4 15SW 0259 8000 20720 0031 20751 252911 5 85SW 0996 23300 232068 0092 232160 232160 6 NU 61500 253028 252788 0240 252911 252911 c Cálculo das correções 00003902 X 16200 0063 00003902 X 7000 0027 00003902 X 7000 0027 00003902 X 8000 0031 00003902 X 23300 0092 d Cálculo das abscissas corrigidas 135918 0063 135855 49490 0027 49463 67620 0027 67593 20720 0031 20751 232068 0092 232160 e Abscissas absolutas Soma sucessivas das abscissas corrigidas 1 0000 2 135855 135855 3 49463 185318 4 67593 252911 5 20751 232160 6 232160 000000 B ORDENADAS Azimutes calculados dos Azimute Coseno Distâncias Em metros N S Ordenadas relativas Não corrigidas Correção Corrigidas Ordenadas absolutas 57NE 0545 16200 88290 0021 88311 50000 45SE 0707 7000 49490 0009 49481 138311 75NE 0259 7000 18130 0009 18139 88830 15SW 0366 8000 77280 0010 77270 106969 8500W 0087 23300 20271 0030 20301 29699 61500 126691 126770 0079 126751 126751 P Sy Sx Y Sy Sy As ordenadas do ponto C serão arbitrárias para manter a poligonal no primeiro quadrante OPERAÇÕES a Ordenadas não corrigidas y l cos α y1 16200 X 0545 88290 y2 7000 X 0707 49490 y3 7000 X 0259 18130 y4 8000 X 0366 77280 ys 23300 X 0087 20271 126691 126770 Sy S y b Cálculo do coeficiente de distribuição Cy Y P 61500 c Cálculo das correções 00001285 X 16200 0021 00001285 X 7000 0009 00001285 X 7000 0009 00001285 X 8000 0010 00001285 X 23300 0030 d Cálculo das ordenadas corrigidas 88290 0021 88311 49490 0009 49481 18130 0009 18139 77280 0010 77270 20271 0030 20301 126751 126751 Sy Sy e Ordenadas absolutas Soma sucessiva das abscissas corrigidas 1 50000 2 88311 e de valor suficiente para manter a poligonal no 1 quadrante podemos tomar 50000 porque as ordenadas são suc 3 49481 088630 4 18139 106969 5 77270 29699 6 20301 50000 C CÁLCULO DO ERRO DE FECHAMENTO d x² y² 0240² 0079² 0252 m Em um perímetro de 615000 m o erro de fechamento foi de 025 m portanto ótimo resultado D CÁLCULO DA ÁREA DA POLIGONAL A área da poligonal é facilmente calculada pelo simples exame da figura onde Área 123 451 área 1220 área 2332 área 3443 área 1550 área 5445 ou seja diferença de trapézios Na prática usamos um processo mais eficiente empregando os dados obtidos no cálculo do caminhamento seguindo o seguinte raciocínio